Më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
M«n To¸n ë tr-êng TiÓu häc bªn c¹nh môc tiªu trang bÞ kiÕn thøc to¸n häc
cßn cã nhiÖm vô h×nh thµnh cho häc sinh c¸c n¨ng lùc to¸n häc. Trong ®ã, ho¹t
®éng gi¶i to¸n ®-îc xem lµ h×nh thøc chñ yÕu ®Ó h×nh thµnh phÈm chÊt vµ n¨ng
lùc to¸n häc cho häc sinh v× th«ng qua ho¹t ®éng gi¶i to¸n, häc sinh n¾m v÷ng tri
thøc, h×nh thµnh kÜ n¨ng, kÜ x¶o vµ ph¸t triÓn t- duy s¸ng t¹o. B¶n th©n d¹y häc gi¶i
to¸n mang trong m×nh c¸c chøc n¨ng: chøc n¨ng gi¸o d-ìng, chøc n¨ng gi¸o dôc,
chøc n¨ng ph¸t triÓn vµ kiÓm tra. V× vËy ho¹t ®éng gi¶i to¸n lµ ®iÒu kiÖn ®Ó thùc
hiÖn tèt c¸c môc tiªu d¹y häc to¸n vµ tæ chøc cã hiÖu qu¶ viÖc d¹y häc gi¶i to¸n cã
vai trß quyÕt ®Þnh ®èi víi chÊt l-îng d¹y häc to¸n.
KÕt qu¶ kh¶o s¸t trong nhiÒu n¨m qua cho thÊy, chÊt l-îng d¹y häc to¸n ë
tr-êng tiÓu häc ch-a ®¹t kÕt qu¶ nh- mong muèn, biÓu hiÖn ë n¨ng lùc gi¶i to¸n
cña häc sinh cßn nhiÒu h¹n chÕ do häc sinh cßn m¾c nhiÒu sai lÇm vÒ kiÕn thøc vµ
kÜ n¨ng trong khi nhiÒu gi¸o viªn cßn thiÕu hôt kinh nghiÖm trong viÖc ph¸t hiÖn
c¸c sai lÇm, t×m nguyªn nh©n sai lÇm vµ ®-a ra c¸c biÖn ph¸p ®Ó söa ch÷a c¸c sai
lÇm.
Xung quanh vÊn ®Ò sai lÇm trong gi¶i to¸n, trªn thÕ giíi ®· cã nhiÒu nhµ
khoa häc næi tiÕng ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò nµy. I.A.Komensky ®· kh¼ng ®Þnh: "BÊt kú
mét sai lÇm nµo còng cã thÓ lµm cho häc sinh häc kÐm ®i nÕu nh- gi¸o viªn kh«ng
chó ý ngay tíi sai lÇm ®ã b»ng c¸ch h-íng dÉn häc sinh tù nhËn ra vµ söa ch÷a,
kh¾c phôc sai lÇm". A.A. Stoliar cßn nhÊn m¹nh: "Kh«ng ®-îc tiÕc thêi gian ®Ó
ph©n tÝch trªn giê häc c¸c sai lÇm cña häc sinh". G.P«lya th× cho r»ng: "Con ng-êi
ph¶i biÕt häc tõ nh÷ng sai lÇm vµ nh÷ng thiÕu sãt cña m×nh".
Tõ nh÷ng suy nghÜ trªn t«i chän s¸ng kiÕn: "HÖ thèng c¸c sai lÇm phæ biÕn
cña häc sinh líp 4,5 khi gi¶i to¸n cã lêi v¨n trong ch-¬ng tr×nh to¸n 4,5".
1
Néi dung
I. gi¶i to¸n cã lêi v¨n
To¸n cã lêi v¨n lµ mét trong 6 m¹ch kiÕn thøc to¸n c¬ b¶n ë tiÓu häc vµ ®-îc
ph©n bè tõ líp 1 ®Õn líp 5. Trong ch-¬ng tr×nh líp 4,5 to¸n cã lêi v¨n cã trong 8
d¹ng to¸n sau :
* T×m sè trung b×nh céng
* T×m hai sè khi biÕt tæng vµ hiÖu cña hai sè ®ã
* T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tØ sè cña hai sè
* T×m hai sè khi biÕt hiÖu vµ tØ sè cña hai sè
* Gi¶i to¸n vÒ tØ sè phÇn tr¨m
* Gi¶i to¸n vÒ ®¹i l-îng tØ lÖ (thuËn, nghÞch)
* Gi¶i to¸n cã liªn quan ®Õn chu vi, diÖn tÝch, thÓ tÝch c¸c h×nh
* Gi¶i to¸n vÒ chuyÓn ®éng ®Òu.
Ho¹t ®éng gi¶i to¸n cã lêi v¨n gãp phÇn quan träng trong viÖc thùc hiÖn c¸c
môc tiªu cña d¹y häc to¸n. Th«ng qua gi¶i to¸n cã lêi v¨n, HS biÕt c¸ch vËn dông
nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc vµ rÌn luyÖn kÜ n¨ng thùc hµnh víi nh÷ng yªu cÇu ®-îc
thÓ hiÖn mét c¸ch ®a d¹ng, phong phó. Nhê viÖc d¹y häc gi¶i to¸n mµ HS cã ®iÒu
kiÖn ph¸t triÓn n¨ng lùc t- duy, rÌn luyÖn ph-¬ng ph¸p suy luËn vµ h×nh thµnh
nh÷ng phÈm chÊt cÇn thiÕt cña ng-êi lao ®éng míi.
C¸c bµi to¸n cã lêi v¨n trong ch-¬ng tr×nh líp 4,5 chñ yÕu lµ c¸c bµi to¸n hîp.
Mét lêi gi¶i ®Çy ®ñ cho bµi to¸n cã lêi v¨n ph¶i ®¶m b¶o c¸c yªu cÇu sau:
- X¸c lËp ®-îc mèi liªn hÖ gi÷a c¸i ®· cho vµ c¸i ph¶i t×m trong ®iÒu kiÖn cô
thÓ cña bµi to¸n.
- §Æt ®-îc c¸c c©u tr¶ lêi cïng c¸c phÐp tÝnh ®óng cho mçi c©u tr¶ lêi.
- T×m ®-îc ®¸p sè cña bµi to¸n.
Theo P«lya th× qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n gåm 4 b-íc:
Tr-íc hÕt, ph¶i hiÓu bµi to¸n (thÊy râ ph¶i t×m g× ?)
Thø hai, ph¶i n¾m ®-îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè kh¸c nhau cña bµi to¸n,
gi÷a c¸i ch-a biÕt víi nh÷ng c¸i ®· biÕt ®Ó t×m thÊy c¸i ý cña c¸ch gi¶i, ®Ó v¹ch ra
®-îc ch-¬ng tr×nh (dù kiÕn).
Thø ba, lµ thùc hiÖn ch-¬ng tr×nh ®ã.
Thø t-, lµ nh×n l¹i c¸ch gi¶i mét lÇn n÷a, nghiªn cøu vµ ph©n tÝch nã.
2
Còng theo P«lya, HS cã thÓ tr¸nh ®-îc nh÷ng sai lÇm b»ng c¸ch thö l¹i tõng
b-íc khi thùc hiÖn ch-¬ng tr×nh.
