Tài liệu Skkn toán 7 lũy thừa và một số dạng toán thường gặp

THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: 6/9/2018 3. Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Không 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm: Giáo viên cho học sinh làm bài tập trong sách giáo khoa nhưng chưa có hệ thống các bài tập sắp xếp khoa học theo mức độ nhận thức nên các em chỉ biết giải và hiểu được những bài toán đơn lẻ, làm bài nào biết bài đó, do đó các em chưa hình dung được đây là dạng toán gì và phương pháp giải như thế nào. Muốn giải được ta cần huy động đến kiến thức nào. 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Trong chương trình toán 7 phần lũy thừa được dạy trong ba tiết và cũng nhiều công thức, phần bài tập cũng chưa phân dạng rõ nên để nhớ hết công thức và áp dụng làm bài tập về lũy thừa tốt đòi hỏi các em phải có tư duy tốt. Mặt khác do nhiều em ở lớp 6 cũng chưa nắm vững kiến thức về lũy thừa. cho lên khi học lớp 7 mở rộng đến số hữu tỉ các em càng cảm thấy khó hiểu. Khi gặp bài toán cũng không biết giải và chưa biết vận dụng công thức thế nào để làm. Chuyên đề lũy thừa rất rộng và là một trong những kiến thức thức trọng tâm của chương I trong sách giáo khoa toán 7. Để giúp giáo viên có hệ thống bài tập cho học sinh luyện tập được nhiều hơn. Học sinh dễ hiểu hơn và biết được có thể áp dụng kiến thức về lũy thừa để giải các dạng toán gì trong đại số và số học liên quan đến lũy thừa. 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến: Sau khi tìm hiểu và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng sáng kiến “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” giúp học sinh hình thành kĩ năng giải các dạng bài tập về lũy thừa tốt hơn và phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức và kích thích khả năng tư duy sáng tạo của các em. 7. Nội dung: 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến: Muốn học sinh làm được bài toán giáo viên cho học sinh học và ôn tập các công thức về lũy thừa có hệ thống, giúp học sinh nghe, hiểu biết suy luận để ghi nhớ được lâu hơn. Các công thức khó nên giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh. Trang 1 Giáo viên phân rõ các dạng toán và mỗi dạng ghi rõ phương pháp giải, kiến thức vận dụng rõ ràng. Có hệ thống bài tập sắp xếp khoa học theo các độ nhận thức của học sinh từ đơn giản đến phức tạp, vận dụng thấp đến vận dụng cao. Sau mỗi dạng toán có thêm bài tập cho học sinh tự luyện giúp học sinh hình thành kĩ năng giải bài tập toán được tốt hơn. * Kết quả của sáng kiến (Số liệu cụ thể): * Kết quả khảo sát trước khi thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm. Giỏi Khá TB Yếu - Kém Lớp Sĩ số SL % S L % S L % S L % 7A6 41 2 4,88 14 34,15 18 43,9 7 17,07 7A2 45 20 44,4 18 40 7 15,5 0 0 HSG 15 3 20 12 80 0 0 * Kết quả khảo sát sau khi thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm. Giỏi Khá TB Yếu Lớp Sĩ số SL % S L % S L % S L % 7A6 41 5 12,2 18 43,9 14 34,15 4 9,75 7A2 45 30 66,6 15 33,4 0 0 0 0 HSG 15 9 66,66 6 33,34 0 0 0 0 Qua so sánh đối chứng kết quả tôi thấy tỉ lệ điểm: Khá, Giỏi tăng, điểm Yếu giảm cụ thể là: - Đối với lớp 7A6: Giỏi tăng 7,31%, Khá tăng 9, 76% , Yếu giảm 7, 31%. - Đối với lớp 7A2: Giỏi tăng 22,2%, Khá giảm 6,6%, Trung bình giảm 15,5%. - Đối với HSG: Giỏi tăng 40%. * Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Số lượng học sinh khá giỏi tăng; học sinh yếu giảm 7.2. Thuyết minh về