Tài liệu Tôpô yếu trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN LÊ THỊ THU HIỀN TÔPÔ YẾU TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Th.S HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Ngọc Tuấn - Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này. Do thời gian và kiến thức có hạn và cũng là lần đầu nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Qua quá trình nghiên cứu khóa luận: “ Tôpô yếu trong không gian Banach” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích. Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học.. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân em cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy giáo - Th.S Hoàng Ngọc Tuấn. Kết quả của đề tài “ Tô pô yếu trong không gian Banach” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.. Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Kiến thức mở đầu về không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Nguyên lí bị chặn đều Banach - Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Tôpô yếu trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Cấu trúc cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỉ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân. . . Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích lũy được một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả rất mẫu mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài ra, nó còn có những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác. Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trìu tượng. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích hàm em đã chon đề tài: “Tôpô yếu trong không gian Banach”. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về tôpô, một nội dung khá quen thuộc và bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát của giải tích hàm. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết về tô pô yếu trong không gian Banach để thấy được 1 các tính chất của nó. 3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến tô pô yếu và tô pô yếu*. 4.Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh,. . . 5. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến tô pô yếu trong không gian Banach. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Tôpô yếu trong không gian banach. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian tôpô 1.1.1. Kiến thức mở đầu về không gian tôpô Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập bất kỳ. Ta nói một họ τ những tập con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X nếu: (i) Hai tập φ và X đều thuộc họ τ. (ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là: giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó. (iii) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là: hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó. Một tập X, cùng với một tôpô τ trên X, gọi là không gian tôpô (X, τ)(hay đơn giản không gian tôpô X). 3 Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X. Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V được gọi là lân cận của x. Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở. Định nghĩa 1.3. Cho không gian tôpô X tập con A và điểm x ∈ X. • Điểm x gọi là điểm trong của A nếu có một lân cận V sao cho V ⊂ A. • Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu có một lân cận V sao cho V ∩ A = ∅. • Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có V ∩ A 6= ∅ và V ∩ (X\A) 6= ∅. Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A. Kí hiệu: ∂ A. • Ta gọi phần trong của A là hợp tất cả các tập mở chứa trong A. Kí hiệu: Ao . Từ định nghĩa ta có: Ao là tập mở lớn nhất chứa trong A. A ⊂ B thì Ao ⊂ Bo và A khi và chỉ khi A = Ao . • Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A. Kí hiệu: A. Từ định nghĩa ta có: A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. A ⊂ B thì A ⊂ B và A là đóng khi và chỉ khi A = A. Định nghĩa 1.4. Một tập con M của không gian tôpô X được gọi là trù mật trong X nếu M = X. 4 Định nghĩa 1.5. Không gian tôpô X gọi là tách được nếu tồn tại tập hợp M ⊂ X đếm được và trù mật trong X. Định nghĩa 1.6. Cho X là không gian tôpô thỏa mãn với mọi cặp các điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X đều có hai lân cận V1 ,V2 của x1 , x2 sao cho V1 ∩V2 = ∅. Khi đó, X được gọi là không gian tách (hay không gian Hausdorff), và tôpô của nó cũng gọi là tôpô tách (hay tôpô Hausdorff). 1.1.2. Không gian compact Định nghĩa 1.7. (Tập compact) Cho X là một không gian tôpô. Tập con A ⊆ X gọi là compact( trong X) nếu với mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn. Điều này có nghĩa là nếu Di là các tập con mở của X với mọi i ∈ I và A ⊆ S Di có một tập hợp i∈I hữu hạn I0 ⊆ I sao cho S Di ⊇ A. i∈I0 Chú ý: Ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact. Định nghĩa 1.8. (Không gian compact) Không gian X được gọi là không gian compact nếu X là một tập compact trong X. Tức là nếu Di là mở trong X với mọi i ∈ I và S Di = X thì có một i∈I tập hữu hạn I0 ⊆ I sao cho S Di = X. i∈I0 Định lý 1.1. (Tychonoff) Tích Descartes ∏ Xi của một họ các không gian tôpô không rỗng {Xi , i ∈ I} i∈I là không gian compact khi và chỉ khi Xi là không gian compact với mọi i∈I . 5 1.2. Không gian định chuẩn 1.2.1. Kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9. Cho X là không gian vectơ trên trường K ( K = R hoặc K = C ). Ánh xạ k·k : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu: (i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X; (ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0; (iii) kλ xk = |λ | kxk với mọi x ∈ Xvà λ ∈ K; (iv) kx + yk ≤ kxk + kykvới mọi x, y ∈ X( bất đẳng thức tam giác). Không gian vectơ với chuẩn (X, k.k) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (hoặc đơn giản là không gian định chuẩn). Ví dụ: Không gian C[0,1] biểu thị không gian vectơ của tất cả các hàm vô hướng có giá trị liên tục trên [0, 1], cho bởi chuẩn k f k∞ = sup {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} Chúng ta dễ dàng kiểm tra được C [0, 1] là không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian định chuẩn. Ta đặt d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ X (∗) Khi đó d là một metric trên X Nhận xét: Nhờ Mệnh đề 1.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở 6 thành không gian metric với metric (*). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. Nguyên lý phạm trù Baire đã được phát biểu trong không gian metric, sau đây ta sẽ phát biểu lại trong không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.11. Cho không gian định chuẩn X. Tập E ⊂ X gọi là không đâu trù mật trong không gian X, nếu hình cầu bất kỳ B ⊂ X đều chứa một hình cầu B1 sao cho B1 ∩ E = ∅. Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X . Tập F ⊂ X gọi là tập phạm trù thứ nhất, nếu tập F là hợp đếm được những tập không đâu trù mật trong không gian X . Tập con của X không là tập phạm trù thứ nhất thì gọi là tập phạm trù thứ hai. Mệnh đề 1.2. Mọi không gian Banach là tập phạm trù thứ hai. Định nghĩa 1.13. Tập Y 6= ∅ gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn X, nếu Y là không gian tuyến tính con của không gian Xvà chuẩn xác định trên Y là chuẩn xác định trên X. Nếu Y đồng thời là tập đóng trong không gian X, thì Y gọi là không gian định chuẩn con đóng của không gian X. Mệnh đề 1.3. (Riesz) Cho X là không gian định chuẩn. Nếu Y là một không gian con đóng thực sự của X, thì với mọi ε > 0 tồn tại x ∈ SX sao cho dist(x,Y ) = inf {kx − yk : y ∈ Y } ≥ 1 − ε . 7 Định nghĩa 1.14. Cho X = (X, k.k) là một không gian Banach, M ⊂ X . Khi đó: • BX = {x ∈ X : kxk ≤ 1 kí hiệu hình cầu đơn vị đóng của X. • SX = {x ∈ X : kxk = 1} kí hiệu hình cầu đơn vị của X. • Bao tuyến tính ( hoặc khoảng) của M được kí hiệu bởi span (M) ; nghĩa là giao của tất cả các không gian con tuyến tính của X chứa M. Tương đương, khoảng (M) là không gian con nhỏ nhất ( theo nghĩa bao hàm) của X chứa M. Tương tự, span (M) là viết tắt cho bao lồi đóng tuyến tính của M. • Bao lồi của Mđược kí hiệu bởi conv (M); nghĩa là giao của tất cả các tập lồi chứa M và conv (M) là kí hiệu bao lồi đóng của M. Định nghĩa 1.15. Cho X là không gian Banach. Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu: ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ A Định nghĩa 1.16. Cho X là không gian Banach, tập A ⊂ X. Đoạn nối x, y được định nghĩa như sau: [x,y] = {z ∈ A : z = λ x + (1 − λ )y, 0 ≤ λ ≤ 1} 1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.17. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P(P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện: 8 (i) (∀x, x0 ∈ X) A(x + x0 ) = Ax + Ax; (ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P) Aαx = αAx. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính và khi Y = P thì toán tử tuyến tính gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.18. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho: kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X Ta kí hiệu B(X,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Nếu X = Y ,đặt B(X) = B(X, X). Định lý 1.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, ba mệnh đề sau tương đương: (i) A liên tục; (ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X; (iii) A bị chặn. Định lý 1.3. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Nếu Y là không gian Banach, thì B(X,Y ) là không gian Banach. 1.2.3. Nguyên lí bị chặn đều Banach - Steinhaus Định nghĩa 1.19. Cho họ (At )t∈T gồm các toán tử tuyến tính At từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là tập chỉ số có lực lượng nào đấy. Họ (At )t∈T gọi là bị chặn từng điểm, nếu với mỗi x ∈ X 9 tập (At x)t∈T bị chặn. Họ (At )t∈T gọi là bị chặn đều, nếu tập (kAt k)t∈T bị chặn. Định lý 1.4. (Nguyên lí bị chặn đều Banach- Steinhaus) Nếu họ (At )t∈T các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều. 1.2.4. Không gian liên hợp Định nghĩa 1.20. Cho không gian định chuẩn X trên trường K (K = R hoặc K = C). Ta gọi không gian I(X, K) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu là X ∗ . Như vậy, không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không gian Banach. Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu là X ∗∗ , các không gian liên hợp thứ ba X ∗∗∗ không gian liên hợp thứ tư X ∗∗∗∗ ,. . . của không gian định chuẩn X được định nghĩa tương tự. Định lý 1.5. ( Hahn, Banach) Cho C là một tập lồi đóng trong không gian Banach X. Nếu x0 ∈ / C thì tồn tại f ∈ X ∗ sao cho Re( f (x0 )) > sup {Re( f (x)) : x ∈ C}. Hệ quả 1.1. Cho X là một không gian Banach thực . (i) Cho C là một tập lồi mở trong X. Nếu x0 ∈ / C thì tồn tại f ∈ X ∗ và λ ∈ R sao cho f (x0 ) = λ và f (x) < λ với mọi x ∈ C. 10 (ii) Cho A, B là các tập lồi rời nhau trong X. Nếu A là mở, thì tồn tại f ∈ X ∗ và λ ∈ R sao cho f (a) < λ với mọi a ∈ A và f (b) ≥ λ với mọi b ∈ B. Định lý 1.6. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Ta nói rằng X là tách được nếu tồn tại một dãy {xi }∞ i=1 trong X mà trù mật trong X. Mệnh đề 1.4. Cho X là một không gian Banach. Nếu X ∗ là tách được, thì X là tách được. Mệnh đề 1.5. Ta có: (i) Nếu p ∈ [0, ∞], thì không gian l p là tách được. (ii) Các không gian C và C0 là tách được. (iii) Không gian l∞ là không tách được. Mệnh đề 1.6. Không gian C∗ [ 0,1] là không tách được. 11 Chương 2 Tôpô yếu trong không gian Banach Cho trước không gian định chuẩn (X, k·k), ta kí hiệu không gian X ∗∗ là (X ∗ )∗ với chuẩn kFk = sup |F( f )|. Chúng ta thường định nghĩa cao hơn bằng phương pháp quy f ∈BX ∗ nạp X ∗∗∗ = (X ∗∗ )∗ , . . . 2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu* Định nghĩa 2.1. Cho X là không gian định chuẩn. Phép nhúng chính tắc π từ X vào X ∗∗ được định nghĩa với x ∈ X theo công thức π(x) : f 7→ f (x) . 12 Chú ý rằng π là toán tử tuyến tính. Thật vậy, π (αx + β y) ( f ) = f (αx + β y) = α f (x) + β f (y) = [απ(x) + β π(y)] ( f ) Hơn nữa, với x ∈ X ta có kπ(x)k = lim | f (x)| ≤ lim k f k · kxk ≤ kxk. f ∈BX ∗ f ∈BX ∗ Xét f0 ∈ SX ∗ sao cho f0 (x) = kxk, ta có kπ(x)k ≥ | f0 (x)| = kxk. Vậy kπ(x)k = kxk. Cách dùng kí hiệu tự nhiên này, với x ∈ X ta thường viết x ∈ X ∗∗ thay vì viết π(x) ∈ X ∗∗ , và ta đồng nhất X với π(X) ∈ X ∗∗ . Đặc biệt, x( f ) = x( f ) với x ∈ X và f ∈ X ∗ . Tính chất 2.1. Với mọi không gian định chuẩn X, đều tồn tại không gian đủ Xe của nó, tức là, một không gian Banach Xe sao cho X là tập con trù mật e của X. X ∗∗ Chứng minh. Chúng ta có thể sử dụng Xe = π(x) . Cho trước các không gian định chuẩn X,Y và T ∈ B(X,Y ), ta định nghĩa tương tự T ∗∗ = (T ∗ )∗ . Chú ý rằng với x ∈ X ta có T ∗∗ (π(x)) = π(T (x)); đặc biệt T ∗∗ (π(X)) ⊂ π(Y ). Ta có T ∗∗ (X) ⊂ Y và T ∗∗ |X = T . Định nghĩa 2.2. Cho X là một không gian định chuẩn. Tôpô yếu (w-) trên X là tôpô sinh bởi một cơ sở gồm các tập O = {x ∈ X : | fi (x − x0 )| < ε, i = 1, 2, ..., n} Với mọi x0 ∈ X, f1 , ..., fn và ε > 0. Tương tự, tôpô yếu* (w∗ -) trên không gian liên hợp X ∗ của không gian X được sinh bởi một cơ sở gồm các tập O∗ = { f ∈ X ∗ : |( f − f0 )(xi )| < ε, i = 1, 2, ..., n} 13 Với mọi f0 ∈ X ∗ , x1 , ..., xn ∈ X và ε > 0. Trong trường hợp phức, ta có thể định nghĩa tương đương tôpô yếu trên X chỉ dùng các hàm từ XR . Tôpô yếu* trên không gian X ∗ cũng có thể được định nghĩa tương đương dùng |Re( f − f0 )(xi )| trong sự mô tả cơ sở của chúng. Cho X là một không gian Banach thực. Kí hiệu nửa không gian của X là tập mở yếu có dạng {x ∈ X : f (x) < α } với f ∈ X ∗ \ {0} và α ∈ R nào đó. Giao hữu hạn của các nửa không gian tạo thành một cơ sở của tôpô yếu. Chú ý rằng tôpô yếu* và tôpô yếu là Hausdorff. Thật vậy, cho trước f 6= g trong không gian X ∗ tồn tại x ∈ X và một vô hướng α sao cho f (x) > α > g(x). Các tập mở yếu* {h ∈ X ∗ : h(x) > α } và {h(x) ∈ X ∗ : h(x) < α } tách f và g. Chứng minh tương tự cho trường hợp tôpô yếu, trong đó có sử dụng định lí Hahn-Banach. Cũng chú ý rằng nếu tập A ⊂ X là mở yếu (tương ứng A ⊂ X ∗ là mở yếu*) thì tập x + A là tập mở yếu (tương ứng mở yếu*) với mọi x ∈ X (tương ứng x ∈ X ∗ ). Hiển nhiên