VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
A. PhÇn më ®Çu
Môn Toán là môn học có tính thực tế rất cao, nó ảnh hưởng lớn đến đời sống
con người. Các công trình nghiên cứu khoa học đều cho rằng: Tất cả các môn khoa
học khác đều có liên quan mật thiết với Toán học. Sự phát triển mạnh mẽ của tất cả
các ngành khoa học cơ bản cũng như các ứng dụng của nó vào các ngành công
nghiệp then chốt đều không thể thiếu Toán học. §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ
mét yªu cÇu tÊt yÕu, ®¶m b¶o cho sù ph¸t triÓn cña gi¸o dôc. Ngµy nay nÒn kinh tÕ
trÝ thøc cïng víi sù bïng næ th«ng tin, gi¸o dôc ®· vµ ®ang thay ®æi ®Ó phï hîp víi
sù ph¸t triÓn cña khoa häc kü thuËt, sù ph¸t triÓn cña x· héi. Néi dung tri thøc khoa
häc cïng víi sù ®å sé vÒ lîng th«ng tin yªu cÇu chóng ta ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p
d¹y häc. Trong giai ®o¹n hiÖn nay gi¸o dôc kh«ng chØ t¹o ra nh÷ng con ngêi cã tµi,
cã ®øc mµ gi¸o dôc cßn cã mét thiªn chøc cao quý h¬n ®ã lµ gi¸o dôc c¸i thÈm mü,
nh©n v¨n, ®µo t¹o ra nh÷ng con ngêi cã kü n¨ng sèng vµ häc tËp trong thêi ®¹i míi.
Môc tiªu gi¸o dôc thay ®æi kÐo theo yªu cÇu ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc mét
c¸ch phï hîp. Nh»m gióp cho gi¸o viªn th¸o gì nh÷ng khã kh¨n trong qu¸ tr×nh
®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc, ®· cã nhiÒu gi¸o s tiÕn sü, c¸c nhµ khoa häc chuyªn
t©m nghiªn cøu, thÝ ®iÓm vµ triÓn khai ®¹i trµ vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc.
Mét trong nh÷ng yªu cÇu ®Æt ra cña c¶i c¸ch lµ ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y
häc theo híng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, díi sù tæ chøc híng dÉn
cña gi¸o viªn. Häc sinh tù gi¸c, chñ ®éng t×m tßi, ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt nhiÖm vô
nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo bµi
tËp vµ thùc tiÔn. Trong ®ã cã ®æi míi d¹y häc m«n to¸n, Trong trêng phæ th«ng,
d¹y to¸n lµ d¹y ho¹t ®éng to¸n häc. §èi víi häc sinh cã thÓ xem viÖc gi¶i to¸n lµ
h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n ®Æc biÖt lµ gi¶i to¸n
h×nh häc lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn ph¬ng ph¸p suy nghÜ, ph¬ng ph¸p t×m tßi vµ vËn
dông kiÕn thøc vµo thùc tÕ. Th«ng qua viÖc gi¶i to¸n thùc chÊt lµ h×nh thøc ®Ó cñng
cè, kh¾c s©u kiÕn thøc rÌn luyÖn ®îc nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n trong m«n to¸n. Tõ ®ã
rót ra ®îc nhiÒu ph¬ng ph¸p d¹y häc hay, nh÷ng tiÕt lªn líp cã hiÖu qu¶ nh»m ph¸t
huy høng thó häc tËp cña häc sinh, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc toµn
diÖn.
Trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng cÊp THCS cã nhiÒu m¶ng kiÕn thøc trong
s¸ch gi¸o khoa ®Ò cËp ®Õn rÊt Ýt nhng trong qu¸ tr×nh häc l¹i gÆp rÊt nhiÒu, ngay
nh÷ng häc sinh n¾m rÊt v÷ng kiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa nhng khi gÆp nh÷ng d¹ng
to¸n nµy vÉn cßn lóng tóng. V× vËy víi ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i muèn ®Ò cËp ®Õn mét
vÊn ®Ò mµ kh«ng Ýt chóng ta - nh÷ng ngêi thÇy ®ang tr¨n trë vµ b¨n kho¨n, ®ã lµ
“Ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p vµ vËn dông ph¬ng ph¸p nµy ®Ó gi¶i c¸c
d¹ng to¸n kh¸c nh thÕ nµo”. ThËt vËy trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng ph¬ng
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
1
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
ph¸p chøng minh quy n¹p lµ mét trong nh÷ng m¶ng kiÕn thøc khã mµ øng dông
cña nã l¹i kh¸ réng r·i, nã kh«ng nh÷ng cã mÆt trong ph©n m«n sè häc mµ cßn
®ãng gãp mét vai trß quan träng trong ph©n m«n ®¹i sè, nã kh«ng chØ dõng l¹i ë
ch¬ng tr×nh THCS mµ cßn lµ mét phÇn quan träng trong ch¬ng tr×nh THPT. V× vËy
ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p lµ phÇn g©y cho häc sinh, ngay c¶ häc sinh giái
nhiÒu khã kh¨n bèi rèi, tuy nhiªn ®©y còng lµ phÇn quyÕn rò häc sinh say mª m«n
to¸n vµ häc giái to¸n v× nã ®ßi hái ph¶i t duy l«gic, t×m tßi s¸ng t¹o.
Qua nghiªn cøu kü néi dung kiÕn thøc, ®äc nhiÒu tµi liÖu vµ qua thùc tÕ båi
dìng häc sinh giái m«n to¸n ë trêng THCS, t«i ®· rót ra ®îc mét vµi kinh nghiÖm.
