gióp häc sinh líp 4; 5 ph©n lo¹i vµ gi¶i bµi to¸n
b»ng ph¬ng ph¸p tÝnh ngîc tõ cuèi
( Kinh nghiÖm ®îc xÕp bËc 4)
NG¦T Vâ V¨n §µn
Phßng GD&§T TP Vinh
A. §Æt vÊn ®Ò.
Båi dìng häc sinh giái lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt. Trong ch¬ng tr×nh to¸n
tiÓu häc cã nhiÒu néi dung liªn quan ®Õn viÖc båi dìng häc sinh giái. ViÖc båi dìng häc sinh giái kh«ng chØ nh»m gióp c¸c em gi¶i ®îc c¸c bµi to¸n khã, mµ qua
®ã båi dìng kh¶ n¨ng t duy, suy luËn ®Ó ¸p dông vµo cuéc sèng hiÖn t¹i ®ang ®ßi
hái mçi ngêi. Cã nhiÒu d¹ng to¸n, bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau. Trong
®ã cã nh÷ng c¸ch gi¶i dïng ®Õn kiÕn thøc ë c¸c líp trªn, cha phï hîp víi t duy
cña häc sinh tiÓu häc ( 6 - 11 tuæi ). Mét vÊn ®Ò cÇn ®îc quan t©m ®ã lµ víi néi
dung bµi to¸n ®ã cÇn ®îc gi¶i theo l«gic vµ kh¶ n¨ng suy nghÜ cña c¸c em. Trong
bµi viÕt nµy t«i muèn ®Ò cËp ®Õn mét ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n kh¸ quen thuéc vµ
gÇn gòi víi häc sinh tiÓu häc ®ã lµ Gi¶i bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p tÝnh ngîc tõ
cuèi ( suy luËn tõ cuèi - suy luËn tõ díi lªn ). Víi lo¹i to¸n nµy cÇn gióp häc sinh
ph©n lo¹i nh thÕ nµo, cã nh÷ng c¸ch gi¶i nµo, c¸c bíc gi¶i ®îc thùc hiÖn tr×nh tù
nh thÕ nµo?. Qua ®©y t«i muèn trao ®æi cïng b¹n ®äc vµ ®ång nghiÖp quan t©m
®Õn viÖc båi dìng häc sinh giái to¸n mét sè vÊn ®Ò xung quanh c¸ch suy nghÜ,
dÉn d¾t häc sinh t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n.
B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
I. ThÕ nµo lµ gi¶i bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p tÝnh ngîc tõ cuèi ?
Cã mét sè bµi to¸n mµ ta cã thÓ t×m sè cha biÕt b»ng c¸ch thùc hiÖn liªn tiÕp
c¸c phÐp tÝnh (hoÆc qu¸ tr×nh biÕn ®æi) ngîc víi c¸c phÐp tÝnh ®· cho trong bµi
to¸n. Nh vËy lµ tõ kÕt qu¶ cuèi cïng, ta tÝnh ngîc l¹i ®Ó t×m ®îc gi¸ trÞ tríc cuèi
vµ cø tiÕp tôc nh vËy cho ®Õn sè ph¶i t×m. Gi¶i bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p nh vËy
gäi lµ ph¬ng ph¸p tÝnh ngîc tõ cuèi hoÆc suy luËn tõ cuèi hoÆc suy luËn tõ díi
lªn.
II. Mét sè d¹ng c¬ b¶n
Lo¹i to¸n gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p tÝnh ngîc tõ cuèi cã nhiÒu d¹ng. Trong
bµi viÕt nµy t«i chØ xin ®a ra mét sè d¹ng c¬ b¶n, gÇn gòi víi häc sinh tiÓu häc vµ
híng gi¶i quyÕt cho c¸c d¹ng ®ã.
1- D¹ng thø nhÊt: D¹ng biÕn ®æi b»ng c¸c phÐp tÝnh ®¬n gi¶n, qu¸ tr×nh t×m
tßi c¸ch gi¶i cã thÓ dïng lîc ®å hoÆc ®a vÒ bµi to¸n t×m x quen thuéc.
2- D¹ng thø 2: C¸c phÐp biÕn ®æi liªn quan ®Õn ph©n sè ( c¸c phÐp chia phøc
t¹p ) qu¸ tr×nh t×m tßi c¸ch gi¶i vµ gi¶i nªn sö dông S§§T ( S¬ ®å ®o¹n th¼ng ) ,
mét ph¬ng ph¸p ®Æc biÖt phï hîp víi häc sinh tiÓu häc.
3- D¹ng thø 3: Qu¸ tr×nh biÕn ®æi lµ viÖc thªm bít tõ phÇn nµy qua phÇn kia
mét sè ®¬n vÞ hoÆc mét sè lÇn hoÆc mét sè phÇn cña ®Þa chØ cÇn ®Õn. Ph¬ng ph¸p
suy luËn ®Ó t×m tßi c¸ch gi¶i chuÈn x¸c vµ gÇn gòi, phï hîp víi nhËn thøc cña
c¸c em lµ b»ng c¸ch lËp b¶ng biÕn ®æi.
4- D¹ng thø 4: Qu¸ tr×nh biÕn ®æi liªn tiÕp phøc t¹p cuèi cïng c¸c phÇn ®îc
chia ra b»ng nhau. §Ó t×m tßi c¸ch gi¶i cÇn biÕt ph©n tÝch tõ thµnh phÇn " tríc
cuèi" hay " ¸p chãt" vµ mèi quan hÖ gi÷a gÝa trÞ " ¸p chãt" vµ gÝa trÞ cuèi cïng
®Ó suy ra kÕt qu¶ cña bµi to¸n.
III. C¸c vÝ dô vµ híng dÉn
1. D¹ng thø nhÊt:
VÝ dô 1.1: T×m mét sè biÕt r»ng nÕu ®em sè ®ã céng víi 32, ®îc bao nhiªu
®em chia cho 3, råi nh©n víi 4 th× b»ng 120.
Híng dÉn gi¶i:
Víi bµi to¸n d¹ng nµy, ta cã thÓ sö dông c¸c c¸ch:
+ Dïng lîc ®å
+ Dïng s¬ ®å ®o¹n th¼ng
+ §a vÒ bµi to¸n " t×m x" ( LËp ph¬ng tr×nh )
1
§Ó phï hîp víi nhËn thøc cña häc sinh tiÓu häc ( ®Æc biÖt lµ c¸c em cßn ë
møc trung b×nh v¬n lªn kh¸ giái ), ta nªn híng dÉn c¸c em sö dông lîc ®å nh
sau:
+ 32
A?
- 32
:3
B
x3
C
x4
:4
120
NÕu ta quay lîc ®å nµy mét gãc 90 ta cã c¸ch nãi suy luËn tõ díi lªn
- 32
A?
x3
B
0
+ 32
: 3
x4
:4
C
A
B»ng c¸c dÊu mòi tªn ngîc víi qu¸
tr×nh biÕn ®æi cña ®Ò ra ta dÔ dµng gióp
c¸c em t×m ra kÕt qu¶ bµi to¸n.
C x 4 = 120 . VËy, muèn t×m C ta
lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ?
( 120 : 4 = 30. VËy C = 30 )
B : 3 = 30 . VËy, muèn t×m B ta
lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ?
( 30 x 3 = 90. VËy B = 90 )
120
A + 32 = 90 . VËy, muèn t×m A ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ?
