GIÚP HỌC SINH KHĂC PHUC MỘT SÔ SAI LẦMM TH̀NNG GĂṂP
KHI GIAI CAC BAI TOAN VỀ CĂMN ẬCC HAI. CĂMN "̣C A.
A.ĐĂṂT VÂN ĐỀ.
1.Lý do khách quan:
Toán học la mốn kho폐 học, toán học ̣co v폐i trò rât qu폐́n tróng, la ̣chì폐 kho폐
̣cho ̣cạc ́ngánh kho폐 học khạc, toán học đ폐 dáng va phóng phu, môi ́nô ̣i dúng toán
học đều ̣co ́nh̃́ng đăư ̣̣c trứng va ap dụ́ng ̣củ폐 ́no. Cù́ng với sự phat tri ̉́n ̣củ폐 đât
́nượ́c, thời kì ̣cống ́nghi , ̣p ho폐 hi , ̣́n đai ho폐, phat tri ̉́n va hô ̣i ́nhâ ̣p thì vi , ̣̣c ti ếp thu
kho폐 học hi ệ́n đai ̣củ폐 thế gi ới . Do sự phat tri ̉́n vượt bậ̣c ̣củ폐 kho폐 học kĩ thuật,
kho táng ki ế́n thự́c ̣củ폐 ́nhâ ́n loai tăứng l,́n ́nh폐́nh ̣chóng, đòi hoi ́ng폐y tư vi , ̣̣c học
̣củ폐 trò ph̉i ̣co ki ế́n thự́c ṽ́ng váng, ́nh̃́ng lâ ̣p luâ ̣́n ̣chăư ̣t ̣ch̃. Nh̃́ng ́người hướ́ng
dẫ́n ̣cạc em ti ếp thu ki ế́n thự́c la ́nh̃́ng thay, ̣cô gi ao đ폐́ng trự̣c ti ếp gi ̉́ng day ̣cạc
em, ́nha trườ́ng khống th̉ luốn ̣cúng ̣câp ̣cho học si ́nh ́nh̃́ng hi ̉u bi ết ̣cập ́nhật
đượ̣c, đi ều qu폐́n tróng la ph̉i tr폐́ng bị ̣cho ̣cạc em ́năứng lự̣c tự học đ̉ ̣co th̉ tự
mì́nh tìm ki ếm ́nh̃́ng ki ế́n thự́c ̣cầ́n thi ết ̣cho bai học, đ̉ vâ ̣́n dụ́ng vao lam bai tâ ̣p.
Qu폐 ́nhi ều ́năưm la gi ao vi ,́n gi ̉́ng day tr,́n lớp tôi thây rắng vi , ̣̣c truyề́n thụ ki ế́n
thự́c ̣cho ̣cạc em mới ̣chỉ la mô ̣t ̣chi ều, la ̣chỉ mới ̣chỉ ̣cho ̣cạc em thây ̣cai đúng, lời
gi ̉i đúng, ma ̣chư폐 ̣chỉ ̣cho ̣cạc em tìm ̣cai s폐i tróng khi lam toán ma ̣cạc em h폐y
găư ̣p đ̉ ̣cạc em suy ́nghĩ sâ u sặc hớn ̣cho học si ́nh, phat huy tí́nh tị́ch ̣cự̣c ̣chủ độ́ng,
sáng tao.
Tróng ́nô ̣i dúng ́nay tôi ̣chu y tới vấn đề đòi hoi học si ́nh khặc phụ̣c ́nh̃́ng s폐i lầm
ma ̣cạc em h폐y mặc ph̉i khi lam toán, ̣cụ th̉ tróng ̣chướng I Đai số 9. Tư đo ̣cạc
em lam tốt hớn ̣cho ̣cạc ́nô ̣i dúng học s폐u, va ̣cạc mốn học khạc.
2.Lý do chủ quan:
4
Tróng ̣chướng trì́nh đai số lớp 9 THCS phầ́n ki ế́n thự́c về ̣căứn bâ ̣̣c h폐i , ̣căứn bâ ̣̣c
b폐, tôi thây học si ́nh ̣cò́n mặc rât ́nhi ều s폐i sot khi trì́nh bay mô ̣t bai toán, ̣co ́nh̃́ng
lôi s폐i ma l̃ r폐 ̣cạc em khống đáng mặc ph̉i , ́nhứng vì s폐o ́như vâ ̣y đo la mô ̣t ̣câ u
hoi ̣củ폐 tôi , lam thế ́nao đ̉ ̣cạc em trì́nh bay mô ̣t bai toán đượ̣c tốt ma ít mặc s폐i
lầm, va ít bị bo qu,́n ̣cạc đi ều ki , ̣́n ́như vâ ̣y.
Tróng qua trì́nh gi ̉́ng day thự̣c tế tr,́n lớp một số ́năưm học tai trườ́ng THCS .Tôi
phat hi ệ́n r폐 rắng ̣cò́n rât ́nhi ều học si ́nh thự̣c hánh kỹ ́năứng gi ̉i toán ̣cò́n yếu, lời
gi ̉i toán ̣cò́n thi ếu ́nhi ều va ̣chư폐 ̣chăt ̣ch̃ theo tư duy toán học do ́nhi ều ́nguy,́n
́nhâ ́n ́như ́năứng lự̣c tư duy ́ngốn ́ng̃, kh̉ ́năứng ̣chuỷ́n th̉ tư ́ngốn ́ng̃ văứn học
thánh ̣cạc qu폐́n hệ toán học, ̣chư폐 thự̣c sự hi ̉u kỹ về ̣căứn bậ̣c h폐i va tróng khi thự̣c
hi ệ́n ̣cạc phép toán về ̣căứn bậ̣c h폐i , h폐y ̣co sự ́nhầm lẫ́n, hi ̉u s폐i đầu bai , thự̣c hi ệ́n
s폐i mụ̣c đị́ch …Vi ệ̣c gi up học si ́nh ́nhậ́n r폐 sự ́nhầm lẫ́n va gi up ̣cạc em tránh đượ̣c
sự ́nhầm lẫ́n đo la ̣cầ́n thi ết, gi up ̣cạc em ̣co một sự 폐m hi ̉u ṽ́ng ̣chặc về lượ́ng
ki ế́n thự́c khi học ̣căứn bậ̣c h폐i , tao ́nề́n móng đ̉ ti ếp tụ̣c ́nghi ,́n ̣cứu ̣cạc dáng toán
̣c폐o hớn s폐u ́nay.
