A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Toán học là ngành khoa học cơ bản, Toán học có tác dụng lớn đối với các
ngành khoa học khác. Đây là một khoa học suy diễn, mẫu mực về sự chính xác
cao và suy luận chặt chẽ. Môn Toán có một vị trí quan trọng trong trường phổ
thông, vì nó có khả năng to lớn trong việc thực hiện nhiệm vụ của nhà trường.
đồng thời nó giúp cho học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. việc
tìm kiếm, chứng minh một định lý, tìm một lời giải hay cho một bài toán, có tác
dụng rèn luyện cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy
luận… qua đó có tác dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo.
Trong Toán học có nhiều phân môn, mỗi phân môn có nét đặc trưng riêng
của nó. Ở trường trung học cơ sở hiện nay, học sinh được học các phân môn số
học, đại số và hình học. Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi học
sinh cấp hai, vì tính trừu tượng của hình học khá cao. Có thể nói rằng, hầu hết các
học sinh hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập hình học, từ phần
nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên đề,… đến việc hoàn thiện các
chứng minh dạng toán, các lập luận, suy luận để đến điều phải chứng minh. Hầu
hết học sinh của các chưa cảm nhận được cái hay, cái đẹp ở hình học, rất ngại khi
học hình học này vì nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa
cao, đặc biệt là việc tư duy chứng minh một bài toán hình học đối với các em còn
nhiều khó khăn. Chính vì vậy việc rèn luyện cho học sinh hình thành và phát
triền tư duy hình học và có kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán
chứng minh hình học cơ bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng
cao là một yêu cầu cơ bản đối với việc giảng dạy phân môn hình học ở bậc
THCS đặc biệt đối với học sinh lớp 7. Đối với học sinh lớp 7, việc chứng minh
một bài toán hình học càng khó hơn khi các em bước đầu làm quen với các
bước suy luận chứng minh hình học, các em phải tìm tòi, phải tưởng tượng, các
em phải tìm lời giải trên cơ sở hình vẽ, kiểm nghiệm tính đúng đắn bằng các tính
chất, định lý, chứ không phải như “ một cộng một bằng hai ” mà các em quen từ
lâu, chính vì vậy việc “ Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh lớp 7”
là yêu cầu rất quan trọng đối với giáo viên khi dạy học phân môn hình học.
* * *
1
B.NỘI DUNG
Để rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh, trước hết các em phải
nắm vững các phương pháp chứng minh cơ bản của hình học 7 đó là:
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 7.
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể sử dụng một trong
những cách sau:
- Chứng minh dựa vào tam giác cân, tam giác đều.
- Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Chứng minh dựa vào đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường
trung trực của tam giác
- Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác.
2. Chứng minh hai góc bằng nhau.
Để chứng minh hai góc bằng nhau chúng ta có thể sử dụng một trong
những cách sau:
- Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều.
- Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song.
- Chứng minh dựa vào tính chất của tia phân giác một góc, đường phân
giác của tam giác.
- Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Chứng minh hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba.
3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể:
- Dựa và định nghĩa chứng minh một trong các góc tạo thành bởi hai
đương thẳng cắt nhau có số đo là 900 .
- Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song.
- Dựa vào tính chất của đường trung tuyến của tam giác vuông ứng với
cạnh huyền thì bằng nửa độ dài cạnh huyền.
- Dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác
- Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng,của tam giác.
- Dựa vào định lí Pytago.
- Dựa vào định lý về tổng 3 góc trong một tam giác áp dụng vào tam giác
vuông.
- Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc kề bù.
2
4. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể:
- Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
- Dựa vào quan hệ giữa tính vuông góc và tính song. ( Nếu hai đường
thẳng phân biệt cùng vuông góc hoặc song song với đường thẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau).
5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thế:
- Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm. (AM + MB = AB M
nằm giữa A và B).
- Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành một góc có số đo bằng 180 0
thì A, B, C thẳng hàng.
- Dựa vào tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng
vuông góc với một đường thẳng thứ ba và có một điểm chung thì hai
đường thẳng đó trùng nhau.
- Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc đối đỉnh.
- Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một tập hợp đường như: đường
trung trực, đường cao, đường phân giác... ).
6. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh:
- Hai đường thẳng cắt nhau và đường thẳng còn lại đi qua giao điểm đó.
- Dựa vào tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
Muốn học sinh thành thạo giải một bài toán chứng minh hình học thì trước
hết các em phải nắm được các phương pháp chứng minh cơ bản trên.
