Tài liệu Skkn toán 9 rèn luyện kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

PHOØNG GD – ÑT QUAÄN 10 TRÖÔØNG THCS NGUYEÃN TRI PHÖÔNG …………000……….. SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM ÑEÀ TAØI ''RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh'' GV: TRÖÔNG TROÏNG HÖÕU 1 Phụ lục 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TÊN ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRI PHƯƠNG DANH SÁCH ĐĂNG KÝ TÊN SÁNG KIẾN Năm học 2017 - 2018 Stt Họ và tên Chức vụ Tên sáng kiến 1 TRƯƠNG TRỌNG HỮU Giáo Viên Rèn Luyện Kỹ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập PT Danh hiệu thi đua đăng ký xét Ghi chú THỦ TRƯỞNG (Ký tên, đóng dấu) 2 Phụ lục 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TÊN ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRI PHƯƠNG BẢN MÔ TẢ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA SÁNG KIẾN Tên người viết sáng kiến: TRƯƠNG TRỌNG HỮU Chức vụ: Giáo Viên dạy Toán Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Tri Phương Tên Sáng kiến: Rèn Luyện Kỹ Năng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập PT 1. Đặt vấn đề (Các vấn đề tồn tại trước khi thực hiện sáng kiến, lý do viết sáng kiến): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ë bËc THCS lµ mét viÖc lµm míi mÎ, ®Ò bµi to¸n lµ mét ®o¹n v¨n trong ®ã m« t¶ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng mµ cã mét ®¹i lîng cha biÕt, cÇn t×m. yªu cÇu häc sinh ph¶i cã kiÕn thøc ph©n tÝch, kh¸i qu¸t, tæng hîp, liªn kÕt c¸c ®¹i lîng víi nhau, chuyÓn ®æi c¸c mèi quan hÖ to¸n häc. Tõ ®Ò bµi to¸n cho häc sinh ph¶i tù m×nh thµnh lËp lÊy ph¬ng tr×nh ®Ó gi¶i. Nh÷ng bµi to¸n d¹ng nµy néi dung cña nã hÇu hÕt g¾n liÒn víi c¸c ho¹t ®éng thùc tiÔn cña con ngêi, cña tù nhiªn, x· héi. Nªn trong qu¸ tr×nh gi¶i häc sinh ph¶i quan t©m ®Õn ý nghÜa thùc tÕ cña nã. Khã kh¨n cña häc sinh khi gi¶i bµi to¸n nµy lµ kü n¨ng cña c¸c em cßn h¹n chÕ, kh¶ n¨ng ph©n tÝch kh¸i qu¸t ho¸, tæng hîp cña c¸c em rÊt chËm, c¸c em kh«ng quan t©m ®Õn ý nghÜa thùc tÕ cña bµi to¸n. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y to¸n t¹i trêng THCS t«i thÊy d¹ng to¸n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh lu«n lu«n lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n. D¹ng to¸n nµy kh«ng thÓ thiÕu ®îc trong c¸c bµi kiÓm tra häc kú m«n to¸n líp 8, líp 9, còng nh trong c¸c bµi thi tèt nghiÖp tríc ®©y, nã chiÕm tõ 2, 5 ®iÓm ®Õn 3 ®iÓm nhng ®¹i ®a sè häc sinh bÞ mÊt ®iÓm ë bµi nµy do kh«ng n¾m ch¾c c¸ch gi¶i chóng, còng cã nh÷ng häc sinh biÕt c¸ch lµm nhng kh«ng ®¹t ®iÓm tèi ®a v×: - ThiÕu ®iÒu kiÖn hoÆc ®Æt ®iÒu kiÖn kh«ng chÝnh x¸c. - Kh«ng biÕt dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a cac ®¹i lîng ®Ó thiÕt lËp ph¬ng tr×nh. - Lêi gi¶i thiÕu chÆt chÏ. - Gi¶i ph¬ng tr×nh cha ®óng. 3 - Quªn ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn . - ThiÕu ®¬n vÞ... V× vËy, nhiÖm vô cña ngêi gi¸o viªn ph¶i rÌn cho häc sinh kü n¨ng gi¶i c¸c lo¹i bµi tËp nµy tr¸nh nh÷ng sai lÇm cña häc sinh hay m¾c ph¶i. Do ®ã, khi híng dÉn häc sinh gi¶i lo¹i to¸n nµy ph¶i dùa trªn quy t¾c chung lµ: Yªu cÇu vÒ gi¶i bµi to¸n, quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n dùa vµo qu¸ tr×nh tham gia cña c¸c ®¹i l îng lµm s¸ng tá mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng, tõ ®ã häc sinh t×m ra lêi gi¶i cho bµi to¸n ®ã. B»ng nh÷ng kinh nghiÖm rót ra sau nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y ë trêng phæ th«ng t«i ®· m¹nh d¹n viÕt ®Ò tµi ''RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh'' cho häc sinh líp 8, líp 9. 