mọi tập mở yếu thì cũng mở theo chuẩn, vì vậy tôpô chuẩn thì mạnh hơn tôpô yếu. Vì các tập hợp xác định tôpô yếu* trên X* là trong số các tập xác định tôpô yếu trên X*, nên tôpô yếu mạnh hơn tôpô yếu* trên X*. Hơn nữa, A ⊂ X là compact yếu khi và chỉ khi π(A) là compact yếu* trong X**. w Ta sẽ kí hiệu M và M w∗ là bao đóng trong các tôpô yếu tương ứng. Ta cũng sẽ kí hiệu convσ (M) là bao lồi đóng σ của M. Các tính chất của không gian tôpô tổng quát không thể lúc nào cũng được diễn tả qua các dãy. Ta sẽ diễn tả ở đây những định nghĩa cần phải có và một vài vấn đề đơn giản về lưới. 14 Định nghĩa 2.3. Kí hiệu tập chỉ số I là một tập sắp thứ tự bộ phận bất kì, nghĩa là, tập I với một quan hệ hai ngôi ≤ trên I thỏa mãn với mọi α, β , γ ∈ I: (1) α ≤ α; (2) Nếu α ≤ β và β ≤ γ thì α ≤ γ; (3) Nếu α ≤ β và β ≤ α thì α = β . Chú ý rằng ta không giả sử hai phần tử tùy ý của I là có quan hệ. Định nghĩa 2.4. Một lưới trong tập X khác rỗng là một ánh xạ N từ tập chỉ số I vào X. Thay vì viết N(α), ta thường viết xα và kí hiệu lưới là {xα }α∈I . Cho {xα }α∈I là một lưới. Cho J là một tập chỉ số và S : J → I là một ánh xạ với tính chất sau: cho trước α0 ∈ I, tồn tại β0 ∈ J sao cho α0 ≤ S(β ) với  mỗi β0 ≤ β . Khi đó lưới xS(β ) β ∈J được gọi là lưới con của lưới {xα }α∈I . Giả sử rằng X là một không gian tôpô. Ta sẽ mô tả sự hội tụ của các lưới vừa định nghĩa trong X. Định nghĩa 2.5. Ta nói rằng một lưới {xα }α∈I trong không gian tôpô X hội tụ đến điểm x ∈ X nếu mọi lân cận U(x) của x đều tồn tại α0 ∈ I sao cho xα ∈ U(x) với mỗi α0 ≤ α. Khi đó ta nói rằng x là giới hạn của {xα }α∈I và viết xi → x. Ta nói rằng x ∈ X là một điểm tụ của lưới {xα }α∈I nếu với mọi lân cận U(x) của x và α0 ∈ I đều tồn tại α ∈ I sao cho α0 ≤ α và xα ∈ U(x). Chú ý rằng nếu xα → x, thì mọi lưới con của {xα } cũng hội tụ đến x. Một lưới hội tụ đến x khi và chỉ khi mọi lưới con có x là một điểm tụ. Tôpô của một không gian tôpô X có thể được chỉ rõ bằng việc mô tả sự hội tụ của các lưới. Do đó, tất cả các khái niệm thuộc tôpô có thể được định 15 nghĩa bởi thuật ngữ lưới. Ví dụ, cho trước một tập con A của không gian tôpô X, bao đóng A của nó là bằng với tập tất cả các giới hạn của các lưới trong A. Như vậy, tập A là đóng khi và chỉ khi nó bao gồm tất cả các giới hạn của các lưới hội tụ với các phần tử trong A. Ta đưa vào một vài kí hiệu thích hợp cho sự hội tụ. xn → x (hoặc lim(xn ) = x) nghĩa là sự hội tụ trong chuẩn trừ khi biểu diễn bằng kí hiệu w khác. Ta cũng viết xn − → x ( đôi khi w − lim(xn ) = x) để nói rằng {xn } hội w∗ tụ đến x trong tôpô yếu của X; với các phiếm hàm ta dùng fn −→ f (đôi khi w∗ − lim( fn ) = f ) để nói rằng fn hội tụ đến f trong tôpô yếu* của X ∗ . Quy ước tương tự áp dụng cho sự hội tụ của các lưới. w Chú ý rằng xn → x kéo theo xn − → x. Tương tự, trong không gian liên w∗ hợp X ∗ ta có fn → f kéo theo fn −→ f . Sự hội tụ yếu của các dãy là đơn giản như sau: Mệnh đề 2.1. Cho X là một không gian định chuẩn. w∗ (i) Cho f , f1 , f2 , ..., ∈ X ∗ . Khi đó fn −→ f khi và chỉ khi lim ( fn (x)) = f (x) n→∞ với mọi x ∈ X. w (ii) Cho x, x1 , x2 , ..., ∈ X. Khi đó xn − → x khi và chỉ khi lim ( f (xn )) = f (x) n→∞ với mọi f ∈ X ∗. Trong trường hợp mô tả ở (i), ta nói rằng fn hội tụ theo từng điểm đến f trên X. Hơn nữa nói chung, cho các ánh xạ F, Fn : X → Y và một tập con G ⊂ X, ta nói rằng Fn → F theo từng điểm trên G nếu Fn (x) → F(x) (hội tụ trong Y ) với mọi x ∈ G. Chứng minh. (i): Giả sử rằng fn → f theo từng điểm trên X Nếu O là một 16