I Love Math
GIAÛI TÍCH 12
SỐ PHỨC
0916620899
[email protected]
LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn tập tài liệu ôn thi THPTQG của lớp 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
1. Lí thuyết cần nắm.
2. Bài tập tự luận có hướng dẫn giải
3. Bài tập trắc nghiệm.
4. Đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập
hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355.334.679 – 0916 620 899
Email:
[email protected]
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
MỤC LỤC
1. KIẾN THỨC CẦN NẮM ------------------------------------ 01 – 03
2. BÀI TẬP TỰ LUẬN ------------------------------------------- 03 – 08
3. TRẮC NGHIỆM ----------------------------------------------- 09 – 41
4. ĐÁP ÁN ---------------------------------------------------------- 42
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Số phức
Số phức z = a + bi có phần thực là a, phần ảo là b a, b ∈ ℝ, i 2 = −1 . Kí hiệu tập số phức: ℂ
(
)
z = a + 0i : là số thực cũng là số phức do đó: ℝ ⊂ ℂ.
a = a + 0i; 0 = 0 + 0i; 1 = 1 + 0i
z = 0 + bi = bi : gọi là số thuần ảo
Số i được gọi là đơn vị ảo và có i 2 = −1 . i 3 = −i ; i 4 = 1 ; ….; i 4 n = 1 ; i 4 n +1 = i ; i 4 n + 2 = −1 ; i 4 n +3 = −i
Lưu ý:
Số phức z = x + yi được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lưu ý:
Tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z có thể thỏa mãn: Đường thẳng; đường tròn; hình tròn; ...
Số phức z1 = a + bi và z2 = b + ai có điểm biểu diễn đối xứng qua đường thẳng y = x
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức z. Kí hiệu: OM = z . Như vậy: z = OM = a 2 + b 2
Số phức liên hợp của z = a + bi kí hiệu là z và z = a + bi = a − bi .
Lưu ý:
z =z, z = z
z và z đối xứng nhau qua trục Ox
2. Các phép toán trên số phức
Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di
( a, b, c, d ∈ ℝ, i
2
)
= −1
a = c
Hai số phức bằng nhau: z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔
b = d
Phép cộng: z1 + z2 = ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i
Phép trừ: z1 − z2 = ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i
Phép nhân: z1.z2 = ( a + bi )( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + cb ) i
Phép chia:
z1 z1 z2 z1 z2 ( a + bi )( c − di )
=
=
=
, z2 ≠ 0
z2 z2 z2 z 2
c2 + d 2
2
Cho số phức z = a + bi . Số phức nghịch đảo của z kí hiệu là z−1 và z−1 =
1 z
z
a − bi
=
= 2 = 2
z z.z z
a + b2
Số phức đối của z kí hiệu là z′ và z′ = − a + bi . z và z′ đối xứng qua trục tung.
3. Mối liên hệ giữa z và z
Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ, i 2 = −1) . Ta có: z = a − bi
z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a
z − z = ( a + bi ) − ( a − bi ) = 2bi
z z.z
z2 ( a + bi )
a2 − b2
2abi
=
=
=
=
+ 2
2
2
2
z z .z z .z
a + b a + b2
z
2
z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 + b 2 = z
2
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Căn bậc hai của số thực a < 0 là ±i a
Xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 . Đặt ∆ = b 2 − 4ac
b
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = −
(nghiệm thực)
2a
−b ± ∆
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 =
2a
Chương IV. SỐ PHỨC
1
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 =
−b ± i ∆
2a
5. Cực trị số phức
a. Bất đẳng thức tam giác
z1 + z2 ≤ z1 + z2
z1 − z2 ≤ z1 − z2
z1 − z2 ≤ z1 + z2
2
2
(
2
b. Công thức trung tuyến: z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
2
).
c. Tập hợp điểm
z − (a + bi) = r : Đường tròn tâm I (a; b) , bán kính r.
z − (a1 + b1i) = z − (a2 + b2i ) : Đường trung trực của AB với A( a1 ; b1 ), B(a2 , b2 ).
z − (a1 + b1i) + z − (a2 + b2i ) = 2a. Với A(a1 ; b1 ), B( a2 , b2 )
AB = 2a : Đường thẳng qua A và B.
AB < 2a : Elip (E) nhận A và B làm tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a.
Đặc biệt: z + c + z − c = 2 a ( E ) :
x2 y2
+ 2 = 1 với b = a 2 − c 2 .
2
a
b
6. Một số dạng cơ bản tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước.
Bước 1: Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*).
Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ ( H ) sao cho khoảng cách OM nhỏ nhất,
lớn nhất.
Dạng 1. Cho số phức z thỏa mãn z − (a + bi) = R, R > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z .
Ta có: z − (a + bi ) = R, R > 0 Tập hợp các điểm M biểu diễn số
phức z là đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.
• max z = OM = OI + R = a 2 + b 2 + R
2
Khi đó: z = MO
• min z = OM 1 = OI − R = a 2 + b 2 − R
Tìm tọa độ điểm điểm M 1 , M 2 ( hay tìm số phức z có môdun nhỏ nhất, lớn nhất).
Tọa độ điểm M 1 , M 2 là giao điểm của (C ) : ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2 và đường thẳng d đi qua hai điểm
O , I , có phương trình: Ax + By + C = 0.
Dạng 2. Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 , r1 > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
P = z − z2 .
Gọi I , M , A là tập hợp điểm biểu diễn của z1 , z2 và z.
max P = AM 1 = r1 + r2
Khi đó: IA = z1 − z2 = r2
min P = AM 2 = r1 − r2
Tọa độ điểm M 1 , M 2 là giao điểm của đường tròn ( I , r1 ) và đường
thẳng AI .
Dạng 3. Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 = k , k > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
P= z.
Gọi M , M 1 , M 2 là tập hợp điểm biểu diễn của z , z1 và z 2 .
Chương IV. SỐ PHỨC
2
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Khi đó: z − z1 + z − z2 = k ⇔ MM1 + MM 2 = k ⇔ M ∈ ( E ) nhận M 1 , M 2 làm tiêu điểm và có độ dài
trục lớn 2a = k .
k
max P = a =
2
x
y
Đặc biệt: z + c + z − c = 2a ( E ) : 2 + 2 = 1 với b = a 2 − c 2
.