2. Nội dung cơ bản của sáng kiến: 1. Ch¬ng 1: TæNG QUAN Mét sè vÊn ®Ò lý luËn vÒ rÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh cho häc sinh líp 8, 9. 1.1. LÞch sö vÊn ®Ò nghiªn cøu - Häc sinh ®· biÕt c¸ch gi¶i d¹ng bµi to¸n cã lêi v¨n ë tiÓu häc, c¸c bµi to¸n sè häc ë líp 6, líp 7. - Häc sinh ®· biÕt c¸ch gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh ë thÓ ®¬n gi¶n nh t×m x, ®iÒn vµo « trèng ë tiÓu häc ®Õn líp 7 vµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn. - Thùc tÕ ®· cã rÊt nhiÒu gi¸o viªn nghiªn cøu vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh vµ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh song míi chØ dõng l¹i ë viÖc vËn dông c¸c bíc gi¶i mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn chø cha chó ý ®Õn viÖc ph©n lo¹i d¹ng to¸n - kü n¨ng gi¶i tõng lo¹i vµ nh÷ng ®iÒu cÇn chó ý khi gi¶i tõng lo¹i ®ã - Thùc tr¹ng kü n¨ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh cña häc sinh trêng THCS Nguyễễn Tri Phương lµ rÊt yÕu. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nhiÒu gi¸o viªn ch¨n trë lµ lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh ph©n biÖt ®îc tõng d¹ng vµ c¸ch gi¶i tõng d¹ng ®ã, cÇn rót kinh nghiÖm nh÷ng g× ®Ó häc sinh lµm bµi ®îc ®iÓm tèi ®a. 1.2. C¬ së lý luËn . RÌn lµ: luyÖn víi löa cho thµnh khÝ cô. KÜ n¨ng lµ: lµ n¨ng lùc khÐo lÐo khi lµm viÖc nµo ®ã. RÌn kÜ n¨ng lµ rÌn vµ luyÖn trong c«ng viÖc ®Ó trë thµnh khÐo lÐo, chÝnh x¸c khi thùc hiÖn c«ng viÖc Êy. 4 RÌn kÜ n¨ng gi¶i to¸n lµ rÌn vµ luyÖn trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ®Ó trë thµnh khÐo lÐo, chÝnh x¸c khi t×m ra kÕt qu¶ bµi to¸n. Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh lµ Phiªn dÞch bµi to¸n tõ ng«n ng÷ th«ng thêng sang ng«n ng÷ ®¹i sè råi dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè ®Ó t×m ra ®¹i lîng cha biÕt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi cho. - §Ó gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ph¶i dùa vµo quy t¾c chung gåm c¸c bíc nh sau: * Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (gåm c¸c c«ng viÖc sau): - Chän Èn sè ( ghi râ ®¬n vÞ ) vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn - BiÓu thÞ c¸c ®¹i lîng cha biÕt qua Èn vµ c¸c d¹i lîng ®· biÕt - LËp ph¬ng tr×nh diÔn ®¹t quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n * Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Tuú tõng ph¬ng tr×nh mµ chän c¸ch gi¶i cho ng¾n gän vµ phï hîp * Bíc 3: NhËn ®Þnh kÕt qu¶ råi tr¶ lêi: (Chó ý ®èi chiÕu nghiÖm t×m ®îc víi ®iÒu kiÖn ®Æt ra; thö l¹i vµo ®Ò to¸n) KÕt luËn: ®èi víi häc sinh gi¶i to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Gi¶i to¸n gióp cho häc sinh cñng cè vµ n¾m v÷ng chi thøc, ph¸t triÓn t duy vµ h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o øng dông to¸n häc vµo trong thùc tiÔn cuéc sèng. V× vËy tæ chøc cã hiÖu qu¶ viÖc d¹y gi¶i bµi to¸n gãp phÇn thùc hiÖn tèt c¸c môc ®Ých d¹y häc to¸n trong nhµ trêng, ®ång thêi quyÕt ®Þnh ®èi víi chÊt lîng d¹y häc. 2. Ch¬ng 2: néi dung vÊn ®Ò nghiªn cøu 2.1. NhiÖm vô nghiªn cøu: - Nghiªn cøu tµi liÖu vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc ë trêng trung häc c¬ së. - NhiÖm vô n¨m häc 2007 -2008 cña Bé gi¸o dôc & ®µo t¹o, cña së, cña phßng Gi¸o dôc & ®µo t¹o. - QuyÓn båi dìng thêng xuyªn chu kú 3. - S¸ch gi¸o khoa, s¸ch gi¸o viªn líp 8, líp 9. - T×m hiÓu thùc tr¹ng häc sinh líp 8, líp 9. - §a ra nh÷ng yªu cÇu cña mét lêi gi¶i, chØ ra ®îc sai lÇm häc sinh thêng m¾c ph¶i. - Ph©n lo¹i ®îc c¸c d¹ng to¸n vµ ®a ra mét vµi gîi ý ®Ó gi¶i tõng d¹ng qua c¸c vÝ dô ®ång thêi rÌn cho häc sinh ®Þnh híng t×m tßi lêi gi¶i. - §Ò xuÊt mét vµi biÖn ph¸p