Tài liệu Cấu trúc của nhóm các phép biến đổi đẳng cự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Bùi Thị Khánh Linh CẤU TRÚC CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Bùi Thị Khánh Linh CẤU TRÚC CỦA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2017 Mục lục 1 Các phép biến đổi Euclid 2 1.1 Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Phép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ánh xạ và các phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Sử dụng phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến . 15 1.3 1.4 2 Đại số của các phép đẳng cự 2.1 28 Các tính chất đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Sự hợp thành của các phép biến hình . . . . . . 30 2.1.3 Các phép biến hình bằng nhau . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.5 Kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 Bùi Thị Khánh Linh Nhóm các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Nhóm các phép đẳng cự . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Phép đẳng cự thuận và ngược . . . . . . . . . . 36 Tích của các phép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Tích của các phép đẳng cự thuận 49 3.1 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Điểm cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 Tích của hai phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay . . . . . 54 3.5 Tích của hai phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Các từ viết tắt - SAS: cạnh - góc - cạnh. - SSS: cạnh - cạnh - cạnh. 1 Chương 1 Các phép biến đổi Euclid 1.1 Bài toán mở đầu Bài toán cắt bánh: Hai đứa trẻ muốn chia một mẩu của cái bánh có một hình không thông thường, như biểu diễn trong hình dưới, với BCDE là một hình vuông, đường cong AE là một vòng cung tâm C, và các điểm A, B và E thẳng hàng. Là những đứa trẻ, chúng không muốn nhận những mẩu bánh không giống nhau. Nói cách khác, chúng muốn cắt bánh thành 2 mẩu bằng nhau. Điều này có thể làm như thế nào? 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Nếu chiếc bánh bao gồm các không gian vuông trên BCDE, sao cho nó là hình có biểu diễn như hình bên phải, công việc đã trở nên rất đơn giản. Cái bánh có thể được cắt xuống giữa dọc theo đường l. Bánh trong hình này có tính phản xạ đối xứng qua l : nếu bạn giữ một cái gương thẳng đứng với trang sách với một cạnh của gương dọc theo l, sự phản xạ của một nửa hình sẽ trùng khớp với nửa kia (loại đối xứng này sẽ được định nghĩa chính xác hơn sau này). Khi chúng ta muốn chia những cái bánh thành các mẩu bằng nhau, chúng ta có xu hướng tìm kiếm sự phản xạ đối xứng và thường bỏ qua các khả năng khác. Điều này có thể lí giải tại sao nhiều người cố gắng chia bánh bằng cách cắt nó thành hai mẩu và sau đó chia mỗi mẩu bánh dọc theo 1 trục có sự phản xạ đối xứng, như trong hình phía trên. Mặc dầu nó có thể được cắt thành hai mẩu, mỗi một mẩu có sự phản xạ đối xứng, nhưng bản thân cái bánh lại không có sự phản xạ đối xứng. Điều này không có nghĩa rằng không có giải pháp cho bài 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh toán ban đầu. 1 của 1 cái bánh tròn, biểu diễn như hình 4 dưới. Một vòng quay quanh tâm C một góc 450 biểu diễn cách cắt Cái bánh có lẽ đã là một chiếc bánh thành 2 phần bằng nhau. 1.2 1.2.1 Định nghĩa Góc định hướng Bài toán cái bánh đã được giải quyết bằng cách sử dụng một phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 450 . Một phép quay theo ngược chiều kim đồng hồ cũng đã dẫn đến một cách giải quyết. Cách thông thường để phân biệt phép quay cùng chiều kim đồng hồ và phép quay ngược chiều kim đồng hồ là sử dụng góc định hướng hoặc góc làm dấu. Các góc đó được đo theo hướng ngược chiều kim đồng hồ được xem là dương, trong khi đó các góc được đo theo hướng chiều kim đồng hồ là âm, như biểu diễn trong hình dưới. Đối với một góc định hướng, kí 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh −→ −−→ hiệu ∠ABC được hiểu như là một góc từ tia BA đến tia BC. 1.2.2 Phép quay Cho O là một điểm và α là một góc định hướng. Phép quay quanh O qua góc α, được kí hiệu bởi RO,α , mỗi một ánh xạ điểm P trong phẳng, với P 6= O, thành điểm P’ khác, trong đó: |OP 0 | = |OP | và ∠P OP 0 = α. Điểm O, điểm mà được gọi là tâm phép quay, được ánh xạ lên chính nó. Vì vậy, nó không di động, nó được gọi là một điểm cố định hoặc một đường thẳng bất biến dưới RO,α . 