Tài liệu Các phương pháp giải toán khối đa diện

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG XUÂN TOẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng – năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG XUÂN TOẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Lê Văn Dũng Đà Nẵng – Năm 2022 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận thành công như này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Lê Văn Dũng người đã tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình thực hiện và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận. Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa luận đúng thời hạn. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể các bạn sinh viên cùng lớp, gia đình đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu để tôi hoàn thiện khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý, bổ sung ý kiến từ phía thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Sinh viên Dương Xuân Toại DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU HS Học sinh THPT Trung học phổ thông SGK Sách giáo khoa ,     Góc giữa hai đường thẳng  và  ,      Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng     ,     Góc giữa mặt phẳng   và    d  O;   Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d  O;  P   Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  P  MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................ 3 1.1. Kiến thức hình học phẳng ...................................................................... 3 1.2. Kiến thức hình học không gian .............................................................. 4 1.3. Tọa độ trong không gian ........................................................................ 8 1.4. Thể tích khối chóp, lăng trụ ................................................................. 11 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN.................................. 13 2.1. Thể tích khối chóp ................................................................................ 13 2.2. Thể tích khối lăng trụ ........................................................................... 25 2.3. Khoảng cách - Góc ............................................................................... 32 2.4. Cực trị trong không gian...................................................................... 44 2.5. Tọa độ hóa – Toán thực tiễn ................................................................ 51 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 62 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong quá trình học và tìm hiểu môn Toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh lớp 11,12 rất e ngại học phần hình học không gian, vì ai cũng nghĩ nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì vậy nên có rất nhiều học sinh học yếu phần này. Trên thực tế, hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng vì nó không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán hình học không gian mà còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh…Thêm vào đó hình học không gian còn là một phần quan trọng trong môn Toán THPT và rất quan trọng trong nội dung thi THPT Quốc Gia của Bộ giáo dục. Nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng, khó khăn khi làm bài về phần này trong đề thi. Việc trang bị kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán về khối đa diện cho học sinh như thế nào để học sinh có kiến thức một cách hệ thống và kĩ năng tốt là vấn đề được nhiều giáo viên chú ý và quan tâm. Trong thực tế hiện nay, vì không có thời gian nên giáo viên không thể hướng dẫn tỉ mỉ học sinh trong giải toán, còn học sinh cũng đã biết áp dụng công thức, biết các bước thực hiện để giải bài toán, xong vẫn còn nhiều lúng túng, hạn chế. Chính vì vậy, qua quá trình được học cũng như là tìm hiểu tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các học sinh tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức khó nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh đó cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng. Từ lý do trên và là một giáo viên tương lai với mong muốn góp phần công sức nhỏ bé của mình trong việc tìm tòi và phân tích các phương pháp giải các dạng toán của khối đa diện. Từ đó tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “các phương pháp giải toán khối đa diện” làm đề tài cho khóa luận của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Qua chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 12 thêm một số giải pháp rèn luyện kỹ năng cơ bản, phương pháp tính của một số bài toán liên quan đến khối đa diện. Học sinh thông hiểu, vận dụng và trình bày bài toán đúng trình tự, 2 đúng logic, không mắc sai lầm khi giải toán. 3. Đối tượng nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu về phương pháp giải các bài toán về khối đa diện. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phân loại các phương pháp giải các bài toán về khối đa diện trong chương trình toán học trung học phổ thông đặc biệt là các học sinh lớp 12. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài, nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình SGK hình học 12, sách bài tập, sách tham khảo…Nghiên cứu các phương pháp giải các dạng bài toán về khối đa diện. 6. Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận được tôi trình bày trong hai chương. Ngoài ra khóa luận còn có: Lời cảm ơn, mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày cơ sở lí luận và một số kiến thức cơ bản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. Chương 2: Các phương pháp giải các dạng toán về khối đa diện cà các bài tập đi kèm. Được chia làm 5 mục: Mục 2.1, phương pháp giải và các bài toán về thể tích khối chóp. Mục 2.2, phương pháp giải và các bài toán về thể tích khối lăng trụ. Mục 2.3, phương pháp giải và các bài toán về khoảng cách và góc của khối đa diện. Mục 2.4, các bài toán về cực trị của khối đa diện. Mục 2.5, Là phương pháp tọa độ hóa và các bàn toán thực tiễn. 3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Kiến thức hình học phẳng 1.1.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông  Cho ABC vuông ở A ta có:  AB2 + AC2 = BC2 hay b2 + c2 = a2 (Định lý AH  BC ,AB=c, AC=b, BC=a, AH=h,BH=c’,CH=b’ Pytago)  AB2 = BH.BC hay c2 = a.c'; AC2 = CH.BC hay b2 = a.b'  AH2 = CH.BH hay h2 = b'.c'  AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h  1 1 1 1 1 1     hay AH 2 AB 2 AC 2 h2 c 2 b 2  Sin B   b c b c ;Cos B  ; tan B  ;cot B  a a c b   a.cos C  , c  a.sin C   a.cos B  b  a.sin B   c.cot C  , c  b.tan B   b.cot C  b  c.tan B 1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác thường a) Định lí hàm số cosin: a 2  b2  c 2  2bc.cos A a b c    2R sin A sin B sin C c) Công thức độ dài đường trung tuyến: b) Định lí hàm số sin: ma 2  b2  c2 a 2 c 2  a 2 b2 a 2  b2 c2  ; mb 2   ; mc 2   2 4 2 4 2 4 d) Định lí MENELAUS:  Cho tam giác ABC . Các điểm D , E , F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC , CA, AB . Khi đó D , E , F thằng hàng khi và chỉ khi FA DB EC . . 1 FB DC EA 1.1.3. Các công thức tính diện tích  Diện tích tam giác: S 1 1 abc a.ha  ab sin C   pr  2 2 4r p ( p  a )( p  b)( p  c) , ( p là nửa chu vi) 4 2 a 3 1 Đặc biệt: ABC vuông ở A: S  AB. AC ; ABC đều cạnh a : S  4 2  Diện tích hình vuông: S  a 2 (a là chiều dài một cạnh)  Diện tích hình chữ nhật: S  a.b (a,b là chiều dài, chiều rộng) 1  ( trong đó a,b là hai đường chéo) a.b  AB. AD.sin BAD 2   Diện tích hình bình hành: S  a.h  AB. AD.sin BAD  Diện tích hình thoi: S   Diện tích hình thang: S  1  a  b  .h 2  Diện tích xung quanh: S xq  tổng diện tích các mặt bên  Diện tích toàn phần: Stp  S xq  diện tích đáy Chú ý: Cần nắm chắc các tính chất của tam giác vuông, cân, đều, 4 điểm đặc biệt trong tam giác( trọng tâm, trực tâm, đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác). Trong tam giác đều thì bốn điếm đó trùng nhau. 1.2. Kiến thức hình học không gian 1.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng a) Định nghĩa: Một đường thẳng a và một mặt phẳng  P  được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. a ∥ ( P)  a  ( P)   d  ( P)  b) Cách chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:  d ∥ a  d ∥ ( P )  a  ( P)  c) Tính chất: Ứng dụng vào bài toán xác định giao tuyến hoặc chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian.  a ∥ ( P)  Định lí 1:  a  (Q )  d ∥ a  ( P )  (Q )  d   ( P) ∥ a  Định lí 2:  (Q) ∥ a  d ∥ a ( P)  (Q)  d  1.2.2. Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung: ( P)∥ (Q)  ( P)  (Q)   .  a, b  ( P )  b) Cách chứng minh hai mặt phẳng song song:  a  b  I  ( P) ∥ (Q ) .  