vµ kh¶o nghiÖm tÝnh kh¶ thi sau khi ®· vËn dông. 2.2. C¸c néi dung cô thÓ trong ®Ò tµi: 2.2.1. Yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n: 5 1. Yªu cÇu 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt mÆc dï nhá. Muèn cho häc sinh kh«ng m¾c sai ph¹m nµy gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu ®Ò to¸n vµ trong qu¸ tr×nh gi¶i kh«ng cã sai sãt vÒ kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p suy luËn, kü n¨ng tÝnh to¸n, ký hiÖu, ®iÒu kiÖn cña Èn ph¶i rÌn cho häc sinh cã thãi quen ®Æt ®iÒu kiÖn cña Èn vµ xem xÐt ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi ®iÒu kiÖn cña Èn xem ®· hîp lý cha. VÝ dô: (S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè 8) MÉu sè cña mét ph©n sè gÊp bèn lÇn tö sè cña nã. NÕu t¨ng c¶ tö lÉn mÉu lªn 2 ®¬n vÞ th× ®îc ph©n sè 1 . T×m ph©n sè ®· cho? 2 Híng dÉn NÕu gäi tö sè cña ph©n sè ®· cho lµ x ( ®iÒu kiÖn x > 0, x  N) Th× mÉu sè cña ph©n sè ®· cho lµ 4x. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x2 1  4x  2 2  2.(x+2) = 4x +2  2x +4 = 4x +2 2x = 2  x =1  x = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n. VËy tö sè lµ 1, mÉu sè lµ 4.1 = 4 1 4 2. Yªu cÇu 2: Lêi gi¶i bµi to¸n lËp luËn ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c. §ã lµ trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn tõng bíc cã l« gÝc chÆt chÏ víi nhau, cã c¬ së lý luËn chÆt chÏ. §Æc biÖt ph¶i chó ý dÕn viÖc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªu trong gi¶ thiÕt. X¸c ®Þnh Èn khÐo lÐo, mèi quan hÖ gi÷a Èn vµ c¸c d÷ kiÖn ®· cho lµm næi bËt ®îc ý ph¶i t×m. Nhê mèi t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lîng trong bµi to¸n thiÕt lËp ®îc ph¬ng tr×nh tõ ®ã t×m ®îc gi¸ trÞ cña Èn. Muèn vËy gi¸o viªn cÇn lµm cho häc sinh hiÓu ®îc ®©u lµ Èn, ®©u lµ d÷ kiÖn ? ®©u lµ ®iÒu kiÖn ? cã thÓ tho¶ m·n ®îc ®iÒu kiÖn hay kh«ng? ®iÒu kiÖn cã ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh ®îc Èn kh«ng? tõ ®ã mµ x¸c ®Þnh híng ®i , x©y dùng ®îc c¸ch gi¶i. VÝ dô: S¸ch gi¸o khoa ®¹i sè líp 9 Hai c¹nh cña mét khu ®¸t h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm nhau 4m. TÝnh chu vi cña khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diÖn tÝch cña nã b»ng 1200m2 6 Ph©n sè ®· cho lµ: Híng dÉn: ë ®©y bµi to¸n hái chu vi cña h×nh ch÷ nhËt. Häc sinh thêng cã xu thÕ bµi to¸n hái g× th× gäi ®ã lµ Èn. NÕu gäi chu vi cña h×nh ch÷ nhËt lµ Èn th× bµi to¸n ®i vµo bÕ t¾c khã cã lêi gi¶i. Gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh ph¸t triÓn s©u trong kh¶ n¨ng suy diÔn ®Ó tõ ®ã ®Æt vÊn ®Ò: Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn biÕt nh÷ng yÕu tè nµo ? ( c¹nh h×nh ch÷ nhËt ) Tõ ®ã gäi chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt lµ x (m) ( ®iÒu kiÖn x > 0 ) Th× chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ: x+4 (m) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x. (x + 4) = 1200  x2 + 4x - 1200 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc x 1 = 30; x 2 = -34 Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh dùa vµo ®iÒu kiÖn ®Ó lo¹i nghiÖm x 2 , chØ lÊy nghiÖm x 1 = 30 VËy chiÒu réng lµ:30 (m) ChiÒu dµi lµ: 30 +4 (m) Chu vi lµ: 2.