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2.3 Bùi Thị Khánh Linh Phép đối xứng Cho l là một đường thẳng trong mặt phẳng. Phép đối xứng qua l, được kí hiệu là Rl ánh xạ một điểm P không nằm trên l đến điểm P’ sao cho l là đường trung trực của PP’. Dưới phép đối xứng Rl , mọi điểm trên l được ánh xạ lên chính nó, vì vậy mọi điểm trên l là một điểm cố định. 1.2.4 Phép tịnh tiến Cho AB là một đoạn thẳng có hướng. Một phép tịnh tiến bởi AB, được kí hiệu bởi TAB , ánh xạ mỗi điểm P thành điểm P’ sao cho đoạn thẳng có hướng P P 0 = AB, song song với TAB , và cùng hướng với TAB . 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3 1.3.1 Bùi Thị Khánh Linh Ánh xạ và các phép biến hình Định nghĩa ÁNH XẠ. Chúng ta sử dụng từ ánh xạ hoặc hàm số để mô tả một sự kết hợp giữa hai tập X và Y có tính chất rằng mỗi điểm của X được liên kết với một và chỉ một điểm của Y. Nếu một điểm X của X được liên kết với điểm Y của Y, chúng ta nói rằng Y là ảnh của X dưới ánh xạ và điểm X đó là tạo ảnh của Y. Có 2 điều nên được đề cập đến trong mối quan hệ giữa ảnh và tạo ảnh. Đầu tiên là vì định nghĩa của một ánh xạ forbids, rằng một điểm X của X có nhiều hơn một ảnh trong Y. Tuy nhiên, hoàn toàn có thể chấp nhận rằng một điểm Y của Y có nhiều hơn một tạo ảnh trong X - có nhiều điểm khác nhau của X có thể có ảnh giống nhau trong Y. Nói cách khác, chúng ta nói rằng ánh xạ đó có thể là nhiều - một. Thuật ngữ như vậy, mặc dù là ít phổ biến nhưng để thuận tiện nó là cần thiết bởi vì định nghĩa ánh xạ cho phép chúng ta nói như vậy. Một ánh xạ của một tập X đến một tập Y được gọi là 1-1 hoặc đơn 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh ánh nếu không có điểm nào của Y có nhiều hơn một tạo ảnh trong X hoặc tương đương, nếu các điểm khác nhau của X có ảnh khác nhau trong Y. Điều thứ hai cần chú ý là vì mặc dù định nghĩa của một ánh xạ từ X đến Y nói rằng mọi điểm của X phải có một ảnh trong Y, nó không nói rằng mọi điểm của Y phải có một tạo ảnh trong X. Khi mọi điểm của Y có một tạo ảnh trong X chúng ta nói rằng ánh xạ đó là ánh xạ lên Y hoặc rằng nó là một toàn ánh. Khi X và Y là các tập giống nhau, đôi khi nó xuất hiện một điểm là ảnh của tất cả chúng. Điểm như vậy được gọi là một điểm cố định hoặc một điểm bất biến của ánh xạ. Nếu tất cả các điểm trong X là các điểm cố định, ánh xạ được gọi là ánh xạ đồng nhất, hoặc đơn giản là đồng nhất, và nó được kí hiệu bởi I. PHÉP BIẾN HÌNH. Một ánh xạ vừa 1-1 cả hai vế và lên được gọi là một song ánh và nếu X và Y là các tập giống nhau, thì song ánh được gọi là một phép biến hình. Nói cách khác, khi chúng ta sử dụng từ phép biến hình chúng ta hiểu rằng một ánh xạ với các tính chất sau: 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Ánh xạ từ một tập đến một tập giống nó. Ánh xạ 1-1. Ánh xạ lên. Dễ dàng thấy rằng phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến có cả 3 tính chất và vì vậy tất cả 3 phép đó là các phép biến hình. PHÉP BIẾN HÌNH NGƯỢC. Ngược của một ánh xạ T từ X đến Y là một ánh xạ S khác từ Y đến X sao cho đối với mọi điểm x trong X điểm T(x) được ánh xạ trở lại x bởi S. Nói cách khác, nếu T(x) = y thì S(y) = x. Một ánh xạ đó không là 1-1 có thể không có nghịch đảo. Tuy nhiên trong hình học, một phép biến hình phải là 1-1 và lên, và vì vậy mọi phép biến hình tự động có một phép ngược (phép đảo ngược) và ánh xạ ngược bản thân nó là phép biến hình. Có 3 ánh xạ cơ bản: phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến. Đơn giản nhìn thấy rằng chúng là các phép biến hình có phép đảo ngược là các phép biến hình kiểu giống chúng. Định lý 1.1. (Phép biến hình đảo ngược) (1) Ngược của phép quay RO,α là phép quay RO,−α . (2) Ngược của phép đối xứng Rl là phép đối xứng Rl . (3) Ngược của phép tịnh tiến TAB là phép tịnh tiến TBA . 