Tài liệu Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian metric suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU ĐẠT ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU ĐẠT ÁNH XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ MỞ TRÊN KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG BÁO CÁO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhờ đó em có thể hoàn thành được luận văn này. Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã gặp không ít khó khăn khi tìm tòi và dịch tài liệu cũng như những hạn chế về mặt kiến thức. Tuy vậy, nhờ sự động viên từ quý thầy cô giáo, sự quan tâm của gia đình cũng như bạn bè đã giúp em có động lực phấn đấu và đã hoàn thành được bài luận này. Đây cũng là kỷ niệm đáng nhớ của em trong thời gian học tập tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng. Em xin chân thành cảm ơn! SV thực hiện đề tài Đỗ Hữu Đạt MỤC LỤC MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Khái niệm không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Tập hợp đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Bao đóng của một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Phần trong của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. T1 -không gian và T2 -không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Tập hợp compact và ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8. Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CHƯƠNG 2. Ánh xạ đóng và ánh xạ mở trên không gian metric suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1. Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Tính chất của ánh xạ đóng và ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Một số tính chất mạng bất biến qua ánh xạ đóng . . . . . . . . . . . 36 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, lý thuyết về không gian metric suy rộng không ngừng phát triển và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của topo đại cương. Trên cơ sở rất nhiều công trình nghiên cứu về cơ sở, mạng và k -mạng, một số khái niệm liên quan lần lượt được xuất hiện như mạng Pytkeev, cp-mạng, ck -mạng, cn-mạng, sp-mạng. Một trong những hướng được các tác giả trên thế giới quan tâm nhiều hiện nay là nghiên mối quan hệ giữa các tính chất mạng trên các không gian metric suy rộng và bất biến của chúng qua các ánh xạ (xem [3, 7]). Bài toán về sự bảo tồn của một số tính chất topo thông qua các ánh xạ là một trong những bài toán trọng tâm của topo đại cương. Trong [5], Chuan Liu đã chứng minh rằng không gian với cs-mạng hữu hạn địa phương và không gian với cơ sở điểm-đếm được là bảo tồn qua ánh xạ đóng, phủ-dãy và liên tục. Nhờ đó, các tác giả thu được sự bảo tồn của không gian g -khả metric và không gian qua ánh xạ đóng phủ-dãy, qua ánh xạ đóng và mở. Trong [9], L. Q. Tuyen đã chứng minh rằng mỗi ánh xạ đóng phủ-dãy trên không gian với cơ sở yếu điểm-đếm được là ánh xạ 1-phủ-dãy. Gần đây, S. Lin và X. Liu đã chứng minh rằng, không gian với cn-mạng hoặc sp-mạng được bảo tồn qua ánh xạ giả-mở, và không gian với cs∗ -mạng hoặc cs′ -mạng được bảo tồn qua các ánh xạ thương-dãy (xem [4, 7]). Với mong muốn nghiên cứu sự bảo tồn của không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm được địa phương và không gian với cn-mạng (hoặc sp-mạng) đếm được địa phương qua các ánh xạ mở hoặc ánh xạ đóng, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, chúng tôi quyết 2 định chọn đề tài: “Ánh xạ mở và ánh xạ đóng trên không gian metric suy rộng” làm đề tài nghiên cứu khoa học cho mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất mạng, không gian metric suy rộng, đưa ra một số kết quả mới về bất biến của không gian và mạng qua ánh xạ đóng. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất mạng, không gian metric suy rộng, ánh xạ đóng, ánh xạ Lindelöf, ánh xạ hoàn chỉnh và các bất biến qua ánh xạ đóng. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ giữa các mạng, sự bất biến của các tính chất mạng qua ánh xạ Lindelöf, đóng, liên tục và toàn ánh. 5. Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương. • Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến các tính chất mạng, ánh xạ mở, ánh xạ đóng, sự bất biến của một số mạng qua các ánh xạ. • Đọc kỹ và chứng minh chi tiết các kết quả đã tìm kiếm. • Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình của mình. 6. Cấu trúc của đề tài Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, đề tài có 3 Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. Chương 2, trình bày về bất biến qua ánh xạ Lindelöf, đóng, liên tục và toàn ánh bao gồm 3 mục: Mục 2.1, trình bày về cơ sở và cơ sở lân cận của không gian Topo; Mục 2.2, trình bày về tính chất của ánh xạ đóng và ánh xạ mở; Mục 2.3, trình bày về một số tính chất mạng bất biến qua ánh xạ đóng. 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đại cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức về topo, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau ([2]). Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong toàn bộ bài nghiên cứu. N = {1, 2, . . . }, ω = N ∪ {0}. 1.1. Khái niệm không gian topo Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp và τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau. (1) ∅, X ∈ τ ; (2) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ; S (3) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì Uα ∈ τ . α∈Λ Khi đó, ˆ τ được gọi là một topo trên X . ˆ Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo. ˆ Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở. ˆ Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó. 5 Ví dụ 1.1.2. Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập con của X và τ2 = {∅, X}. Khi đó, τ1 , τ2 là các topo trên X . Lúc này, ta nói rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X . Ví dụ 1.1.3. (1) Giả sử (X, d) là một không gian metric. Ta đặt τ = {U ⊂ X : U mở trong (X, d)}. Khi đó, τ là một topo trên X . Ta nói rằng τ là topo được sinh bởi d. Như vậy, V mở trong (X, d) khi và chỉ khi V ∈ τ , khi và chỉ khi V mở trong (X, d). (2) Cho X = {a, b, c} và  τ1 = ∅, X, {a}, {b}, {c} ;  τ2 = ∅, X, {a}, {a, b}, {a, c} ;  τ3 = {a, b}, {b, c} . Khi đó, τ1 và τ3 không là topo, τ2 là topo. Ví dụ 1.1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric và τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}. Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởi metric d. Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thường trên R, nghĩa là d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R, thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R. Nhận xét 1.1.5. Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là đúng. 1) ∅, X là các tập hợp mở; 6 2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở; 3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở. Chứng minh. Ta chứng minh giao tùy ý các tập mở có thể không mở. Thật vậy, giả sử R là tập số thực với topo thông thường. Ta đặt   1 1 An = − , với mọi n ∈ N. n n Khi đó, ˆ An là tập mở với mọi n ∈ N. T ˆ An = {0}. n∈N Thật vậy, vì {0} ⊂ An với mọi n ∈ N nên {0} ⊂ T sử x ∈ An , khi đó T An . Bây giờ, giả n∈N n∈N 0 ≤ |x| < 1 với mọi n ∈ N. n Qua giới hạn khi n → ∞ ta suy ra x = 0. Như vậy, T An ⊂ {0}. n∈N ˆ {0} không là tập mở trong R. Như vậy, nhận xét được chứng minh. 1.2. Lân cận Định nghĩa 1.2.1. Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo (X, τ ). Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho A ⊂ V ⊂ U. Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x. 7 Nhận xét 1.2.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở. Tuy nhiên, mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó. (2) Giao hữu hạn các lân cận của A cũng là một lân cận của A. Tuy nhiên, giao tùy ý các lân cận của A có thể không là lân cận của A. Thật vậy, giả sử R là tập số thực với topo thông thường. Khi đó, (1) Ta lấy U = [−1, 1], thì U là lân cận của 0 nhưng U không mở. (2) Ta đặt  1 1 An = − , n n  với mọi n ∈ N. Khi đó, theo chứng minh của Nhận xét (1.1.5), ta suy ra rằng T An =⊂ n∈N {0} không là một lân cận của 0. Bổ đề 1.2.3. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. 1) U là tập hợp mở; 2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó; 3) Với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử U mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta chọn V = U ∈ τ , thì x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là lân cận của x. (2) =⇒ (3). Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và x ∈ U . Khi đó, U là một lân cận của x. Như vậy, nếu ta chọn Vx = U , thì Vx là lân cận của x và x ∈ Vx ⊂ U . 