II. t×m hiÓu thùc tr¹ng vÒ nh÷ng sai lÇm phæ biÕn cña häc
sinh líp 4,5 khi gi¶i to¸n cã lêi v¨n
Chóng t«i hiÓu vµ sö dông thuËt ng÷ sai lÇm phæ biÕn cña HS khi gi¶i to¸n
víi ý nghÜa lµ: ®iÒu tr¸i víi yªu cÇu kh¸ch quan (yªu cÇu bµi to¸n) hoÆc lÏ ph¶i
(kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt, quy t¾c, ph-¬ng ph¸p suy luËn …), dÉn tíi kh«ng
®¹t ®-îc yªu cÇu cña viÖc gi¶i to¸n mµ nh÷ng ®iÒu nµy xuÊt hiÖn víi tÇn sè cao
trong lêi gi¶i cña nhiÒu HS.
Víi c¸ch hiÓu trªn, chóng t«i ®· nghiªn cøu c¸c sai lÇm phæ biÕn cña HS líp
4, 5 khi gi¶i to¸n cã lêi v¨n.
T×m hiÓu tõ gi¸o viªn: T×m hiÓu møc ®é sai lÇm, nguyªn nh©n sai lÇm cña HS líp
4,5 khi gi¶i to¸n cã lêi v¨n biÓu hiÖn qua n¨ng lùc gi¶i to¸n cã lêi v¨n mµ gi¸o viªn
quan s¸t ®-îc trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n. Qua t×m hiÓu, chóng t«i nhËn thÊy: HS
cßn ph¹m nhiÒu sai lÇm khi gi¶i to¸n vµ mäi ®èi t-îng HS ®Òu cã thÓ m¾c sai
lÇm khi gi¶i to¸n. Cô thÓ nh- sau:
- 100% ý kiÕn ®ång ý víi nhËn ®Þnh cho r»ng HS cßn m¾c c¸c sai lÇm khi
gi¶i to¸n.
- 91% ý kiÕn cho r»ng sai lÇm cña HS xuÊt hiÖn kh¸ phæ biÕn; 8% cho r»ng
sai lÇm Ýt phæ biÕn; 1% cho r»ng hiÕm khi xuÊt hiÖn sai lÇm.
VÒ nguyªn nh©n cña c¸c sai lÇm, c¸c gi¸o viªn ®-îc hái ®· cho biÕt:
Nguyªn nh©n sai lÇm cña HS
% ý kiÕn ®ång ý
1. Kh«ng hiÓu kh¸i niÖm, kÝ hiÖu
38,0
2. Kh«ng n¾m v÷ng quy t¾c, c«ng thøc, tÝnh chÊt to¸n häc
67,0
3. Kh«ng l«gÝc trong suy luËn
52,0
4. Kh«ng n¾m v÷ng PP gi¶i c¸c bµi to¸n ®iÓn h×nh
55,0
5. Kh«ng thÊy ®-îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè to¸n häc
73,0
6. TÝnh to¸n nhÇm lÉn
41,0
7. DiÔn ®¹t, tr×nh bµy kÐm
65,0
T×m hiÓu tõ häc sinh
- HS cßn m¾c nhiÒu sai lÇm khi gi¶i to¸n cã lêi v¨n, kÓ c¶ HS kh¸, giái.
- ViÖc lÜnh héi tri thøc to¸n häc cña HS, ®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm míi ®-îc
®-a vµo ch-¬ng tr×nh tiÓu häc cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n mµ ®«i khi l¹i xuÊt ph¸t tõ
sù lóng tóng vÒ ph-¬ng ph¸p d¹y häc cña GV.
- NhiÒu GV ch-a l-u ý cho HS nh÷ng sai lÇm cã thÓ m¾c ph¶i khi gi¶i to¸n.
3
- Sù cÇn thiÕt ph¶i cã mét nghiªn cøu khoa häc vÒ c¸c sai lÇm cña HS khi
gi¶i to¸n cã lêi v¨n trªn c¸c ph-¬ng diÖn: thÓ hiÖn, nguyªn nh©n, ng¨n ngõa, kh¾c
phôc ®Ó n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc to¸n.
III. HÖ thèng nh÷ng sai lÇm phæ biÕn cña häc sinh líp 4, 5 khi
gi¶i to¸n cã lêi v¨n.
Trong s¸ng kiÕn nµy, chóng t«i kh«ng ®Æt nhiÖm vô thèng kª mäi sai lÇm cña HS
tiÓu häc khi gi¶i to¸n cã lêi v¨n, mµ chØ nªu lªn nh÷ng sai lÇm phæ biÕn cña HS, kÓ
c¶ HS kh¸ giái. §ã lµ c¸c sai lÇm chñ yÕu cã nguyªn nh©n tõ kiÕn thøc cña HS.
§©y lµ nh÷ng sai lÇm mµ qua t×m hiÓu, chóng t«i nhËn thÊy cã tÇn sè cao trong c¸c
lêi gi¶i to¸n cña HS. Nh÷ng sai lÇm nµy cã khi kh¸ tinh vi, mµ nhiÒu khi khã ph¸t
hiÖn kÞp thêi. ViÖc hÖ thèng c¸c sai lÇm cña HS khi gi¶i to¸n còng lµ mét c«ng viÖc
kh«ng dÔ dµng. §Ó thuËn lîi cho viÖc theo dâi, chóng t«i xin tr×nh bµy 28 thÝ dô
ph©n theo 5 d¹ng to¸n cã lêi v¨n th-êng gÆp ë ch-¬ng tr×nh to¸n líp 4,5. Trong
mçi d¹ng to¸n, chóng t«i cã ®-a ra c¸c nhËn ®Þnh kh¸i qu¸t vÒ c¸c sai lÇm phæ biÕn
mµ HS th-êng m¾c ph¶i ®èi víi d¹ng to¸n ®ã kÌm theo c¸c thÝ dô minh ho¹. C¸c
thÝ dô (hay c¸c t×nh huèng sai lÇm) trong mçi d¹ng to¸n ®-îc s¾p xÕp theo møc ®é
sai lÇm tõ dÔ ph¸t hiÖn tíi khã ph¸t hiÖn. ë mçi thÝ dô ®Òu cã phÇn tr×nh bµy lêi
gi¶i sai cña HS vµ phÇn ph©n tÝch sai lÇm. Ngoµi ra, ë mét sè thÝ dô cÇn nhÊn m¹nh,
chóng t«i cßn dÉn ra lêi gi¶i ®óng cho c¸c thÝ dô.
1. Sai lÇm khi gi¶i to¸n t×m hai sè khi biÕt tæng vµ hiÖu cña hai sè ®ã
Sai lÇm th-êng gÆp cña HS khi gi¶i d¹ng to¸n nµy lµ:
* TÝnh sai tæng
* TÝnh sai hiÖu
* ¸p dông sai c«ng thøc t×m sè thø hai sau khi ®· t×m ®-îc sè thø nhÊt.
Sau ®©y lµ mét vµi thÝ dô:
ThÝ dô 1. C¶ hai líp 4A vµ 4B trång ®-îc 600 c©y. Líp 4A trång ®-îc Ýt h¬n
líp 4B 50 c©y. Hái mçi líp trång ®-îc bao nhiªu c©y ? (To¸n 4, tr. 47).
