Tài liệu Skkn toán 9 ứng dụng bất đẳng thức cosi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Tên đề tài: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Đề nghị công nhận sáng kiến kinh nghiệm cấp cơ sở năm học 2018-2019 I. -------------- CÓ TÍNH MỚI VÀ SÁNG TẠO: 1. Lí do và mục đích: – Lí do: Bất đẳng thức là một trong những mảng khó của toán học phổ thông. Nhưng thông qua các bài tập về bất đẳng thức người học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các mối quan hệ giữa bất đẳng thức và dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Trong nhiều năm liền, hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như các đề thi vào các lớp chuyên đều có dạng bài tập: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Nhưng hầu hết các em đều nhận định đây là một trong những dạng toán khó của các đề thi mà các em gặp. Ở chương trình THCS học sinh đã làm quen với một số bất đẳng thức như Cosi, Bunhiacopski,...Nhưng vận dụng bất đẳng thức vào giài toán thì còn rất hạn chế và thường có sai lầm đáng tiếc. – Mục đích: Xuất phát từ những vấn đề nêu trên tôi đã nghiên cứu và neâu ra moät vaøi daïng toaùn tìm giaù trò lôùn nhaát (GTLN), giaù trò nhoû nhaát (GTNN) nhôø aùp duïng baát ñaúng thöùc (BÑT) Coâsi ñeå chuùng ta coù theå tham khaûo. 2. Tính mới và sáng tạo: a) Tính mới: - Phân tích sai lầm của học sinh khi sử dụng bất đẳng thức Côsi trong thực tế giảng dạy từ đó đề ra các giải pháp khắc phục sai lầm. - Đưa ra thêm những giải pháp sử dụng bất đẳng thức Cô si giải bài toán cực trị một cách linh hoạt hơn. b) Tính sáng tạo: - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu bất đẳng thức cosi và hệ thống các bài tập quen thuộc để học sinh rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. - Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lí luận: đọc sách giáo khoa toán 8,9 và một số sách bồi dưỡng học sinh giỏi. + Nghiên cứu thực tế: Quan sát, kiểm tra tập, cách ghi của học sinh; phương pháp thực nghiệm; phương pháp kiểm tra, đánh giá; phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm. Bản thống kê ( cuối tháng 9/2018) Sĩ số 15 Sử dụng BĐT Sai lầm ở một cách điều kiện thứ máy móc nhất SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 5 34% 4 26% Sai lầm ở điều kiện thứ hai SL Tỷ lệ 3 20% Sai lầm khi chọn điểm rơi SL Tỷ lệ 3 20% Sử dụng BĐT một cách linh hoạt SL Tỷ lệ 0 Nguyên nhân dẫn đến kết quả kém + Đa số học sinh chưa hiểu đúng thuật ngữ toán. + Chưa vững kỹ năng sử dụng dụng bất đẳng thức. + Yếu mặt tư duy toán học. + Thời gian giảng dạy trên lớp hạn chế việc rèn luyện kỹ năng  Biện pháp: * Học sinh: - Tích cực tham gia các hoạt động thảo luận nhóm. Rèn luyện thói quen tự học. - Thực hiện tốt sự chuẩn bị nội dung bài theo yêu cầu giáo viên đề ra. * Giáo viên: - Thống kê sai lầm của học sinh khi sử dụng bất đẳng thức Cô si - Các giải pháp khắc phục sai lầm của học sinh khi sử dụng bất đẳng thức Cô si. - Đưa ra các giải pháp sử dụng bất đẳng thức Cô si linh hoạt hơn. II/ NỘI DUNG: A. Kiến thức cần nhớ 1. BĐT Cô si: Với hai số không âm a, b: a  b 2 ab Dấu bằng xảy ra khi a = b 2. BĐT Cô si: Với ba số không âm a, b, c: a  b  c 3 3 abc Dấu bằng xảy ra khi a = b = c B. Những lỗi sai và biện pháp khắc phục ♥ Sai lầm thứ nhất: Sử dụng BĐT Côsi một cách máy móc 1 1   2  x    5 , tìm minA 2 x x  1 1  2 2 1 Học sinh (HS) giải: A x  2  2  x    5 2 x . 2  x x x  2 Ví dụ 1. Cho x 0, A x   1 4  x.   5 3  x Vậy min A=3  Giải pháp: Không sử dụng bất đẳng thức Côsi một cách máy móc, phải chú ý vào điều kiện của bất đẳng thức Côsi. ♥ Sai lầm thứ hai: Sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau trong bài toán Ví dụ 2 : Cho x, y là 2 số dương thỏa x+y = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất 1 4 A  x y 0% HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương 1 4 ; x y 1 4 4    1 x y xy   1 4 4 4  8  min A 8  A   x y xy 1 1 x y   xy (2)  2 2 2  1 4 Sai lầm (1) dấu “=” xảy ra khi x  y  4x  y Sai lầm (2) dấu “=” xảy ra: x = y Vậy x = y = 0 thì trái với giả thiết x+y = 1 Nếu kết luận không có min A cũng sai  Giải pháp: Khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau trong một bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy ra dấu bằng không. ♥ Sai lầm thứ ba: Không sử dụng hết điều kiện của bài toán Ví dụ 3: Cho x,y là số dương thỏa x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A 2 1  1  A  x     y   x  y  2 1 1 HS giải: Áp dụng bất đẳng thức cosi: x  x 2  1 , y + y 2 (2)  A 8  min A 8 1  x  x 2 1  x  Dấu “=” xảy ra khi 1   x  y 1 2  y  y 1 y  Sai lầm ở chỗ đề bài cho x+y = 1 mà đáp án là x = y = 1  Giải pháp: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đề bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. ♥ Sai lầm thứ tư: Sai lầm ở điều kiện 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 biết x+y = 4 HS giải:  x 2  y 2 2 xy   x  y 2 A  x  y 2 xy suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất  x  y  4  2 2 Khi đó min A=8 Sai lầm là f(x,y) g(x,y) chứ chưa phải là f(x,y) m (m là hằng số)  Giải pháp: Nhấn kỉ điều kiện 1: f(x,y) m (m là hằng số) ♥ Sai lầm thứ năm: Sai lầm ở điều kiện 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A= xyz(x+y)(y+z)(z+x) với x,y,z không âm và x +y + z = 1 HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi  4 x( z  y ) ( x  y  z ) 2 1  4 xy ( x  y ) 2  4 y ( z  x ) ( x  y  z ) 2 1  4 z ( x  y ) ( x  y  z ) 2 1   64 xyz( x  y )( y  z )( z  x) 1  xyz ( x  y )( y  z )( z  x)  1 64 Vậy max A=1/64 Sai lầm là chưa chỉ ra khả năng dấu “=” xảy ra.  Giải pháp: Cần kiểm tra dấu bằng xảy ra khi nào, có thỏa điều kiện đề bài không. ♥ Sai lầm thứ sáu: Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức 1 y Ví dụ 6: Cho x, y là hai số dương thỏa x  1 . Tìm min M = x 2y  y x Bạn A giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có M= x 2y x 2y x 2y  2  2 2 . Dấu bằng xảy ra khi   x  2 y y x y x y x Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 2 2  1 x y Bạn B giải: 1  x   4  4 y y x  Suy ra M = x y y x y x y      4 2   4 6 . Dấu bằng xảy ra khi x = y y x x y x y x Hai bạn đều sai 1 y 1 y 1 y 1 y Bạn A: x  2 y nên x   2 y   y  2 mâu thuẫn với x  1 Bạn B: Dấu bằng xảy ra khi x = y mâu thuẫn với y 4 x  Giải pháp: Dạy kỉ cách chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô si  Không phải lúc nào cũng dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi, ta có thể dùng một số phép biến đổi biểu thức sau đó dùng bất đẳng thức Côsi thì sẽ linh hoạt hơn.  Giải pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị bình phương của biểu thức đó. (Ví dụ 7)  Giải pháp 2: Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không (Ví dụ 8)  Giải pháp 3: Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số a) Tách một hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau b) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho. ( Ví dụ 9)  Giải pháp 3: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho ( Ví dụ 10) 2. Tự chấm điểm: 30 điểm II. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: Đề tài có khả năng áp dụng, triển khai cho các khối lớp 8, 9 trong trường nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi của trường, huyện vì: dễ áp dụng, dễ hiểu, dễ phổ biến áp dụng trong lớp học, trong nhà trường. Để giúp học sinh biết cách làm các bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tôi đã tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu để đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, kiểm tra lại các kiến thức lý thuyết đã học có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; các hằng đẳng thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn của một số; chia đa thức cho đa thức… Từ đó giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . Bản thống kê ( cuối tháng 5/2019) Sĩ số 15 Sử dụng BĐT Sai lầm ở một cách điều kiện thứ máy móc nhất SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 0 0% 0 0% Sai lầm ở điều kiện thứ hai SL Tỷ lệ 1 6% Sai lầm khi chọn điểm rơi SL Tỷ lệ 2 14% Sử dụng BĐT một cách linh hoạt SL Tỷ lệ 12 III. HIỆU QUẢ KINH TẾ XÃ HỘI: 1. Về hiệu quả kinh tế: 2. Về hiệu quả xã hội: Thực tế cho thấy khi học sinh học bất đẳng thức ngoài việc được rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào việc giải toán mà còn được nâng cao về mặt tư duy logic lập luận các vấn đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cực học tập. Khi nghiên cứu viết đề tài trên bản thân tôi thấy trình độ chuyên môn được nâng lên. Hơn nữa làm cho bản thân có lòng say mê trong chuyên môn ngày càng cao. 3. Tự chấm điểm: 30 điểm 80% PHỤ LỤC Ví dụ 7: Tìm max A  2 x  5  7  2 x ĐKXĐ: Với 5 7 x  ; 2 2 A2 2  2 (2 x  5)(7  2 x) 5 7 x  , áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số (2x –5) ; (7 –2x) 2 2 (2 x  5)  (7  2 x) 2 (2 x  5)(7  2 x)  2 2 (2 x  5)(7  2 x) A2 4  A 2 Dấu “=” xảy ra khi 2x– 5 = 7– 2x, khi đó x = 3 Ví dụ 8: Tìm max A, A  x 4 (x 4) 5x x 4 1 x 4 x .2 (  2) x 4 1 2 A=  2 2 4  5x 5x 5x 5 x 20 Dấu “=” xảy ra khi x 4 2, x 4  x 8 2 9x 3  , tìm min B 3 x x 9x 3  x 9x 3  x B   1 1  2  7 3 x x 3 x x Ví dụ 9: Cho 0  x  3, B = minB = 7  9x 3 x 3   x 3 x x 4 Ví dụ 10: Cho 3 số dương x,y,z thỏa x+y+z = 2. Tìm min P P 2 x2 y2 z2   yz zx x y 2 x yz x yz x  2 . 2.  x yz 4 yz 4 2 y2 z x y2 z  x y  2 . 2.  y zx 4 zx 4 2 z2 xy z2 x  y z  2 . 2.  z x y 4 x y 4 2 x yz x yz  1 2 2  x2 yz yz  4   y 2 zx 2 MinP 1     x  y z  4 3 z x 2  z x y   4  x  y P x  y  z 