Tài liệu Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford bậc lũy linh

1 MÖC LÖC Trang MÖC LÖC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LÍI NÂI †U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MÐ †U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. V nh v  mæun ph¥n bªc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. I¶an m-nguy¶n sì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Chi·u Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. H» tham sè, sè bëi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. D¢y ch½nh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Mæun Cohen-Macaulay, mæun Cohen-Macaulay suy rëng . . . . . . 14 1.7. Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8. V nh Gonrenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ch÷ìng 2. Ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford v  bªc lôy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Ch°n tr¶n cho ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa mæun ph¥n bªc li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Ch°n tr¶n cho h» sè Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 K˜T LUŠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 T€I LI›U THAM KHƒO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 LÍI CƒM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh v o th¡ng 6 n«m 2013 t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa cæ gi¡o TS.  o Thà Thanh H . Nh¥n dàp n y t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n cæ, ng÷íi ¢ h÷îng d¨n tªn t¼nh, chu ¡o v  nghi¶m kh­c suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu. Công nh¥n dàp n y t¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o trong khoa To¡n v  pháng  o t¤o Sau ¤i håc ¢ gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n. T¡c gi£ xin c£m ìn c¡c anh c¡c chà, c¡c b¤n trong lîp cao håc khâa 19 - ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè - ¤i håc Vinh ¢ gióp ï ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, song luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Ngh» An, th¡ng 08 n«m 2013 T¡c gi£ 3 MÐ †U Ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford l  mët b§t bi¸n quan trång trong ¤i sè giao ho¡n v  H¼nh håc ¤i sè. Kh¡i ni»m ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford l  mët trong nhúng minh håa cö thº cho vi»c ¡p döng c¡c ph÷ìng ph¡p çng i·u v o vi»c nghi¶n cùu mët sè v§n · cõa H¼nh håc ¤i sè v  ¤i sè giao ho¡n. Nâ cung c§p nhi·u thæng tin v· ë phùc t¤p cõa nhúng c§u tróc ¤i sè ph¥n bªc. Kh¡i ni»m ch¿ sè ch½nh quy b­t nguçn tø nhúng cæng tr¼nh v· ÷íng cong x¤ £nh cõa Castelnuovo v  ÷ñc Mumford ph¡t biºu ành ngh¾a cho c¡c a t¤p x¤ £nh. B¬ng ngæn ngú èi çng i·u àa ph÷ìng, kh¡i ni»m n y ¢ ÷ñc têng qu¡t hâa cho mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh tr¶n ¤i sè ph¥n bªc chu©n. Trong luªn v«n n y, chóng tæi nghi¶n cùu ch¿ sè ch½nh quy CastelnuovoMumford cõa c¡c mæun ph¥n bªc li¶n k¸t èi vîi i¶an m-nguy¶n sì I , nâ ÷ñc ch°n tr¶n theo bªc lôy linh cõa I . L Cho R = n≥0 Rn l  mët ¤i sè ph¥n bªc chu©n húu h¤n sinh tr¶n v nh giao ho¡n Noether R0. Ta kþ hi»u R+ l  i¶an thu¦n nh§t cüc ¤i cõa R. N¸u M l  mët R-mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh, ta °t  i (M ) 6= 0} i (M ) 6= 0 max {n | HR n¸u HR n ai(M ) = −∞ n¸u HRi (M ) = 0 trong â HRi (M ) l  èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M vîi gi¡ R+. Ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa M l  mët sè + + + + reg(M ) := max{ai(M ) + i|i ≥ 0}. Cho (R, m) l  mët v nh àa ph÷ìng Noether, I l  i¶an m-nguy¶n sì cõa R v  M l  R-mæun húu h¤n sinh. Ta kþ hi»u 4 GI (M ) = M I n M/I n+1 M n≥0 l  mæun ph¥n bªc li¶n k¸t cõa M èi vîi I . Nghi¶n cùu ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford reg(GI (M )) s³ cho chóng ta bi¸t ÷ñc ch°n tr¶n cõa nhi·u b§t bi¸n cõa M èi vîi I ch¯ng h¤n nh÷ sè gi£ ành, kiºu quan h» v  sè mô rót gån [10] s³ ÷ñc tr¼nh b y trong Ch÷ìng 2 cõa luªn v«n. i·u quan t¥m l  t¼m ch°n tr¶n cho reg(GI (M )) theo c¡c b§t bi¸n ìn gi£n hìn. Bªc mð rëng D(M ) l  mët kh¡i ni»m ¢ ÷ñc Doering, Gunston v  Vasconcelos [2] ÷a ra nh¬m o ë phùc t¤p v· c§u tróc mæun. ¤i l÷ñng n y ph£n ¡nh tèt nh§t t½nh ch§t cõa c¡c th nh ph¦n ph¥n bªc so vîi bªc cê iºn (sè bëi). H» sè Hilbert công l  mët · t i thó và trong nhúng n«m g¦n ¥y [3]. °c bi»t Srinivas v  Trivedi ÷a ra ch°n tr¶n cho h» sè Hilbert theo chi·u, sè bëi, ë d i cõa èi çng i·u àa ph÷ìng cõa v nh Cohen-Macaulay v  mæun Cohen-Macaulay suy rëng. Mîi ¥y, Rossi, Trung v  Valla [6] ¢ ÷a ra ch°n tr¶n cho c¡c h» sè Hilbert cõa M èi vîi m theo bªc mð rëng. Cao Huy Linh ¢ mð rëng k¸t qu£ n y cho tr÷íng hñp mæun èi vîi i¶an m-nguy¶n sì I tòy þ. Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, nëi dung ch½nh cõa luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1 l  ch÷ìng Ki¸n thùc chu©n bà. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cõa ¤i sè giao ho¡n nh¬m möc ½ch l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh ð Ch÷ìng 2. Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y l¤i c¡c k¸t qu£ trong b i b¡o [5] 5 cõa Cao Huy Linh. â l  c¡c k¸t qu£ v· ch°n tr¶n cho ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa mæun ph¥n bªc li¶n k¸t GI (M ) theo bªc lôy linh cõa I v  bªc çng i·u, bªc mð rëng cõa M v  ch°n tr¶n cho h» sè Hilbert theo bªc lôy linh cõa I v  bªc çng i·u cõa M . 6 CH×ÌNG 1. KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ành ngh¾a, kh¡i ni»m, v  c¡c ành lþ, m»nh · l m cì sð cho vi»c tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cõa Ch÷ìng 2. 