Së gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh ho¸
tr-êng THPT Ba ®×nh nga s¬n
-------***-------
RÌn luyÖn
Cho häc sinh sö dông ®¹o hµm ®Ó
chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Hä vµ tªn t¸c gi¶ : NguyÔn V¨n KÕ
Chøc vô
: Gi¸o viªn
§¬n vÞ c«ng t¸c : Tr-êng THPT Ba §×nh
SKKN thuéc m«n:
To¸n
SKKN thuéc n¨m häc 2010 -2011
1
PhÇn I: ®Æt vÊn ®Ò
BÊt ®¼ng thøc lµ mét m¶ng kiÕn thøc khã , th-êng gÆp trong c¸c ®Ò thi häc
sinh giái c¸c cÊp vµ ®Ò thi tuyÓn sinh vµo c¸c tr-êng §¹i häc vµ Cao ®¼ng.
Cïng víi ®Þnh nghÜa ®¹o hµm, c¸c kÕt qu¶ trong viÖc kh¶o s¸t sù biÕn thiªn
cña hµm sè ®-îc sö dông ®Ó gi¶i quyÕt nhiÒu bµi to¸n to¸n häc vµ nhiÒu bµi
to¸n trong c¸c nghµnh khoa häc kh¸c. Do ®ã viÖc h-íng dÉn häc sinh sö
dông ®¹o hµm ®Ó chøng minh bÊt d¼ng thøc lµ mét ®iÒu cÇn thiÕt, gióp häc
sinh hiÓu s©u s¾c, ch¾c ch¾n nh÷ng kiÕn thøc vÒ ®¹o hµm; ®ång thêi gióp c¸c
em kh«ng chØ gi¶i ®-îc nh÷ng bµi to¸n cã s½n mét l-îc ®å gi¶i chung, mµ
cßn gi¶i ®-îc nhiÒu bµi to¸n ®ßi hái nhiÒu ®Õn kü n¨ng t- duy, tæng hîp c¸c
kiÕn thøc rót ra tõ c¸c néi dung kh¸c nhau. H¬n n÷a mét thùc tÕ lµ rÊt
nhiÒu häc sinh ch-a thÊy hÕt ®-îc øng dông cña ®¹o hµm trong c¸c bµi to¸n
vÒ ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh ,hÖ ph-¬ng tr×nh vµ ®Æc biÖt lµ bµi to¸n
chøng minh bÊt ®¼ng thøc. ViÖc sö dông viÖc kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm
sè ®Ó chøng minh mét sè bÊt ®¼ng thøc t¹o nªn sù phong phó vÒ thÓ lo¹i vµ
ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n.
PhÇn II: c¸c gi¶i ph¸p c¶i tiÕn
1.Thùc tr¹ng vÊn ®Ò :
Bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc kh¸ ®a d¹ng phong phó vµ cã thÓ nãi lµ
khã ®èi víi häc sinh phæ th«ng . RÊt nhiÒu tr-êng hîp viÖc chøng minh bÊt
®¼ng thøc gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n , thËm chÝ kh«ng t×m ra ®-îc lêi gi¶i ®óng
bëi mét nhÏ lµ do häc sinh ch-a ®-îc trang bÞ tèt c¸c kiÕn thøc, ph-¬ng ph¸p
,kü n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n thuéc thÓ lo¹i nµy.
2.Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu.
§Ò tµi ®-îc sö dông ph-¬ng ph¸p ph©n tÝch , tæng hîp, so s¸nh.
3.§èi t-îng:
¤n thi häc sinh giái vµ häc sinh thi vµo c¸c tr-êng §¹i häc , Cao ®¼ng.
4.C¸ch thøc thùc hiÖn:
§Ó thùc hiÖn ®Ò tµi nµy ,t«i ph©n thµnh 2 d¹ng bµi tËp t-¬ng øng víi c¸c
d¹ng bÊt ®¼ng thøc chØ chøa mét biÕn vµ bÊt ®¼ng thøc cã chøa nhiÒu biÕn .
