Tài liệu Luyện thi đại học chuyên đề tích phân (đặng việt hùng)

  • Số trang: 68 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 612 |
  • Lượt tải: 0
tranphuong

Tham gia: 04/08/2015

Mô tả:

Trang 1 §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM TÍCH PHÂN Trang 2 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ:  d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau 1  d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) 2 1  d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 3  x2  1 1 1  xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2  2  2 2 2   ( ) ( ) ( )  x3  1 1 1  x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3  3  3 3 3   dx dx 1 d ( ax + b ) 1  = = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 1 1  sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  → sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ... a a 2 1 1 1  cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  → cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ... a a 2 1 1 1  eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  → e2 x dx = d e 2 x ... a a 2 dx dx 1 d ( ax + b ) 1 1  = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan 2 x ) ... 2 2 2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos 2 x 2 ( ) ( ) (  dx sin 2 ( ax + b ) = ( ) ) ( ) dx 1 d ( ax + b ) 1 1 = − d cot ( ax + b )   → 2 = − d ( cot 2 x ) ... 2 a sin ( ax + b ) a 2 sin 2 x II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho. Ví dụ:  Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x  Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm. Trang 3 ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất 1 ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x). ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0 Từ đó ta có Chứng minh: ( ) ′ Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)  → ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm. ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du.. d) Tính chất 4: Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM  Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C  Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 Thật vậy, do  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C n +1  n +1  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du = u n +1 +C n +1 1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = 2 x + C ← →∫ =2 u +C 2 x u 2 x dx 1 du 1 + Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← →∫ 2 = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x 2 dx = + C 3 x5 b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C 5 1 c) ∫ 3 1 2 − x − x2 x3 x2 x 3 x2 x2 − + C = 33 x − + C dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − = 1 x x 2 2 2 3 ( 2 x + 1) + C 1 4 u n du d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)  →I = 2 5 2011 1 − 3x ) ( 1 2010 2010 u n du →I = − +C e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )  3 2011 5 4 Trang 4 f) I = ∫ dx ( 2 x + 1) 1 d ( 2 x + 1) u 2 1 1 1 → I = − . +C =− +C 2 ∫ 2 ( 2 x + 1) 2 2x + 1 2 ( 2 x + 1) du 2 = g) I = ∫ 4 x + 5dx =  Công thức 3: ∫ 3 3 1 1 2 3 4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = . ( 4 x + 5 ) 2 + C = ( 4 x + 5 ) 2 + C ∫ 4 4 3 8 dx = ln x + C x Chứng minh: 1 dx Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được du ∫u = ln u + C 1  dx = ln 2 x + k + C ∫  d ax + b ( ) dx 1 1  2x + k 2 + ∫ = = ln ax + b + C  → a ax + b a ∫ ax + b  dx = − 1 ln k − 2 x + C 2  ∫ k − 2 x Ví dụ: 1 1 1 dx x 4  a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ + 2 x + ln x + C dx + ∫ = x 4 x x x  du dx 1 d ( 3x + 2 ) u 1 b) I = ∫ = ∫ → I = ln 3x + 2 + C 3x + 2 3 3x + 2 3 2 2x + x + 3 3  dx 3 d ( 2 x + 1) 3  c) ∫ dx = ∫  2 x + = x2 + ∫ = x 2 + ln 2 x + 1 + C  dx = ∫ 2 xdx + 3∫ 2x + 1 2x + 1  2x + 1 2 2x + 1 2   Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 1 1 sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  → ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C ∫ a a 2 Ví dụ: 3 1  dx 1 d ( 2 x − 1)  2 dx x xdx sinx dx x dx − cos x + ∫ a) ∫  x x + s inx + = + + = =  ∫ ∫ ∫ ∫ 2x −1  2x −1 2 2x −1  5 2x 2 1 = − cos x + ln 2 x − 1 + C 5 2 3  dx 1 3 d ( 4 x − 3) 1 3  b) ∫  sin 2 x + = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫ = − cos2 x + ln 4 x − 3 + C  dx = ∫ sin 2 xdx +3∫ 4x − 3  4x − 3 2 4 