Tài liệu Skkn toán 9 hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức côsi

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học. Trong dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh. Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc biệt là với học sinh THCS. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy khi dạy toán bất đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh bài toàn bất đẳng thức và còn ứng dụng trong giải các dạng toán khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như những ứng dụng của nó rất hạn chế. Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh thường mất điểm đối với các bài toán liên quan đến bất đẳng thức. Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn đề tài:" Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI" nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi. Từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như: - Kiểm tra cách làm. Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất đẳng thức Côsi trong bài đó. - Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu các bài toán ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi được hay không? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài toán có mối liên hệ như thế nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức toán học sử dụng trong bài toán đó liệu có thể sử dụng để giải các bài toán khác hay không? 1 Trong đề tài này, chúng tôi xin minh hoạ một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cosi, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong việc giải các dạng toán khác. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán. PHẦN II- NỘI DUNG A. THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng của vấn đề. - Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình. - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được. - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng,... nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số,... 2. Mục đích nghiên cứu. a. Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy. - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức. b. Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. - Bồi dươngc năng lực toán cho học sinh, khắc phục một phần hạn chế trong các kì thi học sinh khá giỏi. - Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập toán liên quan. 2 Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức. 3. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường. Nghiên cứu qua mạng Internet. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp. - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 4. Kết quả cần đạt. - Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi với trình độ nhận thức của học sinh THCS. - Trang bị cho học sinh một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng minh bất đẳng thức. - Rút ra một số nhận xét và chú ý khi sử dụng các kỹ năng đó. -Thấy được vai trò to lớn của bất đẳng thức Côsi trong giải các bài tập toán khác. Vận dụng giải toán bất đẳng thức Côsi vào giải toán cực trị, giải một số phương trình dạng dặc biệt. B. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI 1. Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY). Nếu a1, a2, ….., an là các số thực không âm thì a1  a 2  ...  a n n  a1a 2 ...a n n Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức COSI(CAUCHY). Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi. 3 2. Các quy tắc cần nhớ khi sử dụng bất đẳng thức Côsi Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn. Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. Quy tắc biên: Đối với các bài toán bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc thì dấu đẳng thức thường đạt được tại vị trí biên. Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể. 3. Một số dạng bất đẳng thức Côsi a. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )  x, y 0 khi đó  x, y, z  0 khi đó xy  xy 2 x yz 3  xyz 3 x  y 2 xy x  y  z 3 3 xyz 2 3  xy   xy  2   x yz   xyz 3   2  x  y  4xy 3  x  y  z  27xyz 1 1 4    xy 0  x y xy 1 1 1 9     xyz 0  x y z x yz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y x=y=z 4 b. Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm Cho x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có: x1  x 2  ...  x n n  x1 x 2...x n n x1  x 2  ...  x n n n x1 x 2 ...x n Dạng 1: Dạng 2:  x1  x 2  ...  x n    n   Dạng 3: n  x1 x 2...x n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x1 x 2 ... x n C. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Côsi 1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh giá đó. Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: a 2  b 2  b2  c2   c2  a 2  8a 2b 2c2 Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số không âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng và nhân các kết quả theo vế với vế. Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2  2 x 2 y 2 = 2|xy| ta có: a 2  b 2 2 ab 0   2 2 b  c 2 bc 0  2 2 c  a 2 ca 0 Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được: a 2  b 2  b2  c2  c2  a 2  8| a 2b 2c2 | 8a 2b 2c 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Chú ý: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều ( kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. 5 - Để ý rằng ta dùng cách viết: x 2 + y2  2 x 2 y 2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương. - Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Côsi. Ví dụ 2.1: Cho các số dương a, b thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 1  2 . 2 2 a b a  b 2 . Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản nhưng các biến có sự ràng buộc, nên trước khi chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ra sự ràng buộc đơn giản hơn giữa các biến và trong phép phân tích này ta vẫn sử dụng sự đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2  2 x 2 y 2 = 2xy cho giả thiết, ta có 2 1 1 2    ab  1 a 2 b 2 ab Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Côsi một lần nữa, ta được a  b 2 ab 2.1 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =1 Ví Dụ 3.1: Cho các số thực dương không âm a, b. Chứng minh rằng:   8 a  b 64ab(a  b)2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2  2 x 2 y 2 = 2xy  a b  8     2 4 a  b    a  b   2 ab    4 4 2   2 2  a  b  ab  24.22.ab. a  b    64ab(a  b) 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các ví dụ sau đây. 6 Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng : 1  a  1  b  1  c  1  3 3 abc Lời giải Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x  yz 3  xyz cho ba số 3 không âm. Ta có: 1  a  1  b  1  c  1   ab  bc  ca    a  b  c   abc      1  33 a 2b 2c 2  33 abc  abc  1  3 abc  3 1  a  1  b  1  c  1  3  3 abc Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra  a = b= c Ví dụ 5.1: Cho các số thực dương a , b ,c , d Chứng minh rằng  a  b  a  b  c  a  b  c  d  2 64 abcd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a  b  a  b  c  a  b  c  d  2 64abcd 2 Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi dạng  x  y  4xy , ta có 2  a  b  c  d  4d  a  b  c  0  a  b  c  4c  a  b  0  a  b  4ab 0 2 2 Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế,ta suy ra 2 2  a  b  a  b  c  a  b  c  d 2 64abcd  a  b   a  b  c  .  1  a  b   a  b  c  , ta thu Từ đó bằng cách đơn giản cả hai vế của (1) cho được ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d a  b  c   d 2c 4b 4a  0 c a  b a b  7 Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản, nhưng đòi hỏi mỗi học sinh khá, giỏi đều phải nắm được trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên không phải bất đẳng thức nào cũng chứng minh được bằng cách đánh giá này. Vì vậy ta tiếp tục hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật tiếp theo. 2. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay dấu a.b bằng dấu a + b. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Ví dụ 1.2: Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng: ab  cd   a  c   b  d  Phân tích: - Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh, sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số. - Dấu “  ” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta phải đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ab   a  c  b  d  Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng ab   a  c  b  d  cd 1  a  c  b  d  xy  xy ta có: 2 cd 1 a b  1 c d        a  c   b  d  2  a  c b  c  2  a  c b  d  1 a c b d  1      1  1 1 2  a  c b  d  2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra  a = b và c = d. Ví dụ 2.