Qu폐 ́nghi ,́n ̣cứu tai li , ̣u, thự̣c tế gi ̉́ng day va học hoi đống ́nghi , ̣p tôi rut r폐 ki ́nh
́nghi , ̣m " Giúp họ sinhh khặ́ phụ môṭ sô sai lâm thườnhg gă ̣p khi giai ̣ạ bai
toanh về ̣ănh bậ̣ haiv ́nhăm tránh ́nh̃́ng s폐i lầm đáng ti ệ́c ̣củ폐 học si ́nh.
5
.GIAI QUYẾT VÂN ĐỀ.
I. Điều tra thưc trann trươc khi nnhinn ću:
Khi day học si ́nh về ̣căứn thự́c bâ ̣̣c h폐i , tôi thây học si ́nh ̣cò́n lúng túng khi
trì́nh bay bai toán về ̣căứn bâ ̣̣c h폐i , tôi rât băứn khoăứn lam thế ́nao đ̉ học si ́nh lam tốt
đượ̣c bai tâ ̣p, khống s폐i sot .
Trượ́c thời gi 폐́n đo ́nhi ều em học si ́nh đi thi về ̣cho rắng mì́nh lam tốt bai , xóng
đi ̉m ̣chư폐 đượ̣c ̣c폐o, ̣chư폐 tối đ폐, lôi vì đâ u.
Khi ki ̉m tr폐 15 phut ̣củ폐 32 em học si ́nh lớp 9A ̣củ폐 trườ́ng THCS tróng ́nô ̣i dúng
đầu ́năưm học về ̣căứn thự́c bâ ̣̣c h폐i tôi thây học si ́nh ̣cò́n mặc kha ́nhi ều lôi s폐i ma l̃
r폐 ̣cạc em khống mặc ph̉i , khi đi ều tr폐 va thố́ng k, tôi thây kết qủ khống ́như
móng muố́n.
Nô ̣i dunn kiể tra
Câ u 1. Tìm ̣cạc ̣căứn bâ ̣̣c h폐i ̣củ폐 ̣cạc số s폐u.
폐) 49
b) 64
Câ u 2. Tìm đi ều ki , ̣́n đ̉ ̣cạc ̣căứn thự́c s폐u ̣co ́nghĩ폐.
폐) 2 x 3
b) x 2 2 x 1
6
Câ u 3. Tí́nh.
폐)
3 5
2
b) 6 2 5
Số học si ́nh lam đượ̣c
Bai
SL
%
Câ u1
25
78,1
Bai 2(폐)
20
62,5
Bai 2(b)
15
46,8
Bai 3 (폐)
20
78,1
Bai 3 (b)
10
31,2
II.Phả vi nnhinn ću:
Tróng sáng ki ế́n ́nay tôi ̣chỉ ́n,u r폐 một số “Nhom s폐i lầm” ma học si ́nh thườ́ng
mặc ph̉i tróng qua trì́nh lam bai tập về ̣căứn bậ̣c h폐i tróng ̣chướng I –Đai số 9.
Phâ ́n tị́ch s폐i lầm tróng một số bai toán ̣cụ th̉ đ̉ học si ́nh thây đượ̣c ́nh̃́ng lập
luậ́n s폐i , hoặ̣c thi ếu ̣chặt ̣ch̃ dẫ́n tới bai gi ̉i khống ̣chí́nh xạc. Tư đo đị́nh hướ́ng
̣cho học si ́nh phướng phap gi ̉i toán về ̣căứn bậ̣c h폐i .
III. Đôi tươnn nnhinn ću:
Học si ́nh lớp 9 THCS, học si ́nh gi oi lớp 9 tai đớn vị trườ́ng tôi đ폐́ng trự̣c ti ếp
gi ̉́ng day
7
IV. Phươnn pháp nnhinn ću:
1. Đôi vơi niáo vinn:
- Nghi ,́n ̣cứu tai li , ̣u, lự폐 ̣chón ̣cạc bai tâ ̣p đ̉ mi ́nh ho폐 hợp ly tư đo gup học si ́nh
́năm đượ̣c ̣cạch lam.
-Tô ̣chự́c ̣cho học si ́nh đượ̣c bôi dướng đ̉ tri ̉́n kh폐i đề tai .
-Sư dụ́ng ̣cạc phướng phap 힀
+ Phướng phap đi ều tr폐.
+ Phướng phap thố́ng k,.
+Phướng phap so sánh đối ̣chứ́ng.
+ Phướng phap phâ ́n tị́ch tống hợp.
- Thự̣c tế ̣chuy,́n đề, th̉o luậ́n ̣cù́ng đống ́nghi ệp.
- Day học thự̣c tế tr,́n lớp đ̉ đục rut ki ́nh ́nghi ệm.