? Sè c©y líp 4A trång ®-îc lµ:
(600 – 50) : 2 = 275 (c©y)
Sè c©y líp 4B trång ®-îc lµ:
275 – 50 = 225 (c©y)
4
! ë thÝ dô trªn, kh¸i niÖm “sè lín”, “sè bД ®îc thay b»ng sè c©y trång
®îc cña 4B, 4A. “hiÖu” ®îc diÔn ®¹t b»ng tõ “Ýt h¬n”. Häc sinh ®· cã sù nhÇm
lÉn c«ng thøc t×m sè lín (khi ®· t×m ®îc sè bÐ) do quan niÖm “Ýt h¬n” th× ph¶i
thùc hiÖn phÐp trõ.
Sai lÇm còng cã thÓ diÔn ra theo h-íng ng-îc l¹i khi t×m sè bÐ b»ng c¸ch lÊy
sè lín céng víi hiÖu sè.
ThÝ dô 2. Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi b»ng 140m, chiÒu dµi h¬n
chiÒu réng 10m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng.
? ChiÒu réng thöa ruéng lµ:
(140 – 10) : 2 = 65 (m)
ChiÒu dµi thöa ruéng lµ:
65 + 10 = 75 (m)
DiÖn tÝch thöa ruéng lµ:
75 65 = 4 875 (m2).
! Sai lÇm nµy kh¸ phæ biÕn v× häc sinh ®· nhÇm lÉn chu vi h×nh ch÷ nhËt
chÝnh lµ tæng cña chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt.
ThÝ dô 3. Anh h¬n em 6 tuæi. Sau 4 n¨m n÷a tæng cña tuæi anh vµ tuæi em lµ
26. TÝnh tuæi cña mçi ng-êi hiÖn nay.
? Sau 4 n¨m, anh h¬n em lµ:
6 + 4 = 10 (tuæi)
Tuæi em sau nµy lµ:
(26 – 10) : 2 = 8 (tuæi)
Tuæi anh sau nµy lµ:
26 – 8 = 18 (tuæi)
Tuæi em hiÖn nay nµy lµ:
8 – 4 = 4 (tuæi)
Tuæi anh hiÖn nay lµ:
18 – 4 = 14 (tuæi).
! Häc sinh ®· m¾c sai lÇm ngay tõ phÐp tÝnh ®Çu tiªn (t×m hiÖu).
Lêi gi¶i ®óng nh- sau:
Sau 4 n¨m th× anh vÉn h¬n em 6 tuæi.
Tuæi em sau nµy lµ:
5
(26 – 6) : 2 = 10 (tuæi)
Tuæi anh sau nµy lµ:
10 + 6 = 16 (tuæi)
Tuæi em hiÖn nay lµ:
10 – 4 = 6 (tuæi)
Tuæi anh hiÖn nay lµ:
16 – 4 = 12 (tuæi)
§¸p sè: Anh 12 tuæi, em 6 tuæi.
ThÝ dô 4. Hai xe « t« chë 212 bao xi m¨ng. NÕu chuyÓn 6 bao ë xe thø nhÊt
sang xe thø hai th× sè bao ë hai xe b»ng nhau. Hái mçi xe chë bao nhiªu tÊn biÕt
mçi bao xi n¨ng nÆng 50kg ?
? Khi chuyÓn 6 bao ë xe thø nhÊt sang xe thø hai th× sè bao ë 2 xe b»ng nhau.
VËy xe thø nhÊt h¬n xe thø hai lµ 6 bao. Sè bao xe thø nhÊt chë lµ:
(212 – 6) : 2 = 103 (bao)
Sè bao xe thø hai chë lµ:
212 – 103 = 109 (bao)
Xe thø nhÊt chë sè tÊn lµ:
50 103 = 5 150 (kg)
5 150kg = 5,15 tÊn
Xe thø hai chë sè tÊn lµ:
50 109 = 5 450 (kg)
5 450kg = 5,45 tÊn.
! ë thÝ dô trªn, häc sinh ®· nhÇm lÉn hiÖu. HiÖu ®óng ph¶i lµ:
6 + 6 = 12 (bao)
2. Sai lÇm khi gi¶i to¸n trung b×nh céng
C¸c sai lÇm cña HS khi gi¶i to¸n trung b×nh céng chñ yÕu bÞ lÇm lÉn gi÷a gi¸
trÞ víi ®¹i l-îng; kh«ng thiÕt lËp ®-îc sù t-¬ng øng gi÷a gi¸ trÞ víi ®¹i l-îng.
Sau ®©y lµ mét sè thÝ dô:
ThÝ dô 1. Mét bao g¹o c©n nÆng 50kg, mét bao ng« c©n nÆng 60kg. Mét xe
« t« chë 30 bao g¹o vµ 40 bao ng«. Hái xe « t« ®ã chë tÊt c¶ bao nhiªu ki - l« - gam
g¹o vµ ng« ? (To¸n 4, tr. 62)
? Tæng sè bao xe « t« chë lµ:
6
30 + 40 = 70 (bao)
Trung b×nh mét bao nÆng lµ:
(50 + 60) : 2 = 55 (kg)
Sè g¹o vµ ng« « t« ®ã chë lµ:
55 70 = 3 850 (kg).
! Trong lêi gi¶i trªn, sè bao g¹o kh¸c sè bao ng« do vËy kh«ng thÓ céng khèi
l-îng g¹o vµ ng« ®Ó tÝnh khèi l-îng trung b×nh cho mçi bao.
ThÝ dô 2. Mét ®éi s¶n xuÊt cã 25 ng-êi. Th¸ng Giªng ®éi lµm ®-îc 855 s¶n
phÈm, th¸ng Hai ®éi lµm ®-îc 945 s¶n phÈm, th¸ng Ba ®éi lµm ®-îc 1350 s¶n
phÈm. Hái trong c¶ ba th¸ng ®ã trung b×nh mçi ng-êi lµm ®-îc bao nhiªu s¶n phÈm ?
? Sè s¶n phÈm trung b×nh mçi ng-êi lµm ®-îc lµ:
(855 + 945 + 1350) : 3 = 1 050 (s¶n phÈm).
! Trong tr-êng hîp nµy häc sinh bÞ nhÇm lÉn sè s¶n phÈm trung b×nh mçi
ng-êi lµm ®-îc trong ba th¸ng víi sè s¶n phÈm trung b×nh trong ba th¸ng cña c¶
®éi s¶n xuÊt.
ThÝ dô 3. Cã hai cöa hµng, mçi cöa hµng ®Òu nhËn vÒ 7128m v¶i. Trung b×nh
mçi ngµy cöa hµng thø nhÊt b¸n ®-îc 264m v¶i, cöa hµng thø hai b¸n ®-îc 297m v¶i.
Hái cöa hµng nµo b¸n hÕt sè v¶i ®ã sím h¬n vµ sím h¬n mÊy ngµy ? (To¸n 4, tr. 86).
? Sè v¶i hai cöa hµng nhËn vÒ nh- nhau mµ cöa hµng thø hai mçi ngµy b¸n
nhiÒu h¬n cöa hµng thø nhÊt nªn cöa hµng thø hai sÏ b¸n hÕt sím h¬n. Sè ngµy cöa
hµng thø hai b¸n hÕt sím h¬n cöa hµng thø nhÊt lµ:
7128 : (297 – 264) = 216 (ngµy).
! ë ®©y, häc sinh ®· cã sù nhÇm lÉn víi d¹ng to¸n t×m 2 sè khi biÕt 2 hiÖu.
7128m v¶i bÞ hiÓu lÇm thµnh sè v¶i mµ cöa hµng thø hai b¸n ®-îc nhiÒu h¬n cöa
hµng thø nhÊt.
