Tài liệu Tài liệu luyện thi thpt quốc gia môn toán 12

~ NGUYÊN VĂN HOÀNG TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TOÁN 12 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – SỐ PHỨC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ HỌC KỲ 2 Năm học: 2020 - 2021 HỌ VÀ TÊN:………………………………………………………………………………………… LỚP:………………………………………………………………………………………………………… “Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ LƯỜI BIẾNG” MỤC LỤC Chuyên đề 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 ............ §1 - NGUYÊN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ............................................................................................................ 1 ................................................................................................................................... 1 A. Khái niệm nguyên hàm B. Tính chất | Dạng 1.1: Nguyên hàm cơ bản có điều kiện .................................................................. | Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số ...................................... 11 .................................................................. 16 ................................................................................ 18 | Dạng 1.3: Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ | Dạng 1.4: Nguyên hàm từng phần 9 §2 - TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A. Khái niệm tích phân .............................................................................................................. B. Tính chất của tích phân ........................................................................................................ | Dạng 2.5: Tích phân cơ bản & tính chất tích phân 23 ................................................... 23 .................................................................... 43 ............................................................................. 47 ......................................................................................... 52 | Dạng 2.6: Tích phân cơ bản có điều kiện | Dạng 2.7: Tích phân hàm số hữu tỷ | Dạng 2.8: Tích phân đổi biến 23 | Dạng 2.9: Tích phân từng phần ..................................................................................... 63 §3 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 A. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN ........................................................................................... | Dạng 3.10: Ứng dụng tích phân để tìm diện tích B. BÀI TẬP MỨC 5 - 6 ĐIỂM ....................................................... 69 .................................................................................................. 84 | Dạng 3.11: Ứng dụng tích phân để tìm thể tích C. BÀI TẬP MỨC 7-8 ĐIỂM Chuyên đề 2: SỐ PHỨC 69 ......................................................... 84 ..................................................................................................... 92 ............................................................ 105 §1 - SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN ........................................................................................................ B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MỨC 5-6 ĐIỂM ............................................................................ | Dạng 1.12: Xác định các yếu tố cơ bản của số phức | Dạng 1.13: Biểu diễn hình học cơ bản của số phức 106 ............................................... 106 ................................................. 113 | Dạng 1.14: Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia cơ bản của số phức 2 105 . 120 3 MỤC LỤC | Dạng 1.15: Phương trình bậc hai trên tập số phức C. CÁC DẠNG BÀI TẬP MỨC 7-8 ĐIỂM .................................................. 132 ............................................................................ 141 | Dạng 1.16: Tìm số phức và các thuộc tính của nó thỏa điều kiện K | Dạng 1.17: Tập hợp điểm biểu diễn số phức Chuyên đề 3: KIẾN THỨC LỚP 11 .................... 143 ............................................................. 146 ............................................ 160 §1 - QUY TẮC ĐẾM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 ........................................................................................................ 160 .......................................................................................................... 160 A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN B. BÀI TẬP ÔN LUYỆN §2 - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 ........................................................................................................ 173 .......................................................................................................... 