2
2
a
b
min P = b = k − 4c
2
2
2
Dạng 4. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = m + ni và z1 − z2 = p > 0. Tìm giá trị lớn nhất của
P = z1 + z2 .
Áp dụng công thức: max P = m2 + n2 + p 2 .
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1. Tìm số phức, số phức liên hợp, phần thực, phần ảo, môđun của một số phức
Bài
1
2
Nội dung
Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − 1 + 5i = 0 . Tìm phần thực và phần
ảo của z.
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (1 + i ) z + ( 3 − i ) z = 2 − 6i . Tìm
4
5
6
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z − i z = 2 + 5i . Tìm phần thực
và phần ảo của z.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3z − z )(1 + i ) − 5 z = 8i − 1 . Tìm
z = 32 + ( −2) 2 = 13
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z + 3 (1 − i ) z = 1 − 9i . Tìm
z = 2 + 3i,
môđun của số phức z
z = 2 2 + 32 = 13
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + ( 2 + i ) z = 3 + 5i . Tìm phần
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i . Tìm
2
phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + z ) z
8
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i . Tính
môđun của số phức w =
9
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 2 + i ) z +
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
số phức w = 1 + z + z 2
Phần thực bằng 2, phần
ảo bằng – 3
z = 1 + i, w = 3 − i
Phần thực bằng 3, phần
ảo bằng – 1
z = i, w = −1 + 3i
w = 10
z − 2z +1
z2
môđun của số phức w = z + 1 + i
10
Phần thực bằng 3, phần
ảo bằng 4
z = 3 − 2i,
môđun của số phức z
thực và phần ảo của z.
7
z = 2 + 3i,
z = 2 2 + 32 = 13
môđun của số phức z
3
Kết quả
Phần thực bằng 3, phần
ảo bằng – 2
5( z + i)
z +1
2 (1 + 2i )
1+ i
= 7 + 8i . Tính
= 2 − i . Tính môđun của
z = 3 + 2i, w = 4 + 3i
w = 42 + 32 = 5
z = 1 + i, w = 2 + 3i
w = 2 + 3i = 13
11
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + 2i ) z + z = 4i − 20 . Tính
z = 4 + 3i, z = 5
12
môđun của số phức z
Tìm số phức z, biết z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i
z = 2−i
13
2
Tìm số phức z, biết z −
Chương IV. SỐ PHỨC
z = −1 − i 3 hoặc
5+i 3
−1 = 0
z
z = 2−i 3
3
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
z = 2 + 2i . Phần thực
bằng 2, phần ảo bằng 2
14
1+ i 3
Tìm phần thức, phần ảo của số phức z =
1 + i
15
Tìm tất cả các số phức z, biết z 2 = z + z
16
Tìm môđun của số phức z, biết ( 2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i
17
Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − (1 + 3i ) . Tìm phần
3
2
2
thực và phần ảo của z.
18
Tìm số phức z, biết z = 2 và z 2 là số thuần ảo
19
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết z =
20
(1 − 3i )
Cho số phức z thỏa mãn z =
2 +i
) (1 − 2i )
2
3
w = z + iz
21
(
1− i
. Tìm môđun của số phức
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z .
2
Tìm phần thực và phần ảo của z.
22
Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25
23
Tìm số phức z và tính môđun của z, biết
( 3 + i ) z + (1 + i )( 2 − i ) = 5 − i
24
a) Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết
z + ( 2 − i ) z = ( 5 + 3i ) z + 1
z1 = 3 − 4i, z2 = −1 + i
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z − (1 + i ) z = (1 − 2i ) . Tìm phần
2
thực và phần ảo của z.
26
Cho số phức z thỏa mãn phương trình (1 − i ) z + ( 2 + i ) z = 4 + i .
27
Tính môđun của z
a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − 1 + 5i = 0 . Tìm phần thực, phần
ảo của w = 1 + z2 + z
b) Tìm môđun của w = zi − 2 z , biết ( 3z − z )(1 + i ) − 5z = 8i − 1
28
(
29
) (
)
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 1 + i z + 3 − i z = 2 − 6i . Tính
môđun của số phức w = 2 z − iz + 1
Cho số phức z thỏa mãn z + z = 3 + 4i . Tìm phần thực và phần ảo
c ủa z
Chương IV. SỐ PHỨC
1 1
2
z = − i, z =
3 3
3
z = −2 + 5i . Phần thực
bằng – 2, phần ảo bằng
5
Các số phức z cần tìm
là 1 + i;1 − i; −1 + i;
−1 − i
z = 5 − 2i . Phần thực
bằng 5, phần ảo bằng
− 2
z = −4 + 4i, w = −8 − 8i
w = z + iz = 8 2
z = 2 − 3i . Phần thực
bằng 2, phần ảo bằng –
3
z = 3 + 4i hoặc z = 5
2 4
2 5
+ i, z =
5 5
5
1 1
z = − + i . Phần
6 6
1
thực bằng − , phần
6
1
ảo bằng
6
z = 10 + 3i . Phần thực
bằng 10, phần ảo bằng
3
z = 2 − i, z = 5
z=
b) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của z3 = z1.z2 với
25
1 1
z = 0 hoặc z = − + i
2 2
1 1
hoặc z = − − i
2 2
4
a) w = 9 − 10i . Phần
thực là 9 và phần ảo là
−10
b) w = 17
w =2 5
7
z = − + 4i . Phần thực
6
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
là −
30
31
z − 2i = z
Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình
z − i = z − 1
Với những giá trị thực nào của x và y thì các số phức
z1 = 9 y − 4 − 10 xi và z2 = 8y + 20i là liên hợp của nhau ?
Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z ;
iz và z + i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Tính môđun
của số phức z .
2
32
5
2
HD Giải
Gọi z = a + bi , a, b ∈ ℝ
11
7
và phần ảo là
6
4
z = 1+ i
( −2;2 ) và ( −2; −2 ) .
z = a2 + b2 = 6
z + i z = a + bi − b + ai
nên iz = ai − b ,
= a − b + (a + b) i
Ta gọi A ( a, b ) , B ( −b, a ) , C ( a − b, a + b ) nên AB ( −b − a, a − b ) ,
AC ( −b, a )
S=
1
1
1
AB, AC = −a 2 − b 2 ⇔ ( a 2 + b 2 ) = 18 ⇔ a 2 + b2 = 6 .