T«i m¹nh d¹n lùa chän ®Ò tµi: “VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i
mét sè d¹ng to¸n” nh»m t×m ra nh÷ng biÖn ph¸p hay gióp cho c«ng t¸c d¹y häc
nãi chung vµ c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái nãi riªng ®¹t kÕt qu¶ cao
B. PhÇn Néi dung
I. Cë së lý luËn:
Trong ho¹t ®éng d¹y häc theo ph¬ng ph¸p ®æi míi, gi¸o viªn cÇn gióp häc
sinh chuyÓn tõ thãi quen thô ®éng sang thãi quen chñ ®éng. Muèn vËy gi¸o viªn
cÇn chØ cho häc sinh c¸ch häc, biÕt c¸ch suy luËn, biÕt tù t×m l¹i nh÷ng ®iÒu ®·
quªn, biÕt c¸ch t×m tßi ®Ó ph¸t hiÖn kiÕn thøc míi. C¸c ph¬ng ph¸p thêng lµ nh÷ng
quy t¾c, quy tr×nh nãi chung lµ c¸c ph¬ng ph¸p cã tÝnh chÊt thuËt to¸n. Tuy nhiªn
còng cÇn coi träng c¸c ph¬ng ph¸p cã tÝnh chÊt t×m ®o¸n. Häc sinh cÇn ®îc rÌn
luyÖn c¸c thao t¸c t duy nh ph©n tÝch, tæng hîp, ®Æc biÖt ho¸, kh¸i qu¸t ho¸, t¬ng
tù, quy l¹ vÒ quen. ViÖc n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p nãi trªn t¹o ®iÒu kiÖn cho häc
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
2
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
sinh cã thÓ ®äc hiÓu ®îc tµi liÖu, tù lµm ®îc bµi tËp, n¾m v÷ng vµ hiÓu s©u c¸c kiÕn
thøc c¬ b¶n ®ång thêi ph¸t huy ®îc tiÒm n¨ng s¸ng t¹o cña b¶n th©n vµ tõ ®ã häc
sinh thÊy ®îc niÒm vui trong häc tËp.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc, ngêi gi¸o viªn ph¶i b¸m s¸t ch¬ng tr×nh vµ s¸ch
gi¸o khoa, xem ®©y nh lµ ®Þnh híng cho c¶ qu¸ tr×nh d¹y häc. Tuy nhiªn viÖc
truyÒn thô kiÕn thøc cho häc sinh kh«ng chØ dõng l¹i ë s¸ch gi¸o khoa mµ ngêi
gi¸o viªn cßn ph¶i cã ph¬ng ph¸p ®Ó tõ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n Êy ph¸t triÓn vµ t×m
ra nh÷ng kiÕn thøc míi gióp häc sinh lÜnh héi mét c¸ch chñ ®éng vµ cã hÖ thèng
Trong viÖc d¹y häc to¸n th× viÖc t×m ra nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc vµ gi¶i bµi
tËp to¸n ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i chän läc, hÖ thèng bµi tËp, sö dông ®óng ph¬ng
ph¸p d¹y häc ®Ó gãp phÇn h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t duy cña häc sinh. §ång thêi
qua viÖc häc to¸n häc sinh cÇn ®îc båi dìng, rÌn luyÖn vÒ phÈm chÊt ®¹o ®øc, c¸c
thao t¸c t duy ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp to¸n trong ®ã cã c¸c bµi tËp vÒ chøng minh quy
n¹p còng lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n hay gióp häc sinh ph¸t huy cao ®é tÝnh t duy,
trÝ tuÖ cho häc sinh, ph¸t hiÖn nh÷ng quy luËt ®Ñp trong To¸n häc.
II. Cë së thùc tiÔn:
Trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng, ¸p dông ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p
chiÕm mét m¶ng lín ®ã lµ chøng minh chia hÕt, chøng minh ®¼ng thøc, chøng
minh bÊt ®¼ng thøc... Do vËy “ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p” gãp mét phÇn
vµo viÖc thùc hiÖn ch¬ng tr×nh d¹y häc theo ph¬ng ph¸p míi hiÖn nay “lÊy häc sinh
lµm trung t©m”. §ång thêi gióp mçi ngêi gi¸o viªn n©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n
nghiÖp vô, t¹o c¬ së v÷ng ch¾c ®Ó phôc vô cho c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái ®¹t
kÕt qu¶ tèt, gãp phÇn vµo môc tiªu “®µo t¹o vµ båi dìng nh©n tµi”
Qua kÕt qu¶ kh¶o s¸t, kiÓm tra tríc khi ¸p dông ®Ò tµi víi 26 häc sinh t«i
thÊy kÕt qu¶ tiÕp thu vÒ ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p nh sau:
§iÓm díi 5
§iÓm 5 - 6
§iÓm 7 - 8
§iÓm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11
42,3%
08
30,8%
05
19,2%
02
7,7%
Nguyªn nh©n cña thùc tÕ trªn:
§©y lµ d¹ng to¸n t¬ng ®èi míi l¹ vµ khã víi häc sinh, häc sinh cha ®îc trang
bÞ c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i, nªn viÖc suy luËn cßn h¹n chÕ vµ nhiÒu khi kh«ng cã lèi
tho¸t dÉn ®Õn kÕt qu¶ rÊt thÊp vµ ®Æc biÖt ®èi víi häc sinh trung b×nh c¸c em cµng
khã gi¶i quyÕt
§Ó gióp häc sinh n¾m ®îc ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p, t«i ®· nghiªn
cøu x©y dùng thµnh chuyªn ®Ò, trong ®ã trang bÞ cho häc sinh n¾m ®îc thÕ nµo lµ
ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p, vËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p ®Ó chøng minh
quan hÖ chia hÕt, chøng minh ®¼ng thøc, chøng minh bÊt ®¼ng thøc. §ång thêi nªu
lªn mét sè vÝ dô minh häa gióp häc sinh hiÓu vµ n¾m ch¾c kiÕn thøc, biÕt ¸p dông
vµo gi¶i to¸n. Tõ ®ã yªu cÇu häc sinh gi¶i c¸c bµi tËp t¬ng øng tõ dÔ ®Õn khã, häc
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
3
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
sinh ®îc rÌn luyÖn vµ n¾m ch¾c kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p gi¶i, ¸p dông thµnh th¹o vµ
chÊt lîng gi¶i to¸n ®îc n©ng cao.
III. Môc ®Ých nghiªn cøu:
a. §èi víi gi¸o viªn:
- N©ng cao tr×nh ®é chuyªn m«n phôc vô cho qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y.
- Lµm quen víi c«ng t¸c nghiªn cøu khoa häc n©ng cao kiÕn thøc.
b. §èi víi häc sinh:
- Gióp häc sinh häc tËp m«n to¸n nãi chung vµ viÖc gi¶i bµi tËp vÒ ¸p dông ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p nãi riªng. Trang bÞ cho häc sinh mét sè kiÕn thøc
míi nh»m n©ng cao n¨ng lùc häc m«n to¸n gióp c¸c em tiÕp thu bµi mét c¸ch
chñ ®éng, s¸ng t¹o vµ lµm c«ng cô gi¶i quyÕt mét sè bµi tËp cã liªn quan.
- G©y ®îc høng thó cho häc sinh khi lµm bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa, s¸ch
tham kh¶o, gióp häc sinh tù gi¶i ®îc mét sè bµi tËp.
- Th«ng qua viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ¸p dông quy n¹p (®Ó chøng minh chia hÕt,
chøng minh ®¼ng thøc, B§T) gióp häc sinh thÊy râ môc ®Ých cña viÖc häc to¸n.
IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- Nghiªn cøu lý thuyÕt th«ng qua SGK, tµi liÖu tham kh¶o cña häc sinh vµ
gi¸o viªn.
- Sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch tæng hîp.
V. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p:
1, phÐp quy n¹p hoµn toµn vµ phÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn:
VÝ dô 1. Quan s¸t c¸c kÕt qu¶ sau:
13 - 1 chia hÕt cho 3
23 - 2 chia hÕt cho 3
33 - 3 chia hÕt cho 3
43 - 4 chia hÕt cho 3
H·y ®a ra mét dù ®o¸n råi chøng minh dù ®o¸n ®ã?
Gi¶i: Dù ®o¸n: a3 - a chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn d¬ng a
Chøng minh: Gäi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)
XÐt ba kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra:
a) NÕu a = 3k
(k N) th× A chia hÕt cho 3
b) NÕu a = 3k + 1 (k N) th× a - 1 chia hÕt cho 3, do ®ã A chia hÕt cho 3
c) NÕu a = 3k +2 (k N) th× a + 1 chia hÕt cho 3, do ®ã A chia hÕt cho 3
VËy a3 - a chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn d¬ng a
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
4
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
VÝ dô 2. Quan s¸t kÕt qu¶ sau: 23 - 2 chia hÕt cho 3
25 - 2 chia hÕt cho 5
27 - 2 chia hÕt cho 7
Dù ®o¸n sau ®óng hay sai? 2n - 2 chia hÕt cho n víi mäi sè lÎ n?