1.1. V nh v  mæun ph¥n bªc 1.1.1.ành ngh¾a. V nh R ÷ñc gåi l  Z-ph¥n bªc n¸u R = Li∈Z Ri x²t nh÷ nhâm cëng v  RiRj ⊆ Ri+j , ∀i, j ∈ Z. Hìn núa, n¸u Ri = 0 vîi måi i < 0 th¼ R ÷ñc gåi l  v nh ph¥n bªc d÷ìng, hay N-ph¥n bªc. Mæun M tr¶n v nh Z-ph¥n bªc R ÷ñc gåi l  Z-ph¥n bªc n¸u M = L i∈Z Mi x²t nh÷ nhâm cëng, v  Ri Mj ⊆ Mi+j , vîi måi i, j ∈ Z. N¸u M l  mët mæun ph¥n bªc tr¶n v nh ph¥n bªc R th¼ gåi ph¦n tû x cõa Ri (ho°c Mi) l  ph¦n tû thu¦n nh§t bªc i. K½ hi»u deg(x) = i. Ta quy ÷îc bªc cõa ph¦n tû 0 l  mët sè nguy¶n tòy þ. Nh÷ vªy, n¸u a ∈ R v  x ∈ M l  c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t th¼ deg(ax) = deg(a) + deg(x), ho°c ax = 0. Tø ành ngh¾a ta suy ra R0 l  mët v nh con cõa R v  méi th nh ph¦n ph¥n bªc Mi l  R0-mæun. N¸u x ∈ M v  x = xi + xi+1 + ... + xj vîi xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j, i, j ∈ Z th¼ xk (câ thº xk = 0) ÷ñc gåi l  th nh ph¦n thu¦n nh§t ho°c th nh ph¦n ph¥n bªc k cõa x. Méi ph¦n tû ch¿ câ thº biºu di¹n duy nh§t th nh têng c¡c th nh ph¦n ph¥n bªc. Cho S l  v nh con cõa v nh R (khæng nh§t thi¸t ph¥n bªc). Khi â, ng÷íi ta gåi R l  S-¤i sè. N¸u a1, ..., an ∈ R, kþ hi»u S[a1, ..., an] l  tªp hñp c¡c 7 tê hñp tuy¸n t½nh tr¶n S cõa c¡c ph¦n tû ap1 , ..., apn vîi (p1, ..., pn) ∈ N n. Tªp hñp n y rã r ng l  v nh con cõa R. Câ thº xem nâ nh÷ c¡c v nh a thùc, nh÷ng a1, ..., an ð ¥y khæng ph£i l  c¡c bi¸n ëc lªp. N¸u tçn t¤i a1 , ..., an ∈ R º R = S[a1 , ..., an ] th¼ R ÷ñc gåi l  S-¤i sè húu h¤n sinh. 1.1.2. ành ngh¾a. V nh ph¥n bªc d÷ìng R = Li≥0 Ri ÷ñc gåi l  v nh ph¥n bªc chu©n tr¶n R0 n¸u R = R0[R1]. 1.1.3. V½ dö. X²t v nh a thùc n bi¸n 1 n R = K[x1 , x2 , ..., xn ] Gåi Rt l  tªp hñp c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc t, khi â R= M Rt t≥0 v  t½ch cõa hai a thùc thu¦n nh§t bªc t v  s l  a thùc thu¦n nh§t bªc t + s. Do â K[x1 , x2 , ..., xn ] l  v nh ph¥n bªc. Hìn núa K[x1, x2, ..., xn] l  v nh ph¥n bªc chu©n v¼ R = R0[R1], ð ¥y R0 = K, R1 l  tªp t§t c£ c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc 1. 1.1.4. ành ngh¾a. Gåi mæun con N ⊆ M l  mæun con thu¦n nh§t hay mæun con ph¥n bªc n¸u nâ thäa m¢n mët trong ba i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau (i) N sinh bði c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t. (ii) Vîi méi x ∈ N , måi th nh ph¦n thu¦n nh§t cõa nâ thuëc N . L (iii) N = i∈Z(N ∩ Mi). 1.2. I¶an m-nguy¶n sì 1.2.1. ành ngh¾a. Cho I l  i¶an cõa R. Ta nâi r¬ng I l  i¶an nguy¶n sì cõa R n¸u (i) I $ R, câ ngh¾a l  I l  i¶an thüc sü cõa R v  8 √ (ii) ∀a, b ∈ R vîi ab ∈ I m  a 6∈ I th¼ b ∈ I . i·u ki»n (ii) trong ành ngh¾a 1.2.1 câ th¸ di¹n t£ nh÷ sau: ∀a, b ∈ R vîi ab ∈ I k²o theo a ∈ I ho°c ∃n ∈ N sao cho bn ∈ I . 