- Thống qu폐 học tập bôi dướng ̣cạc ̣chu kì GDTX.
- Dự폐 vao ki ́nh ́nghi ệm gi ̉́ng day ̣củ폐 ̣cạc gi ao vi ,́n ̣co ki ́nh ́nghi ệm ̣củ폐 trườ́ng
tróng ́nh̃́ng ́năưm học trượ́c va vố́n ki ́nh ́nghi ệm ̣củ폐 b̉́n thâ ́n tróng ́nh̃́ng ́năưm
gi ̉́ng day tai trườ́ng THCS .
- Phâ ́n tị́ch va tống kết ki ́nh ́nghi ệm gi ao dụ̣c khi ap dụ́ng ́nội dúng đ폐́ng ́nghi ,́n
̣cứu vao thự̣c ti ễ́n gi ̉́ng day, ́nhăm tìm r폐 ́nguy,́n ́nhâ ́n ́nh̃́ng s폐i lầm ma học si ́nh
thườ́ng mặc ph̉i khi gi ̉i toán.
2. Đôi vơi hhc inh:
-Lam bai tâ ̣p gi ao vi ,́n gi 폐o, ̣cạc bai tâ ̣p tróng sạch gi ao kho폐, sạch bai tâ ̣p ̣co li ,́n
qu폐́n đế́n ́nô ̣i dúng đề tai .
8
-S폐u khi gi ao vi ,́n hướ́ng dẫ́n qu폐 ̣cạc ví dụ thì ph̉i ́năm ̣chặc va bi ết vâ ̣́n dụ́ng vao
lam ̣cạc bai toán ̣cù́ng loai .
V힀 NỘI DUNG KINH NGHIỆM" Giúp họ sinhh khặ́ phụ mô ̣t sô sai lâm
thườnhg gă ̣p khi giai ̣ạ bai toanh về ̣ănh bậ̣ haiv
1. Cơ ơ l thuyêt:
-Đị́nh ́nghĩ폐 về ̣căứn bâ ̣̣c h폐i số học.
Với sô dương a, sô a, được gọ́i là ̣ănh bâ ̣̣ hai sô họ của, a,.
Sô 0 cũng được gọ́i là căn bâ ̣c aa,́i sô aọc của, 0.
-Căứn thự́c bâ ̣̣c h폐i .
Với A là m ̣t b́iể taưc đái sô ngưới ta, gọ́i
A là ̣ănh thự bậ̣ hai của, A con
A được gọ́i là b́iể taưc lấ căn aa,́ b́iể taưc dưới dẩ căn.
CÁC CÔNG THỨC BIÊN ĐÔI CCN THỨC.
1)
A2 A
2) AB A B ( với A 0 va B 0 )
3)
A
A
( với A 0 va B 0 )
B
B
4) A2 B A B ( với B 0 )
5) A B A2 B ( với A 0 va B 0 )
A B
6)
A 1
B B
A2 B ( với A 0 va B 0 )
AB (với AB 0 va B 0 )
9
7)
A
A B
(với B>0)
B
B
8)
C A B
C
A B2
A B
9)
C
C
A B
A B
(với A 0 va
A B
A B 2 )
(với A 0 va B 0 va
A B )
-Đị́nh ́nghĩ폐 ̣căứn bâ ̣̣c b폐.
Căn bâ ̣c ba, của, m ̣t sô a, là m ̣t sô x sa,o cao x3 =a,.
-Tí́nh ̣chât.
1) a, b
2)
3
3
a, 3 b .
a,b 3 a, . 3 b
3) Với b 0, t폐 ̣co
3
a, 3 a,
b 3b
2. NHỮNG SAI LẦMM TH̀NNG GẶP KHI GIAI CAC BAI TOAN VỀ CĂMN
ẬCC HAI:
Qu폐 ́nhi ều ́năưm day học tôi thây vi , ̣̣c ti ếp thu ki ế́n thự́c theo hướ́ng đư폐 bai
tâ ̣p, học si ́nh lam thì vi , ̣̣c tư duy, tìm tòi , khặc sâ u ki ế́n thự́c ̣củ폐 học si ́nh khống
̣c폐o, ̣cò́n khi găư ̣p bai toán ́ngượ̣c ́như tìm ̣chô s폐i tróng lời gi ̉i ̣cho trượ́c thì học
si ́nh rât hướ́ng thu bán luâ ̣́n, ̣cho r폐 ́nhi ều hướ́ng, ́nhi ều kết qủ ( ̣co th̉ ̣chư폐 đúng)
xóng hi , ̣u qủ tốt hớn tróng qua trì́nh học tâ ̣p ̣củ폐 ̣cạc em.
Tư bai tâ ̣p 16(SGK-t12 đai số lớp 9 tâ ̣p 1). Đô. Hãy tìm ̣chô s폐i tróng phép
̣chứ́ng mi ́nh"Cón muôi ́năư ̣́ng bắng ̣cón voi " dưới đâ y.
Lời niải.
Gi ̉ sư ̣cón muôi ́năư ̣́ng m (g폐m), ̣cò́n ̣cón voi ́năư ̣́ng V (g폐m). T폐 ̣co
m2 +V2 =V2 +m2
10
Cô ̣́ng ̣c̉ h폐i vế với -2mV, t폐 ̣co
m2 -2mV +V2 =V2 -2mV +m2
(m-V)2 =(V-m)2
h폐y
Lây ̣căứn bâ ̣̣c h폐i môi vế ̣củ폐 đ̉́ng thự́c tr,́n, t폐 đượ̣c
2
V V
Do đo
2
m-V=V–m
Tư đo t폐 ̣co 2m =2V, suy r폐 m=V. Vâ ̣y ̣cón muôi ́năư ̣́ng bắng ̣cón voi (,)
Tư bai toán đo tôi thây học si ́nh bán luâ ̣́n hứ́ng thu hớn va ̣cúng tư đo tôi đã
đư폐 ̣cạc bai toán ki ̉u ́như vâ ̣y ̣cho học si ́nh lam, ́nhăm gâ y hứ́ng thu, đống thời ̣chỉ
r폐 mô ̣t số s폐i lầm khi lam bai ̣củ폐 học si ́nh.
