MỞ ĐẦU
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1.Tên sáng kiến
“Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7”
2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn học Toán học THCS.
3.Tác giả: Nguyễn Huy Tuấn
Nam( Nữ): Nam
Ngày tháng năm sinh: 28/07/1991
Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Toán – Tin.
Chức vụ, đơn vị công tác: Gv Trường THCS Tân Việt
Điện thoại: 0967629791
4. Đồng tác giả: Không có
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không có
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Tân Việt
Địa chỉ: Xã Tân Việt - Thanh Hà- Hải Dương
Điện thoại: 03203817082
7.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đội ngũ con người (BGH,
giáo viên dạy môn Toán, học sinh THCS); cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy
học)
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2018-2019
HỌ VÀ TÊN TÁC GIẢ
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN, ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Nguyễn Huy Tuấn
XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GD&ĐT
(đối với trường mầm non, tiểu học, THCS)
1
MỞ ĐẦU
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1.Tên sáng kiến
“Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7”
2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn học Toán học THCS.
3.Tác giả:
Nam( Nữ):
Ngày tháng năm sinh:
Trình độ chuyên môn:.
Chức vụ, đơn vị công tác:
Điện thoại:
4. Đồng tác giả:
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:
Địa chỉ:
Điện thoại:
7.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Đội ngũ con người (BGH,
giáo viên dạy môn Toán, học sinh THCS); cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy
học)
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:
HỌ VÀ TÊN TÁC GIẢ
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN, ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GD&ĐT
(đối với trường mầm non, tiểu học, THCS)
2
PHẦN 1: TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1.Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
- Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp ở
trường THCS…. , bản thân tôi nhận thấy như sau :
- Với các dạng toán tỷ lệ thức – tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi thấy
chưa hệ thống hóa được các dạng bài tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy
luận khác nhau của một bài toán và chưa đưa ra các phương pháp giải khác
nhau của cùng một bài toán để kích thích sáng tạo của học sinh . Về tiết luyện
tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho học sinh lên chữa hoặc giáo
viên chữa cho học sinh chép . Và đưa ra nhiều bài tập càng khó thì càng tốt.
Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại, học sinh cảm thấy nặng
nề, không tin tưởng vào bản thân mình dẫn đến tình trạng chán học.
- Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có
hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép.
Mỗi dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư
duy toán học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp để
giải quyết bài toán một cách thích hợp.
- Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho
từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được
các bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
- Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức - tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau sao cho các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách
dễ dàng nhất.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Giáo viên: Bám sát chuẩn kiến thức kĩ năng, thu thập tài liệu áp dụng vào bài.
+ Học sinh: Có đủ sách vở, đồ dùng học tập, chuẩn bị bài trước khi đến lớp
+ Nhà trường: Đầu tư trang thiết bị, đồ dùng dạy học phù hợp.
+ Thời gian áp dụng sáng kiến: Năm học 2018- 2019
+ Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 7 trong trường THCS.
3.Nội dung sáng kiến
- Tính mới của sáng kiến:
Đề tài nghiên cứu giảng dạy và học tập với nội dung “Vận dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7”
- Lợi ích thiết thực của sáng kiến :
3
+ Đối với giáo viên: Sáng kiến còn góp phần đổi mới phương pháp dạy học
trong mục tiêu chung của ngành giáo dục. Làm cho bài dạy thêm phong phú,
hiệu quả
+ Đối với học sinh: Học sinh không còn cảm thấy nhàm chán, đơn điệu hay
“mệt” khi đến tiết toán mà học sinh cảm thấy hứng thú, sáng tạo và nhớ lâu, vận
dụng tốt kiến thức đã học. Cách làm này sẽ rèn luyện cho học sinh hướng tới
cách suy nghĩ lô-gíc, mạch lạc, giúp các em hiểu bài, ghi nhớ kiến thức chứ
không mơ hồ học trước quên sau.
4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến
- Sau khi áp dụng sáng kiến tôi thấy học sinh học hào hứng, tích cực, chủ động
trong giờ học. Kết quả học tập đã đạt được kết quả cao hơn năm trước. Đó là
động lực cho tôi tiếp tục áp dụng, mở rộng sáng kiến.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng mở rộng sáng kiến
- Giáo viên: Phải có tâm huyết, tích cực, chủ động, tự giác khai thác, sử dụng
các phương tiện dạy học, tham khảo SGK, SBT, các loại sách tham khảo.