Gi¶i: Dù ®o¸n trªn lµ sai. Ch¼ng h¹n 29 - 2 = 510 kh«ng chia hÕt cho 9
NhËn xÐt: Trong hai vÝ dô trªn, ta ®· thùc hiÖn c¸c phÐp suy luËn sau:
1, XÐt c¸c gi¸ trÞ cña a b»ng 1, 2, 3, 4, ®Ó kÕt luËn r»ng a 3 - a chia hÕt cho 3 víi
mäi sè nguyªn d¬ng a
2, XÐt c¸c gi¸ trÞ cña a b»ng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k N) ®Ó kÕt luËn r»ng a3 - a chia
hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn d¬ng a
3, XÐt c¸c gi¸ trÞ cña n b»ng 3, 5, 7 ®Ó kÕt luËn r»ng 2 n - 2 chia hÕt cho n víi mäi
sè tù nhiªn lÎ n
Ba phÐp suy luËn trªn ®îc gäi lµ phÐp quy n¹p, ®ã lµ phÐp suy luËn ®i tõ c¸c trêng hîp riªng biÖt ®i tíi kÕt luËn tæng qu¸t
PhÐp quy n¹p gäi lµ hoµn toµn nÕu ta xÐt tÊt c¶ c¸c trêng hîp riªng, ch¼ng
h¹n trong phÐp suy luËn 2 ta ®· xÐt mäi kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra khi chia sè tù nhiªn
a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k + 2)
PhÐp quy n¹p gäi lµ kh«ng hoµn toµn nÕu ta xÐt mét sè trêng hîp riªng chø
cha xÐt ®Çy ®ñ mäi trêng hîp riªng. Ch¼ng h¹n trong phÐp suy luËn 1 ta míi xÐt a
b»ng 1, 2, 3, 4 ®Ó kÕt luËn cho mäi sè nguyªn d¬ng a, trong phÐp suy luËn 3 ta míi
xÐt n b»ng 3, 5, 7 ®Ó kÕt luËn cho mäi sè tù nhiªn lÎ n.
Nhê phÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn mµ ta cã nh÷ng dù ®o¸n vÒ mét tÝnh chÊt
to¸n häc nµo ®ã, ®ã lµ mét c¬ së ®Ó ®i tíi c¸c ph¸t minh. PhÐp quy n¹p 1 cho mét
kh¼ng ®Þnh ®óng, kÕt luËn nµy ®· ®îc chøng minh b»ng phÐp quy n¹p 2 (quy n¹p
hoµn toµn). PhÐp quy n¹p 3 cho mét kÕt luËn sai, ta b¸c bá nã b»ng mét ph¶n vÝ dô.
Nh vËy “phÐp quy n¹p hoµn toµn” lµ mét phÐp chøng minh chÆt chÏ, cßn “phÐp
quy n¹p kh«ng hoµn toµn” cã thÓ dÉn tíi sai lÇm, ngay c¶ ®èi víi c¸c nhµ to¸n häc
cã tªn tuæi díi ®©y:
- Nhµ to¸n häc Ph¸p Fecma nhËn xÐt r»ng c«ng thøc 2 n + 1 cho ta c¸c sè nguyªn
tè víi n b»ng 20, 21, 22, 23, 24 (thËt vËy 21+ 1 = 3; 22 + 1 = 5; 2 4 + 1 = 17; 28 + 1 =
257; 216 + 1 = 65537; tÊt c¶ ®Òu lµ sè nguyªn tè )
Víi n = 25 = 32 th× 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecma kh«ng ph©n tÝch ®îc ra
thõa sè nguyªn tè, «ng cho r»ng ®ã còng lµ mét sè nguyªn tè vµ ®a ra gi¶ thuyÕt
tæng qu¸t r»ng c«ng thøc 2n + 1 víi n lµ mét luü thõa cña 2 cho ta c¸c sè nguyªn
tè.
- Mét thÕ kØ sau, n¨m 1732, ¥le míi b¸c bá gi¶ thuyÕt trªn b»ng c¸ch chØ ra r»ng
2 + 1 lµ mét hîp sè, nã chia hÕt cho 641
32
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
5
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Cã thÓ kÓ thªm hai mÖnh ®Ò sai nhng l¹i ®óng víi mét sè rÊt lín c¸c trêng hîp
®Çu tiªn:
- Nhµ to¸n häc Grav¬ ®a ra dù ®o¸n: Víi mäi sè nguyªn tè p ta cã: 2p-1 - 1 kh«ng
chia hÕt cho p2. Dù ®o¸n nµy ®óng víi mäi sè nguyªn tè nhá h¬n 1000, nhng ch¼ng
bao l©u sau ngêi ta chØ ra r»ng tån t¹i sè nguyªn tè 1093 mµ 21093 - 1 chia hÕt cho
10932
- Mét dù ®o¸n kh¸c: Sè 911n2+ 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n. Sè n nhá nhÊt ®Ó mÖnh ®Ò trªn sai lµ
n = 12055735790331359447442538767 (cã 29 ch÷ sè)
VËn dông phÐp quy n¹p hoµn toµn gióp c¸c nhµ to¸n häc t×m ra mét ph¬ng ph¸p
chøng minh hiÖu nghiÖm gióp chóng ta kh¼ng ®Þnh sù ®óng ®¾n cña mét sè tù
nhiªn, ®ã lµ ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc
2, Néi dung cña ph¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc:
Trong to¸n häc, phÐp quy n¹p hoµn toµn chØ ®îc ¸p dông rÊt h¹n chÕ. NhiÒu
mÖnh ®Ò To¸n häc ®¸ng chó ý bao gåm mét sè v« h¹n c¸c trêng hîp riªng, nhng
con ngêi kh«ng thÓ kiÓm tra ®îc tÊt c¶ c¸c trêng hîp riªng ®ã
PhÐp quy n¹p hoµn toµn, nh chóng ta ®· biÕt thêng dÉn tíi kÕt luËn sai lÇm.
Trong nhiÒu trêng hîp ®Ó tr¸nh nh÷ng khã kh¨n nh thÕ ngêi ta ¸p dông mét ph¬ng
ph¸p suy luËn “®Æc biÖt”, ®îc gäi lµ ph¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc
* Néi dung cña ph¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc ®îc tr×nh bµy nh sau:
Mét mÖnh ®Ò phô thuéc vµo sè nguyªn d¬ng n ®îc xem lµ ®· ®îc chøng
minh nÕu c¶ hai ®iÒu kiÖn sau ®©y ®îc tháa m·n:
1, MÖnh ®Ò ®óng víi n = 1
2, Tõ gi¶ thiÕt mÖnh ®Ò ®óng víi n = k (k N) suy ra ®îc mÖnh ®Ò còng
®óng víi n = k + 1
Nh vËy ®Ó chøng minh mét mÖnh ®Ò ®óng víi mäi sè nguyªn d¬ng n b»ng
ph¬ng ph¸p quy n¹p To¸n häc, ta ph¶i tiÕn hµnh ba bíc sau:
Bíc 1: KiÓm tra mÖnh ®Ò ®óng víi n = 1
Bíc 2: Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k (ta gäi lµ gi¶ thiÕt quy n¹p), råi chøng
minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k +1
Bíc 3: KÕt luËn mÖnh ®Ò ®óng víi mäi sè nguyªn d¬ng n
Trong ph¹m vi nghiªn cøu cña m×nh, t«i chØ ®Ò cËp ®Õn viÖc vËn dông ph¬ng
ph¸p chøng minh quy n¹p To¸n häc ®Ó gi¶i ba d¹ng to¸n ®ã lµ: Chøng minh sù chia
hÕt, chøng minh ®¼ng thøc vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Hy väng víi mét sè kinh
nghiÖm nhá nµy sÏ gãp phÇn vµo ph¬ng ph¸p d¹y häc, ®Æc biÖt lµ c«ng t¸c båi dìng
häc sinh giái, gióp häc sinh rÌn luyÖn ®îc kü n¨ng gi¶i to¸n vµ t duy gi¶i to¸n cã
hiÖu qu¶ h¬n.
