Tài liệu Skkn toán 7 hướng dẫn học sinh chứng minh bằng sơ đồ phân tích

UBND THÀNH PHỐ LONG KHÁNH TRƯỜNG THCS BẢO QUANG Mã số: ................................ (Do HĐCNSK ghi) SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7 BẰNG SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH Người thực hiện: NGUYỄN HỮU PHÚC Lĩnh vực nghiên cứu: Toán - Quản lý giáo dục 1 - Phương pháp giáo dục 1 - Phương pháp dạy học bộ môn: ............................. 1 (Ghi rõ tên bộ môn) - Lĩnh vực khác: ....................................................... 1 (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in sáng kiến 1 Mô hình 1 Đĩa CD (DVD) 1 Phim ảnh 1 Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2019 – 2020 UBND THÀNH PHỐ LONG KHÁNH TRƯỜNG THCS BẢO QUANG SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7 BẰNG SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH Người thực hiện: NGUYỄN HỮU PHÚC Lĩnh vực nghiên cứu: Toán - Quản lý giáo dục 1 - Phương pháp giáo dục 1 - Phương pháp dạy học bộ môn: ............................. 1 (Ghi rõ tên bộ môn) - Lĩnh vực khác: ....................................................... 1 (Ghi rõ tên lĩnh vực) Năm học: 2019 – 2020 MỤC LỤC STT Nội dung 1 Trang Phần mở đầu 1 Phần nội dung 2 I.Thực trạng của giải pháp đã biết, đã có 2 II. Nội dung sáng kiến 4 3 Phần kết luận 17 4 Phần tài liệu tham khảo 19 5 Phần phụ lục kèm theo 20 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT 1. THCS viết tắt của cụm từ “Trung học cơ sở” 2. ………………………………………………………………………………... 3. ………………………………………………………………………………... THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7 BẰNG SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7. 3. Tác giả: - Họ và tên: NGUYỄN HỮU PHÚC Nam (nữ): Nam - Trình độ chuyên môn: Đại học Toán - Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Bảo Quang - Điện thoại: Email: [email protected] - Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến (%):100% PHẦN MỞ ĐẦU 1. Bối cảnh của giải pháp Năm học 2019 − 2020 với quyết tâm thực hiện yêu cầu đổi mới nội dung phương pháp dạy và học của thầy và trò. Đảm bảo hướng dẫn và tích cực hóa hoạt động dạy và học, tạo sự chuyển biến thực sự về việc truyền đạt kiến thức và kĩ năng của chương trình học ở bộ môn Toán . Để học tốt bộ môn này đòi hỏi các em không những chăm học mà cần phải biết tư duy sáng tạo. Đặc biệt là khi chứng minh các bài bài toán hình học lớp 7, các em gặp khó khăn rất nhiều. Khi đó bản thân luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán và làm cho các em yêu thích? 2. Lý do chọn giải pháp Trong chương trình môn toán THCS hiện nay, chương trình của mỗi khối có một nét đặc trưng riêng song luôn có sự gắn kết bổ sung giữa các đơn vị kiến thức mà đặc biệt là môn hình học 7 nói chung, các bài toán liên quan đến chứng minh nói riêng. Nó có ý nghĩa rất quan trọng: là cơ sở ban đầu, là nền tảng cho việc tiếp tục học toán ở các lớp tiếp theo. Do đó để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi, đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt tư duy Toán học. Qua giảng dạy Toán 7 tôi nhận thấy “Chứng minh bài toán hình học 7” là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của hình học lớp 7 và không thể thiếu khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán 7 cũng như môn Toán THCS. Đó là lý do tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán hình học 7 bằng sơ đồ phân tích”. 3. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu - Phạm vi áp dụng sáng kiến: Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán hình học 7 bằng sơ đồ phân tích. - Giới hạn lĩnh vực nghiên cứu: Áp dụng cho các khối lớp 7, 8 và 9 nhưng quan trọng nhất là khối 7. - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 7 bậc THCS. 4. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu sáng kiến là để nâng cao nghiệp vụ công tác của bản thân, để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và quan trọng hơn cả đó là việc rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh, tạo hứng thú học tập giúp các em ngày càng yêu thích môn toán cùng với đó là nhằm đào tạo các em học 1 sinh năng động, kiên trì hoàn thành bài tập không nản lòng trước những tình huống khó khăn, thích ứng, góp phần phát triển và nâng cao chất lượng. PHẦN NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG CỦA GIẢI PHÁP ĐÃ BIẾT, ĐÃ CÓ 1. Đối với việc dạy học môn toán ở cấp THCS, tăng cường tính thực tiễn, kỹ năng thực hành, kỹ năng suy luận logic, lập luận có căn cứ, kỹ năng vận dụng toán học vào thực tế, là yêu cầu cơ bản nhất, trọng tâm và toàn diện nhất. Trong quá trình dạy Toán cần chú ý cách dạy cho các em hướng tới việc học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động nhất là phát huy năng lực tự học và sáng tạo của học sinh. Để việc sử dụng công nghệ, phương tiện dạy học phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh, đảm bảo sự thống nhất về chuẩn kiến thức và kỹ năng có phương án vận dụng chương trình, sách giáo khoa phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện của các địa bàn khác nhau, đối tượng khác nhau, trong quá trình dạy học tôi luôn cố gắng hình thành và rèn kỹ năng giải toán cho học sinh bởi đặc thù môn toán là kế thừa, nếu kỹ năng lớp dưới yếu thì lên lớp trên không tiếp thu được. Mặt khác kỹ năng trong môn Toán chủ yếu là thực hành giải toán do đó học sinh phải biết nhận dạng và phân loại bài tập. Trong thực tế, các dạng toán chứng minh hình học 7 rất đa dạng và đòi hỏi học sinh phải trình bày logic thì đây là một vấn đề khó khăn đối với học sinh khối 7. Do đó, việc chỉ ra cho học sinh cách nhận dạng và phương pháp giải là rất quan trọng, giúp các em có định hướng chính xác và giải tốt các bài tập.Từ đó phát huy khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh giúp các em tự tin và say mê học tập môn Toán hơn, đáp ứng được yêu cầu về đổi mới phương pháp và nâng cao chất lương dạy học hiện nay. 2. Nhà trường có cơ sở vật chất có phần khang trang được đặt ngay trung tâm hành chính của xã nên rất thuận lợi cho học sinh trong quá trình học tập. Học sinh còn phụ thuộc vào máy tính và lười suy nghĩ làm mất đi kỹ năng tính toán của mình và do ảnh hưởng của cách quy đồng mẫu số của các em đã học ở tiểu học còn ăn sâu vào tiềm thức nên dẫn đến khi thực hiện so sánh phân số các em thực hiện không tốt. Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh chưa có biện pháp chứng minh bài toán hình học 7 đạt hiệu quả, chỉ khoảng 30% là làm tốt, 25% học sinh biết cách giải nhưng tính còn sai sót, lời giải thường dài dòng, không chính xác, đôi khi còn ngộ nhận, 45% còn lại không thực hiện được. Trước khi nghiên cứu đề tài tôi đó điều tra thực trạng, thực hiện nghiên cứu đối với học sinh lớp 7/3 trường THCS Bảo Quang 2 trong năm học 2016 − 2017. Sau đây là số liệu thống kê chất lượng của bài khảo sát chất lượng khi chưa áp dụng đề tài: Lớp SS 7/3 32 Số bài KT 32 Từ 0 đến <2 SL % 3 9,3 Từ 2 Từ 5 Từ 6,5 đến <5 đến < 6,5 đến < 8 SL % SL % SL % 10 31,3 4 12,5 4 12,5 3 Từ 8 Trên TB đến 10 SL % SL % 11 34,4 19 59,4 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1. Trình bày các bước/quy trình thực hiện giải pháp mới  Nhằm nâng cao chất lương học tập môn Toán cho học sinh THCS, cụ thể là học sinh khối 7.  Rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán.  Biết cách định hướng và giải bài tập ngắn gọn.  Phát huy trí lực của học sinh tìm nhiều cách giải hay phát triển bài toán mới.  Giúp học sinh tự tin khi giải toán khi kiểm tra học kì.  Học sinh cần nắm vững cách vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận.  Học sinh nắm vững các định lí, tính chất để áp dụng vào bài toán chứng minh.  Chỉ ra được mối quan hệ giữa các dữ kiện của đề bài để tìm ra phương pháp giải phù hợp.  Các giải pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu tài liệu.  Phương pháp thực hành.  Đúc kết một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệp và bản thân khi dạy phần chứng minh bài toán hình học 7.  Thông thường để chứng minh bài toán hình học 7, chúng ta cần thực hiện một số bước sau: a) Tìm hiểu đề toán:  Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng ký hiệu như thế nào?  Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán?  Dạng toán nào?  Kiến thức cơ bản là gì? Khi vẽ hình, giáo viên cần chú ý học sinh một số điểm sau: Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận, chẳng hạn đối với đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, đối với các đường thẳng không nên vẽ vuông góc hay song song với nhau, còn tam giác thì không nên vẽ tam giác cân hay vuông,…nếu bài toán không yêu cầu. b) Tìm hướng giải: 4  Chỉ rõ các bước giải theo một trình tự thích hợp. c) Trình bày lời giải:  Trình bày bài làm theo các bước đã được chỉ ra. Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi. d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:   Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không; Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề… 1.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán hình học lớp 7 bằng sơ đồ phân tích đi lên: Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu lời giải và xây dựng chương trình giải.  Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì ? (Kết luận A)  Đề chứng minh được kết luận A, ta phải chứng minh được điều gì? (Kết luận X)  Để chứng minh được kết luận X, ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì? (Kết luận Y)….  Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng được giả thiết của bài toán và các kiến thức đã học trước đó. Sơ đồ phân tích bài toán như sau: Để chứng minh A ¾Phaû ¾i CM ¾® X ¾Phaû ¾i CM ¾® Y ¾Phaû ¾i CM ¾®× × × Z (Chứng minh được từ giả thiết) * Lưu ý: Khi trình bày lời giải, học sinh phải tiến hành theo hướng ngược lại. Ví dụ 1: Bài 18 tr.114 SGK Toán 7 tập 1 Xét bài toán “ AMB và ANB có MA = MB, NA = NB. Chứng minh rằng AMN BMN ” Hãy sắp xếp bốn câu sau đây một cách hợp lý để giải bài toán trên: a) Do đó: AMN BMN (c.g.c) b) MN: cạnh chung MA = MB (giả thiết) NA = NB (giả thiết)  c) Suy ra AMN BMN (Hai góc tương ứng) d) AMN và BMN có: 5 Sơ đồ phân tích Lời giải AMN và BMN có: MN: cạnh chung MA = MB (giả thiết) NA = NB (giả thiết) Do đó: AMN BMN (c.g.c)  Suy ra AMN BMN (Hai góc tương ứng) Thứ tự là: d ® b ® a ® c 6 Ví dụ 2: Bài 41 tr.124 SGK Toán 7 tập 1 Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I. Vẽ ID  AB( D  AB), IE  BC ( E  BC ), IF  AC ( F  AC ) . Chứng minh rằng: ID IE IF Sơ đồ phân tích Lời giải Xét IFC và IEC có:   CFI CEI 900 CI: cạnh chung   (gt) ICF ICE Do đó: IFC IEC (c.h – g.n) Þ IE = IF (Hai cạnh tương ứng) Xét IDB và IEB có:   BDI BEI 900 BI: cạnh chung   (gt) IBD IBE Do đó: IDB IEB (c.h – g.n) Þ ID = IE (Hai cạnh tương ứng) IE = IF và ID = IE Suy ra: ID IE IF (đpcm) 7 Ví dụ 3: Bài 69 tr.141SGK Toán 7 tập 1 Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Vẽ cung tròn tâm A cắt đường thẳng a ở B và C. Vẽ các cung tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại một điểm khác A, gọi điểm đó là D. Hãy giải thích vì sao AB vuông góc với đường thẳng a? Sơ đồ phân tích Lời giải AD  a Xét ABD và ACD có :  AB = AC (gt)  H  900 H 1 2 DB = DC (gt)  AD cạnh chung ABH ACH Do đó: ABD ACD (c.c.c)   A1  A2 (Hai góc tương ứng) A  A 1 2 Xét ABH và ACH có :  AB = AC (gt) ABD ACD A  A (cmt ) 1 2  AB = AC (gt); DB = DC (gt); AH cạnh chung Do đó: ABH ACH (c.g.c) AD cạnh chung  H  (Hai góc tương ứng)  H 1 2  H  1800 (Hai góc kề bù) Mà H 1 2  H  900  H 1 2 Suy ra: AD  a (đpcm) Ví dụ 4: Bài 70a tr.141 SGK Toán 7 tập 1 8 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN a. Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân. Sơ đồ phân tích Lời giải AMN cân tại A Ta có: ABM 1800  ABC ;  ACN 1800  ACB ;  N  ) AM = AN (hoặc M Mà ABC  ACB ( ABC cân tại A)   ABM  ACN ABM ACN  Xét ABM và ACN có: AB = AC ; ABM  ACN ;BM = CN AB  AC ( gt )    (gt) ABC  ACB (gt) ABM  ACN (cmt ) BM CN ( gt )  Do đó: ABM ACN (c.g.c) D ABC cân tại A  N  Suy ra: AM  AN hoặc M Vậy AMN cân tại A. 9 1.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán hình học lớp 7 bằng sơ đồ phân tích đi xuống: Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu lời giải và xây dựng chương trình giải.     Bài toán cho biết điều gì ? (Giả thiết A) Từ giả thiết A, ta có thể suy ra được điều gì? (X) Từ X, ta suy ra được kết luận Y. Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã tìm được kết luận của bài toán. Sơ đồ phân tích bài toán như sau: Chứng minh A ¾ CM ¾® X ¾ CM ¾® Y (Kết luận của bài toán) Ví dụ 1: Bài 47 tr.98 SGK Toán 7 tập 1  900 , C  130 0 . Tính B  ,D  Cho hình vẽ, biết a / /b, A Sơ đồ phân tích  ? Hướng dẫn học sinh theo sơ đồ Tính B phân tích sau: a / / b, a  AB  A         b  AB B   900 B Lời giải Ta có: a // b mà  b  AB a  AB  A µ = 900 tại B Þ B µ +D µ =1800 (Hai góc Ta có: a // b Þ C trong cùng phía) µ =1800 - C µ =1800 - 1300 Þ D µ = 500 Þ D  ? Hướng dẫn học sinh theo sơ đồ Tính D phân tích sau: a / /b  µ +D µ = 1800 (Hai góc trong cùng phía) C 10   1800  C  1800  1300 500 D Ví dụ 2: Bài 50 tr.127 SGK Toán 7 tập 1 Hai thanh AB và AC của vì kèo một mái nhà thường bằng nhau và thường tạo với nhau một góc bằng: a) 1450 nếu là mái tôn b) 1000 nếu là mái ngói. Sơ đồ phân tích a) Hướng dẫn học sinh theo sơ đồ phân tích sau: Lời giải Vì AB AC nên ABC cân tại A  C   B  B  C  1800 Xét ABC có: A   2B  1800  A  1800  A 1800  1450   B   2 2  17,50 Vậy B 11 1.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán hình học lớp 7 bằng sơ đồ phân tích ngang: Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu lời giải và xây dựng chương trình giải. Bài toán chứng minh 2 chiều:  Từ giả thiết A, ta đưa tới kết luận B.  Từ giả thiết A, dùng lập luận để đưa tới kết luận B, quá trình phân tích dừng lại khi tìm được kết luận B.  Từ giả thiết B, ta đưa tới kết luận A.  Từ giả thiết B, dùng lập luận để đưa tới kết luận B, quá trình phân tích dừng lại khi tìm được kết luận A. CM ¾¾¾ ¾® B Sơ đồ phân tích bài toán như sau: A ¬ CM Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng  C  minh rằng: ABC là tam giác cân khi và chỉ khi B Sơ đồ phân tích:  C   B ABC cân tại A     AD laø tia phaân giaùc cuûa BAC Sơ đồ phần thuận Lời giải phần thuận  ; AD chung AB AC (gt ); A1 A         2      ADB ADC (c.g .c )   C  (Hai góc tương ứng) B Xét ADB và ADC AB AC ( ABC cân tại A)  A  (AD là tia phân giác của góc A) A 1 2 AD là cạnh chung Do đó: ADB ADC (c.g .c )  C  (Hai góc tương ứng)  B Sơ đồ phần đảo Lời giải phần đảo 12  D  180 0  A  B 1 1     0  A2  C  D2 180      A1  A2 ( gt ); B C (gt )   D  D 1 2  Xét ADB và ADC A A  (gt ); AD chung; D  D  (cmt ) 1 2 1 2  ADB ADC (g.c.g)  AB AC (Hai cạnh tương ứng)  ABC cân tại A  B  D  1800 Xét ABD có: A 1 1  C  D  1800 Xét ABC có: A 2 2     Mà A1  A2(gt); B C (gt)  D   D 1 2 Xét ADB và ADC  A  (AD là tia phân giác của góc A) A 1 2 AD là cạnh chung  D  (cmt) D 1 2 Do đó: ADB ADC (g.c.g)  AB AC (Hai cạnh tương ứng) Vậy ABC cân tại A 13 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: ABC đều khi và chỉ khi AB  AC  600 và B Sơ đồ phân tích:  AB AC ABC ñeàu    0  B 60 Sơ đồ phần thuận Lời giải phần thuận ABC đều  AB BC  AC  AB  AC; AB BC   C  ; A C  B ABC đều  AB BC  AC  C  AB  AC  ABC cân tại A  B  A B  C ; A  B  C  1800   600 B  C  AB BC  ABC cân tại B  A  B  C   A  B  C  1800 Xét ABC có: A  B  C  (cmt) Mà A  1800  3.B 0   180  600  B 3 Sơ đồ phần đảo Lời giải phần đảo 14 AB AC  ABC cân tại A   C   600 B  B   C 1800 A  A 600  AC BC AB  AC (gt)  AB AC BC  ABC là tam giác đều Vì AB AC nên ABC cân tại A  C   600  B  B  C  1800 Xét ABC có: A   600  600 1800  A  1800  1200  600  A   600; A   600  A  B  B  AC  BC (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) AB AC (gt)    AB  AC  BC AC BC (cmt)  Vậy ABC là tam giác đều. 2. Những ưu, nhược điểm của giải pháp mới Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chứng minh bài toán hình học 7, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh đã biết trình bày lời giải rõ ràng, mạch lạc, lập luận chặt chẽ, đầy đủ, vẽ hình chính xác. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn Toán. Một số biện pháp khi đưa vào thực tế còn gặp nhiều khó khăn do một số ít HS chưa có sự hợp tác. Các em còn thờ ơ, chưa chú tâm vào các kỹ năng mà giáo viên truyền đạt. Chứng minh bài toán hình học 7 là một nội dung khó và phong phú về các dạng toán, tuy đã có sơ đồ phân tích hướng chứng minh tuy nhiên việc áp dụng giải toán vẫn đòi hỏi nhiều kỹ năng như vẽ hình, phân tích, lập luận. Điều này gây khó khăn đối với một bộ phận học sinh trung bình và yếu. 15