( 90 - 32 = 58 . VËy A = 58 - §©y chÝnh lµ sè ph¶i t×m cña bµi to¸n ).
Lu ý: Lîc ®å chØ nªn sö dông ë phÇn nh¸p ®Ó t×m tßi c¸ch gi¶i. NÕu vÏ
vµo bµi lµm th× rêm rµ vµ mÊt thêi gian.
Bµi gi¶i cô thÓ:
Sè tríc khi nh©n víi 4 lµ: 120 : 4 = 30
Sè tríc khi chia cho 3 lµ: 30 x 3 = 90
Sè ph¶i t×m ( hay tríc khi céng 32 ) lµ: 90 - 32 = 58
§¸p sè: 58
Bµi to¸n trªn ta cã thÓ híng dÉn häc sinh gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p dïng s¬ ®å
®o¹n th¼ng nh sau:
Sè cÇn t×m :
32
Sè sau khi céng víi 32:
Sè sau khi chia cho 3:
Cuèi cïng :
120
Lu ý: Sè sau khi céng víi 32 hay tríc khi chia cho 3 lµ mét
* Gi¶i b»ng c¸ch ®a vÒ bµi to¸n t×m X ( t×m thµnh phÇn cha biÕt trong
phÐp tÝnh - lËp ph¬ng tr×nh )
Gäi sè cÇn t×m lµ X ta cã : ( X + 32 ) : 3 x 4 = 120 . Gi¶i:
( X + 32 ) : 3 = 120 : 4
( X + 32 ) : 3 = 30
X + 32 = 30 x 3
X + 32 = 90
X = 90 - 32
X = 58
Lu ý: 6 bµi to¸n t×m X ë d¹ng c¬ b¶n:
X+a=b; Xxa=b; X-a=b; a-X=b,
X:a=b;
a:X=b
Trong ®ã a, b lµ c¸c sè ®· biÕt X lµ sè cÇn t×m. HÇu hÕt c¸c bµi to¸n t×m X ë
tiÓu häc ( gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã mét Èn sè ) kh«ng ë d¹ng c¬ b¶n, qua mét
sè biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Òu ®îc ®a vÒ mét trong 6 d¹ng c¬ b¶n trªn.
VÝ dô 1.2: T×m mét sè biÕt r»ng sè ®ã nh©n víi 5 råi céng víi 45, ®îc bao nhiªu
nh©n víi 4 råi chia cho 2 vµ cuèi cïng trõ ®i 17 th× ®îc kÕt qu¶ lµ 2073.
Híng dÉn gi¶i:
2
Dïng lîc ®å:
x5
X?
X?
+ 45
A
:5
- 45
x4
B
:4
:2
C
x2
- 17
D
2073
+ 17
Bµi gi¶i: ( Nªn híng dÉn häc sinh tr×nh bµy theo kiÓu díi ®©y)
Sè tríc khi trõ ®i 17 lµ : 2073 + 17 = 2090
Sè tríc khi chia cho 2 lµ : 2090 x 2 = 4180
Sè tríc khi nh©n víi 4 lµ : 4180 : 4 = 1045
Sè tríc khi céng víi 45 lµ : 1045 - 45 = 1000
Sè ph¶i t×m lµ : 1000 : 5 = 200
§¸p sè: 200
Dïng S§§T
D¹ng bµi nµy t×m tßi c¸ch gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p sö dông S§§T ®îc nhng
ph¶i vÏ h¬i phiÒn phøc. C¸ch vÏ vµ c¸ch tr×nh bµy t¬ng tù vÝ dô 1.1, nªn kh«ng
tr×nh bµy ë ®©y.
Sö dông c¸ch ®a vÒ bµi to¸n t×m X.
ViÖc sö dông c¸ch ®a vÒ bµi to¸n t×m X còng kh¸ ®¬n gi¶n, t¬ng tù vÝ dô
1.1, viÖc ®a vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh nh thÕ nµy cha thËt phï hîp víi häc sinh tiÓu
häc. Bªn c¹nh ®ã cÇn lu ý häc sinh khi sö dông dÊu ngoÆc ®¬n mét c¸ch hîp lý.
Cô thÓ: Gäi sè ph¶i t×m lµ X ta cã:
(X x 5 + 45 ) x 4 : 2 - 17 = 2073.
Gi¶i bµi to¸n nµy ta t×m ®îc X = 200. C¸ch gi¶i t¬ng tù vÝ dô 1.1 ®· tr×nh bµy.
2 - D¹ng thø hai:
VÝ dô 2.1: Mét ngêi ®em b¸n mét sè cam. LÇn ®Çu b¸n 1/3 sè cam, lÇn thø
hai b¸n 1/3 sè cam cßn l¹i, lÇn thø ba b¸n 20 qu¶ th× cßn 56 qu¶. Hái lóc ®Çu ngêi ®ã cã tÊt c¶ bao nhiªu qu¶ cam ?
Híng dÉn gi¶i:
Dïng lîc ®å: D¹ng nµy nÕu dïng lîc ®å th× sÏ khã kh¨n trong viÖc biÓu
diÔn phÇn cßn l¹i sau mçi lÇn bít. Cô thÓ:
Bít 1/3 cña X
X?
Bít 1/3 cña A
A
- 20
B
( Suy luËn theo ®êng mòi tªn cã nÐt ®øt ®Ó gi¶i bµi to¸n )
56
+ B¸n ®i 20 qu¶, cßn 56 qu¶. VËy, muèn t×m sè cam tríc khi b¸n 20 qu¶ ta cã
thÓ lµm nh thÕ nµo? ( lÊy 56 céng víi 20, ta cã 56 + 20 = 76. Nh vËy B = 76 qu¶ )
+ Bít ®i 1/3 cña A th× b»ng B, tøc b»ng 76. VËy, muèn t×m A ta cã thÓ lµm nh thÕ
nµo ?. Híng dÉn c¸ch nghÜ: A bít ®i 1/3 cña nã th× cßn 2 A, mµ 2 A b»ng 76 ,
3
3
vËy A = 76: 2/3 = 114 ( cã thÓ tr×nh bµy A = 76 : 2 x 3 = 114). VËy A = 114
+ Bít ®i 1/3 cña X th× b»ng A, tøc b»ng 114. VËy, muèn t×m X ta cã thÓ lµm nh
thÕ nµo ?T¬ng tù nh c¸ch t×m A ta cã: X = 114 : 2/3 = 171.VËy, X ( sè cÇn t×m ) lµ
171.
C¸ch gi¶i cô thÓ:
Tríc khi b¸n 20 qu¶ , ngêi ®ã cßn sè cam: 56 + 20 = 76 ( qu¶ )
Sè cam cßn l¹i tríc khi b¸n lÇn thø hai lµ: 76 : 2/3 = 114 ( qu¶ )
Sè cam ngêi ®ã ®em b¸n lµ: 114 : 2/3 = 171 ( qu¶ )
§¸p sè 171 qu¶
Dïng S§§T ( Ph¬ng ph¸p chñ c«ng cña lo¹i nµy )
3
§Ó phï hîp víi HS tiÓu häc ( ®Æc biÖt ®èi víi nh÷ng häc sinh cha häc c¸c
phÐp tÝnh vÒ ph©n sè ). Nªn híng dÉn HS sö dông ph¬ng ph¸p dïng S§§T.