ThÝ dô 4. Mét ng-êi ®i bé tõ A ®Õn B, nöa chÆng ®-êng ®Çu ®i víi vËn tèc 6
km/giê vµ nöa chÆng ®-êng sau ®i víi vËn tèc 4 km/giê. BiÕt thêi gian ®i tõ A ®Õn B
lµ 2 giê, tÝnh qu·ng ®-êng AB.
? Trung b×nh mçi giê ng-êi ®ã ®i ®-îc:
(6 + 4) : 2 = 5 (km/giê)
Qu·ng ®-êng AB dµi lµ:
5 2 = 10 (km)
7
§¸p sè: 10 km.
! §Ó tÝnh vËn tèc trung b×nh cña mét chuyÓn ®éng th× ®iÒu quan träng lµ thêi
gian ®i trªn mçi chÆng ®-êng ph¶i b»ng nhau. ë thÝ dô trªn, häc sinh ®· bÞ lÇm
®iÒu kiÖn thêi gian víi ®iÒu kiÖn qu·ng ®-êng do ®ã ®· m¾c sai lÇm khi t×m vËn tèc
trung b×nh.
ThÝ dô 5. ë mét World cup, cã mét ®éi bãng mµ tuæi cña ®éi tr-ëng nhiÒu
h¬n tuæi trung b×nh cña 11 cÇu thñ trªn s©n lµ 10 tuæi. TÝnh tuæi cña ®éi tr-ëng biÕt
tuæi trung b×nh cña 10 cÇu thñ (kh«ng tÝnh ®éi tr-ëng) lµ 20.
? Tuæi cña ®éi tr-ëng lµ:
20 + 10 = 30 (tuæi).
! Tuæi trung b×nh cña 11 cÇu thñ (kÓ c¶ ®éi tr-ëng) th× kh«ng thÓ lµ tuæi
trung b×nh cña 10 cÇu thñ (kh«ng kÓ ®éi tr-ëng) do vËy phÐp céng ë trªn lµ sai.
3. Sai lÇm khi gi¶i to¸n liªn quan ®Õn tØ sè
C¸c bµi to¸n trong ch-¬ng tr×nh líp 4,5 cã liªn quan ®Õn tØ sè lµ c¸c bµi to¸n
cã d¹ng:
T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tØ sè cña hai sè
T×m hai sè khi biÕt hiÖu vµ tØ sè cña hai sè
To¸n vÒ ®¹i l-îng tØ lÖ thuËn
To¸n vÒ ®¹i l-îng tØ lÖ nghÞch.
C¸c sai lÇm phæ biÕn cña HS khi gi¶i c¸c d¹ng to¸n trªn lµ:
* TÝnh sai tæng (hoÆc hiÖu, tØ)
* LÇm lÉn gi÷a ®¹i l-îng tØ lÖ thuËn víi ®¹i l-îng tØ lÖ nghÞch
* Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n kh«ng cïng ®¬n vÞ ®o.
Sau ®©y lµ mét sè thÝ dô tiªu biÓu:
ThÝ dô 1. Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 350m, chiÒu réng b»ng
T×m chiÒu dµi, chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt ®ã (To¸n 4, tr. 148).
? Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ:
3 + 4 = 7 (phÇn)
ChiÒu dµi h×nh ch÷a nhËt lµ:
350 : 7 4 = 200 (m)
ChiÒu réng h×nh ch÷ nhËt lµ:
8
3
chiÒu dµi.
4
350 – 200 = 150 (m)
§¸p sè:
ChiÒu dµi: 200m
ChiÒu réng: 150m.
! ë trêng hîp nµy häc sinh ®· tÝnh nhÇm “tæng” do kh«ng ph©n tÝch kü ®Ò
bµi vµ do biÓu tîng “chu vi”, “nöa chu vi” cßn mê nh¹t do vËy ®· nhÇm lÉn nöa
chu vi (tæng ) thµnh chu vi (2 lÇn tæng).
ThÝ dô 2. Mét ng-êi ®· b¸n ®-îc 280 qu¶ cam vµ quýt trong ®ã sè cam b»ng
0,4 lÇn sè quýt. T×m sè cam, sè quýt ®· b¸n.
? Sè cam ng-êi ®ã ®· b¸n lµ:
280 0,4 = 112 (qu¶)
Sè quýt ng-êi ®ã b¸n lµ:
280 – 112 = 168 (qu¶).
! Lêi gi¶i ®· m¾c sai lÇm do hiÓu kh«ng ®óng vÒ tØ sè gi÷a cam vµ quýt, bÞ
lóng tóng bëi kh¸i niÖm “0,4 lÇn” do vËy ®· gi¶i sai mµ kÕt qu¶ lêi gi¶i nµy lµ sè
cam b»ng 0,4 lÇn tæng sè cam vµ quýt.
Lêi gi¶i ®óng nh- sau:
Sè cam b»ng 0,4 lÇn sè quýt nghÜa lµ tØ sè cam vµ quýt lµ:
0,4 =
4 2
=
10 5
Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ:
2 + 5 = 7 (phÇn )
Sè cam lµ:
280 : 7 2 = 80 (qu¶)
Sè quýt lµ:
280 – 80 = 200 (qu¶)
§¸p sè:
Cam: 80 qu¶
Quýt: 200 qu¶.
ThÝ dô 3. MÑ h¬n con 27 tuæi. Sau 3 n¨m n÷a sè tuæi mÑ sÏ gÊp 4 lÇn sè tuæi
con. TÝnh tuæi cña mçi ng-êi hiÖn nay (To¸n 4, tr. 176).
? NÕu coi tuæi con lµ mét phÇn th× tuæi mÑ lµ bèn phÇn b»ng nhau nh- thÕ.
HiÖu sè phÇn b»ng nhau lµ:
4 – 1 = 3 (phÇn).
9
Tuæi con lµ:
27 : 3 = 9 (tuæi).
Tuæi mÑ lµ:
9 4 = 36 (tuæi).
! Häc sinh vËn dông mét c¸ch m¸y mãc c«ng thøc gi¶i bµi to¸n t×m hai sè
khi biÕt hiÖu vµ tØ sè cña hai sè ®ã mµ kh«ng ph©n tÝch kü ®Ò bµi do vËy ®· nhÇm
lÉn tuæi mÑ vµ con 3 n¨m sau víi tuæi mÑ vµ con hiÖn nay.
(Sai lÇm cho r»ng tØ sè tuæi mÑ vµ con kh«ng ®æi theo thêi gian).
? Sau 3 n¨m n÷a mÑ h¬n con sè tuæi lµ:
27 + 3 = 30 (tuæi)
NÕu coi tuæi con lµ mét phÇn th× tuæi mÑ lµ bèn phÇn b»ng nhau nh- thÕ.
HiÖu sè phÇn b»ng nhau lµ:
4 – 1 = 3 (phÇn).
Tuæi con sau nµy lµ:
30 : 3 = 10 (tuæi).
Tuæi mÑ sau nµy lµ:
10 4 = 40 (tuæi).
Tuæi con hiÖn nay lµ:
10 – 3 = 7 (tuæi).
Tuæi mÑ hiÖn nay lµ:
40 – 3 = 37 (tuæi).
! Häc sinh ®· m¾c sai lÇm khi tÝnh hiÖu (cho r»ng hiÖu tuæi mÑ vµ con thay
®æi theo thêi gian).
