Tài liệu Skkn toán 7 hướng dẫn hs lớp 7 giải bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục 3.Tác giả: Nguyễn Thị Mai; Giới tính: Nữ Ngày, tháng , năm sinh: 19/06/1996 Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Lê Danh Phương Điện thoại: 0975389452 Email: [email protected] Tỷ lệ áp dụng sáng kiến: 100% 4. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Lê Danh Phương – Thị trấn Hưng Hà - Thái Bình Địa chỉ: Khu Nhân Cầu 3 - Thị trấn Hưng Hà - Thái BìnhThị trấn Hưng Hà tỉnh Thái Bình 5. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2018 - 2019 1 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 II. BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy chuyên đề bồi giỏi môn Toán 7 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: 3.1.1 Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới Trong quá trình công tác, làm nhiệm vụ giảng dạy đồng thời bồi dưỡng học sinh khá và giỏi môn toán 7, cùng với việc tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi nhận thấy :  Chương trình SGK: Chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp giải các bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu. Trong khi đó giải toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán rất đa dạng và phong phú.  Thực trạng về học sinh:  Về hứng thú khi học dạng bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Học sinh được làm quen từ sớm với dạng toán này và hiệu quả học tập của các em chưa cao do học sinh chưa nắm được hết các phương pháp, kỹ năng giải một số dạng toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.  Về kỹ năng giải dạng bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: - Học sinh tiếp thu bài máy móc, chưa linh hoạt, chỉ làm theo khuôn mẫu chứ chưa tự suy nghĩ để tự tìm cách giải. - Học sinh chưa được rèn luyện giải nhiều về dạng bài nên khả năng nhận dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải cho từng dạng bài tập chưa có. Dẫn đến học sinh lúng túng khi gặp các bài toán khó cần suy luận trong dạng này. Ngoài ra những học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong việc tìm tài liệu nghiên cứu vì tài liệu còn tản mạn, rải rác và còn mất nhiều thời gian. Xuất phát từ tình hình thực tế cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tôi đã làm sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất 2 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 của dãy tỉ số bằng nhau” với mong muốn học sinh phát hiện và sử dụng kiến thức đúng cách, có phương pháp giải đúng đắn và phát triển tư duy, sáng tạo. Trong những năm học gần đây tôi đã triển khai dạng bài tập này trong các tiết luyện tập, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi kết quả thu được rất khả quan. Qua bài kiểm tra khảo sát lớp 7A7 trong những năm gần đây như sau: Kết quả kiểm tra đợt 1( khi chưa áp dụng sáng kiến ): Năm học 2017 – 2018 Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB SL % SL % SL % 7A7 34 5 14,7 18 52,94 10 29,41 Kết quả kiểm tra đợt 2( đã áp dụng sáng kiến ): Năm 2018 – 2019 Điểm yếu SL % 1 2,95 Lớp Sĩ số Điểm yếu SL % 0 0 biết phân tích Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB SL % SL % SL % 7A7 34 10 29,41% 21 61,76 03 8,83 Kết quả kiểm tra của lớp 7A7 ngày càng cao hơn là do học sinh đã đề bài và có phương pháp giải bài tập thích hợp. 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: 3.2.1. Mục đích của giải pháp Tôi nghiên cứu đề tài với mục đích là:  Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sinh. Với mục đích hệ thống, xây dựng cô đọng những phương pháp giải, hướng phát triển các bài toán, vận dụng kết quả của bài toán này vào giải quyết một số bài toán khác, nhằm đưa ra một tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm; giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi của giáo viên được tốt hơn. Tôi mong muốn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 các đồng nghiệp cùng trao đổi, cùng xây dựng để sáng kiến được hoàn thiện hơn, khai thác có hiệu quả hơn tác dụng của đề tài.  