phạm vi áp dụng sáng kiến: Trang 2 - Sáng kiến đã được áp dụng trong giờ dạy chính khóa cũng như trong các tiết học hai buổi môn toán tại 2 lớp 7A2, 7A6 năm học 2018 – 2019. - Áp dụng để dạy đội tuyển học sinh giỏi toán 7 về chuyên đề lũy thừa. - Các cấp quản lý có thể lựa chọn, phát triển sáng kiến làm chuyên đề sinh hoạt chuyên môn để giáo viên trao đổi, học hỏi để nâng cao tay nghề. 7.3. Thuyết minh về lợi ích kinh tế, xã hội của sáng kiến: Vận dụng sáng kiến: “ Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” tôi thu được một số kết quả như sau: - Học sinh đại trà các em đã nắm vững các công thức và vận dụng làm các bài toán thực hiện phép tính , tìm số chưa biết ở dạng cơ số và số mũ được tốt hơn. - Học sinh giỏi các em thấy được toán lũy thừa rất đa dạng, có rất nhiều dạng bài tập về lũy thừa và áp dụng trong đại số và số học. - Sáng kiến giúp học sinh phát triển tư duy, sáng tạo trong việc giải toán. Giúp các em thấy niềm vui khi thực hành giải toán. *Cam kết: Tôi cam đoan những điều khai trên đây là đúng sự thật và không sao chép hoặc vi phạm bản quyền. Xác nhận của cơ quan Tác giả sáng kiến (Chữ ký, dấu) Đặng Đức Quý Trang 3 MỤC LỤC Tiêu đề STT 1. Mục lục 2. Trang 4 PHẦN I. MỞ ĐẦU 6 3. 1. Mục đích của sáng kiến. 6 4. 2. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến 6 5. 3. Đóng góp của sáng kiến 7 6. 7. PHẦN II. NỘI DUNG Chương I. Cơ sở lí luận và thực trạng vấn đề 8. I. Cơ sở lí luận 9. II. Thực trạng vấn đề 10. 8 8 8 8-9 Chương II. Những giải pháp đã được áp dụng 10 11. I. Cơ sở lí thuyết 10 12. II. Các dạng bài tập 11 - 29 13. III. Một số dạng toán khác 30 - 33 14. Chương III: Kiểm chứng các giải pháp đã triển khai của sáng kiến 34 15. PHẦN III. KẾT LUẬN 35 16. 1. Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập đến của SK 35 17. 2. Hiệu quả thiết thực của SK 35 18. 3. Kiến nghị 36 19. 20. PHẦN IV. PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo 37 37 Trang 4 Phần I: MỞ ĐẦU 1. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN - Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và việc giải các bài tập liên quan đến lũy thừa nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết bài tập có liên quan đến lũy thừa. - Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm các bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp căn bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. - Thông qua việc giải các bài toán về lũy thừa giúp học sinh thấy mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về lũy thừa, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. 2. TÍNH MỚI VÀ ƯU ĐIỂM NỔI BẬT CỦA SÁNG KIẾN Từ thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh nắm vững “Định nghĩa và các tính chất của lũy thừa”, vận dụng linh hoạt trong giải toán giáo viên cần phải phân dạng cụ thể, phân tích bài toán và có phương pháp giải hợp lí đối với từng dạng toán. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể. + Việc dạy học“Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp" trong trường THCS nếu làm tốt các bước trên sẽ giúp học sinh định hướng được kiến thức cần sử dụng, nâng cao được kĩ năng làm bài cẩn thận, chính xác. + Các bài so sánh các biểu thức chứa lũy thừa hay tìm x, hay chứng minh chia hết dành cho học sinh khá giỏi nên chỉ gợi ý các em về làm và giáo viên kiểm tra vở bài tập. + Đề tài đề cập đến một nội số dung quan trọng đó là các bài toán nâng cao về lũy thừa trong đại số