Tài liệu ứng dụng mô hình ma trận vào các bài toán kinh tế và bài toán sinh học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN -----š›&š›----- LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: ỨNG DỤNG MÔ HÌNH MA TRẬN VÀO CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ VÀ BÀI TOÁN SINH HỌC Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Th.s. HỒ HỮU LỘC BÙI THỊ LOAN Bộ môn toán - Khoa KHTN Lớp: Toán Ứng Dụng – K 33 MSSV: 1076637 Cần Thơ – 05 / 2011 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN......................................................................................................3 LÝ DO CHON ĐỀ TÀI .......................................................................................4 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Véc tơ riêng - giá trị riêng và chéo hóa ma trận thực.......................................5 1.1.1. Định nghĩa..............................................................................................5 1.1.2. Cách tìm giá trị riêng và véc tơ riêng......................................................5 1.1.3. Tính chất của véc tơ riêng và giá trị riêng...............................................6 1.1.4. Chéo hóa ma trận....................................................................................6 1.1.5. Điều kiện chéo hóa được của ma trận .....................................................6 1.1.6. Ví dụ ......................................................................................................7 1.2. Véc tơ riêng, giá trị riêng và chéo hóa ma trận phức ....................................11 1.2.1. Khái niệm véc tơ phức, véc tơ phức liên hợp, ma trận phức, ma trận phức liên hợp. ................................................................................................11 1.2.2. Khái niệm giá trị riêng, véc tơ riêng phức của ma trận..........................13 1.2.3. Chéo hóa ma trận có giá trị riêng và véc tơ riêng phức .........................16 1.2.4. Phân tích ma trận vuông qua phần thực và phần ảo của giá trị riêng và véc tơ riêng. ...................................................................................................18 Chương 2: MÔ HÌNH MA TRẬN CỦA CÁC BÀI TOÁN KINH TẾ 2.1. Bài toán xác định nhu cầu vốn .....................................................................20 2.1.1. Bài toán tổng quát ................................................................................20 2.1.2. Mô hình ma trận ...................................................................................21 2.1.3. Ví dụ ....................................................................................................22 2.2. Bài toán pha trộn hỗn hợp.............................................................................23 2.2.1. Bài toán tổng quát ................................................................................24 2.2.2. Mô hình ma trận ...................................................................................24 2.2.3. Ví dụ ....................................................................................................26 