5.Néi dung:
A-C¬ së lý thuyÕt :
Trong nhiÒu bÊt ®¼ng thøc chøa biÕn cã thÓ chän mét hµm sè ®¹i diÖn ®Ó
kh¶o s¸t sù biÕn thiªn, qua ®ã t×m ®-îc miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè ®¹i diÖn , tõ
®ã suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. Tuy nhiªn viÖc chän hµm sè ®¹i diÖn cÇn kÕt
hîp c¸c kiÕn thøc vÒ ®¹o hµm vµ vËn dông linh ho¹t c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n
kh¸c vÒ bÊt ®¼ng thøc .
2
B- Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n :
Sö dông ®¹o hµm ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc, trong nhiÒu tr-êng hîp ®·
®-îc gi¶i quyÕt rÊt ng¾n gän, lêi gi¶i nhÑ nhµng, trong s¸ng vµ trong nhiÒu
tr-êng hîp cã thÓ nãi lµ ®éc ®¸o, t¹o cho häc sinh høng thó, tù tin h¬n trong
häc tËp .Gióp ph¸t triÓn ãc t- duy linh ho¹t s¸ng t¹o cho häc sinh .
C¸c bµi tËp ®-îc chän trong ®Ò tµi nµy cã thÓ b¾t nguån tõ c¸c bµi tËp trong
s¸ch gi¸o khoa , s¸ch bµi tËp vµ trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái , c¸c ®Ò thi
tuyÓn sinh vµo c¸c tr-êng §¹i häc vµ Cao ®¼ng . c¸c bµi tËp ®-îc chän
h-íng vµo yªu cÇu c¬ b¶n vµ bµi tËp cã nhiÒu kiÕn thøc cÇn khai th¸c , qua
®ã kh¾c s©u , hÖ thèng vµ n©ng cao c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ øng dông cña
®¹o hµm còng nh- bÊt ®¼ng thøc .
D¹ng 1: BÊt ®¼ng thøc cã chøa mét biÕn
* Ph-¬ng ph¸p : Chän lu«n biÕn ®ã lµm biÕn cña hµm sè cÇn kh¶o s¸t
* C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc ®o¹n 0;1 ta lu«n cã :
x2
1− x e 1− x +
2
−x
(TrÝch ®Ò tuyÓn sinh tr-êng §¹i häc KiÕn tróc n¨m 2000)
Bµi gi¶i:
x2
−x
(2)
Ta cÇn chøng minh 2 bÊt ®¼ng thøc e + x − 1 0 , − x + 1 − e 0
2
−x
(1)
x2
− x + 1 − e− x víi x thuéc ®o¹n 0;1
2
-x
f’(x) =x-1+e , f’’(x) =1-e-x
* Víi x thuéc ®o¹n 0;1 th× e− x e0 = 0 f ''( x) 0, x 0;1
Suy ra f’(x) ®ång biÕn trªn ®o¹n 0;1
Do ®ã víi x thuéc ®o¹n 0;1 th×:
XÐt hµm sè f ( x) =
f’(x) f’(0) x − 1 + e− x 0 e− x x − 1
Do ®ã (1) ®-îc chøng minh .
* Víi x thuéc ®o¹n 0;1 th× f’(x) f’(0), nªn f(x) ®ång biÕn trªn ®o¹n
0;1 .
Suy ra: víi x thuéc ®o¹n 0;1 th× f(x) f(0)
Do ®ã (2) ®-îc chøng minh.