Ta cã S§§T nh sau:
Sè cam cÇn t×m:
Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn I:
Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn II :
20 qu¶
Cuèi cïng
56 qu¶
Híng dÉn gi¶i:
T×m sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai ( hay tríc khi b¸n lÇn thø ba ).
Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai ®îc biÓu diÔn b»ng hai ®o¹n th¼ng: ®o¹n
cuèi cïng 56 qu¶ vµ ®o¹n biÓu diÔn 20 qu¶. Nh vËy, muèn t×m sè cam cßn l¹i sau
lÇn b¸n thø hai ta lµm nh thÕ nµo? ( 56 + 20 = 76 ).
T×m tiÕp sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt. Sè cam nµy ®îc biÓu diÔn
b»ng ®o¹n th¼ng cã 3 phÇn b»ng nhau, mµ 2 phÇn trong ®ã chÝnh lµ 76 qu¶. VËy,
muèn t×m sè cam cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo?
( lÊy 76 chia 2 ®Ó t×m 1 phÇn, råi nh©n víi 3 ®Ó cã 3 phÇn cô thÓ 76 : 2 x 3 = 114).
T×m sè cam ngêi ®ã ®em b¸n. Toµn bé sè cam nµy ®îc biÓu diÔn b»ng
®o¹n th¼ng chøa 3 phÇn b»ng nhau, mµ trong ®ã cã 2 phÇn b»ng 114 qu¶. VËy,
muèn t×m sè cam ngêi ®ã ®em b¸n ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( lÊy 114 chia 2 ®Ó
t×m 1 phÇn, råi nh©n víi 3 ®Ó t×m 3 phÇn - Cô thÓ : 114 : 2 x 3 = 171).
Bµi gi¶i cô thÓ:
Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai lµ : 65 + 20 = 76 ( qu¶)
Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn ®Çu lµ: 76 : 2 x 3 = 114 (qu¶)
Sè cam lóc ®Çu lµ : 114 : 2 x 3 = 171 ( qu¶)
§¸p sè: 171 qu¶ cam
Sö dông c¸ch ®a vÒ bµi to¸n t×m X:
Víi d¹ng nµy, nÕu ta híng dÉn häc sinh gi¶i b»ng c¸ch ®a vÒ bµi to¸n t×m
X th× sÏ gÆp mét sè khã kh¨n ®èi víi häc sinh tiÓu häc nhÊt lµ nh÷ng häc sinh
cha häc c¸c phÐp tÝnh ph©n sè. Ta cã thÓ ®a vÒ bµi to¸n t×m X kh«ng thuéc d¹ng
c¬ b¶n nh sau:
Gäi sè cam cÇn t×m lµ X ( X lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0 - ®¬n vÞ : qu¶ )
X - 1 x X - 1 x ( X - 1 x X ) - 20 = 56
3
3
3
VÝ dô 2.2: Mét ngêi ®em b¸n mét sè trøng nh sau: LÇn ®Çu b¸n cho kh¸ch 1/2
sè trøng vµ biÕu kh¸ch 1 qu¶. LÇn thø hai b¸n 1/2 sè trøng cßn l¹i vµ l¹i biÕu
kh¸ch 1 qu¶. LÇn thø ba b¸n 1/2 sè trøng cßn l¹i sau hai lÇn tríc vµ l¹i biÕu
kh¸ch 1 qu¶. Cuèi cïng ngêi ®ã cßn 10 qu¶ trøng. Hái lóc ®Çu ngêi ®ã cã bao
nhiªu qu¶ trøng ®em b¸n ?
Híng dÉn gi¶i:
Dïng s¬ ®å ®o¹n th¼ng
Nh lo¹i bµi nµy, sö dông ph¬ng ph¸p dïng S§§T ®Ó gi¶i lµ tèi u.
VÏ s¬ ®å:
Sè trøng ?:
Mét nöa
Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt:
1 qu¶
Mét nöa
Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø hai :
1 qu¶
Cuèi cïng :
Mét nöa 1 qu¶
10 qu¶
Theo s¬ ®å ta cã ( nh×n ngîc tõ díi lªn ):
+ Mét nöa sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai gåm mét ®o¹n th¼ng biÓu
diÔn 10 qu¶ trøng vµ 1 qu¶. Muèn tÝnh mét nöa sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn
4
thø hai ta cã thÓ lµm thÕ nµo ? ( 10 + 1 = 11 ). Muèn tÝnh sè trøng cßn l¹i sau khi
b¸n lÇn thø hai ta lµm thÕ nµo ? ( 11 x 2 = 22 ).
+ Mét nöa sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt gåm 22 qu¶ vµ 1 qu¶. Tõ
®ã dÔ thÊy c¸ch tÝnh sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt lµ: ( 22 + 1 ) x 2 =
46 qu¶.
+ Mét nöa sè trøng lóc ®Çu gåm 46 qu¶ vµ 1 qu¶. Tõ ®ã dÔ thÊy c¸ch tÝnh sè
trøng ngêi ®ã ®em b¸n lµ: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( qu¶ )
Bµi gi¶i cô thÓ:
Sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai lµ: ( 10 + 1 ) x 2 = 22 ( qu¶ )
Sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt lµ: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 ( qu¶ )
Sè trøng ngêi ®ã ®em b¸n lµ: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( qu¶ )
§¸p sè: 94 qu¶ trøng
Lu ý: Cã thÓ híng dÉn häc sinh thö l¹i, t¹o thªm niÒm tin cho c¸c em:
94 : 2 - 1 = 46 , 46 : 2 - 1 = 22 ; 22 : 2 - 1 = 10
Dïng lîc ®å:
X-
1
X-1
2
A-
1
A-1
2
B-
A
X?
B
( Suy luËn theo ®êng mòi tªn cã nÐt ®øt )
+ T×m B: B + T×m A: A -
1
B - 1 = 10
2
1
A - 1 = 22
2
1
X - 1 = 46
2
1
B - 1 = 10
2
1
A - 1 = 22
2
1
X - 1 = 46
2
1
B = 11
2
1
A = 23
2
1
X = 47
2
1
B-1
2
10
B = 11 x 2 = 22
A = 23 x 2 = 46
+ T×m X: X X = 47 x 2 = 94
NhËn xÐt: Víi c¸ch nµy râ rµng häc sinh ®· ph¶i dïng ®Õn phÐp tÝnh ph©n sè,
bªn c¹nh ®ã l¹i ph¶i kÕt hîp víi viÖc ®Æt Èn sè kh«ng thËt phï hîp víi t duy cña
häc sinh tiÓu häc.
§a vÒ bµi to¸n "t×m X ":
Trong trêng hîp bµi nµy, nÕu ®a vÒ bµi to¸n " t×m X " th× qu¸ phøc t¹p ®èi
víi häc sinh tiÓu häc. §Ó cho häc sinh cã thÓ n¾m ®îc nªn chuyÓn thµnh c¸c bíc
nhá nh sau:
Gäi sè trøng ngêi ®ã ®em b¸n lµ X ( X lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0 ), ta cã:
Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt lµ:
1
1
X- X-1= X-1
2
2
Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø hai lµ:
1
1 1
1
3
X - 1 - ( X - 1) - 1 = X 2
2 2
4
2
Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø ba lµ:
1
3 1 1
3
1
7
X- - ( X- )-1= X4
2
2 4
1
cã: X
8
2
8
7
4
4
Theo bµi to¸n ta
- = 10
X= 94 ( tù gi¶i )
Qua c¸c c¸ch gi¶i trªn ta thÊy víi d¹ng nµy, sö dông S§§T lµ hîp lý nhÊt
VÝ dô 2.3: An cã mét sè bi ®ùng trong hép.