2
2
2
Dạng 2. Nhìn vào hệ tọa độ Oxy xác định tọa độ của điểm biểu diễn số phức
1
Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 3 − i . Hỏi điểm biểu diễn của z là
Điểm Q
điểm nào ở hình bên dưới ?
y
M
N
O
x
P
2
Q
Cho số phức z thỏa mãn iz = 5 − 2i . Hỏi điểm biểu diễn của z là
điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên ?
y
N
-2
5
-5
P
3
M
2
O
x
Q
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Tìm
phần thực và phần ảo của số phức z.
Chương IV. SỐ PHỨC
Điểm N
5
Phần thực là 3 và phần
ảo là −4
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
y
3
O
-4
4
5
6
7
8
x
M
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và N là điểm biểu Hai điểm M và N đối
xứng với nhau qua trục
diễn của số phức z / = −2 + 5i . Nhận xét gì về hai điểm M và N ?
tung
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 3i và N là điểm biểu Hai điểm M và N đối
xứng với nhau qua
diễn của số phức z / = 3 + 2i . Nhận xét gì về hai điểm M và N ?
đường thẳng y = x
Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 9 = 0 . Gọi
M, N là các điểm biểu diễn của z1 và z 2 trên mặt phẳng phức. Khi đó
độ dài của MN bằng bao nhiêu ?
Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn
của các số phức z1 = −1 + 3i, z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i Gọi D là điểm
MN = 2 5
z4 = 2 − i
biểu diễn của số phức z 4 . Tìm số phức z 4 sao cho tứ giác ABCD là
một hình bình hành.
Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
1
M − ;2
2
4 z − 16 z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, tìm điểm biểu diễn của
số phức w = iz0 ?
2
Dạng 3. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Bài
1
2
3
4
5
Nội dung
Cho số phức z thỏa mãn
2−i
= ( 3 − i ) z . Tìm tọa độ điểm biểu
(1 − 2i ) z −
1+ i
diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm
biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z − i = (1 + i ) z
Kết quả
1 7
Điểm biểu diễn của z là M ;
10 10
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z
là đường tròn có phương trình:
x 2 + ( y + 1) = 2
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm
biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z − ( 3 − 4i ) = 2
Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z
là đường tròn có phương trình:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên
mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện z − i = 1
a) Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
z là đường tròn có phương trình:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên
mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện sau:
a) z + z + 3 = 4
1
7
a) Hai đường thẳng x = , x = −
2
2
1+ 3
1− 3
b) Hai đường thẳng y =
,y=
2
2
1
c) Đường thẳng y = − x + 1
2
b) z − z + 1 − i = 2
c) ( 2 − z )( i + z ) là số thực tùy ý
Chương IV. SỐ PHỨC
6
( x − 3) + ( y + 4 )
2
2
=4
x 2 + ( y − 1) = 1
2
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
d) ( 2 − z )( i + z ) là số ảo tùy ý
1
d) Đường tròn tậm I 1; , bán kính
2
5
R=
2
1
e) Parabol y = x 2
4
1
1
f) Hai hypebol y = , y = −
x
x
e) 2 z − 1 = z − z + 2i
f) z 2 − ( z ) 2 = 4
6
7
8
(
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
điều kiện:
5+i 3
a) z −
b) z + 2 = i − z
−1 = 0
z
c) z − i ≤ 1
d) z − 1 − i < 1
)
(
a) M −1; − 3 , M ' 2; − 3
)
3
2
c) Hình tròn tâm I ( 0;1) , bán kính R = 1
b) Đường thẳng y = −2 x −
d) Hình tròn tâm tại H (1;1) , bán kính
Cho số phức z thỏa mãn
(1 − 2i ) z − 12 +− ii = (3 − i ) z . Tìm tọa độ điểm biểu
diễn của w = zi trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa:
2
R = 1 (không kể biên)
7 1
Đ iể m M − ;
10 10
Đường tròn: x 2 + y 2 + 6 x = 0
z + 3z + 3 z = 0
9
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa
Đường thẳng có phương trình:
5x + 7y − 6 = 0
z − 3 − 4i = z + 2 − 3i
10
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z
3
7
9
Đường tròn: x 2 + y 2 − x + y + = 0
2
4
8
thỏa : 3z − 2 + 3i = 2i − z
11
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên
mặt phẳng tọa độ thỏa mãn:
a) z − 1 = 1
b) 2 + z < 2 − z
a) x 2 + ( y − 1) = 1
c) 2 ≤ z − 1 + 2i < 3
( )
độ thỏa mãn 4 ≤ ( x − 1) + ( y + 2 )
(1 − i; i ) .
2
b) Nửa trái của mặt phẳng tọa độ không
kể trục Oy
c) Những điểm x; y trên mặt phẳng tọa
2
12
x + 2y = 1 + i
.
Giải hệ phương trình
3x + iy = 2 − 3i
2
<9
Dạng 4. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức và vận dụng định lí Vi_ét.
Bài
1
Nội dung
Giải các phương trình sau:
a) x 2 + x + 7 = 0
b) 2 x 2 + 3x + 4 = 0
c) 3 z 2 + 3 z + 7 = 0
d) z 2 + 2 z + 5 = 0
e) z 2 − 4 z + 6 = 0 ( z = 2 ± i 2 )
a)
b)
c)
d)
Chương IV. SỐ PHỨC
7
Kết quả
1 3 3
x1,2 = − ±
i
2
3
3
23
x1,2 = − ±
i
4
4
1 2i 5
z1,2 = − ±
3
3
z = − 1 ± 2i
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
2
Toán 12
Giải các phương trình sau:
a) 2 x 4 + 3 x 2 − 5 = 0
c) z 4 + z 2 − 6 = 0
GV. Lư Sĩ Pháp
i 10
2
= −1 ± i 3
a) x1,2 = ±1, x3,4 = ±
b) x 3 − 8 = 0
d) z 4 + 7 z 2 + 10 = 0
b) x1 = 2, x2,3
c) z1,2 = ± 2, z3,4 = ±i 3
d) z1,2 = ±i 2; z3,4 = ±i 5
3
z1 = −1 + 3i, z2 = −1 − 3i
Gọi z1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình
2
z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z2
4
Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình
2 z 2 − 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị của biểu thức A =
5
A = 20
2
2
z1 + z2
z1 = 1 −
2
( z1 + z2 ) 2
.
Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình
4
z − 4 z + 29 = 0 . Tính A = z1 + z2
2
4
6
Biết z1 và z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 3z + 3 = 0 .
z z
Hãy tính: a) z12 + z22 ; b) z13 + z23 ; c) z14 + z24 ; d) 1 + 2
z 2 z1
7
Cho phương trình 3z 2 − 4 z + 2 = 0 (1)
a/ Giải phương trình trên tập số phức
b/ Gọi z1 ,z 2 là hai nghiệm phức của phương trình (1). Tính
2
giá trị của biểu thức A = z1 + z2
8
2
Cho phương trình : 2 z2 + 3z + 5 = 0 (1)
a/Giải phương trình (1) trên tập hợp số phức
b/ Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị
biểu thức : A = ( z1 − z2 ) − 7z1z2
2
9
Cho phương trình 4 z2 − 3z + 7 = 0 (1)
a) Giải phương trình trên tập số phức
b) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình (1). Tính
giá trị của biểu thức A =
10
z1 z2
+
z2 z1
Cho phương trình z2 − 2 z + 13 = 0 (1)
a) Giải phương trình trên tập số phức
b) Gọi z1 ,z 2 là hai nghiệm phức của phương trình (1) .
Tính giá trị của biểu thức A =
Chương IV. SỐ PHỨC
z1 z2
+ − 3z1z2 + 4
z2 z1
8
A=
3 2
3 2
i , z2 = 1 +
i
2
2
11
4
z1 = 2 − 5i, z 2 = 2 + 5i
A = 1682
a) −3 ; b) 6 3
c) −9 ; d) −1
a) z1 =
2
2
2
2
+
i, z1 = −
i
3 3
3 3
b) A =
4
3
3
31
±
i
4
4
101
b) A = −
4
a) z1,2 = −
3
103
±
i
8
8
47
b) A = −
28
a) z1,2 =
a) z1,2 = 1 ± 2 3i
b) A = −
477
13
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho số phức z. Tìm môđun của số phức w = −2iz.
A. w = 2.
B. w = 2 z .
C. w = −2 z .
D.
w = 2 z.
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − 1 + 5i = 0 . Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z.
A. a = 3, b = −2.
B. a = −2, b = 3.
C. a = 3, b = 2.
D. a = −2, b = −3.
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z + ( 2i − 1) z = 10 và có phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó. Tìm môđun
của z ?
A.
z =
5
.
4
B. z =
Câu 4. Tìm số phức z , biết z =
(
5
.
2
2 +i
C.
z =
) (1 − 2i ) .
5
.
2
D.
3
z = .
2
2
B. z = 5 + 2i.
C. z = 3 + 2i.
A. z = 3 − 2i.
Câu 5. Tìm số phức liên hợp của số phức z = i ( 3i + 1) .
D. z = 5 − 2i.
A. z = 3 + i.
B. z = 3 − i.
C. z = −3 + i.
D. z = −3 − i.
Câu 6. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 . Tìm phần ảo của số phức z −1 .
−a
−b
a
b
A.
B.
C. 2
D.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
2
a +b
a +b
a +b
a + b2
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn phương trình (1 − i ) z + ( 2 + i ) z = 4 + i . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. z.z = 1.
B.
z = 5.
C. z = 2 + i.
D. z = 2 − i.
z
.
z +i
C. S = {0;1} .
D. S = {1 − i} .
Câu 8. Tìm tập hợp S các nghiệm của phương trình z =
A. S = {1 − i;0} .
B. S = {0} .
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
5( z + i)
z +1
= 2 − i . Tìm số phức w = 1 + z + z 2 .
A. w = 3 + 2i.
B. w = 2 + 3i.
C. w = 3 − 2i.
D. w = 2 − 3i.
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3z − z )(1 + i ) − 5 z = 8i − 1 . Tìm môđun của số phức z.
A.
z = 5.
B. z = 13.
C.
z = 4.
D.
z = 2 3.
Câu 11. Số phức z = 2 − 3i có điểm biểu diễn là A và số phức z có điểm biểu diễn là
B. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
2
Câu 12. Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn phương trình z 2 = z + z ?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
5( z + i)
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
= 2 − i . Tìm môđun của số phức w = 1 + z + z 2 .
z +1
A. w = 13.
B. w = 10.
C. w = 10.
D. w = 13.
Câu 14. Tìm phần thực a của số phức z = 2i.
A. a = 2.
B. a = 1.
C. a = 2i.
D. a = 0.
z
+
2
−
i
z
=
5
+
3
i
z
+
1
Câu 15. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn
. Tính P = a.b.
( ) (
)
1
A. P = .
6
Chương IV. SỐ PHỨC
B. P = 1.
C. P = −36.
9
D. P = −
1
.
36
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z − i = (1 + i ) z .
A. Hai đường thẳng có phương trình x = 1, x = −2.
B. Đường thẳng có phương trình: x + y − 1 = 0.
C. Đường tròn có phương trình: x 2 + ( y + 1) = 2.
2
D. Đường tròn có phương trình: ( x + 1) + y 2 = 2.
2
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn iz = 5 − 2i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q
ở hình bên ?
A. Điểm P .
B. Điểm M .
C. Điểm N .
D. Điểm Q.
Câu 18. Cho số phức z =
(
)
2
2 + 3i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng −7 và Phần ảo bằng 6 2i
B. Phần thực bằng −7 , Phần ảo bằng 6 2.
C. Phần thực bằng 7 và Phần ảo bằng 6 2i.
D. Phần thực bằng 7 , Phần ảo bằng 6 2.
Câu 19. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 3i và N là điểm biểu diễn của số phức z / = 3 + 2i . Tìm
mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
B. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành.
C. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục tung.
Câu 20. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z 2 − 16 z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa
độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz0 ?
1
1
1
1
B. M − ; 2 .
C. Q ;1 .
D. P − ;1 .
A. N ; 2 .
2
2
4
4
Câu 21. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và N là điểm biểu diễn của số phức z / = −2 + 5i . Tìm
mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
A. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục tung.
B. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
C. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành.
D. Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
10
Câu 22. Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z =
− 2 + i . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
z
1
3
1
3
A. < z < .
B. z < .
C.
D. z > 2.
< z < 2.
2
2
2
2
Câu 23. Kí hiệu i là đơn vị ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
8
8
8
8
A. (1 + i ) = −16.
B. (1 + i ) = −16i.
C. (1 + i ) = 16.
D. (1 + i ) = 16i.
Câu 24. Gọi z1 , z 2 là các nghiệm của phương trình 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
2
H=
z1 + z2
2
.
( z1 + z2 ) 2
3
15
A. H = .
B. H = .
4
4
2
Câu 25. Tìm môđun phức z = (1 + 2i ) (1 − i ) .
A.
z =
2 2
.
3
Chương IV. SỐ PHỨC
B. z = 5 2.
C. H =
C.
10
11
.
4
z = 50.
D. H =
13
.
4
z =
10
.
3
D.
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z −
GV. Lư Sĩ Pháp
2−i
= ( 3 − i ) z . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn của số phức z trong
1+ i
mặt phẳng tọa độ Oxy.
2 3
1 7
A. M ; .
B. M ; .
C. M ( 2;3) .
10 10
10 10
Câu 27. Cho a , b ∈ ℝ . Phân tích biểu thức 4 a 2 + 9b 2 thành thừa số phức.
A. ( 2a + 3bi )( 2a − 3bi ) .
B.
C.
D.
( 2ai + 3b )( 2ai − 3b ) .
Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn z =
D. M (1; 7 ) .
( 4a + 9bi )( 4a − 9bi ) .
( 4a + 9i )( 4a − 9i ) .
1
. Tìm số phức liên hợp z .
1+ i
1
B. z = i.
C. z = 1 − i.
D. z = 1 + i.
(1 − i ) .
2
3
3
Câu 29. Phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z1 và z2 . Tính giá trị của biểu thức H = z1 + z2 .
A. z =
A. H = 2 10.
B. H = 10 10.
C. H = 20.
D. H = 20 10.
Câu 30. Số nào trong các số phức dưới đây là số thuần ảo ?
A. 2 + 2i − 2 − i
B. ( 2016 + i ) + ( 2017 − i )
(
C.
) (
(3 − i ) − ( 2 − i )
)
D. 2017i 2
Câu 31. Tìm số phức z và tính môđun của z , biết ( 3 + i ) z + (1 + i )( 2 − i ) = 5 − i.
2 4
2 5
+ i, z =
.
5 5
5
2 4
2 5
C. z = − i, z =
.
5 5
5
2 4
3 5
+ i, z =
.
5 5
5
2 4
2 3
D. z = + i, z =
.
3 3
3
A. z =
B. z =
(
)
2
Câu 32. Tìm số phức z thỏa mãn z + 3z = 1 − 2i .
3
3
3
3
A. z = − − 2i.
B. z = 2 − i.
C. z = − + 2i.
D. z = 2 + i.
4
4
4
4
Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 3 − i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm
M , N , P, Q ở hình bên ?
B. Điểm N .
C. Điểm M .
D. Điểm P .
A. Điểm Q.
(1 − 3i )
Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z =
A.
w = 4 2.
1− i
B. w = 8 2.
3
. Tìm môđun của số phức w = z + iz.
C.
w = 2 2.
D.
w = 16 2.
Câu 35. Tìm số phức z , biết z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i.
A. z = −i.
B. z = 2 − i.
C. z = 1 − i.
D. z = 1 + i.
Câu 36. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn (1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i . Tính P = a + b.
1
1
C. P = − .
D. P = .
2
2
Câu 37. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2i = 1 là đường tròn có
A. P = 1.
phương trình nào dưới đây ?
2
A. x 2 + ( y + 2 ) = 1.
C. x 2 + y 2 + 4 x − 3 = 0.
B. P = −1.
B. x 2 + y 2 + 4 y − 3 = 0.
D.
( x + 2)
2
+ y 2 = 1.
Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i . Tìm môđun của số phức w =
Chương IV. SỐ PHỨC
11
z − 2z +1
.
z2
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
A.
Toán 12
w = 10.
B.
w = 13.
GV. Lư Sĩ Pháp
w = 2 5.
C.
D. w = 10.
Câu 39. Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = 2 − 3i . Tính môđun của số phức z1 + z2 .
A.
z1 + z2 = 1.
B.
z1 + z2 = 5.
z1 + z2 = 5.
C.
D. z1 + z2 = 13.
Câu 40. Số phức z thay đổi sao cho z = 1 . Tìm giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất M của z − i .
B. m = 0; M = 2.
A. m = 1; M = 2.
C. m = 0; M = 2.
D. m = 0; M = 1.
Câu 41. Trên tập hợp số phức, phương trình z + z = 12 có bao nhiêu nghiệm ?
2
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Câu 42. Cho số phức z = 2 + 5i . Tìm số phức w = iz + z .
A. w = 3 + 7i.
B. w = −7 − 7i.
C. w = −3 − 3i.
D. w = 7 − 3i.
3
Câu 43. Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
B. Phần thực bằng −46 và Phần ảo bằng −9i
A. Phần thực bằng 46 và Phần ảo bằng 9
C. Phần thực bằng −46 và Phần ảo bằng −9
D. Phần thực bằng 46 và Phần ảo bằng −9i.
Câu 44. Tìm phương trình bậc hai biết rằng phương trình đó có hai nghiệm z1 = 2 + i 2, z2 = 2 − i 2 .
A. z 2 − 4 z + 6 = 0.
B. z 2 + 4 z + 6 = 0.
C. z 2 + 4 z − 6 = 0.
D. z 2 − 4 z − 6 = 0.
Câu 45. Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = a − bi, ( a, b ∈ ℝ, z2 ≠ 0 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
B. z1.z2 là số thực.
A. z1 − z2 là số thuần ảo.
z
C. 1 là số thuần ảo.
D. z1 + z2 là số thực.
z2
Câu 46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z − i z = 2 + 5i . Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z.
A. a = 4, b = 3i.
B. a = 3, b = 4.
C. a = 3, b = 4i.
D. a = 4, b = 3.
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
z − ( 3 − 4i ) = 2.