1.2.2. V½ dö. Méi i¶an nguy¶n tè cõa v nh R l  i¶an nguy¶n sì. 1.2.3. M»nh ·. Cho I l  i¶an nguy¶n sì cõa v nh R. Khi â P := √I l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh R, ta nâi r¬ng I l  P -nguy¶n sì. Hìn núa, P l  i¶an nguy¶n tè nhä nh§t chùa I cõa R, hay méi i¶an nguy¶n tè cõa R m  chùa I th¼ ph£i chùa P . 1.2.4. M»nh ·. Gi£ sû I l  i¶an cõa v nh R thäa m¢n √I = m l  mët i¶an cüc ¤i cõa R. Khi â I l  i¶an nguy¶n sì cõa v nh R, ta nâi r¬ng I l  i¶an m-nguy¶n sì cõa R. √ Chùng minh . Tø I ⊆ I = m ⊂ R ta suy ra I l  i¶an thüc sü cõa √ R. Gi£ sû a, b ∈ R sao cho ab ∈ I nh÷ng b 6∈ I . √ Tø I = m l  i¶al cüc ¤i v  b 6∈ m, ta suy ra m + Rb = R. V¼ vªy √ √ √ √ √ √ I + Rb = R (V¼ I = m, Rb ⊇ Rb n¶n I + Rb ⊇ m + Rb). √ √ Tø â I + Rb = R (N¸u I + J = R th¼ I + J = R). V¼ vªy ∃d ∈ I, c ∈ r sao cho d+cb = 1 v  a = a.1 = a(d+cb) = ad+c(ab) ∈ I (v¼ d, ab ∈ I). Vªy I l  i¶an m-nguy¶n sì. 1.2.5. V½ dö. Måi lôy thøa d÷ìng mn (n ∈ N) cõa i¶an cüc ¤i m l  i¶an m-nguy¶n sì. 1.3. Chi·u Krull 1.3.1 ành ngh¾a. Mët d¢y gi£m c¡c i¶an nguy¶n tè cõa v nh R p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pn ÷ñc gåi l  mët x½ch nguy¶n tè câ ë d i n. Cho p ∈ SpecR, cªn tr¶n cõa t§t c£ c¡c ë d i cõa c¡c x½ch nguy¶n tè 9 vîi p0 = p ÷ñc gåi l  ë cao cõa p, k½ hi»u l  ht(p), ngh¾a l : ht(p) = sup {ë d i c¡c x½ch nguy¶n tè vîi p0 = p}. Cho I l  mët i¶an cõa R, khi â ë cao cõa i¶an I ÷ñc ành ngh¾a: ht(I) = inf {ht(p) |p ∈ SpecR, p ⊇ I}. Cªn tr¶n cõa t§t c£ c¡c ë d i cõa c¡c x½ch nguy¶n tè trong R ÷ñc gåi l  chi·u Krull cõa v nh R, k½ hi»u l  dimR. Cho M l  mët R-mæun. Khi â dimR/AnnRM ÷ñc gåi l  chi·u Krull cõa mæun M , k½ hi»u l  dimM . Tø â ta suy ra dimM ≤ dimR. 1.3.2. V½ dö. 1. dim K = 0, vîi K l  mët tr÷íng. 2. dim Z = 1. (Do måi i¶an nguy¶n tè cõa v nh c¡c sè nguy¶n Z câ d¤ng pZ vîi p l  sè nguy¶n tè còng vîi i¶an 0. Hìn núa, måi i¶an pZ vîi p nguy¶n tè l  i¶an cüc ¤i. Tø â suy ra dim Z = 1). 3. Tø d¢y gi£m c¡c i¶an nguy¶n tè 0 ⊂ (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ... ⊂ (x1 , ..., xn ) suy ra dimK[x1, x2, ..., xn] ≥ n. V  ng÷íi ta công chùng minh ÷ñc ¯ng thùc óng, câ ngh¾a l  dimK[x1, x2, ..., xn] = n. 4. X²t v nh a thùc væ h¤n bi¸n R = K[x1, x2, ..., xn, ...]. Ta câ dimR = ∞, v¼ câ d¢y væ h¤n c¡c i¶an nguy¶n tè 0 ⊂ (x1 ) $ (x1 , x2 ) $ ... $ (x1 , ..., xn ) $ ... 10 công ch½nh l  v nh khæng Noether. 1.3.3. ành ngh¾a. Tªp con Supp M = {p ∈ SpecR|Mp 6= 0} cõa Spec R ÷ñc gåi l  gi¡ cõa mæun M . Vîi méi x ∈ M ta k½ hi»u AnnR(x) = {a ∈ R|ax = 0}; AnnRM = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M }. Ta câ AnnR(x) v  AnnR(M ) (ho°c Ann(x) v  Ann(M )) l  nhúng i¶an cõa M . Ann(M ) ÷ñc gåi l  linh hâa tû cõa mæun M . Hìn núa, n¸u M l  R-mæun húu h¤n sinh th¼ SuppM = V (AnnR(M )) = {p ∈ SpecR|p ⊇ AnnR(M )}. 