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
6
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
3, VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc vµo chøng minh:
3.1, D¹ng 1. Chøng minh quan hÖ chia hÕt:
Bµi 1: Chøng minh r»ng tæng c¸c lËp ph¬ng cña ba sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp th×
chia hÕt cho 9
Gi¶i:
Gäi ba sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp ®ã lµ: n; n +1 vµ n + 2
Ta ph¶i chøng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3] 9
(1)
+ Víi n =1, ta cã: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36
9
VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k N) tøc lµ: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3]
9
Ta ph¶i chøng minh r»ng (1) còng ®óng víi n = k + 1, tøc lµ ph¶i chøng minh:
[(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]
9
ThËt vËy ta cã:
(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 +27k + 27
= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 + 3k + 3)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3
9
cßn 9(k3 + 3k + 3) víi k
9
Do ®ã [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]
9
+ KÕt luËn: MÖnh ®Ò (1) ®óng víi mäi sè nguyªn d¬ng n. VËy tæng c¸c lËp ph¬ng
cña ba sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp th× chia hÕt cho 9
Bµi 2: Chøng minh r»ng: Víi mäi n nguyªn d¬ng th×: A(n) = 7n + 2 + 82n + 1
19
Gi¶i:
+ Víi n = 1 th× A(1) = 73 + 83 = 343 + 512 = 19.45 A(1)
19
VËy A(n) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö A(n) ®óng víi n = k. Ta cã: A(k) = 7k + 2 + 82k + 1
19
Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
A(k + 1) = 7k + 3 + 82k + 3
= 7.7k + 2 + 82.82k + 1
k + 2 + 64.82k + 1
= 7.7
= 7.7k + 2 + 7.82k + 1 + 57.82k + 1
= 7.( 7k + 2 + 82k + 1) + 19.3.82k + 1 = 7. A(k) + 19.3.82k + 1
V× A(k) (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p) 7. A(k)
19
19
19 19.3.82k + 1 A(k + 1)
19
19
19
Theo nguyªn lÝ quy n¹p A(n) Víi n nguyªn d¬ng
19
VËy A(n) = 7k + 2 + 82k + 1 Víi n nguyªn d¬ng
19
+ KÕt luËn: VËy A(n) ®óng víi mäi sè nguyªn d¬ng
Bµi 3: Chøng minh r»ng: 16n - 15n - 1
225;
nN
Gi¶i:
§Æt A(n) = 16n - 15n - 1
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
7
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
+ Víi n = 1, ta cã: A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 A(1)
225
225
+ Gi¶ sö A(n) ®óng víi n = k. Ta cã: A(k) = 16k - 15k - 1
225
Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
ThËt vËy:
A(k + 1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
= (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1)
= A(k) + 15(16k - 1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã A(k)
225
k - 1 16 - 1
k - 1 15
Ta cã: 16
15.15
16
15(16k - 1)
225
15(16k - 1)
225
A(k + 1)
Theo nguyªn lÝ quy n¹p th× A(n)
225
víi n N
+ KÕt luËn: VËy 16n - 15 - 1 víi n N
225
Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (n + n) chia hÕt cho 2n
b) 33n + 2 + 5.23n + 1 chia hÕt cho 19
c) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt 24
Gi¶i:
a) Víi n = 1 th× S1 = (1 + 1).(1 + 2) ... (1 + n) = 2.3 ... (1 + 1) n
2
VËy Sn ®óng víi n = 1
Gi¶ sö Sn ®óng víi n = k, tøc lµ: Sk = (k + 1).(k + 2) ... (k + k) n
2
Ta ph¶i chøng minh Sn ®óng víi n = k + 1
Tøc lµ Sk + 1 = (k + 2).(k + 3) ... (k +1 + k + 1) = (k + 2).(k + 3) ... (2k + 2) n
2
ThËt vËy:
Sk + 1 = (k + 2).(k + 3).(k + 4) ... (k + k + 2)
= (k + 1).(k + 2).(k + 3) ... (k + k).2.(2k + 1)
= Sk.2.(2k + 1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã Sk n
2
Do ®ã: Sk.2.(2k + 1) n. Sk + 1 n
2
2
VËy Sn n ®óng víi n = k + 1
2
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× Sn n
2
b) Víi n = 1 th× A(n) = 33n + 2 + 5.23n + 1 = 35 +5.24 =243 + 80 = 323 chia hÕt cho 19
A(n) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö A(n) ®óng víi n = k, tøc lµ: A(k) = 33k + 2 + 5.23k + 1
19
19
Ta ph¶i ®i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
19
Tøc lµ:
A(k + 1) = 33(k + 1) + 2 + 5.23(k + 1) + 1
A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4
19
ThËt vËy: A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4 = 33k + 2.33 + 5.23k + 1.23
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
8
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
= 27(33k + 2 + 5.23k + 1) - 19.33k + 1
= 27.Ak - 19.33k + 1
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã: Ak 27Ak
19
19
L¹i cã: 19 19.33k + 1 Do ®ã A(k + 1) = 27.Ak - 19.33k + 1
19
19.
19
VËy A(n) ®óng víi n = k + 1
19
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× A(n)
19
c) Chøng minh: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
24.
4 + 6n3 + 11n2 + 6n = 1 + 6 + 11 + 6 = 24
+ Víi n = 1 th× A = n
24
VËy A ®óng víi n = 1
24
+ Gi¶ sö A ®óng víi n = k
24
Tøc lµ: A(k) = k4 + 6k3 + 11k2 + 6k
24
Ta ph¶i ®i chøng minh A(n) ®óng víi n = k + 1
24
4 + 6(k + 1)3 + 11(k + 1)2 + 6(k + 1)
Tøc lµ: A(k + 1) = (k+1)
24
ThËt vËy:
A(k + 1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 6k3 + 18k2 + 18k + 6 + 11k2 + 22k + 11 + 6k + 1
A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)
DÔ thÊy: k4 + 6k3 + 11k2 + 6k (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p)
24
Vµ 24(k2 + 1) L¹i cã (k3 + 11k) víi k N
24.
6
ThËt vËy: víi k = 1 th× k3 + 11k = 12 (®óng)
6.
