Chuyên đề số 2, lớp: 9
CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
( A B) 2 A2 2 AB B 2
( A B) 2 A2 2 AB B 2
A2 B 2 ( A B)( A B )
( A B)3 A3 3 A2 B 3 AB 2 B 3
( A B)3 A3 3 A2 B 3 AB 2 B3
A3 B 3 ( A B)( A2 AB B 2 )
A3 B 3 ( A B )( A2 AB B 2 )
2. Các công thức biến đổi căn bậc hai
A nÕu A 0
A2 A
1.
A nÕu A < 0
2.
AB A. B
(Với A 0; B 0 )
3.
A
A
B
B
(Với A 0; B 0 )
4.
A2 B A
5.
A B A2 B
6.
A B
A2 B
(Với A 0; B 0 )
7.
A
1
B
B
AB
(Với A 0; B 0 )
8.
A
A B
B
B
(Với B 0 )
(Với A 0; B 0 )
B
(Với B 0 )
9
C A B
C
A B2
A B
10
C
C
A B
11
A
3
3
A B
A B
2
(Với A 0; A B )
(Với A 0; B 0; A B )
3 A3 A
3. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng
a, Phương pháp đặt nhân tử chung
b, Phương pháp dùng hằng đẳng thức
c, Phương pháp nhóm hạng tử
d, Phương pháp tách hạng tử ( Cách phân tích đa thức bậc hai, đẳng cấp bậc hai thành nhân tử)
1
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương.
1. Phương pháp giải:
+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa vào trong dấu căn để được các căn đồng dạng rồi thu
gọn các căn đồng dạng.
+ Với các bài toán mà trong căn là các phân số thực dương
mẫu của biểu thức lấy căn để tính toán.
a
b thì có thể áp dụng công thức khử
* Lưu ý: Học sinh cần tuân thủ thứ tự thực hiện phép tính ( trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau;
nhân, chia trước, cộng trừ sau)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
M 45 245 80
N 5 8 50 2 18
A 12 27 48
P 125 4 45 3 20
80
Hướng dẫn giải
M 45 245
42.5
N 5 8 50 2 18
P 5 5 12 5 6 5 4 5
32.5 7 2 5
42.5
5.2 2 5 2 2.3 2
5 5
10 2 5 2 6 2
3 5 7 5 4 5 6 5
(10 5 6) 2 9 2
A 12 27
48
2 3 3 3 4 3
3
Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp dụng kiến
thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán.
Ví dụ 2: Bài tập trắc nghiệm
A2 B A
B
( B 0 )
Câu 1. Rút gọn biểu thức 75 48 300 là
3.
B. 3.
C. 19 3.
D. 5.
A.
Hướng dẫn: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay nhập toàn bộ biểu thức vào máy bấm dấu =
1
Câu 2.
Giá trị biểu thức 3 -
5
+
1
3 + 5 bằng
3
.
A. 2
B. 1.
C. 5.
D. 2 5.
Hướng dẫn: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay nhập toàn bộ biểu thức vào máy bấm dấu =
2
Giá trị của x để 12 x 4 3x 1 6 là
5
.
B. 3
Câu 3.
41
.
A. 15
11
.
D. 15
C. 1.
Hướng dẫn: Học sinh đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi thu gọn vế trái được phương trình:
5
x
3 3x 1 6 3 x 1 2 3x 1 4 . Từ đó tìm được
3
A2 A
Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức
1. Phương pháp giải
A2
+ Biến đổi bài toán biểu thức chứa căn về dạng
A2 A
+
Phá dấu giá trị tuyệt đối rồi thực hiện các phép tính
* Lưu ý: Để tránh sai sót về dấu khi làm toán với dấu giá trị tuyệt đối. GV có thể yêu cầu HS khi
phá dấu giá trị tuyệt đối cần xét dấu A cẩn thận, sau đó kết quả của việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối
cần ghi vào trong ngoặc rồi phá ngoặc.
2.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
3 2 2
2
a,
Giải mẫu:
3 2 2
3 2 2
)
a
b,
2
2
b,
32 2
2
5 2 6 2 5 2 6 2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6
5 2 6 2 5 2 62 5 2
6 52 6
(5 2 6) (5 2 6)
5 2 6 5 2 6
4 6
Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A 4 2 3
Hướng dẫn giải
A 3 2 3 1
2
3 1
A nÕu A 0
A2 A
A nÕu A 0
74 3 .
