Tài liệu Skkn một số giải pháp giúp học sinh khối 9 trường thcs thuận giao phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai

MỤC LỤC I. PHẦN MỞ ĐẦU:.........................................................................................1 1. Mục đích:.................................................................................................1 2. Đối tượng nghiên cứu:.............................................................................2 3. Phương pháp nghiên cứu:........................................................................2 II. CƠ SỞ LÝ LUẬN:......................................................................................3 1. Cơ sở lý luận về lý thuyết:.......................................................................3 2. Cơ sở lý luận về thực tiễn trong giáo dục:..............................................5 III. THỰC TRẠNG:........................................................................................7 1. Giới thiệu sơ lược về đặc điểm riêng của trường:...................................7 2. Thực trạng của sự việc theo nội dung đề tài nghiên cứu:........................8 IV. CÁC GIẢI PHÁP:.....................................................................................9 1. Phân tích những điểm khó và mới về căn bậc hai:..................................9 2. Phát hiện những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai:........10 2.1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học:.................................10 2.2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán:...........................................13 3. Những phương pháp giải toán về căn bậc hai:.......................................16 3.1. Xét thuật ngữ toán học:...............................................................16 3.2. Xét biểu thức phụ có liên quan:..................................................16 3.3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học:.......................................17 4. Kết quả thực hiện:..................................................................................19 5. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện:........................................19 V. KẾT LUẬN:..............................................................................................21 VI. HÌNH ẢNH VỀ MỘT SỐ TIẾT LUYỆN TẬP, ÔN TẬP:.....................23 VII. BẢNG ĐIỂM BÀI KIỂM TRA CỦA HAI LỚP 9A6 VÀ 9A7.............27 VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢ̉:...................................................................31 Tên sáng kiêến kinh nghiệm: một sốố giải pháp giúp học sinh khốối 9 trường thcs thuận giao phát hiện và tránh sai lầầm trong khi giải toán vềầ căn bậc hai I. PHẦẦN MỞ ĐẦẦU: 1. Mục đích: Môn Toán là một bộ môn khoa học tự nhiên. Nó đóng vai trò rấất quan trọng trong thực tiêễn cuộc sôấng, ứng dụng rấất nhiêều trong m ọi lĩnh v ực khác nhau như: Kinh têấ, tài chính, kêấ toán .... là tiêền đêề c ơ b ản cho các b ộ môn khoa học tự nhiên khác. Vì vậy việc giảng dạy môn Toán ở các tr ường THCS nói chung và môn Toán lớp 9 nói riêng là một vấấn đêề hêất sức quan tr ọng. Vì thêấ, đ ể đáp ứng được nhu cấều giảng dạy theo phương pháp dạy học (PPDH) m ới hi ện nay giáo viên (GV) cấền có sự đấều tư, làm vi ệc và suy nghĩ nhiêều h ơn vì thêấ chúng ta cấền phải nghiên cứu và đấy là vấấn đêề cấền thiêất chúng ta ph ải th ực hi ện nghiêm túc. – Hiện nay mục tiêu giáo dục cấấp THCS đã được m ở r ộng, các kiêấn th ức và kyễ năng được hình thành và củng côấ để tạo ra 4 năng lực ch ủ yêấu: + Năng lực hành động + Năng lực thích ứng + Năng lực