- Nhà trường : Nên đầu tư cơ sở vật chất đầy đủ
- Nhà lãnh đạo:
+ Cần thay sách, phân phối chương trình. Để khắc phục tình trạng thiếu, thừa.
+ Tổ chức thi môn lịch sử thường xuyên hơn.
+ Động viên xứng đáng với những nhà giáo có chuyên môn giỏi, tâm huyết
với nghề
- Gia đình: Cần quan tâm và tạo điều kiện cho con em học tập tốt hơn.
4
PHẦN 2: MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1.Hoàn cảnh nảy sinh vấn đề.
Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp
ở trường THCS…. , bản thân tôi nhận thấy như sau :
Với các dạng toán tỷ lệ thức – tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi thấy
chưa hệ thống hóa được các dạng bài tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy
luận khác nhau của một bài toán và chưa đưa ra các phương pháp giải khác
nhau của cùng một bài toán để kích thích sáng tạo của học sinh . Về tiết luyện
tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho học sinh lên chữa hoặc giáo
viên chữa cho học sinh chép . Và đưa ra nhiều bài tập càng khó thì càng tốt.
Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại, học sinh cảm thấy nặng
nề, không tin tưởng vào bản thân mình dẫn đến tình trạng chán học.
Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có
hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép.
Mỗi dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư
duy toán học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp để
giải quyết bài toán một cách thích hợp.
Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải
cho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm
được các bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức –
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau sao cho các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức
một cách dễ dàng nhất
và phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng
lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.
2. Cơ sở lí luận
- Ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết
đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập.Bài tập Toán nhằm hình thành
cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin,
phẩm chất đạo đức của người lao động. Bài tập toán nhằm phát triển năng lực
tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành
những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả
dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu ,
tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể
thiếu được. Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở
của nhiều giáo viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn
5
nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một
cách hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết.
Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê
học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.
Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức,
giúp học sinh có những kinh nhgiệm giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau một cách nhẹ nhàng, đơn giản.
Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo
viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ
đó rút ra những kiến thức cần nhớ.
3. Quá trình thực hiện đề tài:
Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả học
tập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học
sinh. Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học,
song cũng có bài giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo.
TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
3.1. Định nghĩa tỉ lệ thức :
a c
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số b d
3.2. Tính chất của tỉ lệ thức:
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
a c
Nếu b d thì a.d = b.c
- Tính chất 2 :
Nếu ad = bc và a,b,c,d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :
a c a b d c d b
; ; ;
b d c d b a c a
- Như vậy, với a,b,c,d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra
các đẳng thức còn lại :
ad = bc
a
c
b
d
a
d
c
d
d
c
b
a
6
d
b
c
a
Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát
nhằm phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ
kết quả để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
3.3.Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c
a c ac a c
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức b d suy ra b d b d b d , (b ≠ ± d)
a c i
b
d j ta suy ra:
Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau
a c i a c i a c i
b d j b d j b d j , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a1 a2 a3
a
... n
bn thì
Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n 2): b1 b2 b3
a1 a2 a3
a a a a3 ... an a1 a2 a3 ... an
... n 1 2
b1 b2 b3
bn b1 b2 b3 ... bn
b1 b2 b3 ... bn
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ”
trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một
khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ
số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó
có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.
x y z
Chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: a b c .
Ta cũng viết:
x:y:z=a:b:c
- Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát nhằm
phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả
để đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.
Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng
năm học 2017- 2018 và năm học 2018 - 2019.
Câu 1 : Tìm x,y,z biết :
x
y
z
2 3 5 và x + y + z = 150.
Câu 2 : Tìm x,y biết :
7
x
y
3 4 và x . y = 300.
Câu 3 : Tìm x,y,z biết :
x
y y
z
;
3 4 3 5 và 2x – 3y + z = 6.
Đáp án :
Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
y
z
x y z 150
15
2 3 5
235
10
x
2 = 15 x = 2.15 = 30.
y
3 = 15 y = 3.15 = 45.
z
5 = 15 z = 5.15 = 75.
Câu 2 :
x
y
Đặt 3 4 = k x = 3k ; y = 4k.
x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300.
k2 = 25.
k 5
k 5
x 3.5 15
y 4.5 20
* Với k = 5
x 3.( 5) 15
y 4.( 5) 20
* Với k = -5
Câu 3 :
x y
x
y
3 4
9 12
y z
y
z
3 5
12 20
x
y
z
9 12 20
Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có :
8
x
y
z
2x 3y z
6
3
9 12 20 2.9 3.2 20 2
x
9 = 3 x = 9.3 = 27.
y
12 = 3 y = 12.3 = 36.
z
20 = 3 z = 20.3 = 60.