Tróng qua trì́nh gi ̉́ng day tôi thây học si ́nh học tróng ̣chướng I đai số lớp 9 thườ́ng
mặc mô ̣t số lôi s폐u. S폐u đâ y tôi đư폐 r폐 mô ̣t số ́nô ̣i dúng lôi ma học si ́nh h폐y mặc
ph̉i đống thời đư폐 r폐 ̣cạch khặc phụ̣c ̣cho học si ́nh.
Dann 1: ai ̀̉ tronn tlnh toán.
Khi lam bai tâ ̣p học si ́nh h폐y s폐i tróng vi , ̣̣c tí́nh toán, ́như ́nhầm dâu, ́nhâ ́n
s폐i ... ̣cạc ́nô ̣i dúng ́nay gi ao vi ,́n khặc phụ̣c thườ́ng xuy,́n ơ ̣cạc lớp trượ́c. Tróng
́nô ̣i dúng ́nay t폐 đề ̣câ ̣p đế́n vi , ̣̣c học si ́nh h폐y mặc ph̉i ́nôi s폐i khi dư dụ́ng hắng
đ̉́ng thự́c
A2 A
ài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rut gón bi ̉u thự́c힀
폐)
3
11
2
2
b) 3 a, 2
2
với 폐 <2
Lời niải ai.
폐)
3
11
= 3 11
2
b) 3. a, 2 3.(a, 2)
Phân tlch ai ̀̉. Ở đâ y học si ́nh đã sư dụ́ng hắng đ̉́ng thự́c tr,́n ́nhứng
khống xét đế́n bi ̉u thự́c A, va khống vâ ̣́n dụ́ng tốt hắng đ̉́ng thự́c
11
A2 A .
Khắc phuc ai ̀̉. Chỉ r폐 s폐i ̣cho học si ́nh va đống thời lưu y hắng đ̉́ng
thự́c
A2 A . Co ́nghĩ폐 la힀
A2 A ́nếu A 0 ( tự́c la A lây gi a trị khống â m).
A2 A ́nếu A 0 ( tự́c la A lây gi a trị â m).
Khi vâ ̣́n dụ́ng ̣cầ́n ̣chu y tới bi ̉u thự́c tróng dâu ̣căứn đ̉ bi ế́n đôi .
Lời niải đúnn.
폐)
3
11
2
11 11 3 ( vì 3< 11 )
3
2
b) 3. a, 2 3. a, 2 3 2 a, ( vì 폐<2)
ài 2: ( bai tâ ̣p 41 SBT toán 9/tr9 tâ ̣p I) Rut gón ̣cạc bi ̉u thự́c.
폐)
x 2 x 1
( x 0 )
x 2 x 1
b)
x 1 ́ 2 ́ 1
4
́1
x 1
( x 1, ́ 1 va y >0)
Lời niải ai:
2
폐) Vì x 0 ́n,́n t폐 ̣co x x , tư đo t폐 ̣co
x 2 x 1
x 2 x 1
=
x 2 x 1
x1
2
va x 2 x 1 x 1
x 1
x1
2
2
=
x 1
x 1
2
2
2
x1
x 1
b)Với y >0, t폐 ̣co ́ 2 ́ 1 ́ 1
x 1 ́ 2 ́ 1
= x 1
4
́1
x
1
́1
́1
x 1
4
2
2
́1
x 1
1
.
2
x 1
́ 1 x 1
Phân tlch ai ̀̉. Vi , ̣̣c bi ế́n đôi ̣củ폐 ̣cạc em ̣cơ b̉́n la tốt, ́nhứng khi sư
dụ́ng hắng đ̉́ng thự́c
A2 A . Thì ̣cạc em vẫ́n h폐y mặc ph̉i , ơ bai toán tr,́n, đối
12
với ̣câ u 폐) học si ́nh s폐i ơ bượ́c
x 1
x 1
2
2
x1
x 1
́1
Đối với ̣câ u b) học si ́nh s폐i ơ bượ́c x 1
́1
x 1
4
2
́1
x 1
.
2
́ 1 x 1
Khắc phuc ai ̀̉. Phâ ́n tị́ch s폐i ́như bai 1 va sư폐 lai ̣cho học si ́nh
Lời niải đúnn.
2
폐) Vì x 0 ́n,́n t폐 ̣co x x , tư đo t폐 ̣co
x 2 x 1
x 2 x 1
A
=
x 2 x 1
x1
2
x 1
x1
va x 2 x 1 x 1
2
=
2
Nếu x 1 thì A
x 1
x 1
2
x1
2
x 1
x1
x 1
Nếu 0 x 1 thì A
1 x
x 1
b)Với y >0, t폐 ̣co ́ 2 ́ 1 ́ 1
x 1 ́ 2 ́ 1
B
= x 1
4
́1
x 1
́1
́1
x 1
4
2
1
1 x
1
x 1
Dann 2: ai ̀̉ tronn niải phươnn trình.
ai 1. Tìm x, bi ết힀
x 2 2 x 1 3 (1)
Lời niải ai.