A. Đường tròn có phương trình: ( x − 3) + ( y + 4 ) = 2.
2
2
B. Đường tròn có phương trình: 3 x + 4 y = 4.
C. Đường tròn có phương trình: ( x − 3) + ( y + 4 ) = 4.
D. Đường thẳng có phương trình: y = 2 x − 3.
Câu 48. Tìm tập nghiệm S của phương trình z 4 − 2 z 2 − 8 = 0.
A. S = ± 2; ± 2i .
B. S = {±2; ± 4i} .
2
{
}
C. S = {±2; ± 4i} .
Câu 49. Số nào trong các số dưới đây là số thực ?
2 +i
A.
.
2 −i
C.
2
(1 + i 3 ) .
2
{
}
D. S = ± 2i; ± 2 .
(
) (
( 3 + 2i ) − (
)
B. 2 + i 5 + 2 − i 5 .
D.
Câu 50. Với giá trị nào của x, y thì ( x + y ) + ( 2 x − y ) i = 3 − 6i ?
A. x = 4; y = −1.
B. x = −1; y = −4.
C. x = −1; y = 4.
)
3 − 2i .
D. x = 4; y = 1.
Câu 51. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn (1 + 2i ) z + z = 4i − 20 . Tính S = a + b.
A. S = 5.
B. S = −1.
C. S = 1.
D. S = 7.
Câu 52. Với mọi số ảo của số phức z. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2
2
A. z 2 + z là số ảo khác 0.
B. z 2 + z là số thực âm.
2
2
C. z 2 + z = 0.
2
D. z 2 + z là số thực dương.
Câu 53. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i . Tìm môđun của số phức w = z1 + 2 z2 .
Chương IV. SỐ PHỨC
12
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
A. w = 65.
B.
w = 21.
C.
GV. Lư Sĩ Pháp
w = 65.
D.
w = 21.
Câu 54. Cho hai số phức z và z . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
B. z − z = 2i.
A. z − z là số thực.
C. z − z là số ảo.
D. z − z = 0.
Câu 55. Cho số phức z thỏa mãn ( 3 + 2i ) z = 5 − 14i. Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa
độ Oxy.
A. I ( −1; 4 ) .
B. J ( −4; −1) .
C. K ( −1; −4 ) .
D. H (1; −4 ) .
Câu 56.
2
Tìm tập hợp S các nghiệm phức của phương trình z 2 + z = 0.
B. S = {±i;0} .
A. S = {0} .
C. S = {−i; 0} .
D. S = {Tập hợp mọi số thuần ảo}.
Câu 57. Tìm phần ảo b của số phức z = −2i.
B. b = −1.
A. b = 0.
2
Câu 58. Với mọi số phức z. Tính H = z + 1 .
C. b = −2.
D. b = −2i.
B. H = zz + z + z + 1.
2
A. H = z + 2 z + 1.
C. H = z + z + 1.
D. H = zz + 1.
z − 2z + 1
.
z2
w = 2 5.
Câu 59. Cho số phức z thỏa mãn (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i . Tìm môđun của số phức w =
A.
w = 2 10.
B.
w = 10 2.
C. w = 10.
D.
Câu 60. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
.
A. Phần thực là 3 và phần ảo là −4i.
B. Phần thực là −4 và phần ảo là 3.
C. Phần thực là 3 và phần ảo là −4.
D. Phần thực là −4 và phần ảo là 3i.
Câu 61. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 . Tìm phần thực của số phức z −1 .
b
−a
−b
a
A.
B.
C.
D. 2
.
.
.
.
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
a + b2
Câu 62. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2 + 2 z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn
số phức z1.
(
)
A. M −1; − 2 .
(
)
B. M −1; − 2i .
C. M ( −1; −2).
Câu 63. Tìm môđun của số phức z , biết rằng z = 1 − 2i.
A. z = 3.
B. z = 3.
C. z = 5.
D. M ( −1; 2).
D.
z = 2.
2
z +i
1 − iz
Câu 64. Điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
có tọa độ là điểm nào dưới đây ?
=
z −i
1 + iz
A. K ( 0;1) .
B. H (1;1) .
C. I ( 0; −1) .
D. J ( −1;0 ) .
Câu 65. Tìm tập nghiệm S cảu phương trình ( z 2 + 9)( z 2 − z + 1) = 0.
1
3i
A. S = ±3i; ±
.
2
2
1
3i
C. S = ±3; −
.
2
2
1
3i
B. S = ±3; +
.
2
2
1
3i
D. S = 3; ±
.
2
2
Câu 66. Cho hai số phức z1 , z2 được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt bởi hai điểm A ( 2; −1) , B ( 3; 4 )
. Tìm môđun của số phức 2z1 − z1 z2 .
A. 2 z1 − z1 z2 = 85.
Chương IV. SỐ PHỨC
B.
13
2 z1 − z1 z2 = 13.
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
C.
Toán 12
2 z1 − z1 z2 = 13.
D.
GV. Lư Sĩ Pháp
2 z1 − z1 z2 = 85.
Câu 67. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, i 2 = −1) . Tìm phần thực của số phức z 2 .
A. a − b.
B. 2ab.
C. a 2 + b 2 .
D. a 2 − b 2 .
Câu 68. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn ( 2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i ) = 2 − 2i . Tính S = a − b.
2
1
C. S = .
D. S = .
3
3
2
Câu 69. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 3 + 2i ) z + ( 2 − i ) = 4 + i . Tìm phần thực a và phần ảo b của số
A. S = 0.
B. S = 1.
phức w = (1 + z ) z .
A. a = 3, b = −i.
B. a = 2, b = 5.
C. a = −1, b = 3.
D. a = 3, b = −1.
Câu 70. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + ( 2 + i ) z = 3 + 5i . Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z.
A. a = −2, b = −3.
B. a = 2, b = −3i.
C. a = 3, b = −2.
D. a = 2, b = −3.
Câu 71. Cho số phức z = 5 − 3i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây ?
A. P ( 5;3) .
B. N ( 3; −5) .
C. Q ( 5; −3) .
D. M ( 3;5) .
Câu 72. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm là 1 ± i 3 .
B. x 2 + 2 x + 4 = 0.
C. x 2 − 2 x − 4 = 0.
D. x 2 − 2 x + 4 = 0.
A. x 2 + i 3 x + 1 = 0.
Câu 73. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − (1 + 3i ) . Tính S = a 2 + b 2 .