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  c, b  c Chứng minh rằng: c  a  c   c  b  c   ab 8 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khá giống với ví dụ 1.2. Vì vậy một cách tự nhiên ta có thể biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho và đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Lời giải Ta có cần chứng minh tương đương với: c b  c c a  c  1 ab ab Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy  xy cho các số dương ta được: 2 c b  c 1  c  a  c  1  c  b  c  1  a b  c  a  c       1    ab ab 2 b a  2  a b  2  a b  Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 2c. Ví dụ 3.2: Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng: 1  3 abc  3  1  a   1  b   1  c  Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau: 3  3 1.1.1  3 abc 3  1  a   1  b   1  c  1.1.1 abc 3 1  1  a   1  b   1  c   1  a  1  b  1  c  Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 3 1.1.1 abc 3  1  a   1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  1 1 1 1  1 a b c           3  1  a 1  b 1  c  3  1  a 1  b 1  c  1  a  1 b  1 c  1 1      .3 1 3  1  a 1  b 1  c  3 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 4.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c 1 Chứng minh rằng: 8 abc  a  b   b  c   c  a   729 9 Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu đẳng thức 1 3 của bất đẳng thức xảy ra khi a b c  . Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu đẳng thức là a = b = c. Lời giải 3  x yz Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xyz   ta có: 3   3  a  b  c    a  b   b  c   c  a     abc  a  b   b  c   c  a   3   3   3 3 3 1  2 8      729  3  3 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 a b c  3 Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật trên là hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều nhau, tùy theo điều kiện bài toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp. Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm được hai kỹ thuật cơ bản này. 3. Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo Chúng ta biết rằng tích của hai số nghịch đảo nhau bằng 1. Từ điều này chúng ta dẫn học sinh đi tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là nghịch đảo của nhau nhằm mục đích triệt tiêu các biến. Tuy nhiên trong quá trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sao cho có thể ghép được các cặp là nghịch đảo của nhau. Dưới dây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách và ghép cặp nghịch đảo. Ví dụ 1.3: Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng: a b  2 b a Phân tich: Bất đẳng thức cần chứng minh là một dạng của bất đẳng thức Côsi, cách chứng minh rất đơn giản khi sử dụng kỹ năng ghép nghịch đảo. Lời giải Áp dụng bất dẳng thức Côsi cho hai số ta có: a b ab  2 2 b a ba Bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 10 a2  2 2 a 2 1 Ví dụ 2.3: Cho số thực a. Chứng minh rằng: Phân tích: Ở bất đẳng thức cần chứng minh trên ta chưa thấy cặp nghịch đảo vì vậy ta cần biến đổi vế trái để tạo ra cặp nghịch đảo. Để ý rằng 2 a 2  2  a 1 1 1 2   a  1  a 2 1 a 2 1 a 2 1 Lời giải Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có: 2 a 2  2  a 1 1 1   a 2 1  2 2 2 2 a 1 a 1 a 1 a 2 1 1 2 a 1 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2 1  1 2  a 1 1  a 0 a 2 1 Ví dụ 3.3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng: a a  b. 1 3 b a  b Phân tích: Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta cần ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương, để ý rằng muốn triệt tiêu được hết biến ta cần ghép nghịch đảo 1 b, a  b ,   cho c số dương sau b a  b . Lời giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau : a 1 1 1 b   a  b    3 3 b. a  b  . 3 b a  b b a  b b a  b Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2 và b = 1 Ví dụ 4.3: Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng: c a b 3    a b b c c a 2 Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần biến đổi tương đương để sử dụng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương. Lời giải 11 Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau: c   a   b  3 9   3 1    1    1   a b   b c   c a  2 2   a bc  a bc  a bc  9        a b   b c   c a  2 1 1 1  9     2  a b b c c a     a  b  c  1 1   1   9    a  b    b  c    a  c    a b bc ca    Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Tương tự như Ví dụ 4.3 ta tiếp tục áp dụng kỹ thuật ghép nghịch đảo cho ví dụ sau. Ví dụ 5.3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: c2 a2 b2 a bc    a b b c c a 2 Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:  c2   a2   b 2  3 a  b  c  c   a   b    a  b   b  c   c  a  2  c   a   b  3 a  b  c     a 1   b 1  a  b   b  c   c  a  2  c  1   3 a bc  a  b  c  a c b  b a c  c b a    2   c a b 3    a b b c ca 2  Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét: Có thể kỹ thuật ghép nghịch là kỹ thuật không có gì mới lạ nhưng nó lại đem đến một số hiệu quả nhất định trong chứng minh bất đẳng thức. Vi vậy học sinh cần phải nắm được kỹ thuật này như một kỹ năng cơ bản trong gải các bài tập cề bất đẳng thức. 4. Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong bất đẳng thức, kỷ thuật chọn điểm rơi là một kỹ thuật tối quan trọng. Ý tưởng chính của kỹ thuật này là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý.Trong quá trình chứng minh 12 các bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh tìm tòi chứng minh các bài toán bất đẳng thức , người giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy rằng trong bất kỳ đánh giá nào ( trong chuỗi đánh giá của mình ) không bảo toàn được dấu bằng thì bài toán chứng minh sẽ bị phủ nhận hoàn toàn. Hãy xét một số ví dụ dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dang được đề cập Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện a  b  c 1 . Chứng minh rằng: a b  bc  ca  6 . Lời giải Khi giải bài toán này học sinh thường gặp sai lầm như sau:   a b     bc     c a     a  b  .1   b  c  .1   c  a  .1  a b  bc  ca   a  b  1 2  b  c  1 2  c  a  1 2 2 a  b  c  3 5  6 . 2 2 Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy ra  a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2. Điều này trái với giả thiết. Phân tích: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi 1 2 của bất đẳng thức sẽ là a b c  từ đó ta có a + b = b + c = c + a = , như 3 3 2 vậy để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them hằng số là . Vậy lời 3 xy giải đúng là : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy  cho hai số không 2 âm ta có: 13    a b      bc      ca    3 2 .  a  b .  2 3 3 2 .  b  c .  2 3 3 2 .  c  a.  2 3 3 . 2  a  b   23 2 2 3  b  c  3 . 2 2 2 3  c  a  3 . 2 2 2 2 a  b  c  3.    a b  bc  ca  3 . 3  3 .2  6 2 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 3 Ví dụ 2.4: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b 1 . Chứng minh rằng: 1 1   4ab 7 2 2 ab a b Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu 1 đẳng thức xảy ra tại a b  . Từ dự đoán đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức 2 Côsi để chứng minh bất đẳng thức trên như sau Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng xy  xy cho hai số không âm ta có: 2 1 1  1  1 4 1 1    4ab    2 4ab.  7  2 2 2 2ab  4ab  4ab (a  b) 2ab a b  a b 4   2  2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra  a b  Ví dụ 3.4: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 1 2 1 1 1   4 . x y z 14 Chứng minh rằng : 1 1 1   1 . 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z Lời giải 3 Từ hai lời giải trên với dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại x y z  , 4 1 1 4 nên ta có thể tách 2 x x  x và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng   a b a b cho hai số dương. Ta có: 1 1 1 1 1  1  2 1 1          2 x  y  z (x  y)  (x  z ) 4  x  y x  z  16  x y z  tương tự ta có: 1 1 1 1   2 1 1   1 2 1   1 1 2                    2 x  y  z x  2 y  z x  y  2z 16   x y z   x y z   x y z   1   1 1 1    4      1 16   x y z   Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1   4 . x y z Ví Dụ 4.4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz 1 . Chứng minh rằng: x2 y2 z2 3    1 y 1 z 1 x 2 Phân tích: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y z 1 . Vì vậy khi áp dụng Cosi cho x2 1 y x2 1 y 1 2      4 và thì 1 y  2  1 y  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức COSI dạng xy  xy ta có: 2 x2 1 y y2 1 z  x;  y; 1 y 4 1 z 4 z2 1 x  z 1 x 4 x2 y2 z2 1 3     (x  y  z)  ( x  y  z) 1 y 1 z 1 x 4 4 15  x2 y2 z2 1 3 3 3 3   (x  y  z)  (x  y  z)   (x  y  z)   1 y 1 z 1 x 4 4 4 4 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1 . Nhận xét: Việc chọn điểm rơi cho bài toán đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi kết hợp với các kỹ năng đánh giá khi sử dụng bất đăng thức Côsi hì có thể giải được nhiều bài toán nhanh gọn hơn, đẹp hơn. 5. Kỹ thuật ghép đối xứng Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “ Ghép đối xứng ” để bài toán trở nên đơn giản. Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau: - Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z  A + B + C. Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X + Y  2A. Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra Y + Z  2B và Z + X  2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh. - Dạng 2.Chứng minh XYZ  ABC với X, Y, Z  0 Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY  A2. Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ  B2 và ZX  C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai , ta có XYZ  A 2 B2C2 = ABC ABC . Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có: abc  b  c  a   c  a  b   a  b  c  Phân tích: Nếu  b  c  a   c  a  b   a  b  c  0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta xét trường hợp  b  c  a   c  a  b   a  b  c  0 . Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ  ABC, vì vậy sử dụng kỹ 2 thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh: b  a  b  c   b  c  a  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng  x  y 4 2 xy , suy ra 16 2   a  b  c    b  c  a   b 2  a  b  c  b  c  a    4 2   b  c  a    c  a  b   c 2  b  c  a   c  a  b  4 2   c  a  b    a  b  c   a 2  c  a  b  a  b  c  4 Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 2.5. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: ab bc ca   a  b  c c a b Phân tích: Bài toán này có dạng X + Y + Z  A + B + C với ab bc ab bc ca ,Y  , Z  , A a,B b,C c . Để ý rằng hai biểu thức và c a b c a là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta sẽ thử chứng minh X ab bc  2b c a Lời giải Bất đẳng thức này là hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Côsi ab bc ab bc  2  2b c a c a Tương tự ta có: ca ab  ca ab   b  c   b . c 2a;   bc ab  bc ab   a  c   a . c 2c   Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được bc ca ab   a  b  c . a b c Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c. Từ đó, bài toán được giải quyết hoàn toàn. Ví Dụ 3.5. Cho các số thực a,b,c,d  0 thỏa mãn điều kiện : 1 1 1 1 1    3 . Chứng minh rằng abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 Lời giải 17 Từ giả thiết suy ra:  1 1   1   1  b c d  1   1  1 =      1 a  1 b   1 c   1 d  1 b 1 c 1 d bcd 3 3 0 1  b 1  c  1  d  Chứng minh tương tự ta có: Nhân vế 1 3 1 b 3 cda 0 1  c 1  d  1  a  1 3 1 c 3 dca 0 1  d  1  c  1  a  1 3 1 d 3 abc 0 1  a 1  b 1  c     với vế 1 của  1  a  1  b  1  c  1  d  bốn 81 bất đẳng thức trên ta được abcd 1  abcd  1  a  1  b  1  c  1  d  81 Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1 3 Với kỹ thuật ghép đối xứng, ta tiếp tục chứng minh các bất đẳng thức dưới đây, nhưng không bằng một cách trực tiếp mà phải thông qua một bổ đề trung gian. Để chứng minh được các bất đẳng thức như vậy đòi hỏi học sinh phải có sự sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức cần thiết. Ví dụ 4.5. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn  a  b  c 3 3 3   b  c  a    c  a  b  a 3  b 3  c3. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều. Lời giải Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có x  y 3 3  x  y  3 4   3 3 2 2 Chứng minh: Do x  y  x  y  x  xy  y nên bất đẳng thức tương đương với: x  xy  y 2 2  x  y  2 4 18 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng 2 2 2 x  xy  y  x  y   3xy  x  y  2  x  y xy  4  x  y  3 4 2 2 , ta được  x  y  2 4 Bổ đề được chứng minh. Để ý rằng a, b, c là tam giác thì hiển nhiên ta có: a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > 0 Áp dụng bổ đề, ta có: 3   a  b  c    b  c  a   2b3  a  b  c   b  c  a   4 3 3 3   b  c  a    c  a  b   2c3  b  c  a    c  a  b  4 3 3 3   c  a  b    a  b  c   2a 3  c  a  b   a  b  c  4 3 3 Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế và rút gọn cả hai vế của bất đẳng 3 3 3 thức thu được cho 2, ta có:  a  b  c    b  c  a    c  a  b  a 3  b3  c3. Theo giả thiết thì dấu bằng xảy ra  a b c Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều. Ví dụ 5.5. Cho x, y, z > 2 và 1 1 1   1 Chứng minh rằng : x y z  x  2   y  2   z  2  1 Lời giải Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Ta có: 1 1 1 1  1 1  1 1         c2 a 2 b2  2 a 2  2 b2  Tương tự a b   2 a  2 2  b  2 1  b2 ca ,  c  2  a  2 ab  b  2  c  2 1  a 2 bc  b  2  c  2 Nhân ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được 19 1 abc   abc 1  a  2  b  2  c  2   a  2   b  2   c  2  Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1  x = y = z = 3 Nhận xét: Kỹ thuật ghép đối xứng có thể giúp ta chứng minh được rất nhiều bất đẳng thức đối xứng, nhưng với các bất đẳng thức không có tính đối xưng thì kỹ thuật nay gần như vô tác dụng. Vì vậy đòi hỏi học sinh cần phải chăm chỉ rèn luyện để có thêm các kinh nghiệm khi đánh giá một bất đẳng thức. 6. Kỹ thuật đổi biến số Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này. Ví dụ 1.6: Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng: 4x 2 y 2 x 2  y2  2 x 2 y2  2  2 3 y x Phân tích : Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay không. 2 2 2 x 2 y 2 x 4  y 4  2x 2 y 2  2x 2 y 2  x  y      2 y2 x 2 x 2 y2 x 2 y2 Với kết quả như vậy, giáo viên có thể định hướng học sinh sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn. Lời giải Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành 20