TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9
1. Họ tên người viết:
2. Chức vụ:
Giáo viên
3.Đơn vị công tác:
4. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy giải phương trình vô tỉ là một trong
những bài toán thường gặp và học sinh thường cảm thấy lúng túng khi gặp dạng toán
này. Phương trình vô tỉ là một trong những dạng phương tình khó, việc giải phương
trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo trong việc sử dụng các phương
pháp, cẩn thận, chuẩn xác trong việc kết hợp các điều kiện. Vì vậy, tôi đã đầu tư tìm
hiểu, nghiên cứu tài liệu nhằm đưa ra một số phương pháp giải phương trình vô tỉ để
giúp các em học sinh khá giỏi lớp 9 nâng cao kiến thức và có kỹ năng tìm ra cách giải
tốt nhất.
5. NỘI DUNG:
5.1. Khó khăn, thuận lợi và sự cần thiết của giải pháp hữu ích
5.1.1. Khó khăn
Trong sách giáo khoa lớp 9, việc giải phương trình vô tỉ chỉ được đưa ra dưới
dạng bài toán tìm x và hầu hết là các bài tập cơ bản, tuy nhiên trong quá trình giải học
sinh hiểu một cách mơ màng việc tìm điều kiện và kết hợp các điều kiện.
5.1.2. Thuận lợi
Học sinh quan tâm và mong muốn tìm hiểu cách giải các dạng toán trên
5.1.3. Sự cần thiết của giải pháp
Để hướng dẫn cho học sinh nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỉ,
hiểu rõ ý nghĩa và cách tìm, kết hợp điều kiện, người giáo viên phải tìm tòi, nghiên
cứu và lựa chọn các phương pháp giải phù hợp với học sinh lớp 9. Vì vậy, tôi đã tập
trung nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải phương trình vô tỉ để học sinh có
thể tiếp tục mở rộng kiến thức và không còn bỡ ngỡ, lo lắng khi gặp dạng toán này.
-1-
5.2. Phạm vi áp dụng của giải pháp hữu ích
Giải pháp này được áp dụng trong giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9.
5.3. Thời gian áp dụng
Từ ngày 01/09/2017 đến 30/10/2017
5.4. Giải pháp thực hiện
5.4.1. Tính mới của giải pháp,
Căn cứ vào tình hình thực tế trong quá trình giảng dạy và nhu cầu tìm hiểu của
học sinh trong quá trình tham gia giải toán qua mạng, tôi đã nghiên cứu, lựa chọn và
cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
Với mục đích trên, tôi đã hướng dẫn cho học sinh các phương pháp giải phương
trình vô tỉ như sau:
Phần 1: Phương pháp đưa về phương trình có dấu giá trị tuyệt đối.
Phần 2: Phương pháp nâng lên lũy thừa.
Phần 3: Phương pháp đưa về phương trình tích
Phần 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phần 5: Bài tập rèn luyện tổng hợp
Phần 1:
Phương pháp đưa về phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp này chỉ áp dụng khi biểu thức trong căn bậc hai có thể đưa về
dạng bình phương của một biểu thức
Kiến thức sử dụng:
Các hằng đẳng thức:
a b 2 a 2 2ab b 2
a b 2 a 2
2ab b 2
a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab
a b c 2 a 2 b 2 c 2
2bc 2ca
2ab 2bc 2ca
A2 A
x khi x 0
x khi x 0
Giá trị tuyệt đối: x
Phương pháp tìm và ví dụ minh họa
Nếu biểu thức trong căn có sẵn dạng bình phương của một biểu thức thì thực hiện
các bước:
-2-
+ Sử dụng dạng hằng đẳng thức
A2 A để khử căn
+ Vận dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối của biểu thức để chia các trường hợp,
khử dấu giá trị tuyệt đối.
+ Giải phương trình ở từng trường hợp, đối chiếu điều kiện, kết luận.