(30 +34) = 128 (m) ë bµi to¸n nµy nghiÖm x 2 = -34 cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt, nªn häc sinh dÔ m¾c sai sãt coi ®ã còng lµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n. 3, Yªu cÇu 3: Lêi gi¶i ph¶i ®Çy ®ñ vµ mang tÝnh toµn diÖn Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh kh«ng ®îc bá sãt kh¶ n¨ng chi tiÕt nµo. Kh«ng ®îc thõa nhng còng kh«ng ®îc thiÕu, rÌn cho häc sinh c¸ch kiÓm tra l¹i lêi gi¶i xem ®· ®Çy ®ñ cha? KÕt qu¶ cña bµi to¸n ®· lµ ®¹i diÖn phï hîp cha? NÕu thay ®æi ®iÒu kiÖn bµi to¸n r¬i vµo trêng hîp dÆc biÑt th× kÕt qu¶ vÉn lu«n lu«n ®óng. VÝ dô : S¸ch gi¸o khoa to¸n 9 3 c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao t¨ng thªm 3dm vµ c¹nh 4 ®¸y gi¶m ®i 2dm th× diÖn tÝch cña nã t¨ng thªm 12 dm2. TÝnh chiÒu cao vµ c¹nh ®¸y? Híng dÉn: Gi¸o viªn cÇn lu ý cho häc sinh dï cã thay ®æi chiÒu cao, c¹nh ®¸y cña tam gi¸c th× diÖn tÝch cña nã lu«n ®îc tÝnh theo c«ng thøc: Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng 1 a.h (Trong ®ã a lµ c¹nh ®¸y, h lµ chiÒu cao t¬ng øng) 2 Gäi chiÒu dµi c¹nh ®¸y lóc ®Çu lµ x (dm) , ®iÒu kiÖn x > 0. S= Th× chiÒu cao lóc ®Çu sÏ lµ: 3 x (dm) 4 7 DiÖn tÝch lóc ®Çu lµ: 1 3 .x. x (dm2) 2 4 DiÖn tÝch lóc sau lµ: 1 3 (x  2).( x  3) (dm2) 2 4 1 3 1 3 (x  2).( x  3)  x. x 12 2 4 2 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc x = 20 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn VËy chiÒu dµi c¹nh ®¸y lµ 20 (dm) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 3 .20 15(dm) 4 4, Yªu cÇu 4: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i ®¬n gi¶n. Bµi gi¶i ph¶i ®¶m b¶o ®îc 3 yªu cÇu trªn kh«ng sai sãt . Cã lËp luËn, mang tÝnh toµn diÖn vµ phï hîp kiÕn thøc, tr×nh ®é cña häc sinh, ®¹i ®a sè häc sinh hiÎu vµ lµm ®îc VÝ dô: (Bµi to¸n cæ ) '' Võa gµ võa chã Bã l¹i cho trßn Ba m¬i s¸u con Mét tr¨m ch©n ch½n Hái cã mÊy gµ, mÊy chã? ''. Híng dÉn Víi bµi to¸n nµy nÕu gi¶i nh sau: Gäi sè gµ lµ x (x > 0, x N) Th× sè chã sÏ lµ: 36 -x (con) Gµ cã 2 ch©n nªn sè ch©n gµ lµ: 2x ch©n . Chã cã 4 ch©n nªn sè ch©n chã lµ: 4. (36 -x) ch©n. Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 2x + 4. (36 -x ) = 100 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc: x =22 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy cã 22 con gµ Sè chã lµ: 36 - 22 = 14 (con) Th× bµi to¸n sÏ ng¾n gän, rÔ hiÓu. Nhng cã häc sinh gi¶i theo c¸ch : Gäi sè ch©n gµ lµ x, suy ra sè ch©n chã lµ 100 - x ChiÒu cao lµ: Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: x 100  x  36 2 4 8 Gi¶i ph¬ng tr×nh còng ®îc kÕt qu¶ lµ 22 con gµ vµ 14 con chã. Nhng ®· v« h×nh biÕn thµnh bµi gi¶i khã hiÓu hoÆc kh«ng phï hîp víi tr×nh ®é cña häc sinh. 5, Yªu cÇu 5 Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc. §ã lµ lu ý ®Õn mèi liªn hÖ gi÷a c¸c bíc gi¶i trong bµi to¸n ph¶i l«gÝc, chÆt chÏ víi nhau. C¸c bíc sau ®îc suy ra tõ c¸c bíc tríc nã ®· ®îc kiÓm nghiÖm, chøng minh lµ ®óng hoÆc nh÷ng ®iÒu ®· biÕt tõ tríc. VÝ dô: (To¸n ph¸t triÓn ®¹i sè líp 9) ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6 m vµ chia c¹nh huyÒn thµnh hai ®o¹n h¬n kÐm nhau 5,6 m. TÝnh ®é dµi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c? 9 Híng dÉn gi¶i: A B H C Theo h×nh vÏ trªn bµi to¸n yªu cÇu t×m ®o¹n nµo, ®· cho biÕt ®o¹n nµo? Tríc khi gi¶i cÇn kiÓm tra kiÕn thøc häc sinh ®Ó cñng cè kiÕn thøc. C¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng ®îc tÝnh nh thÕ nµo? h 2 = c'. b'  AH2 = BH. CH Tõ ®ã gäi ®é dµi cña BH lµ x (x > 0 ) Suy ra HC cã ®é dµi lµ: x + 5,6 Theo c«ng thøc ®· biÕt ë trªn ta cã ph¬ng tr×nh: x(x + 5,6) = (9,6)2 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc: x = 7,2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn VËy ®é dµi c¹nh huyÒn lµ: (7,2 + 5,6) + 7,2 = 20 ( m ) 6, Yªu cÇu 6: Lêi gi¶i bµi to¸n ph¶i râ rµng , ®Çy ®ñ, cã thÓ lªn kiÓm tra l¹i. Lu ý ®Õn viÖc gi¶i c¸c bíc lËp luËn, tiÕn hµnh kh«ng chång chÐo nhau, phñ ®Þnh lÉn nhau, kÕt qu¶ ph¶i ®óng. Muèn vËy cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau khi gi¶i xong cÇn thö l¹i kÕt qu¶ vµ t×m hÕt c¸c nghiÖm cña bµi to¸n, tr¸nh bá sãt nhÊt lµ ®èi víi ph¬ng tr×nh bËc hai. VÝ dô: ( Gióp häc tèt ®¹i sè 9) Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km. C¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc cña tÇu thuû khi níc yªn lÆng. BiÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 4km/h. Híng dÉn gi¶i Gäi vËn tèc cña tÇu thuû khi níc yªn lÆng lµ x km/h (x > 0). VËn tèc cña tÇu thuû khi xu«i dßng lµ: x + 4 ( km/h). VËn tèc cña tÇu thuû khi ngîc dßng lµ: x - 4 (km/h). Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 80 80 25   x4 x 4 3  5x2 - 96x - 80 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc : 10 8 ; x 2 = 20 10 §Õn ®©y häc sinh dÔ bÞ hoang mang v× ra hai kÕt qu¶ kh«ng biÕt lÊy kÕt qu¶ nµo. V× vËy, gi¸o viªn cÇn x©y dùng cho c¸c em cã thãi quen ®èi chiÕu kÕt qu¶ víi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi. NÕu ®¶m b¶o víi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi th× c¸c nghiÖm ®Òu hîp lý, nÕu kh«ng ®¶m b¶o víi x1 = 8 < 0 lµ kh«ng ®¶m b¶o víi 10 ®iÒu kiÖn nªn lo¹i). Mét bµi to¸n kh«ng nhÊt thiÕt duy nhÊt mét kÕt qña vµ ®îc kiÓm chøng l¹i b»ng viÖc thö l¹i tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ ®ã víi yªu cÇu cña bµi to¸n. 2.2.2. Ph©n lo¹i d¹ng to¸n gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ c¸c giai ®o¹n gi¶i mét bµi to¸n: * Ph©n lo¹i bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Trong sè c¸c bµi tËp vÒ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ta cã thÓ ph©n lo¹i thµnh c¸c d¹ng nh sau: 1/ D¹ng bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng. 2/ D¹ng to¸n liªn quan ®Õn sè häc. 3/ D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng. 4/ D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng. 5/ D¹ng to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn. 6/ D¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn h×nh häc. 7/ D¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn vËt lÝ, ho¸ häc. 8/ D¹ng to¸n cã chøa tham sè. ®iÒu kiÖn th× nghiÖm ®ã lo¹i (ch¼ng h¹n ë vÝ dô trªn víi x 1 = 11 C¸c giai ®o¹n gi¶i mét bµi to¸n * Giai ®o¹n 1: §äc kü ®Ò bµi råi ghi gi¶ thiÕt, kÕt luËn cña bµi to¸n * Giai ®o¹n 2: Nªu râ c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Ó lËp ph¬ng tr×nh. Tøc lµ chän Èn nh thÕ nµo cho phï hîp, ®iÒu kiÖn cña Èn thÕ nµo cho tho¶ m·n. * Giai ®o¹n 3: LËp ph¬ng tr×nh. Dùa vµo c¸c quan hÖ gi÷a Èn sè vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt, dùa vµo c¸c c«ng thøc, tÝnh chÊt ®Ó x©y dùng ph¬ng tr×nh, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó ®a ph¬ng tr×nh ®· x©y dùng vÒ ph¬ng tr×nh ë d¹ng ®· biÕt, ®· gi¶i ®îc. * Giai ®o¹n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh. VËn dông c¸c kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh ®· biÕt ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. * Giai ®o¹n 5: Nghiªn cøu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh lêi gi¶i cña bµi to¸n. Tøc lµ xÐt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh víi ®iÒu kiÖn ®Æt ra cña bµi to¸n, víi thùc tiÔn xem cã phï hîp kh«ng? Sau ®ã tr¶ lêi bµi to¸n. * Giai ®o¹n 6: Ph©n tÝch biÖn luËn c¸ch gi¶i. PhÇn nµy thêng ®Ó më réng cho häc sinh t¬ng ®èi kh¸, giái sau khi ®· gi¶i xong cã thÓ gîi ý häc sinh biÕn ®æi bµi to¸n ®· cho thµnh bµi to¸n kh¸c b»ng c¸ch: - Gi÷ nguyªn Èn sè thay ®æi c¸c yÕu tè kh¸c. - Gi÷ nguyªn c¸c d÷ kiÖn thay ®æi c¸c yÕu tè kh¸c. - Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch kh¸c, t×m c¸ch gi¶i hay nhÊt. VÝ dô: (SGK ®¹i sè 8) Nhµ b¸c §iÒn thu ho¹ch ®îc 480kg cµ chua vµ khoai t©y. Khèi lîng khoai gÊp ba lÇn khèi lîng cµ chua. TÝnh khèi lîng mçi lo¹i ? Híng dÉn gi¶i * Giai ®o¹n 1: Gi¶ thiÕt Khoai + cµ chua = 480kg. Khoai = 3 lÇn cµ chua. T×m khèi lîng khoai ? Khèi lîng cµ chua ? KÕt luËn * Giai ®o¹n 2: Thêng lµ ®iÒu cha biÕt gäi lµ Èn. Nhng ë bµi nµy c¶ khèi lîng cµ chua vµ khèi lîng khoai t©y ®Òu cha biÕt nªn cã thÓ gäi Èn lµ mét trong hai lo¹i ®ã. Cô thÓ: Gäi khèi lîng khoai lµ x (kg), ®iÒu kiÖn x > 0. Th× khèi lîng cµ chua sÏ lµ: 480 - x (kg). * Giai ®o¹n 3: V× khèi lîng khoai gÊp 3 lÇn khèi lîng cµ nªn ta cã ph¬ng tr×nh: x = 3.