Tài liệu T2016 chuyên vĩnh phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013­2014 Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 - ( m2 + m - 3 ) x + m 2 - 3m + 2 (1) , trong đó m là tham số. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 2 . b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại ba điểm phân biệt có 2 2 hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x12 + x2 + x3 = 18 . æp ö æp ö 4 + sin x Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ = . 2 è3 ø è3 ø ì x+2 + y-2 = 4 ï Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: í ( x, y Î ¡ ) ï x+7 + y+3 = 6 î 1 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân: I = ò ( x - 2014 ) e2 x dx . 0 Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a, BC = a , AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , góc giữa mặt phẳng ( SCD ) với mặt phẳng ( ABCD ) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S .ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SCD ) . Câu 6 (1,0 điểm ). Tìm các số thực dương x, y thỏa mãn hệ phương trình sau: ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32 ï í 1 x2 + y2 - x + y = ï î 2 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y + 2 = 0 và hai điểm uuuu uuuu r r A(4;6), B (0; -4) . Tìm trên đường thẳng ( d ) điểm M sao cho véc tơ AM + BM có độ dài nhỏ nhất. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A (1;0; -1) , B (1; -2;3) , C ( 0;1; 2 ) và D (1; 1 - m; 1 + 6m ) . Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. Câu 9.a (1,0 điểm). Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; -3 ) , hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng x - 2 y + 1 = 0 , điểm E ( 3; 0 ) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C. Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; -3), B(3; 0; -3) và mặt cầu (S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 6 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua hai điểm A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là 2 5 2 Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 log 3 ( x 2 - 4 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - log 3 ( x - 2 ) = 4 . ­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 06 trang) KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013­2014 Môn: TOÁN; Khối D HƯỚNG DẪN CHẤM I. LƯU Ý CHUNG: ­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. ­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. ­ Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 . 1,0 Khi m = 2 hàm số (1) có dạng y = x 3 - 3 x a) Tập xác định D = ¡ . b) Sự biến thiên +) Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 - 3 , y ' = 0 Û x = ±1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥; - 1) và (1; + ¥ ) . 0.25 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -1;1) . +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD = 2 . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = -2 . 0.25 3 ö 3 ö æ æ +) Giới hạn: lim y = lim x ç1 - 2 ÷ = -¥; lim y = lim x 3 ç1 - 2 ÷ = +¥ . x ®-¥ x ®-¥ x ®+¥ x ®+¥ è x ø è x ø +) Bảng biến thiên: x -¥ -1 1 +¥ / + 0 0 + y 2 +¥ 3 0.25 y -¥ -2 3 c) Đồ thị: y = 0 Û x - 3 x = 0 Û x = 0, x = ± 3 . ( )( Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại các điểm ( 0; 0 ) , - 3; 0 , ) 3; 0 . y '' = 0 Û 6 x = 0 Û x = 0 Þ đồ thị hàm số nhận điểm ( 0;0 ) làm điểm uốn. 4 0.25 2 2 1 ­1 0 ­10 ­5 1 5 10 ­1 ­2 ­2 ­4 b Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại 1.0 ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 , x2 , x3 và đồng thời thỏa mãn đẳng thức 2 2 x12 + x2 + x3 = 18 . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = 2 : x 3 - ( m 2 + m - 3 ) x + m 2 - 3m + 2 = 2 Û x 3 - ( m 2 + m - 3) x + m 2 - 3m = 0 éx = m Û ( x - m ) ( x 2 + mx - m + 3) = 0 Û ê 2 ë x + mx - m + 3 = 0 ( 2 ) Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2 tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai 0.25 0.25 ì m2 + m 2 - m + 3 ¹ 0 ém > 2 ï nghiệm phân biệt khác m Û í Ûê 2 ë m < -6 ï D = m - 4 ( - m + 3) > 0 î Giả sử x1 = m ; x2 , x3 là 2 nghiệm của (2). Khi đó theo định lí Viet ta ì x + x = -m được: í 2 3 î x2 .x3 = - m + 3 0.25 2 2 2 Do đó x12 + x2 + x3 = 18 Û m2 + ( x2 + x3 ) - 2 x2 x3 = 18 2 ém = 3 . Û m 2 + m 2 - 2 ( - m + 3 ) = 18 Û m2 + m - 12 = 0 Û ê ë m = -4 So sánh với điều kiện của m ta được m = 3 thỏa mãn. æp ö æp ö 4 + sin x Giải phương trình: cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ = 2 è3 ø è3 ø æp ö æp ö 4 + sin x cos 2 ç + x ÷ + cos 2 ç - x ÷ = 2 è3 ø è3 ø æ 2p ö æ 2p ö 1 + cos ç + 2 x ÷ 1 + cos ç - 2x ÷ 3 3 è ø+ è ø = 4 + sin x Û 2 2 2 2p æ 2p ö æ 2p ö Û - sin x - 2 + cos ç + 2 x ÷ + cos ç - 2 x ÷ = 0 Û - sin x - 2 + 2 cos cos 2 x = 0 3 è 3 ø è 3 ø 0.25 1.0 Ta có: 3 Û - sin x - 2 - cos 2 x = 0 Û 2sin 2 x - sin x - 3 = 0 ésin x = -1 p Û x = - + k 2p (k Î Z) Ûê êsin x = 3 (VN ) 2 ë 2 ì x+2+ y-2 =4 ï Giải hệ phương trình: í ï x+7 + y+3 = 6 î ì x ³ -2 Điều kiện: í . Ta có: îy ³ 2 ì x+2+ y-2 = 4 ì x + 7 + x + 2 + y + 3 + y - 2 = 10 ï ï Ûí í ï x+7 + y+3 = 6 ï x+7 - x+2 + y +3 - y-2 = 2 î î Đặt u = x + 7 + x + 2 và v = y+3 + y-2 ìu + v = 10 ìu + v = 10 ìu = 5 ï Ûí Ûí í5 5 îuv = 25 îv = 5 ïu + v = 2 î ì x + 7 + x + 2 = 5 (1) ï Khi đó ta có hệ í ï y + 3 + y - 2 = 5 ( 2) î 0.25 0.25 0.25 0.25 1,0 0.25 ( u; v > 0 ) , ta được hệ 0.25 0.25 Giải pt (1) ta được: x = 2 ì x+7 + x+2 =5 ìx = 2 ï Giải pt(2) ta được: y = 6. Khi đó í Ûí îy = 6 ï y+3+ y-2 =5 î Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (2; 6) 4 0.25 1 Tính tích phân: I = ò ( x - 2014 ) e 2 x dx 1,0 0 ì du = dx ìu = x - 2014 ï Đặt í Þí 1 2x 2x î dv = e dx ïv = 2 e î 1 1 1 2x 1 2x Þ I = ( x - 2014 ) e e dx 2 0 2ò 0 =- 0.25 0.25 1 2013e 2 1 + 1007 - e2 x 0 2 4 0.25 4029 - 4027e 2 4 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B, AB = a, BC = a, AD = 2a, SA ^ ( ABCD ) , góc giữa mặt phẳng ( SCD ) với mặt đáy = 5 bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SCD ) . 