cùng chung sôấng và làm việc + Năng lực tự khẳng định mình. Trong đêề tài này tôi quan tấm để đi khai thác đêấn 2 nhóm năng l ực chính là "Năng lực cùng chung sôấng và làm việc" và "Năng lực t ự kh ẳng đ ịnh mình" vì kiêấn thức và kyễ năng là một trong những thành tôấ của năng l ực HS. Qua quá trình giảng dạy thực têấ trên lớp, tôi đã phát hiện ra răềng còn rấất nhiêều học sinh thực hành kyễ năng giải toán còn kém trong đó có rấất nhiêều h ọc sinh (45%) chưa thực sự hiểu kyễ vêề căn bậc hai và trong khi th ực hi ện các phép toán vêề căn bậc hai rấất hay có sự nhấềm lấễn hiểu sai đêề bài, th ực hi ện sai m ục đích, kyễ năng tính toán yêấu… Việc giúp h ọc sinh nh ận ra s ự nhấềm lấễn và giúp các em tránh được sự nhấềm lấễn đó là một công vi ệc vô cùng cấền thiêất và cấấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cu ộc rấất cao, giúp các em có s ự am hiểu vững chăấc vêề lượng kiêấn thức căn bậc hai, t ạo nêền móng đ ể tiêấp t ục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. Qua sáng kiêấn này tôi muôấn đưa ra m ột sôấ lôễi mà h ọc sinh hay măấc ph ải trong quá trình lĩnh hội kiêấn thức ở chương căn b ậc hai đ ể t ừ đó có th ể giúp học sinh khăấc phục các lôễi mà các em hay măấc phải trong quá trình gi ải bài t ập hoặc trong thi cử, kiểm tra... Cũng qua sáng kiêấn này tôi muôấn giúp GV gi ảng dạy toán 9 có thêm cái nhìn mới sấu săấc hơn, chú ý đêấn vi ệc rèn luy ện kyễ năng thực hành giải toán vêề căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu qu ả và đào sấu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp các em phát tri ển kh ả năng tiêềm tàng trong chính bản thấn các em. Qua sáng kiêấn này tôi cũng tự rút ra cho bản thấn mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiêấp theo. 2. Đốối tượng nghiền cứu: Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiêấn này tôi ch ỉ nghiên c ứu trên hai nhóm đôấi tượng cụ thể sau : 1. Giáo viên dạy toán của trường THCS Thu ận Giao 2. Học sinh lớp 9 THCS: Bao gôềm 2 lớp 9 v ới t ổng sôấ 87 h ọc sinh 3. Phương pháp nghiền cứu: Côất lõi của việc đổi mới PPDH ở trường THCS là giúp HS h ướng t ới vi ệc học tập chủ động, chôấng lại thói quen học tập thụ động. Vì leễ đó khi gi ảng d ạy GV cấền dựa vào 05 tiêu chuẩn chính lựa chọn PPDH: + Chọn những PPDH có khả năng cao nhấất đôấi v ới vi ệc th ực hi ện m ục tiêu dạy học. + Lựa chọn các PPDH tương thích với nội dung. + Lựa chọn các PPDH dựa vào hứng thú, thói quen, kinh nghi ệm c ủa HS. + Lựa chọn các PPDH phù hợp với năng lực, điêều ki ện, thêấ m ạnh .... c ủa GV + Lựa chọn các PPDH phù hợp với điêều kiện dạy học . Trong quá trình thực hiện sáng kiêấn kinh nghi ệm này tôi đã s ử d ụng những phương pháp sau : – Quan sát trực tiêấp các đôấi tượng học sinh để phát hiện ra những vấấn đêề mà học sinh thấấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cấều gi ải quyêất vấấn đêề đó. – Điêều tra toàn diện các đôấi tượng học sinh c ủa khôấi 9 đ ể thôấng kê h ọc lực của học sinh. Tìm hiểu tấm lý của các em khi học môn toán, quan đi ểm c ủa các em khi tìm hiểu những vấấn đêề vêề giải toán có liên quan đêấn căn b ậc hai. – Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hi ện trình đ ộ nhận thức, phương pháp và chấất lượng hoạt động nhăềm tìm giải pháp nấng cao chấất lượng giáo dục. – Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài m ới, trong các tiêất luy ện t ập, tiêất trả bài kiểm tra. . . tôi đã đưa vấấn đêề này ra h ướng dấễn h ọc sinh cùng trao đổi, thảo luận băềng nhiêều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, gi ảng giải, vấấn đáp gợi mở để học sinh khăấc sấu kiêấn thức, tránh được nh ững sai lấềm trong khi giải bài tập. Yêu cấều học sinh giải một sôấ bài tập theo n ội dung trong sách giáo khoa rôềi đưa thêm vào đó những yêấu tôấ m ới, nh ững điêều ki ện khác đ ể xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh. – Phấn tích và tổng kêất kinh nghiệm giáo dục khi áp d ụng n ội dung đang nghiên cứu vào thực tiêễn giảng dạy nhăềm tìm ra nguyên nhấn nh ững sai lấềm mà học sinh thường măấc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu qu ả hơn trong các giờ dạy tiêấp theo. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN: 1. Cơ sở lý luận vềầ lý thuyềốt: – Toán học có vai trò rấất quan trọng đôấi với đời sôấng và các ngành khoa học khác. Đặc biệt là môn toán nội dung nhiêều, công th ức tính nhiêều, bài t ập thì đa dạng (có khó, có dêễ, có phức tạp). Vì thêấ đó trong quá trình tính toán, v ận dụng HS rấất dêễ bị nhấềm lấễn, sai sót. Cho nên khi giải vêề “ Căn bậc hai” HS cũng rơi vào trường hợp tương tự. – Trong những năm gấền đấy, định hướng đổi mới PPDH đã đ ược thôấng nhấất theo tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập của HS dưới sự tổ chức hướng dấễn của GV: Học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hi ện, gi ải quyêất nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiêấn th ức kyễ năng đã thu nhận được. Luật Giáo dục 2005 (Điêều 5) quy định: "Phương pháp giáo d ục ph ải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo c ủa ng ười h ọc; bôềi d ưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê h ọc t ập và ý chí vươn lên". Muôấn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyêất đ ịnh cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh h ưởng đêấn cách dạy của thấềy. Mặt khác, cũng có trường hợp HS mong muôấn đ ược h ọc theo phương pháp dạy học tích cực (PPDHTC) nhưng GV chưa đáp ứng đ ược. Do vậy, GV cấền phải được bôềi dưỡng, phải kiên trì cách d ạy theo PPDHTC, t ổ ch ức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đêấn phức tạp, từ thấấp đêấn cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phương pháp phải có s ự h ợp tác c ủa thấềy và trò, sự phôấi hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì m ới có kêất qu ả. PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học. * Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực : a) Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích c ực, ch ủ đ ộng, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh. b) Dạy học chú trọng rèn luyện PP và phát huy năng lực tự h ọc c ủa HS. c) Dạy học phấn hóa kêất hợp với học tập hợp tác. d) Kêất hợp đánh giá của thấềy với đánh giá của b ạn, v ới t ự đánh giá. e) Tăng cường khả năng, kyễ năng vận dụng vào thực têấ, phù hợp với điêều kiện thực têấ vêề cơ sở vật chấất, vêề đội ngũ GV Vấấn đêề cấền quan tấm ở đấy là chấất lượng dạy và học c ủa GV và HS nh ư thêấ nào là hiệu quả, nên chúng ta cấền bàn đêấn. 2. Cơ sở lý luận vềầ thực tiềễn trong giáo dục: Qua kinh nghiệm giảng dạy bộ môn Toán của bản thấn tôi và tham kh ảo ý kiêấn của các đôềng nghiệp nhiêều năm kinh nghi ệm, tôi nh ận thấấy: Trong quá trình hướng dấễn học sinh giải toán Đại sôấ lớp 9 vêề căn b ậc hai thì h ọc sinh rấất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bấất đẳng thức, các công th ức toán học. Sự vận dụng lí thuyêất vào việc giải các bài tập cụ thể c ủa học sinh ch ưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có s ự t ư duy thì h ọc sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dấễn đêấn l ời gi ải sai hoặc không làm được bài. Một vấấn đêề cấền chú ý nữa là kyễ năng giải toán và tính toán c ơ b ản c ủa một sôấ học sinh còn rấất yêấu, mạch kiêấn thức bị