? Sau 3 n¨m n÷a th× mÑ vÉn h¬n con 27 tuæi.
NÕu coi tuæi con lµ 1 phÇn th× tuæi mÑ lµ 4 phÇn b»ng nhau nh- thÕ.
Tuæi con sau 3 n¨m lµ:
27 : (4 – 1) = 9 (tuæi).
Tuæi con hiÖn nay lµ:
9 – 3 = 6 (tuæi).
Tuæi mÑ hiÖn nay lµ:
6 4 = 24 (tuæi).
10
! Häc sinh ®· tÝnh ®óng tuæi con hiÖn nay nh-ng l¹i tÝnh sai tuæi mÑ hiÖn nay
do m¾c sai lÇm khi cho r»ng tØ sè tuæi mÑ vµ con hiÖn nay còng lµ 4.
ThÝ dô 4. Mét s©n tr-êng h×nh ch÷ nhËt trªn b¶n vÏ ®-îc vÏ theo tØ lÖ xÝch
1
, cã sè ®o chiÒu dµi lµ 12cm vµ chiÒu réng lµ 8cm. TÝnh diÖn tÝch s©n tr-êng
100
trªn thùc tÕ.
? DiÖn tÝch s©n tr-êng trªn b¶n vÏ lµ: 12 8 = 96 (cm2)
DiÖn tÝch s©n tr-êng trªn thùc tÕ lµ: 96 100 = 9 600 (cm2).
! Lêi gi¶i trªn ®· hiÓu sai vÒ tØ lÖ xÝch nªn tÝnh diÖn tÝch thùc tÕ lµ 96 100 =
9600 (cm2). NÕu hiÓu ®óng vÒ tØ lÖ xÝch th× kÝch th-íc thùc tÕ cña s©n tr-êng ph¶i
cã chiÒu dµi gÊp 100 lÇn vµ chiÒu réng còng gÊp 100 lÇn, do ®ã diÖn tÝch ph¶i gÊp
lªn lµ : 100 100 = 10 000 (lÇn). VËy diÖn tÝch s©n tr-êng thùc tÕ lµ: 96 10 000 =
960 000 (cm2).
ThÝ dô 5. Mét ®éi c«ng nh©n trång rõng, b×nh qu©n trong 3 ngµy trång ®-îc
1000 c©y. Hái víi møc trång nh- vËy, trong 12 ngµy ®éi c«ng nh©n ®ã trång ®-îc
bao nhiªu c©y th«ng? (To¸n 5 - tµi liÖu thö nghiÖm, tËp 1, tr. 20).
? Trung b×nh mét ngµy ®éi c«ng nh©n trång ®-îc lµ:
1000 : 3 = 333 (d- 1) c©y.
Trong 12 ngµy, ®éi c«ng nh©n trång ®-îc:
333 12 + 1 = 3 997 (c©y).
! ë thÝ dô trªn, häc sinh ®· ph¹m ph¶i sai lÇm sau:
- ¸p dông m¸y mãc ph-¬ng ph¸p rót vÒ ®¬n vÞ.
- Sö dông th-¬ng gÇn ®óng ®Ó tÝnh to¸n trong c¸c phÐp tÝnh tiÕp theo dÉn tíi
mÊt chÝnh x¸c.
4. Sai lÇm khi gi¶i to¸n vÒ tØ sè phÇn tr¨m
Khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ tØ sè phÇn tr¨m, HS th-êng béc lé c¸c h¹n chÕ sau:
* Lóng tóng khi chän ®¹i l-îng lµm ®¬n vÞ quy -íc (100%)
* BiÓu thÞ sai c¸c ®¹i l-îng cßn l¹i sau khi ®· chän ®¹i l-îng lµm ®¬n vÞ quy -íc.
* Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n kh«ng cïng ®¬n vÞ ®o.
Sau ®©y lµ mét sè thÝ dô:
11
ThÝ dô 1. Mét ng-êi bá ra 42 000 ®ång tiÒn vèn mua tr¸i c©y. Sau khi b¸n
hÕt sè tr¸i c©y ng-êi ®ã thu ®-îc 52 500 ®ång. Hái ng-êi ®ã l·i bao nhiªu phÇn
tr¨m ? (To¸n 5 - tµi liÖu thö nghiÖm, tËp 1, tr. 81).
? Sè phÇn tr¨m tiÒn l·i thu ®-îc lµ:
42 000 : 52 500 = 0,8 = 80%.
! Khi míi häc vÒ tØ sè phÇn tr¨m, häc sinh th-êng m¾c sai lÇm khi t×m tØ sè
phÇn tr¨m cña 2 sè b»ng c¸ch lÊy sè bÐ chia cho sè lín mµ Ýt quan t©m ®Õn tØ lÖ cña
c¸c ®¹i l-îng (A so víi B hay B so víi A?). C¸ch gi¶i trªn ®· nhÇm lÉn víi t×m tØ sè
phÇn tr¨m cña tiÒn vèn so víi tiÒn thu vÒ.
? Sè phÇn tr¨m tiÒn l·i thu ®-îc lµ:
52 500 : 42 000 = 1,25 = 125%.
! Lêi gi¶i nµy cã sù nhÇm lÉn gi÷a tØ lÖ phÇn tr¨m tiÒn l·i víi tØ lÖ phÇn tr¨m
tiÒn thu vÒ (so víi tiÒn vèn).
? Sè tiÒn thu vÒ b»ng tiÒn vèn céng tiÒn l·i. TØ sè phÇn tr¨m gi÷a tiÒn vèn vµ
tiÒn thu vÒ lµ:
42000 : 52500 = 0,8 = 80%
VËy sè phÇn tr¨m tiÒn l·i lµ:
100% – 80% = 20%
§¸p sè: 20%.
! ë tr-êng hîp nµy, häc sinh ®· cã sù ngé nhËn vÒ tiÒn l·i. PhÇn tr¨m tiÒn l·i
ph¶i ®-îc tÝnh b»ng tØ sè gi÷a tiÒn l·i vµ tiÒn vèn chø kh«ng ph¶i tÝnh b»ng tØ sè
gi÷a tiÒn l·i víi tiÒn thu vÒ.
ThÝ dô 2. N¨m võa qua, mét nhµ m¸y ®· chÕ t¹o ®-îc 1 590 xe m¸y. TÝnh ra
nhµ m¸y ®· ®¹t 120% kÕ ho¹ch. Hái theo kÕ ho¹ch nhµ m¸y dù tÝnh s¶n xuÊt bao
nhiªu xe m¸y ?
? Sè xe m¸y nhµ m¸y dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ:
1590 120 :100 = 1 908 (xe m¸y).
! Häc sinh ®· nhÇm lÉn víi d¹ng bµi t×m tØ sè phÇn tr¨m cña mét sè cho
tríc. MÆt kh¸c do kh«ng n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm “kÕ ho¹ch”, “dù ®Þnh” vµ yÕu
vÒ trùc gi¸c to¸n häc nªn ®· kh«ng ph¸t hiÖn ra m©u thuÉn gi÷a kÕt qu¶ vµ ®Çu bµi.
Theo ®Çu bµi, nhµ m¸y ®· v-ît kÕ ho¹ch (®¹t 120% kÕ ho¹ch), nh-ng kÕt qu¶ l¹i lµ
kh«ng ®¹t kÕ ho¹ch (1590 < 1908).