LÇn ®Çu An lÊy ra 1/3 sè bi trong hép råi bá trë l¹i 2 bi. LÇn thø hai An lÊy ra
1/4 sè bi cßn l¹i råi l¹i bá l¹i 1 bi. LÇn thø ba An lÊy ra 1/2 sè bi cßn l¹i trong
hép vµ bá l¹i 4 bi. LÇn thø t An lÊy ra 2/3 sè bi cßn l¹i cña c¸c lÇn lÊy trªn vµ bá
l¹i 5 bi th× trong hép cã 15 bi. Hái lóc ®Çu trong hép cã bao nhiªu bi ?
5
Híng dÉn gi¶i:
Dïng S§§T (Ph¬ng ph¸p chñ c«ng ®èi víi lo¹i nµy)
Sè bi ?
mét phÇn ba
Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy T1:
2 bi
1 bi
Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø hai:
4 bi
Sè bi cßn lai sau lÇn lÊy thø ba:
5 bi
Cuèi cïng:
15 bi
Theo S§§T ta thÊy:
+ Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø ba cã mÊy phÇn b»ng nhau ? (3 phÇn). Ta cã thÓ
t×m ®îc 1 phÇn nh vËy kh«ng ? Muèn t×m phÇn ®ã ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo? (15
- 5 = 10). VËy sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø ba lµ ? (10 x 3 = 30 bi ).
+ Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø hai chøa mÊy phÇn b»ng nhau ? ( 2 phÇn ).
Muèn t×m gi¸ trÞ 1 phÇn ®ã ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( 30 - 4 = 26 ). VËy sè bi
cßn l¹i sau lÇn lÊy thø hai lµ ? ( 26 x 2 = 52 ).
+ Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø nhÊt chøa mÊy phÇn b»ng nhau ? ( 4 phÇn ).
Muèn t×m gi¸ trÞ 1 phÇn ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ?
- Tríc hÕt ph¶i t×m ®îc gi¸ trÞ 3 phÇn . Muèn t×m gi¸ trÞ cña 3 phÇn ta cã
thÓ lµm nh thÕ nµo ? vµ b»ng bao nhiªu ? ( 52 - 1 = 51 ).
- §Ó t×m gi¸ trÞ 1 phÇn ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( 51 : 3 = 17 ).
VËy, muèn t×m sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø nhÊt ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ?
( 17 x 4 = 68 ).
+ Sè bi lóc ®Çu trong hép cã mÊy phÇn b»ng nhau ? ( 3 phÇn ). Ta cã thÓ tÝnh
®îc gi¸ trÞ mÊy phÇn tríc ? ( 2 phÇn ). Muèn tÝnh gi¸ trÞ 2 phÇn b»ng nhau nµy
ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( 68 - 2 = 66 ) . Ta dÔ dµng tÝnh ®îc 1 phÇn.VËy, muèn
tÝnh sè bi trong hép lóc ®Çu cña An ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( 66 : 2 x 3 = 99 ).
Bµi gi¶i cô thÓ ( Lu ý cã mét sè bíc cÇn lµm gép ®Ó bµi gi¶i kh«ng qu¸ dµi
dßng ).
Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø ba lµ : ( 15 - 5 ) x 3 = 30 ( bi )
Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø hai lµ: ( 30 - 4 ) x 2 = 52 ( bi )
Sè bi cßn l¹i sau lÇn lÊy thø nhÊt lµ: ( 52 - 1 ) : 3 x 4 = 68 ( bi )
Sè bi lóc ®Çu trong hép cña An lµ : ( 68 - 2 ) : 2 x 3 = 99 ( bi )
§¸p sè : 99 bi
D¹ng bµi nµy còng cã thÓ vËn dông lîc ®å hoÆc ®a vÒ bµi to¸n "t×m X " ®Ó
gi¶i nhng cã nhiÒu khã kh¨n ®èi víi häc sinh tiÓu häc. Tuy vËy, nh÷ng häc sinh
kh¸ giái thËt sù vÉn nªn khuyÕn khÝch c¸c em gi¶i theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
Nhng râ rµng c¸ch gi¶i b»ng S§§T lµ hîp lý h¬n.
3. D¹ng thø ba.
VÝ dô 3.1: Cã ba hép bi A, B, C. LÇn ®Çu chuyÓn tõ hép A sang hép B 20 bi vµ
tõ hép C sang hép B 15 bi. LÇn thø hai chuyÓn tõ hép B sang hép C 40 bi vµ tõ
hép C sang hép A 15 bi. LÇn thø ba chuyÓn tõ hép B sang hép A 18 bi vµ tõ hép
C sang hép B 4 bi. Cuèi cïng hép A cã 140 bi, hép B cã 160 bi vµ hép C cã 180
bi. Hái lóc ®Çu mçi hép cã bao nhiªu bi ?
Híng dÉn gi¶i
§Ó t×m tßi c¸ch gi¶i d¹ng nµy cã nhiÒu c¸ch, nhng c¸ch phï hîp víi häc
sinh tiÓu häc lµ lËp b¶ng. ViÖc lËp b¶ng kh«ng yªu cÇu tr×nh bµy vµo bµi gi¶i mµ
chØ cÇn thùc hiÖn ë vë nh¸p ®Ó råi cã c¸ch tr×nh bµy chÝnh x¸c. Ta cã thÓ lËp
b¶ng nh sau:
Néi dung chuyÓn
LÇn 1: - Tõ A
- Tõ C
LÇn 2: - Tõ B
- Tõ C
B 20 bi
B 15 bi
C 40 bi
A 5 bi
A
20
*
6
Sè bi ë c¸c hép
B
*
40
C
15
*
5
Hµng
1
2
LÇn 3: - Tõ B
- Tõ C
*
A 18 bi
B 4 bi
Cuèi cïng
140 bi
18
*
*
3
180 bi
4
4
160 bi
Lu ý:
+ C¸c dÊu * ë c¸c « 2A, 2B, 2C lµ sè bi cßn l¹i sau khi chuyÓn lÇn thø nhÊt.
+ C¸c dÊu * ë c¸c « 3A, 3B, 3C lµ sè bi cßn l¹i sau khi chuyÓn lÇn thø hai.
+ Khi nh¸p chØ cÇn cét sè bi ë c¸c hép lµ ®îc.
Dùa vµo b¶ng trªn, b»ng ph¬ng ph¸p suy luËn tõ díi lªn ta t×m ®îc c¸c * ë
hµng 3 råi hµng 2 vµ cuèi cïng lµ hµng 1 - ®ã chÝnh lµ sè bi ë c¸c hép ph¶i t×m.
T×m gi¸ trÞ c¸c « ë hµng 3 ( sè bi ë mçi hép tríc khi chuyÓn lÇn thø ba hay
sau khi chuyÓn lÇn thø hai )
- Sè bi ë hép C ( « 3C ).