4 4 3 3
2 3
2
3 1 2 3
3 1 2 3 3 1 2
3 3
3
.
2
2
Nhận xét: Các biểu thức 4 2 3 ; 7 4 3 đều có dạng m p n trong đó với a b m
p n 2ab . Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức B 5 2 6
Hướng dẫn giải
Cách 1:
5 2 6
B 52 6
3 2
3 2
3
5 2 6 .
3 2
2
3
2
2
2
3 2 2 2
.
Cách 2:
B 52 6
5 2 6
Ta có:
B 2 5 2 6 5 2 6 2
5 2 6 5 2 6 10 2
1 8
Vì B 0 nên B 8 2 2 .
Nhận xét: Các biểu thức 5 2 6 và 5 2 6 là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu thức
2
như vậy, để tính B ta có thể tính B trước rồi sau đó suy ra B. ( Cần xét B là số dương hay số âm
để tránh nhầm lẫn).
Ví dụ 4: Bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Tính giá trị của biểu thức
A.
√ 5−3
B. 3 -
.
Hướng dẫn: HS đưa về dạng
(3 -
5) 2 = 3 -
5 = 3-
√(3− √5)2
A2 = A
.
5.
C. -2.
D. 2.
rồi phá dấu giá trị tuyệt đối
5
Nhận xét: Để phá dấu giá trị tuyệt đối HS có thể sử dụng máy tính cầm tay bằng cách bấm tổ hợp
phím: Shift + hyp ( với máy tính 570-ES PLUS hoặc 570 – VN PLUS)
Câu 2.
Tính giá trị của biểu thức F 4 2 3 4 2 3 .
A. 2 3 .
B. 6.
C. -6.
HS đưa về dạng
A2 = A
rồi phá dấu giá trị tuyệt đối
F 4 2 3 4 2 3 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2
3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
4
D. 2 3 .
Nhận xét: Bài này nếu học sinh sử dụng máy tính cầm tay sẽ không hiệu quả, nên HS phải nắm
vững cách đưa bài toán A với A là biểu thức có thể đưa về dạng bình phương ( Đã hướng dẫn
ở ví dụ 2)
Dạng 3: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân
tử; …)
1. Phương pháp giải:
+ Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử rồi thu gọn nhân tử chung ở từng phân thức. Sau đó thực
hiện các phép tính
+ Nếu bài toán chứa căn ở mẫu mà không rút gọn được từng phân thức như trên thì trục căn thức
ở từng phân thức rồi thực hiện các phép tính
+ Ngoài ra học sinh có thể quy đồng các phân thức ( với nhiều bài toán không hay vì làm cho bài
toán phức tạp hơn)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Rút gọn:
15 3
21 6
A (
2)(
2)
51
7 2
3
4
1
B
5 2
6 2
6 5
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
99 100
C
Hướng dẫn giải
A (
3.( 5 1) 3.( 7 2)
15 3
21 6
2)(
2)
2
2
51
7 2
51
7 2
( 3 2)( 3 2) 3 4 1
B
3
3
4
1
5 2
6 2
6 5
5 2 6
C
2 6
5 2
3
4
6
2
4
5 2 6
1
1
1
1
...
1 2
2 3
3 4
99 100
21
3
2
4
3 ...
100
99 9
3 3 4
2 3 1
3 4
5 2 3
Ví dụ 2: Rút gọn:
D
62 5
5 2 6
5 1
3 2
F
1
2
2
2 3
6 3 3
E
Hướng dẫn giải
5
6
5
D
62 5
5 2 6
5 1
3
5 1
3 2
5 1
3
E
3 3 4
2 3 1
3
3 4
5 2 3
22 11 3
11
2 3
2
2
2
3 4 2 31
2
3
2
3 1
3 1 2 2 3
3 3 1 2 3
2 3 2
2. 3 3 1
2 3 4
3 3 1 2 3
3 3 1 2 3 3 3 1 3 1
2 3 3 1
3 3 1 3 3
3
1
3
2
2 3
2
4 2 3
42 3
1
3 1
2
2
2
1
1
3 1 3 1 .( 2) 2
2
2
1
1
2
1
2
2
F
2 3
3
3 3 1
2 3
6 3 3
52
1
26 13 3
2
13
2 3
3 4 52 3
3 1 2 3
3 3 1
3
3
3
Ví dụ 3: Bài tập trắc nghiệm
1
Câu 1 : Tính giá trị của biểu thức 2 + 3
1
A. 2 .
+
1
2-
3 ta được kết quả
B. 1.
C. -4
.D. 4.