3
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi x ta ®Òu cã :
1
5
x5 + (1 − x )
16
Bµi gi¶i:
BÊt ®¼ng thøc ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi : x5 + (1 − x ) −
5
1
0
16
1
trªn
16
Ta cã f’(x) = 5x4-5(1-x)4 = 5[x2+(1-x)2](2x-1)
f’’(x) = 20[x3+(1-x)3]
1
1 1
f’(x) = 0 x = f '' = 0
2
2 16
XÐt hµm sè f ( x) = x5 + (1 − x ) −
5
1
1
Do vËy hµm sè f(x) ®¹t cùc tiÓu duy nhÊt t¹i x = , fCT = f = 0
2
2
1
VËy f(x) 0 víi mäi x thuéc ,®¼ng thøc x¶y ra khi x=
2
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a ta lu«n cã:
3a −4 + 34 a+8 2
2
(TrÝch ®Ò tuyÓn sinh tr-êng §¹i häc Quy Nh¬n n¨m 1997)
Bµi gi¶i:
3a −4 + 34a+8 − 2 0
2
BÊt ®¼ng thøc ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi :
a −4
+ 34 a+8 − 2 trªn
XÐt hµm sè f (a) = 3
2
a2 −4
.ln3 + 4.34 a+8.ln3
Ta cã f '(a) = 2a.3
f '(a) = 0 a = −2
2 a −4
2
4 a +8
2
L¹i cã f ''(a) = 4a .3 .ln 3 + 16.3 .ln 3 0
2
Suy ra f’(a) lµ hµm sè ®ång biÕn trªn
a< -2
Ta cã b¶ng biÕn thiªn:
a
f’(a)
,nªn f’(a)>0 khi a>-2 vµ f’(a)< 0 khi
−
-
f(a)
-2
0
0
4
+
+
Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra f (a) 0, a
, ®¼ng thøc x¶y ra a=-2
Bµi tËp t-¬ng tù :
1.Cho tam gi¸c ABC cã 0 A B C
. Chøng minh r»ng :
2
2cos3C − 4cos 2C + 1
2
cosC
2.Chøng minh r»ng nÕu x lµ sè thùc d-¬ng th× víi mäi n nguyªn d-¬ng ,
x2
x3
xn
x
e
1
+
x
+
+
+
...
+
ta ®Òu cã :
2! 3!
n!
( TrÝch ®Ò 101- Bé ®Ò tuyÓn sinh )
3.Chøng minh r»ng víi mäi x thuéc nöa kho¶ng 0; ta lu«n cã:
2
3
x
tanx x +
6
¸p dông: Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC ta cã :
A
B
C
tan + tan + tan 3
2
2
2
4. Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: a 6, b −8, c 3 .
Chøng minh r»ng víi mäi x 1ta lu«n cã : x 4 − ax 2 − bx c
( §Ò 15 – Bé ®Ò tuyÓn sinh)
D¹ng 2: BÊt d¼ng thøc cã chøa nhiÒu biÕn
* Ph-¬ng ph¸p :
- C¸ch 1: Quy vÒ bÊt ®¼ng thøc cã Ýt biÕn h¬n nhê viÖc ®æi biÕn, ®¸nh gi¸,
chän hµm sè ®¹i diÖn, …
- C¸ch 2: Chän mét biÕn lµ biÕn cña hµm sè vµ c¸c biÕn cßn l¹i lµ tham
sè .
Chó ý : Sau khi t×m ®-îc gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó hµm sè ®¹t cùc trÞ cÇn thö l¹i
xem ®¼ng thøc trong bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh cã
x¶y t¹i ®óng gi¸ trÞ ®ã kh«ng vµ gi¸ trÞ ®ã cã tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña gi¶
thiÕt kh«ng.
* C¸c vÝ dô:
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi a,b lµ hai sè kh«ng ©m bÊt kú ta lu«n cã
3a3 + 17b3 18ab 2
Bµi gi¶i:
C¸ch 1: (Quy vÒ B§T cã mét biÕn )
Ta xÐt hai tr-êng hîp :
5
+ NÕu b=0 : B§T trë thµnh a3 0 , B§T ®óng víi mäi a kh«ng ©m
+ NÕu b>0: §Æt a=tb (víi t 0)
Ta ®-îc 3t 3b3 − 18tb3 + 17b3 0 3t 3 − 18t + 17 0
XÐt hµm sè f(t) = 3t3-18t+17, t D = 0; + )
f '(t ) = 9t 2 − 18, f '(t ) = 0 t = 2
B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(t) trªn D:
t
f’(t)
0
+
2
-
0
+
17
f(t)
17-12 2
Suy ra f(t) > 0 víi mäi thuéc D
VËy: B§T ®-îc chøng minh , ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=0.