1.3.4. ành ngh¾a. Cho R l  v nh giao ho¡n, câ ìn và v  M l  R-mæun. I¶an nguy¶n tè p cõa R ÷ñc gåi l  mët i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M n¸u tçn t¤i 0 6= x ∈ M sao cho p = AnnR (x) = {r ∈ R|rx = 0} Tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa M ÷ñc k½ hi»u l  AssR(M ) hay AssM. R 1.4. H» tham sè, sè bëi 1.4.1. ành ngh¾a. Gi£ sû (R, m) l  mët v nh àa ph÷ìng, Noether. M l  R-mæun vîi dimM = d. H» c¡c ph¦n tû {x1, ..., xd} cõa m ÷ñc gåi l  mët h» tham sè cõa M n¸u ë d i `(M/(x1, ..., xd)M ) < ∞. V  khi â, i¶an q = (x1, ..., xd)R ÷ñc gåi l  i¶an tham sè. 1.4.2. Chó þ. H» tham sè cõa M luæn tçn t¤i. 1.4.3. M»nh ·.Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng, Noether v  x1, ..., xd l  mët h» tham sè cõa mæun M . Khi â dim(M/(x1, ..., xi)) = d − i, ∀1 ≤ i ≤ d. 11 1.4.4. V½ dö. Cho R l  mët v nh giao ho¡n, ta gåi R[[x]] l  tªp hñp c¡c chuéi h¼nh thùc. K½ hi»u ∞ X ai xi = a0 + a1 x + ... + an xn + ... i=0 trong â c¡c h» sè a0, a1, ..., an, ... ∈ R. Têng v  t½ch trong R[[x]] ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Cho ∞ ∞ ∞ X v  i ai x + i=0 X X i bi x = i=0 X ∞ i=0 ai x i (ai + bi )xi i=0  X ∞ i=0 i bi x trong â, vîi méi sè nguy¶n tè k ≥ 0 th¼  = ∞ X ck xk , i=0 ck = a0 bk + a1 bk−1 + ... + ak b0 . Khi â R[[x]] l  mët v nh giao ho¡n vîi ph¦n tû 0 l  0) v  ph¦n tû ìn và l  P∞ i i=0 0x (vi¸t t­t l  1 + 0x + 0x2 + ... + 0xn + ... v  ÷ñc gåi l  v nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc. Tø â ta công x¥y düng ÷ñc v nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc nhi·u bi¸n R[[x1, x2, ..., xn]]. X²t v nh c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc K[[x1, x2, ..., xn]], vîi K l  mët tr÷íng. ¥y l  v nh àa ph÷ìng vîi i¶an cüc ¤i duy nh§t l  (x1, x2, ..., xn). Ta xem K[[x1, x2, ..., xn]] l  mæun tr¶n ch½nh nâ vîi dimK[[x1, x2, ..., xn]] = n. Khi â {x1 , x2 , ..., xn } l  mët h» tham sè cõa K[[x1 , x2 , ..., xn ]]. 1.4.5. ành ngh¾a. Cho q l  i¶an tham sè cõa M , tùc l  i¶an sinh bði d ph¦n tû a1 , a2 , ..., ad ∈ m sao cho `(M/(a1 , a2 , ..., ad )M ) < ∞. Khi â, 12 h m Hilbert-Samuel Hq,M (n) = `(M/qnM ), n ∈ Z trð th nh mët a thùc, k½ hi»u Pq,M (n) vîi n  0. a thùc n y công ÷ñc gåi l  a thùc HilbertSamuel. Ta câ deg Pq,M (n) = dimM = d. Hìn núa     d+n d+n−1 Pq,M (n) = e0 (q, M +e1 (q, M +...+(−1)d ed (q, M ) (∗) d d−1 trong â e0(q, M ), e1(q, M ), ..., ed(q, M ) l  nhúng sè nguy¶n v  e0(q, M ) > 0. Gåi a0 l  h» sè cao nh§t cõa a thùc Pq,M (n) th¼ e0(q, M ) = a0d!. 1.4.6. ành ngh¾a (i) Sè tü nhi¶n e0(q, M ) trong khai triºn (*) cõa Pq,M (n) ÷ñc gåi l  sè bëi cõa M èi vîi i¶an tham sè q. °c bi»t khi q = m th¼ ta k½ hi»u sè bëi e(q, M ) = e0(q, M ) = e(M ) v  gåi nâ l  sè bëi cõa mæun M . (ii) ei(q, M ) ÷ñc gåi l  c¡c h» sè Hilbert cõa M èi vîi I . 