Hướng dẫn:
Cách 1: Học sinh sử dụng máy tính để bấm ra kết quả ( nếu là số nguyên)
Cách 2: Nếu kết quả là số thập phân thì học sinh thao tác trục căn thức hoặc quy đồng để
tìm ra đáp án ở dạng căn.
P
Câu 2: Giá trị của biểu thức
A. 1.
7 5
7 5
7 5
7 5 là
B. 2.
C. 12.
D. 12. .
Cách 1: Học sinh sử dụng máy tính để bấm ra kết quả ( nếu là số nguyên)
Nhận xét: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục
căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện
6
các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề
toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác.
Dạng 4. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.
1. Phương pháp giải
Bước 1:
Bước 2:
Tìm điều kiện xác định.
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử chung ở từng phân thức
( nếu được).
Bước 3:
Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi thực hiện các phép tính sau quy đồng
( thường chỉ thực hiện ở trên tử) rồi rút gọn các phân thức đến mức đơn giản
nhất..
Bước 4:
Kết luận bài toán
* Một số biểu thức thường gặp trong bài toán rút gọn căn bậc hai
+ x ± x = x .( x ±1) ( Phương pháp đặt nhân tử chung)
2
+ x ± 2 x +1 = ( x ±1) ( 2 Hằng đẳng thức bình phương của một tổng, một hiệu)
+ x - 1 = ( x +1)( x - 1) ( Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
+ x x ±1 = ( x ±1)( x m x +1) (2 Hằng đẳng thức tổng, hiệu hai lập phương)
2
+ x x - x - x +1 = x( x - 1) - ( x - 1) = ( x - 1)( x - 1) = ( x - 1) ( x +1)
( Phương pháp nhóm hạng tử)
* Một số lưu ý khi làm bài rút gọn:
+ Một số bài toán cần đổi dấu ở một số phân thức để làm xuất hiện mẫu thức chung khi quy
đồng.
+ Học sinh cần tuân thủ thứ tự thực hiện phép tính trong những bài toán có chứa phép tính cộng,
trừ, nhân, chia phân thức và có dấu ngoặc.
+ Học sinh không nên lạm dụng cách làm là quy đồng các phân thức, cần tỉnh táo nhận xét từng
phân thức xem có nhân tử chung ở tử và mẫu không để rút gọn. Nếu không được mới chuyển
sang các bước tiếp theo
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho biểu thức.
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết x 4 2 3 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x 0; x 9 .
7
3 x 2 2 x 3
3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 P
P
x 1
x 3
x 1 3 x x 2 x 3
a)
b)
3
x 2
x 1 3 3
x 1 x 3
x 3 2 x 3
x5
3 3 x 5
x 1
x 3
3x 9 x 2 x 6 2 x 2 x 3 x 3 9 x 15
5 x 17 x 6
x 1
x 3
x 1
x 3
5 x 15 x 2 x 6
x 1
x 3
5
x 1
x 2
x 3
x 3
5
x 2
x 1
.
2
( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 1 ;
5 3 1 2 5 3 3 5 3 3 2 3
P
7 3 9
3 2
3 1 1
3 2 2 3
Do đó:
.
Ta có
x 4 2 3 3 1
Nhận xét : HS cần kiểm tra giá trị x của đề bài có thỏa mãn ĐKXĐ không ? Một số bài toán cần
biến đổi giá trị x ở đề bài sao cho gọn nhất để thuận tiện cho việc thay giá trị đó vào biểu thức.