2
A. S = 3.
B. S = 25.
C. S = 21.
D. S = 29.
2
Câu 74. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn hệ thức z − (1 + i ) z = (1 − 2i ) . Tính S = log a + b.
A. S = 3.
B. S = 4.
D. S = 13.
C. S = log 3 + 10.
Câu 75. Tìm a để số phức z = a + ( a − 1) i (a là số thực) và z = 1.
3
1
B. a = .
C. a = 0 hoặc a = 1.
A. a = .
2
2
Câu 76. Tính môđun của số phức z thỏa mãn z ( 2 − i ) + 13i = 1.
D. a = 1.
34
5 34
C. z =
D. z = 34.
.
.
3
3
2
Câu 77. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z . Tìm số phức liên hợp của số phức
z.
A. z = 2 − 3i.
B. z = 2 + 3i.
C. z = 3 + 2i.
D. z = 3 − 2i.
Câu 78. Số nào trong các số dưới đây là số thuần ảo ?
2 + 3i
2
A. ( 2 + 2i ) .
B.
.
2 − 3i
C.
D.
2 + 3i . 2 − 3i .
2 + 3i + 2 − 3i .
A. z = 34.
(
B.
)(
z =
)
(
Câu 79. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 2 + i ) z +
A. w = 5.
) (
)
2 (1 + 2i )
= 7 + 8i . Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.
1+ i
C. w = 15.
D. w = 5.
w = 25.
Câu 80. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. z = −1.
B. z ∈ ℝ.
C. z = 1.
B.
D. z là một số thuần ảo.
Câu 81. Tìm số phức z , biết z = 2 và z là số thuần ảo.
A. z = ±i.
B. z = 2 + i.
C. z = ±2i.
Câu 82. Kí hiệu i là đơn vị ảo. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. i1997 = −1.
B. i 2005 = 1.
C. i 2345 = i.
Chương IV. SỐ PHỨC
14
D. z = 1 − i.
D. i 2006 = −i.
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 83. Tìm các số thực m, n thỏa mãn m. (1 − 2i ) + n. ( 2 − 4i ) = −12 + 4i.
A. m = −3, n = 2.
B. m = 3, n = 2.
C. m = 2, n = −3.
2
Câu 84. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, i = −1) . Mệnh đề nào dưới đây sai ?
D. m = −2, n = 3.
2
A. z + z = 2a.
B. z = a − bi.
2
C. z.z = z .
D. z − z = 2b.
Câu 85. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z + 3 (1 − i ) z = 1 − 9i . Tìm môđun của số phức z.
z = 5.
A.
B. z = 13.
C.
Câu 86. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức z =
(
z = 13.
)
D.
z = 3 2.
8
3 +i .
A. a = −128, b = 128 3.
B. a = −128, b = 128 3.
C. a = −128, b = −128 3.
D. a = 128, b = 128 3.
Câu 87. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (1 + i ) z + ( 3 − i ) z = 2 − 6i . Tìm môđun của số phức z.
z = 5.
A.
B. z = 13.
C.
z = 15.
D.
z = 17.
Câu 88. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 3 z + 3 = 0 . Tính T = z14 + z 24 .
16
B. T = .
C. T = −9.
D. T = −6 3.
A. T = −7.
9
Câu 89. Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng −3 , phần ảo bằng −2.
B. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2i.
C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2.
D. Phần thực bằng −3 , phần ảo bằng −2i.
Câu 90. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (1 − i )( 3 + 2i ) .
B. z = 1 − i.
C. z = 1 + i.
D. z = 5 − i.
A. z = 5 + i.
4
2
Câu 91. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z − z − 12 = 0 . Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 .
A. T = 2 3.
B. T = 2 + 2 3.
Câu 92. Tìm số phức z , biết z −
C. T = 4 + 2 3.
D. T = 4.
5+i 3
− 1 = 0.
z
A. z = 1 + i 3 , z = 2 + i 3.
C. z = 1 − i 3 , z = 2 − i 3.
B. z = −1 − i 3 , z = 2 + i 3.
D. z = −1 − i 3 , z = 2 − i 3.
Câu 93. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (1 + i ) − 3 (1 + 2i ) .
A. z = 10 + 9i.
B. z = 9 + 10i.
C. z = 10 − 9i.
D. z = 9 − 10i.
2
2
Câu 94. Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ℝ, i = −1) . Tìm phần ảo của số phức z .
2
2
A. 2ab.
B. 2abi.
C. ab.
D. abi.
Câu 95. Điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + ( 2 − i ) z = ( 5 + 3i ) z + 1 có tọa độ là điểm nào dưới đây ?
1 1
2 3
1 1
B. Q − ; .
C. P ; .
D. M ; − .
6 6
3 2
6 6
Câu 96. Cho hai số phức z và z . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
B. z + z là số thực.
A. z + z = 2.
C. z + z = 0.
D. z + z là số ảo.
Câu 97. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức
A. N ( −1;1) .
2
2
S = z1 + z2 .
A. S = 20.
B. S = 50.
C. S = 30.
Câu 98. Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
z2 −1
là số thuần ảo.
z
Chương IV. SỐ PHỨC
B.
15
D. S = 10.
z2 −1
= z. z .
z
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
z2 −1
z2 −1
là số thực.
D.
= 0.
z
z
4
4
Câu 99. Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 29 = 0 . Tính S = z1 + z2 .
C.
A. S = 1682.
B. S = 9.
C. S = 218.
D. S = 27.
3
1+ i 3
Câu 100. Cho số phức z = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) thỏa mãn z =
. Tính P = a.b
1+ i
A. P = 2i.
B. P = 8.
C. P = 5i.
D. P = 4.
Câu 101. Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i . Tìm số phức nghịch đảo số phức z.
2 1
1
1 2
A. z −1 = − i.
B. z −1 = 1 + i.
C. z−1 = 1 − 2i.
D. z −1 = − i.
5 5
2
5 5
2
Câu 102. Cho phương trình 3z − 4 z + 2 = 0 (1). Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình (1). Tính
2
2
giá trị của biểu thức T = z1 + z2 .
4
15
11
A. T = .
B. T = .
C. T = −12.
D. T = .
3
4
3
Câu 103. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + 2i và 1 − 2i là nghiệm ?