Gi¶ sö ®óng víi k = m th× m3 + 11m (m N)
6
Ta ph¶i ®i chøng minh k3 + 11k ®óng víi k = m +1
6
ThËt vËy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + 1 + 11m + 11
= (m3 + 11m) + (3m2 + 3m + 12)
6
3 + 11k
3 + 11k)
Do ®ã k
6
24
4(k
VËy A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)
24
VËy A(n) ®óng víi n = k + 1
24
+ KÕt luËn: Víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× lu«n cã: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
24
* Mét sè bµi tËp gi¶i t¬ng tù:
Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a:
a) a2 - a chia hÕt cho 2
b) a3 - a chia hÕt cho 3
c) a5 - a chia hÕt cho 5
d) a7 - a chia hÕt cho 7
Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
a) 32n + 1 + 40n - 67 chia hÕt cho 64
b) 2n + 2.3n + 5n - 4 chia hÕt cho 25
c) 7n + 2 + 82n + 2 chia hÕt cho 57
d) 10n + 72n - 1 chia hÕt cho 81
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× sè gåm 3n ch÷ sè 1 chia hÕt
cho 3n?
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
9
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
HD: MÖnh ®Ò ®óng víi n = 1. V× sè 111
Gi¶ sö sè
3
11...1
chia hÕt cho 3, ta cã sè:
3k
11...1 11...1 11...1 11...1 11...1 100...1 100...01
=
. k . k =
.
.
chia hÕt cho 3
3k 1
3k
3
3
3k
3k
3k
VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× gåm 3n ch÷ sè 1 chia hÕt cho 3n
Bµi 4: Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi:
a) A = 13 + 23 + 33 + ... + 993 + 1003;
B = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
b) A = 13 + 23 + 33 + ... + 993;
B = 1 + 2 + 3 + ... + 99
Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu n lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn th×
(n - 1).n.(n + 1) chia hÕt cho 504
Bµi 6: Chøng minh r»ng: NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a6 - b6 chia hÕt cho 9
Bµi 7: a) Chøng minh r»ng nÕu tæng hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp
ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 9
b) Chøng minh r»ng hiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎ th× chia hÕt cho 8
Bµi 8: Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d¬ng:
a)
(n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (2n) chia hÕt cho 2n
b)
(n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (3n) chia hÕt cho 3n
Bµi 9: CM r»ng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n
3.2, D¹ng 2. Chøng minh ®¼ng thøc:
Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
2
Sn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n(n 1)
2
Gi¶i:
(1)
2
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i cña (1) b»ng 1 = 1; vÕ ph¶i cña (1) b»ng 1(1 1) 1
2
VT = VP. VËy (1) ®óng víi n = 1
3
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k N & k 1)
2
Tøc lµ: SK = 1 + 2 + 3 + ... + k = (k 1)(k 2)
2
3
3
3
3
Ta ph¶i chøng minh (1) ®óng víi n = k +1
2
Tøc lµ: SK + 1 =1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (k 1)(k 2)
2
3
3
3
3
ThËt VËy: SK + 1 = 13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3
= 13 + 23 + 33 + ...+ k3 + (k + 1)3
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
10
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
= SK + (k + 1)3
2
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p th× Sk = (k(k 1)
2
2
2
2
Do ®ã: Sk + 1 = (k(k 1) + (k + 1)3 = k (k 1) + (k + 1)3
2
4
2
2
2
(k 1) . k 4(k 1) (k 1) . k 2 4k 1
=
=
4
4
= (k 1) . k 2 = (k 1).(k 1)
2
2
2
2
4
2
(k 1).(k 1)
SK + 1 =
®óng. VËy (1) ®óng víi n = k + 1
2
+ KÕt luËn: MÖnh ®Ò (1) ®óng víi mäi sè nguyªn d¬ng n
Bµi 2. Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i cña (1) b»ng 1 = 1
2
vÕ ph¶i cña (1) b»ng
Gi¶i:
n(n 1).(2n 1)
6
(1)
1(1 1).(2.1 1)
=1
6
VËy VT = VP. VËy (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k N & k 1), tøc lµ:
Sk = 12 + 22 + 32 + ... + k2 =
k(k 1).(2k 1)
6
Ta ph¶i chøng minh ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ:
Sk + 1 = 12 + 22 + 32 + ... + (k + 1)2 =
(k 1).(k 2).(2k 3)
6
ThËt vËy: Sk + 1 = 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 = Sk + (k + 1)2
(Do gi¶ thiÕt quy n¹p Sn = 12 + 22 + 32 + ... + k2)
k(k 1).(2k 1)
do ®ã ta cã:
6
k(k 1).(2k 1)
Sk + 1 =
+ (k + 1)2
6
(k 1).k(2k 1) 6k 6
k(k 1).(2k 1) 6(k 1)2
=
=
6
6
2
2
(k 1). 2k k 6k 6
= (k 1).(2k 7k 6) = (k 1).(k 2).(2k 3)
=
6
6
6
(k 1).(k 2).(2k 3)
Sk + 1 =
. VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1
6
MÆt kh¸c Sk =
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× tæng b×nh ph¬ng n c¸c sè tù nhiªn
liªn tiÕp b»ng
n(n 1).(2n 1)
6
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
11
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
1
1
1
1
n
...
1.4 4.7 7.10
(3n 2).(3n 1) 3n 1
Gi¶i:
+ Víi n = 1, ®¼ng thøc ®óng v× VT = VP =
+ Gi¶ sö ®¼ng thøc ®óng víi n = k
Tøc lµ:
1
4
(k N, k 1)
1
1
1
1
k
...
1.4 4.7 7.10
(3k 2).(3k 1) 3k 1
Ta ph¶i chøng minh ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
Tøc lµ:
1
1
1
1
k 1
...
1.4 4.7 7.10
(3k 1).(3k 4) 3k 4
ThËt vËy: Sk + 1
=
1
1
1
1
1
...
1.4 4.7 7.10
(3k 2).(3k 1) (3k 1).(3k 4)
1
(3k 1).(3k 4)
k
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p Sk =
3k 1
k
1
3k 2 4k 1
Do ®ã:
Sk + 1 =
=
3k 1 (3k 1).(3k 4)
(3k 1)
(3k 1).(k 1)
k 1
Sk + 1 =
=
(3k 1).(3k 4)
3k 4
= Sk +
VËy Sn ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× ®¼ng thøc (1) lu«n x¶y ra
Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
12
22
32
n2
n(n 1)
Sn =
...
1.3 3.5 5.7
(2n 1).(2n 1) 2(2n 1)
Gi¶i:
12
1
=
(2.1 1).(2.1 1) 3
1(1 1)
1
vÕ tr¸i cña ®¼ng thøc trªn b»ng
=
2(2.1 1) 3
1
VT = VP = . VËy ®¼ng thøc ®óng víi n = 1
3
+ Víi n = 1, vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn b»ng
+ Gi¶ sö Sn ®óng víi n = k (k N, k 1)
Tøc lµ: Sk
12
22
32
k2
k(k 1)
...
1.3 3.5 5.7
(2k 1).(2k 1) 2(2k 1)
Ta ph¶i ®i chøng minh ®¼ng thøc Sn ®óng víi n = k + 1
12
22
32
(k 1)2
(k 1).(k 2)
Tøc lµ: Sk + 1
...
1.3 3.5 5.7
(2k 1).(2k 3)
2(2k 3)
12
22
32
k2
(k 1)2
ThËt vËy: Sk + 1
...