5 x 2 5 x 5 7
P
x
1
x 1
Ta có
c)
7
P 5
x 1
7
7
0
x 1 lớn nhất
Vì x 1
nên P có giá trị nhỏ nhất
x 1 nhỏ nhất x 0 .
Khi đó min P 5 7 2 .
Nhận xét : Để làm câu c HS cần nắm rõ quy tắc dấu, quy tắc đổi chiều khi đánh giá bất đẳng
thức.
+ A> B Þ m- A B >0 Þ
<
(m > 0)
A B
x 1 2 x
5 x 2 3 x x
Q
:
4 x x 4 x 4
x 2
x 2
Ví dụ 2: Cho biểu thức
a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q 2 ;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Hướng dẫn giải
8
ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9 .
x 1 2 x
5 x 2 3 x x
Q
:
4
x
x
2
x
2
x4 x 4
a)
x 2 2 x
x 2
x 2 5 x 2
x 2
x 2
x2 x
x 2
b)
x 2
x 2
.
x 2
2
x 3
x 8
x 2
x 3
.
2
x
: x 3 x
x 2
2
x 3 x 2 2x 4 x 5 x 2
Q 2
x 1
x 2
x 3
x
2
x
x 2
x 2
x 2
.
x 2
x 3
2
x
x 2
x 3
x 2 2 x 6
x 8 x 64 .(Thỏa mãn ĐKXĐ).
Nhận xét: Khi tìm được giá trị x thì HS cần nhận xét giá trị đó có thỏa mãn điều kiện xác định
không rồi kết luận
x 2
Q0
0
x 3
c)
x 3 0 (vì x 2 0 ) x 3 x 9 .
Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q 0 khi 0 x 9 và x 4 .
Nhận xét: Học sinh cần tránh sai lầm khi giải bất phương trình là quy đồng rồi khử mẫu.
+ Khi tìm được giá trị x theo yêu cầu đề bài HS cần kết hợp với ĐKXĐ để được kết quả cuối
cùng ( HS thường quên không kết hợp với ĐKXĐ mà vội kết luận ngay).
a
3
a 2
B
a 3
a 3 a 9 với a 0; a 9
Ví dụ 3: Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn giải
a)
Với a 0; a 9 ta có:
a
3
a 2
3
a 2
a 3 ( a 3)( a 3)
a 3 a 9 = a 3
a ( a 3)
3( a 3)
a 2
( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3) ( a 3)( a 3)
B
a
a3
a 3 a 3 a 9 a 2
11
a 9
a 3)( a 3)
9
BZ
b)
11
Z 11(a 9) (a 9) U (11)
a 9
Để
U (11) 1;11; 1; 11
Khi đó ta có bảng giá trị
a 9
-11
-1
1
11
a
8
10
20
-2
Không thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
a 8;10; 20
Vậy
thì B Z
Nhận xét: + Trong một số bài toán HS có thể đánh giá mẫu thức để hạn chế các giá trị ước không
thỏa mãn. Qua đó rút ngắn được các trường hợp cần thử.
6
A=
x + 3 ( x ³ 0 ) nhận giá trị nguyên
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để
6
A=
x + 3 nhận giá trị nguyên Û x + 3 Î U (6) = { ±1; ±2; ±3; ±6}
+ với x ³ 0 thì
Û x + 3 Î { 3;6}
+ Vì x ³ 0 Þ x + 3 ³ 3 nên
+ Ta có bảng xét giá trị sau:
x +3
3
6
x
Vậy
0
3
x
0
9
Nhận xét
Chọn
Chọ
n
x Î { 0;9}
là các giá trị cần tìm
x 3
x 2
9 x 3 x 9
P
: 1
x 9
2 x 3 x x x 6
Ví dụ 4: Cho biểu thức
(với x 0; x 4; x 9 )
a) Rút gọn biểu thức P.
4 2 3.( 3 1)
x
62 5
b) Tính giá trị biểu thức P khi
Hướng dẫn giải
x 9 4 x 9 x : x 9 3 x 9
P
x 9
2 x 3 x
a)
4 x
2 x 3 x
:
x 3
x
x 3
x 3
2
10
x
x
5
x
1
b)
P
Nên
2
3 1
5 5
3 1
2
3 1
2 (tm)
31
1 5
5
2 2
2 1
2
2 x
x 1 2 x 1
B
x và
x
x x
Ví dụ 5: Với x > 0, cho hai biểu thức
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
b) Rút gọn biểu thức B.