SVTH: Bùi Thị Loan Trang 1 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc 2.3. Mô hình kinh tế Leontief ..............................................................................28 2.3.1. Giới thiệu .............................................................................................28 2.3.2. Phương trình ma trận của mô hình kinh tế Leontief đóng .....................29 2.3.3. Phương trình ma trận của mô hình kinh tế Leontief mở ........................32 Chương 3: XÍCH MARKOV 3.1. Các khái niệm...............................................................................................40 3.1.1. Véc tơ xác suất, ma trận ngẫu nhiên, véc tơ trạng thái ổn định............40 3.1.2. Ví dụ 1 .................................................................................................40 3.1.3. Xích Markov ........................................................................................42 3.1.4. Ví dụ 2 .................................................................................................43 3.1.5. Điều kiện để xích Markov có véc tơ trạng thái ổn định .........................44 3.2. Ứng dụng của xích Markov trong bài toán kinh tế ........................................46 3.2.1. Bài toán 1 .............................................................................................46 3.2.2. Bài toán 2 .............................................................................................48 3.2.3. Bài toán 3 .............................................................................................50 3.3. Mô tả dáng điệu của xích Markov nhờ giá trị riêng và véc tơ riêng...............52 3.3.1. Bài toán 1 .............................................................................................53 3.3.2. Bài toán 2 .............................................................................................54 3.3.3. Bài toán 3 .............................................................................................56 3.3.4. Bài toán 4 .............................................................................................59 3.3.5. Nhận xét..............................................................................................60 KẾT LUẬN........................................................................................................62 TÀI LIỆU HAM KHẢO ...................................................................................63 SVTH: Bùi Thị Loan Trang 2 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy Hồ Hữu Lộc – người trực tiếp hướng dẫn tôi làm bài luận văn này. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học Cần Thơ, các thầy cô trong khoa Khoa Học Tự Nhiên đã cho tôi môi trường học tập và những kiến thức bổ ích, những kĩ năng cơ bản trong thời gian qua. Cảm ơn các bạn trong lớp Toán Ứng Dụng đã trao đổi ý kiến, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành bài luận văn. Cuối cùng tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình – những người đã bên cạnh chăm lo động viên em trong suốt những năm qua. Xin chân thành cảm ơn! Cần thơ, tháng 5 năm 2011 Bùi Thị Loan SVTH: Bùi Thị Loan Trang 3 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học được ứng dụng nhiều trong mọi lĩnh vực, đặc biệt lĩnh vực kinh tế hiện nay đang được chú ý nhất và các bài toán kinh tế là mối quan tâm chính của các nhà sản xuất. Do sự phát triển của công cụ tính toán, chúng ta có thể chuyển từ tính tay sang tính máy, nhiều bài toán kinh tế cần được tiếp cận dưới dạng mô hình ma trận để giải bằng máy cho thuận tiện. Vì vậy tôi đã tìm hiểu một số mô hình kinh tế có thể sử dụng dạng ma trận trong tính toán. Đó là một số bài toán kinh tế đơn giản như xác định nhu cầu vốn bằng cách nhân ma trận, giải bài toán pha trộn hỗn hợp bằng cách tìm nghiệm của phương trình ma trận. Và một số bài toán lớn như lập kế hoạch sản xuất để đáp ứng cung - cầu trong mô hình kinh tế Leontief, và bài toán sử dụng xích Markov để dự báo tương lai cho hệ thống, đồng thời tìm ra giải pháp xử lý tốt cho hệ thống. Ngoài ra, tôi còn đưa ra một số ứng dụng của xích Markov trong lĩnh vực sinh học, đó là các bài toán tìm sự phát triển của một số hệ động vật dựa vào véc tơ riêng và giá trị riêng của ma trận trạng thái. SVTH: Bùi Thị Loan Trang 4 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Véc tơ riêng – Giá trị riêng và chéo hóa ma trận thực 1.1.1. Định nghĩa Cho ma trận vuông A cấp n. Số λ được gọi là một giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại véc tơ cột x ≠ 0; x ∈ Rn, sao cho Ax = λ x. Khi đó, véc tơ x được gọi là véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ . Ví dụ: 1 6  6 Cho A =   và u = − 5 5 2   1 6   6  − 24 6 Ta có Au =    =   = – 4 − 5 = – 4u 5 2  − 5  20    Nên u là một véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng là – 4. 1.1.2. Cách tìm giá trị riêng và véc tơ riêng Định lý: 1) Số λ là giá trị riêng của ma trận vuông A khi và chỉ khi λ là nghiệm của phương trình đặc trưng: det(A- λ I) = 0 2) Nếu λ là một giá trị riêng của A thì véc tơ riêng x ứng với giá trị riêng λ là nghiệm khác 0 của hệ thuần nhất : (A- λ I)x = 0 SVTH: Bùi Thị Loan Trang 5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc 1.1.3. Tính chất của véc tơ riêng và giá trị riêng của ma trận 1) Nếu x là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ thì λ là duy nhất. Ngược lại, một giá trị riêng λ có thể ứng với nhiều véc tơ riêng khác nhau. 2) Giá trị riêng của ma trận tam giác là các phần tử nằm trên đường chéo. 3) Hai ma trận đồng dạng có chung tập các giá trị riêng. 4) Giả sử ma trận vuông A cấp n có k (1≤ k ≤ n ) giá trị riêng λ1 , λ 2 ,…, λk phân biệt thì tập hợp gồm k véc tơ riêng tương ứng {v1, v2,….vk} là độc lập tuyến tính trong Rn. 5) Nếu x là véc tơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với giá trị riêng λ thì : - Với số nguyên dương n bất kỳ, λn là giá trị riêng của An với véc tơ riêng tương ứng x. - Nếu A là ma trận khả nghịch thì 1/ λ là giá trị riêng của A-1 với véc tơ riêng tương ứng x. 1.1.4. Chéo hóa ma trận Định nghĩa: Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận P khả nghịch và ma trận dạng chéo D để cho A có sự phân tích: A = P.D.P-1 1.1.5. Điều kiện chéo hóa được của ma trận Định lý 1: Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi A có đúng n véc tơ riêng độc lập tuyến tính. Hệ quả: Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. SVTH: Bùi Thị Loan Trang 6 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc Định lý 2: Giả sử A n × n có k giá trị riêng phân biệt λ1 , λ2 ,…, λk , 1≤ k ≤ n. Gọi E( λi ) là không gian riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λi . Khi đó: k A n × n chéo hóa được ⇔ ∑ dim E(λi ) = n i =1 Nhận xét: Ma trận A chéo hóa được thì Ak tính dễ dàng nhờ công thức Ak = P.Dk.P-1 Thật vậy, giả sử A là ma trận chéo hóa được và viết dưới dạng A = P.D.P-1 Thì A2 = (P.D.P-1)(P.D.P -1) = P.D.(P -1.P).D.P-1 = P.D2.P-1 A3 = A2.A = (P.D2.P-1).(P.D.P-1) = P.D2.(P -1.P).D.P-1 = P.D3.P-1 Giả sử công thức trên đúng đến k -1, tức là Ak-1 = P.Dk-1.P -1 Ta sẽ chứng minh công thức đúng với mọi k ≥ 1. Ta có Ak = Ak-1.A = (P.Dk-1.P-1).( P.D.P-1) = P.Dk-1.(P-1.P).D.P-1 = P.Dk-1.D.P-1 = P.Dk.P-1 Vậy, với k ≥ 1 thì : Ak = P.Dk.P-1 1.1.6. Ví dụ Ví dụ 1: Chéo hóa ma trận A (nếu có thể được): SVTH: Bùi Thị Loan Trang 7 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc  − 1 4 − 2 A= − 3 4 0  − 3 1 3  Giải: - Tìm các giá trị riêng của A: Các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(A- λ I) = 0 −1− λ ⇔ −3 −3 −2 0 =0 4 4−λ 1 3−λ ⇔ − 2[−3 + 3(4 − λ )] + (3 − λ )[(−1 − λ )(4 − λ ) + 12] = 0 ⇔ − λ3 + 6λ2 − 11λ + 6 = 0  λ1 = 3 ⇔  λ2 = 1  λ 3 = 2 Vì A 3×3 có 3 giá trị riêng phân biệt nên A chéo hóa được. - Tìm các véc tơ riêng độc lập tuyến tính của A:  − 4 4 − 2 1 − 1 1 2  1 0 − 1 4      Với λ1 = 3 ta có: A − λ1 I =  − 3 1 0  → 0 − 2 3 2 → 0 1 − 3 4  − 3 1 0  0 0 0 0 0  0  t 4 Véc tơ riêng là: u1 = 3t 4 với t ≠ 0 , chọn t = 4 thì u1 =  t   − 2 4 − 2 Với λ2 = 1 ta có A − λ2 I =  − 3 3 0   − 3 1 2  1  3    4  1 − 2 1  → 0 − 3 3  0 1 − 1 1 0 − 1 → 0 1 − 1 0 0 0  t  1 Véc tơ riêng là: u2 = t  = 1t , với t ≠ 0 , chọn t = 1 thì u2 = t  1 SVTH: Bùi Thị Loan Trang 8 1 1  1 1 − 2 1  → 0 1 − 1 0 0 0  Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc  − 3 4 − 2  − 3 4 − 2  − 3 4 − 2     Với λ3 = 2 ta có A − λ3 I = − 3 2 0  →  0 2 − 2 →  0 1 − 1  − 3 1 1   0 3 − 3  0 0 0  − 3 0 2  1 0 − 2 / 3   → 0 1 − 1 → 0 1 − 1      0 0 0  0 0 0  2t / 3 Véc tơ riêng là: u3 =  t  với t ≠ 0 , chọn t = 3 thì u3 =  t  - Lập ma trận P chéo hóa được A và dạng chéo D tương ứng: 1 1 2  P = 3 1 3 và D = 4 1 3  3 0 0 0 1 0    0 0 2 Kiểm tra lại: A = P.D.P -1 ⇔ A.P = P.D  − 1 4 − 2  1 1 2   3 1 4  A.P = − 3 4 0  3 1 3 =  9 1 6  − 3 1 3  4 1 3 12 1 6  1 1 2   3 0 0   3 1 4     P.D = 3 1 3 0 1 0  =  9 1 6  4 1 3 0 0 2 12 1 6  Nên A.P = P.D  − 1 4 − 2   1 1 2   3 0 0  1 1 2  Ta có A = − 3 4 0  = 3 1 3 0 1 0 3 1 3  − 3 1 3  4 1 3 0 0 2 4 1 3  Ví dụ 2: 4 − 3 Tính A8 với A =   2 − 1 Giải: - Tìm các giá trị riêng của A: Ta có: det(A- λ I) = 0 ⇔ SVTH: Bùi Thị Loan 4−λ −3 =0 2 −1 − λ Trang 9 −1 2  3    3  Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc ⇔ (4 − λ )(−1 − λ ) + 6 = 0 ⇔ λ2 − 3λ + 2 = 0 λ =1 ⇔ 1 λ 2 = 2 - Tìm các véc tơ riêng của A: Với λ1 = 1 ta có:  3 − 3 1 − 1 1 − 1 0  A − λ1 I = A – I =   → 1 − 1 → 0  2 − 2    1 1   Véc tơ riêng ứng với λ1 = 1 là v1 =   t , t ≠ 0 , chọn t = 1 thì v1 =   1 1 Với λ 2 = 2 ta có: 2 − 3 2 − 3 0  A − λ2 I = A – 2I =   → 0 2 − 3   3 Véc tơ riêng ứng với λ2 = 2 là v2 =   t , t ≠ 0 , chọn t = 1 thì v2 =  2 3 1  2 0 Do đó P =  và D =    2 1 0 1 P-1 = 1  1 − 1 1  1 − 1  1 − 1 = = det P − 2 3  1 − 2 3  − 2 3  Từ A = P.D.P-1 ta có : A8 = P.D8.P-1 3 1 2 8 0  1 =   8  2 1  0 1  − 2 3 1 256 0 1 =   2 1  0 − 1 3   1 − 1 − 2 3    766 − 765 =   510 − 509 SVTH: Bùi Thị Loan Trang 10  3  2   Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc 1.2. Véc tơ riêng, giá trị riêng và chéo hóa ma trận phức 1.2.1. Khái niệm véc tơ phức, véc tơ phức liên hợp, ma trận phức, ma trận phức liên hợp - Véc tơ với các phần tử là số phức được gọi là véc tơ phức. Tập các véc tơ phức có n thành phần, ký hiệu là Cn. Phần thực và phần ảo của véc tơ phức x là các véc tơ Re x và Im x được tạo thành từ phần thực và phần ảo của các phần tử trong x. Ví dụ :  3 − i  3 − 1       Nếu x =  i  = 0 + i  1  thì 2 + 5i  2  5   3   Re x = 0 , Im x = 2 − 1 1    5  - Véc tơ phức x có véc tơ liên hợp là x , với các phần tử của x là liên hợp của các phần tử tương ứng trong x. x = Re x + i.Im x ⇒ x = Re x – i.Im x Ví dụ : 3  − 1  3 + i   3 − i  3 − 1       Nếu x =  i  = 0 + i  1  thì x = 0  − i  1  =  − i  2   5  2 − 5i  2 + 5i  2  5  - Ma trận với các phần tử là số phức được gọi là ma trận phức. Tập các ma trận phức cỡ m × n ký hiệu là MC(m,n). (Chú ý : tập các ma trận thực cỡ m × n ký hiệu là MR(m,n) ). - Nếu B là ma trận phức thì B là ma trận phức liên hợp của B, với các phần tử là liên hợp phức của các phần tử tương ứng trong B. B = [bij] ⇒ B = [ bij ] , B = [ b 1 b 2 … b n ] ⇒ B = [ b1 b2 ... bn ] Ví dụ: SVTH: Bùi Thị Loan Trang 11 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc 2 + 4i Cho B = [ b1 b2 ] =   1 3−i  2 + 4i  2 + 4i  thì b1 =  , b2 =     2 − 5i   1   1   2 − 4i 3 + i  ⇒ B = [b1 b2 ] =  2 + 5i   1 - Mệnh đề 1: Cho r ∈ C; x ∈ Cn ; A, B ∈ MC(m,n), thì : i) rx = r .x ii) r. A = r . A iii) Ax = A.x iv) A.B = A.B Chứng minh: i) rx = r .x Gọi r = Re r + i.Im r x = Re x + i.Im x Ta có : r.x = (Re r + i.Im r )( Re x + i.Im x ) = (Re r.Re x – Im r.Im x) + i.( Re r.Im x + Im r.Re x) ⇒ r.x = (Re r.Re x – Im r.Im x) – i.( Re r.Im x + Im r.Re x) = Re r.(Re x – i.Im x) – i.Im r.(Re x – i.Im x) = (Re r – i.Im r).(Re x – i.Im x ) = r.x ii) r. A = r . A Gọi r = Re r + i.Im r A = Re A + i.Im A Ta có : r.A = (Re r + i.Im r).(Re A + i.Im A) = (Re r.Re A – Im r.Im A) + i.( Re r.Im A + Im r.Re A) ⇒ r. A = (Re r.Re A – Im r.Im A) – i.( Re r.Im A + Im r.Re A) = Re r.(Re A – i.Im A) – i.Im r.(Re A – i.Im A) SVTH: Bùi Thị Loan Trang 12 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc = (Re r – i.Im r).(Re A – i.Im A) = r. A iii) Ax = A.x Gọi A = Re A + i.Im A x = Re x + i.Im x Ta có : A.x = (Re A + i.Im A).( Re x + i.Im x) = (Re A.Re x – Im A.Im x) + i.