7. Chứng minh tính chất của một hình.
Trong hình học 7 ta bắt gặp nhiều bài yêu cầu chứng minh một tam giác là
tam giác cân, đều vuông... các đoạn thẳng là đường cao, đường trung tuyến,
đường phân giác. Về phương pháp chung ta có thế chứng minh các bài toán trên
thông qua các phương pháp chứng minh trên
III. RÈN KỸ NĂNG CHỨNG MINH HÌNH HỌC CHO HỌC SINH
Việc học sinh được rèn luyện kỹ năng chứng minh hình là vô cùng quan
trong. Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích, tư duy môt bài toán
3
hình học sau khi các em đã được trang bị những kiến thức cơ bản và phương
pháp chứng minh trên thì giáo viên phải:
1. Rèn kĩ năng vẽ hình:
- Vẽ hình cần chính xác, rõ ràng,để tìm ra hướng giải toán
- Không nên vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt có khi khó chứng minh
( Ví dụ yêu cầu vẽ tam giác thì ta chỉ vẽ tam giác thường .)
- Nhiều bài giáo viên yêu cầu học sinh cần vẽ hình theo kết luận.
2.Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh:
Để chứng minh được một bài toán hình bất kì nào thì học sinh phải được:
a,Rèn kỹ năng vận định lí:
Học sinh phải được rèn kỹ năng nhận dạng yêu cầu chứng minh nào đó
trong bài có khả năng vận dụng những định lí nào? Xuất phát từ kết luận của bài
toán, học sinh sẽ tư duy và kết hợp các giả thiết của bài cùng các kiến thức đã
học để tìm cách chứng minh bài toán.
b, Rèn cách trình một bài toán chứng minh.
Sau khi học sinh đã tìm được lời giải cho bài toán nhiều học sinh sẽ lúng
túng không biết trình bày như thế nào? Nhiều học sinh trình bày chưa khoa học,
sắp xếp chưa đúng trình tự dẫn đến viêc chứng minh các ý tiếp theo gặp nhiều
khó khăn. Vì vậy giáo viên phải yêu cầu học sinh trình bày tuần tự xuất phát từ
giả thiết. Các kết luận sử dung nhiều hoặc nhiều kết luận sử dụng để phục vụ
cho kết luận chung thì cần ký hiệu đánh dấu. . .
3.Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp:
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân
tích( từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp
tổng hợp ( từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử
dụng phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rối dùng phương pháp
tổng hợp để viết phần chứng minh.
Khi hướng dấn học sinh tìm lời giải một bài tập thì giáo viên cần chú ý
hướng dẫn cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán , ta
thường gặp hai quy tắc suy luận là quy tắc quynạp và quy tắc diễn dịch.
4
- Quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung ,từ cụ thể đến tổng
quát ,quy nạp thường là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể
xảy ra.
- Diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
4Rèn kĩ năng đặc biệt hóa:
Trong nhiều bài toán học giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể đưa giả
thiết của bài toán về những trường hợp đặc biệt để tìm kết quả và phương pháp
giải quyết bài toán.
5. Rèn kĩ năng tổng quát hóa:
Trong nhiều bài toán sau khi giải quyết xong thì giáo viên có thể tổng quát
hoá bài toán nhằm nâng cao tư duy hình học cho học sinh như:
- Thay hằng số bởi biến.
- Thay điều kiện trong bài toán bằng điều kiện rộng hơn.
- Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kì của nó ,
ví dụ thay trọng tâm tam giác bởi một điểm bất kì nằm trong tam giác.
- Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn.
Trên đây là một số kỹ năng mà giáo vên cần rèn luyện cho học sinh trong
quá trình giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phân môn hình học .
III. VẬN DỤNG VÀO SOẠN & DẠY MỘT TIẾT LUYỆN TẬP
Việc rèn luyện cho học sinh các kỹ năng chứng minh trên trong quá
trình giảng dạy đối với mỗi giáo viên là việc hết sức qua trọng. Để xây dưng
một tiết học mà các em được rèn luyện các kỹ năng một cách phù hợp với bản
thân là một nhiệm vụ không dễ đối với người thầy. Người thầy phải xác
định rõ mục tiêu của từng tiết dạy.
1. Đối với dạy bài mới.
- Giáo viên phải cung cấp các tri thức mới một cách nhẹ nhàng và tự
nhiên giúp các em dễ tiếp thu.
- Sau mỗi kiến thức trọng tâm giáo viên cần khắc sâu hoặc gợi mở các
phương pháp chứng minh liên quan:
VD: Sau khi dạy xong bài: Tính chất tia phân giác của một góc. Giáo
viên có thể hỏi: Vậy qua bài hôm nay muốn chứng minh tia ON là tia phân
� ta có thể chứng minh như thế nào?
giác của xOy
- Dạy học định lí nên thường xuyên theo phương pháp quy nạp để các
em tự mình khám phá những kiến thức mới từ đó các em hiểu sâu và chắc.
5
- Đối với mỗi kiến thức mới giáo nên là người nêu các tình huống có
vấn đề cho các em khám phá cùng với các câu hỏi, hướng dẫn gợi mở của
người thầy.