A 3
c) Tìm x để B 2
A
Hướng dẫn giải
A
a)
2 64 2 8 5
8
4
64
b)
Với x = 64 ta có
( x 1)( x x ) (2 x 1) x x x 2 x
1
x 2
B
1
x (x x )
x x x
x 1
x 1
c)
A 3
2 x 2 x 3
:
B
2
2
x
x
1
Với x > 0 ta có:
2 x 2 3 x ( Do x 0)
x 1 3
2
x
x 2 0 x 4 ( Do x>0)
x 4
3 x 1
B
x 1 và
x2 x 3
Ví dụ 6: Cho hai biểu thức
a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9
1
B
x1
b) Chứng minh
A x
5
c) Tìm tất cả các giá trị của x để B 4
A
2
x 3 với x 0; x 1
Hướng dẫn giải
a)
Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có
9 4 34 7
A
9 1 3 1 2 .
B
b)
3 x 1
x2 x 3
3 x 1
( x 3)( x 1)
2
x 3
2
3 x 1 2( x 1)
x 3
1
x 3
( x 3)( x 1)
( x 3)( x 1)
x1
11
c)
A x
5
B 4
x 4
1
x
:
5
x1
x1 4
4( x 4) x 20 x 4 x 4 0
2
x 2 0
x 2 0 x 4
A x
5
x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì B 4
x 2 x
x 1
1 2x 2 x
A
x x 1 x x x x
x 2 x ( Với x 0, x 1 )
Ví dụ 7: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải
x 2
A
.
x
x
1
a)
b)
Cách 1: Với x 0, x 1 x x 1 x 1 1.
x 2
x 2
1
0 A
1
2.
x x 1
x 1
x 1
Vậy
x 2
1 x 1
x x 1
( Không thỏa mãn).
Vì A nguyên nên A = 1
Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị
x 2
A
Ax+(A-1) x A 2 0
x x 1
Trường hợp 1: A 0 x 2 x
Trường hợp 2:
A 0 (A 1) 2 4 A( A 2) 3 A2 6 A 1 0 A2 2 A
1
0
3
4
4
A2 2 A 1 (A 1)2 A 1; 2 doA Z , A 0
3
3
Với A = 1 => x = 1 ( loại)
x 2
2 x 0
x
x
1
Với A = 2
( loại).
Nhận xét: Đây là dạng bài toán khó. HS thường nhầm lẫn sang dạng toán tìm giá trị nguyên của
x để A nhận giá trị nguyên.
+ Với bài toán dạng này HS cần đánh giá được A kẹp giữa 2 giá trị nào rồi dùng điều kiện A là số
nguyên để chọn giá trị A thỏa mãn trước. Sau đó xét các trường hợp với từng giá trị của A được
chọn.
12
1 x 1 1 x
P 1
:
x
x
x x
Ví dụ 8: Cho biểu thức
, (với x 0 và x 1 ).
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x 2022 4 2018
Hướng dẫn giải
1
x1
1
x
x
a)
Ta có
x 1 1 x x 1 1 x
x
x x
x 1 x
Và
P
nên
b)
x 1
x1
x
x
x1
x 1
x 1 x 1
x 1
.
x
x1
x .
Có x 2022 4 2018
2022 4 2018 .
2018 2
2018 2
2
2022 4 2018
2018 2
2
2018 2 2018 2
2018 2 4
thỏa mãn điều kiện
x 0 và
x 1 .
4 1 3
2.
4
+ Vậy giá trị của biểu thức P tại x 4 là:
6
( a 1) 2
10 2 a
B
.
a 1 a a a a 1 4 a
Ví dụ 9: Cho biểu thức
(với a 0; a 1 ).
a) Rút gọn biểu thức B .
b) Đặt C B.( a
a 1) . So sánh C và 1.
( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017-2018)
Hướng dẫn giải
a)
b)
Với a 0; a 1 , ta có:
6
10 2 a ( a 1) 2
B
.
a
1
(
a
1)(
a
1)
4 a
4 a 4
( a 1) 2
4( a 1)
( a 1) 2
1
1
.