Nếu biểu thức trong căn chưa có sẵn dạng bình phương của một biểu thức thì vận
dụng kiến thức về hằng đẳng thức để đưa về dạng bình phương rồi thực hiện các
bước như trên
Ví dụ 1: Giải phương trình
x 3
2
2 x 1
Giải
x 3
2
2 x 1 x 3 2x 1
TH1: x- 3 0 tức x 3
Ta có phương trình x-3 = 2x – 1
x= -2 (loại)
TH2: x – 3 < 0 tức x < 3
Ta có phương trình – x + 3 = 2x – 1
x=
4
(nhận)
3
4
3
Vây tập nghiệm của phương trình trên là S =
Ví dụ 2: Giải phương trình
x 2 10x 25 x 1
Giải
x 2 10x 25 x 1
x 5
2
x 1 x 5 x 1
TH1: x- 5 0 tức x 5
Ta có phương trình x- 5 = x – 1 (vô nghiệm)
TH2: x – 5 < 0 tức x < 5
Ta có phương trình – x + 5 = x – 1
x= 3 (nhận)
Vây tập nghiệm của phương trình trên là S = 3
Ví dụ 3: Giải phương trình
4 x 2 4x 1 2 9 12x 4x 2 x 2
Giải
-3-
4 x 2 4x 1 2 9 12x 4x 2 x 2
2 x 1
2
2
3 2x
2
x 2
2 x 1 2 3 2x x 2
TH1: x
3
(tức 2x -1 0 và 3-2x 0)
2
Ta có phương trình 2x- 1 -2(2x- 3)= x – 2
-3x = -7
x=
TH2:
7
(nhận)
3
1
3
x<
(tức 2x -1>0 và 3-2x > 0)
2
2
Ta có phương trình 2x- 1 -2(3- 2x)= x – 2
5x = 5
x= 1 (nhận)
TH3: x
1
(tức 2x -1 0 và 3-2x 0)
2
Ta có phương trình 1- 2x -2(3- 2x)= x – 2
x = 3 (loại)
7
3
Vây tập nghiệm của phương trình trên là S = ;1
Bài tập rèn luyện: Giải phương trình
a)
x 2 6x 9 2 x 1
b)
c)
4 x 2 12x 9 8 x 1
d) 9 x 2 30x 25 x 3
e) x 2 2x 1 4 4x x 2 x 3
f)
x 2 8x 16 2 x 1
x
2x 1
x
2x 1 2
Phần 2:
Phương pháp nâng lên lũy thừa
Phương pháp này thường áp dụng khi biểu thức trong căn bậc hai (hoặc căn
bậc ba) không thể đưa về dạng bình phương (hoặc lập phương) của một biểu thức
Kiến thức sử dụng:
Các hằng đẳng thức: ngoài các hằng đẳng thức về bình phương một tổng, một
hiệu đã được ôn tập ở phần 1, cần ôn tập thêm các hằng đẳng thức:
a b
3
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
-4-
a b
3
a3 3a 2b 3ab2 b3
Căn bậc hai:
*
A xác định khi A 0 với A là một biểu thức đại số.
* Với a 0 ta có
x 0
+ x a 2
x a
+
+
a
2
a
a 0
* Các kĩ năng biến đổi biểu thức chứa căn: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào
trong dấu căn, trục căn thức ở mẫu
Căn bậc ba: x 3 a x3 a
a
3
3
a
Phương pháp giải và ví dụ minh họa
Dựa vào kiến thức cơ bản trên hướng dẫn học sinh hình thành phương pháp giải như
sau:
Phương trình chứa dấu căn bậc hai
+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định
+ Bước 2: Rút gọn nếu có thể
+ Bước 3: Bình phương hai vế để khử căn.
+ Bước 4: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Phương trình chứa dấu căn bậc ba
+ Bước 1: Rút gọn nếu có thể
+ Bước 2: Lập phương hai vế để khử căn
+ Bước 3:. Giải phương trình và kết luận
Ví dụ 1: Giải phương trình
x 2 3 x 1
Giải
x 2 3 0
Với điều kiện :
x 1 0
Ta có
x 1 ( vì x2 + 3 > 0 với mọi giá trị của x)
x 2 3 x 1
x2 + 3 = x2 + 2x + 1
2x = 2 x = 1 (nhận)
-5-
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình
3x 1
5
x2
Giải:
3x 1 0
3x 1
x 2 0
0
Với điều kiện :
3x 1 0
x2
x 2 0
Ta có
1
x 3
x2
3x 1
3x 1
11
5
5 2x 11 x
(nhận)
x2
x2
2
11
2
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S =
Ví dụ 3: Giải phương trình
3x 1
5
x2
HD: Yêu cầu HS nhận xét sự khác nhau của phương trình ở ví dụ 2 và ví dụ 3
Giải:
1
3x 1 0
1
x
3 x
Với điều kiện :
3
x 2 0
x 2
Ta có
3x 1
3x 1
11
5
5 2x 11 x
(loại)
x2
2
x2
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S =
* Chú ý: Qua hai ví dụ nhận mạnh rõ hơn tầm quan trọng của việc xác định điều kiện
Ví dụ 4: Giải phương trình
x 3 3 x 1 2 x 2 x 2
HD: Sau khi tìm điều kiện xác đinh theo thói quen thông thương ta thườngbình
phương hai vế của phương trình cho sẵn. Khi bình phương 2 vế của phương trình có
sắn ta được: 1
x 3 3x 1
x 2 x 2 x 1 , để giải phương trình này dĩ nhiên
là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Tuy nhiên phương trình giải sẽ rất đơn
giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3x 1
2x 2 4x
x 3 rối bình
phương hai vế (vì ta thấy nếu cộng biểu thức trong căn ở từng vế thì ở hai vế đều xuất
hiện 5x thuận tiện cho việc rút gọn sau này)
Giải:
Ta có
x 3 3x 1 2 x 2 x 2
-6-
x 3
4x 2x 2
x+3 0
3 x 1 0
x 0
Với điều kiện :
2x 2 0
x 3 4x
2x+2 3x 1
Ta có :
x 3
3x 1
x 3
x 1
3
x 0 0 x 1
x 1
x 1
4x 2x 2
3x 1
6 x 2 8 x 2 4 x 2 12 x x 1
(nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 1
Ví dụ 5: Giải phương trình
3
x 1 1 x
Giải:
3
x 1 1 x
3
x 1 x 1
x 1 x 3 3x 2 3x 1
x 0
x 3x 2x = 0 x(x+1)(x+2)=0 x 1
x 2
3
2
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 0; 1; 2
Ví dụ 6: Giải phương trình
x 2 16
3 x 4 8
x 4
Giải:
x +4 0
Với điều kiện : x 4 0 x 4
x 2 16 0
Ta có :
x 2 16
3 x 4 8
x 4
x 4 3 x 4 8
x 4 4 x= 12 (nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 12
Ví dụ 7: Giải phương trình
1
1
1
1
x 3 x 2
x 2 x 1
x 1 x
-7-
x +3 0
x 2 0
x 0
Giải: Với điều kiện :
x
1
0
x 0
Ta có :
1
1
1
1
x 3 x 2
x 2 x 1
x 1 x
x 3
x2 x2
x 1 x 1
x 3 1 x x+3= 1+2 x +x
x 1
x =1 x=1 (nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 1
Bài tập rèn luyện:
Giải phương trình
a)
c)
3
b) 1 2 x 2 x 1
3 x 4 2 x
5x 3
3
2x 1
d)
e) x 3. x 4 x 2 3
g)
k)
n)
4 x 12
f)
2 x 1 3 2 x 2
7x 2
3x 1
3
h) 2 x 12 2 x 1 4 3 x 1
9 x 27 4 x 3 3 x 0
25 x 75 3 x 2 2 4 x 3 9 x 18
m)
3
x 1 3 7 x 2
1
1
1
...
1
x 2013 x 2012
x 2012 x 2011
x 1 x
Phần 3:
Phương pháp đưa về phương trình tích
Kiến thức, kĩ năng sử dụng:
Các hằng đẳng thức: ngoài các hằng đẳng thức về bình phương một tổng, một
hiệu đã được ôn tập ở phần 1, cần ôn tập thêm các hằng đẳng thức:
a 2 b 2 a b a b
Các kiến thức cơ bản về căn bậc hai, căn bậc ba như ở phần trên.
Các phương pháp phân tích thành nhân tử
Phương pháp giải và ví dụ minh họa
-8-
Việc đưa về phương trình tích đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản
và linh hoạt trong việc sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử
Ví dụ 1: Giải phương trình
x2 4
4x 8 2 x 2
Giải:
x 2 4 0
Điều kiện xác định : 4 x 8 0 x 2
x 2 0
Ta có :
x2 4
4x 8 2 x 2
x2 4 2 x 2 2
x 2
x 2 2
x 2 2
x 2 0
x 2 2 0
x 2 1 0
x 2 2 0
x 2 1 0
x 6
x 1
x = -1 không thỏa điều kiện xác định
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 6
2
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 3 x 2
3
x 2
2
3 x2 4
Giải:
2
2 3 x 2
3
x 2
3
2
x2
3
x 2
x 2
3
3
x 2
3
x2
3
3
x2
3
x 2
x 2.
2
3
3
3
2
3 x2 4
3 x2 4
3
x 2
2
x 2 3 x 2 3 x 2
x 2 3 x 2
3
3
x 2
x 2 0
x 2 0
3 x 2 3 x 2 0
x 2
3 x 2 0
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 2
-9-
3
x2
Bài tập rèn luyện:
Giải phương trình
a)
x 2 16
b)
x 2 5x 6 x 1 x 2 x 2 2x 3
c)
3
65 x
2
x 4 0
x x 1 1
2
4 3 65 x 5 3 652 x 2
d) x x 3 2 x 2 x 3
Phần 4:
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp giải và ví dụ minh họa
Dùng hằng đẳng thức :
Xây dựng phương trình dạng A2 B 2 0 .
Vì A2 0 , B 2 0 nên A2 B 2 0 A = B = 0
Dùng bất đẳng thức
A m (1)
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:
B m (2)
nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình
A B
Ví dụ 1: Giải phương trình 12 4x 2 4 x 5x 1 4 9 5x 0
Giải:
5x 1 0
1
9
x
5
5
9 5x 0
Điều kiện xác định:
12 4x 2 4 x 5x 1 4 9 5x 0
5x 1 2.2 x. 5x 1 4x 2 9 5x 2.2. 9 5x 4 0
2
5x 1 2x
5x 1 2 x
2
9 5x 2
2
9 5x 2
0
2
0
x 1 (nhận)
0
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 2 6x 7 5x 2 10x 21 5 2x x 2
Giải:
- 10 -
3x 2 6x 7 5x 2 10x 21 5 2x x 2
Ta có 3x 2 6x 7 5x 2 10x 21
2
2
3 x 1 4 5 x 1 16 6 , dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = -1
5 – 2x – x2 = 6 –(x+1)2 6 , dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = -1
(1)
(2)
Từ (1) và (2)
=> x = -1 là nghiệm của phương trình
3x 2 6x 7 5x 2 10x 21 5 2x x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S = 1
Bài tập rèn luyện:
Giải phương trình
a) 9 x 2 2 x 2x 1 4 6 2x 0
b)
x 2 4 x 8 x 2 4 x 29 x 2 4 x 3
c)
2 x 2 4 x 3 3x 2 6 x 7 2 x 2 2 x
d)
1
2 x x 2 2 x 1
x2
e)
3x 5 7 3x 5 x 2 20 x 22
Phần 4:
Bài tập rèn luyện kĩ năng nhận biết, lựa chọn phương pháp phù hợp
Bài 1: Giải phương trình
x1
x 2
a)
5 x 2 3 4
b)
7
c)
2 3x 5 x 1
l) x 2 8 x 17 2 x 2 16 x 41 x 2 8 x
d)
7 x 3 2
m)
e) x+
2 x 3
x 5
h)
x 3
4 x 2 25
k)
5
=5
n)
f)
x 2 81
o)
g)
x 2 18x 81 4 x 2 4 x 1 1
x 9 0
p)
2x 5
x 2 +2x 1
2
x2 2 5x 5 6 2 5
7 x
7 x x 5 x 5
7 x
3
x 5
x3 3x 2 3x 1 2 x 5
x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2 x 3
Bài 2: Cho A= x 2 6x 9 x 2 8x 16
B=
x 1
x 2 4x 4 x 2 10x 25
Giải phương trình A + B = 6x
- 11 -
Bài 3: Tìm x, y, z biết x y z 35 2 2 x 1 3 y 2 4 z 3
5.4.2. Khả năng áp dụng
Giải pháp được áp dụng để bỗi dưỡng thêm năng lực tư duy của học sinh khá
giỏi lớp 9.
5.4.3 Kết quả thực hiện
Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 9 về giải phương trình vô tỉ, tôi đã thực hiện
kiểm tra 10 học sinh khá giỏi trong hai năm học 2016 – 2017 và. Kết quả như sau:
Điểm số xi
5
7
8
9
10
Tần số ni
1
4
2
2
1
N = 10
Tích xi.ni
5
28
16
18
10
Tổng :77
X = 7,7
6. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
xi - X
-2,7
-0,7
0,2
1,2
2,2
(xi - X )2
7,29
0,49
0,04
1,44
4,48
ni(xi - X )2
7,29
1,96
0,08
2,88
4,48
16,69
2
1,7 1,3
Qua việc thực hiện giải pháp” Rèn kĩ năng giải phương trình cho học sinh khá
giỏi”, bản thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh nghiệm như sau:
6.1 Về phía giáo viên
Trong quá trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc những kiến thức và dẫn
dắt học sinh biết tìm tòi, phát hiện tri thức mới và từng bước giải quyết các vấn đề đó
thông qua các phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với từng đối tượng
học sinh.
6.2 Về phía học sinh
Để nắm rõ, hiểu sâu các dạng bài tập nâng cao mỗi học sinh phải nắm chắc
kiến thức cơ bản, phải có kĩ năng suy luận, xâu chuỗi kiến thức đã học, đồng thời phải
linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp và vận dụng vào giải bài tập.
7.KẾT LUẬN.
Trong quá trình giảng dạy tôi luôn cố gắng tìm ra phương pháp tốt nhất để mỗi
học sinh cảm thấy tự tin hơn khi gặp bài tập giải phương tình vô tỉ. Việc hướng dẫn,
giới thiệu các phương pháp giải phương trình vô tỉ đã góp phần nâng cao chất lượng
cho đội ngũ học sinh giỏi môn toán. Qua thời gian nghiên cứu và thử nghiệm trong
công tác giảng dạy, bước đầu đã đạt được kết quả. Vì vậy, tôi mạnh dạn đưa ra một số
phương pháp giải phương trình vô tỉ để giúp các em học sinh nâng cao kiến thức và có
kỹ năng giải phương trình vô tỉ. Tuy nhiên do kinh nghiệm của bản thân chưa nhiều
- 12 -
nên tôi chỉ trình bày một số phương pháp như trên. Rất mong được sự đóng góp của
quý thầy cô.
Đà lạt , ngày 22 tháng 11 năm 2017
Người thực hiện
Nguyễn Viết Quang
- 13 -
- 14 -
- Xem thêm -
.DOC 
14 
1 
143 