Bít ®i 4 bi cßn 180 bi. VËy, muèn tÝnh sè bi ë hép C tríc khi chuyÓn lÇn
thø ba ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? vµ b»ng bao nhiªu ? ( 180 + 4 = 184)
- Sè bi ë hép B ( « 3B )
Bít ®i 18 bi vµ thªm vµo 4 bi th× cßn 160 bi. VËy, muèn tÝnh sè bi ë hép B
tríc khi chuyÓn lÇn thø ba ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? vµ b»ng bao nhiªu?
( 160 + 18 - 4 = 174 ).
- Sè bi ë hép A ( « 3A)
Thªm vµo 18 bi th× ®îc 140 bi. VËy, muèn tÝnh sè bi ë hép A tríc khi
chuyÓn lÇn thø ba ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? vµ b»ng bao nhiªu? (140 - 18 =
122).
Ta cã thÓ tÝnh sè bi ë hép A b»ng c¸ch kh¸c: ViÖc lu©n chuyÓn chØ luÈn
quÈn trong ba hép ®ã nªn tæng sè bi trong ba hép lµ kh«ng ®æi. §· tÝnh ®îc ë hai
hép th× dÔ dµng tÝnh ®îc hép cßn l¹i. Cô thÓ: Tæng sè bi ë c¶ ba hép lu«n lµ: 140 +
160 + 180 = 480 (bi). Sè bi ë hép A tríc khi chuyÓn lÇn thø ba lµ: 480 - 174 - 184 =
122 (bi)
T×m gi¸ trÞ c¸c « ë hµng 2 ( sè bi ë mçi hép tríc khi chuyÓn lÇn 2 hay sau
khi chuyÓn lÇn thø nhÊt ).
B»ng ph¬ng ph¸p suy luËn nh trªn ta cã thÓ tÝnh sè bi c¸c hép ë hµng 2 mét
c¸ch ®¬n gi¶n nh sau:
- Sè bi ë « 2C lµ: 184 - 40 + 5 = 149 ( bi )
- Sè bi ë « 2B lµ: 174 + 40 = 214 ( bi )
- Sè bi ë « 2A lµ: 122 - 5 = 117 ( bi )
T×m sè bi lóc ®Çu ë mçi hép ( sè bi c¸c « hµng 1 )
B»ng ph¬ng ph¸p suy luËn vµ t×m nh ë hµng 3, hµng 2 ta dÔ dµng tÝnh ®îc sè
bi lóc ®Çu ë mçi hép.
- Sè bi lóc ®Çu ë hép C lµ: 149 + 15 = 164 ( bi )
- Sè bi lóc ®Çu ë hép B lµ: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi )
- Sè bi lóc ®Çu ë hép A lµ: 117 + 20 = 137 ( bi )
Nh vËy, víi mét bµi to¸n kh¸ phøc t¹p ( víi HS tiÓu häc ) b»ng ph¬ng ph¸p
dÉn d¾t hîp lý, ta ®· ®a vÒ gi¶i quyÕt nhiÒu bµi to¸n " con " mµ mçi bµi to¸n "
con " chØ lµ viÖc t×m thµnh phÇn cha biÕt trong phÐp tÝnh, häc sinh cã thÓ gi¶i ®îc kh«ng khã kh¨n l¾m.
Bªn c¹nh suy luËn t×m tßi theo kiÓu " hµng ngang", ta cã thÓ híng dÉn
gióp häc sinh suy luËn theo kiÓu " cét däc ". C¸ch nµy kh¸ h÷u hiÖu. §©y thùc
chÊt lµ ta l¹i sö dông lîc ®å nhng ®îc s¾p xÕp theo kiÓu cét. Cô thÓ nh sau:
A
C
B
- 20
+20, + 15
-15
A2
B2
C2
A3
B3 7
C3
+5
- 40
+ 40, - 5
+ 18
-18, +4
-4
160
180
140
Nh×n vµo lîc ®å cét, thùc hiÖn theo chiÒu c¸c mòi tªn "dµi", ta dÔ dµng
tÝnh ®îc sè bi ë mçi hép lóc ®Çu. Chó ý khi xÐt " thªm ", " bít" ë mçi cét kh«ng
cÇn biÕt ë ®©u chuyÓn ®Õn hay chuyÓn ®i ®©u. C¸c bíc gi¶i cña bµi to¸n cã thÓ
lµm gép rÊt ng¾n gän nh sau:
Sè bi ë hép A lóc ®Çu lµ: 140 - 18 - 5 + 20 = 137 ( bi )
Sè bi ë hép B lóc ®Çu lµ: 160 - 4 + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi )
Sè bi ë hép C lóc ®Çu lµ: 180 + 4 + 5 - 40 + 15 = 164 ( bi )
§¸p sè: Hép A: 137 bi; Hép B: 179 bi; Hép C: 164 bi
VÝ dô 3.2: Cã hai thïng ®ùng dÇu A vµ B. LÇn ®Çu chuyÓn 26 l tõ thïng A sang
thïng B. LÇn thø hai chuyÓn tõ thïng B sang thïng A mét sè lÝt dÇu gÊp 2 lÇn sè
lÝt dÇu hiÖn cã ë thïng A. LÇn thø ba chuyÓn tõ thïng A sang thïng B mét sè lÝt
dÇu ®óng b»ng sè lÝt dÇu hiÖn cã ë thïng B th× cuèi cïng thïng A cã 48 l, thïng
B cã 60 l. Hái lóc ®Çu mçi thïng cã bao nhiªu lÝt dÇu ?
§©y lµ mét bµi to¸n thuéc d¹ng thø ba. Trong ®ã cÇn lu ý, khi chuyÓn tõ
®Þa chØ nµy sang ®Þa chØ kh¸c cã 2 c¸ch:
- ChuyÓn mét sè ®¬n vÞ cô thÓ ( t¬ng tù vÝ dô 3.1)
- ChuyÓn mét sè lÇn hiÖn cã ë ®Þa chØ ®îc chuyÓn ®Õn.
Híng dÉn gi¶i:
LËp b¶ng
Néi dung chuyÓn
Sè bi ë c¸c hép
LÇn 1: ChuyÓn 26 bi tõ A
B
LÇn 2: ChuyÓn tõ B
A sè lÝt dÇu gÊp 2 lÇn
sè dÇu hiÖn cã ë A
LÇn 3: ChuyÓn tõ A
B sè lÝt dÇu ®óng
b»ng sè dÇu hiÖn cã ë B
Cuèi cïng
B
Hµng
A
26
2A
1
2B
2
3A
3B
3
48 lÝt
60 lÝt
4
+ TÝnh sè lÝt dÇu ë mçi thïng tríc khi chuyÓn lÇn thø ba ( c¸c « 3A, 3B )
- Sè lÝt dÇu ë thïng B ( « 3B)
Sau khi chuyÓn lÇn thø ba ( cuèi cïng ), thïng B cã 60 l. §· chuyÓn tõ thïng
A sang thïng B sè dÇu b»ng sè dÇu thïng B hiÖn cã ®Ó ®îc 60 l. VËy tríc khi
chuyÓn lÇn thø ba ë thïng B cã bao nhiªu lÝt dÇu ? Muèn tÝnh ta ph¶i lµm thÕ
nµo ? ( 60 : 2 = 30 - cã thÓ minh ho¹ b»ng S§§T ®Ó c¸c em dÔ hiÓu )
- Sè lÝt dÇu ë thïng A ( « 3A )
Bít ®i 30 cßn 48. VËy, muèn t×m sè lÝt dÇu ë thïng A tríc khi chuyÓn lÇn thø
ba ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( 30 + 48 = 78 - hoÆc 48 + 60 - 30 = 78 )
+ TÝnh sè lÝt dÇu ë mçi thïng tríc khi chuyÓn lÇn thø hai.