(480 - x ) * Giai ®o¹n 4: 12 Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt trªn ®îc x = 360 (kg) * Giai ®o¹n 5: §èi chiÕu nghiÖm ®· gi¶i víi ®iÒu kiÖn ®Ò ra xem møc ®é tho¶ m·n hay kh«ng tho¶ m·n. ë ®©y x = 360 > 0 nªn tho¶ m·n: Tõ ®ã kÕt luËn: Khèi lîng khoai ®· thu hoach ®îc lµ 360 (kg) Khèi lîng cµ chua ®· thu ®îc lµ 480 - 360 = 120 (kg) * Giai ®o¹n 6: Nªn cho häc sinh nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau do viÖc chän Èn kh¸c nhau dÉn ®Õn lËp c¸c ph¬ng tr×nh kh¸c nhau tõ ®ã t×m c¸ch gi¶i hay nhÊt, ng¾n gän nhÊt nh ®· tr×nh bµy ë trªn Cã thÓ tõ bµi to¸n nµy x©y dùng thµnh c¸c bµi to¸n t¬ng tù nh sau: - Thay lêi v¨n vµ t×nh tiÕt bµi to¸n gi÷ nguyªn sè liÖu ta dîc bµi to¸n sau "Mét ph©n sè cã tæng tö vµ mÉu lµ 480. BiÕt r»ng mÉu gÊp ba lÇn tö sè. T×m ph©n sè ®ã". - Thay sè liÖu gi÷ nguyªn lêi v¨n. - Thay kÕt luËn thµnh gi¶ thiÕt vµ ngîc l¹i ta cã bµi to¸n sau "Tuæi cña cha gÊp ba lÇn tuæi cña con, biÕt r»ng tuæi cña con b»ng 12. T×m tæng sè tuæi cña c¶ cha vµ con"... B»ng c¸ch ®ã cã thÓ x©y dùng cho häc sinh cã thãi quen tËp hîp c¸c d¹ng bµi to¸n t¬ng tù vµ c¸ch gi¶i t¬ng tù ®Õn khi gÆp bµi to¸n häc sinh sÏ nhanh chãng t×m ra c¸ch gi¶i. 13 2.2.3 Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c d¹ng to¸n D¹ng to¸n chuyÓn ®éng * Bµi to¸n: (SGK ®¹i sè 9) Qu·ng ®êng AB dµi 270 km, hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn b, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12 km/h nªn ®Õn tríc « t« thø hai 42 phót . TÝnh vËn tèc mçi xe. * Híng dÉn gi¶i: - Trong bµi nµy cÇn híng dÉn häc sinh x¸c ®Þnh ®îc vËn tèc cña mçi xe. Tõ ®ã x¸c ®Þnh thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng cña mçi xe. - Thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng cña mçi xe b»ng qu·ng ®êng AB chia cho vËn tèc cña mçi xe t¬ng øng. - Xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n nªn thêi gian ®i cña xe thø hai trõ ®i thêi gian ®i cña xe thø nhÊt b»ng thêi gian xe thø nhÊt vÒ sím h¬n xe thø hai (42 phót = 7 giê) 10 * Lêi gi¶i: Gäi v©n tèc cña xe thø nhÊt lµ x (km/h, x > 12 ). Th× vËn tèc cña xe thø hai lµ; x - 12 (km/h ). Thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng AB cña xe thø nhÊt lµ 270 (giê). x 270 ( giê ). x  12 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: Cña xe thø hai lµ 270 270 7   x  12 x 10  2700x - 2700.(x -12) = 7x.(x -12)  7x2 - 84x - 32400 = 0 Gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc x 1  74,3; x 2  - 62,3 (lo¹i) VËy, vËn tèc cña xe thø nhÊt lµ 74,3km/h. VËn tèc cña xe thø hai lµ 62,3km/h. * Chó ý: - Trong d¹ng to¸n chuyÓn ®éng cÇn cho häc sinh nhí vµ n¾m ch¾c mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng: Qu·ng ®êng, vËn tèc, thêi gian (S = v.t). Do ®ã, khi gi¶i nªn chän mét trong ba ®¹i l îng lµm Èn vµ ®iÒu kiÖn lu«n d¬ng. X©y dùng ch¬ng tr×nh dùa vµo bµi to¸n cho. 14 - CÇn lu ý trong d¹ng to¸n chuyÓn ®éng còng cã thÓ chia ra nhiÒu d¹ng vµ lu ý: + NÕu chuyÓn ®éng trªn cïng mét qu·ng ®êng th× vËn tèc vµ thêi gian tØ lÖ nghÞch víi nhau + NÕu thêi gian cña chuyÓn ®éng ®Õn chËm h¬n dù ®Þnh