.
B .
(a 1)( a 1) 4 a
( a 1)( a 1)( a 1) 4 a
a . Vậy
a
a a 1
( a 1) 2
C 1
1
0.
a
a
Với a 0; a 1 , ta có:
Vậy C 1.
13
x 1
x
x
:
x4 x 4 x2 x
x 2 , với x 0 .
Ví dụ 10: Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức A .
1
A
3 x.
b. Tìm tất cả các giá trị của x để
A
Hướng dẫn giải
A
a)
Ta có:
x 1
x 1
x
x
:
( x 2) 2
x4 x 4 x2 x
x 2
:
x
x ( x 2)
x
x 2
x
x
1
x 1
x ( x 1)
:
:
2
x 2 ( x 2)
x ( x 2)
x 2
x 2
1
A
x ( x 2) và x 0 ; x 2 0 .
b)
Với x 0 ta có
1
1
1
A
3 x
x x 2 3 x x 2 3 x 1
x 1
Khi đó
Suy ra: 0 x 1 .
Ví dụ 11: Bài tập trắc nghiệm
æ x
x ö
x- 4
÷
÷
P =ç
+
.
ç
÷
ç
÷
ç x- 2
x + 2ø 4x
è
Câu 1: Rút gọn biểu thức
với xñ0 và x ¹ 4 ta được kết quả
x 1
( x 2) 2
A. x
.B. - x .
C. 2
Hướng dẫn: HS thực hiện các kĩ năng rút gọn để chọn đáp án
æ1
1 ö
x
÷
ç
¸
÷
ç
÷
ç
x +1ø x - 1 với x > 0; x ¹ 1 có kết quả là
Câu 2: Rút gọn biểu thức è x
A.
x- 1
x .
x +1
B. 2 x .
x- 1
x
C.
.D. -2.
x +1
.
D.
x - 1.
Hướng dẫn: HS thực hiện các kĩ năng rút gọn để chọn đáp án
1
Q=
2
x - 4x + 5 . Giá trị lớn nhất của biểu thức Q bằng
Câu 3: Cho biểu thức
A. 1.
B. -1.
2
Hướng dẫn: Ta có: x - 4 x + 5 = ( x - 2) +1 ³ 1, " x
2
Þ
Þ
x 2 - 4 x + 5 = ( x - 2)2 +1 ³ 1, " x
1
2
x - 4 x +5
£ 1, " x Þ Q £ 1
14
C. 4.
D. 5.
Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 1 đạt được tại x=2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
1. Bài tập tự luận
TL 2.1: Thực hiện các phép tính sau:
a, 2 3 3 27 300
b, (2 3 5 27 4 12) : 3
TL 2.2: Rút gọn
a) A 4 2 3
b) B 8 2 15
c) C 9 4 5
d) D 7 13
e) E 6 2 5
6 2 5
f)
7 13
F 7 2 10 20
1
8
2
TL 2.3: Rút gọn
A ( 3 4) 19 8 3
7 5 7
C
7 2 11
E
5
B ( 5 2)( 5 2)
D
3 2 2
8 15
30
F
2
4
2 5
2
7 4 3
3 2
4
2 5
2
3 1
3 1
3 1
3 1
TL 2.4:
x 1
x
x
:
x4 x 4 x2 x
x 2 , với x 0 .
Bài 2.4.1: Cho biểu thức
a. Rút gọn biểu thức A .
1
A
3 x.
b. Tìm tất cả các giá trị của x để
A
x x x x
x 3
x 1
B
.
x x1
1 x 2x x 1
Bài 2.4.2: Cho biểu thức
(với x 0; x 1 và
x
1
4 ). Tìm tất cả các giá trị của x để B 0 .
( Tuyển sinh vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2016-2017)
1 x 2
1
V
x 2
x với x 0, x 0 .
x 2
Bài 2.4.3: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức V .
1
V
3.
b) Tìm giá trị của x để
15
x 2
3
20 2 x
B
x 25 với x 0, x 25 .
x 5 và
x 5
Bài 2.4.4: Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 .
1
B
x 5.