4x − 3 2 4  x   c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx 2   1 1  x 1 x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 3 2 2 2 T ừ đó : x x x  x 1 1   ∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x ) x 1 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 2 3 Trang 5  Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 1 1 cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C a∫ a 2 Ví dụ: 4x − 1  5    a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −  dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C x +1  x +1   x2 1 b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C 2 2 1 − cos 2 x 1 1 1 1 1 1  c) ∫ sin 2 xdx = ∫ dx = ∫  − cos 2 x  dx = x − ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C 2 2 4 2 4 2 2   Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( tan x + C )′ = dx 1 ⇒∫ = tan x + C 2 cos x cos 2 x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được + dx 1 d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C 2 1 dx 1 = tan 2 x + C 2 2x 2 ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 2 Ví dụ: dx 1  1  a) ∫  + cos x − sin 2 x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C 2 2 cos x 2  cos x   1 2  dx dx 1 d ( 2 x − 1) 2 d (5 − 4x) b) I = ∫  + + 2∫ = ∫ − ∫  dx = ∫ 2 2 2 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4 5 − 4x  cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x  du 1 1 tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C 2 2 du dx 1 d (3 − 2x ) 1 cos 2 u c) I = ∫ = −  → I = − tan ( 3 − 2 x ) + C cos 2 ( 3 − 2 x ) 2 ∫ cos 2 ( 3 − 2 x ) 2 cos u  →= 2  Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( − cot x + C )′ = dx 1 ⇒ ∫ 2 = − cot x + C 2 sin x sin x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được + dx 1 d ( ax + b ) 1 du ∫ sin u = − cot u + C 2 dx 1 = − cot 2 x + C 2 2x 2 ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 2 Ví dụ: 1 dx 1 x6   a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C sin x sin x 2 3   Trang 6 dx 1 d (1 − 3 x ) 1 1 sin 2 u =− ∫ 2  → I = − − cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C  sin (1 − 3x ) 3 sin (1 − 3 x ) 3 3 du b) I = ∫ 2  x d  du dx 2  x  sin 2 u c) I = ∫ = 2∫  → I = −2 cot   + C  x x 2 sin 2   sin 2   2 2  Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C 1 ax + b 1 e d ( ax + b ) = e ax + b a∫ a + ∫ e ax + b dx = 1 2 x+k  2 x+ k +C  ∫ e dx = 2 e + C  →  e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C  ∫ 2 Ví dụ: 1 4  dx 4 1 1 d ( 3x )  a) ∫  e −2 x +1 − 2 + dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x  sin 3x sin 3 x 2 3 sin 3 x x x  1 1 = − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C 2 3 b) ∫ ( 4e 3 x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx = 4 3x+2 1 e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) ∫ 3 3 4 1 = e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C 3 3  Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy, do  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a  ln a  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C + ∫ a kx + m dx = 1 kx + m 1 a d ( kx + m ) = a kx + m + C ∫ k k Ví dụ: 1 3x 1 2x 23 x 32 x a u du d x + d x  → I = + +C 2 3 3 2 ( ) ( ) 3∫ 2∫ 3ln 2 2ln 3 1 3 21− 2 x 3 4 x + 3 − e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = − + e +C 2 4 2ln 2 4 a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− 2 x BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = I3 = ∫( ∫(x 5 5 ) + 2 x dx )  1  2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx x  3) 1   5) I 5 = ∫  x + dx x  6) I 6 = ∫ x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx  1 2 x − 4 x 3 + 2  dx 4) I 4 =   5 x   x ∫ ∫ 2 x4 + 3 dx x2 Trang 7 7) I 7 = ∫ ( ) x −1 2 dx x 3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1 10) I10 = ∫ dx x2 3 1   13) I13 = ∫  x −  dx x  16) I16 = ∫ ( x − 24 x ) ( x − x ) dx 8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx 2 3 11) I11 = ∫ 9) I 9 = ∫ x2 − x x − x dx x ∫ ∫ ∫ ∫ dx cos 2 4 x 29) I 29 = ∫ tan 4 x dx 32) I 32 = ∫ dx 1 − cos 6 x 1   35) I 35 = ∫  sin 2 x −  dx − 2 5x   27) I 27 = ∫ dx cos ( 2 x − 1) 2 2 + 4) 2 dx x2 1   1 12) I12 = ∫  − 3  dx x  x 2 1   14) I14 = ∫  x + 3  dx x  1 17) I17 = dx (2 x − 3)5 x   x π 20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx 19) I19 = sin  +  dx 3 2 7    π x +1 2 