( Re A.Im x + Im A.Re x) ⇒ A.x = (Re A.Re x – Im A.Im x) – i.( Re A.Im x + Im A.Re x) = Re A.(Re x – i.Im x) – i.Im A.(Re x – i.Im x) = (Re A – i.Im A).(Re x – i.Im x) = A.x iv) A.B = A.B Gọi A = Re A + i.Im A B = Re B + i.Im B Ta có : A.B = (Re A + i.Im A).(Re B + i.Im B) = (Re A.Re B – Im A.Im B) + i.(Re A.Im B + Im A.Re B) ⇒ A.B = (Re A.Re B – Im A.Im B) – i.(Re A.Im B + Im A.Re B) = Re A.(Re B – i.Im B) – i.Im A.(Re B – i.Im B) = (Re A – i.Im A).(Re B – i.Im B) = A.B 1.2.2. Khái niệm giá trị riêng – véc tơ riêng phức của ma trận Phương trình đặc trưng của ma trận vuông cấp n là phương trình đa thức bậc n nên sẽ có n nghiệm trong C. SVTH: Bùi Thị Loan Trang 13 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc Định nghĩa: Cho ma trận A ∈ MC(n,n). Số λ ∈ C được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại véc tơ phức x ≠ 0 sao cho Ax = λ x. Khi đó x được gọi là véc tơ riêng (phức) của A ứng với giá trị riêng λ . • Mệnh đề 1: Nếu λ là giá trị riêng của A ∈ MR(n,n) với véc tơ riêng tương ứng x thì λ cũng là giá trị riêng của A với véc tơ riêng tương ứng x Chứng minh: Nếu λ là một giá trị riêng phức của A với x là véc tơ riêng phức tương ứng, thì: A x = A.x = A.x = λ .x = λ .x Do đó λ cũng là một giá trị riêng của A với véc tơ riêng tương ứng là x . Từ mệnh đề 1 suy ra khi A ∈ MR(n,n) có 1 giá trị riêng phức thì sẽ có thêm 1 giá trị riêng phức nữa. Các giá trị riêng này là các cặp liên hợp phức và các véc tơ riêng phức tương ứng cũng là các cặp liên hợp phức với nhau. (Ở đây ta dùng thuật ngữ giá trị riêng phức để chỉ giá trị riêng dạng λ = a + bi với b ≠ 0). • Mệnh đề 2: Cho A ∈ MC(n.n) và x ∈ Cn là véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ ∈ C. Khi đó: ∀µ ∈ C , µ ≠ 0 thì µ x cũng là véc tơ riêng của A. Chứng minh: Ta có A( µ x) = µ (Ax) = µ ( λ x) = λ ( µ x) Do đó µ x cũng là véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ • Mệnh đề 3: Giả sử A ∈ MR(n,n) và A là ma trận đối xứng (AT= A). Khi đó: i) ∀ x ∈ Cn và q = x T A.x thì q = q (tức là q ∈ R) SVTH: Bùi Thị Loan Trang 14 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc ii) Nếu A.x = λ x với 0 ≠ x ∈ Cn thì λ là giá trị riêng thực, Im x và Re x là véc tơ riêng của A. Chứng minh: i) Ta có : q = x T A.x = x T A.x = x T A.x = x T Ax ( vì A là ma trận thực) = ( x T Ax )T ( vì x T Ax là một vô hướng) = x T AT(xT)T (chuyển vị của một tích) = x T A.x ( vì A là ma trận đối xứng) = q. Vậy q = q . ii) - Gọi: x = Re x + i.Im x. Ta có x T A.x = x T ( λ x) = λ x T x, mà x T A.x = q ∈ R (theo i)) nên λ x T x ∈ R. Mặt khác, ta có: x T x = (Re x - i.Im x)T.(Re x + i.Im x) = (Re x)TRe x + i.((Re x)TIm x – (Im x)TRe x) + (Im x)TIm x = (Re x)TRe x + i.