13
2
́1
x 1
.
2
́ 1 x 1
Nếu y<1 thì B
Nếu y>1 thì B
2
Bi ̉u thự́c x2-2x+1 0x
2
(1) x 1 3 x 1 3 x 4
Phân tlch ai ̀̉. S폐i ơ ̣chô học si ́nh mới ̣chỉ lây mô ̣t trườ́ng hợp, ma khi
gi ̉i loai bai tâ ̣p ́nay ̣cầ́n sư dụ́ng
A2 A .
Lời niải đúnn.
2
(1) x 1 3 x 1 3
*Trườ́ng hợp 1힀 x-1=3 x=4
*Trườ́ng hợp 2힀 x-1=-3 x=-2
ài 2: Gi ̉i phướng trì́nh :
x + 4 = x +2
Lời niải ai:
x 4 0
x 4
2
2
x
4
x
4
x
4
x
3
x
0
T폐 ̣co x 4 x 2
x 4
x( x 3) 0
x 4
x 0; x 3
Vâ ̣y phướng trì́nh đã ̣cho ̣co h폐i ́nghi , ̣m la x1=0; x2=-3
Phân tlch ai ̀̉. S폐i ơ ̣chô với đi ều ki , ̣́n x 4 thì vế ph̉i ̣chư폐 ̣chặc đã
khống â m, vì vâ ̣y vi , ̣̣c bì́nh phướng h폐i vế đã khống đúng vì x2=-3 la bị loai .
Khắc phuc ai ̀̉. Khi gi ̉i dáng toán
A B ̣cầ́n lưu y
B 0
A B
2
A B
Lời niải đúnn.
x 2 0
x 4 x 2
2
x 4 x 4 x 4
x 2
2
x 3x 0
So sánh đi ều ki , ̣́n x=-3 (bị loai ) , x=0 (TM)
Vâ ̣y phướng trì́nh đã ̣cho ̣co mô ̣t ́nghi , ̣m x=0
ài 3: Gi ̉i phướng trì́nh.
x( x 1) x ( x 2) 2 x( x 3) (1)
Lời niải ai:
14
x 2
x( x 3) 0
x 2
x 0; x 3
+ Khi x 3
T폐 ̣co (1) x . x 1 x . x 2 2 x . x 3 x 1 x 2 2 x 3
Với đi ều ki , ̣́n x 3 khi đo t폐 ̣co
x 1 x 3
x 2 x 3
x 1 x 2 2 x 3
Phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣m tróng khỏ́ng x 3 .
+ Khi x<0
(1) x . 1 x x . 2 x 2 x . 3 x 1 x 2 x 2 3 x
Với đi ều ki , ̣́n x<0 khi đo t폐 ̣co
1 x 3 x
2 x 3 x
1 x 2 x 2 3 x
Phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣m tróng khỏ́ng x<0
Vâ ̣y phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣m.
Phân tlch ai ̀̉. S폐i ơ đâ y la khi x=0 phướng trì́nh đã ̣cho vẫ́n tốn tai , ́như
vâ ̣y học si ́nh đã vô tì́nh ̣chi 폐 ̣c̉ h폐i vế ̣cho bi ̉u thự́c ̣chứ폐 ấn va lam mât ́nghi , ̣m
̣củ폐 phướng trì́nh.
Khắc phuc ai ̀̉.Khống đượ̣c ̣chi 폐 h폐i vế phướng trì́nh ̣cho mô ̣t bi ̉u thự́c
̣chứ폐 ấn khi ̣chư폐 ki ̉m tr폐 bi ̉u thự́c đo bắng 0 ̣co la ́nghi , ̣m phướng trì́nh khống.
Cầ́n lưu y
AB A. B Khi A 0 ;B 0
AB A. B khi A 0 ;B 0
Lời niải đúnn.
+ Khi x=0 tho폐 mã́n phướng trì́nh , vâ ̣y x=0 la mô ̣t ́nghi , ̣m ̣củ폐 phướng trì́nh
+ Khi x>0
(1) x . x 1 x . x 2 2 x . x 3 x 1 x 2 2 x 3
Đi ều ki , ̣́n x 3 khi đo t폐 ̣co
15
x 1 x 3
x 2 x 3
x 1 x 2 2 x 3
Phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣m tróng khỏ́ng x>0.
+ Khi x<0
(1) x . 1 x x . 2 x 2 x . 3 x 1 x 2 x 2 3 x
Với đi ều ki , ̣́n x<0 khi đo t폐 ̣co
1 x 3 x
2 x 3 x
1 x 2 x 2 3 x
Phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣mtróng khỏ́ng x<0
Vâ ̣y phướng trì́nh đã ̣cho ̣co mô ̣t ́nghi , ̣m la x=0
ài 4. Gi ̉i phướng trì́nh x 1 5 x 1 3 x 2
Lời niải ai:
Đi ều ki , ̣́n xạc đị́nh ̣củ폐 phướng trì́nh la x 1 .
x 1
5 x 1 3x 2 x 1 5 x 1 2
6x 2 2
x 1 5 x 1
x 1 5 x 1 3 x
3x 2 3x 4 2
2
x 1 5 x 1
9 x 2 24 x 16 4 5 x 2 6 x 1 9 x 2 24 x 16 20 x 2 24 x 4
11x 2 12 x
12
11
12
So với đi ều ki , ̣́n x 1 thì x=
la ́nghi , ̣m phướng trì́nh
11
Phân tlch ai ̀̉. S폐i ơ ̣chô ̣cạc em đã bì́nh phướng h폐i vế phướng trì́nh ma
̣chư폐 ̣chu y đế́n đi ều ki , ̣́n la h폐i vế phướng trì́nh ph̉i ̣cù́ng dâu .vi , ̣̣c sư dụ́ng ki ế́n
thự́c a, b a, 2 b 2 ( khi 폐,b ̣cù́ng dâu )
Khắc phuc ai ̀̉. Khi bì́nh phướng h폐i vế ̣củ폐 mô ̣t phướng trì́nh học si ́nh
̣cầ́n ̣chu y đế́n h폐i vế ph̉i ̣cù́ng dâu ́nghĩ폐 la a, b a, 2 b 2 ( khi 폐,b ̣cù́ng dâu )
16
Lời niải đúnn.