vỡ. Để giúp học sinh có thể làm tôất các bài tập vêề căn b ậc hai trong phấền chương I đại sôấ 9 thì người thấềy phải năấm được các khuyêất đi ểm mà h ọc sinh thường măấc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầầm khi giải toán vêầ căn bậc hai” là điêều hêất sức cấền thiêất. * TỔNG HỢP NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN VỀỀ CĂN BẬC HAI: A. Kiêến thức: (Cơ bản) Nội dung chủ yêấu vêề căn bậc hai đó là phép khai ph ương (phép tìm căn bậc hai sôấ học của sôấ không ấm) và một sôấ phép biêấn đổi bi ểu thức lấấy căn b ậc hai. * Nội dung của phép khai phương gôềm: – Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thu ật ng ữ vêề căn bậc hai sôấ học của sôấ không ấm) – Liên hệ của phép khai phương với phép bình ph ương (v ới a ≥ 0, có  a 2 a ; với a bấất kỳ có a 2 | a | ) – Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý vêề so sánh các căn bậc hai sôấ học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b  a b ”) – Liên hệ phép khai phương với phép nhấn và phép chia (thể hiện bởi: định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab  a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : a a  b b ”) * Các phép biêấn đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thi ệu cho b ởi các công thức sau : A 2 = | A| (với A là bi ểu thức đ ại sôấ hay nói g ọn là bi ểu thức) AB  A B (với A, B là hai bi ểu th ức mà A ≥ 0, B ≥ 0) A A  B B (với A, B là hai bi ểu th ức mà A ≥ 0, B > 0) A 2 B | A | B (với A, B là hai bi ểu th ức mà B ≥ 0 ) A 1  B B A B  AB A B B C A B  C A B (với A, B là bi ểu th ức và B > 0) C ( A B ) A  B2  (với A, B là hai bi ểu th ức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 ) C( A  B ) A B (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B 2 ) (với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B) * Tuy nhiên mức độ yêu cấều đôấi với các phép biêấn đổi này là khác nhau và chủ yêấu việc giới thiệu các phép biêấn đổi này là nhăềm hình thành kyễ năng biêấn đổi biểu thức (một sôấ phép biêấn đổi chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thu ật ng ữ. Một sôấ phép biêấn đổi găấn với trình bày tính chấất phép tính khai ph ương). B. Kỹỹ năng: “Kyễ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa h ọc vào th ực tiêễn” Muôấn hình thành và rèn luyện cho HS các kyễ năng cơ bản, cấền thiêất là vi ệc làm hêất sức quan trọng và có ý nghĩa. Tuy nhiên, đ ể th ực hi ện đ ược cấền có bi ện pháp thích hợp. Các biện pháp hữu hiệu sau đấy seễ giúp ích HS: +Biện pháp 1: Giúp HS cách nghe – hiểu – ghi chép +Biện pháp 2: Giúp HS cách đọc – hiểu. +Biện pháp 3: Giúp HS cách xào bài – truy bài. +Biện pháp 4: Giúp HS tự lực chiêấm lĩnh khái ni ệm. +Biện pháp 5: Giúp HS cách vận dụng lý thuyêất vào bài t ập đ ơn gi ản. +Biện pháp 6: Giúp HS cách tìm lời giải một bài t ập. +Biện pháp 7: Giúp HS cách vận dụng lý thuyêất vào bài t ập t ổng h ợp. +Biện pháp 8: Giúp HS cách truy bài. +Biện pháp 9: Giúp HS cách ôn tập một nội dung, m ột ch ương. +Biện pháp 10: Giúp HS biêất cách tổ chức học tập môn Toán. III. THỰC TRẠNG: 1. Giới thiệu sơ lược vềầ đặc điểm riềng của trường: *Thuận lợi: – Trường THCS Thuận Giao do được mới xấy dựng nên tr ường l ớp rấất khang trang, môi trường học tập học tập tôất, thiêất b ị d ạy h ọc t ương đôấi đấềy đủ, hấều hêất tấất cả các HS đêều có sách giáo khoa phục vụ h ọc t ập khá tôất. – Với đội ngũ tập thể CB – GV – CNV của trường là 87 người, đa sôấ là GV trẻ khoẻ, nhiệt tình trong công tác, có môấi quan hệ chặt cheễ v ới ph ụ huynh nên được phụ huynh và HS tín nhiệm, tin cậy. Vì vậy mà chấất l ượng và hi ệu qu ả đào tạo của nhà trường đêều đạt cao, năm