Tài liệu Vật lý đại cương A1 - Nguyễn Phước Thể , Trường Đại học Duy tân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA – KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN - VẬT LÝ GIÁO TRÌNH VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A1 Dùng cho sinh viên hệ đại học các nghành kỹ thuật Gv: Nguyễn Phước Thể Đà nẵng, năm 2009 Lời giới thiệu Vật lý là một ngành khoa học cơ bản nhất. Nó gắn liền với vận động và cấu trúc vật chất. Lĩnh vực vật lý có thể phân thành vật lý cổ điển bao gồm chuyển động, chất lỏng, nhiệt, âm thanh, ánh sáng, điện trường, từ trường; vật lý hiện đại bao gồm các phần tương đối tính, cấu trúc nguyên tử, vật liệu đông đặc, vật lý hạt nhân, những hạt cơ bản, vũ trụ học và vật lý cơ bản - Tuy nhiên sự phân chia này chỉ mang tính tương đối. Sự hiểu biết về vật lý là rất quan trọng đối với những ai làm việc trong khoa học và công nghệ. Nghiên cứu Vật lý cũng giống như các khoa học khác là luôn cần sự nổ lực sáng tạo, điều này không phải là công việc đơn giản với tất cả mọi người . Trong nghiên cứu vật lý , vấn đề quan trọng là xây dựng một lý thuyết để khảo sát đối tượn g quan sát, đây là cơ sở trong việc giải thích các vấn đề liên quan đến vận động của vật chất trong tự nhiên . Để xây dựng được một lý thuyết, các nhà khoa học thường phát minh ra các mô hình để phát thảo các hiện tượng vật lý nhằm nắm bắt được các quy luật vận động cụ thể của các vật . Một mô hình là một dạng hình ảnh hoặc tương tự mà có thể giúp mô tả hiện tượng bởi các thành phần của một số vấn đề gì đó chúng ta biết rõ. Một lý thuyết thường phát triển từ một mô hình , nếu mô hìn h phát thảo là đơn giản thì vấn đề quan sát được dễ hiểu . Từ các mô hình này ta có thể xây dựng các tiên đề, định nghĩa, định lý, quy luật vận động tổng quát của nó nhằm mục đích nghiên c ứu một đối tượng, nhóm đối tượng, giải thích các hiện tượng và ứng dụng khoa học – kỹ thuật. Trong phần cơ học ở đây ta sẽ nghiên cứu chuyển động của các vật ở tầm vĩ mô; đó là sự thay đổi vị trí của các vật trong không gian mà không xét đến cấu tạo cũng như những chuyển động xảy ra bên trong vật chất. Tiếp theo chúng ta nghiên cứu những quy luật vận độ ng nhiệt bao gồm một số quá trình xảy ra bên trong vật, thí dụ vật nóng lên khi ma sát hay nóng chảy và bốc hơi khi bị đốt nóng,… phần này gọi là nhiệt học. Tuy nhiên, giới hạn nghiên cứ u ở đây là sự vận động nhiệt của chất khí. Trong tập tài liệu này chúng ta sẽ lấy một số ví dụ điển hình đ ối với các tính toán vật lý cơ bản, là cơ sở để hiểu về đối tượng vật lý. Tiếp theo là các ứng dụng quan trọng mà cụ thể là các vấn đề, bài toán được đưa ra để thảo luận và giải quyết, những vấn đề này gắn liền với cuộc sống thường ngày và trong khoa học, kỹ thuật. Nguyễn Phước Thể CHƯƠNG 1 ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM Chúng ta bắt đầu nghiên cứu với cơ học, cơ học là một nhánh của Vật lý học nghiên cứu về sự chuyển động của vật thể trong không gian và thời gian. Đối tượng nghiên cứu của cơ học là từ các vật vô cùng bé (vi mô) như prôton, nơtron,electron,... đến các vật vô cùng lớn (vĩ mô) như các thiên thể, các hành tinh,… Trong cuộc sống thường ngày, ta có thể thấy chuyển động cơ học có ở khắp mọi nơi: xe chạy, máy bay đang bay, Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời,... Chuyển động của các vật – các quả bóng, ô tô, người đi bộ hay thậm chí là mặt trăng và mặt trời được xảy ra hằng ngày. Các chuyển động này không phải đến thế kỷ 21 mới biết mà các vấn đề mà chúng ta biết hiện nay đều đã được chứng minh từ rất sớm. Những đóng góp riêng lẻ của các nhà khoa học , các tập thể nghiên cứu là rất quan trọng vào sự hiểu biết này đặc biệt là Galileo (1564 1642) và Isaac Newton (1642 - 1727),... Lĩnh vực nghiên cứu về cơ học liên quan đến chuyển động của các vật gắn liền với lực và các dạng năng lượng. Bây giờ chúng ta chỉ thảo luận về các chuyển động mà không có sự quay. Chuyển động như vậy gọi là chuyển động tịnh tiến. Trong chương này chúng ta sẽ quan tâm tới mô tả một vật mà vật đó di chuyển dọc theo một đuờng thẳng gọi là chuyển động tịnh tiến một chiều, hoặc theo các đường cong bất kỳ là