NhËn xÐt: Trong B§T ®· cho th× biÓu thøc tham gia bµi to¸n lµ biÓu thøc
®¼ng cÊp , nªn gîi cho ta c¸ch ®Æt a=tb, ®Ó ®-a B§T ®· cho vÒ B§TchØ chøa
mét biÕn vµ khi ®ã viÖc chän hµm sè ®Ó kh¶o s¸t lµ dÔ dµng .
C¸ch 2: ( Chän mét biÕn lµ biÕn sè cña hµm sè cÇn kh¶o s¸t , biÕn cßn l¹i
xem lµ tham sè)
XÐt hµm sè f(a) =3a3-18b2a + 17b3 ,víi a thuéc D= 0;+ ) vµ b lµ tham sè
kh«ng ©m.
f’(a) = 9a2 -18b2, f’(a) = 0 a = b 2
+ NÕu b=0 , ta cã b¶ng biÕn thiªn cña f(a) trªn D :
a
f’(a)
0
0
f(a)
0
+
+
Suy ra: f(a) 0 , víi mäi a thuéc D
+ NÕu b > 0 , Ta cã b¶ng biÕn thiªn cña f(a) trªn D:
6
a
f’(a)
0
0
17b3
-
b 2
0
+
+
b3 (17 − 12 2)
f(a)
Suy ra f(a)>0 víi mäi b > 0
C¶ hai tr-êng hîp
ta ®-îc f(a) 0 víi mäi a thuéc D .Hay
3
3
2
3a + 17b − 18ab 0 víi mäi a,b kh«ng ©m , ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=0
NhËn xÐt : B»ng c¸ch gi¶i t-¬ng tù, khi chän hµm sè víi b lµ biÕn sè vµ a lµ
tham sè ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn ta còng chøng minh ®-îc B§T ®· cho.
VÝ dô 2 :
Cho hai sè kh¸c 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (a+b)ab = a 2+b2 – ab. Chøng minh
1 1
r»ng:
+ 16
a 3 b3
Bµi gi¶i:
2
2
1 1 ( a + b ) ( a + b − ab )
C¸ch 1 : §Æt T = 3 + 3 =
a b
a3b3
§Æt S = a+b, P = ab víi ®iÒu kiÖn S 2 4 P (1). Khi ®ã theo gi¶ thiÕt bµi to¸n
S2
2
ta cã SP=S -3P , dÔ thÊy S 0, S −3 , do ®ã P =
vµ ®iÒu kiÖn (1) trë
S +3
S 1
4S 2
S −1
2
thµnh S
0
S +3
S +3
S −3
S 2 + 6S + 9
Ta biÓu diÔn T theo S : T =
.
S2
S 2 + 6S + 9
, S D = ( −; −3) 1; + )
XÐt hµm sè f ( S ) =
S2
−6(S + 3)
f '(S ) =
S3
B¶ng biÕn thiªn cña f(S) trªn D
S
f’(S)
−
-3
+
1
-
-
1
16
f(S)
0
7
1
1
Tõ ®ã suy ra: T 16 , §¼ng thøc x¶y ra khi a=b= .
2
C¸ch 2 :
2
2
2
2
1 1 ( a + b ) ( a + b − ab ) a + b 1 1
=
§Æt T = 3 + 3 =
= +
a b
a 3b3
ab a b
§Æt a=tb (t 0) , tõ gi¶ thiÕt suy ra (t+1)tb3=(t2-t+1)b2
t2 − t +1
t2 − t +1
b=
,a =
t (t + 1)
t +1
2
2
1 1 t + 2t + 1
Do ®ã T = + = 2
a b t − t +1
t 2 + 2t + 1
−3t 2 + 3
XÐt hµm sè f (t ) = 2
, f '(t ) =
2
t − t +1
( t 2 − t + 1)
2
B¶ng biÕn thiªn cña f(t):
t
f’(t)
−
-1
0
1
f(t)
0
+
1
0
4
+
1
Suy ra f(t) 4
1
Do ®ã: T 16 , §¼ng thøc x¶y ra khi a=b= .