1.3 3.5 5.7
(2k 1).(2k 1) (2k 1).(2k 3)
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
12
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
12
22
32
k2
k(k 1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p:
...
1.3 3.5 5.7
(2k 1).(2k 1) (2k 1)2
k 1
(k 1)2
k 1 k
k 1
.
Do ®ã: Sk + 1
2(2k 1) (2k 1).(2k 3) 2k 1 2 2k 3
2
k 1 k(2k 3) 2(k 1)
k 1 2k 5k 2
.
.
2k 1
2k(2k 3)
2k 1 2(2k 3)
k 1 (2k 2).(2k 1) (k 1).(k 2)
.
2k 1
2(2k 3)
2(2k 3)
(k 1).(k 2)
Sk + 1
. VËy Sn ®óng víi n = k + 1 (k N, k 1)
2(2k 3)
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× ®¼ng thøc Sn lu«n ®óng
Bµi 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn th×:
1
1
1 1 1 1
1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 ... 1 a 1 a 1
(1)
Gi¶i:
+ Víi a = 1, VT = 1
1 1
1
1
VT = VP =
; VP =
2 2
2
2
VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = 1
+ Gi¶ sö a = k, ®¼ng thøc (1) ®óng, tøc lµ
1
1
1 1 1 1
1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 ... 1 k 1 k 1
Ta ph¶i ®i chøng minh ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = k + 1 (k N, k 1)
Tøc lµ:
ThËt vËy:
1
1
1
1 1 1
1 . 1 . 1 ... 1
. 1
2
3 4 k 1 k 2 k 2
1
1
1 1 1
1 2 . 1 3 . 1 4 ... 1 k 1 . 1 k 2
1 1 k 2 1
1
1
. 1 k 2 k 1 . k 2 k 2
k 1
VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi a = k + 1
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè tù nhiªn a th×:
1
1
1 1 1 1
1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 ... 1 a 1 a 1
* Mét sè bµi tËp gi¶i t¬ng tù:
Bµi 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
a, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) =
n(n 1).(n 2)
3
b, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2
c, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1).(n+2) =
Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
Sn
n(n 1).(n 2).(n 3)
4
1
1
1
1
n
L
víi n 1
1.2 2.3 3.4
n(n 1) n(n 1)
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
13
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
1
1
1
1
n
...
1.5 5.9 9.13
(4n 3).(4n 1) 4n 1
1
1
1
1
n
Sn
...
1.6 6.11 11.16
(5n 4).(5n 1) 5n 1
1
1
1
1
n
Sn
...
1.7 7.13 13.19
(n 5).(6n 1) 6n 1
1
1
1
1
n
Sn
...
1.8 8.15 15.22
(7n 6).(7n 1) 7n 1
Sn
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n N th×:
a, Sn = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + ... + n(n + 3) =
n(n 1).(n 5)
5
b, Sn = 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n.(3n - 1) = n2.(n + 1)
c) Sn = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n.(3n + 1) = n.(n + 1)2
Bµi 4: a, Chøng minh r»ng tæng n c¸c sè tù nhiªn ®Çu tiªn liªn tiÕp lµ:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n(n 1)
2
b, Chøng minh r»ng tæng n c¸c sè ch½n ®Çu tiªn liªn tiÕp lµ:
S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n =
n(2n 2)
n(n 1)
2
c, Chøng minh r»ng tæng n c¸c sè lÎ ®Çu tiªn liªn tiÕp lµ:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2
3.3, D¹ng 3. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:
Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n 3 th×: 2n > 2n + 1 (1)
Gi¶i:
3 = 8;
+ Víi n = 3 th× VT = 2
VP = 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 VT > VP
VËy (1) ®óng víi n = 3
+ Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k (k N, k 3), tøc lµ 2k > 2k + 1
Ta ph¶i chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ: 2k + 1 > 2k + 3
ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p 2k > 2k + 1
Do ®ã: 2k + 1 > 2(2k + 1) = (2k + 3).(2k - 1) > 2k + 3
(V× 2k - 1 > 0 víi k 3)
VËy (2) ®óng víi k 3
+ KÕt luËn: 2n > 2n + 1 víi mäi sè nguyªn d¬ng vµ n 3
(2)
Bµi 2: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc C«si víi n sè kh«ng ©m
a1 a2 ... an
n
n
a1a2 ...an víi a1, a2, . . ., an 0
CM:
+ HiÓn nhiªn mÖnh ®Ò ®óng víi n = 2, tøc lµ
+ Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k, tøc lµ:
a1 a2
2
n
a1a2
a1 a2 ... ak
k
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
14
k
a1a2 ...ak
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Ta ®i chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k + 1
a1 a2 ... ak
k
Gi¶ sö a1 a2 ... ak ak + 1. Th× ak + 1
§Æt
a1 a2 ... ak
= x th× x 0
k
ak + 1 = x + y víi y 0 vµ kx = a1, a2, . . ., ak 0 (Do gi¶ thiÕt quy n¹p)
k 1
Ta cã: a1 a2 ... ak ak 1
k 1
k 1
kx x y =
k 1
k 1
y
x
k 1
xk 1 (k 1).
a a2 ... ak ak 1
1
k 1
1
.xk xk 1 xk y xk (x y) a1a2 ...akak 1
k 1
k 1
a1a2 a3 ...ak 1 .
VËy mÖnh ®Ò ®óng víi mäi sè tù nhiªn n 2.
X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi: a1 = a2 = ... = an
n
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta cã: 1 1 3
n
Gi¶i:
1
+ Víi n = 1 ®¼ng thøc lu«n ®óng v×: VT = 1 1 2; VP = 3
1
+ VíÝ n = 2, theo khai triÓn Niu t¬n ta cã:
n
1 n(n 1) 1 n(n 1).(n 2)
n(n 1)...(n 2) 1
1
1
1 1
...
. n 1 1 ...
1 n 1 n. n 2! . n2
3
3!n
n!
n
n!
2! 3!
Do:
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
...
...
1 ...
1 1
2! 3!
n! 1.2 2.3
(n 1)n 2 2 3
n
n 1 n
2
Do ®ã: 1 1 1 1 1 3. Víi mäi n sè nguyªn d¬ng
n
Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
1
1
1
1
...
1
n 1 n 2 n 3
3n 1
Gi¶i:
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i bÊt ®¼ng thøc lµ:
1 1 1 13
1
2 3 4 12
VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k, tøc lµ:
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
1
1
1
1
...
1
k 1 k 2 k 3
3k 1
15
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Ta ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1, tøc lµ:
ThËt vËy:
1
1
1
1
...
1
k2 k3 k4
3k 4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
...
k2 k3 k4
3k 4 k 1 k 2 k 3 k 4
3k 1 3k 2
1
1
1
1
1
1
2
1
...
3(k 1).(3k 2).(3k 4) 1
3k 3 3k 4 k 1 k 2 k 3 k 4
3k 1
Do gi¶ thiÕt quy n¹p:
1
1
1
1
...
1
k 1 k 2 k 3
3k 1
VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
+ KÕt luËn: Víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta lu«n cã bÊt ®¼ng thøc:
1
1
1
1
...
1
n 1 n 2 n 3
3n 1
Bµi 5: CMR víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 1
Gi¶i:
1 1 1
1
n
... n
2 3 4
2 1 2
1
.