a ∥ (Q ), b ∥ (Q)  c) Tính chất. 5 ( P ) ∥ (Q ) Tính chất 1:   a ∥ (Q )  a  ( P)  ( P ) ∥ (Q )  Tính chất 2: ( R)  ( P )  a  a ∥ b  ( R)  ( P)  b   Tính chất giao tuyến song song: - Nếu hai mặt phẳng  P  và  Q  chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với a và b . -  a   P  ; b   Q  ;  P    Q    Viết dạng mệnh đề:   ∥ a∥ b  a ∥ b  Tính chất để dựng thiết diện song song: - Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  , một mặt phẳng  Q  chứa a cắt  P  theo giao tuyến  thì  phải song song với a . - a ∥  P   Viết dưới dạng mệnh đề: a   Q   ∥ a   P    Q    1.2.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a) Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó: a  ( P)  a  c, c  ( P)  d  a, d  b  b) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:  a, b  ( P )  d  ( P )  a  b  I   c) Định lí :ba đường vuông góc. Nếu đường thẳng a có hình chiếu vuông góc xuống (P) là a’ đường thẳng b nằm trong (P) vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’. 1.2.4. Hai mặt phẳng vuông góc a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng   P),(Q)  900 900 . ( P)  (Q)  (  a  ( P) b) Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:   (Q)  ( P ) a  (Q) c) Tính chất: 6 ( P)  (Q )   T/c 1: ( P)  (Q)  d   a  (Q ) a  ( P ), a  d  ( P )  (Q )   T/c 2: A  ( P)   a  ( P) A  a  (Q)  ( P )  (Q )  a   T/c 3: ( P )  ( R )   a  ( R) (Q)  ( R)  1.2.5. Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  d (O;( P))  OH  OH  ( P) tại H.  Nếu ( P ) ∥ (Q )  d  ( P );(Q )   d  A;(Q )  (với A  ( P) )  Nếu a ∥ ( P )  d  a;( P )   d  A;( P )  (với A  a ) b) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  d  O;( )   OH  OH   tại H.  Nếu 1 ∥  2  d  1 ;  2   d  O;  2  ( với O  1 ) c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Trường hợp 1:Nếu a vuông góc với b. - Dựng mặt phẳng ( ) chứa a vuông góc với b tại B. Dựng BA  a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Trường hợp 2: Nếu a không vuông góc với b , a và b chéo nhau. Cách 1: - Dựng ( ) chứa a và song song với b .Chọn M trên b kẻ MM '  ( ) tại M’. Từ M’ dựng b '∥ b cắt a tại A.Từ A kẻ AB ∥ M ' M cắt b tại B. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b . 7 Cách 2: - Dựng ( )  a tại O, ( ) cắt b tại I. Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên ( ) . Trong ( ) kẻ OH  b .Từ H, kẻ c ∥ a , c  b   B . Từ B kẻ d ∥ OH , d  a   A . Đoạn AB là đoạn thẳng vuông góc chung của a và b. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cách 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng đó và song song với đường thẳng còn lại. Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt thẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách bé nhất so với các khoảng cách giữa hai điềm bất kì lần lượt thuộc hai đường thẳng ấy( độ dài đoạn vuông góc chung). 1.2.6. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng a và b Là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. b) Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) Là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó lên mp  P  Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mp  P  thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp  P  là 900 . c) Góc giữa hai mặt phẳng 8 Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. 1.3. Tọa độ trong không gian 1.3.1. Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một   điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.     2  2  2 Chú ý: i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 1.3.2. Tọa độ của điểm và vecto  Hệ tọa độ trong không gian gồm ba trục Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc, các đơn    vị tương ứng trên ba trục tọa độ lần lượt là: i  1; 0;0  , j   0;1; 0  , k   0;0;1 .         u  x; y ; z   u  xi  y j  z k  u   x; y; z   u  x 2  y 2  z 2  Cho 2 điểm A  x A ; y A ; z A  ; B  xB ; y B ; z B  ; C  xC ; yC ; zC  ; D  xD ; yD ; xD  khi đó thì:   AB   x B  x A ; y B  y A ; z B  z A   AB  BA  AB    yB  y A    z B  z A     Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC   xB  x A  2 2 2  x  xB y A  y B z a  z B   Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A ; ; 2 2   2  Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:  x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC  G A ; ;  3 3 3   9  Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:  x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  z D  G A ; ;  4 4 4   1.3.3. Tích hai vecto và ứng dụng     a) Tích vô hướng: Cho hai vecto u  x1 ; y1 ; z1  và v  x2 ; y 2 ; z 2  . Ta có:       2. u.v  x1 . x2  y1 . y2  z1 .z2 1. u.v  u . v .cos u , v    3. u  v  u.v  0  x1 .x2  y1 . y2  z1 .z2  0   b) Tích có hướng: Cho hai vecto u  x1 ; y1 ; z1  và v  x2 ; y 2 ; z 2  . Ta có: 1.       