- Sè lÝt dÇu ë thïng A ( « 2A )
§îc thªm 2 lÇn chÝnh nã th× b»ng 78. VËy, muèn t×m "chÝnh nã" hay sè lÝt
dÇu ë thïng A tríc khi chuyÓn lÇn thø hai ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo vµ b»ng bao
nhiªu ? ( 78 : 3 = 26 ). Nªn mimh ho¹ b»ng S§§T ®Ó häc sinh dÔ hiÓu h¬n.
78
®· cã
®îc thªm
- Sè lÝt dÇu ë thïng B ( « 2B )
Muèn tÝnh sè lÝt dÇu ë « 2B ta cã thÓ lµm nh thÕ nµo ? ( 48 + 60 - 26 = 82 )
+ TÝnh sè lÝt dÇu ë mçi thïng lóc ®Çu ( « 1A, 1B ), hay tríc khi chuyÓn lÇn thø
nhÊt.
8
- Sè lÝt dÇu ë thïng B lóc ®Çu:
§îc thªm 26 th× b»ng 82. VËy, muèn t×m sè dÇu lóc ®Çu ë thïng B ta cã thÓ
lµm nh thÕ nµo ? ( 82 - 26 = 56 ).
- Tõ ®ã t×m ®îc sè lÝt dÇu ë thïng A lóc ®Çu lµ: 108 - 56 = 52 ( l )
Sö dông lîc ®å cét
B
A
+ 26
+ 26
- 26
2A
:3
2B
+ thªm 2 lÇn nã
Bít 2 lÇn ( 2A )
( gÊp 3 lÇn )
3A
+ 30
3B
Trõ ®i 1 lÇn ( 3B )
+ thªm 1 lÇn nã
48
60
Bµi gi¶i cô thÓ:
Tæng sè lÝt dÇu ë hai thïng lu«n lµ: 60 + 48 = 108 ( l )
Sè lÝt dÇu ë thïng B tríc khi chuyÓn lÇn thø ba lµ: 60 : 2 = 30 ( l )
Sè lÝt dÇu ë thïng A tríc khi chuyÓn lÇn thø ba lµ: 108 - 30 = 78 ( l )
Sè lÝt dÇu ë thïng A tríc khi chuyÓn lÇn thø hai lµ: 78 : 3 = 26 ( l )
Sè lÝt dÇu ë thïng B tríc khi chuyÓn lÇn thø hai lµ: 108 - 26 = 82( l )
Sè lÝt dÇu ë thïng B lóc ®Çu lµ: 82 - 26 = 56 ( l )
Sè lÝt dÇu ë thïng A lóc ®Çu lµ: 108 - 56 = 52 ( l )
§¸p sè: Thïng A: 52 l; Thïng B: 56 l
Chó ý: NÕu s¾p xÕp theo lîc ®å cét th× kh«ng thÓ tÝnh liªn tôc ë mét thïng nh vÝ
dô 3.1
4. D¹ng thø t
§©y lµ d¹ng t¬ng ®èi phøc t¹p trong c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p
suy luËn tõ cuèi. Nh÷ng c¸i khã ®ã lµ:
- KÕt qu¶ cuèi cïng thêng kh«ng ph¶i lµ sè cô thÓ
- Qu¸ tr×nh thay ®æi phøc t¹p, cã tÝnh quy luËt
Muèn gi¶i ®îc d¹ng nµy, cÇn gióp häc sinh sö dông S§§T ®Ó ph©n tÝch vµ t×m
ra gi¸ trÞ " ¸p chãt" ( tríc cuèi ). Tõ ®ã sÏ tÝnh ®îc ®¸p sè cña bµi to¸n.
VÝ dô 4.1: Mét tæ c«ng nh©n sau khi hoµn thµnh xuÊt s¾c nhiÖm vô ®îc thëng
mét sè tiÒn. Ngêi tæ trëng ®em chia sè tiÒn ®ã nh sau:
- Tæ trëng ®îc 100000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
- Tæ phã ®îc 200000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
- C«ng nh©n thø nhÊt ®îc 300000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
- C«ng nh©n thø hai ®îc 400000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
Cø tiÕp tôc chia nh vËy cho ®Õn ngêi cuèi cïng th× sè tiÒn thëng ®îc chia
®Òu cho tÊt c¶ mäi ngêi. Hái sè tiÒn thëng cho c¶ tæ lµ bao nhiªu vµ mçi ngêi ®îc
thëng bao nhiªu tiÒn ?
VÝ dô nµy lµ bµi to¸n thuéc d¹ng suy luËn tõ cuèi. C¸i cuèi cïng ë ®©y
kh«ng biÕt cô thÓ, mµ chØ biÕt ®îc lµ b»ng c¸ch biÕn ®æi nh vËy th× cuèi cïng sè
tiÒn chia cho mçi ngêi lµ nh nhau. B»ng c¸c c¸ch gi¶i nh víi c¸c vÝ dô tríc víi
lo¹i nµy kh«ng thÓ thùc hiÖn ®îc. §Ó gióp HS gi¶i ®îc lo¹i nµy ta cÇn ph©n tÝch,
xÐt phÇn " ¸p chãt" vµ phÇn "chãt" ®Ó t×m c¸ch gi¶i. B»ng S§§T ta cã:
" ¸p chãt "
" Cuèi cïng"
1/10
9
" Cuèi cïng "
Tríc hÕt ph¶i thÊy ngêi cuèi cïng nhËn sè tiÒn lµ mét sè nguyªn tr¨m
ngh×n ®ång th× võa hÕt ( tøc lµ 1/10 cña phÇn cßn l¹i lµ 0). NÕu kh«ng thÕ
th× ngêi nµy vÉn cha ph¶i lµ ngêi cuèi cïng.
Theo s¬ ®å ta thÊy: Ngêi " ¸p chãt " ®îc nhËn mét sè nguyªn tr¨m ngh×n
®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i. Nh vËy, 9/10 sè tiÒn cßn l¹i lµ cña ngêi cuèi
cïng.
Ngêi cuèi cïng nhËn mét sè nguyªn tr¨m ngh×n vµ h¬n ngêi "¸p chãt"
100000 ®. VËy, 100000 ® ®ã chÝnh lµ 1/9 sè tiÒn ngêi cuèi cïng nhËn. Tõ
®ã ta cã:
+ Sè tiÒn ngêi cuèi cïng nhËn lµ: 100000 : 1/9 = 900000 (®ång )
+ Sè ngêi cña tæ ®ã lµ: 9 ngêi
+ Sè tiÒn cña toµn tæ lµ: 900000 x 9 = 8100000 ( ®ång )
Còng lËp luËn nh trªn ta cã thÓ cã c¸ch tr×nh bµy thø hai nh sau:
Gäi sè nguyªn tr¨m ngh×n ®ång cña ngêi " ¸p chãt" nhËn lµ A, phÇn cßn
l¹i lµ B ®ång.