sau cao hơn năm tr ước. – Bên cạnh đó đa sôấ các GV đêều có quyêất tấm với nghêề, t ận t ụy công tác. Hơn nữa với sự quan tấm, giúp đỡ thường xuyên của BGH nhà tr ường đã t ạo điêều kiện cho GV an tấm công tác. Đôềng thời v ới s ự chỉ đ ạo ch ặt cheễ, k ịp th ời của các ban Ngành, Đoàn thể, địa phương mà nhà trường luôn đạt được những thành tích cao trong học tập và giảng dạy. – Nhà trường luôn có sự liên hệ chặc cheễ với ban đ ại di ện cha m ẹ h ọc sinh nhăềm giúp đỡ các em học sinh vượt qua những khó khăn mà có th ể h ọc tập tôất hơn. *Khó khăn: – Do trường năềm ở vị trí vùng dấn cư đông đúc của phường Thuận Giao. Các em HS chủ yêấu là nhập cư từ các tỉnh thành lấn cận, cha mẹ các em do b ận công việc nhiêều nên ít quan tấm đêấn việc học tập của con em mình. Đ ặc bi ệt, với địa bàn dấn cư đông đúc như vậy thì tình trạng các em b ị r ủ rê xa vào các tệ nạn như nghiện game, .... làm cho tình hình học tập các em ch ưa đ ược tôất. 2. Thực trạng của sự việc theo nội dung đềầ tài nghiền cứu: – Trong quá trình giảng dạy Toán vêề “Căn bậc hai ” h ọc sinh th ường vấấp phải những sai lấềm không đáng có và những sai lấềm do kyễ năng tính toán yêấu, lúng túng khi làm bài tập, không đáp ứng được yêu cấều và v ận d ụng tính chấất của bài toán. Hai nguyên nhấn chính dấễn đêấn kêất qu ả đó là : + Nguyền nhần khách quan: Giáo viên giảng dạy phải đáp ứng yêu cấều truyêền đạt tri thức lý thuyêất có phấền “quá tải”, vì thời gian thì eo h ẹp do PPCT quy định, bài tập thì nhiêều không giải quyêất hêất được, cũng có khi GV ch ưa quan tấm nhiêều đêấn học sinh, đôi khi năng lực GV còn hạn chêấ.... Chính vì thêấ mà chấất lượng giữa dạy và học còn hơi thấấp. + Nguyền nhần chủ quan: GV chưa quan tấm nhiêều đêấn HS, chưa lăấng nghe tấm tư nguyện vọng, ý kiêấn của HS, có một sôấ GV cho răềng kiêấn th ức truyêền đạt cho HS là đơn giản nên chưa nhấấn m ạnh nh ững đi ểm cấền thiêất, HS chưa chú ý nghe giảng bài, HS chưa có PP h ọc t ập đúng, mấất căn b ản vêề kiêấn thức, lười, học yêấu, chán học, thụ động trong học tập, GV d ạy ch ưa lôi cuôấn, thu hút HS ... Những nguyên nhấn nói trên dấễn đêấn kêất qu ả h ọc t ập c ủa HS còn thấấp. – Vì vậy khi giảng dạy vêề “Căn bậc hai” GV cấền năấm vững từng mục tiêu vêề kiêấn thức, kyễ năng được cụ thể hoá thành ba m ức đ ộ nh ư sau: Nh ận biêất, thông hiểu và vận dụng trong đó: + Nhận biềốt: Ghi nhớ khái niệm, Định nghĩa, Định lí, Hệ quả dưới các hình thức mà HS đã được học. + Thống hiểu: Hiểu được ý nghĩa, kí hiệu toán học trong Định nghĩa, Định lí, công thức. + Vận dụng: Vận dụng các Định lí, Định nghĩa vào các tình huôấng Toán học hay thực tiêễn cụ thể, khái quát hóa, trừu tượng hóa kiêấn thức. IV. CÁC GIẢI PHÁP: 1. Phần tích những điểm khó và mới vềầ căn bậc hai: So với chương trình cũ thì chương I – Đại sôấ 9 trong chương trình SGK mới này có những điểm mới và khó chủ yêấu sau : a/ Điểm mới: – Khái niệm sôấ thực và căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiêấp t ục sử dụng qua một sôấ bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ t ập trung vào gi ới thi ệu căn bậc hai sôấ học và phép khai phương. – Phép tính khai phương và căn bậc hai sôấ học được gi ới thi ệu g ọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ hơn sách cũ (nh ưng vấễn ch ỉ là bổ sung phấền đã nêu ở lớp 7) – Các phép biêấn đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nh ẹ h ơn (nhẹ căn cứ lý thuyêất, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập) – Cách trình bày phép tính khai phương và phép biêấn đ ổi bi ểu th ức ch ứa căn thức bậc hai được phấn biệt rạch ròi hơn (Tên gọi các m ục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý khi giới thiệu các phép biêấn đổi sau khi nêu tính chấất phép khai phương thể hiện điêều đó) – Cách thức trình bày kiêấn thức, rèn luyện kyễ năng đ ược SGK chú ý đ ể HS có thể tham gia chủ động nhiêều hơn thông qua hệ thôấng cấu hỏi ? có ngay trong phấền bài học của môễi bài. b/ Điểm khó vềầ kiềốn thức so với khả năng tiềốp thu c ủa h ọc sinh : – Nội dung kiêấn thức phong phú, xuấất hiện dày đặc trong m ột ch ương v ới sôấ tiêất không nhiêều nên một sôấ kiêấn thức chỉ gi ới thi ệu đ ể làm c ơ s ở đ ể hình thành kyễ năng tính toán, biêấn đổi. Thậm chí m ột sôấ kiêấn th ức ch ỉ nêu ở d ạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điêều ki ện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cấều rút g ọn) – Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiêều và dêễ nhấềm lấễn, t ạo nguy c ơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn b ậc hai sôấ h ọc, khai ph ương, biểu thức lấấy căn, nhấn các căn bậc hai, khử mấễu, trục căn th ức). 2. Phát hiện những sai lầầm thường gặp khi giải toán vềầ căn b ậc hai: Như đã trình bày ở trên thì học sinh seễ măấc vào hai hướng sai lấềm ch ủ yêấu sau : 2.1. Sai lầầm vềầ tền gọi hay thuật ngữ toán học: a) Định nghĩa vêầ căn bậc hai : * Ở lớp 7 đưa ra nhận xét 3 2 = 9; (–3)2 = 9. Ta nói 3 và –3 là các căn bậc hai của 9. – Định nghĩa : Căn bậc hai của một sôấ a không ấm là sôấ x sao cho x 2 = a. – Sôấ dương a có đúng hai căn bậc hai, một sôấ dương ký hi ệu là sôấ ấm ký hiệu là – a a và một . * Ở lớp 9 chỉ nhăấc lại ở lớp 7 rôềi đưa ra định nghĩa căn b ậc hai sôấ h ọc. b) Định nghĩa căn bậc hai sốế học: Với sôấ dương a, sôấ a được gọi là căn bậc hai sôấ học của a. Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có : Nêấu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a; Nêấu x ≥ 0 và x2 = a thì x = x= a . Ta viêất  x 0   2 a x a Phép toán tìm căn bậc hai sôấ học của sôấ không ấm gọi là phép khai phương (gọi tăất là khai phương). ⋆ Nguy cơ dấễn đêấn học sinh có thể măấc sai lấềm chính là thu ật ng ữ “ căn bậc hai” và "căn bậc hai sôấ học”. Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16. Rõ ràng học sinh rấất dêễ dàng tìm ra được sôấ 16 có hai căn b ậc hai là hai sôấ đôấi nhau là 4 và – 4. Ví dụ 2 : Tính 16 Học sinh đêấn đấy seễ giải sai như sau : 16 = 4 và – 4 có nghĩa là 16 = 4 Như vậy học sinh đã tính ra được sôấ nhau là : 16 = 4 và 16 16 có hai căn bậc hai là hai sôấ đôấi =–4 Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai sôấ h ọc đã nhấềm lấễn v ới nhau. Lời giải đúng: 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16) Trong các bài toán vêề sau không cấền yêu cấều học sinh ph ải gi ải thích. c) So sánh các căn bậc hai sốế học: Với hai sôấ a và b không ấm, ta có a < b Ví dụ 3 : so sánh 4 và a b  15 Học sinh seễ loay hoay không biêất nên so sánh chúng theo hình th ức nào vì theo định nghĩa sôấ 15 chính là căn bậc hai sôấ học của 15 do đó nêấu đem so sánh với sôấ 4 thì sôấ 4 có hai căn bậc hai sôấ học là 2 và –2 cho nên v ới suy nghĩ đó 15 học sinh seễ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < (vì trong cả hai căn bậc hai của 15 ). 