th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh nh sau: Thêi gian dù ®Þnh ®i víi vËn tèc ban ®Çu céng thêi gian ®Õn chËm b»ng thêi gian thùc ®i trªn ®êng. NÕu thêi gian cña dù ®Þnh ®Õn nhanh h¬n dù ®Þnh th× c¸ch lËp ph¬ng tr×nh lµm ngîc l¹i phÇn trªn. - NÕu chuyÓn ®éng trªn mét ®o¹n ®êng kh«ng ®æi tõ A ®Õn B råi tõ B vÒ A th× thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ b»ng thêi gian thùc tÕ chuyÓn ®éng. - NÕu hai chuyÓn ®éng ngîc chiÒu nhau, sau mét thêi gian hai chuyÓn ®éng gÆp nhau th× cã thÓ lËp ph¬ng tr×nh: S 1 + S 2 = S. D¹ng to¸n liªn quan ®Õn sè häc: * Bµi to¸n: (SGK ®¹i sè 8) Mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, tæng c¸c ch÷ sè b»ng . NÕu thªm ch÷ sè 0 vµo gi÷a hai ch÷ sè th× ®îc sè lín h¬n sè ®· cho lµ 180. T×m sè ®· cho. * Híng dÉn gi¶i: - §Ó t×m sè ®· cho tøc lµ ta ph¶i t×m ®îc nh÷ng thµnh phÇn nµo (ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ). Sè ®ã cã d¹ng nh thÕ nµo? - NÕu biÕt ®îc ch÷ sè hµng chôc th× cã t×m ®îc ch÷ sè hµng ®¬n vÞ kh«ng? Dùa trªn c¬ së nµo? - Sau khi viÕt ch÷ sè 0 vµo gi÷a hai sè ta ®îc mét sè tù nhiªn nh thÕ nµo ? lín h¬n sè cò lµ bao nhiªu? * Lêi gi¶i Gäi ch÷ sè hµng chôc cña ch÷ sè ®· cho lµ x , ®iÒu kiÖn 0 < x  7 vµ x  N. Th× ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè ®· cho lµ: 7 - x Sè ®· cho cã d¹ng: x.(7  x) = 10x + 7 - x = 9x + 7 ViÕt thªm ch÷ sè 0 vµo gi÷a hai ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ ta ®îc sè míi cã d¹ng : x0(7  x) = 100x + 7 - x = 99x + 7 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: ( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180 90x = 180  x = 2 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn.  15 VËy: ch÷ sè hµng chôc lµ 2 ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 7 - 2 = 5 sè ph¶i t×m lµ 25 * Chó ý: - Víi d¹ng to¸n liªn quan ®Õn sè häc cÇn cho häc sinh hiÓu ®îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng ®Æc biÖt hµng ®¬n vÞ, hµng chôc, hµng tr¨m... BiÓu diÔn díi d¹ng chÝnh t¾c cña nã: ab = 10a + b. abc = 100a + 10b + c. .................... - Khi ®æi chç c¸c ch÷ sè hµng tr¨m, chôc, ®¬n vÞ ta còng biÓu diÔn t¬ng tù nh vËy. Dùa vµo ®ã ta ®Æt ®iÒu kiÖn Èn sè sao cho phï hîp. 16 D¹ng to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng: * Bµi to¸n: ( SGK ®¹i sè 9) Trong th¸ng giªng hai tæ s¶n xuÊt ®îc 720 chi tiÕt m¸y. Trong th¸ng hai tæ mét vît møc 15%, tæ hai vît møc 12% nªn s¶n xuÊt ®îc 819 chi tiÕt m¸y, tÝnh xem trong th¸ng giªng mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y? * Híng dÉn gi¶i: - BiÕt sè chi tiÕt m¸y c¶ hai tæ trong th¸ng ®Çu lµ 720. NÕu biÕt ®îc mét trong hai tæ sÏ tÝnh ®îc tæ kia. - §· biÕt ®îc sè chi tiÕt m¸y cña th¸ng ®Çu, sÏ tÝnh ®îc sè chi tiÕt m¸y s¶n xuÊt ®îc cña th¸ng kia. - TÝnh sè chi tiÕt m¸y s¶n xuÊt vît møc trong th¸ng sau tõ ®ã x©y dùng ph¬ng tr×nh. * Lêi gi¶i: Gäi sè chi tiÕt m¸y tæ 1 s¶n xuÊt trong th¸ng ®Çu lµ x (chi tiÕt ) §iÒu kiÖn x nguyªn d¬ng, x < 720 Khi ®ã th¸ng ®Çu tæ 2 s¶n xuÊt ®îc: 720 - x ( chi tiÕt ). Th¸ng 2 tæ mét s¶n xuÊt vît møc 15 .x ( chi tiÕt ). 100 12 .(720  x) ( chi tiÕt ). 100 Sè chi tiÕt m¸y th¸ng 2 c¶ hai tæ vît møc: 819 - 720 = 99 ( chi tiÕt ) Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: Th¸ng 2 tæ hai s¶n xuÊt vît møc 15 12 .x  .