A. z 2 + 2 z − 3 = 0.
B. z 2 − 2 z + 3 = 0.
C. z 2 + 2 z + 3 = 0.
D. z 2 − 2 z − 3 = 0.
Câu 104. Kí hiệu M là điểm biểu diễn số phức z và M ′ là điểm biểu diễn của số phức z . Mệnh đề nào dưới
đây đúng ?
A. M , M ′ đối xứng nhau qua trục hoành.
B. M , M ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
C. M , M ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y = − x.
D. M , M ′ đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 105. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z ( i + 1) − (1 + i ) = 2.
A. Điểm M (1; 0 ) .
B. Đường tròn ( x − 1) + y 2 = 1.
2
C. Đường tròn x 2 + ( y − 1) = 1.
2
D. Đường thẳng y = 2 − x.
Câu 106. Cho số phức z = (1 + i ) với n ∈ ℕ và thỏa mãn log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3 . Tìm phần thực của số
phức z.
A. Phần thực là 0.
B. Phần thực là 7.
C. Phần thực là 8.
D. Phần thực là −8.
Câu 107. Cho số phức z = a + bi. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức w thỏa mãn w − z = 1.
n
A. Đường thẳng x = a.
B. Đường tròn ( x − a ) + ( y − b ) = 1.
C. Đường thẳng y = b.
D. Đường thẳng x + y − a − b − 1 = 0.
Câu 108. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 − 4 z + 6 = 0. Trên mặt phẳng tọa
2
độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz0 + z0 .
( 2; 2 ) .
M ( 2 + 2;2 + 2 ) .
(
2
)
A. N
B. P 2 − 2; 2 − 2 .
C.
D. Q ( 2; 2 ) .
Câu 109. Biết rằng nghịch đảo của số phức z là số phức liên hợp của nó. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. z = 1.
B. z là một số thuần ảo.
C. z ∈ ℝ.
D.
z = −1.
Câu 110. Cho số phức z thỏa mãn z = 5 và z + 3 = z + 3 − 10i . Tìm số phức w = z − 4 + 3i.
Chương IV. SỐ PHỨC
16
[email protected]. 0916620899
Tài liệu học tập
Toán 12
GV. Lư Sĩ Pháp
A. w = 1 + 3i.
B. w = −3 + 8i.
C. w = −1 + 7i.
D. w = −4 + 8i.
Câu 111. Kí hiệu i là đơn vị ảo. Tính S = i + i 2 + i 3 + ... + i 99 + i100 .
A. S = 1.
B. S = 100.
C. S = 0.
D. S = i.
2
Câu 112. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 2 2 và ( z − 1) là số thuần ảo ?
A. 3.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Câu 113. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn 2 ≤ z − 1 + 2i < 3.
A. Tập hợp những điểm nằm phía trong hình tròn bán kính bằng 3 và phía ngoài (kể cả biên) hình tròn bán
kính bằng 2 có cùng tâm.
2
2
B. Hình tròn có phương trình ( x − 1) + ( y + 2 ) ≥ 4.
C. Hình tròn có phương trình ( x − 1) + ( y + 2 ) < 9.
2
2
D. Tập hợp những điểm nằm phía ngoài hình tròn bán kính bằng 3 và phía trong (kể cả biên) hình tròn bán
kính bằng 2 có cùng tâm.
1 1
Câu 114. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − z + 6 = 0. Tính P = + .
z1 z2
1
1
1
A. P = .
B. P = .
C. P = 6.
D. P = − .
6
12
6
Câu 115. Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z − 1 + 5i = 0 . Tìm phần thực, phần ảo của w = 1 + z2 + z .
A. Phần thực là 9 và phần ảo là −10.
B. Phần thực là 2 và phần ảo là 3.
1
1
C. Phần thực là
và phần ảo là − .
D. Phần thực là −3 và phần ảo là 4.
9
10
Câu 116. Cho hai số phức z1 = 2 − i, z2 = 1 + i . Tìm môđun của số phức w = z1 .z2 + z2 .z1.
A.
w = 2.
B.
w = 10.
C. w = 2.
D.
w = 10.
Câu 117. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z 2 − 4 z + 9 = 0 . Gọi M, N là các điểm biểu diễn của z1
và z2 trên mặt phẳng phức. Tìm độ dài của MN .
A. MN = 5.
B. MN = 4.
C. MN = 2 5.
D. MN = −2 5.
4
Câu 118. Tìm số điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z − 1 = 0.
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
4
2
Câu 119. Gọi z1 , z2 , z3 và z4 là các nghiệm của phương trình z + 7 z + 10 = 0. Tính T = z1.z2 + z3 .z4 .
A. T = 7.
B. T = 10.
C. T = −3.
D. T = 10.
Câu 120. Cho z = 2 + 3i là một số phức . Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm
nghiệm.
A. z 2 + 4 z − 13 = 0.
B. z 2 + 4 z + 13 = 0.
C. z 2 − 4 z + 13 = 0.
D. z 2 − 4 z − 13 = 0.
Câu 121. Kí hiệu i là đơn vị ảo. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. i 2017 = i 27 .
B. i 2036 = 1.
C. i 2003 = −i.
D. i −2018 = −1.
Câu 122. Phương trình z 3 + az 2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i và z = 2 làm nghiệm. Tìm bộ ba hệ số ( a, b, c ) .
A.
( 4;6; −4 ) .
B.
( 6; −4;6 ) .
C. ( −4; 6; −4 ) .
D.
( 4; −6; 4 ) .
Câu 123. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn z ≤ 2.
A. Hình tròn tâm O bán kính bằng 2.
C. Đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
B. Đường tròn tâm O bán kính bằng 2.
D. Hình tròn tâm O bán kính bằng 2.
i 10
Câu 124. Phương trình ax 4 + bx 2 − 5 = 0 nhận x = 1 và x =
là nghiệm. Tính P = a.b.
2
A. P = 3.
B. P = 2.
C. P = 6.
D. P = 5.
Câu 125. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + i ) z + ( 3 − i ) z = 2 − 6i . Tính môđun của số phức w = 2 z − iz + 1.
Chương IV. SỐ PHỨC
17
[email protected]. 0916620899
.PDF 
45 
1 
80 