2) Chứng minh rằng
A B. x 4
3) Tìm tất cả các giá trị của x để
.
x
- x + x x +6
x +1
P=
+
x +2
x+ x - 2
x - 1 , với x ³ 0, x ¹ 1 .
Bài 2.4.5: Cho biểu thức :
A
a) Rút gọn biểu thức P .
Q
b) Cho biểu thức
x 27 .P
x 3
P
Bài 2.4.6: Cho biểu thức
Chứng minh rằng P = –1
x 2
, với x ³
0, x ¹ 1, x ¹ 4. Chứng minh Q 6.
1
1 a
1 a
1
1
2
a
1 a 1 a
1 a2 1 a a
với 0 < a < 1.
1 x 1
x 2
P
.
x
2
x
x
2
x 1 với x > 0; x 1 .
Bài 2.4.7: Cho biểu thức
x 1
P
x .
a) Chứng minh
b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x 5 .
x x
x 1
(x>0, x 1)
x
x1
Bài 2.4.8: Cho hai biểu thức A = 9 4 5 5 và B =
a) Rút gọn biểu thức A và B.
b) Tìm giá trị của x để 3 A B 0 .
2. Bài tập trắc nghiệm
TN 2.1: Giá trị của biểu thức
A. 8 5 3. .
(8 5 3) 2 bằng
B. 5 3 8. .
1 a a
TN 2.2. Rút gọn biểu thức a 1 a , ta được
A. 1 a . .
B. (1 a ). .
TN 2.3. Cho a 0, b 0 Tính
A. 2.
C. -11.
C. 1
D.
a. .
5 3 8.
D.
a 1. .
D.
2a
.
b
a a b
b b a ta được
2 ab
.
B. b .
C.
16
a
.
b .
1 a a
TN 2.4. Rút gọn biểu thức a 1 a , ta được
A. 1 a . .
B. (1 a ). .
C. 1
2( 2 6)
TN 2.5. Giá trị của biểu thức 3 2 3 bằng:
2 2
2 3
A. 3 .
B. 3 .
a. .
C. 1
.
D.
a 1. .
4
D. 3 .
2
1
TN 2.6. Giá trị của biểu thức 1 2 bằng
A. (3 2 2). .
B. 3 2 2. .
C. 3 2 2. .
TN 2.7. Giá trị của biểu thức 15 6 6 15 6 6 bằng
A. 12 6. .
B. 30. .
C. 6.
3. Hướng dẫn giải và đáp số
D. 3.
3.1. Tự luận
TL 2.1
300 2 3 3 32.3 10 2.3 2 3 3.3. 3 10 3 3
a, 2 3 3 27
b, (2 3 5 27 4 12) : 3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3 5 3 : 3 5
TL 2.2
A 6 2 5
51
2
51 51
B 4 12 4 2 3
4 3
C 19 8 3
2
2
4
2
3 1
3 4
D 5 2 6
E 62 5
6 2 5 5 2 5 1
( 5 1) 2
3
2
3 1
3
2
5 2 5 1
( 5 1)2 | 5 1| | 5 1| 5 1
5 1 2
2
1
1
8
5 2 2 5 .2 2
2
2
2 2 5 2 5 2 2 5 2 3 5
F 7 2 10 20
5
3
2 3
TL 2.3:
A ( 3 4) 19 8 3
3 4
2
4 3
17
3 4 4
D. 2 2 3. .
3 16 3 13
C
5
7 2 11
7 5 7
7 2 11
Ta có
D
2
2
E
F
5
5
3 1
3 1
2 5
2
2
5 14 2 44
2
7
2
11
4
2
8 15
30
2
2 5
15 1
3 1
.
21
2
7 5 7
2 5
2
2
5 2
2
5
2
7 2 11
2
22
2
2
5 2
1
3 1
2 3
1 ( 1) 2
3 2
3 2 2
3 2 2 2
4
2
5 4
3 2
7 5 7
C 2
3) 2
(2
B ( 5) 2 2 2
2 1 1
22
2
2 5
5 2 2 5 2
5 2 5 2
2 5 4 2 5 4
8
5 4
16 2 15
1
15 1 1
.