4 đêều nhỏ hơn Tấất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hi ểu nhấềm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm m ột lo ạt khái ni ệm và h ệ thức mới thì học sinh seễ không chú ý đêấn vấấn đêề quan tr ọng này n ữa. Lời giải đúng: Ta có 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 ở đấy giáo viên cấền nhấấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn b ậc hai sôấ học! d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai sốế h ọc : Với a ≥ 0, ta có : Nêấu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; Nêấu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a. Ví dụ 4 : Tìm sôấ x, không ấm biêất : x = 15 Học sinh seễ áp dụng chú ý thứ nhấất và seễ giải sai nh ư sau : Nêấu x = và x = – a a thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em seễ giải bài toán trên nh ư sau: 2 Do x ≥ 0 nên x = 152 hay x = 225 và x = – 225. Vậy tìm được hai nghiệm là x1 = 225 và x2 = – 225. Lời giải đúng: cũng từ chú ý vêề căn bậc hai sôấ học, ta có x = 15 2. Vậy x =225. e) Sai trong thuật ngữ khai phương : Ví dụ 5 : Tính – 25 – Học sinh hiểu ngay được răềng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai sôấ học của sôấ không ấm nên học sinh seễ nghĩ – 25 là một căn bậc hai ấm của sôấ dương 25, cho nên seễ dấễn tới l ời gi ải sai nh ư sau : 25 = 5 và – 5 – Lời giải đúng: – 25 = –5 g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hăầng đẳng th ức A2 = | A| * Căn thức bậc hai : Với A là một biểu thức đại sôấ, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấấy căn hay biểu thức dưới dấấu căn. A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấấy giá trị không ấm. * Hăềng đẳng thức: A 2 = | A| Cho biêất môấi liên hệ giữa phép khai phương và phép bình ph ương. Ví dụ 6 : Hãy bình phương sôấ –8 rôềi khai phương kêất qu ả vừa tìm đ ược. Học sinh với vôấn hiểu biêất của mình seễ có lời giải sau ( lời giải sai) : (–8)2 = 64 , nên khai phương sôấ 64 lại băềng –8 Lời giải đúng: (–8)2 = 64 và 64 = 8. 2 Môấi liên hệ a = | a| cho thấấy “ Bình phương một sôấ, rôềi khai phương kêất quả đó, chưa chăấc seễ được sôấ ban đấều” Ví dụ 7 : Với a2 = A thì A chưa chăấc đã băềng a Cụ thể ta có (–5)2 = 25 nhưng 25 = 5; rấất nhiêều ví dụ tương tự đã khảng định được kêất quả như ở trên. 2.2. Sai lầầm trong các kyễ năng tính toán: a) Sai lầầm trong việc xác định điêầu kiện tốần tại của căn bậc hai : Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhấất của : A=x+ x * Lời giải sai : A= x + 1 1 1 1 x = (x+ x + 4 ) – 4 = ( x + 2 )2 ≥ – 4 1 Vậy min A = – 4 . * Phấn tích sai lấềm : 1 1 Sau khi chứng minh f(x) ≥ – 4 , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = – 4 . Xảy ra khi và chỉ khi 1 x = – 2 (vô lý). * Lời giải đúng: Để tôền tại x thì x ≥0. Do đó A = x + x ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0 Ví dụ 2 : Tìm x, biêất : 4(1  x) 2 –6=0 * Lời giải sai : 4(1  x) 2 2 – 6 = 0  2 (1  x) 6  2(1–x) = 6  1– x = 3  x = – 2. * Phấn tích sai lấềm : Học sinh có thể chưa năấm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A 2 = | A|, có nghĩa là : A 2 = A nêấu A ≥ 0 ( tức là A lấấy giá trị không ấm ); A 2 = –A nêấu A < 0 ( tức là A lấấy giá trị ấm ). Như thêấ theo lời giải trên seễ bị mấất nghiệm. * Lời giải đúng: 4(1  x) 2 2 – 6 = 0  2 (1  x) 6 trình sau : 1) 1– x = 3 2) 1– x = –3   | 1– x | = 3. Ta phải đi giải hai phương  x = –2 x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x 1= –2 và x2= 4. Ví dụ 3 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16. 16 x  16 B= – 9x  9 + 4x  4 + x 1 với x ≥ –1 * Lời giải sai: B=4 x  1 –3 x  1 + 2 x  1 + B=4 x 1 16 = 4  x 1  4= x 1  x 1 x  1 )2 hay 16 = 42 = ( ( x  1) 2 16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 2) 16 = –(x+1)   x = 15 x = – 17. * Phần tích sai lầầm: Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x 1= 15 và x2 = –17 nhưng chỉ có giá trị x 1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2= –17 không đúng. Đấu là nguyên nhấn của sự sai lấềm đó ? Chính là sự áp dụng quá r ập khuôn vào công thức mà không để ý đêấn điêều kiện đã cho c ủa bài toán, v ới x ≥ –1 thì các biểu thức trong căn luôn tôền tại nên