8 (3) =⇒ (1). Giả sử với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho x ∈ Wx ⊂ Vx . Hơn nữa, ta có U= S x∈U kéo theo U = S {x} ⊂ S x∈U Wx ⊂ S Vx ⊂ U , x∈U Wx . Theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra U ∈ τ . x∈U Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ . Ta nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B . Nhận xét 1.2.5. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo một B ⊂ τ . Khi đó, 1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở trong X , nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc B . 2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Chứng minh. (1) Bởi vì B ⊂ τ nên mỗi phần tử của B là tập hợp mở. Bây giờ, giả sử X = {a, b, c}, τ là topo rời rạc, nghĩa là τ là họ gồm tất cả các tập con của X và ta đặt  B = {a}, {b}, {c} . Khi đó, (X, τ ) là một không gian topo và B là cơ sở của X nhưng tồn tại tập mở X mà X ∈ / B. (2) Điều kiện cần. Giả sử B là cơ sở của X , U ∈ τ và x ∈ U . Khi đó, tồn tại {Bα }α∈Λ ⊂ B sao cho 9 U= S {Bα : α ∈ Λ}. Bởi vì x ∈ U nên tồn tại α ∈ Λ sao cho x ∈ Bα . Như vậy, tồn tại V = Bα ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Điều kiện đủ. Giả sử với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U và W ∈ τ . Khi đó, với mọi x ∈ W , tồn tại Vx ∈ B sao cho x ∈ Vx ⊂ W . Do đó, W = S {x} ⊂ x∈W S Vx ⊂ W . x∈W Như vậy, W là hợp nào đó các phần tử của B . 1.3. Tập hợp đóng Định lí 1.3.1. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng. 1) ∅, X là các tập hợp đóng; 2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng là một tập hợp đóng; 3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng. Chứng minh. (1) Bởi vì ∅, X ∈ τ nên X \ ∅ = X ∈ τ ; X \ X = ∅ ∈ τ. Như vậy, ∅ và X là các tập hợp đóng. (2) Giả sử F1 , F2 , . . . , Fn là các tập hợp đóng. Khi đó, X \ Fi ∈ τ với mọi i = 1, 2, . . . , n. 10 Hơn nữa, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra X\ n [  Fi = i=1 Như vậy, n S n \ (X \ Fi ) ∈ τ. i=1 Fi là một tập hợp đóng. i=1 (3) Giả sử {Fα }α∈Λ là họ gồm các tập hợp đóng. Khi đó, X \ Fα ∈ τ với mọi α ∈ Λ. Do đó, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra \  [ (X \ Fα ) ∈ τ. Fα = X\ α∈Λ Như vậy, T α∈Λ Fα là một tập hợp đóng. α∈Λ Nhận xét 1.3.2. Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Chứng minh. Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và   1 với mọi n ∈ N. An = 0, 1 − n Khi đó, • [0, 1) không là tập hợp đóng trong (R, τ ). • An là tập hợp đóng trong R với mọi n ∈ N. S • An = [0, 1). n∈N Thật vậy, giả sử x ∈ S An . Suy ra tồn tại n ∈ N sao cho n∈N   1 ⊂ [0, 1). x ∈ An = 0, 1 − n 11 Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo 0 ≤ x < 1. Do đó, tồn tại n ∈ N sao cho 1 0≤x≤1− . n Điều này suy ra rằng   S 1 x ∈ 0, 1 − = An ⊂ An . n n∈N Từ chứng minh trên ta suy ra hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. 1.4. Bao đóng của một tập hợp Định nghĩa 1.4.1. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A. Định lí 1.4.2. Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, các khẳng định sau là đúng. 1) A luôn tồn tại và A ⊂ A; 2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; 3) A đóng khi và chỉ khi A = A; 4) A = A; 5) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B ; 6) A ∪ B = A ∪ B ; 7) A ∩ B ⊂ A ∩ B , và đẳng thức không xẩy ra. Chứng minh. Giả sử rằng F = {F ⊂ X : F đóng và A ⊂ F }; 12 G = {F ⊂ X : F đóng và B ⊂ F }. Khi đó, (1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa A nên X ∈ F , kéo theo F = ̸ ∅. Do đó, A luôn tồn tại. Hơn nữa, vì A ⊂ F với mọi F ∈ F nên A ⊂ ∩{F : F ∈ F} = A. (2) Theo Định lí 1.3.1(3) ta suy ra rằng A là tập hợp đóng. Bây giờ, giả sử F là tập đóng bất kỳ trong X chứa A. Khi đó, F ∈ F , kéo theo A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ F. Ngoài ra, nhờ khẳng định (1) ta suy ra A ∈ F . Như vậy, A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A. (3) Giả sử A đóng. Khi đó, vì A ⊂ A nên ta suy ra A ∈ F , kéo theo A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ A. Kết hợp khẳng định (1) ta suy ra rằng A = A. Ngược lại, giả sử A = A. Khi đó, nhờ khẳng định (2), A là tập hợp đóng, kéo theo A là tập hợp đóng trong X . (4) Theo khẳng định (2), A là tập hợp đóng. Do đó, nhờ khẳng định (3) ta suy ra rằng A = A. (5) Bởi vì A ⊂ B nên G ⊂ F . Do đó, A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ ∩{F : F ∈ G} = B . (6) Theo khẳng định (1), A ⊂ A; B ⊂ B , kéo theo A ∪ B ⊂ A ∪ B. 13 Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B là các tập hợp đóng. Do đó, nhờ Định lí 1.3.1(2), A ∪ B là tập