12
ThÝ dô 3. N¨m 2000 sè d©n cña mét ph-êng lµ 15 625 ng-êi. N¨m 2001 sè
d©n cña ph-êng ®ã lµ 15 875 ng-êi.
a) Hái tõ n¨m 2000 ®Õn n¨m 2001, sè d©n cña ph-êng ®ã t¨ng thªm bao
nhiªu phÇn tr¨m ?
b) NÕu tõ n¨m 2001 ®Õn n¨m 2002 sè d©n cña ph-êng ®ã còng t¨ng thªm
bÊy nhiªu phÇn tr¨m th× sè d©n ph-êng ®ã n¨m 2002 lµ bao nhiªu ng-êi ? (To¸n 5 tµi liÖu thö nghiÖm, tËp 2, tr. 84).
? a) TØ sè phÇn tr¨m cña d©n sè n¨m 2001 so víi n¨m 2000 cña ph-êng ®ã lµ:
15 875 : 15 625 = 1,016 = 101,6%
Sè phÇn tr¨m d©n sè t¨ng lªn sau mét n¨m lµ:
101,6% – 100% = 1,6%
b) Sau 2 n¨m, sè phÇn tr¨m d©n sè t¨ng lªn lµ:
1,6% 2 = 3,2%
D©n sè cña ph-êng n¨m 2002 lµ:
15 625 + 15 625 3,2% = 16 125 (ng-êi )
§¸p sè: 16 125 ng-êi.
! Häc sinh m¾c sai lÇm khi cho r»ng møc t¨ng d©n sè qua mçi n¨m ®Òu lµ
1,6% th× cã thÓ céng hoÆc nh©n c¸c tØ sè nµy ®Ó tÝnh to¸n. Thùc tÕ, 1,6% sè d©n cña
n¨m 2002 kh¸c 1,6% sè d©n cña n¨m 2001 do vËy phÐp nh©n 1,6% 2 kh«ng cã ý
nghÜa.
ThÝ dô 4. Mét cöa hµng nh©n ngµy quèc tÕ phô n÷ mång 8 th¸ng 3 ®· gi¶m
gi¸ 10%. TÝnh ra cöa hµng vÉn l·i 8%. Hái ngµy th-êng cöa hµng l·i bao nhiªu
phÇn tr¨m ?
? Gäi vèn lµ 100%, gi¸ b¸n trong ngµy 8/3 b»ng: 100% + 8% = 108%.
Gi¸ b¸n ngµy th-êng lµ:
108% + 10% = 118%.
! 108% lµ tØ sè gi÷a gi¸ b¸n trong ngµy 8 th¸ng 3 so víi vèn (coi vèn lµ ®¬n
vÞ) cßn 10% lµ ph©n sè chØ møc gi¶m cña gi¸ b¸n ngµy 8 th¸ng 3 so víi ngµy
th-êng (coi gi¸ b¸n ngµy th-êng lµ ®¬n vÞ). Hai ®¬n vÞ ®o kh¸c nhau kh«ng thÓ
céng cho nhau. Häc sinh thùc hiÖn phÐp céng v× ®· ®ång nhÊt 2 ®¬n vÞ ®ã víi nhau.
D-íi ®©y lµ mét c¸ch gi¶i ®óng:
13
Gäi vèn lµ 100% th× gi¸ b¸n trong ngµy 8 th¸ng 3 b»ng 100% + 8% = 108%.
Ngµy 8 th¸ng 3 h¹ gi¸ 10% (so víi ngµy th-êng), vËy gi¸ b¸n trong ngµy 8 th¸ng 3
b»ng 100% – 10% = 90% (gi¸ ngµy th-êng)
90% gi¸ ngµy th-êng b»ng 108% vèn.
VËy ngµy th-êng gi¸ b¸n lµ:
108% :
90
= 120% (so víi vèn)
100
Sè phÇn tr¨m l·i ngµy th-êng lµ:
120% – 100% = 20%
§¸p sè: 20%.
ThÝ dô 5. L-îng n-íc trong h¹t t-¬i lµ 15%, trong h¹t kh« lµ 5%. Hái 200kg h¹t
t-¬i sau khi ph¬i cho bao nhiªu ki - l« - gam h¹t kh« ? (T¹p chÝ To¸n tuæi th¬, sè 27).
? Sau khi ph¬i h¹t t-¬i, tØ sè phÇn tr¨m n-íc gi¶m ®i lµ:
15% – 5% = 10%
Sau khi ph¬i 200kg h¹t t-¬i th× l-îng n-íc gi¶m ®i lµ:
200 10% = 20 (kg)
Khèi l-îng h¹t kh« thu ®-îc lµ:
200 – 20 = 180 (kg)
§¸p sè: 180kg h¹t kh«.
! Do ®ång nhÊt khèi l-îng h¹t t-¬i víi h¹t kh« nªn häc sinh ®· sai lÇm ngay tõ
phÐp tÝnh ®Çu tiªn. ë bµi to¸n nµy khèi l-îng h¹t t-¬i kh¸c khèi l-îng h¹t kh«, do
vËy kh«ng thÓ lÊy 15% cña h¹t t-¬i trõ ®i 5% cña h¹t kh«.
Lêi gi¶i ®óng nh- sau:
Khi ph¬i chØ cã l-îng n-íc bÞ gi¶m cßn l-îng h¹t kh«ng bÞ gi¶m.
L-îng h¹t cã trong 200kg h¹t t-¬i lµ:
200 (100 –15)% = 170 (kg)
Sè phÇn tr¨m chØ 170 kg trong h¹t kh« lµ:
100% – 5% = 95%
Khèi l-îng h¹t kh« thu ®-îc sau khi ph¬i lµ:
170 : 95 100 = 178
18
(kg).
19
ThÝ dô 6. Ba ng-êi thî chia nhau mét sè tiÒn c«ng nh- sau:
14
Ng-êi thø nhÊt h¬n ng-êi thø hai 20% vµ h¬n ng-êi thø ba lµ 25%. Ng-êi
thø hai ®· nhËn 360 000®. Hái hai nguêi kia mçi ng-êi nhËn ®-îc bao nhiªu tiÒn ?
? Ta cã 20% =
1
;
5
25% =
1
4
Sè tiÒn c«ng ng-êi thø nhÊt h¬n ng-êi thø hai lµ:
1
= 27 000 (®ång)
5
360 000
Sè tiÒn c«ng ng-êi thø nhÊt lµ:
360 000 + 72 000 = 432 000 (®ång)
Sè tiÒn c«ng ng-êi thø ba kÐm ng-êi thø nhÊt lµ:
1
= 108 000 (®ång)
4
432 000
Sè tiÒn c«ng ng-êi thø ba lµ:
432 000 – 108 000 = 324 000 (®ång)
§¸p sè:
Ng-êi thø nhÊt: 432 000 ®ång
Ng-êi thø ba: 324 000 ®ång.
! Häc sinh ®· sai ë phÐp to¸n thø hai khi cho r»ng 72 000 ®ång
1
5
(360 000 ) lµ sè tiÒn c«ng ng-êi thø nhÊt h¬n ng-êi thø hai. Theo c¸ch
tr×nh bµy trªn häc sinh ®· cho r»ng ng-êi thø nhÊt h¬n ng-êi thø hai 20% tiÒn c«ng
cña ng-êi thø hai trong khi ®Ò bµi ph¶i hiÓu lµ 20% cña ng-êi thø nhÊt. Do sai lÇm
tõ phÐp to¸n thø hai nªn c¸c phÐp to¸n sau dï ®óng vÒ ý nghÜa nh-ng l¹i sai vÒ kÕt qu¶.