(720  x) = 99 100 100  15x + 8640 - 12x = 9900  3x = 9900 - 8640  3x = 1260  x = 420 (tho¶ m·n). VËy, trong th¸ng giªng tæ mét s¶n xuÊt ®îc 420 chi tiÕt m¸y, Tæ hai s¶n xuÊt ®îc 720 - 420 = 300 chi tiÕt m¸y. * Chó ý: Lo¹i to¸n nµy t¬ng ®èi khã gi¸o viªn cÇn gîi më dÇn dÇn ®Ó häc sinh hiÓu râ b¶n chÊt néi dung cña bµi to¸n ®Ó dÉn tíi mèi liªn quan x©y dùng ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh nh c¸c lo¹i to¸n kh¸c. 17 Khi gäi Èn, ®iÒu kiÖn cña Èn cÇn lu ý b¸m s¸t ý nghÜa thùc tÕ cña bµi to¸n. D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng: * Bµi to¸n ( SGK ®¹i sè 8). Hai ®éi c«ng nh©n cïng söa mét con m¬ng hÕt 24 ngµy. Mçi ngµy phÇn viÖc lµm ®îc 1 phÇn viÖc cña ®éi 2 lµm ®îc. NÕu lµm mét m×nh, mçi ®éi sÏ söa xong 2 con m¬ng trong bao nhiªu ngµy? * Híng dÉn gi¶i: - Trong bµi nµy ta coi toµn bé c«ng viÖc lµ mét ®¬n vÞ c«ng viÖc vµ biÓu thÞ b»ng sè 1. - Sè phÇn c«ng viÖc trong mét ngµy nh©n víi sè ngµy lµm ®îc lµ 1. * Lêi gi¶i: Gäi sè ngµy mét m×nh ®éi 2 ph¶i lµm ®Ó söa xog con m¬ng lµ x ( ngµy) §iÒu kiÖn x > 0 . cña ®éi 1 b»ng 1 Trong mét ngµy ®éi 2 lµm ®îc 1 c«ng viÖc. 2 Trong mét ngµy ®éi 1 lµm ®îc 1 Trong mét ngµy c¶ hai ®éi lµm ®îc 1 1 3 (c«ng viÖc ). .  2 x 2x 1 c«ng viÖc. 24 18 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: 1 3 1   x 2x 24  24 + 36 = x  x = 60 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn VËy, thêi gian ®éi 2 lµm mét m×nh söa xong con m¬ng lµ 60 ngµy. 3 1 c«ng viÖc.  2.60 40 §Ó söa xong con m¬ng ®éi 1 lµm mét m×nh trong 40 ngµy. * Chó ý: ë lo¹i to¸n nµy , häc sinh cÇn hiÓu râ ®Ò bµi, ®Æt ®óng Èn, biÓu thÞ qua ®¬n vÞ quy íc. Tõ ®ã lËp ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh. D¹ng to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn: * Bµi to¸n: (SGK ®¹i sè 8). Hîp t¸c x· Hång Ch©u cã hai kho thãc, kho thø nhÊt h¬n kho thø hai 100 tÊn. NÕu Mçi ngµy ®éi 1 lµm ®îc chuyÓn tõ kho thø nhÊt sang kho thø hai 60 tÊn th× lóc ®ã sè thãc ë kho thø nhÊt b»ng thãc ë kho thø hai. TÝnh sè thãc ë mçi kho lóc ®Çu. * Híng dÉn gi¶i: Qu¸ tr×nh Kho I x + 100 (tÊn) Tríc khi chuyÓn x +100 - 60 (tÊn ) Sau khi chuyÓn Ph¬ng tr×nh: x + 100 - 60 = 12 sè 13 Kho II x (tÊn ), x > 0 x + 60 ( tÊn ) 12 . (x + 60 ) 13 19 * Lêi gi¶i: Gäi sè thãc ë kho thø hai lóc ®Çu lµ x (tÊn ), x > 0. Th× sè thãc ë kho thø nhÊt lóc ®Çu lµ x + 100 (tÊn ). Sè thãc ë kho thø nhÊt sau khi chuyÓn lµ x +100 -60 ( tÊn ). Sè thãc ë kho thø hai sau khi chuyÓn lµ x + 60 ( tÊn ). 12 .(x  60) 13 Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc: x = 200 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy, kho thãc thø hai lóc ®Çu cã 200 tÊn thãc Kho thãc thø nhÊt lóc ®Çu cã 200 + 100 = 300 tÊn thãc. D¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn h×nh häc: * Bµi to¸n: ( SGK ®¹i sè líp 9 ). Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m. Ngêi ta lµm mét lèi ®i xung quanh vên ( thuéc ®Êt cña vên ) réng 2m, diÖn tÝch ®Êt cßn l¹i ®Ó trång trät lµ 4256 m 2. TÝnh kÝch thíc cña vên. * Híng dÉn gi¶i: - Nh¾c l¹i c«ng thøc tÝnh chu vi vµ diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt. - VÏ h×nh minh ho¹ ®Ó t×m lêi gi¶i. * Lêi gi¶i: Gäi ®é dµi mét c¹nh h×nh ch÷ nhËt lµ x ( m ), ®iÒu kiÖn 4 < x < 140 §é dµi c¹nh cßn l¹i lµ: 140 - x (m ). Khi lµm lèi ®i xung quanh, ®é dµi c¸c c¹nh cña phÇn ®Êt trång trät lµ x - 4(m) vµ 140 - x - 4 = 136 - x (m). Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh: ( x - 4 ).( 136 - x ) = 4256  140x - x2 - 544 = 4256  x2 - 140x - 4800 = 0 Theo bµi ra ta cã ph¬ng : x + 100 - 60 = Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc x 1 = 80; x 2 = 60 (tho¶ m·n). VËy kÝch thíc cña m¶nh vên h×nh ch÷ nhËt lµ 60m vµ 80m. To¸n cã néi dung vËt lý, ho¸ häc: * Bµi to¸n: ( tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp bËc THCS ) Ngêi ta hoµ lÉn 8g chÊt láng nµy víi 6g chÊt láng kh¸c cã khèi lîng nhá h¬n nã 200kg/m3 ®Ó ®îc mét hçn hîp cã khèi lîng riªng lµ 700kg/m3. T×m khèi lîng riªng cña mçi chÊt láng? 20