Tài liệu Chuyên đề luyện thi vào đại học - ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

ÖÙNG DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ ÑEÅ CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH ******** Cô sôû ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy laø duøng ñaïo haøm ñeå xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá vaø döïa vaøo chieàu bieán thieân cuûa haøm soá ñeå keát luaän veà nghieäm cuûa phöông trình , baát phöông trình, heä phöông trình . CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN ---------I. Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a,b). ⇔ ∀x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) a) f taêng ( hay ñoàng bieán ) treân khoaûng (a,b) b) f giaûm ( hay nghòch bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) II. Caùc tính chaát : 1) Tính chaát 1: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng (hoaëc giaûm) treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) = f(v) ⇔ u = v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 2) Tính chaát 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) < f(v) ⇔ u < v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 3) Tính chaát 3: Giaû söû haøm soá y = f(x) giaûm treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) < f(v) ⇔ u > v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 4) Tính chaát 4: Neáu y = f(x) taêng treân (a,b) vaø y = g(x) laø haøm haèng hoaëc laø moät haøm soá giaûm treân (a,b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm thuoäc khoûang (a,b) *Döïa vaøo tính chaát treân ta suy ra : Neáu coù x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nghieäm duy nhaát treân (a,b) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1) 4x −1 + 4x 2 −1 = 1 2) ( 2 − 3 ) x + ( 2 + 3 ) x = 2 x 3) log 2 (1 + 3 x ) = log 7 x Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau: 2 1) 2 x −1 − 2 x −x = ( x −1) 2 3) log 3 ( x2 + x +3 2 2x + 4 x + 5 ) = x 2 + 3x + 2 Baøi 3 : Giaûi caùc heä : 149  cot gx − cot gy = x − y 1)   5 x + 8 y = 2π vôùi x, y ∈ (0, π )  2 x − 2 y = ( y − x).(xy + 2) 2)   x 2 + y 2 = 2 Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau. 1) 5x + 12x > 13x 2) x (x8 + x2 +16 ) > 6 ( 4 - x2 ) Baøi 5 : Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : 1) ex > 1+x vôùi x > 0 2) ln (1 + x ) < x vôùi x > 0 3) sinx < x vôùi x > 0 4) 1 - 1 2 x < cosx 2 vôùi x ≠0 ------Heát------- 150