1.4.7. V½ dö. Sè bëi cõa v nh a thùc R = k[x1, x2, ..., xn] l  1. Chùng minh. Ta câ grm (R) = R/ m ⊕ m/m2 ⊕ m2 /m3 ⊕ .... Suy ra R = k ⊕ R1 ⊕ ... ⊕ Rn ⊕ ... Ta câ h m Hilbert-Samuel HR (t) = `(k) + `(R1 ) + ... + `(Rt ) = 1 + sè ìn thùc bªc 1 + ... + sè ìn thùc bªc t. 13 hay HR (n) = sè ìn thùc bªc ≤ n   d+n (d + n)! = = n n!d! (n + 1)...(n + d) d! d n = + c¡c sè h¤ng d! = Ta l¤i câ cæng thùc HR (n) = e(R) d n + c¡c d! bªc th§p hìn. sè h¤ng bªc th§p hìn. Do â e(R) = 1. 1.5. D¢y ch½nh quy 1.5.1. ành ngh¾a. Cho M l  R-mæun. (i) Ph¦n tû x ∈ R, x 6= 0 ÷ñc gåi l  ÷îc cõa 0 èi vîi M n¸u tçn t¤i ph¦n tû m ∈ M, m 6= 0 sao cho xm = 0. (ii) Ph¦n tû x ∈ R ÷ñc gåi l  M -ch½nh quy n¸u M 6= xM v  x khæng l  ÷îc cõa 0 èi vîi M . (iii) Mët d¢y {x1, ..., xt} c¡c ph¦n tû cõa R ÷ñc gåi l  d¢y ch½nh quy cõa M hay M -d¢y n¸u M/(x1 , ..., xt )M 6= 0 v  xi khæng l  ÷îc cõa 0 cõa mæun M/(x1 , ..., xi−1 )M, ∀ i = 1, 2, ..., t. 1.5.2. ành ngh¾a. Cho I ⊆ R l  mët i¶an. N¸u x1, ..., xt ∈ I v  l  d¢y ch½nh quy th¼ d¢y {x1, ..., xt} ÷ñc gåi l  d¢y M -ch½nh quy cüc ¤i n¸u khæng tçn t¤i y ∈ I º {x1, ..., xt, y} l  mët d¢y M -ch½nh quy v  t ÷ñc gåi l  ë d i cõa d¢y tr¶n. 1.5.3. M»nh ·. Cho R l  v nh àa ph÷ìng v  I ⊆ R l  mët i¶an. Khi â ë d i cõa hai d¢y M -ch½nh quy cüc ¤i n¬m trong i¶an I luæn nh÷ nhau. 14 Tø M»nh · 1.5.3 ta câ ành ngh¾a sau: 1.5.4. ành ngh¾a. Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng, Noether. Khi â, ë d i cõa d¢y ch½nh quy cüc ¤i trong m k½ hi»u l  depth(m, M ) hay depth(M ) ÷ñc gåi l  ë s¥u cõa mæun M . 1.5.5. M»nh ·. Cho M l  R-mæun. Khi â depth(M ) ≤ dimR/p, ∀p ∈ AssR M. 1.5.6. H» qu£. Cho M l  R-mæun. Ta câ depthM ≤ dimM. Chùng minh. Ta câ dimM = max{dimR/p| p ∈ AssM }. Do â theo M»nh · 1.5.5 ta câ depthM ≤ dimM. 1.5.7. ành ngh¾a. Cho M l  R-mæun. Ph¦n tû a ∈ R ÷ñc gåi l  ph¦n tû låc ch½nh quy cõa M n¸u `(0 :M a) < ∞ 1.5.8. Chó þ (i) Ph¦n tû x ∈ M l  M -ch½nh quy khi v  ch¿ khi x 6∈ p, ∀p ∈ AssM . (ii) Tçn t¤i ph¦n tû M -ch½nh quy khi v  ch¿ khi m 6∈ AssRM . (iii) a ∈ R l  ph¦n tû låc ch½nh quy cõa M khi v  ch¿ khi a 6∈ p, ∀p ∈ AssM \ m. (iv) Tø (i) v  (iii) ta th§y mët ph¦n tû l  ph¦n tû ch½nh quy th¼ nâ l  ph¦n tû låc ch½nh quy. 1.6. Mæun Cohen-Macaulay, mæun Cohen-Macaulay suy rëng 15 C¡c kh¡i ni»m mæun Cohen-Macaulay, Cohen-Macaulay suy rëng khði ¦u ÷ñc ành ngh¾a cho v nh àa ph÷ìng, sau â ÷ñc ành ngh¾a cho mæun ph¥n bªc. 1.6.1. ành ngh¾a. R-mæun M ÷ñc gåi l  mæun Cohen-Macaulay n¸u depthM = dim M . N¸u R l  mæun Cohen-Macaulay tr¶n ch½nh nâ th¼ ta nâi r¬ng R l  v nh Cohen-Macaulay. 1.6.2. M»nh ·. Cho M l  mët R-mæun Cohen-Macaulay, khi â ta câ (i) dim R/p = d, ∀p ∈ AssR(M ); (ii) N¸u (x1, ..., xi) l  d¢y ch½nh quy cõa M th¼ M/(x1, ..., xi)M công l  mæun Cohen-Macaulay; (iii) Mp l  mæun Cohen-Macaulay vîi måi p ∈ SuppM . 