4
2
2
15 1
2
3 1
2
3 1
3 1
4 2 3 4 2 3
4
2
TL 2.4
Bài 2.4.1
a) Với x > 0 , Ta có:
x 1
x 1
x
x
A
:
( x 2) 2
x4 x 4 x2 x
x 2
:
x
x ( x 2)
x
x 2
x
x
1
x 1
x ( x 1)
:
:
x 2 ( x 2) 2
x ( x 2)
x 2
x 2
1
A
x ( x 2) và x 0 ; x 2 0 .
b)
Với x 0 ta có
1
1
1
A
3 x
x x 2 3 x x 2 3 x 1
x 1
Khi đó
Suy ra: 0 x 1 .
Bài 2.4.2.
x x x 1
x 3
x 1
B
.
1
x 1 x x 1
x
x 1 2x x 1
4 Ta có
Với x ³ 0; x ¹ 1 ;
x 1
( x 2) 2
18
x1
x
x 3
.
x 1 2 x 1
x1
x 1
x 1
2 x 3
x 1 2 x 3
.
x1 2 x1 2 x1.
Vì x 0 nên 2 x 3 0 , do đó B 0 khi
1
0 x
4.
nên ta được kết quả
2 x 10 x
1
1
x
4 . Mà x 0; x 1 và
4
Bài 2.4.3.
1 x 2
1
V
x 2
x
x 2
a)Với x ³ 0; x ¹ 4 , ta có
1
V
3
b)
Bài 2.4.4
2
1
x 2 3
3
3
20 2 x
B
x 5
x 15
x 5
3)
x 5 20 2 x
x 5
x 5
x 2
20 2 x
x 5
x 5
3 x 15 20 2 x
x 5
x 5
x 5
x 5
x 2
1
. x 4
x 2 x 4
(*)
x 5
x 5
Nếu x 4, x 25 thì (*) trở thành : x 2 x 4
x3
x 2 0
x x 6 0
x 2 0 nên x 3 x 9 (thỏa mãn)
Nếu 0 x 4 thì (*) trở thành : x 2 4 x
x1
x 2 0
x x 2 0
Do
x 2
9 2 3 2
5
2
9 5 3 5
A B. x 4
Tìm tất cả các giá trị của để
.
A B. x 4
Với x 0, x 25 Ta có:
( thỏa mãn)
1. Khi x=9 ( thỏa mãn ĐKXĐ). Ta có
2)
Với x 0, x 25 , ta có
3
x 2
2
x
x 2
x 2 6 x 64
A
x 2 x 2
Do x 2 0 nên x 1 x 1 (thỏa mãn)
Vậy có hai giá trị x 1 và x 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2.4.5
19
1
x 5 x 5
(đpcm)
a, Với x 0, x 1, x 4 Ta có
x
x x x 6
P
x 2
x x 2
x
x 1 x x x 6
x1
xx x 4 x 4
x1
x 2
x 1
x1
x 1
x 2
x 2
x 1
x
x x x x 6 x 3 x 2
x1
x 2
x 1 x 4
x 2 x 2
.
Với x 0, x 1, x 4 , ta có
x 27 .P
x 27 x 9 36
Q
x 3
x 2 x 3 x 3
36
36
x 3
6 x 3
6 12 6
x 3
x 3
. (co-si)
36
2
x 3
x
3
36
x 3
x 9 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
Dấu “=” xảy ra khi
Bài 2.4.6
Với 0 < a < 1, ta có:
2
2
1 a
1
a
1 a 1
P
2
1 a 1 a
a2
a
1
a
1
a
1
a
b)
1 a
1 a 1 a
1 a
2
(1 a )(1 a ) 1
a2
a
1 a 1 a
1 a. 1 a 1
1 a
1 a
a2
a
1 a 1 a
1 a 1 a
1 a 1 a 2 1 a . 1 a (1 a ) (1 a)
.
2a
1 a 1 a
1 a
1 a 1 a 1 a 1 a
.
2a
1 a 1 a
1 a 1 a
2a
1
2a
2a
Bài 2.4.7
a) Với x > 0; x 1 ta có
2
x 1
x 2
x
P
.
x
(
x
2)
x
(
x
2)
x1
20
1 a 1 a
2a
1 a 1 a
- Xem thêm -
.DOCX 
30 
1 
132 