hai, ba chiều. Chúng ta thường sử dụng khái niệm hay mô hình của một chất lý tưởng gọi là chất điểm hoặc là hạt , là vật có kích thước không gian không đáng kể. Một chất điểm có chuyển động thì chỉ là chuyển động tịnh tiến. Lấy ví dụ, chúng ta có thể xét một quả bi da hay sự kiện một con tàu vũ trụ di chuyển vào mặt trăng như là một chất điểm nhằm mục đích mô tả và khảo sát chuyển động. §1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Chuyển động cơ học Trong thực tế ta dễ dàng quan sát thấy chuyển động cơ học có mặt ở khắp mọi nơi: người đi, xe chạy, sự chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời... Ở mỗi thời điểm khác nhau thì vị trí của vật cũng khác nhau, nghĩa là vị trí của vật luôn thay đổi theo thời gian trong không gian. Tuy nhiên, xem một vật cụ thể nào đó đứng yên hay chuyển động cũng chỉ là xét một cách tương đối. Chẳng hạn nếu xem quả đất đứng yên thì sẽ thấy con người, xe cộ, tên lửa... đều chuyển động đối với quả đất (kể cả Mặt Trời cũng chuyển động tương đối với quả đất). Ngược lại, nếu xem Mặt Trời đứng yên thì có thể thấy Trái Đất vừa tự quay xung quanh trục của nó vừa quay xung quanh Mặt Trời. Vì vậy, trước khi khảo sát chuyển động của một đối tượng ta phải nắm rõ khái niệm về nó. Chuyển động cơ học gọi tắt là chuyển động là sự thay đổi vị trí của một vật này đối với một vật khác hoặc của phần này đối với phần khác xảy ra trong không gian và theo thời gian. Những phép đo vị trí, khoảng cách hay tốc độ cần xác định phải gắn liền với hệ quy chiếu hay hệ của vật được chọn làm mốc. Ví dụ, trong khi bạn ở trên một tàu hỏa với tốc độ 80 km/h cho rằng một người đi bộ ngược chiều với chuyển động của bạn với tốc độ 5 km/h. 5 km/h này là vận tốc của người đối với tàu là đứng yên. Với một phép so sánh đối với mặt đất thì người chuyển động tương đối với vận tốc 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h. Như vậy , cũng là người chuyển động nhưng đối với tàu thì vận tốc là 5 km/h nhưng với mặt đất thì vận tốc là 85 km/h. Trong các ví dụ trên, tàu và trái đất là các hệ quy chiếu do người khảo sát đưa ra, như vậy việc chọn lựa hệ quy chiếu có vai trò rất quan trọng khi tính vận tốc. Trong cuộc sống thường ngày, chúng ta luôn so sánh các sự kiện trên trái đất mà quên đi tầm quan trọng của nó, thường lấy nó làm hệ quy chiếu. Khi khảo sát chuyển động của vật ta có thể chọn hệ qui chiếu này hoặc hệ qui chiếu khác và thường chọn hệ qui chiếu sao cho việc khảo sát chuyển động được đơn giản nhất. Tóm lại , hệ quy chiếu là các vật hoặc hệ vật được quy ước là đứng yên để khảo sát chuyển động của vật khác Khi nghiên cứu một vật mà ta chỉ quan tâm đến chuyển động mà không quan tâm đến hình dạng, kích thước của vật thì ta dùng khái niệm chất điểm hoặc hạt. Chuyển động của chất điểm là chuyển động tịnh tiến. Chất điểm là vật mà kích thước hình học của nó nhỏ hơn nhiều so với phạm vi mà chúng ta nghiên cứu, khảo sát. Ví dụ: Khi xét chuyển động bay của một viên đạn trong không khí ta có thể xem chuyển động đó như là chuyển động của một chất điểm; còn nếu xét chuyển động xoay của viên đạn quanh trục của nó thì ta không thể xem chuyến động đó là chuyển động của một chất điểm được. Như ậy v việc xem một vật có phải là chất điểm hay không, tùy thuộc vào mục đích ta nghiên cứu. Tập hợp các chất điểm gọi là hệ chất điểm. Khi chúng ta khảo sát chuyển động của một chất điểm, điều quan trọng là phải chỉ rõ không chỉ tốc độ mà còn chiều của chuyển động. Thông thường chúng ta có thể biểu diễn một chuyển động một chiều bằng cách sử dụng các O x phương qua lại giữa Đông, Tây, Nam và Bắc. Trong Vật lý, chúng ta thường vẽ một hệ trục tọa độ để biểu diễn một hệ quy chiếu. Chúng ta có thể luôn luôn lấy gốc O và chiều của trục x hoặc y cho tiện lợi. Các vật định vị phía bên phải so với gốc O trên trục x có một toạ độ x mà chúng ta thường chọn là dương: ở bên trái so với vị trí của điểm O là âm. Trong trường hợp hai hoặc ba chiều, một trục y và/ hoặc z vuông góc với nhau từng đôi được thêm vào và được quy ước tương tự. Mỗi điểm trong không gian có thể đặc trưng bởi các tọa độ x và y và z. Đối với chuyển động một chiều, chúng ta thường