173 A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN B. BÀI TẬP ÔN LUYỆN Chuyên đề 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . 186 §1 - HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 .................................................................................................. 186 ........................................................................................................................ 186 .......................................................................................................................... 187 A. Định nghĩa hệ trục tọa độ B. Tọa độ véc-tơ C. Tọa độ điểm ............................................................................................. 187 ......................................................................................................... 188 D. Tích có hướng của hai véc-tơ E. Phương trình mặt cầu | Dạng 1.18: Nhóm bài toán liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng của điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ .......................................................................................................... | Dạng 1.19: Bài toán liên quan đến véc-tơ và độ dài đoạn thẳng | Dạng 1.20: Bài toán liên quan đến trung điểm tọa độ trọng tâm 189 ........................... 194 ......................... 200 | Dạng 1.21: Nhóm bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai véc-tơ ............... 205 | Dạng 1.22: Nhóm bài toán liên quan đến tích có hướng của hai véc-tơ ............... 211 .............................................. 216 .................................................. 225 | Dạng 1.23: Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu | Dạng 1.24: Viết phương trình mặt cầu loại cơ bản §2 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 A. Kiến thức cơ bản cần nhớ ................................................................................................... | Dạng 2.25: Xác định các yếu tố của mặt phẳng ....................................................... 237 .................................................................. 244 ............................................................................. 265 | Dạng 2.26: Viết phương trình mặt phẳng | Dạng 2.27: Điểm thuộc mặt phẳng | Dạng 2.28: Khoảng cách từ điểm đến mặt Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 234 ................................................................ 269 h https://fb.com/toanthayhoangblue 4 MỤC LỤC §3 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ .................................................................................... | Dạng 3.29: Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng | Dạng 3.30: Góc 285 ....................................... 288 .............................................................................................................. 295 | Dạng 3.31: Khoảng cách ............................................................................................... | Dạng 3.32: Viết phương trình đường thẳng ............................................................... | Dạng 3.33: Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng | Dạng 3.34: Xác định phương trình đường thẳng 299 304 ................. 328 ....................................................... 336 §4 - ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 .................................................................................... 369 .......................................................................................................... 369 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ B. CÁC DẠNG BÀI TẬP | Dạng 4.35: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GÓC ................................. | Dạng 4.36: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH ............ 369 372 | Dạng 4.37: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 373 h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 CHUYÊN ĐỀ ĐỀ CHUYÊN LỚP TOÁN THẦY HOÀNG - 0931.568.590 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 1 § 1. NGUYÊN HÀM KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM A. c Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f (x) xác định trên K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ K . c Định lí 1.1. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. Z TÍNH CHẤT B. • • • Z Z Z f (x) dx = F (x) + C 0 f (x) dx = f (x) + C, kf (x) dx = k Z Z 00 0 f (x) dx = f (x) + C, Z f 000 (x) dx = f 00 (x) + C... f (x) dx (k là một hằng số khác 0). [f (x) ± g(x)] dx = Z f (x) dx ± Z g(x) dx. • F 0 (x) = f (x) (định nghĩa). Bảng nguyên hàm một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) • • • • Z 0 dx = C −→ • Z xn+1 x dx = +C n+1 Z 1 dx = ln |x| + C x −→ • Z 1 1 dx = − +C x2 x −→ • α −→ • Z k dx = kx + C Z 1 (ax + b)n+1 (ax + b) dx = +C a n+1 Z 1 1 dx = ln |ax + b| + C ax + b a Z 1 1 1 +C 2 dx = − a (ax + b) (ax + b) n 2 1. NGUYÊN HÀM • • • • • • Z Z Z Z Z Z x 1 Z (ax+b) 1 −→ • e du = e(ax+b) + C a a x e dx = e + C ax a dx = +C ln a −→ • cos x dx = sin x + C −→ • sin x dx = − cos x + C −→ • x 1 dx = tan x + C cos2 x −→ • 1 dx = − cot x + C sin2 x −→ • Z Z Z 1 a(ax+b) a du = +C a ln a u cos (ax + b) dx = 1 sin (ax + b) dx = − cos (ax + b) + C a Z cos2 Z 1 sin (ax + b) + C a 1 1 dx = tan (ax + b) + C (ax + b) a 1 1 dx = − cot (ax + b) + C sin (ax + b) a 2 Chú ý: Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1 . a BÀI TẬP TỰ LUYỆN MỨC ĐỘ 5-6 ĐIỂM Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2). Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu A F 0 (x) = −f (x), ∀x ∈ K. B f 0 (x) = F (x), ∀x ∈ K. C F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ K. D f 0 (x) = −F (x), ∀x ∈ K. Z Câu 2 (Mã 101-2020 Lần 1). x2 dx bằng 1 A 2x + C. B x3 + C. 3 C x3 + C. D 3x3 + C. Câu 3 (Mã 102-2020 Lần 1). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 là A 4x4 + C. B 3x2 + C. 1 4 x + C. 4 C x4 + C. D C x5 + C. D 5x5 + C. Z Câu 4 (Mã 103-2020 Lần 1). x4 dx bằng 1 A x5 + C. B 4x3 + C. 5 h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 3 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Z Câu 5 (Mã 104-2020 Lần 1). x5 dx bằng 1 A 5x4 + C. B x6 + C. 6 C x6 + C. D 6x6 + C. C 5x5 + C. D 20x3 + C. C 1 6 x + C. 6 D 30x4 + C. C 1 3 x + C. 3 D x3 + C. C 12x2 + C. D x4 + C. Z Câu 6 (Mã 101- 2020 Lần 2). 5x4 dx bằng 1 A x5 + C. B x5 + C. 5 Câu 7 (Mã 102-2020 Lần 2). A 6x6 + C. 6x5 dx bằng B x6 + C. Câu 8 (Mã 103-2020 Lần 2). A 3x3 + C. Z Z 3x2 dx bằng B 6x + C. Z Câu 9 (Mã 104-2020 Lần 2). 4x3 dx bằng 1 A 4x4 + C. B x4 + C. 4 Câu 10 (Mã 103 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x2 là 1 1 A x5 + x3 + C. B x4 + x2 + C. C x5 + x3 + C. 5 3 D 4x3 + 2x + C. Câu 11 (Mã 104-2019). Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 4 là A x2 + C. B 2x2 + C. C 2x2 + 4x + C. D x2 + 4x + C. Câu 12 (Mã 102-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 6 là A x2 + C. B x2 + 6x + C. C 2x2 + C. D 2x2 + 6x + C. Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x + 6x là A sin x + 3x2 + C. B − sin x + 3x2 + C. C sin x + 6x2 + C. D − sin x + C. Câu 14 (Mã 105 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 sin x. A C Z Z 2 sin xdx = −2 cos x + C. 2 sin xdx = sin2 x + C. B D Z Z 2 sin xdx = 2 cos x + C. 2 sin xdx = sin 2x + C. Câu 15 (Mã 101 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x là 1 1 A x4 + x2 + C. B 3x2 + 1 + C. C x3 + x + C. 4 2 D x4 + x2 + C. Câu 16 (Mã 103-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3 là A x2 + 3x + C. B 2x2 + 3x + C. C x2 + C. D 2x2 + C. √ Câu 17 (Đề Minh Họa 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 1 Z Z √ √ 2 1 A f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. B f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. 3 3 Z Z 1√ 1√ C f (x) dx = − 2x − 1 + C. D f (x) dx = 2x − 1 + C. 3 2 Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 4 1. NGUYÊN HÀM Câu 18 (Đề Tham Khảo 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + x3 1 + + C. 3 x Z x3 1 C f (x) dx = − + C. 3 x A Z f (x) dx = B D Z Z Câu 19 (Mã 110 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số dx 1 = ln |5x − 2| + C. 5 Z 5x − 2 1 dx = − ln |5x − 2| + C. C 5x − 2 2 A Z B D Z Z 2 . x2 x3 2 − + C. 3 x x3 2 f (x) dx = + + C. 3 x 1 . f (x) = 5x − 2 dx = ln |5x − 2| + C. 5x − 2 dx = 5 ln |5x − 2| + C. 5x − 2 f (x) dx = Câu 20 (Mã123 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos 3x Z Z sin 3x + C. A cos 3x dx = 3 sin 3x + C. B cos 3x dx = 3 Z Z sin 3x C cos 3x dx = sin 3x + C. D cos 3x dx = − + C. 3 Câu 21 (Mã 104 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là 1 1 A x4 + x3 + C. B 3x2 + 2x + C. C x3 + x2 + C. 4 3 D x4 + x3 + C. Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là B ex + x2 + C. 1 x 1 2 e + x + C. D x+1 2 A ex + 1 + C. 1 C ex + x2 + C. 2 Câu 23 (Mã 101-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 5 là A x2 + C. B x2 + 5x + C. C 2x2 + 5x + C. D 2x2 + C. Câu 24 (Mã 104 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7x . Z Z 7x x + C. A 7 dx = B 7x dx = 7x+1 + C. ln 7 Z Z 7x+1 x C 7 dx = + C. D 7x dx = 7x ln 7 + C. x+1 Câu 25 (Mã 102 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x là 1 1 A 4x3 + 1 + C. B x5 + x2 + C. C x5 + x2 + C. 5 2 D x4 + x + C. Câu 26 (Đề Tham Khảo 2018). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 1 là x3 3 A x + C. B + x + C. C 6x + C. D x3 + x + C. 3 Câu 27 (THPT An Lão Hải Phòng 2019). Z  Tìm nguyên hàm x x2 + 7 1 16 A (x2 + 7) + C. 2 1 2 16 C (x + 7) + C. 16 15 dx? 1 16 B − (x2 + 7) + C. 32 1 2 16 D (x + 7) + C. 32 Câu 28 (THPT Ba Đình -2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e3x là hàm số nào sau đây? A 3ex + C. B 1 3x e + C. 3 h https://fb.com/toanthayhoangblue C 1 x e + C. 3 D 3e3x + C. Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 5 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Câu 29 (THPT Cẩm Giàng 2 2019). Tính A x2 + sin x + C. 2 B Z (x − sin 2x) dx. x2 + cos 2x + C. 2 C x2 + cos 2x + C. 2 D x2 cos 2x + + C. 2 2 D 1 x e + C. 2 Câu 30 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019). Nguyên hàm của hàm số y = e2x−1 là A 2e2x−1 + C. B e2x−1 + C. C 1 2x−1 e + C. 2 Câu 31 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019). 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3 A ln |2x + 3| + C. B 1 ln |2x + 3| + C. C D ln 2 1 ln |2x + 3| + C. 2 1 lg (2x + 3) + C. 2 Câu 32 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019). 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + . x 3x 1 x3 − − + C, C ∈ R. A B 3 ln 3 x2 3 x x 3 C − + ln |x| + C, C ∈ R. D 3 ln 3 1 x3 − 3x + 2 + C, C ∈ R. 3 x x3 3x − − ln |x| + C, C ∈ R. 3 ln 3 Câu 33 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x A −3cos3x + C. B 3cos3x + C. C 1 D − cos3x + C. 3 1 cos3x + C. 3 Câu 34 (Chuyên KHTN 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + sin x là A x3 + cos x + C. B 6x + cos x + C. C x3 − cos x + C. D 6x − cos x + C. Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019). Công thức nào sau đây là sai? Z Z 1 1 A ln x dx = + C. B dx = tan x + C. x Z Z cos2 x C sin x dx = − cos x + C. D ex dx = ex + C. Câu 36 (Chuyên Bắc Ninh 2019). Nếu Z f (x) dx = 4x3 + x2 + C thì hàm số f (x) bằng x3 A f (x) = x + + Cx. 3 B f (x) = 12x2 + 2x + C. C f (x) = 12x2 + 2x. D f (x) = x4 + 4 x3 . 3 Câu 37 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Z 1 A cos 2x dx = sin 2x + C. 2 Z 1 C dx = ln |x| + C. x xe+1 B x dx = + C. e+1 Z x+1 e D ex dx = + C. x+1 Z e Câu 38 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019). Nguyên hàm của hàm số y = 2x là Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 6 1. NGUYÊN HÀM Z 2x dx = ln 2.2x + C. Z 2x C 2x dx = + C. ln 2 A Z 2x dx = 2x +. Z 2x D 2x dx = + C. x+1 B Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x − sin x. A C Z f (x) dx = 3x2 + cos x + C. Z 3x2 f (x) dx = + cos x + C. 2 B D Z Z f (x) dx = 3x2 − cos x + C. 2 f (x) dx = 3 + cos x + C. Câu 40 (Sở Bình Phước 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x + sin x là x2 x2 − cos x + C. + cos x + C. A x2 + cos x + C. B x2 − cos x + C. C D 2 2 Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x là: A cos x + C. B − cos x + C. C − sin x + C. D sin x + C. Câu 42 (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-2019). Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x2 là A 4x3 + 2x + C. B x4 + x2 + C. C 1 5 1 3 x + x + C. 5 3 D x5 + x3 + C. Câu 43 (THPT Cù Huy Cận 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex − 2x là. 1 x A ex + x2 + C. B ex − x2 + C. C e − x2 + C. D ex − 2 + C. x+1 Câu 44 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019). Họ các nguyên hàm của hàm số y = cos x + x là 1 A sin x + x2 + C. B sin x + x2 + C. 2 1 C − sin x + x2 + C. 2 Câu 45 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019). 1 Họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + là x x3 3x2 A B − − ln |x| + C . 3 2 3 2 x 3x C − + ln |x| + C . D 3 2 D − sin x + x2 + C. x3 3x2 − + ln x + C. 3 2 3 2 x 3x 1 − + 2 + C. 3 2 x Câu 46 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019). 1 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + sin x là x 1 A ln x − cos x + C. B − 2 − cos x + C. C ln |x| + cos x + C. x D ln |x| − cos x + C. Câu 47 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019). 1 Hàm số F (x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên (−∞; +∞)? 3 1 2 A f (x) = 3x . B f (x) = x3 . C f (x) = x2 . D f (x) = x4 . 4 Câu 48 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019). h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 7 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x . A C Z Z 2x + C. ln 2 Z x+1 2 D f (x) dx = + C. x+1 x f (x) dx = 2 + C. B f (x) dx = 2x ln 2 + C. Câu 49 (THPT-Yên Định Thanh Hóa 2019). x4 + 2 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . x2 Z 3 1 x A f (x) dx = − + C. 3 x Z x3 1 C f (x) dx = + + C. 3 x Z f (x) dx = x3 2 + + C. 3 x Z x3 2 D f (x) dx = − + C. 3 x B Z f (x) dx = Câu 50 (Sở Hà Nội 2019). Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = ex ? Ay= 1 . x C y = e−x . B y = ex . D y = ln x. Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019). Tính F (x) = A F (x) = Z e2 dx, trong đó e là hằng số và e ≈ 2, 718. e 2 x2 + C. 2 B F (x) = e3 + C. 3 C F (x) = e2 x + C. D F (x) = 2ex + C. Câu 52 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019).   