((Re x)TIm x – ((Re x)TIm x)T) + (Im x)TIm x Vì (Re x)TIm x ∈ R ⇒ (Re x)TIm x = ((Re x)TIm x)T nên T T x T x = (Re x) Re x + (Im x) Im x ⇒ xT x ∈ R Do đó λ ∈ R. - Ta có: Ax = A(Re x + i.Im x) = A.Re x + i.A.Im x λ x = λ (Re x +i.Im x) = λ Re x + i. λ Im x. Theo giả thiết Ax = λ x ⇔ A.Re x + i.A.Im x = λ Re x + i. λ Im x  A. Re x = λ. Re x ⇔   A. Im x = λ. Im x ⇒ Re x và Im x đều là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ . • Mệnh đề 4: Giả sử A∈ MR(n,n) và x ∈ Cn . Khi đó : SVTH: Bùi Thị Loan Trang 15 Luận văn tốt nghiệp i) GVHD: Hồ Hữu Lộc Re(Ax) = A(Re x) ii) Im(Ax) = A(Im x). Chứng minh: Ta viết x = Re x + i.Im x Thì Ax = A(Re x + i.Im x) = A(Re x) + i.A(Im x) Do đó: Re(Ax) = A(Re x) Im(Ax) = A(Im x) • Mệnh đề 5: Giả sử A∈ MC(2,2) có λ = a – bi , b ≠ 0 là giá trị riêng ứng với véc tơ riêng v ∈ C2 . Khi đó : i) A(Re v) = a.Re v + b.Im v ii) A(Im v) = -b.Re v + a.Imv Chứng minh: Nếu λ = a – bi thì Av = λ v = (a – bi)(Re v + i.Im v) = (a.Re v + b.Im v) + i.(a.Im v – b.Re v) ⇒ Re(Av)= a.Re v + b.Im v ⇒ A(Re v) = a.Re v + b.Im v Và (theo mệnh đề 4) Im(Av) = a.Im v – b.Re v ⇒ A(Im v) = - b.Im v + a.Re v (theo mệnh đề 4) 1.2.3. Chéo hóa ma trận có giá trị riêng phức Ví dụ: Chéo hóa ma trận A: 5 − 2 3   A=  1 Giải: SVTH: Bùi Thị Loan Trang 16 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc - Tìm các giá trị riêng của A: det(A- λ I) = 0 ⇔ 5−λ −2 1 3−λ =0 ⇔ (5 - λ ) (3 - λ ) + 2 = 0 ⇔ λ2 − 8λ + 17 = 0 ⇔ λ = 4±i ⇒ A2x2 có 2 giá trị riêng phân biệt nên A chéo hóa được - Tìm các véc tơ riêng của A: Vì A có cặp giá trị phức liên hợp là 4 + i và 4 − i nên ta chỉ cần tìm véc tơ riêng u1 ứng với λ1 = 4 + i còn véc tơ riêng u2 là liên hợp của u1 Với λ1 = 4 + i − 2  1 − i −2  5 − (4 + i ) 1 − (1 + i ) = →   1 3 − (4 + i )  1 − (1 + i) 0   0 ta có A − λ1 I =  (1 + i)t  1 + i  ⇒ véc tơ riêng là: u1 =  với t ≠ 0 . chọn t = 1 thì u1 =     t   1  1 − i  ⇒ u2 =    1  - Lập ma trận P chéo hóa được A và dạng chéo D tương ứng: 0  1 + i 1 − i  4 + i và D =   1  4 − i   0 P=   1 Kiểm tra lại: A.P = P.D 5 − 2 1 + i 1 − i  3 + 5i 3 − 5i  = 1   4 + i 4 − i  3   1  A.P =  1 0  1 + i 1 − i  4 + i 3 + 5i 3 − 5i  =      4 − i 1  0  4+i 4 −i  P.D =   1 Do đó AP = PD. 5 − 2 1 + i 1 − i  = 3   1 1   A=  1 SVTH: Bùi Thị Loan 0  4 + i  0 4 − i   1 + i 1 − i   1 1   Trang 17 −1 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc 1.2.4. Phân tích ma trận cấp 2 có giá trị riêng và véc tơ riêng phức Khi chéo hóa một ma trận A, ta phân tích A qua ma trận khả nghịch P và ma trận dạng chéo D bằng công thức: A = P.D.P-1. Ngoài ra, ma trận thực A2 × 2 với các giá trị riêng phức và véc tơ riêng phức còn có thể phân tích nhờ vào một giá trị riêng và một véc tơ riêng tương ứng. Ta có định lý về sự phân tích như sau: Định lý: Cho A2 × 2 là ma trận thực với giá trị riêng phức λ = a − ib , (b ≠ 0) và véc tơ riêng tương ứng x thì: a − b  a  A = P.C.P-1, trong đó P = [Re x Im x] và C =  b Chứng minh: Xét A.P = A.[Re x Im x] = [A(Re x) A(Im x)] = [Re(A x) Im(Ax)] = [a.Re x + b.Im x = [Re x - b.Re x + a.Im x] (theo mệnh đề 4) a − b  Im x]   = P.C b a  Do A.P = P.C và P khả nghịch nên A = P.C.P-1. 5 − 2 khi đó A có giá trị riêng là 3   Trở lại ví dụ trên, ta phân tích ma trận A =  1 1 − i  λ1 = 4 − i và véc tơ riêng tương ứng là x =    1  Ta có: 1 − 1 0   P = [Re x Im x] =  1 4 − 1 4   C=  1 Khi đó, SVTH: Bùi Thị Loan Trang 18 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Hồ Hữu Lộc 1 − 1 4 − 1 1 − 1 A = P.C.P =     1 0  1 4  1 0  −1 -1 SVTH: Bùi Thị Loan Trang 19