và số học. + Các giải pháp đề tài đưa ra đã được trải nghiệm qua thực tế và được điều chỉnh phù hợp theo đối tượng học sinh nên có tính hợp lí, dễ dàng thực hiện. 3. ĐÓNG GÓP CỦA SÁNG KIẾN ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY VÀ HỌC Áp dụng một số kinh nghiệm khi giảng dạy sáng kiến "Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp" đã góp phần nâng cao chất lượng môn toán 7. Đa số học sinh biết vận dụng để thực hiện phép tính, tìm x liên quan đến cơ số và số mũ, so sánh hai lũy thừa. Học sinh làm bài tốt hơn, ít nhầm lẫn dạng Trang 5 toán. Cá biệt vẫn còn học sinh còn nhầm lẫn khi tìm x liên quan đến cơ số và số mũ. Thành quả bước đầu áp dụng “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” được tổng kết từ lớp 7A2 và 7A6, đội tuyển toán 7 trong nửa đầu học kì I năm học 2018 - 2019 tại trường THCS Tiền An. Kinh nghiệm này được tập thể giáo viên nhất là các giáo viên dạy cùng khối áp dụng giảng dạy để nâng cao chất lượng học đại trà trong toàn khối và học sinh giỏi. PHẦN II. NỘI DUNG Trang 6 Chương I: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾN TẬP TRUNG GIẢI QUYẾT I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháp học tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả cao hơn. Hệ thống bài tập về lũy thừa vai trò quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic. Đó cũng là những kỹ năng cần thiết của học sinh khi còn ngồi trên ghế nhà trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến dạy học là phát huy hết tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 1. Thực trạng Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “lũy thừa ” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao kỹ năng giải toán “lũy thừa” thì các em phải nắm được các dạng toán, phương pháp gỉải của dạng toán, những đơn vị kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từng dạng toán. Có thể nói rằng dạng toán “lũy thừa” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này. Hiện tại, học sinh lớp 7A2 và 7A6 tôi đang dạy năm nay, đặc biệt là lớp 7A6 còn yếu và sợ đối với dạng toán lũy thừa. Đối với các em trong đội tuyển học sinh giỏi các em cũng chưa được trang bị hệ thống bài tập về lũy thừa nên khi gặp các bài toán nâng cao các em chưa biết phân tích bài toán để tìm ra phương pháp giải phù hợp. Vì vậy muốn học sinh tiếp thu bài tốt và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về lũy thừa và tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” giúp cho việc học tập của các em đạt kết qua cao hơn. Là tài liệu để tôi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi đạt kết quả học tập cao hơn. Trang 7 2. Giải quyết thực trạng trên Với sáng kiến “Lũy thừa và một số dạng toán thường gặp” tôi hy vọng các em được củng cố và khắc sâu kiến thức, nắm vững chắc phương pháp giải để các em không còn cảm thấy lúng túng và sợ khi làm các bài tập về toán lũy thừa. Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em có thể dễ dàng giải được các bài toán về lũy thừa và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào các tiết luyện tập. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều. CHƯƠNG II: NHỮNG GIẢI PHÁP ĐÃ ĐƯỢC ÁP DỤNG I. Cơ sở lý thuyết: Trang 8 1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên: x n x.x.........   x n ts ( x  , n  , n  1) x n đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x ; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ. n an a a x    n b b Với khi đó  b  1 Quy ước : x x,  a, b  , b 0  x 1  x 0  . 