Tõ ®ã ta cã:
Sè tiÒn cña ngêi "¸p chãt" nhËn ®îc biÓu diÔn theo A vµ B nh thÕ nµo ? ( A
+ 1 B)
10
Sè tiÒn ngêi cuèi cïng nhËn ®îc biÓu diÔn nh thÕ nµo ? ( 9 B )
10
Theo bµi to¸n, sè tiÒn ®îc chia ®Òu cho mçi ngêi, cã nghÜa lµ sè tiÒn cña ngêi "
¸p chãt" nhËn b»ng sè tiÒn cña ngêi cuèi cïng nhËn, nªn ta cã thÓ biÓu diÔn
quan hÖ sè tiÒn cña hai ngêi nµy nh thÕ nµo ? ( A + 1 B = 9 B
10
A=
8
10
10
B)
MÆt kh¸c, ngêi cuèi cïng nhËn 9 B lµ võa hÕt, nªn sè tiÒn ngêi cuèi cïng
10
nhËn b»ng sè nguyªn tr¨m ngh×n ngêi " ¸p chãt" nhËn vµ thªm 100000 ®. Tøc
lµ:
9
9
1
B = A + 100000
B = 8 B + 100000
B = 100000
10
10
10
10
B = 100000 : 1/10 = 1000000. VËy, sè tiÒn mçi ngêi nhËn lµ: 1000000 x
9/10 = 900000 ( ® ). Tõ ®ã tÝnh ®îc sè tiÒn cña c¶ tæ:
+ C¸ch 1: Theo quy luËt céng thªm ë sè nguyªn tr¨m ngh×n, dÔ thÊy tæ cã
9 ngêi. VËy : Tæng sè tiÒn ®îc thëng lµ: 900000 x 9 = 8100000 ( ® ).
+ C¸ch 2: Tõ chç mçi ngêi ®îc thëng 900000 ®, nªn ta cã: 100000 ® + 1/10
sè tiÒn cßn l¹i = 900000 ®
1/10 sè tiÒn cßn l¹i lµ 8000000 ®. VËy, tæng sè tiÒn
®îc thëng lµ : 8000000 + 100000 = 8100000 ( ® )
Lu ý: VÒ c¸ch tÝnh sè ngêi cña tæ cã thÓ thùc hiÖn theo c¸ch sau:
Sè ngêi cña tæ ®ã lµ: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + 1 = 9 ( ngêi )
VÝ dô 4.2: Mét ngêi ®em b¸n mét sè cam nh sau:
Ngêi thø nhÊt mua 9 qu¶ vµ 1/6 sè cam cßn l¹i.
Ngêi thø hai mua 18 qu¶ vµ 1/6 sè cam cßn l¹i.
Ngêi thø ba mua 27 qu¶ vµ 1/6 sè cam cßn l¹i.
........................................
Cuèi cïng sè cam võa hÕt vµ sè cam mçi ngêi mua b»ng nhau. Hái ngêi ®ã ®·
b¸n bao nhiªu qu¶ cam ?
Híng dÉn gi¶i:
T¬ng tù nh vÝ dô 4.1, tríc hÕt ta cÇn kh¶ng ®Þnh mét sè ®iÒu sau:
10
+ Ngêi thø nhÊt mua 9 qu¶, ngêi thø hai mua 18 qu¶, ngêi thø ba mua 27 qu¶,
…
VËy, quy luËt ë ®©y lµ ngêi mua sau h¬n ngêi mua liÒn tríc 9 qu¶.
+ Ngêi cuèi cïng mua mét sè nguyªn qu¶ cam th× võa hÕt, cã nghÜa phÇn d cßn
l¹i lµ 0.
+ Ngêi " ¸p chãt" mua mét sè nguyªn qu¶ cam vµ 1/6 sè cam cßn l¹i th× 5/6 sè
cam cßn l¹i khi nµy lµ sè cam ngêi cuèi cïng mua.
+ Sè cam mçi ngêi mua lµ nh nhau.
Ta sö dông S§§T:
Cuèi cïng
"¸p chãt" (A)
(B)
Cuèi cïng
9 qu¶
§Æc biÖt lu ý: PhÇn nguyªn sè cam ngêi cuèi cïng mua b»ng phÇn nguyªn
sè cam ngêi " ¸p chãt" mua vµ thªm 9 qu¶. VËy, 1/6 sè cam cßn l¹i sau khi ngêi
" ¸p chãt" mua mét sè nguyªn qu¶ cam lµ 9 qu¶.
VËy, sè cam ngêi cuèi cïng mua lµ: 9 x 5 = 45 ( qu¶ )
Sè ngêi mua cam lµ: ( 45 - 9 ) : ( 18 - 9 ) + 1 = 5 ( ngêi )
Sè cam ngêi ®ã ®em b¸n lµ: 45 x 5 = 225 ( qu¶ )
Ta cã thÓ híng dÉn c¸c em gi¶i theo c¸ch kh¸c:
Gäi phÇn nguyªn sè cam ngêi "¸p chãt" mua lµ A, phÇn cßn l¹i lµ B
( xem h×nh vÏ ).
1
Sè cam ngêi " ¸p chãt" mua ®îc biÓu diÔn theo A vµ B : A + B.
Sè cam ngêi " cuèi cïng " mua ®îc biÓu diÔn theo B lµ:
1
5
4
5
4
6
5
B. Theo
6
1
B=9
6
bµi to¸n
ta cã: A + B = B
A = B . Tõ ®ã:
BB=
6
6
6
6
6
B = 54.
Mçi ngêi mua sè cam : 54 : 6 x 5 = 45 qu¶, sè cam ngêi ®ã ®em b¸n lµ: 45 x
5 = 225 (qu¶).
5. Kh¸i qu¸t vÊn ®Ò
M« h×nh chung cña lo¹i to¸n gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p suy luËn tõ cuèi lµ:
KÕt qu¶ sau
KÕt qu¶ sau
KÕt qu¶ sau
cÇn t×m
… cuèi cïng
biÕn ®æi lÇn
biÕn ®æi lÇn
biÕn ®æi lÇn
+ Mét sè
+ NhiÒu sè
b»ng nhau
thø nhÊt
(cha biÕt )
thø hai
(cha biÕt)
thø ba
(cha biÕt)
C¸c bíc thùc hiÖn ngîc ®Ó gi¶i bµi
( ®· biÕt)
Quy tr×nh gi¶i chñ yÕu thùc hiÖn c¸c bíc theo chiÒu mòi tªn ngîc víi chiÒu
mòi tªn biÕn ®æi ban ®Çu. ViÖc thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh hoµn toµn phô thuéc vµo
qu¸ tr×nh biÕn ®æi. Cã nh÷ng bµi viÖc biÕn ®æi ®¬n gi¶n, cã nh÷ng bµi biÕn ®æi
phøc t¹p.