u , v   u . v .sin u , v        y 2. u , v    1  y2 z1 ; z1 z2 z2 x1 ; x1 x2 x2 y1   y2       x y z 3. u , v cùng phương  u , v   0  2  2  2 x1 y1 z1 c) Ứng dụng của tích có hướng.        Điều kiện đồng phẳng của 3 vecto u , v, w  u , v  .w  0 .    Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD   AB, AD  . 1    Diện tích tam giác ABC : S ABC   AB, AC  . 2     Thể tích khối hộp ABCD. AB C D  : VABCD . ABC D   AB, AD  . AA . 1     Thể tích tứ diện ABCD : VABCD   AB, AC  . AD . 6 1.3.4. Mặt phẳng a) Phương trình mặt phẳng   Mặt phẳng qua điểm M  x0 ; y0 ;; z0  và có vecto pháp tuyến n  A; B ; C  :  A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0  Mặt phẳng   cắt trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  có x y z    1 abc  0  a b c b) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng phương trình theo đoạn chắn là: 10  Cho M  xM ; yM ; zM  và   : Ax  By  Cz  D  0 :  d  M ,     AxM  ByM  CzM  D A2  B 2  C 2 c) Góc giữa hai mặt phẳng   : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng:     : A2 x  B2 y  C2 x  D2  0   Góc giữa   và    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n , n . Tức là:   n , n   A1 A2  B1 B2  C1 .C2 cos    ,      cos n , n     n . n A12  B12  C12 . A2 2  B2 2  C2 2   1.3.5. Đường thẳng a) Phương trình đường thẳng.  Đường thẳng đi qua M  x0 ; y0 ; z0  và có vtcp u   a ; b; c  : 1. PT tham số: 2. PT chính tắc: x  x0 y  y0 z  z0    a.b.c  0  a b c  x  x0  at   y  yo  bt  t  R   z  z  ct 0  b) Góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.    Cho đường thẳng d có vtcp u   a , b , c  và đường thẳng d  có vtcp u    a , b , c   . Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ta có:   u.u  a.a   b.b  c.c  cosφ     u . u a 2  b 2  c 2 . a  2  b 2  c  2    Cho đường thẳng d có vtcp u   a , b , c  và mặt phẳng   có vtpt n  A; B ; C  . Gọi φ là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng   ta có:  u.n Aa  Bb  Cc  sin φ     u.n A2  B 2  C 2 . a 2  b2  c2 c) Khoảng cách.    MM 0 , u     Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng  : d  M ,    .  u 11    u , u  .M 0 M 0    Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d  ,     .   u , u    1.4. Thể tích khối chóp, lăng trụ 1.4.1. Công thức tính 1 B.h 3 - Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V  B.h - Công thức tính thể tích khối chóp: V  - Công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật: V  a.b.c - Công thức tính thể tích khối lập phương: V  a3 (B diện tích đáy, h chiều cao) 1.4.2. Các dạng toán thường gặp với khối chóp, khối lăng trụ a) Khối chóp.  Khối chóp đều. - Khối tứ diện đều: tất cả các cạnh đều bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều. - Khói chóp tứ giác đều: Tất cả các cạnh bên đều bằng nhau, đáy là hình vuông tâm O , SO vuông góc với đáy.  Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy( Khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy).  Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy. b) Khối lăng trụ.  Khối lăng trụ đều.( đáy là đa giác đều như tam giác đều, hình vuông…).  Khối lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.  Khối lăng trụ có chân đường vuông góc hạ từ một đỉnh trùng vào tâm đáy hoặc trùng vào trung điểm của cạnh đáy, khối lăng trụ xiên. 1.4.3. Kiến thức liên quan a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông, t/c các hình vuông, hình thoi,…(Mục A. Hình học phẳng). b) Tỉ số thể tích - Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy V1 S1  V2 S 2 12 - Công thức Simson cho khối chóp tam giác VS . A1B1C1 VS . ABC  SA1 SB1 SC1 . . . SA SB SC - Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho VS . B1B2 ... Bn SB1  k thì  k3. SA1 VS . A1 A2 ... An - Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABC. ABC  lần lượt tại M,N,P sao cho V AM BN CP x yz .  x,  y,  z ta có ABC .MNP  AA BB  CC  VABC . ABC  3 - Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác ABCD. ABC D lần lượt tại M,N,P,Q sao cho VABCD.MNPQ VABCD. ABCD  AM BN CP DQ  x,  y,  z,  t ta có . AA BB  CC  DD  x y  z t và x  z  y  t . 4 - Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành lần lượt tại M,N,P,Q sao cho VS .MNPQ VS . ABCD  SM SN SP SQ  x,  y,  z,  t ta có : SA SB SC SD 1 1 1 1 xyzt  1 1 1 1       và    . 4 x y z t x z y t  Ngoài những những cách tính thể tích trên ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành những đa diện nhỏ dễ tính toán. Sau đó cộng lại.  