Giúp các em hiểu rõ về chuyên đề tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và phương pháp giải các dạng bài tập về chuyên đề đó. - Tôi mong muốn phát triển tư duy logic, rèn kỹ năng giải toán cho học sinh, rèn tính linh hoạt, sáng tạo, khả năng liên tưởng và tạo hứng thú học tập tốt bộ môn. - Làm cho học sinh yêu thích môn Toán hơn, mong muốn được tìm hiểu nghiên cứu sự thú vị và phong phú của môn Toán. - Phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực, tư duy tự học của học sinh. 3 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020  Việc nghiên cứu đề tài này cho tôi một cơ hội để tự học, rút ra cho mình những kinh nghiệm, những hiểu biết mới từ đó nâng cao khả năng chuyên môn, nghiệp vụ của bản thân. 3.2.2. Nội dung giải pháp 3.2.2.1 Tính mới của sáng kiến  Phương pháp này phù hợp với mức độ tiếp thu của học sinh khá và giỏi. Học sinh được kỹ năng vận dụng kiến thức, kích thích sự sáng tạo, tìm lời giải hay.  Đề tài này là tài liệu tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi.  Việc vận dụng của đề tài không những giới hạn ở lớp 7 nói riêng cấp học THCS nói chung mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn. 3.2.2.2. Cách giải pháp thực hiện Xuất phát từ những vấn đề đã nêu ở trên tôi triển khai vấn đề này như sau: 1. Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến các dạng toán. 2. Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Dạng 1: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức. Dạng 2: Chia tỉ lệ Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức 3.2.2.3. Cách giải pháp thực hiện cụ thể 1. Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến các dạng toán tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a c a +c a - c a c = (b ¹ d,b ¹ - d). * Từ = suy ra = = b d b +d b- d b d a c e * Từ dãy tỉ số bằng nhau = = , ta suy ra b d f a c e a + c +e a - c +e = = = = ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). b d f b +d + f b- d + f a a a a * Nếu có n tỉ số bằng nhau ( n ³ 2 ): 1 = 2 = 3 = .... = n thì b1 b2 b3 bn a1 a1 + a2 + a3 + .... + an a1 - a2 + a3 + .... - an = = = .... b1 b1 + b2 + b3 + .... + bn b1 - b2 + b3 + .... - bn 4 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 (Nếu đặt dấu “-“ trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “-“ trước số hạng dưới của tỉ số đó). * Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữu kiện của bài toán. 2. Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức. * Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: a c a c a  c  - Tính chất: Ta luôn có   b d bd b d a c e a c e ma nc  pe  - Tính chất mở rộng:    b d f b d  f mb nd  pf (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Ví dụ 1: Tìm x, y biết: x y  và x  y 20 2 3 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x  y x  y 20     4 2 3 23 5 5 ìï x ïï = 4 Þ x = 2.4 Þ x = 8 Þ ïí 2 ïï y ïï = 4 Þ y = 3.4 Þ y = 12 î3 Vậy Ví dụ 2: Tìm x, y biết: x 8 ; y 12 . x :   3  y : 5 và y  x 24 Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau. Giải: Ta có: x :   3  y : 5  x y  3 5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y y  x 24    3  3 5 5 3 8 5 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ìï x ïï = 3 Þ x = 3.( - 3) Þ x = - 9 ï 3 Þ í ïï y = 3 Þ y = 3.5 Þ y = 15 ïï 5 î Vậy x  9 ; y 15. Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết: x y z   và x  y  z 10 8 12 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x  y  z 10     2 8 12 15 8  12  15 5 ìï x ïï = 2 ìï x = 8.2 = 16 ïï 8 ïï ïï y Þ í = 2 Þ ïí y = 12.2 = 24 ïï 12 ïï ïï z ïï z = 15.2 = 30 î =2 ïï 15 ïïî Vậy: x 16 ; y 24 ; z 30 . Nhận xét: Ở ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa được về dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số dạng và cách biến đổi. Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết: x y z   và. 2 x  3 y  z 34 2 3 4 Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y, z trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân cả tử và mẫu của tỉ số x y với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số với 3 rồi áp dụng 2 3 tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z. Giải: Ta có: x y z 2x 3y z      2 3 4 4 9 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 x 3 y z 2 x  3 y  z 34     2 4 9 4 4 9 4 17 6 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ìï x ïï = 2 Þ x = 2.2 Þ x = 4 ïï 2 ïy Þ ïí = 2 Þ y = 3.2 Þ y = 6 ïï 3 ïï z ïï = 2 Þ z = 4.2 Þ z = 8 ïî 4 Vậy x 4; y 6; z 8. x 1 y 2 z 3   Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết: và x  2 y  3 z 14 . 2 3 4 Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4 Giải: x 1 y 2 z 3 x  1 2 y  4 3z  9      Ta có: 2 3 4 2 6 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x  1 2 y  4 3z  9 x  1  2 y  4  3z  9    2 6 12 2  6 12 x  2 y  3z  6 14  6   1 8 8 ìï x - 1 ïï = 1Þ x - 1= 2 Þ x = 3 ïï 2 ï y- 2 Þ ïí = 1Þ y - 2 = 3 Þ y = 5 ïï 3 ïï z - 3 = 1Þ z - 3 = 4 Þ z = 7 ïï ïî 4 Vậy: x 3 ; y 5 ; z 7 Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 6: Tìm x, y biết: 7 x 9 y và 10 x  8 y 68 Ở bài này, ta viết đẳng thức 7 x 9 y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó vận dụng cách làm ở ví dụ 4 Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết: 2 x 3 y 4 z và x  y  z 169 . Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x 3 y 4 z về dạng dãy tỉ số bằng nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1. Cách làm chia các tích cho 12 vì: BCNN  2;3; 4  12 sau đó làm như ví dụ 3 Giải: Từ: 2 x 3 y 4 z  2x 3y 4z x y z      12 12 12 6 4 3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x  y  z 169     13 6 4 3 6  4  3 13 7 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ìï x ïï = 13 Þ x = 6.13 Þ x = 78 ïï 6 ïy Þ ïí = 13 Þ y = 4.13 Þ y = 52 ïï 4 ïï z ïï = 13 Þ z = 3.13 Þ z = 39 ïî 3 Vậy x 78 ; y 52 ; z 39. x y  và x. y 112 Ví dụ 8: Tìm x, y biết: 4 7 Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ x 0 x y rồi nhân hai vế của hai tỉ số  với x. Thay x. y 112 vào rồi tính. 4 7 Giải: x y Vì x. y 112  x 0 Nhân cả hai vế của  với x ta được: 4 7 2 x xy 112   16 4 7 7 x2  16  x 2 4.16  x 2 64  x 8 4 112  y  14 Nếu x  8   8. y 112  y  8 112  y 14 Nếu x 8  8 y 112  y  8 Vậy: x  8 ; y  14 hoặc x 8 ; y 14 Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. x y z Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết: = = và xyz = 810. 2 3 5 Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y.z bằng cách lập luận chứng tỏ x 0 rồi biến đổi dãy tỉ số bằng nhau về dạng 3 æö x y z x ÷ x y z xyz 810 ç = = Þ ç ÷ ÷ = 2 . 3. 5 = 30 = 30 = 27. Sau đó làm tương tự ví dụ 8. 2 3 5 ç è2÷ ø x y y z  ;  và x  2 y  3 z 19 2 3 2 3 x y y z Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số  ;  về một dãy ba tỉ số bằng nhau 2 3 2 3 bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4 Giải: Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết: 8 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 x y x y     x y z x 2 y 3z 2 3 4 6       y z y z 4 6 9 4 12 27     2 3 6 9  Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 2 y 3z x  2 y  3 z 19     1 4 12 27 4  12  27 19  x  4 1  x 4.1 4  y   1  y 6.1  y 6 6 z  9 1  z 9.1  z 9  Vậy x 4 ; y 6 ; z 9 Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết: y +z +1 x +z +2 x +y - 3 1 = = = x y z x +y +z Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: y + z +1 x + z +2 x +y - 3 1 = = = = x y z x +y +z (y + z + 1) + (x + z + 2) + (x + y - 3) x +y +z 2(x + y + z) = = 2 (vì x + y + z ¹ 0). Do đó x + y + z = 0,5. x +y +z Thay kết quả này vào đề bài ta được: 0,5 - x + 1 0,5 - y + 2 0,5 - z - 3 = = =2 x y z 1,5 - x 2,5 - y - 2,5- z = = =2 Tức là x y z 1 5 - 5 Vậy x = ;y = ;z = . 2 6 6 Ví dụ 12: Tìm x, y, z biết: x y x z  ;  (1) và x 3  y 3  z 3  1009 2 3 4 9 9 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 x y x z  ;  về một dãy ba tỉ số bằng 2 3 4 9 nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện x 3 ; y 3 ; z 3 sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z. Giải: x y x y    Ta có: 2 3 4 6 x y z x3 y3 z3       4 6 9 64 216 729 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x3 y3 z3 x3  y 3  z 3  1009      1 64 216 729 64  216  729 1009  x3 64.   1  64  x  4 Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số y 3 216.   1  216  y  6 z 3 729.   1  729  z  9 Vậy: x  4 ; y  6 và z  9 a b c Ví dụ 13: Cho   và a  b  c 0 ; a 2012 . Tính: b, c. b c a Phân tích đề bài: Vì a  b  c 0 ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c. Giải: Vì a  b  c 0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c    1 b c a b c a Mà a 2012  b 2012 b 2012  c 2012 Vậy: a b c 2012 10 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm x, y biết. x y x y  và 2 x  y 34 a)  và x  y 30 b) 6 9 19 21 x y x y c)  và x. y 180 d)  và x 2 . y 2 4 4 5 2 4 x y e)  và x 4 . y 4 16 f) 3x 2 y và x 2  y 2 208 2 4 Bài 2: Tìm x, y, z biết. x y z a)   và x  3 y  4 z 62 4 3 9 x 9 y 7 b)  ;  và x  y  z  15 y 7 z 3 x y z c)   và x. y.z 810 2 3 5 x y z d)   và x. y.z  1680 5 6 10 x y z e)   và x 2  y 2  2 z 2 108 2 3 4 Bài 3: Tìm x, y, z biết. x 7 y 5 a)  ;  và 2 x  5 y  2 z 100 y 20 z 8 x 1 y 2 z 3   b) và 2 x  3 y  z 50 2 3 4 12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z   c) và x  y  z 48 7 9 11 1 2 y 1 4 y 1 6 y   . 18 24 6x Bài 5: Tìm các số t1 , t2 ,....., t9 biết. t 9 t1  1 t2  2 t3  3   ........  9 và t1  t2  .....  t9 90 9 8 7 1 Bài 4: Tìm x biết. Dạng II: Chia tỉ lệ. I – Một số chú ý: 1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c  x : y : z a : b : c ( Hay x y z   ) a b c 1 1 1 2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c  x : y : z  : : ( Hay ax by cz ) a b c II – Bài tập: Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng chúng tỉ lệ với 3; 4. 11 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ với 4. Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b  0  a  b  . Vì hai cạnh hình chữ a b  . 3 4 Chu vi hình chữ nhật là 2  a  b  nên ta có: 2  a  b  28  a  b 14 Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Giải: Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a (dm) và b (dm)  0  a  b  nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có: Theo bài ra ta có: a b  và 2  a  b  28 3 4 Từ 2  a  b  28  a  b 24 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a  b 14    2 3 4 34 7  a 3.2 6 (TMĐK);  b 4.2 8 (TMĐK). Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6 dm và 8 dm. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào.  ,C  . Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: A, B     ,C  tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có A  B  C Vì ba góc A, B 7 5 3  C  1800 Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 nên ta có: A  B Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác, Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau. Giải:  ,C  và Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: A, B   ,C   1800 A1 ; B  1; C  00  A, B 1 Theo bài ra ta có:  A B   C  C  1800 .   và A  B 7 5 3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: A B   A  B  C  1800 C     120 7 5 3 7 5 3 15 0 0 0  A 7.120 840  A1 180  84 96  1800  600 1200  5.120 600  B B 1 12 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020  1800  360 1440  3.120 360  C C 1  :C  960 :1200 :1440 4 : 5 : 6  A1 : B 1 1 Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6 . Ví dụ 3: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ. Phân tích đề bài: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a 5000b 10000c Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a  b  c 16 Giải: Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c ( a,b,c Î N* ) Theo bài ra ta có: 2000a 5000b 10000c và a  b  c 16 a b c Từ: 2000a 5000b 10000c    5 2 1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a  b  c 16     2 5 2 1 5  2 1 8  a 5.2 10 ; b 2.2 4 c 1.2 2 (TMĐK) Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ. Ví dụ 4: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m. Hãy phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển. Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a 2000b 3000c Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a  b  c 1530 . Giải: Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho lần lượt là a, b, c  a, b, c  0  . Theo bài ra ta có: 1500a 2000b 3000c và a  b  c 1530 a b c Từ: 1500a 2000b 3000c    4 3 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a  b  c 1530     170 4 3 2 4 32 9  a 4.170 680 (TMĐK) b 3.170 510 (TMĐK) c 2.170 340 (TMĐK) Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ. 13 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Ví dụ 5: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại. Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: * a, b, c a, b, c  N   Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có: a b  2 3 Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có: b c  . 4 5 Lớp học có 35 em nên ta có: a  b  c 35 Giải: * Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c  a, b, c  N  a b b c  ;  và a  b  c 35 Theo bài ra ta có: 2 3 4 5 a b a b      c 2 3 8 12  a b    b c b c 8 12 15     4 5 12 15  Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a b c 35     1 8 12 15 8  12  15 35  a 8.1 8 ; b 12.1 12 ; c 15.1 15 (TMĐK) Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em. Ví dụ 6: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông. Phân tích đề bài: Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b  a, b  N  * Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: a b  8 15 Áp dụng định lí Py – Ta – Go vào tam giác vuông đó ta được: a 2  b 2 512 Giải: Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b  a, b  N  * a b  và a 2  b 2 512 (Định lí Py – Ta – Go) 8 15 a b a2 b2 2 2 2 2 2 Từ a  b 51   a  b 2601 và   8 15 64 225 Theo bài ra ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 14 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 a2 b2 a 2  b 2 2601    9 64 225 289 289  a 2 64.9 576  a 24 ; b 2 225.9 2025  b 45 (TMĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm. Ví dụ 7: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1 số 7 1 2 số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi số gạo 7 9 của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo. Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c 1 1 8a Số gạo ở kho A sau khi thêm số gạo của kho A là: a  a  . 7 7 7 1 1 8b Số gạo ở kho B sau khi xuất số gạo của kho B là: b  b  . 9 9 9 2 5c 2 Số gạo ở kho C sau khi xuất số gạo của kho C là: c  c  7 7 7 Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho 8a 8b 5c   bằng nhau nên ta có: 7 9 7 Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: b  a 20 Giải: gạo của kho đó, xuất ở kho B đi Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c  a, b, c  0  . 1 8a Số gạo ở kho A sau khi thêm là: a  a  (kg) 7 7 1 8b Số gạo ở kho B sau khi xuất là: b  b  (kg) 9 9 2 5c Số gạo ở kho C sau khi xuất là: c  c  (kg) 7 7 8a 8b 5c   và b  a 20 Theo bài ra ta có: 7 9 7 8a 8b 5c a b c      Từ 7 9 7 35 45 56 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c b a 20     2 35 45 56 45  35 10  a 35.2 70 (TMĐK) b 45.2 90 (TMĐK) c 56.2 112 . (TMĐK) Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg. 15 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Ví dụ 8: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu. Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c  a, b, c  0  Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí 40 20 30 nghiệp đến cầu nên ta có: a : b : c  : : 1,5 3 1 Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có: a  b  c 38 Giải: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c  a, b, c  0  Theo bài ra ta có: 40 20 30 a :b:c  : : và a  b  c 38 1,5 3 1 40 20 30 a b c 8 : 2 : 9    Từ a : b : c  : : 1,5 3 1 8 2 9 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a  b  c 38     2 8 2 9 8  2  9 19  a 8.2 16 ; b 2.2 4 ; c 9.2 18 (TMĐK) Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng bà 18 triệu đồng. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1: 2: 3. Bài 2: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m 2 . Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận 1 diện tích còn lại. Diện 5 tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với 1 1 5 : : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp. 2 4 16 Bài 3: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c , tỉ lệ với 2; 3; 4. Chu vi tam giác ABC bằng 45 cm. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC. Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh mỗi khối. Bài 5: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số đó bằng 10 và tỉ số giữa chữ số 2 hàng chục và chữ số hàng đơn vị là . 3 Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức. I – Một số chú ý 16 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: a c A C Cho = . Để chứng minh tỉ lệ thức ta có thể làm: = b d B D A C Cách 1: Chứng minh tỉ số bằng tỉ số ; hoặc chứng minh AD = BC. B D Cách 2: Xuất phát từ a c  , vận dụng tính chất của tỉ lệ thức để tạo ra được tỉ lệ b d A C = . B D II – Bài tập thức a c  với b, c, d 0 . Và c  d b d a b c d  Chứng minh rằng: b d Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú ý điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức. Có: a c a b a b b a b c d   Cần CM:   Cần CM:   để CM:  b d c d cd d b d Giải: a c a b a b     b d c d c d b a b c d a b     d cd d b a b c d  hay: (đpcm) b d a c Cách 2: Đặt  k ( k ¹ 0 ) thì a = kb,c = kd. Ta có: b d Cách1: Từ a + b kb + b b(k + 1) k + 1 = = = ; a kb kb k c + d kd + d d(k + 1) k + 1 = = = . c kd kd k a b c d  b d a b c d  Ví dụ 2: Cho ( a, b, c, d 0 và a b, c d ). a b c d a c Chứng minh rằng  . b d Vậy 17 Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đề bài: Năm học 2019 – 2020 a b c d a b a  b a b a c        a b c d cd c d c d b d Giải: a b c d a b a  b    a b c d cd c d a b a c     (đpcm) c d b d a c Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức  . với a, b, c, d 0 b d ac a 2  c 2 Chứng minh:  bd b 2  d 2 Từ: Phân tích đề bài: 2 2 a c a c a  c  ac a 2 c 2 ac a 2  c 2   .          b d b d b d  bd b 2 d 2 bd b 2  d 2 Giải: 2 2 a c a c a  c ac a 2 c 2 Từ:   .        b d b d b d bd b 2 d 2 a 2 c2 a2  c2 Mà: 2  2  2 (2) b d b d2 ac a 2  c 2 Từ (1) và (2)  (đpcm)  2 2 bd b  d a c Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức  . với a, b, c, d 0 và c d b d 2 Chứng minh:  a  b 2 c d  (1) ab cd Phân tích đề bài: 2 2 a c a b a b a b  a b ab  a  b       .     b d c d c d c d c d  cd  c  d  2 Giải: Từ: a c a b a b     b d c d c d 18 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 2 2 a b  a c  ab  a  c   .     c d b d  cd  b  d  2 2 Hay  a  b 2 c d  ab (đpcm) cd Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức a c  với a, b, c, d 0 và c  d b d 2014 Chứng minh:  a  b 2014 cd a 2014  b 2014  2014 c  d 2014 Phân tích đề bài: a c a b a b  a b        b d c d cd  cd  2014   a  b 2014 cd 2014 a   c 2014 b   d 2014 2014 a  b  a 2014 b 2014 a 2014  b 2014  2014  2014   2014 2014 c d c  d 2014 c  d   Giải: a c a b a b a Từ:        b d c d c d c 2014 b   d 2014  a b     c d  2014 2014 a 2014 b 2014  a  b   2014  2014  2014 c d cd (1) a 2014 b2014 a 2014  b 2014 Mà: 2014  2014  2014 c d c  d 2014 2014 Từ (1) và (2)  a  b 2014 cd (2) a 2014  b 2014  2014 (đpcm) c  d 2014 a c  với a, b, c 0 c b a a2  c2 Chứng minh rằng:  2 b b d2 Ví dụ 6: Cho Phân tích đề bài: 2 2 a c a c  a  c a a2 c2 a a2  c2   .       2  2   2 c b c b  c  b b c b b c  b2 Giải: 19 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 2 2 a c a c a c Từ:   .     c b c b  c b a a2 c2  .  2  2 (1) b c b 2 2 a c a2  c2 a2  c2 Mà: 2  2  2 (2)  c b c  b2 b2  c 2 a a2  c2 Từ (1) và (2)   2 (đpcm) b b  c2 a c Ví dụ 7: Cho  với a, b, c 0 c b b  a b2  a2 Chứng minh rằng:  2 2 a a c Phân tích đề bài: 2 2 a c a c a c a a2 c2 a a2  c2   .       2  2   2 c b c b  c b b c b b c  b2 b c2  b2 b  a b2  a 2   2 2  2 2 a a c a a c Giải: Áp dụng kết quả của phần a ta có: a c a a2  c2 b b2  c2    2 2  2 2 c b b b c a a c b b2  c2   1 2 2  1 a a c b a b2  c 2 a 2  c 2    2 2 2 2 a a a c a c b  a b2  c 2  a 2  c 2   a a2  c2 b  a b2  a 2   2 2 a a c (đpcm). 5 5 a c  với a, b, c, d 0 và a  b; c  d 0 . b d 3 3 3a  5b 3c  5d  Chứng minh các tỉ lệ thức sau: 3a  5b 3c  5d Ví dụ 8: Cho tỉ lệ thức Phân tích đề bài: 20