chọn trục x là đường thẳng dọc theo chuyển động của nó trong không gian. Do đó vị trí của một vật tại bất kỳ thời điểm nào được cho bởi tọa độ x của nó. Nếu chuyển động là thẳng đứng, như chuyển động rơi tự do chúng ta thường dùng trục y. Chúng ta thường đưa ra một ký hiệu cho sự thay đổi giữa hai điểm do một vật chuyển động là độ dời của vật, độ dời được định nghĩa là hiệu của hai tọa độ . Tọa độ của vật là vật xa bao nhiêu tính từ thời gốc toạ độ. Tuy nhiên chúng ta cần phân biệt độ dời với quãng đường, để nhận biết sự khác biệt giữa quãng đường đi được và độ dời, chúng ta tưởng tượng rằng một ô tô chạy được 70 m về phía Bắc và sau đó quay ngược trở lại phía Nam với một khoảng cách là 30m. Tổng khoảng cách đi được là 100 m, nhưng độ dời chỉ 40 m từ điểm bắt đầu. Độ dời là đại lượng mà có cả độ lớn và chiều. Đặc trưng bằng một véctơ và biểu diễn bằng một mũi tên trên x2 x1 O x(m) đồ thị. (Chúng ta không nhắc lại 10 30 một cách đầy đủ về véctơ vì các bậc học khác đã nói rõ về nó .) Bây giờ chúng ta liên hệ với chuyển động một chiều dọc theo đường thẳng. Trong trường hợp này, vị trí của các véctơ được đánh dấu bằng điểm, mặc dù các véctơ trong trường hợp 1 chiều có dấu dương theo độ lớn của nó. Ví dụ, xét chuyển động của một vật trong một khoảng thời gian xác định. Chú ý rằng tại thời điểm ban đầu t1 vật trên trục x có tọa độ là x1. Tại thời điểm sau t 2 giả sử vật chuyển động tới vị trí x2. Độ dời của vật là x2 – x1: ∆x = x 2 − x1 , ở đây dầu ∆ nghĩa là “độ biến đổi”. Do đó ∆x nghĩa là độ biến đổi của x hay sự thay đổi vị trí hay là độ dời. Chú ý rằng độ biến đổi của bất kỳ đại lượng bằng giá trị cuối của đại lượng trừ cho giá trị đầu của đại lượng. Thay x1 = 10.0 m và x2 = 30.0 m. Ta được ∆x = x 2 − x1 = 30.0 m − 10.0 m = 20.0 m . Trường hợp hai hoặc ba chiều , trong vật lý nói chung cũng như trong cơ học nói riêng người ta thường sử dụng một số hệ tọa độ sau đây: a) Hệ tọa độ Đề các Hệ tọa độ này bao gồm 3 trục Ox, Oy và Oz tương ứng vuông góc nhau từng đôi một tạo thành một tam diện thuận Oxyz, gốc tọa độ là điểm O. Vị trí của  một điểm M bất kỳ hoàn toàn được xác định bởi vectơ bán kính r . Trong hệ tọa độ Đề các vị trí của điểm M được xác định bởi 3 tọa độ (x, y, z). Trên hình 1-1 ta thấy P là hình chiếu của M xuống Ox, Q là hình chiếu của M xuống Oy và R là hình chiếu của xuống Oz.  M  Như vậy ta có thể viết:  r = OP + OQ + OM (1.6)    Nếu gọi i , j , k là ba vectơ đơn vị hướng theo ba trục Ox, Oy, Oz, biểu thức (1.6) có thể được  viết lại: (1.7) r =x.i + y. j + z.k  Độ lớn của véc tơ r là: r= x2 + y 2 + z 2 b) Hệ tọa độ trụ (1.8) z Khi một vật chuyển động mà khoảng cách của M z vật so với một trục luôn không đổi thì người ta  thường dùng hệ tọa độ trụ để khảo sát . Trong hệ r tọa độ này, vị trí của điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 tọa độ ρ , ϕ và z , trong đó ρ là hình chiếu  của r trên mặt phẳng (xOy), ϕ là góc hợp bởi trục  ϕ Ox và ρ , còn z là hình chiếu của r trên trục Oz. x Nếu biết tọa độ trụ của một điểm ta có thể xác định được ba tọa độ của điểm đó trong hệ tọa độ Đề-các theo công thức sau: x = ρ cos ϕ z y = ρ sin ϕ R (1.9) M(x,y  z=z r  2 2  Ngược lại ta có: = ρ x +y k j  O Q y i y ϕ = arctg P P x (1.10) x z=z c) Hệ tọa độ cầu: y Trường hợp những vật chuyển động mà khoảng cách giữa vậ t so với một điểm luôn không đổi người ta thường dùng hệ tọa độ cầu . Ví dụ như chuyển động của electron quanh hạt nhân . Trong hệ tọa độ cầu, vị trí của một điểm M  được xác định bởi 3 tọa độ r, θ, φ; trong đó r là độ dài bán kính vectơ r , θ là góc   giữa trục Oz và r , φ là góc giữa trục Ox và tia hình chiếu của r trong mặt phẳng xOy. Nếu biết ba tọa độ của một điểm ta có thể xác định được ba tọa độ Đê-các của điểm đó bằng các công thức sau: x = r sinθ cos ϕ y = r sinθ sin ϕ (1.11) z = r cos θ Ngược lại ta có: r= x2 + y 2 + z 2 z θ = arccos 2 (1.12) 2 2 x +y +z y ϕ = arctg x Chú ý: Trong ệh tọa độ cầu thì 0 ≤ θ ≤ 1800 và 0 ≤ ϕ ≤ 3600 . Nhận xét: Tùy theo tínhấtchcủa chuyển động, người ta có thể chọn một hệ tọa độ thích hợp để mô tả chuyển động. Nếu chất điểm chuyển động theo một đường thẳng ta chọn hệ tọa độ Đề-các. Nếu chất điểm chuyển động quanh một trục ta chọn hệ tọa độ trụ, còn nếu chất điểm chuyển động quanh một tâm ta chọn hệ tọa độ cầu. Bài tập 1. Một con kiến bắt đầu tại vị trí x = 20 cm trên một mảnh giấy caro và đi theo trục x đến vị trí – 20 cm. Sau đó nó quay lại đi ngược trở lại đến vị trí x = -10 cm. Vị trí con kiến đi được và tổng quãng đường đi được. 1.2. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo Khi chất điểm chuyển động, chúng ta liên hệ vị trí của nó với thời gian bằng các phương trình gọi là phương trình chuyển động. Trong ệh tọa độ Đề -các, phương trình chuyển động của một vật là hàm theo thời gian t có dạng:  x = x( t )  M  y = y( t ) (1.13a)  z = z( t )  Còn trong hệ tọa độ cầu, tọa độ của điểm M được xác định: = r r(= t ), θ θ = ( t ), ϕ ϕ ( t ) (1.13b) Một cách tổng quát, phương trình chuyển động của độ của một chất điểm được   r = r( t ) viết ngắn gọn là (1.14) Ở mỗi thời điểm t, chất điểm có một vị trí xác định và khi t biến thiên thì vị trí  chất điểm thay đổi một cách liên tục. Do đó hàm tọa độ r( t ) sẽ là một hàm xác định, đơn trị và liên tục. Ví dụ: Phương trình chuyển động của chất điểm M trong hệ tọa độ xOy là: x(t) = 2t (cm); y(t) = 3t2 (cm); z(t) = t2 +1 (cm). Ở thời điểm t = 2s, ta có: x(2) = 4cm; y(2) = 12cm; z(2) = 5cm. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến vật được tính bởi công thức: OM2 = x2 + y2 + z2 = 42 + 122 + 52 = 185cm2. hay: OM = 13,6cm. Trong quá trình chuyển động, vị trí của chất điểm ở những thời điểm liên tiếp nhau sẽ vạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quỹ đạo chuyển động của chất điểm. Phương trình mô tả quỹ đạo đó gọi là phương trình quỹ đạo. Trong hệ tọa độ Đề-các, phương trình quỹ đạo có dạng: f ( x, y, z ) = C (1.15) trong đó f là hàm nào đó của tọa độ x, y, z; C là một hằng số. Nếu biết phương trình chuyển động thì bằng cách khử tham số t ta sẽ tìm được phương trình quỹ đạo. Ví dụ: Một chuyển động có phương trình x = 4 sin ωt (cm) và y = 5 cos ωt (cm) thì ta biến đổi : x2 y2 2 = sin ω t và = cos 2 ω t 2 2 5 4 Khử tham số t ở 2 phương trình trên ta được phương trình quỹ đạo: x2 y2 + 2 = 1 42 5 Phương trình này là một phương tr ình đường elip nên ta nói quỹ đạo chuyển động của chất điểm là một elip có bán trục lớn là 5cm và bán trục nhỏ là 4cm. §2. VẬN TỐC VÀ GIA TỐC Hầu hết các vấn đề quan trọng về chuyển động của một vật chuyển động là chuyển động nhanh như thế nào – đó là đó là chúng ta đang nói ến đ tốc độ hay vận tốc. Thành phần tốc độ gắn liền với chuyển động của một vật xa bao nhiêu trong một khoảng thời gian, không quan tâm đến chiều. Nếu một xe ô tô di chuyển 360 km trong 3 giờ chúng ta nói rằng tốc độ trung bình của nó là 120 km/h hay trong hệ SI tốc độ là 20 m/s. Trong trường hợp tổng quát, tốc độ trung bình của vật được định nghĩa là tổng quãng đường đi được chia cho thời gian mà vật đi hết quãng đường này. Qu·ng ®­êng ®i ®­îc Tèc ®é trung b×nh = Thêi gian tr«i qua Các đại lượng vận tốc và tốc độ thường được sử dụng thay thế nhau trong ngôn ngữ thông thường. Nhưng trong vật lý chúng ta cần biết sự khác biệt của hai đại lượng này. Tốc độ được xác định đơn giản bởi các giá trị độ lớn. Vận tốc theo một dạng khác được dùng để biểu diễn cho cả trị độ lớn là của sự chuyển động nhanh thế nào của vật và chiều mà vật chuyển động. Do đó, vận tốc là một véctơ. 2.1. Vận tốc Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho sự chuyển động nhanh như thế nào và chiều của chuyển động . Việc xác đị nh vận tốc ta phân thành hai loại là vận tốc trung bình và vận tốc tức thời. Vận tốc trung bình được định nghĩa theo độ dời của vật mà không phải là quãng đường đi được: VËn tèc trung b×nh = ®é dêi vÞ trÝ cuèi - vÞ trÝ ®Çu = thêi gian tr«i qua Thêi gian tr«i qua Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình có cùng độ lớn khi cả hai chuyển động theo một chiều. Trong các trường hợp, chúng có thể khác: Ví dụ, bài toán đơn giản về một người đi ô tô qua một Đèo theo hướng Bắc vào Nam hết 45 phút và theo đồng hồ độ dài đo được là 21 km, tuy nhiên khoảng cách giữa các cân Đèo theo hương Bắc – Nam là 7 km. Khi đó, Tèc ®é trung= b×nh Qu·ng ®­êng ®i ®­îc 21 km = = 28 km / h. . Thêi gian tr«i qua 0.45 h ®é dêi 7,5 km = = 10 km / h. . thêi gian tr«i qua 0.45 h Sự khác nhau về độ lớn của tốc độ và vận tốc có thể xảy ra khi chúng ta tính toán các giá trị trung bình của chúng. Trường hợp một chiều . Để khảo sát chuyển động một chiều của một vật trong trường hợp tổng quát, chúng ta thống nhất về mặt thời gian, ở thời điểm t1, vật ở vị trí x1 trên trục x của hệ toạ độ và ở thời điểm t 2 vị trí của vật là x 2. Thời gian trôi qua là ∆t = t2 − t1 ; trong khoảng thời gian này độ dời của vật là ∆x = x2 − x1 . Như vậy vận tốc trung bình định nghĩa là độ dời chia cho thời gian có thể viết là: VËn tèc trung= b×nh = v x2 − x1 ∆x = , ∆t t2 − t1 ở đây v biểu diễn cho vận tốc còn dấu gạch ngang trên ( chuẩn nghĩa là trung bình. ) của v là ký hiệu Ví dụ: Một ôtô chuyển động dọc theo một đường mòn (chúng ta gọi là trục x). Chúng ta coi ôtô như là một chất điểm. Vị trí của nó như một hàm của thời 2 2 gian được xác định bởi phương trình x = At + B, ở đây A = 2.10 m/s và B = 2.80 m. (a) Xác định độ dời của đầu máy trong khoảng thời gian từ 3.00 s đến 5.00 s. (b) Xác định vận tốc trung bình trong suốt khoảng thừoi gian này. (c) Xác định độ lớn của vận tốc tức thời tại t = 5.00 s. Giải: a) Tại thời điểm t = 3.00 s vị trí của ô tô là: x1 = At12 + B = (2.10 m / s 2 )(3.00 s) 2 + 2.80 m = 21.7 m Tại thời điểm t = 5.00 s vị trí của ô tô là: x 2 = At 22 + B = (2.10 m / s 2 )(5.00 s) 2 + 2.80 m = 55.3 m Độ dời là: ∆x = x2 − x1 = 55.3 m − 21.7 m = 33.6 m. b) Vận tốc trung bình là: = v ∆x x2 − x1 33.6 m = = = 16.8 m / s ∆t t2 − t1 2.00 s c) Để xác định gia tốc tức thời ta lấy đạo hàm phương trình chuyển động x = At + B ta được: v= 2 dx d = ( At 2 + B) = 2 At dt dt 2 Tại thời điểm t = 5.00 s và A = 2.10 m / s . Ta được, = v2 2(2.10 = m / s 2 )(5.00 s ) 21.0 m / s Bài tập ví dụ Một xe ô tô chạy với một vận tốc không đổi 50 km/h được 100 km. Sau đó tăng lên 100 km/h và ạy ch được 100 km. Tốc độ trung bình của ô tô trong 200 km trên là bao nhiêu ? (a) 67 km/h, (b) 75 km/h, (c) 81 km/h, (d) 50 km/h. Trường hợp hai hoặc ba chiều. Bây giờ chúng ta có thể mở rộng các định nghĩa vận tốc theo trường hợp hai hoặc ba ều. chi z z2 z1  ∆r P1  r1  r2 y1 P2 y2 x1 y x2 x , Giả sử một hạt đi theo một đường trong không gian Oxyz như chỉ ra trong hình  vẽ trên. Tại thời điểm t 1, hạt ở vị trí p 1 và ở thời điểm t 2 hạt ở vị trí p2. Véctơ r1 là véctơ vị trí của hạt ở thời điểm t1 (nó thay cho độ dời của hạt từ điểm gốc  trong hệ tọa độ). Và r2 là véctơ vị trí ở thời điểm t2. Trong trường hợp một chiều, chúng ta định nghĩa độ dời như là sự thay đổi vị trí của vật. Trong trường hợp tổng quá t là hai hoặc ba chiều, véctơ độ dời  được định nghĩa như véctơ thay thế sự thay đổi vị trí. Chúng ta gọi nó là ∆r , ở    đây ∆r = r2 − r1 thay cho độ dời trong suốt khoảng thời gian từ ∆t = t2 − t1 .     Trong ký hiệu véctơ đơn vị, chúng ta viết, r1 =x1i + y1 j + z1k , ở đây x1 , y1 vµ z1 là các ọa t độ của điểm p 1.Tương ự, t         r2 =x2 i + y2 j + z2 k . Do đó , ∆r = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 )k . 0 , z2 − z1 = 0 và độ Nếu chuyển động chỉ dọc theo trục x thì y2 − y1 = lớn của độ dời là ∆r = x2 − x1 , điều này phù hợp với phương trình 1 chiều đơn giản. Véctơ vận tốc trung bình qua một khoảng thời gian ∆t = t2 − t1 được định nghĩa như sau  ∆r vËn tèc trung b×nh = . ∆t Bây giờ chúng ta xét một khoảng thời gian rất ngắn, như vậy chúng ta đặt ∆t xấp xỉ 0 do đó khoảng cách giữa hai điểm p1 và p2 cũng xấp xỉ 0. Chúng ta định nghĩa véctơ vận tốc tức thời như là giới hạn của vận tốc trung bình khi ∆t xấp xỉ 0: Phương của  v   ∆ r dr  = . v = lim ∆t →0 ∆t dt tại điểm bất kỳ dọc theo tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đó. Vận tốc tức thời được xác định bằng đạo hàm của véctơ vị trí theo thời gian có thể viết dưới dạng sau:      dr dx  dy  dz  v= j + k = v x i + v y j + vz k . = i+ dt dt dt dt Ở đây vx = dx/dt, vy = dy/dt và vz = dz/dt là vận tốc theo các thành phần x, y và Độ lớn vận tốc được tính theo công thức:  v=  dx     dt  v + v + v = 2 x 2 y 2 z 2  dy  +    dt  2  dz  +    dt  2 (1.23) 2.2. Gia tốc Vận tốc của một vật đang thay đổi ta nói rằng vật có gia tốc. Lấy ví dụ một xe ô tô có vận tốc tăng giá trị từ 0 đến 80 km/h là có gia t ốc. Gia tốc đặc trưng cho vận tốc của vật thay đổi nhanh như thế nào. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian, người ta đưa ra một đại lượng vật lý là gia tốc. Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổ i cả về độ lớn lẫn phương chiều, vì vậy gia tốc là một véctơ. Gia tốc trung bình Gia tốc trung bình được định nghĩa là sự thay đổi vận tốc chia cho thời gian xảy ra sự thay đổi này. Giả sử tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có vectơ vận  tốc v , tại thời điểm t' = t + ∆t chất điểm ở vị trí M' và có vectơ vận tốc    v' = v + ∆v . Như vậy trong khoảng thời gian ∆t , vận tốc của chất điểm biến thiên một lượng:    ∆v = v' − v chiều. Ký hiệu gia tốc trung bình a theo Trường hợp một ∆ t = t − t khoảng thời gian mà trong khoảng thời gian này vận tốc thay 2 1 ∆ v = v − v . đổi là 2 1 Gia tốc trung bình được xác định là, a = v2 − v1 ∆v = t2 − t1 ∆t 2 đơn vị của gia tốc trong hệ SI là m/s . Gia tốc tức thời trong trường hợp này được định nghĩa là giới hạn của g tốc trung bình trong khoảng thời gian xấp xỉ 0. ia ∆v dv d 2 x = a lim = = . ∆t →0 ∆t dt dt 2 Câu hỏi:(a) Nếu vận tốc của một vật bằng 0 có phải điều đó có nghĩa là gia t ốc bằng 0 hay không ? (b) Gia tốc của một vật bằng 0 có phải là vận tốc của vật cũng như vậy không? Cho một số ví dụ. Bài tập ví dụ 1. Một chiếc ô tô chuyển động dọc theo trục x. Dấu của gia tốc của ô tô là gì nếu nó chuyển động theo chiều dương của x với (a) tốc độ tăng dần, (b) tốc độ giảm dần ? Dấu của gia tốc là gì nếu nó chuyển động theo chiều âm của trục x với (c) tốc độ tăng dần hay (d) tốc độ giảm dần? Bài tập ví dụ 2. Chuyển động của một vật được cho là: = x (2.00 m/s3 )t 3 + (2.50 m/s )t . 2 2 Gia tốc của vật tại t = 2.00 s là bao nhiêu ? (a) 13.0 m/s , (b) 22.5 m/s , (c) 24.0 2 2 m/s , (d) 2.00 m/s . Trường hợp hai hoặc ba chiều . Người ta định nghĩa đ ộ biến thiên của vectơ vận tốc trong một đơn vị thời gian được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong thời gian ∆t :  ∆v Gia tốc trung bình = ∆t Gia tốc tức thời được định nghĩa là giới hạn của gia tốc trung bình khi khoảng thời gian khi ∆t xấp xỉ 0.     ∆v dv d 2 r = a lim = = . ∆t →0 ∆t dt dt 2  a theo các thành phần tọ Chúng ta có thể viết dv y = dt = ay d2y và= az dt dvz = dt a độ ,= ax dvx = dt d 2x ; dt d 2z như sau: dt     a = ax i + ay j + az k Độ lớn gia tốc tính theo công thức: 2 2 2  d 2x   d2y   d 2z  a + a + a = + +  2  2   2  dt   dt   dt  Ví dụ : Vị trí của một hạt như một hàm của thời gian được cho bởi phương trình   2 2 3 3 như sau, r [(5.0 m/s)t+(6.0 m/s )t ] i + [(7.0 m)-(3.0 m/s )t ] j, ở đây r là mét và t là = giây. Xác định (a) Độ dời của hạt trong khoảng t1 = 2.0 s và t2 = 3.0 s? (b) Xác định vận tốc tức thời và gia tốc như một hàm của thời gian. (c) Xác định vận tốc tức thời và gia tốc tức thời lúc t = 3.0 s. Giải (a) Tại t = 2.0 s,  a= 2 x 2 y 2 z   [(5.0 m/s)(2.0 s)+(6.0 m/s2 )(2.0 s)2 ] i + [(7.0 m)-(3.0 m/s3 )(2.0s)3 ] j   = (34 m) i − (17 m) j.  r1      = + = − r (15m+54 m) i (7.0 m-81m) j (69 m ) i (74 m ) j. Tại t = 3.0 s, 2        Do đó, ∆r = r2 − r1 = (69 m-34 m) i + (-74 m+17 m) j = (35 m) i − (57 m) j. = ∆r Suy ra,= ∆x 35 m, vµ ∆y=57 m và (35 m)2 − (57 m)2 ≈ 45 m.     dr v = [5.0 m/s+(12.0 m/s2 )t] i + [(0-(9.0 m/s3 )t 2 ]j. (b) Vận tốc theo thời gian: = dt     dv Gia tốc theo thời gian: = a = (12.0 m/s2 )i − (18 m/s3 )tj. dt (c) Vận tốc và gia tốc ở thời điểm t = 3.0 s.      = v (5.0 = m/s+36 m/s )i -(81m/s)j (41m/s )i -(81m/s)j    a = (12 m/s2 )i -(54 m/s2 )j. 2.2.2 Độ cong và bán kính cong Xét một chất điểm chuyển động có quỹ đạo   là một cung τ là một đường cong (C). Giả sử MN rất bé của đường cong. Lấy một điểm P bất kỳ M P  nằm giữa M và N (P thuộc MN ); qua ba điểm ds N M, P và N ta có thể vẽ một đường tròn. Cho N R tiến đến M và qua ba điểm mới ta lại có thể vẽ được một đường tròn mới. Khi điểm N tiến đến dφ giới hạn tại M thì đường tròn trên cũng sẽ tiến O đến một đường tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với đường cong (C) tại điểm M. Nếu gọi R là bán kính cong của đường tròn mật tiếp đó thì: (1.29) ds = Rdϕ Độ cong K của đường cong (C) tại M được tính bằng nghịch đảo của bán kính cong R: 1 dϕ = K = R ds K đặc trưng cho độ cong của quỹ đạo và phụ thuộc vào bán kính cong R của đường tròn mật tiếp. Khi R càng lớn thì K càng nhỏ; R → ∞ thì K → 0 nghĩa là chuyển động của chất điểm trên quỹ đạo cong sẽ dần tới chuyển động trên đường thẳng. Lưu ý: + Nếu vật chuyển động thẳng đều thì vận tốc trung bình bằng vận tốc tức thời. + Chuyển động thẳng biến đổi đều thì gia tốc trung bình bằng gia tốc tức thời. 2.2.3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến Ta đã biết vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên về phương, chiều và độ lớn của vectơ vận tốc. Tuy nhiên ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra thành hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc riêng về một mặt nào đó.  Nếu gọi τ là vectơ đơn vị dọc theo phương tiếp tuyến của quỹ đạo chuyển động thì vectơ vận tốc được viết lại:   ds  = = τ vτ v .τ dt Theo định nghĩa gia tốc, ta có:  = a  dvτ = dt  d( v.τ ) = dt  dv  dτ τ + v dt dt dv  Ta thấy rằng số hạng đầu tiên ở vế phải của biểu thức (1.32) τ hướng theo dt  phương tiếp tuyến và được gọi là vectơ gia tốc tiếp tuyến at . Vectơ gia tốc tiếp tuyến này có: - Phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo tại chất điểm chuyển động. - Chiều là cùng chiều chuyển động khi v tăng và ngược chiều chuyển động khi v giảm. - Độ lớn bằng đạo hàm độ lớn vận tốc đối với thời gian: dv (1.33) at = dt Tóm lại, vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về giá trị.  dτ ở số hạng thứ hai trong (1.32). Bây giờ ta hãy tính dt Trong giải tích toán học người ta chứng minh được rằng đạo hàm theo thời gian của vectơ đơn vị có phương tiếp tuyến với cungtại một điểm bằng vận tốc góc của điểm đó trên cung nhân với vectơ đơn vị n theo phương pháp tuyến với cung tại điểm đó, nghĩa là:  dτ  dϕ  (1.34) = ω = .n n dt dt với ω là vận tốc góc của điểm đó trên cung, trong đó dϕ là góc giữa OM và ON (N là điểm mà M chuyển đến sau thời gian dτ ). Theo tính chất hàm số hợp, kết hợp với (1.18) và (1.30), (1.34) được viết lại:  dτ dϕ ds  v  = = n n dt ds dt R Như vậy, số hạng thứ hai ở vế phải của biểu thức (1.32):  dτ v  v2  = = v v. n n dt R R  at  v  τ M  a  n Số hạng này được gọi là gia tốc pháp tuyến  hay gia tốc hướng tâm; nó đặc trưng cho sự an thay đổi về phương của vectơ vận tốc.  v 2  an = n R Vectơ này có các đặc điểm: - Có phương trùng với phương pháp tuyến của quỹ đạo tại điểm đang khảo sát. - Có chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo. v2 - Có độ lớn: an = R Biểu thức (1.32) được viết lại như sau:  dv  v2  = a τ + n dt R  Kết luận: Gia tốc a của một chất điểm chuyển động trên quỹ đạo cong là sự  tổng hợp của hai thành phần gia tốc: gia tốc tiếp tuyến at và gia tốc pháp tuyến  an .      a = at + an = atτ + an n dv at = trong đó: là độ lớn của vectơ gia tốc tiếp tuyến. dt v2 an = là độ lớn của vectơ gia tốc pháp tuyến. R  Độ lớn của vectơ gia tốc a : 2  v2   dv  (1.39) a= a + a =   +    dt  R Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về độ lớn; Vectơ gia ốc t pháp tuyến dặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về phương. 2 2 t 2 n Để làm rõ ý nghĩa của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, ta xét hia trường hợp đặc biệt sau: - Trường hợp chất điểm chuyển động thẳng thì bán kính của quỹ đạo R = ∞ nên  gia tốc pháp tuyến an = 0 và vectơ gia tốc chỉ có một thành phần là gia tốc tiếp  tuyến at hướng dọc theo phương của chuyển động thẳng; nghĩa là vận tốc của chất điểm chỉ thay đổi về độ lớn mà không thay đổi về phương. - Trường hợp chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo tròn có bán kính R, vận tốc chất điểm không đổi nên gia tốc tiếp tuyến bằng 0. Nếu bán kính R càng nhỏ (tức gia tốc pháp tuyến càng lớn) thì quỹ đạo càng cong nhiều, kết quả phương của vectơ vận tốc thay đổi nhiều. 