không cấền đưa ra bi ểu th ức chứa dấấu giá trị tuyệt đôấi nữa.! * Lời giải đúng: B=4 x  1 –3 x  1 + 2 x  1 + B=4 x 1 16 = 4  x 1  4= x 1 x 1 (do x ≥ –1) 16 = x + 1. Suy ra x = 15. b) Sai lầầm trong kỹỹ năng biêến đổi: Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi b ỏ qua các dấấu của sôấ hoặc chiêều của bấất đẳng thức dấễn đêấn giải bài toán b ị sai. Ví dụ 4 : Tìm x, biêất : (4– 17 ).2 x  3 (4  17 ) . * Lời giải sai : (4– 17 ).2 x  3 (4  17 )  3 2x < ( chia cả hai vêấ cho 4– 17 ) 3  x< 2 . * Phần tích sai lầầm: Nhìn qua thì thấấy học sinh giải đúng và không có vấấn đêề gì. Học sinh khi nhìn thấấy bài toán này thấấy bài toán không khó nên đã ch ủ quan không để ý đêấn dấấu của bấất đẳng thức : “Khi nhấn ho ặc chia c ả hai vêấ c ủa bấất đẳng thức với cùng một sôấ ấm thì bấất đẳng thức đổi chiêều”. Do đó rõ ràng sai ở chôễ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và mới bỏ qua biểu thức 4 – 17 * Lời giải đúng: Vì 4 = (4– 17 ).2 x  3 (4  17 ) 17 cho nên là sôấ ấm, dấễn tới lời giải sai. 16  < 17 2x > 17 nên 4 – < 0, do đó ta có 3 3  x> 2 . x2  3 Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức : x  3 x2  3 * Lời giải sai: x  3 = (x  3 )( x  3 ) x 3 =x– * Phần tích sai lầầm: Rõ ràng nêấu x = – 3 3. thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức x2  3 x  3 seễ không tôền tại. Mặc dù kêất quả giải được của h ọc sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn c ứ l ập lu ận, vì v ậy bi ểu th ức trên có thể không tôền tại thì làm sao có thể có kêất quả được. * Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phấn thức, để phấn thức tôền tại thì cấền phải có x + x2  3 x 3 = 3 ≠ 0 hay x ≠ – 3 . Khi đó ta có (x  3 )( x  3 ) x 3 =x– 3 (với x ≠ – 3 ). Ví dụ 6 : Cho biểu thức :  x x  3 x    1 x 1 x   x  1  Q=  với x ≠ 1, x > 0 a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > –1.  x x  3 x   1 x  1 x   x  1   Giải : a) Q =  x (1  x )  x (1  x )    3 x ( 1  x )( 1  x )  – 1 x Q=   x  x x  x    3 x   1  x  1 x Q=  2 x 3 x 2 x  (3   1 x Q = 1 x 1 x = x)  3 3 x 3 Q = 1 x = 1 x 3 Q = – 1 x b) * Lời giải sai : Q > –1 nên ta có 3 – 1  x > –1  3 > 1+ x  2> x  4 > x hay x < 4. Vậy với x < 4 thì Q < –1. * Phần tích sai lầầm: Học sinh đã bỏ dấấu ấm ở cả hai vêấ của bấất đẳng thức vì thêấ có được bấất đẳng thức mới với hai vêấ đêều d ương nên kêất qu ả của bài toán dấễn đêấn sai. * Lời giải đúng: Q > –1 nên ta có 3 – 1  x > –1 3  1 x Vậy với x > 4 thì Q > – 1. <1  1+ x >3  x >2  x > 4. 3. Những phương pháp giải toán vềầ căn bậc hai: 3.1. Xét thuật ngữ toán học: Vấấn đêề này không khó dêễ dàng ta có thể khăấc phục được nhược điểm này của học sinh ( GV: Có thể áp dụng vào giảng dạy hăềng ngày băềng cách nhăấc nhở và đặt cấu hỏi vấấn đáp trả lời). 3.2. Xét biểu thức phụ có liền quan: Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh a b < Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và ( Ta có : ( a b + Suy ra a + b < ( + b a+ b )2 ab )2 = a+ b + 2 a a b )2 do đó ta khai căn hai vêấ ta được : a b 2 < ( a  b ) vì a > 0, b > 0 nên ta được : a b < a b * Như vậy trong bài toán này muôấn so sánh được a b với a b thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biêất đ ược quan h ệ th ứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là bi ểu th ức ph ụ. 1 2 Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhấất, lớn nhấất của biểu thức A : A = 2  3  x Giải : Ta phải có |x| ≤ 3. Dêễ thấấy A > 0 . Ta xét bi ểu th ức ph ụ sau : 1  B = A 2– 3  x2 Ta có : 0 ≤ 3  x2 ≤ 3 => – giá trị nhỏ nhấất của B = 2– 3 ≤– 3  3 3  x 2 ≤ 0 => 2– 3 ≤ 2 – 2 = 3 x 1 Khi đó giá trị lớn nhấất của A = 2  3 = 2 + 3.  x=0 3  x2 ≤ 2