1.6.3. H» qu£. Måi h» tham sè cõa mët mæun Cohen-Macaulay ·u l  d¢y ch½nh quy. 1.6.4. V½ dö (i) X²t v nh a thùc R = K[x1, ..., xn] hay câ thº xem R nh÷ l  R-mæun. Ta câ {x1, ..., xn} l  mët d¢y ch½nh quy cõa K[x1, ..., xn]. Hìn núa ta ¢ bi¸t dimK[x1, ..., xn] = n v  depth M ≤ dimM . Suy ra {x1, ..., xn} l  d¢y ch½nh quy cüc ¤i. Do â depthR = n = dimR. V¼ vªy K[x1, ..., xn] l  v nh Cohen-Macaulay. (ii) Cho M= k[x, y, z] (x) ∩ (x2 , y 2 , z) l  k[x, y, z]-mæun. Ta câ AssM = {(x), (x, y, z)}. Suy ra m = (x, y, z) ∈ AssM . Do â theo Chó þ 1.5.8 (ii) th¼ M khæng câ ph¦n tû ch½nh quy. Suy ra depthM = 0. M°t kh¡c ta câ dimM = max{dimR/p | p ∈ AssM } = 2. V¼ vªy M khæng 16 ph£i l  mæun Cohen-Macaulay. Cho (R, m) l  v nh àa ph÷ìng Noether. M l  R-mæun húu h¤n sinh vîi dimM = d. Gåi x = (x1, ..., xd) l  mët h» tham sè cõa M , q = xR = (x1 , ..., xd )R l  mët i¶an tham sè cõa M . Ta luæn câ e0 (x, M ) = e(q, M ) ≤ `(M/qM ). X²t hi»u sè IM (q) = `(M/qM ) − e(q, M ) ≥ 0. °t I(M ) = SuppIM (q), vîi q l  i¶an tham sè. Khi â ta câ m»nh · sau: 1.6.5. M»nh ·. C¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng (i) M l  mæun Cohen-Macaulay; (ii) Tçn t¤i mët h» tham sè x = (x1, ..., xd) cõa M º IM (x) = 0; (iii) Vîi måi h» tham sè x = (x1, ..., xd) cõa M th¼ IM (x) = 0; (iv) I(M ) = 0. Chó þ: Tçn t¤i nhúng mæun M m  I(M ) = ∞. 1.6.6. ành ngh¾a. M ÷ñc gåi l  mæun Cohen-Macaulay suy rëng n¸u I(M ) < ∞. 1.6.7. M»nh ·. M l  mæun Cohen-Macaulay suy rëng khi v  ch¿ khi i (M )) < ∞, ∀i 6= d, vîi d = dimM . `(Hm 1.6.8. V½ dö. Måi mæun câ chi·u b¬ng 1 l  mæun Cohen-Macaulay suy rëng. Chùng minh. Do dimM = 1 n¶n theo M»nh · 1.6.7 ta ch¿ c¦n chùng minh 0 (M )) < ∞. i·u n y luæn óng. `(Hm 1.7. Mæun èi çng i·u àa ph÷ìng Kh¡i ni»m èi çng i·u àa ph÷ìng ÷ñc ÷a ra bði Grothendieck. 17 Trong möc n y ta k½ hi»u R l  v nh giao ho¡n àa ph÷ìng Noether, I l  i¶an cõa R v  M l  R-mæun. Ta câ 0 :M I ⊆ 0 :M I 2 ⊆ ... ⊆ 0 :M I n ⊆ ... l  d¢y c¡c mæun con lçng nhau cõa M n¶n n∈N(0 :M I n) công l  mæun con cõa M v  k½ hi»u l  ΓI (M ). 1.7.1. ành ngh¾a. Mæun ΓI (M ) x¡c ành ð tr¶n ÷ñc gåi l  mæun con I -xo­n cõa M . X²t çng c§u R-mæun f : M −→ N trong MR. Khi â S f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). K½ hi»u ΓI (f ) hay f ∗ l  ¡nh x¤ h¤n ch¸ cõa f tr¶n ΓI (M ). ΓI (f ) ΓI (M ) −→ ΓI (N ). Γ (f ) f vîi ΓI = ΓI (•) : (M −→ N ) −→ (ΓI (M ) −→ ΓI (N )). Ta câ h m tû ΓI (•) l  h m tû hi»p bi¸n, cëng t½nh (R-tuy¸n t½nh), khîp tr¡i. 1.7.2. ành ngh¾a. H m tû ΓI = ΓI (•) x¡c ành ð tr¶n ÷ñc gåi l  h m tû I -xo­n. 1.7.3. ành ngh¾a. X²t gi£i nëi x¤ cõa mæun M I • d0 Khi â ta câ d¢y phùc ΓI (E • ) : 0 −→ ΓI (M ) −→ ΓI 1 d1 ΓI (d0 ) 0 (E ) −→ i di E : 0 −→ M −→ E −→ E −→ ... −→ E −→ E i+1 −→ ... 0 ΓI ΓI (d1 ) 1 (E ) −→ ΓI (di−1 ) ... −→ ΓI ΓI (di ) i (E ) −→ ΓI (E i+1 ) −→ ... Ta câ H i(ΓI (E ◦)) = Ker ΓI (di)/Im ΓI (di−1) ÷ñc gåi l  mæun èi çng i·u àa ph÷ìng thù i cõa M vîi gi¡ I . 