2.3. Vận tốc góc và gia tốc góc M Trong chuyển động tròn, người ta còn dùng các đại lượng vận tốc góc và gia tốc góc để đặc trưng cho chuyển động này. s R O φ M' 2.3.1 Vận tốc góc Giả thiết quỹ đạo chuyển động của chất điểm M là vòng tròn tâm O bán kính R. (hình 1-8). Trong khoảng thời gian dt bán kính OM = R quét được một góc dφ. Khi đó: dϕ ω = dt được gọi là vận tốc góc của chất điểm M. Vậy: vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của góc quay đối với thời gian. Vận tốc góc được đo bằng đơn vị radian trên giây, kí hiệu là rad/s. 2.3.2 Gia tốc góc Tương tự như chuyển  động thẳng, trong chuyển động tròn người ta cũng định nghĩa gia tốc góc β là đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc góc  ω theo thời gian: dω d 2ϕ (1.40) = = β dt dt 2 Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của vận tốc góc đối với thời gian và bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối với thời gian. Gia tốc góc đo bằng radian trên giây bình phương (rad/s2). - β > 0 , ω tăng, chuyển động tròn nhanh dần; - β < 0 , ω giảm, chuyển động tròn chậm dần; - β = 0 , ω không đổi, chuyển động tròn đều. Tóm lại trong chuyển động tròn của chất điểm ta cũng có hệ thức giữa các đại lượng: = ω β t + ω0 1 (1.41) = θ ω0t + β t 2 2 ω 2 − ω02 = 2 βθ  ω 2.3.3 Mối liên hệ của vận tốc, gia tốc và tọa độ a) Mối liên hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc: Ta có:   ϕ dϕ dϕ dS 1 dS v R = = dt dS dt R dt Khi ∆t → 0 thì dS ≈ dr , suy ra: dϕ 1 dr 1 = = v ≡ ω dt R dt R (1.42) hay: v = ω .R    Nếu biểu diễn bằng các vectơ v , R nằm trong mặt phẳng vuông góc với ω (hình 1-9), khi đó:    = ω ×R v (1.43) b) Mối liên hệ giữa gia tốc dài và gia tốc góc: Theo công thức (1.37), ta có:  = a dv  v2  τ + n dt R với R là bán kính đường tròn. Ta có: v 2 = R 2ω 2 Suy ra:  = a R dω   τ + ω 2 R.n dt Vậy:    = a Rβτ + ω 2 R.n Trong đó: - Thành phần gia tốc tiếp tuyến at = Rβ . an - Thành phần gia tốc pháp tuyến= v2 ω R ≡ R 2 §3. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CƠ ĐẶC BIỆT 3.1. Chuyển động thẳng thay đổi đều Xét một vật chuyển động thẳng thay đổi đều với gia tốc không đổi:  a = const Vì là chuyển động thẳng nên an = 0, do đó: dv = a a= = const t dt Sau những khoảng thời gian bằng nhau, vận tốc vật thay đổi những lượng bằng nhau. Nếu trong khoảng thời gian từ 0 đến t, vận tốc biến thiên từ v0 đến v thì theo định nghĩa gia tốc, ta có: vt − v0 (1.44) = a = const t Từ (1.44) suy ra: = vt v0 + at (1.45) (1.45) có thể viết lại: ds = vt = v0 + at dt = ds ( v0 + at )dt do đó: (1.46) Giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến t, chất điểm đi được quãng đường s, tích phân hai vế phương trình (1.46) ta được: s ∫ = ds 0 t ∫( v 0 + at )dt 0 1 2 at 2 Khử t trong (1.45) và (1.47) ta được hệ thức: vt2 − v02 = 2as Hay: s = s0 + v0t + (1.47) (1.48) 3.2. Chuyển động với gia tốc không đổi Xét chuyển động của một chất điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đất với vectơ vận  tốc ban đầu ở thời điểm t = 0 là v0 hợp với phương nằm ngang một góc α (hình 1-10) (bài toán chuy ển động củ a đạn pháo). Chọn hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ. Viên đạn chuyển động trong trường trọng lực và do lực hướng theo phương Oy nên theo phương Ox ta có thể xem chuyển động của đạn là chuyển động đều. Còn theo phương Oy  viên đạn chuyển động chậm dần với gia tốc rơi tự do g. Do đó, thành phần của a trên hai trục là: dvx  a 0 = = x    dt (1.49) a  dv y a = = −g  y dt Lấy nguyên hàm hai vế theo t, ta được:  vx = C1 v  v y =− gt + C2 với điều kiện đầu: Do đó: Mặt khác: vx = vx(t=0) = v0x = v0cosα = C1 vy = vy(t=0) = v0y = v0sinα = C2  vx = v0 cos α v  v y =− gt + v0 sin α (1.50) dx  vx = = v0 cos α    dt v  v =dy =− gt + v sin α 0  y dt Lấy nguyên hàm hai vế theo t, ta được: = v0t cos α + C3 x  A( x, y )  1 − gt 2 + v0 sin α + C4  y = 2 = x= 0 C3 ( t =0 ) với điều kiện:  = y= 0 C4 ( t =0 ) Vậy phương trình chuyển động của viên đạn:  x = v0t cos α  (1.51)  1 2 y gt v sin α = − + 0  2 Khử t trong hai phương trình trên, ta được phương trình quỹ đạo: 1 gx 2 (1.52) − 2 + x.tgα y = 2 v0 cos 2 α Phương trình (1.52) cho thấy quỹ đạo của viên đạn là một parabol với phần lõm quay về phía dưới. Để tìm tọa độ đỉnh và vị trí cao nhất của viên đạn, từ (1.50) ta suy ra: