Tài liệu Skkn nhìn bài toán hình học phẳng thuần túy bằng “con mắt tọa độ”.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT TĂNG BẠT HỔ *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN Ñeà taøi: “NHÌN” BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY “BẰNG CON MẮT TỌA ĐỘ” Người thực hiện: Huyønh Duy Thuûy Năm học 2012-2013 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 MỤC LỤC MỤC LỤC Trang PHẦN A: MỞ ĐẦU 3 I. Đặt vấn ñề. 3 1. Thực trạng của vấn ñề 3 2. Ý nghĩa và tác dụng. 3 3. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài. 4 Phương pháp tiến hành. 4 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính ñịnh hướng cho việc nghiên cứu, 4 II. tìm giải pháp của ñề tài. 2. Các biện pháp, thời gian tạo ra giải pháp. 5 PHẦN B: NỘI DUNG 5 I. Mục tiêu 5 II. Mô tả phương pháp của ñề tài. 5 1. Thuyết minh tính mới. 6 2. Nội dung cụ thể: 6 Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học thuần túy bằng 6 công cụ tọa ñộ. - Hình thành hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng. 7 - Những kiến thức thiết yếu trong sử dụng công cụ tọa ñộ. 12 * Bài tập minh họa: 15 - Dạng bài: Tính toán 15 - Dạng bài: Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc. 21 - Dạng bài: Chứng minh ñẳng thức liên quan ñến ñộ dài ñoạn thẳng. 24 - Dạng bài: Chứng minh ñường thẳng ñi qua ñiểm cố ñịnh. 27 - Bài toán minh họa: 2 cách chọn hệ trục tọa ñộ Đề-các khác nhau. 32 - Dạng bài: Tính tỷ số giữa hai ñoạn thẳng. 37 - Dạng bài: Tương giao giữa các ñường thẳng. 41 - Dạng bài: Xác ñịnh vị trí của ñiểm. 46 - Dạng bài: Chứng minh hai ñường thẳng song song. 49 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 1 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 53 - Dạng bài: Chứng minh 1 ñiểm di ñộng trên 1 ñường cố ñịnh. - Dạng bài: Liên quan ñến giá trị lớn nhất của biểu thức. 56 - Dạng bài: Tìm quỹ tích. 59 3. Khả năng áp dụng. 61 Phần trích ngang hoạt ñộng chuyên môn của tác giả. 63 PHẦN C: KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 2 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 PHẦN A: MỞ A. PHẦN MỞĐẦU ĐẦU ĐẶTVẤN VẤNĐỀ ĐỀ: I. I. ĐẶT 1. Thực trạng của vấn ñề: * Bài toán hình học phẳng “thuần túy” là một trong những bài toán cổ xưa nhất của toán học, ẩn chứa vẻ ñẹp diệu kỳ, là một trong những bài toán rất phổ thông và có vai trò quan trọng trong toán học và ñời sống. Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, thí sinh thường xuyên phải va chạm với bài toán khá “hóc búa” gây nhiều khó khăn, trăn trở này. Vì thế việc tìm hiểu và tường minh một giải pháp khả dĩ là kỳ vọng của tác giả. - Sử dụng công cụ tọa ñộ là giải pháp ñược ñề cập và luận bàn trong bài viết này. * Những câu hỏi rất “tự nhiên” ñược ñặt ra là: - Dựa vào dấu hiệu nào, ñặc ñiểm gì mà ta vận dụng công cụ tọa ñộ ? - Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa ñộ ñược hình thành qua những công ñoạn nào? - Liệu rằng có thể xác lập ñược một nguyên tắc chung với các bước thực hiện có trình tự trong việc vận dụng công cụ tọa ñộ hay không?. Bằng sự trải nghiệm, người viết cố gắng giải ñáp những câu hỏi ñã ñặt ra với ước vọng góp một chút suy nghĩ bé nhỏ của mình ñể cùng quý thầy cô tạo ra một góc nhìn ña chiều về bài toán rất phổ thông và quan trọng này. 2. Ý nghĩa và tác dụng: - Giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ mang lại nhiều ý nghĩa và tác dụng: Với việc sử dụng công cụ tọa ñộ, ta ñã ñại số hóa bài toán hình học. Biến những quan hệ thuần túy trong hình học sang yếu tố về “lượng”, chính vì thế “cơ hội” giải bài toán cao hơn và có ñường lối hơn. Điều này là rất quan trọng trong dạy toán, học toán. 3. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài: Phạm vi nghiên cứu mà ñề tài hướng tới là: - Hình thành cô ñọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 3 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 - Xây dựng nguyên tắc xác ñịnh hệ trục tọa ñộ Đề các tương ứng với mỗi loại hình. - Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu cơ, sự hỗ trợ, bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ ñó hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu ñáo và có chiều sâu. II.II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Qua quá trình giảng dạy, người viết luôn nâng cao ý thức tự học, tinh thần cầu tiến, lắng nghe, học hỏi ở nhiều thế hệ thầy cô. Tìm tòi, tham khảo những tài liệu có liên quan, khai thác, khám phá, phát hiện, kiến tạo, xử lý và tích lũy thông tin. 2. Các biện pháp tiến hành, thời gian: * Từ những dạng bài trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, người viết suy nghĩ , “mỗ xẻ”, tìm ra biện pháp, ý tưởng theo cách của riêng mình, tạo ra một cách nhìn nhiều khía cạnh, “nhìn” từ phía bên trong của mỗi bài toán. * Người viết xin cam ñoan rằng: Đề tài này tự bản thân mình xây dựng với tất cả lòng ñam mê của người ñã “trót yêu” toán. Tuyệt ñối không sao chép, dựa dẫm từ bất kì ñề tài nào. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 4 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 B. NỘI DUNG MỤC TIÊU TIÊU. I.I.MỤC - Với kết cấu và yêu cầu chung của chương trình hiện nay, việc giải toán bằng công cụ tọa ñộ ñược ñặc biệt nhấn mạnh. - Với việc xử lý các tính chất, quan hệ hình học bằng phép toán ñại số, người viết hy vọng góp một chút công sức ñể làm phong phú hơn “hành trang” của người dạy toán, học toán, bằng một giải pháp mạnh “giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ”. II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI. 1. Tính môùi vaø tính saùng taïo cuûa giaûi phaùp: - Tính môùi cuûa giaûi phaùp döï thi theå hieän ôû 7 ñieåm sau: (7 ñieåm môùi naøy cuõng ñoàng thôøi khaéc phuïc ñöôïc nhöõng nhöôïc ñieåm cuûa giaûi phaùp ñaõ bieát). Moät laø: Bên cạnh lời giải có sẵn, tác giả sáng tác thêm ít nhất một lời giải mới cho mỗi bài toán (có những bài toán tác giả trình bày 4 cách giải, trong ñó có 3 cách giải mới do tác giả tự sáng tác). Từ ñó tạo ra một góc nhìn ña chiều về bài toán rất phổ thông và quan trọng này. Hai laø: Làm rõ tính tương tác, quan hệ biện chứng, sự hỗ trợ, bổ sung lẫn nhau giữa cách giải truyền thống và cách giải sử dụng công cụ tọa ñộ, từ suy nghĩ cho cách giải này giúp nảy sinh ý tưởng cho cách giải khác và ngược lại. Từ ñó tạo ra nhiều sự lựa chọn và “cơ hội” giải bài toán cao hơn, có ñường lối hơn. Ba laø: Chỉ ra ñược trên cùng một bài toán, ta có thể xác lập ñược các hệ trục tọa ñộ Đề các với những vị trí khác nhau, mà bài toán vẫn cho cùng kết quả. Điều này thể hiện tính ñộc ñáo, sự “tự do” không bị gò bó, cứng nhắc của giải pháp. Đây lại là một ưu ñiểm rõ ràng của giải pháp. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 5 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Boán laø: Chỉ ra ñược những bài toán nếu sử dụng giải pháp công cụ tọa ñộ, thì bài giải cho kết quả ñẹp, ngắn gọn, cô ñọng và trọn vẹn. Naêm laø: Đề cập ñền những bài toán hình học phẳng, nếu giải bằng cách thuần túy truyền thống thì khó thực hiện, thậm chí bế tắc. Trong khi ñó giải pháp vận dụng công cụ tọa ñộ vẫn khả thi. Saùu laø: Xử lý ñược bài toán bằng cách sử dụng giải pháp dự thi thì chặt chẽ, thuyết phục “dứt ñiểm” hơn so với cách giải thuần túy truyền thống. Baûy laø: Xác lập ñược nguyên tắc hình thành hệ trục tọa ñộ Đề các tương thích cho mỗi loại hình. 2. Nội dung cụ thể: * Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học phẳng thuần túy bằng công cụ tọa ñộ là: + Chọn hệ trục tọa ñộ - Gốc tọa ñộ, trục tọa ñộ thường gắn liền với ñiểm và ñường ñặc biệt của bài toán như: tâm ñường tròn, ñỉnh góc vuông, trung ñiểm ñoạn thẳng, chân ñường cao . + Chuyển ñổi ngôn ngữ từ yếu tố hình học “thuần túy” sang ngôn ngữ tọa ñộ. - Chuẩn hóa ñộ dài các ñoạn thẳng và ñơn vị trục. - Từ ñó xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm và phương trình các ñường, theo hướng hạn chế ñến mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, ñiều chỉnh giá trị của các tham số ñể nhận ñược những tọa ñộ “ñẹp” giúp các phép toán trở nên ñơn giản. + Khai thác các tính chất và phép toán liên quan ñến véctơ và tọa ñộ như: - Điều kiện theo tọa ñộ ñể 2 véc tơ vuông góc. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 6 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 . - Điều kiện theo tọa ñộ ñể 2 véc tơ cùng phương. - Tính khoảng cách từ 1 ñiểm ñến ñường thẳng dựa theo tọa ñộ. - Tính số ño của góc hợp bởi 2 ñường thẳng dựa theo tọa ñộ … + Với sự trợ giúp của công nghệ máy tính ta không “ngại” khâu tính toán. HÌNH THÀNH HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHƯ THẾ NÀO? * Bài toán có ñơn giản hay không, phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa ñộ và ñơn vị trục. * Sau ñây là cách chọn hệ trục tọa ñộ tương ứng với những loại hình ñơn giản và thường gặp. ĐOẠN AB CỐ ĐỊNH y Ta chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Axy: B thuộc tia Ax Chuẩn hóa AB = 1 A (0; 0) A B x B (1; 0) Hoặc chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Ixy. Trong ñó I là trung ñiểm ñoạn AB. B thuộc tia Ox. TAM GIÁC TAM GIÁCCÂN CÂN * Trường hợp tam giác ABC cân tại A. Thông thường ta xây dựng hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc như sau: - Hạ ñường cao từ ñỉnh của tam giác cân ñến cạnh ñối diện AO ⊥ BC - Chọn hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc Oxy trong ñó: Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 7 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 y + O (0; 0) là gốc tọa ñộ. A + Đỉnh C thuộc tia Ox. + Đỉnh A thuộc tia Oy. * Chuẩn hóa ñộ dài. Đặt G OC = c (a, c > 0)  OA = a  B O C x Khi ñó ta nhận ñược C (c ; 0) B (-c ; 0) A (0; a) G (0; a ) 3 (G là trọng tâm ∆ABC ) TAM GIÁCĐỀU ĐỀU TAM GIÁC y * Hạ AO ⊥ BC Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy. C thuộc tia Ox A thuộc tia Oy * Chuẩn hóa ñộ dài cạnh tam giác bằng 2a. (a > 0) B (-a ;0) C (a ; 0) A (0; a 3 ) Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy A B 0 C x 8 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 TAM GIÁC GIÁC TAM Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy. Gốc tọa ñộ O là trung ñiểm cạnh BC. C thuộc tia Ox. y Hoặc Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy. Gốc tọa ñộ O là chân ñường vuông góc hạ từ ñỉnh A. C thuộc tia Ox. A thuộc tia Oy. B A O x C A B C 0 x HÌNH VUÔNG ABCD HÌNH VUÔNG Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Axy B thuộc tia Ax D thuộc tia Ay Chuẩn hóa ñộ dài cạnh hình vuông bằng 2 Ta có: A (0; 0) B (2; 0) C (2; 2) D (0; 2) Tâm hình vuông I (1; 1) Trung ñiểm cạnh AB là P (1;0) Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy y D C I A P B x 9 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 HÌNH CHỮ NHẬT HÌNH CHỮ NHẬT - Chọn một ñỉnh của hình chữ nhật làm gốc tọa ñộ. - Hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật nằm D trên hai trục tọa ñộ. C * Chuẩn hóa ñộ dài: I Không mất tính tổng quát, ta ñặt chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x B A 2a, 2b, (a > b>0). Khi ñó ta nhận ñược những kết quả thật ñẹp. Chẳng hạn: Tâm của hình chữ nhật là I (a, b). Phương trình ñường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = a 2 + b 2 HÌNH HÌNHTHOI THOI y * Hai ñường chéo của hình thoi vuông góc với nhau, nên ta có thể chọn giao ñiểm 2 ñường chéo là gốc tọa ñộ. - Mỗi ñường chéo nằm trên mỗi trục tọa ñộ. * Trường hợp biết số ño của 1 góc ở ñỉnh hình thoi, ta có thể chọn ñỉnh này làm gốc tọa ñộ và một cạnh của hình thoi ñi qua ñỉnh ñó là 1 trục tọa ñộ. * Chuẩn hóa ñộ dài: Để có những tọa ñộ “ñẹp” không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa ñộ dài cạnh hình thoi bằng 1. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 0 y x D C O x α A B B 10 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG TRÒN - Chọn tâm ñường tròn làm gốc tọa ñộ. - Chọn một ñường kính làm trục tọa ñộ. - Chuẩn hóa ñộ dài bán kính R = 1. - Ta có phương trình ñường tròn. x2 + y2 = 1 Với ñiểm A nằm trên ñường tròn, ta có thể xác ñịnh tọa ñộ ñiểm A: A (cosa, sina). (Vì dựa theo cos2a + sin2a = 1) y y A x O HÌNH LỤC HÌNH LỤCGIÁC GIÁCĐỀU ĐỀU y C D E B A F x - Trong hình lục giác ñều, bao giờ ta cũng chỉ ra ñược một ñường chéo và một cạnh vuông góc với nhau. - Xét hình lục giác ñều ABCDEF, ñường chéo AC và cạnh AF vuông góc nhau. - Chọn hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc Axy trong ñó: + A (0 ; 0) + F thuộc tia Ax + C thuộc tia Ay - Chuẩn hóa ñộ dài: Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 11 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa ñộ dài bán kính ñường tròn ngoại tiếp lục giác ñều bằng 2h. Ta có những tọa ñộ “thật ñẹp”: A (0, 0) 3h ) C (0;2 3h) B (-h, E (3h; 3h) CÁC LOẠI HÌNH KHÁC CÁC LOẠI HÌNH KHÁC * Điều quan trọng cần nhận rõ rằng có loại hình, khi chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc, ta có thể chỉ chọn một trục tọa ñộ, trục còn lại không cần quan tâm tới, bài toán vẫn giải tốt. - Còn hơn thế nữa, trên cùng một bài toán, ta có thể lựa chọn những hệ trục tọa ñộ Đề -các vuông góc khác nhau, nhưng vẫn ñem lại kết quả như nhau. - Những ñiều trên ñược trình bày trong phần bài tập minh họa. - Như vậy việc chọn hệ trục tọa ñộ là rộng ñường, không bị “gò bó”, “cứng nhắc”, ñây lại là một ưu ñiểm nữa của giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ. NHỮNG KIẾN THỨC THIẾT YẾU TRONG SỬ DỤNG CÔNG CỤ TỌA ĐỘ * Với việc hình thành hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng, ta giải ñược các bài toán thường gặp sau ñây, dựa theo các bước ñã ñược “mặc ñịnh” ñây là thế mạnh “rất riêng” của giải pháp sử dụng công cụ tọa ñộ. Bài toán: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM M. Ta thực hiện như sau: - Gọi tọa ñộ ñiểm M (x; y). - Dựa vào tính chất của ñiểm M có trong giả thiết, ta tính ñược:  x = h ( m) với m là tham số thực   y = g ( m) - Khử tham số m, ta nhận ñược phương trình dạng y = f ( x ) . Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 12 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 - Khi ñó, căn cứ vào ñiều kiện ràng buộc của tham số m ta giới hạn ñược quỹ tích ñiểm M (nếu có). * Trường hợp, một trong hai thành phần tọa ñộ không phụ thuộc vào tham số m thì ñiểm M di ñộng trên ñường thẳng nằm ngang hoặc thẳng ñứng. - Công ñoạn còn lại: giới hạn quỹ tích. Bài toán: Chứng minh ñường thẳng (d) ñi qua một ñiểm cố ñịnh. Để chứng minh ñường thẳng (d) ñi qua một ñiểm cố ñịnh ta thực hiện các bước sau: - Viết phương trình ñường thẳng (d). (Phụ thuộc vào tham số thực m) - Biến ñổi phương trình ñường thẳng (d) về dạng: f ( x, y ).m + g ( x, y ) = 0, ∀m ∈ R - Tọa ñộ ñiểm cố ñịnh mà ñường thẳng (d) luôn ñi qua khi m thay ñổi là nghiệm của hệ phương trình:  f ( x, y ) = 0   g ( x, y ) = 0 Giải hệ phương trình trên ta ñược tọa ñộ ñiểm cố ñịnh. Bài toán: Chứng minh ñường thẳng ( ∆) tiếp xúc với một ñường tròn cố ñịnh. - Viết phương trình ñường thẳng ( ∆) (Phụ thuộc tham số thực m). - Xác ñịnh một ñường tròn (C ) cố ñịnh có tâm I, bán kính R. - Chứng minh d ( I , ∆ ) = R . Bài toán: Chứng minh ñiểm M di ñộng trên một ñường cố ñịnh. Để chứng minh ñiểm M di ñộng trên một ñường cố ñịnh, thông thường ta ñịnh hướng giải như sau: - Viết phương trình hai ñường thẳng di ñộng ñi qua ñiểm M. - Giải hệ phương trình ta nhận ñược tọa ñộ giao ñiểm M (x, y) Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 13 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013  x = g ( m)  y = h( m) với  - Khử giá trị tham số m ta nhận ñược phương trình ñường cố ñịnh là: y = f ( x) Bài toán: Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc. -Ta vận dụng biểu thức tọa ñộ của tích vô hướng. r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 Hoặc chứng minh tích hai hệ số góc của 2 ñường thẳng bằng (-1). Bài toán: Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng. uuur uuur - Ta vận dụng ñiều kiện ñể 2 véctơ AB = (h, k ) và AC = (m, n) cùng phương là: h m k =0 n Bài toán: Chứng minh hai ñường thẳng song song. - Ta vận dụng ñiều kiện 2 véctơ cùng phương. Bài toán: TÌM DIỆN TÍCH - Ta vận dụng công thức tính khoảng cách từ 1 ñiểm ñến 1 ñường thẳng. d ( M , ∆) = axM + byM + C a 2 + b2 - Công thức tính ñộ dài ñoạn thẳng. AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 Bài toán: Tính số ño góc hợp bởi 2 ñường thẳng. - Ta vận dụng công thức. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy rr a.b r r cos( d1 , d 2 ) = cos(a, b) = r r a .b 14 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 BÀI TẬP TẬP MINH MINH HỌA BÀI HỌA Trong mỗi bài tập minh họa người viết tìm tòi, phát hiện những ñặc ñiểm tiềm ẩn, trao ñổi suy nghĩ, phân tích lời giải. Bởi mỗi lời giải mang một nét ñẹp riêng và ngoài việc cập nhật cho ta giải pháp xử lý bài toán, còn hàm chứa một lượng kiến thức thiết yếu. DẠNG BÀI TÍNH TOÁN DẠNG BÀI TÍNH TOÁN Cho tam giác ABC có BEC là góc nhọn, trong ñó E là trung ñiểm của cạnh AB. Trên tia EC lấy ñiểm M sao cho BME = ECA . Ký hiệu α là số ño của góc BEC . Hãy tính tỷ số CM theo α . AB (Đề thi chọn HSG quốc gia năm học 2008 – 2009) Cách giải 1: Thuần túy hình học. Trên tia CE lấy ñiểm I sao cho E là trung ñiểm CI. Khi ñó ta có ACBI là hình bình hành. ⇒ CIB = ACE Theo giả thiết: ACE = EMB Nên : CIB = EMB Suy ra: ∆MBI cân tại B. Kẻ BJ ⊥ MI , ta có J là trung ñiểm MI. Do góc CEB < 900 nên góc ECB xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: ECB < 900 Mà CEB < 900 Nên ñiểm J nằm giữa C và E. Ta lại có E nằm giữa C và