hợp đóng. Như vậy, sử dụng khẳng định (3) và (5) ta suy ra rằng A ∪ B ⊂ A ∪ B = A ∪ B. (1.1) Hơn nữa, vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo khẳng định (5) ta có A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B . Điều này kéo theo rằng A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.2) Như vậy, từ (1.1), (1.2) ta suy ra A ∪ B = A ∪ B. (7) Theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B , kéo theo A ∩ B ⊂ A ∩ B. Mặt khác, theo khẳng định (2), A và B là các tập hợp đóng. Hơn nữa, nhờ Định lí 1.3.1(3), A ∩ B là tập hợp đóng. Do đó, sử dụng khẳng định (3) và (5) ta suy ra rằng A ∩ B ⊂ A ∩ B = A ∩ B. Bây giờ, giả sử X = R với topo thông thường và A = (0, 1), B = (1, 2). Khi đó, vì A = [0, 1], B = [1, 2] nên ta có A∩B =∅=∅= ̸ {1} = A ∩ B . Như vậy, không xẩy ra đẳng thức trong khẳng định (7). Định lí 1.4.3. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. 1) x ∈ A; 14 2) U ∩ A ̸= ∅ với mọi lân cận U của x; 3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx . Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử x ∈ A. Ta chứng minh rằng với mọi lân cận U của x, U ∩ A ̸= ∅. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cận U của x sao cho U ∩ A = ∅. Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho x ∈ V ⊂ U . Do đó, V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X \ V . Mặt khác, vì X \ V là đóng nên theo Định lí 1.4.2 ta suy ra A ⊂ X \ V = X \ V. Do đó, A ∩ V = ∅, kéo theo x ∈ V ⊂ X \ A. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với x ∈ A. (2) =⇒ (3). Giả sử x ∈ X và Bx là họ gồm tất cả các lân cận của x. Khi đó, hiển nhiên rằng Bx là một cơ sở lân cận của x và U ∩ A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx . (3) =⇒ (1). Giả sử rằng tồn tại cơ sở lân cận Bx tại x sao cho U ∩A ̸= ∅ với mọi U ∈ Bx nhưng x ∈ / A. Khi đó, X \ A là một lân cận mở của x. Mặt khác, vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại U ∈ Bx sao cho x ∈ U ⊂ X \ A. Suy ra U ∩ A ⊂ U ∩ A = ∅. Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết rằng U ∩ A ̸= ∅. Bổ đề 1.4.4. Giả sử X là một không gian topo, A ⊂ X và V là một tập hợp mở trong X . Khi đó, A∩V ⊂A∩V. 15 Chứng minh. Giả sử x ∈ A ∩ V và U là một lân cận bất kỳ của x. Khi đó, vì U ∩ V là một lân cận của x và x ∈ A nên A ∩ (U ∩ V ) ̸= ∅. Điều này chứng tỏ rằng (A ∩ V ) ∩ U ̸= ∅. Như vậy, x ∈ A ∩ V . 1.5. Phần trong của tập hợp Định nghĩa 1.5.1. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, hợp của tất cả các tập hợp mở nằm trong A được gọi là phần trong của A và ký hiệu là IntA. Nhận xét 1.5.2. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Ta ký hiệu G(A) = {V ⊂ X : V ∈ τ, V ⊂ A}. Khi đó, ta suy ra rằng IntA = ∪{V : V ∈ G(A)}. Định lí 1.5.3. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, x ∈ IntA khi và chỉ khi tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈ U ⊂ A. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử x ∈ IntA. Khi đó, tồn tại U ∈ G(A) sao cho x ∈ U . Bởi vì U ∈ G(A) nên U mở và U ⊂ A. Như vậy, tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ A. Điều kiện đủ. Giả sử rằng tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ A. Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho x ∈ V ⊂ U . Như vậy, V ∈ G(A) và x ∈ IntA. 16 Định lí 1.5.4. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A và B là các tập con của X . Khi đó, các khẳng định sau là đúng. 1) IntA là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A; 2) Nếu A ⊂ B , thì IntA ⊂ IntB ; 3) A mở khi và chỉ khi IntA = A; 4) Int(A ∩ B) = IntA ∩ IntB . Chứng minh. (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.5.1. (2) Giả sử A ⊂ B . Khi đó, G(A) ⊂ G(B). Suy ra IntA ⊂ IntB . (3) Giả sử A mở. Khi đó, vì A ⊂ A nên A ∈ G(A). Suy ra A ⊂ IntA. Nhờ khẳng định (1) ta suy ra A = IntA. Bây giờ, giả sử A = IntA. Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tập hợp mở. (4) Theo khẳng định (1) ta có IntA ⊂ A và IntB ⊂ B , kéo theo IntA ∩ IntB ⊂ A ∩ B . Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A ∩ B) là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A ∩ B nên IntA ∩ IntB ⊂ Int(A ∩ B). (1.3) Ngược lại, vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (2) ta suy ra rằng Int(A ∩ B) ⊂ IntA và Int(A ∩ B) ⊂ IntB. Do đó, Int(A ∩ B) ⊂ IntA ∩ IntB. Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra Int(A ∩ B) = IntA ∩ IntB . (1.4)