18 1.7.4. ành ngh¾a. H m tû d¨n xu§t ph£i thù i cõa h m tû I -xo­n ΓI ÷ñc gåi l  h m tû èi çng i·u àa ph÷ìng vîi gi¡ l  I v  k½ hi»u l  HIi (−). 1.7.5. M»nh ·. Gi£ sû x1, ..., xr ∈ I l  d¢y M -ch½nh quy. Khi â HIi (M ) = 0, ∀i < r. 1.7.6. H» qu£. HIi (M ) = 0, ∀i < depth(M ). 1.7.7. ành lþ. (ành lþ tri»t ti¶u cõa Grothendieck) Cho I l  i¶an cõa v nh giao ho¡n Noether R v  M l  R-mæun húu h¤n sinh chi·u d. Khi â HIi (M ) = 0, ∀i > d. 1.7.8. ành lþ. (ành lþ d¢y khîp d i). Cho d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun f g 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0 Khi â ta s³ câ d¢y khîp d i H 0 (f ) H 0 (g) δ0 H 1 (f ) H 1 (g) δ n−1 H n (f ) H n (g) I I I I 0 −→ HI0 (N ) −→ HI0 (M ) −→ HI0 (P ) −→ HI1 (N ) −→ HI1 (M ) −→ δ1 I I HI1 (P ) −→ HI2 (N ) −→ ... −→ HIn−1 (P ) −→ HIn (N ) −→ HIn (M ) −→ HIn (P ) −→ .... trong â δ0, δ1, ... l  c¡c çng c§u nèi. 1.8. V nh Gorenstein 1.8.1. ành ngh¾a. Cho M l  mët R-mæun chi·u nëi x¤ cõa M , k½ hi»u injdimRM ho°c id(M ) l  sè nguy¶n nhä nh§t sao cho tçn t¤i mët gi£i nëi x¤ cõa M nh÷ sau 0 −→ M −→ E 0 −→ E 1 −→ ... −→ E n −→ 0. N¸u nh÷ khæng tçn t¤i sè nguy¶n n o nh÷ th¸ th¼ injdimRM = ∞. 1.8.2. ành ngh¾a. Gi£ sû R l  v nh àa ph÷ìng Noether. R ÷ñc gåi l  v nh Gorenstein n¸u injdimRM < ∞. 19 1.8.3. V½ dö. Cho p l  mët sè nguy¶n tè. Ta câ R = Zp l  mët tr÷íng, do â måi Zp-mæun ·u nëi x¤. Khi â ta câ gi£i nëi x¤ cõa R nh÷ sau i 0 −→ Zp −→ Zp −→ 0. (trong â i l  çng c§u tü nhi¶n). Ta suy ra injdimZpZp = 0 < ∞. Do â R = Zp l  v nh Gorenstein. 20 CH×ÌNG 2. CHŸ SÈ CHNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD V€ BŠC LÔY LINH Trong ch÷ìng n y, chóng tæi s³ t¼m hiºu v· ch¿ sè ch½nh quy cõa mæun ph¥n bªc li¶n k¸t theo bªc mð rëng, bªc lôy linh. V  tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· ch°n tr¶n cho c¡c h» sè Hilbert. 2.1. Ch°n tr¶n cho ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa mæun ph¥n bªc li¶n k¸t. Gi£ sû M(R) l  lîp c¡c R-mæun húu h¤n sinh. Bªc mð rëng tr¶n M(R) èi vîi i¶an I l  mët h m sè D(I, .) tr¶n M(R) sao cho c¡c t½nh ch§t sau ¥y ùng vîi måi M ∈ M(R) ÷ñc thäa m¢n: (i) D(I, M ) = D(I, M/L) + `(L), vîi L l  mæun con cüc ¤i cõa M câ ë d i húu h¤n. (ii) D(I, M ) ≥ D(I, M/xM ) vîi x l  ph¦n tû têng qu¡t cõa M èi vîi I . (iii) D(I, M ) = e(I, M ) n¸u M l  R-mæun Cohen-Macaulay, trong â e(I, M ) l  sè bëi cõa M èi vîi I . 2.1.1. Nhªn x²t. (i) Bªc mð rëng D(I, M ) thäa m¢n D(I, M ) ≥ e(I, M ), trong â ¯ng thùc óng n¸u v  ch¿ n¸u M l  mæun Cohen-Macaulay. (ii) Bªc mð rëng D(I, M ) trong ành ngh¾a tr¶n l  sü têng qu¡t hâa kh¡i ni»m bªc mð rëng D(M ) := D(m, M ) trong [2]. 2.1.2. ành ngh¾a. Cho I l  i¶an cõa v nh giao ho¡n R v  M l  Rmæun. Ta x¥y düng c¡c v nh v  mæun ph¥n bªc t÷ìng ùng vîi I nh÷ sau L n n+1 . (i) R∗ = Gr (R) := R/I ⊕ I/I 2 ⊕ ... = ∞ n=0 I /I I