2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số x m .x n x m  n , x m : x n x m  n  x 0, m n  xm n x m.n 3. Lũy thừa của lũy thừa:   4. Lũy thừa của một tích:  x. y  n x n . y n n  x xn   y 0   y n y 5. Lũy thừa của một thương:   Kiến thức bổ sung * Với mọi x, y , z  : x2  0 ; x  y  x  z  y  z . * Với x  , n   :    x 2n  x2 n   x 2 n 1   x 2 n1 * Với a, b  , m, n   * a  b  0  an  bn a  b  a 2 n 1  b 2 n  1 0  a  1 , m  n  0  a m  a n a  1 , m  n  0  a m  a n . II. Các dạng bài tập Trang 9 Dạng 1. Thực hiện phép tính Ví dụ 1. Tính.  2   a)  3    1   b)  3  3 c)   0,123 0  3 1  d)  4  4 2 Hướng dẫn: 3 8  2    27 a)  3  c)   0,123 0 1 2 2 49  3  7   1     16  4  d)  4  4 1   1    81 b)  3  Ví dụ 2. Thực hiện phép tính 1   a)  2  5  1 .   4 2  5   b)  2  3  4 .   5 3 5  9   27    :  5  20     c) 5 2  5   35    :   4 24     d) Hướng dẫn: a)  1    2 c) 5 2  1  1 .     4  2  5   b)  2  3 5 4  1  1 .     2  2 3 5 9 5 5 5  9   27   9.  20     4       :   5  20 5.27        3  3 2  4   5.4  3 .    2 8  5   2.5  Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức : A   310 .155 B 253.( 9)7 8111.317 2710.915 0  1  2 1 C 2  3.   2 2.4     2  :  .8 2  9  3 Hướng dẫn. 10  3 .155  310.35.55 A  253.( 9)7 56.314 2 2  5   35   5.24   6   :         4.35  7 d)  4   24  3  . 5 Trang 10 2 2 11 34  .317  81 .3 344.317 361 B  10 15   30 30  60 3. 3 10 2 15 27 .9  3  . 3  3 .3 3 11 17 0  1  2 1 C 2  3.   2 2.4     2  :  .8 2  9  1  1 8  3.1  .4   4 :  .8 4  2 10  64 3 74. Các bài toán tự luyện: Bài 1. Thực hiện phép tính : 3 4 9 4 a)  :  4 8     3 5 16 5 . 4 9     d)  7 5 21 5 b) : 8 16 1 2012 1 2012 c) : 9 18    e)  1 4 9 6 .  3 2      31 3  32 4 . 8 31    g)  Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: a) d) 96.57 457 (  5)60 .305 155.561 15  22.23  b)   2  4 .16  e) 10  26  : 2   16    (  3)10 .155 253.(  9)7 c) g)  Dạng 2. Tìm số chưa biết 1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa Phương pháp 1. Đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ  Chú ý: Với x, y  , n   . x 2 n 1  y 2 n 1  x  y  x y x2n  y 2n    x  y. Ví dụ 1. Tìm x biết Trang 11  217.  20  14 1255.247 46.95  69.120 84.312  611 2 3 9   2x    2  16 b)  a) x3 = – 8 Lời giải. a) x3 = – 8 2 3 9 9  3  b)  2 x       2 16 16    2 mà x3 = (– 2 )3  x = – 2.   2x     2x   Vậy x    2 . 3 3  2 4  3 3  2 4 9  2 x   4   2x 3  4 2 9  x   8   x 3 . 8  9 3 x   ; . 8 8 Vậy Phương pháp 2. + Áp dụng a.b  a.c  a. b  c  .  a 0 a.b 0    b 0. + Áp dụng 5 2 Ví dụ 1. Tìm số hữu tỉ x biết: x  x Lời giải :  x 2 0 x  x  x  x  0  x . x  1  0   3  x  1  0  5 2 5 2 2 3  x 0  x 1.  Vậy x   0;1 . 20 10  * Ví dụ 2. Tìm số hữu tỉ y biết  2 y  3   2 y  3 20 10 Lời giải. Đặt 2 y  3 x . Khi đó (*) trở thành : x  x . Giải tương tự bài ở trên ta suy ra [ x 10=0 [ [ x 10−1=0  [x=0 [ 10 [x =1  x 0  x  1    x 1. 3 2 y  3  0  2y 3  y  . 2  Với x 0 ta có  Với x  1 ta có 2 y  3  1 2y  4  y 2.  Với x  1 ta có 2 y  3   1  2 y  2  y  1. Trang 12 3  y   ;2;1 2 . Vậy 2 Phương pháp 3. Với mọi x  ta có x 0 Ví dụ 1. Tìm x và y biết: 2 1  a) x   y   0 2  2 b)  3 x  5  100   2 y  1 2 00 0 Lời giải. 2 1  a) x   y   0 2 2  mà x 0 và 2  Vậy  x, y    0;  2 1   y   0 2  với mọi y . 1   . 2  b) Ta có  3x  5  2 y  1 100 0  x   200 0  y  . 3x  5  Mà  100   2 y  1  3 x  5 0  x  0 nên suy ra 5 3  2y +1 = 0  y  Vậy 200 1 . 2  5 1  ;  3 2  .    x, y    2 2 Ví dụ 2. Tìm các số nguyên x và y sao cho (x  2)  2(y  3)  4 . Lời giải : (x  2) 2 0 ∀ 2 và 2(y  3) 0 ∀ x y ¿ ¿  (1).  (2). 2 2 Từ (1) và (2) ta thấy để (x  2)  2(y  3)  4 thì chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau: +) Trường hợp 1: (x – 2)2 = 0 và +) Trường hợp 2:  x 2 (x – 2)2 = 0 (y + 3)2 = 0  y –3. và (y + 3)2 = 1 Trang 13  y  2  =>  y  4.  x  2 +) Trường hợp 3: (x – 2)2 = 1 và (y + 3)2 = 0  x  2 1    x  2  1 y –3.  x 3    x 1 +) Trường hợp 4: (x – 2)2 = 1 và (y + 3)2 = 1  x 3    x 1  y  2    y  4. Vậy, các cặp số  x, y  thỏa mãn là  2;  3 ;  2;  2  ;  2;  4  ;  3;  3  1;  3 ;  3;  2  ;  3;  4  ;  1;  2  ;  1;  4  . Ví dụ 3. Tìm các số hữu tỉ x, y biết 8 a)  x  1,5   2,7  y  10 2 0 b)  x  3,2    2,5  y  10 0 Hướng dẫn: 8 a)  x  1,5    2,7  y  10 0. 8 10 x  1,5  0 2,7  y  0   Vì với mọi x và với mọi y nên  x  1,5 8   2,7  y 10  x  1,5  8 0  x  1,5     10  2,7  y  0  y 2,7. 0 khi Vậy, cặp số  x, y  là   1,5;2,7  . 2 b)  x  3,2    2,5  y  Vì x x 2 3,2  0 2 10 0 với mọi x và  2,5  y  3,2    2,5  y  10 10 0 với mọi y nên  x  3,2  2 0    10 0 khi  2,5  y  0 Vậy, cặp số  x, y  là  3, 2;  2,5 . Ví dụ 4. Tìm số nguyên n lớn nhất thỏa mãn a) n100  5300 200  5300 . b) n Trang 14  x 3,2   y  2,5. Hướng dẫn. 100 300 a) n  5 5300 = (53)100 = 125100 100 300 100 100 Vì n  5 nên n  125  n  125 . Mặt khác n là số nguyên lớn nhất nên n  124. b) n 200  5300  n2   100  53   100  n2   100  125100  n 2  125. Vì n là số nguyên lớn nhất nên n  11 . Các bài toán tự luyện: Bài 1. Tìm x   biết: 2 1  a)  x   0 x− 1 2 2  2 ( ) b) ( x  2) 2 1 c)(2 x  1)3 8 2 1 2 d)  2 x  1   9   x+ 2 4 2  ( ) 4 g )  x – 1  x  1 6 e)  2 x – 1   2 x  1 8 3 Bài 2. Tìm các bộ số  x, y , z  biết : 2 a)  x  2   2  y  3 4   5 z  6  2 0. 2 6 b)  x  7    3 y  2    4 z  5  0. 1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp 1 : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số m n  Chú ý: Với x 0 ; x 1 ta có x x  m n . Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên n , biết : 16 n a) 2 2   3 n b) 81 27 n n c) 8 : 2 4 Lời giải. 16 n a) 2 2   3 n b) 81 27 Trang 15 n n c) 8 : 2 4 2n 16 : 2   3 n 81.  27   8 : 2  n 4 2n 8   3 n   3 4 .  3 3 2n 23   3 n   3 7 4n 4 n=1 Vậy n 1. n 3 Vậy n 3. n 7 Vậy n 7. Ví dụ 2. Tìm n   biết: a) 2008n  1 c) 3n  3n 1  3n  2  351 b) 5n  5n  2  650 d ) 3 1.3n  5.3n  1  486 Hướng dẫn. a / 2008n  1 c ) 3n  3n 1  3n  2  351 2008n 20080 n 0 3n . 1  3  32 351   3n 33 b / 5n  5n  2  650 n n 3 n 2 5  5 .5  650 d ) 3 1.3n  5.3n  1  486 5n. 1  25   650 3n  1. 1  5  486  5n  650 : 26 3n  1 34 5n  25  52 n  1 4  n  2 n 5 Phương pháp 2 : Với x   ; m, n   áp dụng tính chất 1  xn  xm  n  m Ví dụ 1. Tìm các số tự nhiên n sao cho : a) 3  3n 234 b / 8.16  2 n  4 Hướng dẫn : a) 3  3n 234  31  3n 35  n  2;3;4;5 b / 8.16  2n  4  23.24  2 n  22  27  2 n  22  n  3;4;5 . Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n biết rằng : 415. 915  2n. 3n  1816. 216 Hướng dẫn : Trang 16 415. 915  2n. 3n  1816. 216  4. 9 15   2.3 n   18.2 16 3615  6n  3616 630  6n  632  n  31. Các bài toán tự luyện: Bài 1. Tìm các số tự nhiên n sao cho a ) 9 . 27 n  35 b) 23 : 4 . 2n  4 c )3 2. 34. 3n  37 d ) 2  1. 2 n  4. 2n  9. 25   Bài 2. Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5  5n .5  25 b) n54   c) 243 3n 9.27 2 n d ) 2 n  3 .2n 144 Bài 3. Tìm số nguyên x, biết: x  1 a)   1024  2 a(x +3)( x− 4)=1 x  2   x  3  b) 3 1 c) 9 x 1 – 5.32 x  324 d ) 2 x  2 x  3  144 Bài 4. Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn : a) 2 x 1 y .5 20 x b) 2 x  1 y 1 .3 12 x y x y 1 e) 2 x  2 y 256 y x 8  x, y    d ) 3 9 và 8  2 x y c ) 15 : 3 75  2x 7  g)    5  2016 y  3 y  0,2    3   2018  Dạng 3 : So sánh hai lũy thừa Phương pháp 1: Biến đổi về hai lũy thừa có cùng số mũ, cùng cơ số  Chú ý : với a, b, m , n   ta có:  a > b  an > bn  n   *  m > n  am > an (a >1)  m > n  am < an (0 < a <1).  Chú ý x m.n  x m n    xn  m Trang 17 0 Ví dụ 1. So sánh a )23 và 32 Hướng dẫn b) 36 và 272 3 2 3 2 a) Ta có 2 8, 3 9 do 8 < 9  2 <3 . b) 27 2  33   2 36  36 27 2. Ví dụ 2. So sánh a)2285 và 3190 b) 3202 và 2303 c) 3203 và 2302. Hướng dẫn. a) 2285 và 3190 Ta có 2285 = (23)95 = 895 và 3190 = (32)95 = 995 285 190 Vì 8 < 9 nên 895 < 995 hay 2  3 . b) 3202 và 2303 Ta có: 3202  32   101  9101 và 2303  23   101  8101. Vì 9 > 8 nên 9101 > 8101 hay 3202 > 2303 c) 3203 và 2302. Ta có 3203 > 3202 ; 2302 < 2303 Mà theo câu a) 3202 > 2303 hay 3203 > 3202 > 2303 > 2302 . Vậy 3203 > 2302. Ví dụ 3. So sánh: a) 2300 và 3200 b) 200710 và 200810 c) (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Hướng dẫn. a) Ta có: 2300= (23)100=8100 3200=(32)100=9100 Vì 8100 < 9100  2300< 3200 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 c) Ta có : (2008-2007)2009 = 12009 = 1 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Trang 18 Phương pháp 2: Dùng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: Nếu a  b thì a.c  b.c với c  0 . Ví dụ 1. So sánh a) 85 và 3.47 b) 202303 và 303202 c) 992 và 999910 Hướng dẫn : a) Ta có 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 b) 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 c) Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 Phương pháp 3: Dùng lũy thừa trung gian  Chú ý: Ta thêm bớt ở cơ số để đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số. Ta thêm bớt ở số mũ để tìm được ƯCLN rồi đưa về 2 lũy thừa cùng số mũ. Ví dụ 1. So sánh a) 3111 và 1714 b) 10750 và 7375 c) 291 và 535 Hướng dẫn a) Ta có 3111 < 3211 mà 3211 = (25)11 = 255 suy ra 3111 < 255 714 > 1614 mà 1614 = (24)14 = 256 suy ra 1711 > 256 vì 256 > 255 nên ta suy ra 3111 < 1714 b) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (1) (2) Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375. Vậy 10750 < 7375 c) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535. Vậy 291 > 535 27 63 28 Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng 5  2  5 . Trang 19 Lời giải. Ta có 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 63 9 7 Lại có 2 = (2 ) = 512 (1) 7 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) 27 63 28 27 63 28 Từ (1) và (2)  5  2  5 . Vậy 5  2  5 .  Dạng 4 : So sánh liên quan đến biểu thức có chứa lũy thừa A Ví dụ 1. Cho 1 2 1  2 2 3  1 4 2 1  ...  n 2 với n 2 và 1 1 1 1 B    ...  1.2 2.3 3.4  n  1 n a) Tính B. b) So sánh A với B. c) So sánh A với 1. Hướng dẫn a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B    ...  1     ...   1  1.2 2.3 3.4 2 2 3 n 1 n n  n  1 n 1  2 b) Ta có: n A 1  22 Do đó Vậy A  B. B 1  c) Ta có 1  n  1 n 1  32 1 42 với mọi n 2 .  ...  1 n2  1 1 1 1    ...  B. 1.2 2.3 3.4  n  1 n 1 1 n , mà A  B suy ra A < 1. Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng. a) A  1 2 2 1  1 2 3 1  1 2 4 1  ..  1 2  1 2  1. 2007 2008 1 1 1 1 1 b) B  2  2  2  2  2  2  2  . 2 2 4 6 8 10 12 14  Lưu ý 1 1 1 a  b    n  N *  a  c  b  d.  n.(n  1) n n  1 c  d Trang 20