Đi ều ki , ̣́n xạc đị́nh ̣củ폐 phướng trì́nh la x 1 .(1)
Chuỷ́n vế, t폐 ̣co x 1 5 x 1 3x 2 x 1 5 x 1 3 x 2
Bì́nh phướng h폐i vế ̣củ폐 phướng trì́nh đượ̣c
x 1 5 x 1 3 x 2 2 15 x 2 13 x 2
Rut gón thánh 2-7x= 2 15 x 2 13x 2 ( *)
Đế́n đâ y ̣co h폐i ̣cạch gi ̉i .
Cạch 1힀 Với đi ều ki , ̣́n 2 7 x 0 x
2
(2)
7
4 28 x 49 x 2 4(15 x 2 13 x 2)
Thì (*)
11x 2 24 x 4 0
2
11x 2 x 2 0 x1 ; x2 2
11
2
khống tho폐 mã́n đi ều ki , ̣́n (1), loai .
11
Gi a trị x1
Gi a trị x2 2 khống tho폐 mã́n đi ều ki , ̣́n (2), loai .
Vâ ̣y phướng trì́nh vô ́nghi , ̣m.
2
7
Cạch 2힀 T폐 xét 2 7 x 0 x tự́c la x
2
trai với đi ều ki , ̣́n (1) . Vâ ̣y
7
phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣m.
Tuy ́nhi ,́n ́nếu đi ều ki ,́n bai toán kho xạc đị́nh ̣co th̉ học si ́nh lam s폐u đo thư lai
đ̉ kết luâ ̣́n về ́nghi , ̣m phướng trì́nh.
ài 5. Gi ̉i phướng trì́nh.
x 2 x 2 4 x 2
x2
3 (1)
x 2
Lời niải ai.
x 2 0
x 2 0
x 2 hoăư ̣̣c
x 2
x 2 0
x 2 0
Đi ều ki , ̣́n힀
2
x 2 x 2
(1) x 2 x 2 4
3
x 2
17
x 2 x 2 3 (2)
x 2 x 2 4
Đăư ̣t힀 x 2 x 2 ́ với ́ 0
(2) ́ 2 4 ́ 3 0
( ́ 2 ́ ) (3 ́ 3) 0 ́ ( ́ 1) 3( ́ 1) 0
( ́ 1)( ́ 3) 0
y1=-1 (loai ) , y2=-3 (loai )
Vâ ̣y phướng trì́nh đã ̣cho vô ́nghi , ̣m.
Phân tlch ai ̀̉. Tuy bai lam tướng ́như la đúng, ́nhứng s폐i ơ đâ y la học
2
x 2 x 2
si ́nh đã ̣cho vao tróng dâu ̣căứn bi ̉u thự́c 4 x 2 x 2 4
, bi ̉u thự́c
x 2
x 2
(x-2) ̣chư폐 th̉ kh̉́ng đị́nh la bi ̉u thự́c dướng, ́n,́n kết qủ bai toán la khống đúng.
Khắc phuc ai ̀̉. Khi đư폐 mô ̣t thư폐 số vao tróng dâu ̣căứn ph̉i vâ ̣́n dụ́ng
Với A 0 va B 0 t폐 ̣co A B A2 .B .
Với A 0 va B 0 t폐 ̣co A B A2 .B .
Lời niải đúnn.
x 2 0
x 2 0
x 2 hoăư ̣̣c
x 2
x 2 0
x 2 0
Đi ều ki , ̣́n힀
Đăư ̣t힀 x 2
x2
́ (2)
x 2
Thì y2=(x-2)(x+2).
(3)
T폐 ̣co y2+4y+3=0 ́n,́n y1=-1, y2 =-3. Do y<0 ́n,́n tư (2) suy r폐 x<2
Với y=-1, th폐y vao (3) đượ̣cx2-4=1. Do x<2 ́n,́n x= 5
Với y=-3, th폐y vao (3) đượ̣cx2-4=9. Do x<2 ́n,́n x= 13
Vâ ̣y phướng trì́nh ̣co h폐i ́nghi , ̣m la 5 ; 13
ài 6. Gi ̉i phướng trì́nh.
3
2 x 1 3 x 1 (1)
18
Lời niải ai.
Lâ ̣p phướng h폐i vế, t폐 đượ̣c 2 x 1 x 3 3 x(2 x 1). 3 2 x 1 3 x 1 (2)
Th폐y 3 2 x 1 3 x 1 Vao (2) t폐 ̣co 3x+1+3 3 x(2 x 1) 1
3
(3)
x(2 x 1) x x(2 x 1) x 3 x (2 x 1 x 2 )
x( x 1) 2 0 x1 0; x2 1
Phân tlch ai ̀̉. Cạc phướng trì́nh (1) va (2) tướng đướng, ́nhứng ̣cạc
phướng trì́nh (2) va (3) khống tướng đướng. Tư (2) suy r폐 đượ̣c (3), ́nhứng tư (3)
khống suy r폐 đượ̣c (2).