Lêi gi¶i ®óng nh- sau:
Ta cã : 20% =
1
;
5
1
4
25% =
Ph©n sè chØ sè tiÒn cña ng-êi thø hai so víi ng-êi thø nhÊt lµ:
1–
1
4
=
5
5
Sè tiÒn c«ng cña ng-êi thø nhÊt lµ:
360 000 :
4
= 450 000 (®ång)
5
Ph©n sè chØ sè tiÒn cña ng-êi thø ba so víi ng-êi thø nhÊt lµ:
15
1–
1 3
=
4 4
Sè tiÒn c«ng cña ng-êi thø ba lµ:
450 000
3
= 337 500 (®ång)
4
§¸p sè:
Ng-êi thø nhÊt: 450 000 ®ång
Ng-êi thø ba: 337 500 ®ång.
ThÝ dô 7. 80% sè b¹n n÷ nhiÒu h¬n sè b¹n nam lµ 20%. Hái sè b¹n n÷
chiÕm bao nhiªu phÇn tr¨m tæng sè c¶ nam vµ n÷ ? (§Ò thi OLYMPIC to¸n tiÓu häc
Singapore n¨m 2001).
? Do 80% sè b¹n n÷ nhiÒu h¬n sè b¹n nam lµ 20% nªn 100% sè b¹n n÷ sÏ
nhiÒu h¬n sè b¹n nam lµ 25% (cïng t¨ng thªm
1
)
4
NÕu ta coi sè b¹n nam lµ 100 phÇn th× sè b¹n n÷ sÏ lµ 125 phÇn, tæng sè b¹n
nam vµ n÷ lµ 225 phÇn .
Sè b¹n n÷ chiÕm: 125 : 225 = 56% tæng sè nam vµ n÷.
! Bµi gi¶i ®· sai ngay tõ bíc lËp luËn “Do 80% sè b¹n n÷ nhiÒu h¬n sè b¹n
nam lµ 20% nªn 100% sè b¹n n÷ sÏ nhiÒu h¬n sè b¹n nam lµ 25%.” Con sè 25% lµ
sai (nÕu lµm theo c¸ch nµy th× ph¶i lµ 40%), do vËy ®· dÉn ®Õn nh÷ng chç sai tiÕp
theo.
5. Sai lÇm khi gi¶i to¸n cã néi dung h×nh häc
Khi gi¶i c¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc, HS th-êng m¾c ph¶i c¸c sai lÇm:
* Sai lÇm khi ¸p dông c«ng thøc tÝnh chu vi, diÖn tÝch, thÓ tÝch c¸c h×nh.
* Sai lÇm khi vËn dông c«ng thøc mét c¸ch m¸y mãc vµo c¸c t×nh huèng
biÕn ®æi cña thùc tÕ ®êi sèng.
* Kh«ng ®-a sè ®o vÒ cïng mét ®¬n vÞ khi tÝnh to¸n.
Sau ®©y lµ mét sè thÝ dô:
ThÝ dô 1. Mét h×nh thang cã diÖn tÝch lµ 22,5m2, ®¸y lín 2,5m vµ ®¸y nhá 2m.
TÝnh chiÒu cao h×nh thang (To¸n 5 - tµi liÖu thö nghiÖm, tËp 1, tr. 102).
? ChiÒu cao h×nh thang ®ã lµ:
22,5 : (2,5 + 2) = 5 (m)
§¸p sè: 5m.
16
! Häc sinh th-êng quen thuéc víi d¹ng to¸n t×m diÖn tÝch h×nh thang khi biÕt
tr-íc sè ®o ®¸y lín, ®¸y nhá, chiÒu cao. Khi ®ã chØ viÖc ¸p dông c«ng thøc ®· biÕt lµ
tÝnh ®-îc diÖn tÝch. ë tr-êng hîp nµy, ®ßi hái ph¶i cã n¨ng lùc biÕn ®æi c«ng thøc S
=
(a + b) h
thµnh h = S 2 : (a + b) vµ víi häc sinh yÕu vÒ n¨ng lùc biÕn ®æi c«ng
2
thøc th× dÔ m¾c sai lÇm nh- ®· tr×nh bµy.
ThÝ dô 2. Mét ng-êi thî gß mét c¸i thïng t«n ®ùng n-íc kh«ng cã n¾p cã
d¹ng h×nh hép ch÷ nhËt dµi 6dm, réng 4dm vµ cao 9dm. TÝnh diÖn tÝch t«n dïng ®Ó
lµm thïng (kh«ng tÝnh mÐp hµn). (To¸n 5 - tµi liÖu thö nghiÖm, tËp 2, tr. 16).
? Chu vi mÆt ®¸y cña thïng lµ:
(6 + 4) 2 = 20 (dm)
DiÖn tÝch t«n dïng ®Ó lµm thïng lµ:
20 9 =180 (dm2).
! VÒ lý thuyÕt, häc sinh ®-îc häc c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ
c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch toµn phÇn. Khai gi¶i bµi tËp trong t×nh huèng cô thÓ, häc
sinh th-êng sµng läc ®Ó lùa chän mét trong hai c«ng thøc. §Ò bµi nãi thïng kh«ng
cã n¾p, do vËy, häc sinh ®· lùa chän c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ dÉn tíi
sai lÇm lµ tÝnh diÖn tÝch cña thïng kh«ng cã n¾p, kh«ng cã ®¸y.
ThÝ dô 3. Mét c¸i bÓ kh«ng n¾p d¹ng h×nh hép ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 1,5m,
chiÒu réng 0,6m vµ chiÒu cao 8dm. Ng-êi ta s¬n mÆt ngoµi cña bÓ. Hái diÖn tÝch
quÐt s¬n lµ bao nhiªu mÐt vu«ng? (To¸n 5 - tµi liÖu thö nghiÖm, tËp 2, tr. 16).
? DiÖn tÝch quÐt s¬n chÝnh lµ diÖn tÝch xung quanh cña bÓ vµ b»ng:
(1,5 + 0,6) 2 8 = 33,6 (m2).
? §æi 8dm = 0,8m
DiÖn tÝch ®¸y bÓ lµ:
1,5 0,6 = 0,9 (m2)
DiÖn tÝch xung quanh cña bÓ lµ:
(1,5 + 0,6) 2 0,8 = 3,36 (m2)
DiÖn tÝch quÐt s¬n lµ:
0,9 + 3,36 = 4,26 (m2).
! Lêi gi¶i thø nhÊt ®· m¾c sai lÇm khi kh«ng ®-a c¸c sè ®o vÒ cïng ®¬n vÞ
®o. Lêi gi¶i thø hai sai thùc tÕ v× mét c¸i bÓ th× kh«ng thÓ s¬n ®¸y.
17
ThÝ dô 4. Ng-êi ta xÕp nh÷ng hép h×nh lËp ph-¬ng cã thÓ tÝch 8dm3 vµo
trong mét hép h×nh hép ch÷ nhËt b»ng t«n cã chiÒu dµi 1m, chiÒu réng 0,8m vµ
chiÒu cao 0,5m. Hái cã thÓ xÕp ®-îc nhiÒu nhÊt bao nhiªu h×nh lËp ph-¬ng ?
? §æi 1m = 10dm
0,8m = 8dm
0,5m = 5dm.