I (do E là trung ñiểm CI). Do ñó: E nằm giữa I và J. ⇒ JI = JE + EI (*) Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 15 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Vì M thuộc tia EC nên. M MEB = CEB < 900 Lại có: EMB = ACE = CEB − CAB < 900 C Nên J nằm giữa M và E. J ⇒ MJ = ME − EJ (1) Ta chứng minh C nằm giữa M và E. α A Thật vậy, giả sử M nằm giữa E và C. E B Khi ñó, ta có EMB = ECB + CBM > ECB ⇒ CIB > ECB ⇒ CB > BI ⇒ CB > CA I ⇒ CAB > CBA Mà EMB > ECB ⇔ ACE > ECB Nên 1800 − CAB − ACE < 1800 − CBA − ECB ⇒ CEA < CEB Mà CEA + CEB = 1800 Nên CEB > 900 (ñiều trái với giả thiết ta ñang xét là góc ECB < 900 ) Như vậy M không thể nằm giữa E và C. Mà M thuộc tia EC. Nên C nằm giữa M và E. Do ñó ME = MC + CE (2) Từ (1) và (2) suy ra: MJ = MC + CE – EJ (**) Từ (*) và (**) và MJ = JI Suy ra: MC + CE – EJ = JE + EI ⇒ MC – EJ = JE ⇒ CM = 2EJ = 2EB cos α = AB cos α ⇒ CM = cos α AB Trường hợp 2: ECB > 900 Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 16 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Mà CEB < 900 nên ñiểm C nằm giữa J và E (3) Ta lại có E nằm giữa C và I. Do ñó E nằm giữa I và J. Suy ra: IJ = IE + EJ = IE + EC+ CJ = 2CE + CJ(***) Ta chứng minh ñiểm M không thể nằm giữa E và C. Thật vậy, giả sử M nằm giữa E và C. Ta có: EMB = ECB + MBC > ECB > 900 Mà EMB = ECA = CEB − CAE < CEB < 900 Như vậy EMB > 900 và EMB < 900 mâu thuẩn nhau. Do ñó ñiểm M không nằm giữa E và C. Mà M thuộc tia EC nên C nằm giữa M và E. Khi ñó, ta có: MCB = 1800 − ECB < 900 CMB = EMB = ECA = CEB −CAE < 900 Mà J là chân ñường cao kẻ từ B xuống ñường thẳng CM. Nên J nằm giữa C và M. Suy ra: JM = CM – CJ (****) Từ (***) và (****) kết hợp với J là trung ñiểm IM. Suy ra: 2CE +CJ = CM – CJ ⇒ CM = 2CE + 2CJ = 2EJ = 2 EB.cosα = AB cosα ⇒ CM = cos α AB M Trường hợp 3: ECB = 900 . Khi ñó J ≡ C ⇒ C là trung ñiểm IM. Do ñó: CM = CI = 2 CE = 2EB cos α J = AB.cos α ⇒ CM = cos α AB A α E C B I Kết luận: Từ 3 trường hợp ñã xét ta ñược Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy CM = cos α AB 17 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 Cách giải 2: Sử dụng hệ thức lượng B E α β β C M A Đặt BME = ECA = β Ta có: BC 2 = BE 2 + EC 2 − 2 BE.EC.cos α AC 2 = AE 2 + EC 2 − 2 AE.EC cos(π − α ) = AE 2 + EC 2 + 2 EC. AE.cos α Vì BE = AE ⇒ BE 2 = AE 2 ⇒ AC 2 − BC 2 = 4 EC. AE cos α Vì α là góc nhọn nên cos α > 0 ⇒ AC 2 − BC 2 > 0 ⇔ AC 2 > BC 2 ⇔ AC > BC Xét tam giác BEC có: BE sin BCE = BC sin α (1) Xét tam giác AEC. AE AC AC AC = = = sin β sin AEC sin (π − α ) sin α (2) (2) – (1) ta ñược. AE BE AC − BC − = sin β sin BCE sin α Vì AC > BC ⇒ AC − BC > 0 ⇒ sin α > 0 AC − BC ⇒ >0 sin α AE BE AE AE ⇒ − >0⇔ − >0 sin β sin BCE sin β sin BCE 1 1 ⇔ > ⇒ sin β < sin BCE sin β sin BCE ⇒ C nằm giữa E và M. Xét tam giác BEM. Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 18 Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013 BE EM EM = = sin β sin [π − (α + β ) ] sin(α +β ) BE.sin(α + β ) ⇒ ME = sin β BE.sin(α + β ) AB.sin(α + β ) ⇔ MC + CE = = sin β 2sin β ⇒ (1) Xét tam giác ECA CE sin EAC = AE AE sin EAC AB sin EAC ⇔ CE = = sin β sin β 2sin β AB.sin(α + β ) AB sin EAC − 2sin β 2sin β Từ (1) và (2) ⇒ CM = = = (2) AB sin(α + β ) − AB.sin EAC 2sin β AB. sin (α + β ) − sin (α − β )  2sin β CM sin (α + β ) − sin (α − β ) = AB 2sin β 2cos α .sin β = = cos α 2sin β ⇔ Kết luận: CM = cos α AB Cách giải 3: Sử dụng công cụ tọa ñộ y B D α E H M C x A Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy 19