0.25 1,0 S 0.25 H O A B D C AD Þ · = 900 ACD 2 · Dễ thấy: CD ^ ( SAC ) Þ CD ^ SC , do đó góc giữa (SCD) và mặt đáy là góc SCA Gọi O là trung điểm AD ta có ABCO là hình vuông nên CO = 1 AD + BC a3 6 . AB.SA = 3 2 2 Trong mp ( SAC ) kẻ AH ^ SC Þ AH ^ ( SCD ) Þ AH = d ( A, ( SCD ) ) . Trong tam giác vuông SAC ta có: 1 1 1 1 1 3 = + = + Þ AH = a 2 2 2 2 2 AH AS AC 2 a 6 a 2 · Þ SCA = 60 0 Þ SA = a 6 Þ VS . ABCD = ( ) ( 0.25 ) Vì BO / / ( SCD ) Þ d ( B, ( SCD ) ) = d ( O, ( SCD ) ) = 6 0.25 1 a 3 a 6 d ( A, ( SCD ) ) = = 2 4 2 2 0.25 Tìm x , y dương thỏa mãn hệ phương trình sau: ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32 ï í 1 x2 + y2 - x + y = ï î 2 1,0 ì 2 x 2 (4 x + 1) + 2 y 2 (2 y + 1) = y + 32(1) ï í 1 x 2 + y 2 - x + y = (2) ï î 2 1 2 1 2 0.25 1 2 ì a £1 ï ï b £1 î 1 2 (2) Û ( x - ) 2 + ( y + )2 = 1 . Đặt x - = a , y + = b Þ a 2 + b 2 = 1 Þ í (1) Û 8a 3 + 14a 2 +8a + 4b3 - 4b 2 = 30 Û (4 a 2 + 11a + 15)(a - 1) + 2b 2 (b - 1) = 0 ì 4a 2 + 11a + 15 > 0 Vì: í î a -1 £ 0 (3) (do a £ 1 ) Þ (4 a 2 + 11a + 15)( a - 1) £ 0 0.25 và: 2b 2 (b - 1) £ 0 ( do b £ 1 ) ì éb = 0 ìa = 1 ï Þ (3) Û í ê b = 1 Û í ë îb = 0 ï a =1 î (vì a 2 + b 2 = 1 ) ì ì 1 3 ì x - =1 ï x=2 a =1 ï ï 2 + Với í Ûí Ûí ïb = 0 ïy + 1 = 0 ïy = - 1 ï ï ï 2 î 2 î î 0.25 ( thỏa mãn) 0.25 3 1 2 2 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( ; ) 7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x - y + 2 = 0 và hai điểm A(4;6), B(0; -4) . Tìm trên đường thẳng (d ) điểm M sao cho véc tơ uuuu uuuu r r AM + BM có độ dài nhỏ nhất. uuuu r uuuu r M ( x0 ; 2 x0 + 2) Î ( d ) Þ AM ( x0 - 4; 2 x0 - 4) , BM (x 0 ; 2 x0 + 6) . uuuu uuuu r r Þ AM + BM = (2 x0 - 4; 4 x0 + 2) . uuuu uuuu r r 2 AM + BM = 20 x0 + 20 ³ 2 5 uuuu uuuu r r AM + BM nhỏ nhất Û x0 = 0 Û M (0; 2) 8.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A (1;0; -1) , B (1; -2;3) , C ( 0;1; 2 ) và D (1; 1 - m; 1 + 6m ) . Tìm m để bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng. uuu r uuur Ta có AB = ( 0; -2; 4 ) , AC = ( -1;1;3 ) r uuu uuur r Suy ra n = é AB, AC ù = ( -10; -4; -2 ) . ë û ur Chọn n1 ( 5; 2;1) làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) 1,0 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 Þ mp ( ABC ) :5 x + 2 y + z - 4 = 0 . Để A, B, C, D đồng phẳng thì D Î ( ABC ) Û 5.1 + 2. (1 - m ) + (1 + 6 m ) - 4 = 0 Û 4m + 4 = 0 Û m = -1 9.a 0.25 0.25 Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4 } xếp thành hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số. 1,0 X = {0;1; 2;3; 4} + Số cách lấy 3 chữ số khác nhau bất kỳ từ X và xếp chúng thành hàng ngang từ trái sang phải : A53 = 60 ( cách). Không gian mẫu : W = 60 + Gọi A là biến cố: “ Nhận được 1 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau” Giả sử số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành là: abc (a ¹ 0) . a ¹ 0 nên a có 4 cách chọn b có 4 cách chọn c có 3 cách chọn 0.25 Þ W A = 3.4.4 = 48 0.25 Vậy xác suất cần tính là: P( A) = 7.b W A 48 4 = = W 60 5 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, biết A ( 3; -3 ) , hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng x - 2 y + 1 = 0 , điểm E ( 3;0 ) nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh C. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C. uur Gọi I là trung điểm BC, do I Î BC Þ I ( 2 m - 1; m ) , mà A(3;­3) Þ AI = ( 2m - 4; m + 3 ) r uur r Do AI ^ u BC , mà u BC ( 2;1) Þ 2 ( 2 m - 4 ) + ( m + 3 ) = 0 Û m = 1 Þ I (1;1) B Î BC Þ B ( 2b - 1; b ) , b Î ¡. . Do C đối xứng với B qua I, suy ra uuu r uuu r C ( 3 - 2b; 2 - b ) , AB = ( 2b - 4; b + 3) , CE = ( 2b; b - 2 ) . uuu uuu r r 3 Do AB ^ CE nên ta được: 2b ( 2b - 4 ) + ( b - 2 )( b + 3) = 0 Û b = 2; b = 5 Với b = 2 Þ B ( 3; 2 ) , C ( -1; 0 ) . 3 æ 11 3 ö æ 21 13 ö Với b = - Þ B ç - ; - ÷ , C ç ; ÷ . 5 è 5 5ø è 5 5ø 8.b 0.25 1,0 0.25 0.25 0.25 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; -1; -3), B (3; 0; -3) và mặt cầu (S) có phương trình : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 6 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua hai điểm A, B và mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một 1,0 đường tròn có bán kính là 5 . Mặt cầu ( S ) có tâm I (-1; -1; -1) , bán kính R = 3 . r Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến n(a; b; c) , (a 2 + b 2 + c 2 > 0) . mp(P) đi qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là: a ( x - 0) + b( y + 1) + c( z + 3) = 0 0.25 Û ax + by + cz + b + 3c = 0 B Î ( P) : 3a - 3c + b + 3c = 0 Û b = -3a d ( I , ( P )) = 32 - ( 5) 2 = 2 Þ -a - b - c + b + 3c 2 2 a +b +c 2 = 2 Û - a + 2c = 2 a 2 + b 2 + c 2 Û - a + 2c = 2 10a 2 + c 2 é a=0 2 Û 39a + 4 ac = 0 Û ê ê a = - 4c 39 ë Với a = 0 thì b = 0 . Ta có phương trình ( P) : z + 3 = 0 4 Với a = - c. Chọn c = 39 thì a = -4 b = 12 . 39 Ta được phương trình ( P) : 4 x - 12 y - 39 z - 129 = 0 0.25 0.25 0.25 9.b 2 2 Giải phương trình: 2 log 3 ( x 2 - 4 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - log 3 ( x - 2 ) = 4 . 1,0 ì x2 - 4 > 0 ï 2 ï( x + 2 ) > 0 Điều kiện: í Û x Î ( -¥; -3] È ( 2; +¥ ) (*) 2 ïlog 3 ( x + 2 ) ³ 0 ï 2 ï( x - 2 ) > 0 î Biến đổi pt đã cho ta được: log 3 (x 2 - 4) ( x - 2) 0.25 2 2 2 2 2 + 3 log 3 ( x + 2 ) - 4 = 0 Û log 3 ( x + 2 ) + 3 log 3 ( x + 2 ) - 4 = 0 Đặt t = log 3 ( x + 2 ) 2 ( t ³ 0 ) thì pt (3) trở thành ét = 1 t 2 + 3t - 4 = 0 Û ê ët = -4 ( loai ) é x = -2 + 3 (loai ) 2 2 t = 1 Û log 3 ( x + 2 ) = 1 Û ( x + 2 ) = 3 Û ê ê x = -2 - 3 ë Vậy nghiệm của phương trình là x = -2 - 3 . ­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­ (3) 0.25 0.25 0.25