ThÓ tÝch h×nh hép ch÷ nhËt lµ:
10 8 5 = 400 (dm3 )
Sè h×nh lËp ph-¬ng xÕp trong hép lµ:
400 : 8 = 50 (h×nh).
! Häc sinh ®· vËn dông m¸y mãc c«ng thøc to¸n häc vµo mét t×nh huèng
thùc tÕ. ë bµi to¸n nµy sè h×nh lËp ph-¬ng xÕp ®-îc phô thuéc vµo sè ®o c¸c c¹nh
cña h×nh hép ch÷ nhËt vµ sè ®o c¹nh h×nh lËp ph-¬ng. Kh«ng thÕ lÊy thÓ tÝch h×nh
hép ch÷ nhËt chia cho thÓ tÝch h×nh lËp ph-¬ng ®Ó tÝnh sè h×nh lËp ph-¬ng xÕp
trong h×nh hép ch÷ nhËt.
Lêi gi¶i ®óng nh- sau:
§æi
1m = 10dm
0,8m = 8dm
0,5m = 5dm
H×nh lËp ph-¬ng cã thÓ tÝch 8dm3 th× cã c¹nh lµ 2dm
ChiÒu dµi h×nh hép ch÷ nhËt cã thÓ xÕp:
10 : 2 = 5 (h×nh)
ChiÒu réng h×nh hép ch÷a nhËt cã thÓ xÕp:
8 : 2 = 4 (h×nh)
Víi chiÒu cao 5dm th× chØ cã thÓ xÕp ®-îc 2 h×nh lËp ph-¬ng cã c¹nh 2dm.
Sè h×nh lËp ph-¬ng cã thÓ xÕp ®-îc lµ:
5 4 2 = 40 (h×nh)
§¸p sè: 40 h×nh lËp ph-¬ng.
ThÝ dô 5. Cã hai h×nh hép ch÷ nhËt. H×nh hép A cã chiÒu dµi, chiÒu réng,
chiÒu cao ®Òu gÊp ®«i chiÒu dµi, chiÒu réng, chiÒu cao cña h×nh hép B. BiÕt thÓ tÝch
cña h×nh B b»ng 6dm3, hái thÓ tÝch cña h×nh A lµ bao nhiªu ?
18
? V× c¸c c¹nh cña h×nh hép A gÊp ®«i c¸c c¹nh cña h×nh hép B nªn thÓ tÝch
h×nh hép A còng gÊp ®«i thÓ tÝch h×nh hép B.
ThÓ tÝch h×nh A lµ:
6 2 = 12 (dm3).
! Lêi gi¶i m¾c ë sai lÇm khi cho sù thay ®æi thÓ tÝch cña h×nh còng gièng
nh- sù thay ®æi ®é dµi cña vËt.
ThÝ dô 6. Cã 11 mÈu que th¼ng, trong ®ã cã 1 mÈu que dµi 2cm, 3 mÈu que,
mçi mÈu dµi 3cm; 4 mÈu que, mçi mÈu dµi 4cm; 3 mÈu que, mçi mÈu dµi 5cm.
Dïng mét sè mÈu que ®ã ghÐp thµnh mét h×nh vu«ng th× c¹nh h×nh vu«ng
lín nhÊt cã thÓ ghÐp ®-îc cã ®é dµi lµ bao nhiªu ?
? Tæng ®é dµi cña 11 mÈu que ®ã lµ:
2 + 3 3 + 4 4 + 5 3 = 42 (cm )
Chu vi h×nh vu«ng lµ mét sè chia hÕt cho 4. V× tæng ®é dµi cña 11 que trªn lµ
42cm nªn sè ®o chu vi h×nh vu«ng cÇn ghÐp kh«ng v-ît qu¸ 42. Sè lín nhÊt kh«ng
v-ît qu¸ 42 vµ chia hÕt cho 4 lµ 40. Bá mét mÈu que dµi 2cm th× víi c¸c mÈu que
cßn l¹i ta ghÐp ®-îc h×nh vu«ng cã ®é dµi mçi c¹nh lµ:
40 : 4 = 10 (cm).
! Lêi gi¶i trªn ®· m¾c sai lÇm khi ®-a ra quy t¾c suy luËn:
NÕu ghÐp ®-îc h×nh vu«ng th× sè ®o chu vi h×nh vu«ng ph¶i chia hÕt cho 4.
Sè 40 chia hÕt cho 4 vËy cã thÓ ghÐp ®-îc h×nh vu«ng.
Thùc tÕ tõ 10 mÈu que cßn l¹i (3 mÈu que 3cm, 4 mÈu que 4cm, 3 mÈu que
5cm) kh«ng thÓ ghÐp thµnh mét h×nh vu«ng cã ®é dµi c¹nh 10cm ®-îc.
Cã thÓ xÐt chu vi h×nh vu«ng 36cm. Khi ®ã c¹nh h×nh vu«ng lµ:
36 : 4 = 9 (cm).
Ta xÕp nh- sau:
C¸ch 1: 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 3 + 3 + 3 (bá 1 mÈu que 2cm vµ 1 mÈu que 4cm)
C¸ch 2: 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 4 + 3 + 2 (bá 2 mÈu que 3cm).
Do ®ã ®é dµi c¹nh h×nh vu«ng lín nhÊt cã thÓ ghÐp ®-îc lµ 9cm.
ThÝ dô 7. Ng-êi ta l¸t g¹ch mét lèi ®i réng 2m xung quanh s©n tr-êng h×nh
ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 50m, chiÒu réng 35m. Hái ph¶i chuÈn bÞ bao nhiªu viªn g¹ch,
biÕt mçi mÐt vu«ng cÇn 16 viªn ?
19
? DiÖn tÝch lèi ®i cÇn l¸t g¹ch ®óng b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi
b»ng chu vi s©n tr-êng vµ chiÒu réng b»ng chiÒu réng lèi ®i.
Chu vi s©n tr-êng lµ: (50 + 35) 2 = 170 (m)
DiÖn tÝch phÇn l¸t g¹ch lµ: 170 2 = 340 (m2)
Sè g¹ch l¸t lèi ®i lµ: 16 340 = 5 440 (viªn).
! Lêi gi¶i sai lÇm ngay tõ lËp luËn ®Çu tiªn khi cho r»ng diÖn tÝch lèi ®i cÇn
l¸t g¹ch ®óng b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng chu vi s©n tr-êng vµ
chiÒu réng b»ng chiÒu réng lèi ®i. Tõ ®ã dÉn tíi tÝnh to¸n sai vµ ®¸p sè sai.
D-íi ®©y lµ mét c¸ch gi¶i ®óng:
50m
2m
35 m
35m
Tõ h×nh vÏ, ta nhËn thÊy diÖn tÝch phÇn l¸t g¹ch lµ tæng diÖn tÝch cña 4 h×nh
ch÷ nhËt viÒn quanh s©n tr-êng. 2 h×nh ch÷ nhËt lín cã chiÒu dµi 50m, chiÒu réng
2m vµ 2 h×nh ch÷ nhËt nhá cã chiÒu réng 2m, chiÒu dµi b»ng:
35 – (2 + 2) = 31 (m).
DiÖn tÝch phÇn l¸t g¹ch lµ:
50 2 2 + 31 2 2 = 324 (m2)
Sè g¹ch cÇn l¸t lµ: 16 324 = 5 184 (viªn).
20
- Xem thêm -
.PDF 
23 
196 
144 