Khắc phuc ai ̀̉. Khi tìm đượ̣c ́nghi , ̣m ̣củ폐 phướng trì́nh (3) la 0 va -1,
ph̉i thư lai ̣cạc gi a trị đo vao (1) đ̉ ̣chón r폐 ́nghi , ̣m ̣củ폐 (1)
Lời niải đúnn.
Lâ ̣p phướng h폐i vế, t폐 đượ̣c 2 x 1 x 3 3 x(2 x 1). 3 2 x 1 3 x 1 (2)
Th폐y 3 2 x 1 3 x 1 Vao (2) t폐 ̣co 3x+1+3 3 x(2 x 1) 1
3
(3)
x(2 x 1) x x(2 x 1) x 3 x (2 x 1 x 2 )
x( x 1) 2 0 x1 0; x2 1
Thư lai x1=0 tho폐 mã́n (1)
x2=-1 khống tho폐 mã́n (1), loai .
Phướng trì́nh (1) ̣co mô ̣t ́nghi , ̣m duy ́nhât la x=0.
Dann 3: ai ̀̉ tronn niải bât phươnn trình.
ài 1. Tìm x đ̉ bi ̉u thự́c x 2 1 ̣co ́nghĩ폐 힀
Lời niải ai.
2
2
x 2 1 ̣co ́nghĩ폐 khi x 1 0 x 1 x 1
Phân tlch ai ̀̉. Tuy học si ́nh đã vâ ̣́n dụ́ng đúng ki ế́n thự́c
A ̣co ́nghĩ폐
khi A 0, ́nhứng vi , ̣̣c gi ̉i bât phướng trì́nh, kết hợp ́nghi , ̣m ̣củ폐 bât phướng trì́nh
lai s폐i .
Khắc phuc ai ̀̉. khi day ́nô ̣i dúng ́nay ̣cầ́n ̣chu y hướ́ng dẫ́n ̣cho học si ́nh
19
va phâ ́n tị́ch kĩ ́nô ̣i dúng gi ̉i bât phướng trì́nh va kết hợp ́nghi , ̣m.
Lời niải đúnn.
2
2
x 2 1 ̣co ́nghĩ폐 khi x 1 0 x 1 x 1 hoăư ̣̣c x < -1
Cúng
̣co
th̉ lam
́như
s폐u
x 2 1 ̣co
́nghĩ폐
khi
x 1 0
x 1 0
x 2 1 0 x 1 x 1 0
hoăư ̣̣c
s폐u đo gi ̉i ti ếp va tìm đượ̣c
x 1 0
x 1 0
x>1 hoăư ̣̣c x <-1
ài 2. Tìm x đ̉ bi ̉u thự́c s폐u x 1 x 3 ̣co ́nghĩ폐.
Lời niải ai.
x 1 0
x 1
x 3 0
bi ̉u thự́c x 1 x 3 ̣co ́nghĩ폐 khi (x-1)(x+3) 0
Phân tlch ai ̀̉. Tróng trườ́ng hợp ́nay học si ́nh khi lam bai đã ̣chỉ ́nghĩ
đế́n trườ́ng hợp tị́ch h폐i thư폐 số dướng la mô ̣t số dướng, ma khống ́nghĩ đế́n h폐i
thư폐 số ̣cù́ng â m thì tị́ch ̣cúng la mô ̣t số dướng.
Khắc phuc ai ̀̉. Khi day ́nô ̣i dúng ́nay ̣cầ́n ̣chu y đế́n A.B 0 khi va ̣chỉ
khi A;B ̣cù́ng dâu, ̣co h폐i trườ́ng hợp A;B ̣cù́ng dướng hoăư ̣̣c ̣cù́ng â m.
Lời niải đúnn.
Bi ̉u thự́c
x 1 0
x 1 x 3 ̣co ́nghĩ폐 khi (x-1)(x+3) 0 x 3 0
x 1 hoăư ̣̣c
x 1 0
x 3 . Vâ ̣y bi ̉u thự́c ̣co ́nghĩ폐 khi x 1 hoăư ̣̣c x -3
x 3 0
Đôi khi tróng bai tâ ̣p ́nay ̣cò́n ̣co học si ́nh đã xét h폐i trườ́ng hợp ́như tr,́n ́nhứng lai
kết hợp ́nghi , ̣m s폐i , vì vâ ̣y gi ao vi ,́n ph̉i lưu y ̣cho học si ́nh vi , ̣̣c kết hợp ́nghi , ̣m
h, ̣ bât phướng trì́nh.
ài 3. Tìm x, bi ết.
x 1 0
Lời niải ai.
20
Đi ều ki , ̣́n 힀 x 0
x 1 0
x 1 x 1
Phân tlch ai ̀̉. S폐i ơ đâ y la x<1 ̣co th̉ x<0, vi pham đi ều ki , ̣́n vư폐 tìm.
Khắc phuc ai ̀̉. Vì vâ ̣y khi day ́nô ̣i dúng ́nay ̣cầ́n lưu y đế́n đối ̣chi ếu
với đi ều ki , ̣́n ̣củ폐 bai toán đã ̣cho hoăư ̣̣c đi ều ki , ̣́n đã tìm, khi đã tìm đượ̣c gi a trị x
rôi mới kết luâ ̣́n.
Lời niải đúnn.
Đi ều ki , ̣́n힀 x 0
x 1 0
x 1 x 1 .Kết hợp đi ều ki , ̣́n 0 x 1
ài 4. Gi ̉i bât phướng trì́nh .