2
VÝ dô 3 :
Chøng minh r»ng ,nÕu a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 3
th× : 3a2+3b2+3c2+4abc 13.
( TrÝch ®Ò tuyÓn sinh tr-êng §¹i häc Vinh n¨m 2001)
2
Bµi gi¶i : §Æt T= 3a +3b2+3c2+4abc -13
C¸ch 1 : (§¸nh gi¸ ®Ó -íc l-îng bÊt ®¼ng thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc cã chøa
mét biÕn).
Do vai trß cña a,b,c nh- nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö a b c ,suy
ra a+b 2c (1)
L¹i cã a+b+c=3 vµ a+b>c (2)
3
Tõ (1) ,(2) suy ra 3-c 2cvµ 3-c>c 1 c<
2
Ta biÕn ®æi T = 3(a2+b2)+3c2+4abc -13
= 3[(a+b)2-2ab] +3c2+4abc -13
= 3(3-c)2+3c2-2ab(3-2c)-13
8
a+b
Do 3-2c>0 vµ tõ bÊt ®¼ng thøc ab
suy ra :
2
1
3
1
2
2
T 3 ( 3 − c ) + c 2 − ( a + b ) ( 3 − 2c ) -9 = c3 − c 2 +
2
2
2
3
1
3
§Æt f(x)= x3 − x 2 + víi 1 x< .
2
2
2
3
3
f’(x)=3x2-3x=3x(x-1) 0 víi 1 x< suy ra f(x) ®ång biÕn trªn 1;
2
2
VËy: T f(x) f(1) = 0 ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1.
2
NhËn xÐt: Nhê sù ®¸nh gi¸ ta ®· -íc l-îng ®-îc mét bÊt ®¼ng thøc chØ
chøa mét biÕn.
C¸ch 2: (Kh¶o s¸t lÇn l-ît tõng biÕn)
Do vai trß cña a,b,c nh- nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö a b c ,suy
ra: a+b 2c
(1)
L¹i cã a+b+c=3 vµ a+b>c (2)
3
Tõ (1) ,(2) suy ra 3-c 2c vµ 3-c>c 1 c<
2
Víi mçi gi¸ trÞ b ®· chän , thay b=3-a-c vµo T ta ®-îc :
T=(6-4c)a2 -2(2c2-9c+9)a +6c2-18c+16=f(a)
V× f(a) lµ hµm sè bËc hai ®èi víi a cã hÖ sè cña a2 lµ (6-4c)>0 víi mäi
3−c
3
c 1; Suy ra f(a) nhá nhÊt khi a=
2
2
3−c 3 3 2 1
Do ®ã T f
= c − c + =g(c)
2
2
2
3
L¹i cã g’(c)=3c2-3c =3c(c-1) 0 víi mäi c 1;
2
VËy: T g(c) g(1)=0
NhËn xÐt :
- NÕu ba sè thùc d-¬ng cã tæng b»ng a th× Ýt nhÊt mét trong c¸c sè ®ã
a
a 2a
thuéc nöa kho¶ng 0; , mét sè thuéc ®o¹n ; .
3
3 3
- Khi gÆp bÊt ®¼ng thøc T=T(a;b;c) 0 víi a,b,c tho¶ m·n mét ®iÒu kiÖn
nµo ®ã , trong nhiÒu tr-êng hîp ta cã thÓ lµm nh- sau :
+ TÝnh b theo a vµ c
9
+ ViÕt T = f(a) , coi c lµ tham sè .
+ Chøng minh f(a) g(c).