Cã mét sè bµi to¸n kÕt qu¶ cuèi cïng cã thÓ kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè cô thÓ
mµ cã thÓ l¹i lµ mét bµi to¸n, gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã ta sÔ t×m ®îc c¸c kÕt qu¶ cuèi
cïng ( th«ng thêng lµ c¸c bµi to¸n Tæng - TØ, HiÖu - TØ … )
IV. KÕt luËn vµ bµi häc kinh nghiÖm
Nh ®· tr×nh bµy ë phÇn ®Æt vÊn ®Ò, to¸n tiÓu häc cã nhiÒu d¹ng, nhiÒu ph¬ng
ph¸p gi¶i. Gi¶i bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p suy luËn tõ cuèi lµ mét d¹ng kh¸ quen
thuéc. Nhng ®Ó cho häc sinh n¾m ch¾c, nhí l©u, vËn dung linh ho¹t, s¸ng t¹o vµ
khi lµm bµi c¸c em tù tin vµo kh¶ n¨ng cña m×nh kh«ng ph¶i lµ dÔ. NhiÖm vô
cña ngêi d¹y to¸n lµ ph¶i ®èt lªn " ngän löa " yªu to¸n trong lßng c¸c em. HÖ
thèng, ph©n lo¹i, ph©n tÝch, t×m c¸ch gi¶i lµ mét trong nh÷ng c¸ch lµm t¹o ®îc
niÒm tin cho c¸c em. Trªn c¬ së nµy, chóng ta cã thÓ nghÜ tíi kh«ng chØ d¹y d¹ng
to¸n nµy mµ nhiÒu d¹ng to¸n kh¸c còng ®îc ¸p dông quy tr×nh nµy ®Ó gióp c¸c
11
em n¾m ch¾c kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p t duy l«gic trong gi¶i to¸n vµ trong cuéc
sèng.
NhiÒu n¨m tham gia båi dìng häc sinh giái to¸n tiÓu häc, t«i nhËn thÊy
viÖc gióp c¸c em nhËn d¹ng, t×m tßi c¸ch gi¶i to¸n nh trªn cã hiÖu qu¶ cao. Trªn
tinh thÇn ®ã c¸c em n¾m kh¸ ch¾c kiÕn thøc, vËn dông linh ho¹t vµ kh¸ s¸ng
t¹o.
T«i ®· rÊt cè g¾ng, nhng ch¾c cha ph¶i ®· ®a ra ®îc nh÷ng gi¶i ph¸p tèi u.
T«i ch¾c r»ng trong bµi viÕt cña m×nh cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt, mong nhËn ®îc
sù chØ gi¸o cña b¹n ®äc vµ ®ång nghiÖp. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n nhiÒu, nhiÒu.
Phô lôc
I- C¸c tµi liÖu tham kh¶o
Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cÊp 1
T¸c gi¶: §ç Trung HiÖu - Vò D¬ng Thuþ
To¸n chän läc cÊp 1
T¸c gi¶: §ç Trung HiÖu - NguyÔn Kh¾c An
Vò Hoµng L©m - NguyÔn ThÞ Phíc H¶o
255 bµi to¸n chän läc sè häc
T¸c gi¶: Vò D¬ng Thuþ - Tr¬ng C«ng Thµnh - NguyÔn Ngäc §¹m
Gi¶i c¸c bµi to¸n khã 3, 4, 5
T¸c gi¶: Hoµng Kú
To¸n båi dìng häc sinh líp 5
T¸c gi¶: NguyÔn ¸ng - D¬ng Quèc Ên
Hoµng ThÞ Phíc H¶o - Phan ThÞ NghÜa
To¸n båi dìng häc sinh líp 6
T¸c gi¶: Vò H÷u B×nh - T«n Th©n - §ç Trung HiÖu
To¸n chän läc líp 5
T¸c gi¶: Ph¹m §×nh Thùc
II- Mét sè bµi to¸n luyÖn tËp
1. T×m mét sè biÕt r»ng, sè ®ã trõ 80, ®îc bao nhiªu nh©n víi 5 råi céng víi
192 th× b»ng 792.
2. MÑ cho hai anh em mét sè tiÒn ®Ó mua s¸ch. NÕu anh cho em mét sè tiÒn
®óng b»ng sè tiÒn cña em, råi em l¹i cho anh mét sè tiÒn ®óng b»ng sè tiÒn cßn
l¹i cña anh th× em cã 35000 ®ång vµ anh cã 30000 ®ång. Hái mÑ ®· cho mçi ng êi
bao nhiªu tiÒn ?
3. Cã ba hép bi A, B, C. LÇn ®Çu chuyÓn 10 bi tõ hép A sang hép B vµ 15 bi tõ
hép C sang hép B. LÇn thø hai chuyÓn 6 bi tõ hép A sang hép B vµ 9 bi tõ hép B
sang hép C. LÇn thø ba chuyÓn 20 bi tõ hép C sang hép A vµ 18 bi tõ hép B sang
hép A. LÇn thø t chuyÓn 9 bi tõ hép A sang hép B vµ 7 bi tõ hép C sang hép B,
th× cuèi cïng hép A cã 190 bi, hép B cã 350 bi, hép C cã 280 bi. Hái lóc ®Çu mçi
hép cã bao nhiªu bi ?
4. Mét ngêi ra chî b¸n cam. LÇn thø nhÊt b¸n 1/2 sè cam céng thªm 1/2 qu¶.
LÇn thø hai b¸n 1/2 sè cam cßn l¹i céng thªm 1/2 qu¶. LÇn thø ba b¸n 1/2 sè
cam cßn l¹i céng thªm 1/2 qu¶. LÇn thø t b¸n 1/2 sè cam cßn l¹i céng 1/2 qu¶ th×
võa hÕt. TÝnh sè cam ngêi ®ã ®em b¸n.
5. (To¸n cæ). Mét tªn tham lam gÆp mét con quû ë c¹nh chiÕc cÇu. Tªn nµy
than phiÒn vÒ nçi nghÌo khæ cña m×nh. Con quû nãi r»ng " T«i cã thÓ gióp anh.
Cø mçi lÇn anh ®i qua cÇu th× sè tiÒn cña anh sÏ ®îc t¨ng gÊp ®«i; nhng ngay
sau ®ã anh ph¶i tr¶ cho t«i 24 xu. B»ng lßng chø ?". Tªn tham lam b»ng lßng
nh thÕ. Sau khi h¾n ®i qua cÇu ba lÇn th× thÊy trong tói cña m×nh kh«ng cßn mét
xu nµo. Hái lóc ®Çu tªn tham lam cã bao nhiªu tiÒn ?
6. Trong mét buæi lao ®éng trång c©y ®Çu xu©n, líp 5A ®· chia sè c©y cho c¸c
tæ lÇn lît nh sau:
Tæ Mét trång 20 c©y vµ 4/ 100 sè c©y cßn l¹i;
Tæ Hai trång 21 c©y vµ 4/100 sè c©y cßn l¹i;
Tæ Ba trång 22 c©y vµ 4/100 sè c©y cßn l¹i;
………………………………………………….
12
Cø chia nh vËy cho ®Õn tæ cuèi cïng th× võa hÕt sè c©y vµ sè c©y mçi tæ
®em trång ®Òu b»ng nhau. Hái líp 5 A cã mÊy tæ vµ mçi tæ ®îc chia bao nhiªu
c©y ?
7. Trong hép cã 130 bi. Hai b¹n ch¬i trß bèc bi. Mçi lÇn cã thÓ lÊy tõ 1 ®Õn
6 bi. Ai lÊy ®îc viªn bi cuèi cïng ngêi ®ã th¾ng cuéc. B¹n ®îc bèc tríc, theo b¹n
nªn lÊy nh thÕ nµo ®Ó b¹n lu«n lµ ngêi th¾ng cuéc ?
chóc c¸c b¹n thµnh
c«ng
13
- Xem thêm -
.DOC 
13 
55 
118 