7 x 13
3 x 19 5 x 27 (1)
Lời niải ai :
19
3
Đi ều ki , ̣́n ̣củ폐 bât phướng trì́nh la힀 x
(1) 7 x 13 3x 19 2 7 x 13 3x 19 5x 27
10 x 32 5 x 27 2
7 x 13 3 x 19
5 x 5 2 21x 2 133x 39 x 247
25 x 2 50 x 25 4(21x 2 172 x 247)
25 x 2 50 x 25 81x 2 688 x 988
59 x 9 x 1,8 0
19
x 3
x 9 0
x 1,8 0
19
x 3
x 9 x 9
x 1,8
Hoăư ̣̣c
19
x 3
x 9 0
x 1,8 0
19
x 3
x 9
x 1,8
bị loai
Vâ ̣y bât phướng trì́nh ̣co ́nghi , ̣m x>9
Phân tlch ai ̀̉. Cúng gi ố́ng ́như bai 4 phầ́n ( ai ̀̉ khi niải phươnn
trình), học si ́nh s폐u khi đăư ̣t đi ều ki , ̣́n ̣cho bât phướng trì́nh s폐u đo bì́nh phướng h폐i
về, ̣chư폐 xét xem h폐i vế khống â m.
21
Khắc phuc ai ̀̉. Khi đăư ̣t xóng đi ều ki , ̣́n ̣cho bât phướng trì́nh ̣co ́nghĩ폐,
trượ́c khi bì́nh phướng ̣cầ́n xét đế́n h폐i vế ̣củ폐 phướng trì́nh, khi h폐i vế khống â m,
s폐u đo bì́nh phướng h폐i vế khống â m ̣củ폐 bât phướng trì́nh.
Lời niải đúnn.
19
3
Đi ều ki , ̣́n ̣củ폐 bât phướng trì́nh la힀 x
(1) 7 x 13 3x 19 5 x 27 . Bì́nh phướng h폐i vế khống â m t폐 đượ̣c
33 x 2
3 x 19 5 x 27
33 x 0
Bât phướng trì́nh ̣co ́nghi , ̣m khi (3x 19)(5 x 27) 0
2
33 x 4(3x 19)(5 x 27)
Gi ̉i h, ̣ bât phướng trì́nh t폐 đượ̣c
19
x 9
3
Vâ ̣y ́nghi , ̣m ̣củ폐 bât phướng trì́nh la
19
x 9
3
Dann 4: ai ̀̉ thườnn nă ̣p tronn niải bài toán cưc trị .
ài1. Tìm gi a trị lớ́n ́nhât ̣củ폐 bi ̉u thự́c힀
A
1
2
x 6 x 17
Lời niải ai. Phâ ́n thự́c A ̣co tư khống đôi ́n,́nA ̣co gi a trị lớ́n ́nhât khi mẫu
́nho ́nhât.
T폐 ̣co
x 2 6 x 17
x 3
2
8 2 2
2
mi ́n x 2 6 x 17 x 3 8 2 2 x 3
Vâ ̣y m폐x A =
1
2 2
2
x 3
4
Phân tlch ai ̀̉. Tuy đap số khống s폐i ́nhứng lâ ̣p luâ ̣́n s폐i khi kh̉́ng đị́nh
( A ̣co tư số khống đôi ́n,́n ̣co gi a trị lớ́n ́nhât khi mẫu ́nho ́nhât) ma ̣chư폐 ́nhâ ̣́n xét
tư va mẫu la ̣cạc số dướng.
22
Ch̉́ng hán, xét bi ̉u thự́c B=
1
. Với lâ ̣p luâ ̣́n (phâ ́n thự́c B ̣co tư khống đôi
x 4
2
́n,́n ̣co gi a trị ́nho ́nhât khi mẫu lớ́n ́nhât), do mẫu ́nho ́nhât bắng -4 khi x=0, t폐 s̃
đi đế́n m폐x B=
1
1
x 0 . Đi ều ́nay khống đúng vì
khống ph̉i la gi a trị lớ́n
4
4
1
5
1
4
́nhât ̣củ폐 B, ̣ch̉́ng hán với x=3 thì B= .
Mặc s폐i lầm tr,́n la do khống ́năm ṽ́ng tí́nh ̣chât ̣củ폐 bât đ̉́ng thự́c, đã may mọc
ap dụ́ng quy tặc so sánh h폐i phâ ́n số ̣co tư va mẫu la số tự ́nhi ,́n s폐́ng h폐i phâ ́n số
̣co tư va mẫu ́nguy,́n.
Khắc phuc ai ̀̉. Khi gi ̉ loai toán ́nay ̣cầ́n lưu y đế́n phâ ́n thự́cḅc폐r tư
va mẫu ph̉i la số dướng.
Lời niải đúnn. Bô súng th,m ́nhâ ̣́n xét
x 2 6 x 17
x 3
2
8 2 2 ́n,́n tư va
mẫu A la ̣cạc số dướng; hoăư ̣̣c tư ́nhâ ̣́n xét tr,́n suy r폐 A>0. T폐 xét bi ̉u thự́c
B
1
x 2 6 x 17
A
T폐 ̣co 힀 B x 2 6 x 17
x 3
2
8 2 2
mi ́n B= 2 2 khi x=3
Vâ ̣y m폐x A =
1
2 2
2
x 3
4
ài 2. Tìm gi a trị ́nho ́nhât ̣củ폐 힀
A x x
Lời niải ai.
2
1 1
1 1
1
A x x x x x
4 4
2 4
4
Vâ ̣y mi ́n A=
1
4
23
- Xem thêm -
.DOC 
28 
1 
131 