+ Chøng minh g(c) 0 , suy ra T 0
VÝ dô 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän . Chøng minh r»ng :
sinA+sinB + sinC + tanA+ tanB + tanC >2
Bµi gi¶i :
B§T ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi B§T :
(sinA+ tanA -2A)+ (sinB + tanB -2B)+( sinC+ tanC-2C) > 0
(1)
(v× A+B+C= )
XÐt hµm sè f(x)= sinx+tanx -2x trªn D= 0; ,
2
(cosx − 1)(cos 2 x − cosx − 1
f '( x) =
cos 2 x
cosx − 1 0
f '( x) 0
Do x D 2
2
cos
x
−
cosx
−
1
=
−
sin
x
−
cosx
0
Suy ra: f(x) ®ång biÕn trªn D f(x)> f(0) =0
Víi x=A , x=B,x=C ta cã : f(A)>0, f(B)>0, f(C)>0
Céng ba B§T trªn ta cã (1)
VËy B§T ®-îc chøng minh
NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn ta ®· chän hµm sè ®¹i diÖn lµ f(x)= sinx+tanx -
2x trªn D= 0; .
2
VÝ dô 5 :
Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d-¬ng tho¶ m·n a2+b2+c2 = 1 Chøng minh r»ng:
a
b
c
3 3
+
+
b2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b2
2
( TrÝch ®Ò 26- Bé ®Ò TuyÓn sinh).
Bµi gi¶i :
B§T (1) ®· cho t-¬ng ®-¬ng víi B§T:
10
a
b
c
3 3
a2
b
c
3 3
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
1− a 1− b 1− c
2
2
a (1 − a ) b (1 − b ) c (1 − c )
XÐt hµm sè f ( x ) =
f '( x ) =
3x 2 − 1
x 2 (1 − x 2 )
1
trªn (0;1)
x (1 − x 2 )
, f '( x ) = 0 x =
2
3
(do x thuéc kho¶ng (0;1))
3
B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (0;1).
x
0
f’(x)
-
f(x)
Suy ra
3
3
0
1
+
3 3
2
min f ( x ) =
x( 0;1)
Víi x=a f ( a )
3 3
3 3
3
f ( x)
, x ( 0;1) .
khi x =
2
2
3
3 3
a2
3 3a 2
(1).
2
2
a (1 − a 2 )
b2
3 3b 2
c2
3 3c 2
T-¬ng tù víi x=b,x=c ta còng cã
( 2) ,
( 3)
2
2
b (1 − b 2 )
c (1 − c 2 )
Céng (1) , (2),(3) c¸c vÕ t-¬ng øng vµ chó ý a2+b2+c2=1,ta ®-îc ®iÒu cÇn
chøng minh , ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=
3
3
Bµi tËp t-¬ng tù:
1-Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc d-¬ng tho¶ m·n a+b+c=3. Chøng minh r»ng:
a + b + c ab + bc + ca
2-Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a>c, b>c, c>0 . Chøng minh r»ng:
c(a − c) + c(b − c) ab
( TrÝch ®Ò thi §¹i häc khèi A n¨m 1980).