Kết quả thu được của năm học 2017 – 2018 như sau :
TỔNG
SỐ
34
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
0 - 4 điểm
5 - 7 điểm
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
14
41,2
14
41,2
6
17,6
Kết quả thu được của năm học 2018 – 2019 như sau :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
0 - 4 điểm
5 - 7 điểm
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
13
43,3
11
36,7
6
20
Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.
Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2.
Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.
TỔNG
SỐ
4. Các biện pháp thực hiện :
Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để
nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản , tính chất mở rộng của tỷ
lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài
toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở
cho việc chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các
bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây .
DẠNG 1 : Tìm x,y,z.
Bài toán 1 : Tìm x,y biết :
x
y
a. 2 5 và x.y = 90.
x
y
b. 7 9 và x.y = 252.
9
x
y
c. 5 3 và x2 – y2 = 4.
Giải :
a. Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo
tính chất nào ? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào ? Học sinh thường
mắc sai lầm như sau :
x
y
x. y 90
9
2 5
2.5 10
x = 2.9 = 18.
y = 5.9 = 45.
Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng
cho các em hướng giải toán.
Hướng thứ nhất :
Dùng phương pháp tình giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ
thống hóa , khái quát hóa về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.
x 2k
x y
k
2 5
y 5k
Đặt
Mà xy = 90
2k.5k = 90.
10k2 = 90
k 3
k2 = 9 k 3
* Với k = 3
x = 2.3 = 6.
y = 5.3 = 15.
* Với k = -3
x = 2. (-3) = -6.
y = 5.(-3) = -15.
Vậy (x;y) = (6;16) hoặc (-6;-15)
Hướng thứ hai :
Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên
quan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ
hai.
2
2
x y
x. y
x
y
2.5
2
5
Ta có : 2 5
10
x 2 y 2 xy 90
9
4 25 10 10
x2
9 x 2 36 x 6
4
y2
9 y 2 32.52 y 15.
25
x y
Vì 2 5 nên x,y cùng dấu
Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)
Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn hướng đi cho các em
để có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b,c,d.
Bài toán 2 : Tìm x,y,z biết :
x
y y
z
;
a. 2 3 5 4 và x + y + z = 37.
x
y y
z
;
b. 3 4 5 7 và 2x + 3y – z = 186.
x
y y
z
;
3 5 7 và x + y + z = 92.
c. 2
x
y y
z
;
5 3 8 và 2x + 4y – 2z = -4.
d. 3
Giải :
a. Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu có
tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không ?
Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng
để chọn lời giải cho phù hợp.
x y
x 1 y 1
x
y
hay
2 3
2 5 3 5
10 15
y z
y 1 z 1
y
z
hay
5 4
5 3 4 3
15 12
x
y
z
x y z
37
1
10 15 12 10 15 12 37
Ta có :
x = 10.1 = 10.
y = 15.1 = 15.
z = 12.1 = 12
Vậy x = 10; y = 15; z = 12.
11
b. Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian để
xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì
đặc biệt trong tổng 2x + 3y – z = 186 để giúp các em nhớ lại tính chất của
phân số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích
hợp.
Ta có :
x y
x 1 y 1
x
y
. hay
3 4
3 5 4 5
15 20
y z
y 1 z 1
y
z
hay
5 7
5 4 7 4
20 28
x
y
z
2x 3y z
186
3
15 20 28 2.15 3.20 28 62
x = 15.3 = 45.
y = 20.3 = 60.
z = 28.3 = 84.
Vậy x = 45; y = 60; z = 84.
Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp cho
phần c và d.
Bài toán 3 : Tìm x,y,z biết :
a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.
b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60
Giải :
Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi
đã nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích
hoặc đến tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và
chọn lời giải cho phù hợp.
Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
tích ta có lời giải sau :
Ta có :
x y
x 1 y 1
x
y
3 x 5 y hay
5 3
5 8 3 8
40 24
y z
y 1 z 1
y
z
5 y 8 z hay
8 5
8 3 5 3
24 15
x
y
z
x y z
158
2
40 24 15 40 24 15 79
x = 40.2 = 80.
y = 24.2 = 48.
12
z = 15.2 = 30.
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Hướng thứ hai : Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng
thức. Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3,5,8. Từ đó các em có lời
giải của bài toán như sau :
Ta có BCNN (3,5,8) = 120
1
1
1
3 x.
5 y.
8 z.