Ta chỉ dùng tỉ số thể tích khi điểm chia đoạn theo tỉ lệ. c) Quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách 1.4.4. Ứng dụng của khối đa diện - Từ việc biết thể tích ta có thể giải quyết nhiều bài toán khác trong không gian đặc biệt là tính khoảng cách. 13 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHỐI ĐA DIỆN 2.1. Thể tích khối chóp Nhìn chung các dạng bài toán này đòi hỏi việc tính toán cẩn thận, chính xác. Tuy nhiên vẫn còn các bài toán khó nằm ở dạng tỉ số thể tích và thể tích cắt ra từ khối chóp và có thể gặp các dạng sau: - Thể tích khối chóp . - Tỉ số thể tích. - Thể tích khối chóp được tách ra từ khối chóp. a) Thể tích khối chóp Việc tính toán thể tích khối đa diện, có nhiều phương pháp giải, một phương pháp điển hình là sử dụng công thức. Trong trường hợp này điểm khó nhất nằm ở yếu tố đường cao. Để học sinh giải tốt phần này tôi xin đưa ra một số hướng giải quyết sau. Có thể chia các dạng sau:  Dạng toán có sẵn đường cao Một số bài toán tính thể tích khối đa diện có sẵn đường cao, ta cần xác định được đường cao. Một số hướng giải quyết như sau: - Đường thẳng chứa đỉnh và vuông góc với đáy. Có thể vuông góc trực tiếp hoặc - vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy. Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với đáy. - Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng   vuông góc với đáy đồng thời vuông góc với giao tuyến của   và đáy. - Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó chính là đường cao… Chú ý: Các trường hợp trên cần chỉ cho học sinh thấy được trong các trường hợp nào cần chứng minh đó là đường cao, trường hợp nào không cần chứng minh.  Dạng toán cần đi dựng đường cao Trong nhiều bài toán tính thể tích khối đa diện đường cao không dễ thấy, đòi hỏi cần kẻ thêm hình để xác định đường cao. Điểm mấu chốt trong việc dựng đường cao là việc xác định chân đường cao, có một số hướng sau.  Với khối chóp - Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy các góc bằng nhau (ít nhất 3 cạnh bên) thì chân đường cao là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Khối chóp có các mặt bên( ít nhất 3 mặt bên) cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. 14 - Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong mặt phẳng đáy. - Khối chóp có đỉnh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó và đáy… -  Với khối lăng trụ Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên.  Dạng toán cần dựng đường cao phụ Trong nhiều bài toán việc xác định đường cao phức tạp, ta có thể nghĩ đến việc dựng đường cao phụ. - Cho điểm A và mặt phẳng  P  và đường thẳng d đi qua A thì khoảng cách từ A đến  P  bằng khoảng cách từ điểm M bất kì trên d đến  P  . - Nếu có mặt phẳng  Q  chứa A và song song với  P  thì khoảng cách từ A đến  P  bằng khoảng cách từ điểm M bất kì trên  Q  đến  P  . Bài toán 1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD .  ( SAB)  ( ABCD)  Ta có:  ( SAD)  ( ABCD)  SA  ( ABCD ) ( SAB)  ( SAD)  SA   AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).      600  SC ,( ABCD )  SCA Tam giác SAC vuông tại A có : SA  AC.tan 600  a 6 . Khi đó VS . ABCD 1 1 a3 6 2 .  .SA.S ABCD  .a 6.a  3 3 3  Nhận xét: Cần lưu ý rằng do hai mặt phẳng có chung giao tuyến SA cùng vuông góc với đáy nên SA là đường cao. Từ đó khi vẽ hình cho thuận lợi ta nên vẽ SA thẳng đứng. Xác định góc giữa đường và mặt để tính SA bằng cách xét SAC . 15 Bài toán 2: Cho khối chóp đều S . ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S . ABC theo a . Gọi O là trọng tâm tam giác ABC  SO   ABC      450 I là trung điểm BC   SBC  ,  ABC   SIO Gọi x là độ dài cạnh tam giác ABC  x  0  Ta có OI  1 x 3 x2 AI  ; SI  SC 2  IC 2  a 2  3 6 4 x 3 2 x2 2 15a 2 Trong SOI có: OI  SI .cos 45   . a   5 x 2  12a 2  x  6 2 4 5 0 Suy ra SO  OI  5a x2 3 3 3 2 ; SABC   a 5 4 5 1 3 3 2 5 a3 15 a . a Vậy VS . ABC  . 3 5 5 25  Nhận xét: Điểm mấu chốt là các mặt bên hợp đáy một góc nên chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp (hay vì S . ABC là khối chóp đều nên chân đường cao trùng với tâm của đáy). Nên SO là đường cao từ đó thuận lợi vẽ SO thẳng đứng và tính SO bằng cách xét SOI . Bài toán 3: Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , đáy nhỏ của hình thang là CD , cạnh bên SC  a 15 . Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt phẳng  SHC  bằng 2 6a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD ?  SAD    ABCD   AD  SH   ABCD   SH  AD , SH  SAD   