1 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = trên −∞; . 1 − 2x 2 1 1 A ln |2x − 1| + C. B ln (1 − 2x) + C. 2 2 1 C − ln |2x − 1| + C. D ln |2x − 1| + C. 2 Câu 53 (Chuyên Hưng Yên 2019). Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + x là x2 2x 2x x2 A B 2x + x2 + C. C D 2x + + + C. + x2 + C. + C. ln 2 2 ln 2 2 Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 + sin x A 1 + cos x + C. B 1 − cos x + C. C x + cos x + C. Câu 55 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019). 1 Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 − 2x2 + x − 2019 là 3 1 4 2 3 x2 1 x − x + + C. A B x4 − 12 3 2 9 1 4 2 3 x2 1 C x − x + − 2019x + C. D x4 + 12 3 2 9 2 3 x + 3 2 3 x − 3 D x − cos x + C. x2 − 2019x + C. 2 x2 − 2019x + C. 2 Câu 56 (THPT Yên Khánh-Ninh Bình-2019).   1 1 Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng −∞; là: 3x − 1 3 1 1 A ln(3x − 1] + C. B ln(1 − 3x) + C. C ln(1 − 3x) + C. 3 3 D ln(3x − 1] + C. Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 8 1. NGUYÊN HÀM e2x e2x dx = + C. 2 Z 1 D dx = ln |x + 1| + C (∀x 6= −1). x+1 Z 2x dx = 2x ln 2 + C. Z 1 C cos 2x dx = sin 2x + C. 2 A B Z Câu 58 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019). 2x4 + 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hàm số f (x) = x2 Z Z 3 2x 3 2x3 3 A f (x)dx = B f (x)dx = + + C. − + C. 3 2x 3 x Z Z 3 3 2x 3 3 + + C. C f (x)dx = D f (x)dx = 2x − + C. 3 x x Z x Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019). Cho hàm số f (x) = 2 + x + 1. Tìm f (x) dx. Z Z 1 x 1 2 A f (x) dx = 2x + x2 + x + C. B f (x) dx = 2 + x + x + C. ln 2 2 Z Z 1 2 1 x 1 2 x C f (x) dx = 2 + x + x + C. D f (x) dx = 2 + x + x + C. 2 x+1 2 Câu 60 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x − sin x. A C Z Z 2 f (x) dx = 3x + cos x + C. B 3x2 + cos x + C. f (x) dx = 2 D Z Z f (x) dx = 3x2 − cos x + C. 2 f (x) dx = 3 + cos x + C. 2 Câu 61 (Chuyên Bắc Giang 2019). Hàm số F (x) = ex là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 2 x2 A f (x) = 2xe . 2 x2 B f (x) = x e − 1. 2x C f (x) = e . ex . D f (x) = 2x Câu 62 (Chuyên Đại Học Vinh 2019). Tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3−x là 3−x A− B −3−x + C. C 3−x ln 3 + C. + C. ln 3 D 3−x + C. ln 3 Câu 63 (Sở Phú Thọ 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là x4 x3 x4 x3 + + C. + + C. A B x4 + x3 + C. C 3x2 + 2x + C. D 4 3 3 4 Câu 64 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019). Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số y = x2019 ? x2020 x2020 x2020 A + 1. B . C y = 2019x2018 . D − 1. 2020 2020 2020 Câu 65 (Chuyên Quốc Học Huế 2019). 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = x2 − 3x + . x x3 3x x3 3x A B − − ln |x| + C, C ∈ R. − + ln |x| + C, C ∈ R. 3 ln 3 3 ln 3 x3 1 x3 3x 1 C − 3x + 2 + C, C ∈ R. D − − 2 + C, C ∈ R. 3 x 3 ln 3 x ! 2018e−x x Câu 66 (Quảng Ninh 2019). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e 2017 − . x5 h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 9 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 2018 A f (x) dx = 2017e − 4 + C. x Z 504, 5 x C f (x) dx = 2017e + + C. x4 2018 + C. x4 Z 504, 5 D f (x) dx = 2017ex − + C. x4 ! e−x là Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số y = ex 2 + cos2 x 1 1 + C. + C. A 2ex + tan x + C. B 2ex − tan x + C. C 2ex − D 2ex + cos x cos x Z x B Z f (x) dx = 2017ex + Câu 68 (Chuyên Hạ Long 2019). Tìm nguyên F (x) của hàm số f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)? x4 − 6x3 + 4 x4 + 2x3 + C F (x) = 4 A F (x) = 11 2 x − 6x + C. 2 11 2 x + 6x + C. 2 B F (x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + C. D F (x) = x3 + 6x2 + 11x2 + 6x + C. 1 Câu 69 (Sở Bắc Ninh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = là 5x + 4 1 A ln (5x + 4) + C. B ln |5x + 4| + C. 5 1 1 C ln |5x + 4| + C. D ln |5x + 4| + C. ln 5 5 MỨC ĐỘ 7-8 ĐIỂM p Dạng 1.1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018). Cho hàm số f (x) xác định trên R \ 2 , f (0) = 1, f (1) = 2. Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng 2x − 1 A 2 + ln 15. B 3 + ln 15. C ln 15. Câu 2 (Sở Phú Thọ 2019). Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1 2   thỏa mãn f 0 (x) = D 4 + ln 15. 1 trên khoảng (1; +∞) x−1 thỏa mãn F (e + 1) = 4 Tìm F (x). A 2 ln (x − 1) + 2. B ln (x − 1) + 3. C 4 ln (x − 1). D ln (x − 1) − 3. Câu 3 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019). Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = A 2 + ln 2. B ln 2. 1 , biết F (1) = 2 Giá trị của F (0) bằng x−2 C 2 + ln (−2). D ln (−2). Câu 4 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019). 1 Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = ; biết F (0) = 2. Tính F (1). 2x + 1 1 1 A F (1) = ln 3 − 2. B F (1) = ln 3 + 2. C F (1) = 2 ln 3 − 2. D F (1) = ln 3 + 2. 