120
120
120
Từ 3x = 5y = 8z
x y z
x
y
z
158
2
40
24
15
40
24
15
79
Hay
(Tương tự như trên ta có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một
thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :
x y z x y z 158
240
1 1 1 1 1 1
79
3 5 8 3 5 8 120
Từ 3x + 5y – 8z
1
x = 3 .240 = 80.
1
y = 5 . 240 = 48.
1
z = 8 . 240 = 30.
Vậy x = 80; y = 48; z = 30.
Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó
các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các
em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b.
* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các
em phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau :
+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y.
+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z.
10x = 15y = 21z.
x
y
z
3x 5 y 7 z
60
840
1
1
1
1
1
1
15
3. 5. 7.
10 15 21
10
15
21 210
13
1
x .840 84.
10
1
y .840 56
15
1
z .840 40
21
Vậy x = 84; y = 56; z = 40
Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán
này.
Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng :
x 1 y 2 z 2
3
2 và x + 2y – z = 12
a. 5
x 1 y 2
z 3
3
4 và 2x + 3y – z = 50
b. 2
Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm
thế nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc
2x + 3y – 5z = 10.
Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra
ngay và có hướng đi cụ thể.
Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng
nhau ta có lời giải của bài toán như sau :
Ta có :
x 1 y 2 z 2 2( y 2 ) 2 y 4 x 1 2 y 4 ( z 2)
5
3
2
2 .3
6
56 2
x 2 y z 3 12 3
1
9
9
x – 1 = 5 -> x = 6.
y – 2 = 3 -> y = 5.
z – 2 = 2 -> z = 4
Hướng thứ hai : Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau :
x 1 y 2 z 2
3
2 =k
Đặt : 5
x – 1 = 5k x = 5k + 1.
y – 2 = 3k y = 3k + 2
z – 2 = 2k z = 2k + 2.
Ta có : x + 2y – z = 12 2k + 1 + 2(3k + 2) – (2k + 2) = 12
9k + 3 = 12
k=1
Vậy x = 5.1 + 1 = 6.
14
y = 3.1 + 2 = 5.
z = 2.1 + 2 = 4
Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để
tự giải phần (b) của bài toán 4.
Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng :
x
y
z
x y z
y z 1 x z 1 x y 2
y z 1 x z 2 x y 3
1
b)
x
y
z
x y z
a)
Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi
từ kiến thức nào ? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất
hiện x + y + z . Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ
số bằng nhau và đã có lời giải của bài tóan phần (b) như sau :
Giải : b)
Điều kiện x,y,z 0.
Ta có :
y z 1 x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 2( x y z )
2
x
y
z
xyz
xyz
1
1
2 x y z 0,5
xyz
2
x + y = 0,5 – z
y + z = 0,5 – x.
x + z = 0,5 – y.
Thay các giá trị vừa tìm của x,y,z vào dãy tỷ số trên, ta có :
y z 1
0,5 x 1
2
2
x
x
0,5 – x + 1 = 2x
1,5 = 3x
x = 0,5.
xz2
0,5 y 2
2
y
y
2,5 – y = 2y
2,5 = 3y
5
y= 6
x y 3 0,5 z 3
2
z
z
-2,5 – z = 2z
-2,5 = 3z.
5
z=- 6
15
5
5
Vậy (x;y;z) = (0,5 ; 6 ; - 6 )
Sau khi thực hiện dạng 1 của đề tài tôi cho học sinh làm bài toán
thực nghiệm như sau :
*Đề kiểm tra lần 1:
Tìm x, y, z biết :
x y
a. 2 3 và x . y = 54
b. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95.
x 1 y4 z2
2
2 và 2x + 3y – 5z = 10
c. 3
* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2017 – 2018 :
TỔNG
SỐ
34
Đối tượng 1
0 - 4 điểm
Số lượng
%
15
44,1
Đối tượng 2
5 - 7 điểm
Số lượng
%
13
38,3
Đối tượng 3
8 - 10 điểm
Số lượng
%
6
17,6
* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2018 – 2019 :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
0 - 4 điểm
5 - 7 điểm
8 - 10 điểm
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
12
40
13
43,3
5
16,7
Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai
trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bài tập
từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng
đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.
TỔNG
SỐ
DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :
a c
Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức b d . Hãy chứng minh :
a b
c d
a.
ab cd
2a 5b 2c 5d
3a 4b 3c 4d
Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống
hóa kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để
tìm hướng giải cụ thể.
b.
16
* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng
minh phần a.
a c
Đặt b d = k
a = b.k
c = d.k
Ta có :
a b bk b b(k 1) k 1
a b bk b b(k 1) k 1
c d dk d d (k 1) k 1
c d dk d d (k 1) k 1
a b c d
ab cd
* Hướng thứ hai : Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức
và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :
a c
a b
c d (Hoán vị trung tỷ)
Từ : b d
a b ab
c d c b (Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
a b c d
a b c d (Hoán vị trung tỷ).
Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào
tính chất cơ bản của tỷ lệ thức :
a c
ad bc
Từ b d
Xét tích :
(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
(a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)
a b c d
a b c d (Đpcm)
Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số
hướng giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ
hiểu, đề trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài , qua đó để học sinh tự giải
các bài tập phần b của bài 1.
a c
Bài toán 2 : Cho b d Hãy chứng minh :
17
a.
a 2 b 2 ab
;
c 2 d 2 cd
c.
a b
c d
2
2
a b
b.
c d
2
2
ab
;
cd
ab
;
cd
Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính
toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa và
kiến thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình
bày hơn. Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức :
2
2
a c
ac
a c
bd và hướng cho các em trình bày
b d
Nếu : b d
lời giải của bài toán phần c.
Giải :
a c
a b
c d (Hoán vị trung tỷ)
Từ : b d
a 2 b 2 ab a 2 c 2 2ab a 2 2ab b 2
2 2 2 2
d
2cd c 2 2cd d 2
c d cd b
a b
Hay
c d
2
2
ab
cd
Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được
lời giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để
chứng minh tỷ lệ thức.
Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)
a2 b2
a
a b
2
2
c
Cho b c . Hãy chứng minh b c
Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao
hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để
có hướng giải phù hợp.
* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi
vế phải ta có lời giải sau :
a b
b
c b2 = ac . Thay vào vế trái ta có :
Từ
a 2 b 2 a 2 ac a(a c) a
b 2 c 2 ac c 2 c(a c) c (Đpcm)
18
* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta
có lời giải sau :
a b
Vì cần có a ; b nên ta nhân từng vế của b c với chính bản thân nó ta có :
2
mà
2
a b
a a b b a 2 b2 a 2 b2
2 2 2
b c
b b c c b
c
b c 2 (1)
a b
a2 a2 a
2
b ac 2
b c
b
ac c (2)
a2 b2 a
2
2
b
c
c (Đpcm)
Từ (1) và (2)
* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :
a c
Cho tỷ lệ thức : b d hãy chứng minh :
2
2
2a 3b 2c 3d
a b
a b
a.
b.
2a 3b 2c 3d
c d 2 c d 2
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2016 – 2017 :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
TỔNG
0 - 4 điểm
5 - 7 điểm
8 - 10 điểm
SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
34
16
47,1
14
41,2
4
11,7
* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2017 – 2018 :
Đối tượng 1
Đối tượng 2
Đối tượng 3
TỔNG
0 - 4 điểm
5 - 7 điểm
8 - 10 điểm
SỐ
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
30
11
36,7
14
46,7
5
16,6
Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn
toán 7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc
lập suy nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó
chính là công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là
công cụ đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại
lượng tỷ lệ thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.
DẠNG 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch :
Bài toán 1 :
19
1
Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 7 số
1
2
gạo đó, xuất ở kho B đi 9 số gạo đó, xuất ở kho C đi 7 số gạo đó. Khi đó số
gạo ở 3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu. Biết rằng kho B nhiều
hơn kho A là 20 tạ.
Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kĩ đề bài , tóm tắt, phân
tích kĩ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau :
Giải :
Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x,y,z (tạ) gạo (x,y,z > 0)
1
8
Số gạo lúc sau ở kho A là : x + 7 x = 7 x.
1
8
Số gạo lúc sau ở kho B là : y - 9 y = 9 y
2
5
Số gạo lúc sau ở kho C là : z - 7 z = 7 z.
8
8
5
Theo bài ra ta có : 7 x = 9 y = 7 z (1) và y – x = 20
Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8;5) = 40 ta có :
y x 20
x
y
z
2
35 45 56 45 35 10
x = 35 . 2 = 70 (tạ).
y = 45 . 2 = 90 (tạ).
z = 56 . 2 = 112 (tạ)
Vậy số gạo lúc đầu ở ba kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.
Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài
toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số
liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.
Chẳng hạn :
Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :
1. Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ
2. Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ.
3. Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ.
Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số .
DẠNG 4 : Chuyển động :
Bài toán 1 :
20
- Xem thêm -
.DOCX 
30 
1 
102 