3-Cho tam gi¸c ABC kh«ng tï . Chøng minh r»ng :
11
1
1
( cos3 A + cos3B + cos3C ) − ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) +
3
2
5
+ cosA + cosB + cosC
4
2
2
2
4- Cho c¸c sè thùc d-¬ng a,b,c tho¶ m·n a + b + c = 3 . Chøng minh r»ng :
1 1 1 3
15
+ + + (a + b + c)
a b c 2
2
PhÇn III: KÕt qu¶ nghiªn cøu vµ bµi häc kinh nghiÖm
1. KÕt qu¶ nghiªn cøu
®Ó kiÓm tra hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi t«i tiÕn hµnh kiÓm tra trªn hai ®èi t-îng cã
chÊt l-îng t-¬ng ®-¬ng lµ häc sinh líp 12B vµ líp 12I. Trong ®ã líp
12B ch-a ®-îc h-íng dÉn sö dông ®¹o hµm kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm
sè ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc . Víi h×nh thøc kiÓm tra lµ lµm bµi tù luËn
víi thêi gian 60 phót víi ®Ò bµi nh- sau:
®Ò kiÓm tra 60’
C©u 1: ( 5 ®iÓm)
a. Chøng ming r»ng nÕu x lµ sè thùc d-¬ng th× ta lu«n cã : ln x x
3
b. Chøng minh r»ng: 2cosx + cotx + 3x −
0, x 0;
2
2
C©u 2: ( 3 ®iÓm)
Cho a, b lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m. Chøng minh r»ng : 3a 3 + 7b3 9ab 2
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
Cho ba sè thùc d-¬ng a,b,c tho¶ m·n x+y+z=3 . Chøng minh r»ng:
x 2 + y 2 + z 2 + xyz 4
KÕt qu¶ thu ®-îc nh- sau:
§iÓm < 5
Líp
§iÓm 5 → <8
§iÓm 8
Sè l-îng
Sè l-îng
Sü sè
Sè l-îng
%
12 B
45
11
24,4%
30
12I
44
3
6,7%
27
12
%
66,7%
60,9%
%
4
8,9%
14
32,4%
2.Bµi häc kinh nghiÖm:
Qua ®Ò tµi nµy , t«i thu ®-îc mét sè bµi häc sau:
- Ph¶i cho häc sinh tiÕp cËn víi nhiÒu bµi to¸n víi nh÷ng c¸ch kh¸c nhau .
- RÌn luyÖn cho häc sinh ph©n tÝch bµi to¸n theo nhiÒu h-íng kh¸c nhau
®Ó t×m ra lêi gi¶i tèi -u nhÊt.
- RÌn luyÖn kü n¨ng tr×nh bµy ng¾n gän, chÆt chÏ ,hîp logic.
- Ph¸t huy tèi ®a tÝnh tÝch cùc ,chñ ®éng ,s¸ng t¹o cña häc sinh.
- T¹o ®iÒu kiÖn tèi ®a ®Ó häc sinh chñ ®éng gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n dùa
trªn c¬ së lý thuyÕt t-¬ng øng.
KÕt luËn
Sö dông kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc t¹o
cho häc sinh ph¸t triÓn tÝnh tÝch cùc , trÝ th«ng minh s¸ng t¹o , kü n¨ng vËn
dông linh ho¹t c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo trong gi¶i to¸n ; gióp c¸c em thÊy
®-îc sù gÇn gòi vµ tù tin víi m¶ng kiÕn thøc khã nµy.
Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy trªn c¸c buæi «n thi häc sinh giái vµ «n thi §¹i
häc t¹i c¸c líp 12B, 12I vµ ®éi tuyÓn häc sinh giái cña tr-êng THPT Ba §×nh
®· cho kÕt qu¶ tèt . Häc sinh cã thÓ sö dông linh ho¹t c¸c ph-¬ng ph¸p kh¸c
nhau ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ ph-¬ng tr×nh, bÊt ph-¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ
lín nhÊt , gi¸ trÞ nhÊt cña hµm sè, ®Æc biÖt lµ c¸c bµi to¸n chøng minh bÊt
®¼ng thøc . ®ång thêi qua ®ã gióp häc sinh ph¸t triÓn t- duy tÝch cùc , ®éc
lËp, s¸ng t¹o vµ tiÒm n¨ng vËn dông tri thøc vµo nh÷ng t×nh huèng míi .
V× nhiÒu lÝ do kh¸c nhau , nªn trong bµi viÕt nµy, t«i còng chØ míi nªu
ra c¸ch gi¶i quyÕt mét sè d¹ng bÊt ®¼ng thøc nhê sö dông c«ng cô ®¹o hµm.
RÊt mong ®-îc sù ®ãng gãp, cïng trao ®æi cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó cã
thÓ khai th¸c tèt nhÊt c¸c bµi to¸n thuéc thÓ lo¹i nµy .
T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n!
Nga S¬n, ngµy 28 th¸ng 4 n¨m 2011
Ng-êi thùc hiÖn
NguyÔn V¨n KÕ
13
- Xem thêm -