2 2 Câu 5 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019). Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = 1 trên (−∞; 0) thỏa mãn F (−2) = 0. Khẳng x định nào sau đây đúng? Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 10 1. NGUYÊN HÀM −x ∀x ∈ (−∞; 0). 2 B F (x) = ln |x| + C∀x ∈ (−∞; 0) với C là một số thực bất kì.   A F (x) = ln C F (x) = ln |x| + ln 2∀x ∈ (−∞; 0). D F (x) = ln (−x) + C∀x ∈ (−∞; 0) với C là một số thực bất kì. Câu 6 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019). Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {1} thỏa mãn f 0 (x) = 1 , f (0) = 2017, f (2) = 2018. x−1 Tính S = f (3) − f (−1). A S = ln 4035. B S = 4. C S = ln 2. D S = 1. Câu 7 (Mã 105 2017). Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn 3 F (0) = . Tìm F (x). 2 1 5 A F (x) = ex + x2 + . B F (x) = ex + x2 + . 2 2 3 1 x 2 x 2 C F (x) = e + x + . D F (x) = 2e + x − . 2 2 Câu 8 (THCS-THPT Nguyễn Khuyến 2019). Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x và F (0) = 0. Giá trị của F (ln 3) bằng A 2. B 6. C 8. D 4. 201 · Câu 9 (Sở Bình Phước 2019). Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số e2x và F (0) = 2   1 Giá trị F là 2 1 1 1 A e + 200. B 2e + 100. C e + 50. D e + 100. 2 2 2 Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019). Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và: f 0 (x) = 2e2x + 1, ∀x, f (0) = 2. Hàm f (x) là A y = 2ex + 2x. B y = 2ex + 2. C y = e2x + x + 2. D y = e2x + x + 1. Câu 11 (Sở Bắc Ninh 2019). Cho hàm số f (x) = 2x + ex . Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) thỏa mãn F (0) = 2019. A F (x) = x2 + ex + 2018. B F (x) = x2 + ex − 2018. C F (x) = x2 + ex + 2017. D F (x) = ex − 2019. Câu 12. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x , thỏa mãn F (0) = 1 . Tính giá ln 2 trị biểu thức T = F (0) + F (1) + ... + F (2018) + F (2019). 22019 + 1 . A T = 1009. B T = 22019.2020 . ln 2 22019 − 1 22020 − 1 C T = . DT = . ln 2 ln 2 Câu 13 (Mã 104 2017). Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = sin x + cos x thoả mãn   π F = 2. 2 h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 11 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG A F (x) = − cos x + sin x + 3. B F (x) = − cos x + sin x − 1. C F (x) = − cos x + sin x + 1. D F (x) = cos x − sin x + 3. Câu 14 (Mã 123 2017). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 3 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A f (x) = 3x − 5 cos x + 15. B f (x) = 3x − 5 cos x + 2. C f (x) = 3x + 5 cos x + 5. D f (x) = 3x + 5 cos x + 2. Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f 0 (x) = 2 − 5 sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A f (x) = 2x + 5 cos x + 3. B f (x) = 2x − 5 cos x + 15. C f (x) = 2x + 5 cos x + 5. D f (x) = 2x − 5 cos x + 10. Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019). π π 2 = . Tính F . Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) = cos 3x và F 2 √ 3 9 √ √ √         π π π π 3+2 3−2 3+6 3−6 . B F . C F . DF . = = = = AF 9 6 9 6 9 6 9 6     Câu 17 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019). 1 Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . Biết F cos2 x Tính F (0) + F (π) + F (2π) + ... + F (10π). A 55. B 44.  π + kπ = k với mọi k ∈ Z. 4 C 45.  D 0. Câu 18 (Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-2020). Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x , thỏa mãn F (0) = thức T = F (0) + F (1) + F (2) + ... + F (2019). 22020 − 1 AT = . ln 2 C T = 22019·2020 . 1 . Tính giá trị biểu ln 2 22019 − 1 . 2 2019 2 −1 DT = . ln 2 B T = 1009 · p Dạng 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số “Nếu Z f (x) dx = F (x) + C thì Z f (u (x)) .u0 (x) dx = F (u (x)) + C ”. Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = Z f (x) dx, trong đó ta có thể phân tích f (x) = g (u (x)) u0 (x) dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t = u (x) ⇒ dt = u0 (x) dx. Khi đó: I = Z g (t) dt = G (t)) + C = G (u (x)) + C. Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x). Câu 1 (Mã 101-2020 Lần 2). Biết F (x) = ex + x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Khi đó Z f (2x) dx bằng A 2ex + 2x2 + C. B 1 2x e + x2 + C. 2 Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 C 1 2x e + 2x2 + C. 2 D e2x + 4x2 + C. h https://fb.com/toanthayhoangblue 12 1. NGUYÊN HÀM Câu 2 (Mã 102-2020 Lần 2). Biết F (x) = ex − 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Khi đó Z f (2x) dx bằng A 2ex − 4x2 + C. B 1 2x e − 4x2 + C. 2 C e2x − 8x2 + C. D 1 2x e − 2x2 + C. 2 Câu 3 (Mã 103-2020 Lần 2). Biết F (x) = ex − x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Z Khi đó f (2x) dx bằng 1 A e2x − 2x2 + C. 2 B e2x − 4x2 + C. C 2ex − 2x2 + C. D 1 2x e − x2 + C. 2 Câu 4 (Mã 104-2020 Lần 2). Biết F (x) = ex + 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên R. Khi đó Z f (2x) dx bằng A e2x + 8x2 + C. B 2ex + 4x2 + C. C 1 2x e + 2x2 + C. 2 D 1 2x e + 4x2 + C. 2 Câu 5 (Thi thử Lômônôxốp-Hà Nội lần V 2019). Biết Z Z 2 f (2x) dx = sin x + ln x + C. Tìm nguyên hàm f (x) dx? Z 2 x A f (x) dx = sin B f (x) dx = 2 sin2 2x + 2 ln x + C. + ln x + C. 2 Z Z x C f (x) dx = 2 sin2 + 2 ln x + C. D f (x) dx = 2 sin2 x + 2 ln x + C. 2 Z Câu 6. Cho Z f (4x) dx = x2 + 3x + C. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x2 + 2x + C. 4 Z x2 C f (x + 2) dx = + 4x + C. 4 A Z f (x + 2) dx = Câu 7 (DS12.C3.1.D09.b). Cho A I = 2x6 + x2 + C. C I = 4x6 + 2x2 + C. Z B D Z Z f (x + 2) dx = x2 + 7x + C. f (x + 2) dx = x2 + 4x + C. 2 f (x) dx = 4x3 + 2x + C0 . Tính I = Z   xf x2 dx. x10 x6 + + C. 10 6 D I = 12x2 + 2. B I= 3 Câu 8 (Sở Bắc Ninh 2019). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 .ex +1 . Z Z x3 3 3 A f (x) dx = .ex +1 + C. B f (x) dx =3ex +1 + C. 3 Z Z 1 3 x3 +1 C f (x) dx =e + C. D f (x) dx = ex +1 + C. 3 2 Câu 9 (THPT Hà Huy Tập-2018). Nguyên hàm của f (x) = sin 2x.esin x là 2 2 esin x+1 esin x−1 2 sin2 x−1 sin2 x A sin x.e + C. B + C. C e + C. D + C. sin2 x + 1 sin2 x − 1 1 Câu 10. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 9 x + 3x5     Z Z 4   1 1  x  1 1  x4  A f (x) dx = − 4 + B f (x) dx = − − ln   + C. ln   + C. 3x 36  x4 + 3  12x4 36  x4 + 3  Z Z 1 1  x4  1 1  x4  C f (x) dx = − 4 − ln  4  + C. D f (x) dx = − + ln   + C. 3x 36  x + 3  12x4 36  x4 + 3  Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019). Z x3 Tìm hàm số F (x) biết F (x) = dx và F (0) = 1. x4 + 1 h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 13 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 1 3 ln (x4 + 1) + . 4 4 4 D F (x) = 4 ln (x + 1) + 1. A F (x) = ln (x4 + 1) + 1. 1 C F (x) = ln (x4 + 1) + 1. 4 Câu 12. Biết Z B F (x) = (x − 1)2017 1 x−1 . 2019 dx = a x+1 (x + 1)  b + C, x 6= −1 với a, b ∈ N∗ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A a = 2b. B b = 2a. C a = 2018b. D b = 2018a. Câu 13 (Chuyên Quốc Học Huế-2018). Biết rằng F (x) là một nguyên hàm trên R của hàm số f (x) = Tìm giá trị nhỏ nhất m của F (x). 1 1 − 22017 A m=− . B m= . 2 22018 2017x thỏa mãn F (1) = 0. (x2 + 1)2018 1 + 22017 1 D m= . . 2018 2 2 1 Câu 14. Cho F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = x và F (0) = − ln 2e. Tập nghiệm S e +1 của phương trình F (x) + ln (ex + 1) = 2 là: A S = {3}. C m= B S = {2; 3}. C S = {−2; 3}. D S = {−3; 3}. Câu 15 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 (x2 + 1) " 2020 # 2021 (x2 + 1) 1 (x2 + 1) − . A 2 2021 2020 2020 2021 (x2 + 1) (x2 + 1) − + C. C 2021 2020 2019 là 2021 2020 (x2 + 1) (x2 + 1) − . B 2021 2020 " 2021 2020 # (x2 + 1) 1 (x2 + 1) − + C. D 2 2021 2020 1 + ln x Câu 16 (THPT Hà Huy Tập-2018). Nguyên hàm của f (x) = là: x. ln x  Z Z  1 + ln x 1 + ln x   A B dx = ln |ln x| + C. dx = ln x2 . ln x + C. x. ln x x. ln x Z Z 1 + ln x 1 + ln x C dx = ln |x + ln x| + C. D dx = ln |x. ln x| + C. x. ln x x. ln x Câu 17 (Chuyên Hạ Long-2018). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 ex  Z  1 1 −5 −3 A −t + 2t − dt = t−4 − t−2 − ln |t| + C. t 4 Z x3 +1 B f (x) dx = 3e + C. Z 1 3 C f (x) dx = ex +1 + C. 3 Z x3 3 D f (x) dx = ex +1 + C. 3 3 +1 Câu 18 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019). √ Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3 3x + 1 là Z Z √ √ 3 A f (x) dx = (3x + 1) 3x + 1 + C. B f (x) dx = 3 3x + 1 + C. Z Z √ 1√ 1 3 C f (x) dx = 3x + 1 + C. D f (x) dx = (3x + 1) 3 3x + 1 + C. 3 4 √ Câu 19. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + 2 là Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 14 1. NGUYÊN HÀM √ 2 (3x + 2] 3x + 2 + C. 3 √ 2 C (3x + 2] 3x + 2 + C. 9 √ 1 (3x + 2] 3x + 2 + C. 3 3 1 + C. D √ 2 3x + 2 √ Câu 20 (HSG Bắc Ninh 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là √ 1 1√ 2x + 1 + C. A − (2x + 1) 2x + 1 + C. B 3 2 √ √ 2 1 C (2x + 1) 2x + 1 + C. D (2x + 1) 2x + 1 + C. 3 3 A B Câu 21 (THPT An Lão Hải Phòng 2019). √ ln 2 Cho hàm số f (x) = 2 x . √ . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x)? x   √ √ x A F (x) = 2 + C. B F (x) = 2 2 x − 1 + C.  √ C F (x) = 2 2 x √  + 1 + C. D F (x) = 2 x+1 + C. Câu 22 (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019). Z √ x−3 Khi tính nguyên hàm √ dx, bằng cách đặt u = x + 1 ta được nguyên hàm nào? x +Z1 Z  Z  Z       2 2 2 A 2 u − 4 du. B C D 2u u2 − 4 du. u − 4 du. u − 3 du. 1 Câu 23 (Chuyên Hạ Long-2018). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = √ . 2 2x + 1 Z Z √ 1√ A f (x) dx = 2x + 1 + C. B f (x) dx = 2x + 1 + C. 2 Z Z √ 1 √ + C. C f (x) dx = 2 2x + 1 + C. D f (x) dx = (2x + 1) 2x + 1 Câu 24 (THCS-THPT Nguyễn Khuyến-2018).   √ Nguyên hàm của hàm số f (x) = ln x + x2 + 1 là   √ √ A F (x) = x ln x + x2 + 1 + x2 + 1 + C.   √ √ B F (x) = x ln x + x2 + 1 − x2 + 1 + C.   √ C F (x) = x ln x + x2 + 1 + C.   √ D F (x) = x2 ln x + x2 + 1 + C. 3 20x2 − 30x + 7 √ Câu 25 (Chuyên Hạ Long-2018). Biết rằng trên khoảng ; +∞ , hàm số f (x) = 2 2x − 3 √ có một nguyên hàm F (x) = (ax2 + bx + c) 2x − 3 (a, b, c là các số nguyên). Tổng S = a + b + c   bằng A 4. B 3. C 5. D 6. Câu 26 (Chuyên Bắc Ninh 2019). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 A f (x) dx = ln |1 + 3 cos x| + C. 3 Z C f (x) dx = 3 ln |1 + 3 cos x| + C. Z sin x . 1 + 3 cos x Z f (x) dx = ln |1 + 3 cos x| + C. 1 D f (x) dx = − ln |1 + 3 cos x| + C. 3 cos x Câu 27 (Sở Thanh Hóa 2019). Tìm các hàm số f (x) biết f 0 (x) = . (2 + sin x)2 h https://fb.com/toanthayhoangblue B Z Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 15 Chuyên đề 1. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG sin x + C. (2 + sin x)2 1 + C. C f (x) = − 2 + sin x A f (x) = 1 + C. (2 + cos x) sin x + C. D f (x) = 2 + sin x B f (x) = Câu 28 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019).   sin x π Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và F = 2.Tính F (0) 1 + 3 cos x 2 1 2 A F (0) = − ln 2 + 2. B F (0) = − ln 2 + 2. 3 3 2 1 C F (0) = − ln 2 − 2. D F (0 = − ln 2 − 2. 3 3 Câu 29 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019). Biết Z A C Z Z f (x) dx = 3x cos (2x − 5) + C. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. f (3x) dx = 3x cos (6x − 5) + C. f (3x) dx = 9x cos (2x − 5) + C. B D Z Z f (3x) dx = 9x cos (6x − 5) + C. f (3x) dx = 3x cos (2x − 5) + C. Câu 30 (Chuyên Hạ Long-2018). Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = tan5 x. Z 1 1 A f (x) dx = tan4 x − tan2 x + ln |cosx| + C. 4 2 Z 1 1 4 B f (x) dx = tan x + tan2 x − ln |cosx| + C. 4 2 Z 1 1 4 C f (x) dx = tan x + tan2 x + ln |cosx| + C. 4 2 Z 1 1 4 D f (x) dx = tan x − tan2 x − ln |cosx| + C. 4 2 Câu 31 (Hồng Bàng-Hải Phòng-2018). π Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x. cos x và F (0) = π. Tính F .         2 π π π π 1 1 AF B F C F = −π. = π. = − + π. D F = + π. 2 2 2 4 2 4   1 1 Câu 32. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = thỏa mãn F = 2 và x ln x e   1 F (e) = ln 2 Giá trị của biểu thức F 2 + F (e2 ) bằng e A 3 ln 2 + 2. B ln 2 + 2. C ln 2 + 1. D 2 ln 2 + 1. 3   Câu 33 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019). Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = √ x thỏa mãn F (2) = 0. Khi đó phương trình 8 − x2 F (x) = x có nghiệm là: A x = 0. B x = 1. C x = −1. D x=1− √ 3. 2x 1 Câu 34. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = √ − 2 . Biết F (3) = 6, giá trị của x+1 x F (8) là 217 215 215 A . B 27. C . D . 8 24 8   3 20x2 − 30x + 7 √ Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng ; +∞ là 2 2x − 3 √ √ A (4x2 + 2x + 1) 2x − 3 + C. B (4x2 − 2x + 1) 2x − 3. Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue 16 1. NGUYÊN HÀM C (3x2 − 2x + 1) √ 2x − 3. D (4x2 − 2x + 1) √ 2x − 3 + C. p Dạng 1.3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ • Công thức thường áp dụng 1. Z 1 1 dx = ln |ax + b| + C ax + b a 2. Z 1 1 1 · +C dx = − (ax + b)2 a ax + b 3. ln a + ln b = ln(ab) a 4. ln a − ln b = ln · b 5. ln an = n ln a 6. ln 1 = 0 • Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I = P (x) dx. Q(x) Z PP  Nếu bậc của tử số P (x) ≥ bậc của mẫu số Q(x) −−→ Chia đa thức. PP  Nếu bậc của tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x) −−→ phân tích mẫu Q(x) thành tích số, rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01. PP  Nếu mẫu không phân tích được thành tích số −−→ thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X = a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2 + a2 . Câu 1 (Đề Minh họa 2020 Lần 1). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = x+2 trên x−1 khoảng (1; +∞) là A x + 3 ln (x − 1) + C. 3 C x− + C. (x − 1)2 B x − 3 ln (x − 1) + C. 3 D x+ + C. (x − 1)2 Câu 2 (Mã đề 104-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x − 2 trên khoảng (x − 2)2 (2; +∞) là 2 + C. x−2 4 C 3 ln (x − 2) − + C. x−2 A 3 ln (x − 2) + 2 + C. x−2 4 D 3 ln (x − 2) + + C. x−2 B 3 ln (x − 2) − Câu 3 (Mã đề 101-BGD-2019). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 1 trên (x + 1)2 khoảng (−1; +∞) là 2 + C. x+1 2 C 2 ln (x + 1) − + C. x+1 A 2 ln (x + 1) + 3 + C. x+1 3 D 2 ln (x + 1) − + C. x+1 B 2 ln (x + 1) + Câu 4 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019). Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = ax + b (x 6= 0) , biết rằng F (−1) = 1, F (1) = x2 4, f (1) = 0 3 A F (x) = x2 + 2 3 C F (x) = x2 + 4 3 7 − . 4x 4 3 7 + . 2x 4 h https://fb.com/toanthayhoangblue 3 B F (x) = x2 − 4 3 D F (x) = x2 − 2 3 7 − . 2x 4 3 1 − . 2x 2 Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590