2. Đối với tiết luyện tập.
- Trong các tiết luyện tập giáo viên thường xuyên quan tâm tới các kỹ
năng của từng đối tượng, từ kỹ năng vẽ hình đến kỹ năng phân tích tìm lời
giả…
- Đối với mỗi bài toán giáo viên cần hình thành cho học sinh thói quen
phân tích giả thiết, kết luận để tăng khả năng tư duy khi đi tìm lời giải.
- Sau mỗi bài giáo viên cần nhận xét rút kinh nghiệm về phương pháp,
kỹ năng trình bày cho học sinh.
- Đối với mỗi đối tượng học sinh giáo viên cần có yêu cầu cụ thể theo
mức độ từ dễ đến khó.
- Trong tiết luyện tập giáo viên nên phân thành các dạng bài và rút ra
phương pháp giải.
3. Đối với tiết ôn tập
Đối với những tiết ôn tập thì việc rèn luyện các kỹ năng được đưa ra
một cách tổng quát, song song với đó là việc ôn luyện lại những kiến thức đã
học của chương của kì..Chính vì vậy giáo viên phải:
- Hệ thống các dạng bài, các phương pháp bên cạnh việc hệ thống các
kiến thức.
- Các bài tập đưa ra nên có tính chất tổng quát, tổng hợp nhiều kiến thức
giúp các em có khả năng tư duy tổng hợp.
- Đối với mỗi dạng toán sau một chương, một kỳ… thì có nhiều
phương pháp giải, phương pháp tư duy vì vậy giáo viên cần định hướng cụ
thể cho học sinh tránh học sinh bị lan man không xác định được phương
hướng.
Sau đây tôi xin vận dụng vào soạn giảng một tiết luyện tập hình học 7:
Tiết 34 LUYỆN TẬP
-Về 3 trường hợp bằng nhau của hai tam giácI. Mục tiêu:
Sau khi học xong bài này học sinh cần nắm được:
1. Về kiến thức
- Học sinh nắm vững ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
2. Về kỹ năng:
- Rèn kỹ năng vẽ hinh, kỹ năng phân tích , trình bày bài, kỹ năng chứng minh
hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
3. Về thái độ:
- Rèn tính cần thận, chính xác. Tinh thần làm việc độc lập, hợp tác.
II. Chuẩn bị:
Gv: Thước thẳng, compa
IV. Tiến trình dạy học
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
Ghi bảng
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ
6
Áp dụng những
HS: Trả lời câu hỏi
trường hợp bẳng nhau
của hai tam giác đã
biết vào tam giác
vuông ta có những
trường hợp nào?
GV: yêu cầu học sinh HS chữa bài tập
chữa bài tập 43/sgk
GV chốt lại các
trường hợp bằng nhau
của hai tam giác đã
học
* Đặt vấn đề: Ở các bài trước chúng ta đã được nghiên cứu về các trường hợp
bằng nhau của hai tam giác, hôm nay chúng ta sẽ tiếp tục vận dụng các trường
hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai
góc bằng nhau.
Hoạt động 2 : Tổ chức luyện tập
GV Cho học sinh làm
1. Vận dụng các trường hợp bằng
nhau của hai tam giác để chứng
bài tập 44/sgk
minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 44/sgk (125)
A
GV yêu cầu học sinh
đọc đề rồi vẽ hình ghi
giả thiết kết luận của
bài toán.
1 2
HS vẽ hình và ghi giả
thiết kết luận
GV: Hai tam giác
ABD và ∆ADC có HS quan sát hình vẽ và
những yếu tố nào trả lời
bằng nhau?
1 2
B
GT
KL
GV cho học sinh lên HS lên bảng trình bày
bảng chứng minh
phần a.
HS khác nhận xét đánh
7
D
C
�B
�.
∆ABC : A
Phân giác của Â
cắt BC tại D
a.∆ADB = ∆ADC
b.AB = AC
Chứng minh:
a) Ta có:
� =C
� (GT)
B
�1 = D
�2
� D
�
�
A1 = A 2 (GT)
Xét ∆ABD và ∆BDC có:
giá bài làm của bạn
? Có nhận xét gì về HS là hai cạnh tương
hai đoạn thẳng AB ứng của hai tam giác
và AC
bằng nhau.
� =C
� (GT)
B
AD chung
�1 = D
� 2 (cmt)
D
� ∆ABD = ∆BDC ( g-c-g)
b) ∆ABD = ∆BDC (cmt)
� AB = AC
=> điều phải chứng
minh.
GV chốt lại vậy qua HS: Ta có thể vận dụng
bài tập 44/sgk ta rút các trường hợp bằng
ra điều gì?
nhau của hai tam giác
để chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau.