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3.2 Bùi Thị Khánh Linh Các phép đẳng cự PHÉP ĐẲNG CỰ. Một phép biến hình bảo tồn khoảng cách được gọi là một phép đẳng cự. Định lý 1.2. Phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến là các phép đẳng cự. Chứng minh. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng một phép quay RO,α đúng là một phép đẳng cự (chứng minh rằng phép đối xứng, phép tịnh tiến cũng là các phép đẳng cự là tương tự). Xét hình trên, là 1 trường hợp điển hình. Vì ∠P OP 0 = α = ∠QOQ0 . Chúng ta phải có ∠P OQ = α = ∠QOP 0 = ∠P 0 OQ0 . Vì OP = OP 0 và OQ = OQ0 , khi đó theo định lí SAS, chúng ta có OP Q = OP 0 Q0 , 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh vì vậy P Q = P 0 Q0 . TÍCH CỦA CÁC PHÉP ĐẲNG CỰ. Điều gì xảy ra nếu một phép đẳng cự T được đặt vào trong phẳng và theo sau bởi một phép đẳng cự S khác? Khi một phép biến hình T được theo sau bởi phép biến hình S khác, tổ hợp kết quả được gọi là tích của hai phép biến hình và được viết S ◦ T . Chú ý rằng phép biến hình đầu tiên ở bên phải, trong khi phép biến hình thứ hai ở bên trái. (Đây là kí hiệu quy ước trong hình học. Nó là một quy ước chung trong nguyên văn Đại số để viết phép biến hình đầu tiên ở bên trái.) Giả sử rằng chúng ta bắt đầu với các điểm P, Q tại khoảng cách d từ mỗi điểm. Khi T được đặt vào, chúng được ánh xạ thành P’, Q’ và dist(P’, Q’) = dist(P, Q) = d. Khi S được đặt vào P’, Q’, chúng được ánh xạ thành P”, Q’ ’ và khoảng cách được bảo toàn, nghĩa là, S ◦ T bản thân nó là một phép đẳng cự. Vì vậy chúng ta có thể tạo ra các phép đẳng cự mới bằng tích của các phép đẳng cự đã biết, nó dường như là một sự thay thế không có giới hạn của các phép đẳng cự khác nhau. Ví dụ, chúng ta có thể tạo ra một phép đẳng cự mới bằng cách thực hiện một phép quay đầu tiên, sau đó đối xứng qua một vài đường thẳng, sau đó đối xứng qua đường thẳng khác, sau đó tịnh tiến. Sau này chúng ta thấy rằng chúng ta thực sự không thể nhận quá nhiều cái mới và chính xác, chỉ có 4 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh loại phép đẳng cự trong phẳng. Thêm vào phép quay, phép đối xứng, phép tịnh tiến, loại khác chỉ là một phép đối xứng lướt. Một phép đối xứng lướt Gl,AB đơn giản là một phép tịnh tiến TAB −→ được theo sau bởi một phép đối xứng Rl qua một đường thẳng l//AB. Chúng ta sẽ chứng minh rằng đây chỉ là một phép đẳng cự thêm sau này. Rõ ràng rằng tất cả các phép đẳng cự có đảo ngược và bản thân chúng cũng phải là các phép đẳng cự. Khá không rõ ràng để khẳng định rằng một phép đẳng cự biến đường thẳng thành đường thẳng. Định lý 1.3. (Các phép đẳng cự bảo toàn đường thẳng) (1) Cho P, Q và R là 3 điểm và cho P’, Q’ và R’ là ảnh của chúng dưới một phép đẳng cự. Các điểm P, Q và R là thẳng hàng với Q nằm giữa P và R, nếu và chỉ nếu các điểm P’, Q’, R’ là thẳng hàng, với Q’ nằm giữa P’ và R’. (2) Cho l là một đường thẳng và cho l’ là ảnh của l dưới một phép đẳng cự. Khi đó l’ là một đường thẳng. 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Chứng minh. Ở đây chúng ta viết |AB| đối với dist(A, B ). (1) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu Q nằm giữa P và R thì Q’ phải nằm giữa P’ và R’ (chứng minh phần đảo có thể thu được bằng cách hoán đổi P, Q và R với P’, Q’ và R’ ). Nếu Q là nằm giữa P và R thì |P Q| + |QR| = |P R|. Vì một phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách, chúng ta phải có |P 0 Q0 | = |P Q| , |Q0 R0 | = |QR| , |P 0 R0 | = |P R|. Khi đó: |P 0 Q0 | + |Q0 R0 | = |P 0 R0 |, và bất đẳng thức tam giác chỉ ra rằng P’, Q’ và R’ thẳng hàng với Q’ nằm giữa P’ và R’. (2) Cho P và Q là hai điểm trên l, cho P’ và Q’ là ảnh của chúng dưới một phép đẳng cự. Cho m là đường thẳng đi qua P’ và Q’. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng m là ảnh của l dưới một phép đẳng cự. Chúng ta phải kiểm tra 2 điều: (a) Mọi điểm R trên l có ảnh của nó R’ trên m. (b) Mọi điểm S’ trên m có tạo ảnh của nó S trên l. Điều tiếp theo từ mệnh đề (1) ở trên phát biểu rằng nếu R là một điểm trên l khác P hoặc Q thì P’, Q’ và R’ phải thẳng hàng, vì vậy 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh R’ là một điểm trên m. Ngược lại, nếu S’ trên m thì P’, Q’ và S’ phải thẳng hàng, và một lần nữa điều đó đến từ phát biểu (1) rằng P, Q và S trên l. Định lí tiếp theo nói với chúng ta rằng một phép đẳng cự bảo toàn hình dạng và kích thước của các hình hình học. Định lý 1.4. Dưới một phép đẳng cự. (1) Ảnh của một tam giác là một tam giác bằng nó. (2) Ảnh của một góc là một góc bằng nó. (3) Ảnh của một đa giác là một đa giác bằng nó. (4) Ảnh của một đường tròn là một đường tròn bằng nó. Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề (1) và xem chứng minh các mệnh đề còn lại như bài tập. Cho P, Q và R là các đỉnh của một tam giác. Điều tiếp theo đến từ định lí 1.3 rằng ảnh của chúng P’, Q’ và R’ là các đỉnh của một tam giác và các cạnh P’Q’, Q’R’ và R’P’ là ảnh của các cạnh PQ, QR và RP. Vì phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách, bây giờ tính bằng nhau đến từ tính chất bằng nhau của SSS. Nhắc lại rằng khái niệm bằng nhau được định nghĩa theo các cách khác nhau đối với các hình khác nhau. Ví dụ, 2 tam giác bằng nhau nếu 3 góc và 3 cạnh tương ứng của một tam giác có cùng độ lớn như 3 góc và 3 cạnh tương ứng của một tam giác khác, trong khi hai đường tròn được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng bán kính. Định lí 1.4 chỉ ra rằng khái niệm của một phép đẳng cự bao trùm và tổng quát hơn khái niệm bằng nhau. 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4 Bùi Thị Khánh Linh Sử dụng phép quay, phép đối xứng và phép tịnh tiến Ví dụ 1.4.1. Cắt mỗi hình dưới đây thành hai mẩu bằng nhau, sử dụng một lần cắt duy nhất. Lời giải. Sau khi cắt chúng ta phải kết thúc với hai mẩu bằng nhau. Điều này nghĩa là một trong các mẩu phải đạt được từ mẩu kia bằng một phép đẳng cự - hoặc một phép quay, một phép đối xứng, một phép tịnh tiến hoặc một vài tổ hợp. Một hướng thâm nhập bài toán là sử dụng phương pháp "tạo vết và khớp": vết của hình trên giấy vẽ và đặt vết của hình vẽ trên một bản gốc ở các vị trí khác nhau cho đến khi hai hình trùng khớp tạo lập đường bao của hai hình bằng nhau (tương tự như đã thực hiện với bài toán cắt bánh). Khi điều này được hoàn thành, bạn có thể thấy rằng lời giải đối với đa giác ABCDEFGH thu được bằng sử dụng phép quay RO,90o , với O là trung điểm cạnh EF. Lời giải đối với PQRSTUVW có thể thu được thông qua phép tịnh tiến TU M , trong đó M là trung điểm của TU. 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bùi Thị Khánh Linh Lưu ý điều thú vị rằng một sự thay đổi nhỏ trong bài toán có thể dẫn đến lời giải khác. Ví dụ, xét bài toán cắt đa giác trong hình bên phải thành hai nửa bằng nhau. Nó giống đa giác ABCDEFGH từ bài toán trước nhưng nó được giải quyết bởi một phép đối xứng lướt, không phải một phép quay. Vấn đề nan giải của vi dụ này có thể trở nên khá phức tạp và phương pháp "tạo vết và khớp" không phải luôn luôn là hướng để giải quyết. Ở đây là một ví dụ phức tạp hơn. Ví dụ 1.4.2. Cắt đa giác trong hình dưới thành 2 mẩu bằng nhau, sử dụng 1 lần cắt duy nhất. Miền bóng mờ là một cái lỗ và cắt qua lỗ vẫn tính như là một lần cắt. Lời giải. Một hướng để tiếp cận bài toán này là chia khối hình thành các hình vuông bằng nhau được gợi ý bởi hình dạng của cái lỗ như trong 16