2
VT > VP. VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®óng víi n = 1
+ Gi¶ sö b®t ®óng víi n = k, tøc lµ:
1 1 1
1
k
Sk 1 ... k
. (k Z+ , k 1)
2 3 4
2 1 2
Ta ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
1 1 1
1
1
k 1
Tøc lµ Sk 1 1 ... k
... k
2 3 4
2 1
2 1
2
1
1
1
1
ThËt vËy: Sk 1 Sk k k
k
... k 1
Sk A ( )
2
2 1 2 2
2 1
1
1
1
Víi A = k k
... k 1
2
2 1
2 1
+ Víi n = 1, ta cã: VT = 1; VP =
Ta nhËn thÊy A lµ tæng cña 22 ph©n thøc mµ mçi ph©n thøc ®Òu lín h¬n
1
2k 1
1
1
1
1
1
+ k 1 + … + k 1 = 2 2 . k 1
( )
k 1
2
2
2
2
2
1
1
Tõ ( ) vµ ( ) suy ra Sk + 1 = Sk + A > . Sk + 1 >
2
2
k 1 1
L¹i cã:
(víi k Z+ , k 1) . VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1
2
2
Do ®ã: A >
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
16
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n th× bÊt ®¼ng thøc sau lu«n ®óng:
1
1 1 1
1
n
... n
2 3 4
2 1 2
Bµi 6: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho: 2n > 5n
Gi¶i:
+ Víi n = 1; 2; 3; 4 th× vÕ tr¸i nhá h¬n vÕ ph¶i
+ Víi n = 5 th× 25 = 32 > 25 = 5.5. VËy bÊt ®¼ng thøc ®óng khi n = 5
+ Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k (Víi k N , k 5); Tøc lµ: 2k > 5k
Ta ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1; Tøc lµ: 2k + 1 > 5(k + 1)
ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 mµ 2k > 5k (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p)
Nªn 2k.2 > 2.5k = 10k = 5k + 5k theo ®iÒu kiÖn k 5 nªn 5k > 5
V× vËy: 2k + 1 > 5k + 5 = 5(k + 1)
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyªn d¬ng n, n 5 th× ta cã 2n > 5n
*Mét sè bµi tËp gi¶i t¬ng tù:
Bµi 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×:
1
1
1
1 13
(n 2)
...
n 1 n 2 n 3
2n 24
Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n > 1 th×:
1
1
1
1
a. 2 2 2 ... 2 1
2
3
4
n
1
1
1
1
3
b.
...
2 n 1 n 2
nn 4
Bµi 3. Chøng minh r»ng víi mäi n lµ sè tù nhiªn vµ n 1 th× tæng:
1 1
1
1
S 2 2 2 ... 2 . Kh«ng ph¶i lµ mét sè tù nhiªn
1 2
3
n
1
1
1 n 1
Bµi 4. Chøng minh r»ng: 2 2 ... 2
2
3
n
n
3
3
3
3
...
Bµi 5. Cho S víi n N* vµ: S
1.4 4.7 7.10
n(n 3)
Chøng minh r»ng S < 1
Bµi 6. Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n 2 ®Òu cã:
1
1
1
1
1
n
...
2 n
1
2
3
4
n
Bµi 7. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc:
1
1
1
a.
...
n 1 n 2
1
2
n
1
1
1 1
b.
...
n 1 n 2
2n 2
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
17
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
1 3 5
2n 1
1
. . . ...
2n
2 n 2 4 6
2n
Bµi 8. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
c.
1
a)
1
1
1
1
2 2 ... 2 1 víi mäi sè tù nhiªn n 2
2
2
3
4
n
b)
1
1
1
1
1
2 2 ...
víi mäi sè tù nhiªn n 2
2
2
2
4
6
(2n)
2
Bµi 9. Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ta lu«n cã:
1
1
1
1
1
... 2
2
5 13 25
n (n 1)
2
VI. Mét sè gi¶i ph¸p khi vËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p ®Ó gi¶i to¸n:
1, §èi víi gi¸o viªn:
- Tríc hÕt ngêi gi¸o viªn ph¶i x©y dùng ®îc c¬ së lÝ thuyÕt vÒ ph¬ng ph¸p
quy n¹p to¸n häc vµ viÖc vËn dông nã ®Ó gi¶i tõng d¹ng to¸n cô thÓ. Néi dung nµy
ph¶i chuyÓn t¶i ®Õn häc sinh, víi mçi d¹ng to¸n gi¸o viªn ®a ra vÝ dô mÉu, híng
dÉn häc sinh dùa trªn c¬ së lý thuyÕt ®Ó t×m c¸ch gi¶i, gi¸o viªn chèt l¹i bµi gi¶i
mÉu. Sau ®ã yªu cÇu häc sinh gi¶i bµi tËp ¸p dông
- Ph©n lo¹i c¸c bµi tËp tõ dÔ ®Õn khã phï hîp víi tõng ®èi tîng häc sinh, t¹o
®iÒu kiÖn cho tõng ®èi tîng häc sinh ®îc lµm viÖc, chñ ®éng n¾m ®îc kiÕn thøc c¬
së vµ ph¬ng ph¸p gi¶i
- RÌn luyÖn vµ n©ng cao kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o cña häc sinh th«ng qua qua
viÖc t×m tßi chän läc, tham kh¶o kiÕn thøc trong khi nghiªn cøu, gi¶i to¸n
- Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, ph¶i chó ý t×m ra nh÷ng víng m¾c, sai sãt mµ
häc sinh hay m¾c ph¶i khi lµm bµi tËp vµ ph¶i cã biÖn ph¸p híng dÉn söa sai kÞp
thêi
- §éng viªn, khuyÕn khÝch häc sinh nghiªn cøu t×m ra c¸ch gi¶i míi cho
tõng bµi to¸n. Qua ®ã gióp häc sinh nhí l©u, n¾m ch¾c bµi to¸n ®· gi¶i
2, §èi víi häc sinh:
- §©y lµ d¹ng to¸n liªn quan ®Õn hÇu hÕt c¸c kiÕn thøc cña cÊp häc, do ®ã
häc sinh cÇn ph¶i trang bÞ cho m×nh c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n, toµn diÖn cña ch¬ng tr×nh
THCS. §ång thêi n¾m ch¾c c¬ së lý thuyÕt vµ c¸c d¹ng to¸n mµ gi¸o viªn cung cÊp
®Ó hiÓu ®îc b¶n chÊt cña ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. Tõ ®ã cã thÓ vËn dông ®Ó
gi¶i ®îc c¸c d¹ng to¸n vÒ chøng minh sù chia hÕt, chøng minh ®¼ng thøc vµ bÊt
®¼ng thøc
- Víi mçi bµi tËp cÇn nhËn d¹ng ®îc d¹ng to¸n ®Ó tõ ®ã vËn dông ph¬ng
ph¸p hîp lý cña tõng d¹ng vµo gi¶i to¸n
- Ph¸t huy kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong khi gi¶i to¸n, biÕt suy luËn tõ bµi dÔ
®ªn bµi khã víi c¸ch gi¶i hay h¬n, t×m ra ®îc nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n
VII. KÕt qu¶ thu ®îc:
Qua qua tr×nh triÓn khai ¸p dông c¸c néi dung vµ ph¬ng ph¸p ®· nªu ë trªn,
t«i nhËn thÊy r»ng häc sinh cã høng thó h¬n trong häc tËp, häc sinh ®· n¾m ®îc
b¶n chÊt cña ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc, c¸ch vËn dông nã vµo gi¶i to¸n vµ ®·
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
18
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
rÌn luyÖn ®îc kü n¨ng tr×nh bµy mét bµi gi¶i theo ph¬ng ph¸p quy n¹p. Sau khi häc
xong chuyªn ®Ò vËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n,
t«i tiÕn hµnh kiÓm tra kh¶o s¸t møc ®é hiÓu, n¾m kiÕn thøc vµ vËn dông ®èi víi 26
häc sinh ®· kh¶o s¸t ban ®Çu. KÕt qu¶ thu ®îc nh sau:
§iÓm díi 5
§iÓm 5 - 6
§iÓm 7 - 8
§iÓm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
02
7,7%
06
23,1%
10
38,4%
08
30,8%
Trªn ®©y lµ mét sè néi dung vÒ viÖc vËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc
®Î gi¶i mét sè d¹ng to¸n mµ t«i ®· ¸p dông gi¶ng d¹y trªn thùc tÕ hiÖn nay ë trêng
THCS cho häc sinh ®¹i trµ còng nh trong qu¸ tr×nh «n luyÖn, båi dìng häc sinh
giái. T«i cïng c¸c ®ång nghiÖp ®· thu ®îc kÕt qu¶ sau:
+ Häc sinh tiÕp thu bµi nhanh, dÔ hiÓu h¬n, høng thó tÝch cùc trong häc tËp
vµ yªu thÝch bé m«n to¸n. Häc sinh cã thÓ vËn dông ®Ó gi¶i ®îc mét sè bµi to¸n
n©ng cao dµnh cho hoc sinh giái
+ Häc sinh tr¸nh ®îc nh÷ng sai sãt c¬ b¶n, vµ cã kÜ n¨ng vËn dông thµnh
th¹o còng nh ph¸t huy ®îc tÝnh tÝch cùc cña häc sinh. Kü n¨ng tr×nh bµy bµi gi¶i
theo ph¬ng ph¸p quy n¹p tèt h¬n
Tuy nhiªn ®Ó ®¹t ®îc kÕt qu¶ nh mong muèn, ®ßi hái ngêi gi¸o viªn cÇn hÖ
thèng, ph©n lo¹i bµi tËp thµnh tõng d¹ng, gi¸o viªn x©y dùng tõ kiÕn thøc cò ®Õn
kiÕn thøc míi, tõ cô thÓ ®Õn tæng qu¸t, tõ dÔ ®Õn khã vµ phøc t¹p phï hîp víi tr×nh
®é nhËn thøc cña häc sinh
Ngêi thÇy cÇn ph¸t huy tÝnh chñ ®éng tÝch cùc vµ s¸ng t¹o cña häc sinh tõ
®ã c¸c em cã nh×n nhËn bao qu¸t, toµn diÖn vµ ®Þnh híng gi¶i to¸n ®óng ®¾n. Lµm
®îc nh vËy lµ chóng ta ®· gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc trong nhµ trêng.
PhÇn III: KÕt luËn
To¸n häc lµ mét kho tµng kiÕn thøc v« tËn, viÖc nghiªn cøu vµ t×m ra c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n lµ mét c«ng viÖc mµ mçi ngêi d¹y to¸n ph¶i thêng xuyªn lµm.
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
19
Trêng THCS
VËn dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ®Ó gi¶i mét sè d¹ng to¸n
Mét mÆt ®Ó n©ng cao n¨ng lùc chuyªn m«n nghiÖp vô cña b¶n th©n, ®ång thêi nã
gióp cho chóng ta t×m ra nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y hay, cã hiÖu qu¶, gióp häc
sinh cã høng thó trong häc tËp, rÌn luyÖn ®îc kü n¨ng gi¶i to¸n. ViÖc ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc phô thuéc rÊt nhiÒu vµo tr×nh ®é chuyªn m«n nghiÖp vô, n¨ng lùc
s ph¹m cña gi¸o viªn. Nhng bªn c¹nh ®ã, sù høng thó ®èi víi m«n häc cña häc sinh
còng rÊt quan träng. Theo t«i viÖc høng thó víi m«n häc cã ®îc chØ khi nµo c¸c em
cã sù tù tin, cã thÓ tù m×nh gi¶i ®îc mét sè bµi to¸n, d¹ng to¸n. Do ®ã trong qu¸
tr×nh d¹y häc, ngêi gi¸o viªn cÇn ph¶i cung cÊp cho häc sinh hÖ thèng c¸c ph¬ng
ph¸p häc tËp còng nh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n, khi häc sinh n¾m ®îc hÖ thèng
kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p c¬ b¶n th× c¸c em míi cã thÓ cã ®ñ sù tù tin, tù m×nh t×m
tßi, nghiªn cøu vµ tõ ®ã c¸c em sÏ thÊy høng thó ®èi víi m«n häc.
Trong khu«n khæ cña s¸ng kiÕn t«i chØ ®Ò cËp ®Õn viÖc vËn dông ph¬ng ph¸p
quy n¹p To¸n häc ®Ó gi¶i d¹ng to¸n: Chøng minh sù chia hÕt, chøng minh ®¼ng
thøc, chøng minh bÊt ®¼ng thøc. Tuy nhiªn, trªn thùc tÕ ph¬ng ph¸p quy n¹p To¸n
häc cßn ®îc vËn dông ®Ó gi¶i nhiÒu d¹ng to¸n kh¸c ®a d¹ng h¬n. Theo t«i ph¬ng
ph¸p nµy sÏ cã nhiÒu hiÖu qu¶ h¬n nÕu chóng ta vËn dông vµo trong c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái, ®µo t¹o nh©n tµi. Hy väng r»ng víi néi dung nghiªn cøu trªn ®©y
sÏ gãp mét phÇn nhá vµo trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cña gi¸o viªn vµ häc tËp cña
häc sinh, gióp häc sinh n¾m ch¾c ®îc kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p häc tËp, tõ ®ã cã
høng thó häc tËp ®èi víi m«n To¸n.
Xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
Tµi liÖu tham kh¶o
1. Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò To¸n 6 - NXB Gi¸o Dôc n¨m 2003.
2. §¹i sè s¬ cÊp vµ thùc hµnh gi¶i to¸n - Hoµng Kú - Hoµng Thanh Hµ. NXB
§¹i häc s ph¹m n¨m 2005.
3. N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 9 - Vò H÷u B×nh. NXB Gi¸o Dôc n¨m 2007.
4. N©ng cao vµ ph¸t triÓn To¸n 6 - Vò H÷u B×nh. NXB Gi¸o Dôc n¨m 2004.
5. To¸n n©ng cao vµ c¸c chuyªn ®Ò §¹i Sè 8 - NguyÔn Ngäc §¹m - NguyÔn
ViÖt H¶i - Vò D¬ng Thôy. NXB Gi¸o Dôc n¨m 1997.
6. To¸n båi dìng häc sinh líp 8 - Vò H÷u B×nh - §ç Th©n - §ç Quang ThiÒu.
NXB Gi¸o Dôc n¨m 1999.
Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Minh Thanh
KiÕn Giang
20
Trêng THCS
- Xem thêm -
.DOC 
23 
163 
106 