GV cho học sinh đọc HS đọc đề và suy nghĩ
đè bài tập 60 SBT.
Bài tập 60 (SBT - 105)
GV Hướng dẫn học
sinh vẽ hình và ghi HS vẽ hinh ,ghi giả
giả thiết kết luận của thiết kết luận
bài toán
GT
? Muốn chứng minh
hai đoạn thẳng AB = HS: ta có thể chứng
BE ta có thể chứng minh hai tam giác bằng
minh như thế nào?
nhau
GV cho học sinh lên
bảng trình bày
KL
� 0
ΔABC: A=90
� =�
ABD
CBD, DE BC
AB = BE
Chứng minh:
Xét ∆ABD và ∆EBD có:
� =�
A
E = 900 (gt)
�1 = �
B
B2
BD chung
HS khác nhận xét đánh
giá bài làm của bạn
� ABD = EBD (ch - gn)
� AB = BE
GV chốt lại phương
dạng toán cho học
sinh
2.Vận dụng các trường hợp bằng
nhau của hai tam giác để
GV đọc bài cho học
8
chứng minh hai góc bằng
nhau.
sinh
Bài toán: Cho tam giác
ABC có Â=900 và BC =
2AB, E là trung điểm
của BC. Tia phân giác
HS đọc đề và vẽ hình ,
� cắt AC ở D.
của B
Bài tập :
ghi giả thiết, kết luận,
Chứng minh:
a, DB là tia phân giác
�
của ADE
b, BD= DC.
� của VABC
� ,C
c, Tính B
? Muốn chứng minh
DB là tia phân giác HS ta cần chứng minh
�
của ADE
ta cần
�
�
chứng minh điều gì? ADB = EDB,
GT
� 0
ΔABC: A=90
� =�
ABD
CBD, EB=EC
KL
a, DB là tia phân giác của
�
ADE
b, BD = DC
� của VABC
� ,C
c, Tính B
? Vậy muốn chứng
minh hai góc bằng HS: ta có thể chứng
nhau ta có thể chứng
minh hai tam giác bằng a, Có E là trung điểm của BC
minh hư thế nào?
GV cho học sinh lên
=> BC = 2 BE mà BC = 2 AB
nhau.
bảng CM
=> BE = AB
Xét ∆ABD và ∆EBD có:
HS chứng minh
AB = EB ( cmt)
�1 = �
B
B2 ( gt )
BD chung
GV nhận xét đánh giá
bài làm của học sinh.
� ABD = EBD (c-g-c)
� EDB
�
� ADB
? vậy qua
phần
chứng minh vừa rồi
ta rút ra nhận xét gì? HS : Ta có thể chứng DB nằm giữa DA và DE =>
minh hai góc bằng nhau DB là tia phân giác của
�
ADE
GV cho học sinh bằng cách chứng minh
chứng minh các phần hai tam giác bằng nhau.
còn lại .
9
b, có ∆ABD = ∆EBD
� 900 => DEC
� 900
=> DEB
Xét ∆DEB và ∆DEC có
� DEC
� =900
DEB
EB = EC (gt)
DE chung
GV chốt để chứng
=> ∆DEB = DEC ( c.g.c)
minh hai đoạn thẳng HS lên bảng thực hiện
=> DB = DC.
hoặc hai góc bằng
c, ∆DEB = ∆DEC
nhau ta có thể vận
�
� =2 C
=> C� B� 2 => B
dung các trường hợp
Mà C� B� 90o
bằng nhau của hai
=>3 C� =900
tam giác để chứng
minh
=> C� 30o ; B� 60o
Hoạt động 3: Củng cố
Giáo viên chốt lại phương pháp vận dụng các trường hợp bằng nhau của
hai tam giác để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau và được
vận dụng thường xuyên trong các dạng toán chứng minh khác
Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà
- Làm bài tập 63 SBT và làm thêm bài tập
Cho ABC, có Â> 900. Trong  vẽ AD AB và AD = AB, AE AC và
AE = AC.Gọi M là trung điểm của DE Chứng mính AM BC
- Đọc và ngiên cứu trước bài Tam giác cân.
C. KẾT LUẬN
Qua quá trình giảng dạy nhiều năm, tôi nhận thấy nếu học sinh nắm chắc
được các kiến thức, có kỹ năng chứng minh thành thạo các bài toán hinh học ở
lớp 7 thì lên các khối lớp tiếp theo các em sẽ say mê học tập bộ môn Toán hơn.
Chính vì vậy đối với các thầy cô giảng dạy trực tiếp bộ môn Toán lớp 7, việc
10
quan tâm đến rèn kỹ năng chứng minh cho học sinh là vô cùng cần thiết. Với
những kinh nghiệm giảng dạy ít ỏi trên, kính mong sự đóng góp của các thầy cô
để chúng ta nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
11
- Xem thêm -