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 2 4 2    26) I 26 = ∫ (x ( 2 x − 3 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) ) 2 x x +1 4 dx dx x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx 2   x 24) I 24 = ∫ sin 2 dx 2 28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx dx sin ( 2 x + 3) 30) I 30 = ∫ cot 2 x dx 31) I 31 = ∫ 1   33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3 1   34) I 34 = ∫  x 2 +  dx 3 x +2  2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + 3 x 2 + x + 11 dx x+3 2 2x2 − x + 5 dx x −1 38) I 38 = ∫ x dx 6 − 5x 39) I 39 = ∫ 41) I 41 = ∫ 3x 3 + 2 x 2 + x + 1 dx x+2 42) I 42 = ∫ 43) I 43 = ∫ 44) I 44 = e−2x +3dx 4 x3 + 4 x 2 − 1 dx 2x + 1 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx   2 47) I 47 = ∫  e− x + 2  dx sin (3 x + 1)    e− x  48) I 48 = ∫ e x  2 +  dx cos 2 x   49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx ∫ 50) I 50 = ∫ 1 dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x 40) I 40 = ∫ 4 x2 + 6x + 1 dx 2x + 1 2 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Trang 8 02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 1 1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 ) 2 2 2 6. dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin 2 x 1 1 1 2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 3 3 7. dx =d 2 x 3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) 8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) 4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) 9. 5. dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos 2 x ( x) = d( 10. dx = 1 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a ∫ ( ) ( ) ( ( dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx a) I1 = dx 2 1+ x Hướng dẫn giải: 2  x  1 1 2 2  xdx = d   = d x = d x ± a  2  2  2 a) Sử dụng các công thức vi phân   du  u = d ( ln u ) ∫ ) x ± a = −d a − x ( c) I 3 = ∫ x 2 dx x3 + 1 ) ) 2 2 du x 1 d x 1 d x +1 ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C. Ta có I1 = dx = = ←→ 1 2 1 + x2 2 2 1 + x2 1 + x2   x2  1 1 2 2  xdx = d   = d x = d x ± a 2   2  2 b) Sử dụng các công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I 2 = x 1 + x 2 ) 10 1 dx = 2 ∫ (1 + x ) d ( x 2 10 2 ) +1 ( (1 + x ) = 2 ) 11 22  2  x3  1 3 = x dx d   = d x ±a 3 3    c) Sử dụng các công thức vi phân   du 2 u = d u  ( ) + C. ) ( ) 3 3 1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1 Ta có I 3 = ∫ = ∫ = ∫ = + C. 3 2 x3 + 1 3 x3 + 1 3 x3 + 1 Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx b) I 5 = ∫ 2x −1 Hướng dẫn giải: x 2 dx c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx ) Trang 9   x2  1 1 2 2  xdx = d   = d x = − d a − x 2 2 2    a) Sử dụng các công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  ( ) ( ) (1 − x ) 2 3 1 1 1 1 Ta có I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = − 2 2 1 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) b) Sử dụng các công thức vi phân   du = d u  2 u + C. 3 ( ) du d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u ) dx 1 d ( 2 x − 1) = ∫ =∫ ← → I5 = 2 x − 1 + C. 2x −1 2 2x − 1 2 2x −1 1 1   dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) Sử dụng các công thức vi phân   n +1  u n du = d  u    n +1 Ta có I 5 = ∫ 3 1 (5 − 2x) 1 1 1 2 (5 − 2x )2 ⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − . +C = − + C. 2 2 2 3 3 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x3 ln 3 x dx b) I 8 = ∫ c) = dx a) I 7 = I 9 ∫ x dx 5 4 (3 − 2 x)5 x −5 3 ∫ Hướng dẫn giải:  3 x  1 1 4 4  x dx = d   = d x ± a = − d a − x 4 4 4    a) Sử dụng các công thức vi phân   u − n +1   du = d    un  −n + 1    x4  4 d 4   5 1 3 5 5 x4 − 5 x − 5 5 − 4 2x 1 1   4 4 5 ⇒ I7 = dx = 2 = x −5 d x −5 = . +C = 5 4 5 4 2 4 8 x −5 x −5 2 ( 4 ∫ ∫( ∫ ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) 4 + C. ( 3 − 2 x ) + C. dx 1 5 b) Ta có I 8 = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − 5 (3 − 2 x) 2 12 6 dx ln 3 x ln 4 x = d ( ln x ) ta được I 9 = ∫ dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = + C. x x 4 Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 dx cos x b) I11 = c) I12 = cos x sin x dx a) I10 = ∫ dx 2010 x ( 4 − 2x) c) Sử dụng công thức vi phân ∫ ∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có I10 = ∫ ( 4 − 2x ) 3 3 (4 − 2x) −2010 = − ∫ ( 4 − 2x ) d (4 − 2x) = − 2 2 −2009 −2009 3 dx 2010 cos u du = d ( sin u )  b) Sử dụng các công thức vi phân  dx =d x  2 x ( ) Ta có I11 = ∫ cos x cos x dx = 2 dx = 2 cos x d x 2 x ∫ ∫ ( x ) = 2sin x + C. +C = 3 4018 ( 4 − 2 x ) 2009 + C. Trang 10 cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng các công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) 3 Ta có I12 = ∫ 1 2 cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 ( cos x ) 2 =− 3 2 cos3 x + C. 3 Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x dx cos5 x Hướng dẫn giải: sin u du = −d ( cos u ) a) Sử dụng các công thức vi phân  cos x dx = d ( sin x ) a) I13 = ∫ 3 Ta có I 3 = b) I14 = ∫ sin x cos x dx ∫ 3 sin x cos x dx = 1 4 3   u 3 du = d  u 3    4   1 3 c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx 4 ∫ ( sinx ) d (sin x ) ←→ I13 = 3 ( sinx ) 3 4 +C = 3 3 sin 4 x +C 4 ( cos x ) + C = 1 + C. d (cos x) sin x dx = − ∫ =− 5 5 −4 cos x cos x 4 cos 4 x cos x dx = d ( sin x )  c) Sử dụng các công thức vi phân  n  u n +1   u du = d   n +1  −4 b) Ta có I14 = ∫  u5  u 4 du = d    5    Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← → I15 = 4 4 sin 5 x + C. 5 Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin 4 x cos 4 x dx Hướng dẫn giải: = − dx d x sin x (cos )   a) Sử dụng các công thức  du  ∫ u = ln u + C d ( cos x ) sin xdx Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ = −∫ = − ln cos x + C. cos x cos x 1 1 b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx = sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) = 4 4 ∫ ∫ ∫ c) I18 = ∫ sin x dx 1 + 3cos x sin 4 x d ( sin 4 x ) 3 1 2 ( sin 4 x ) 2 sin 3 4 x = . +C = + C. 4 3 6 d ( cos x ) sin x dx 1 d ( 3cos x + 1) 1 c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2cos x dx cos x dx b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx a) I19 = ∫ 2 4sin x − 3 ( 2 − 5sin x ) Hướng dẫn giải: cos xdx = d (sin x)  a) Sử dụng công thức vi phân  du  1  u2 = d  − u     2 d ( sin x ) 2cos x dx 2 d ( 2 − 5sin x ) 2 ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C. 2 2 2 5 ( 2 − 5sin x ) 5 ( 2 − 5sin x ) ( 2 − 5sin x ) ( 2 − 5sin x ) cos xdx = d (sin x)  b) Sử dụng công thức vi phân  du 2 u = d u  ( ) Trang 11 Ta được I 20 = ∫ d ( sin x ) cos x dx 1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1 =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − 3 + C. 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2  d ( cos x ) sin xdx =− = − ln cos x + C  tan xdx = cos x cos x c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản  2  u du = u + C  2 d ( cos x ) sin x Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) dx = − ∫ ln ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = cos x cos x ln 2 (cos x) ln 2 (cos x) =− + C  → I 21 = − + C. 2 2 Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: tan 3 x tan x tan 2 x + 1 b) = c) I 24 = a) I 22 = dx I dx dx 23 4 2 cos 2 2 x cos x cos x Hướng dẫn giải:  dx  cos 2 x = d ( tan x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 dx tan x tan 2 x tan 2 x Ta có I 22 = dx = x = x d x = + C  → I = + C. tan . tan tan ( ) 22 2 2 cos 2 x cos 2 x  dx  cos 2 x = d ( tan x ) b) Sử dụng các công thức   1 = 1 + tan 2 x  cos 2 x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫( ) dx tan 3 x 1 = tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x) dx = tan 3 x. 2 . 4 cos x cos x cos 2 x tan 6 x tan 4 x tan 6 x tan 4 x = + + C  → I 23 = + + C. 6 4 6 4 1 d (ax) 1  dx  cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) ) c) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 dx tan 2 x + 1 tan 2 x dx 1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x) Ta có I 24 = dx = + = + 2 2 2 2 cos 2 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2 cos 2 2 x 1 1 tan 2 2 x tan 2 x tan 2 2 x tan 2 x = d (tan 2 x) = + + C  → I 24 = + + C. tan 2 x d (tan 2 x) + 2 2 4 2 4 2 Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: tan x cot x cot x b) I 26 = ∫ c) I 27 = ∫ a) I 25 = ∫ 2 dx dx dx 3 π cos x sin x  cos  x +  2  Hướng dẫn giải:  dx  sin 2 x = − d ( cot x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C ∫  2 dx cot x cot 2 x cot 2 x dx = x = − x d x = − + C  → I = − + C. cot . cot cot Ta có I 25 = ( ) 25 2 2 sin 2 x sin 2 x Ta có I 23 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Trang 12 sin x dx = −d ( cos x )  b) Sử dụng các công thức  du u − n +1 +C ∫ n = −n + 1  u d ( cos x ) ( cos x ) + C = 1 + C  tan x sin xdx 1 Ta có I 26 = ∫ dx = ∫ = −∫ =− → I 26 = + C. 3 4 4 3 −3 cos x cos x cos x 3cos x 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )  π   c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x 2    du 1 ∫ 2 = − + C u  u d (sin x) cot x cos x cos x dx 1 1 Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  → I 27 = + C. 2 2 π sin x. ( − sin x ) sin x sin x sin x sin x  cos  x +  2  Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: −3 a) I 28 = ∫ x 3e x b) I 29 = ∫ dx e tan x + 2 dx cos 2 x c) I 30 = ∫ x.e1− x dx 2 e 2 ln x + 3 dx x Hướng dẫn giải: d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx e) I 32 = ∫ ( )  dx =d x  a) Sử dụng các công thức  2 x  eu du = eu + C ∫ Ta có I 28 = ∫ 3e x x ∫ dx = 3.2 e x dx = 6 e xd 2 x ∫ ( x ) = 6e x + C  → I 28 = 6e x + C.  dx  cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ tan x + 2 e dx dx Ta có I 29 = ∫ = ∫ e tan x + 2 = ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  → I 29 = e tan x + 2 + C. 2 2 cos x cos x 1 1  2 2  x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x ) c) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ 2 2 2 2 2 1 1 1 Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  → I 30 = − e1− x + C . 2 2 2 sin x dx = −d ( cos x ) d) Sử dụng các công thức  u u  ∫ e du = e + C Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  → I 31 = −ecos x + C .  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) Sử dụng các công thức  x  eu du = eu + C ∫ 2 ln x + 3 e dx 1 1 dx = ∫ e 2 ln x + 3 = ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C. Ta có I 32 = ∫ x x 2 2 e2 ln x + 3 1 2 ln x + 3 Vậy I 32 = ∫ dx = e + C. x 2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: x 1) I1 = dx 1 + x2 ∫ 4) I 4 = ∫ cos x sin xdx x dx x2 + 5 ln 3 x I10 = ∫ dx x sin x I13 = ∫ dx cos5 x e tan x I16 = ∫ dx cos 2 x dx I19 = ∫ (3 − 2 x)5 7) I 7 = ∫ 10) 13) 16) ∫ Trang 13 ∫ 2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 3) I 3 = sin x dx 3 x dx 4) I 8 = ∫ 2x −1 6) I 6 = 5) I 5 = ∫ cos cos x dx x ∫ 3 sin x cos xdx 3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ 2 17) I17 = ∫ e x 18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx dx x tan x dx cos 2 x x 2 dx 20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx 21) I 21 = ∫ 22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx 23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 19) ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx 2 29) I 29 = ∫ (e 2 +2 sinx x3 + 1 sin x dx 1 + 3cos x e2 ln x +1 30) I 30 = ∫ dx x 27) I 27 = ∫ dx ) + cos x cos x dx Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 14 03. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC  Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin t ) = a cos t dt a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t  → 2 2 2 2 2  a − x = a − a sin t = a cos t  Nếu hàm f(x) có chứa adt  dx = d (a tan t ) = cos 2 t a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t  →  a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a  cos t  Nếu hàm f(x) có chứa   a  − a cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t   a  x 2 − a 2 thì đặt x =  → sin t a a2  2 2 − = − a2 = x a 2  sin t cot t Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I1 = ; ( a = 2) 4 − x2 ∫ c) I 3 = ∫ x 2 dx 1− x 2 ; ( a = 1) b) I 2 = ∫ 1 − x 2 dx ; ( a = 1) d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3) ∫ Hướng dẫn giải:  dx = d (2sin t ) = 2cos t dt dx 2cos t dt a) Đặt x = 2sin t  →  → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t + C 2 2 2 2cos t 4− x  4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t x  x Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin    → I1 = arcsin   + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt b) Đặt x = sin t  → 2 2  1 − x = 1 − sin t = cos t Khi đó I 2 = ∫ ∫ 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt = ∫ 1 + cos 2t 1 1 t 1 dt = dt + cos 2t dt = + sin 2t + C 2 2 2 2 4 ∫ ∫ cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2 Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 arcsin t = x  arcsin x 1  → I2 = + x 1 − x2 + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt c) Đặt x = sin t  → 2 2  1 − x = 1 − sin t = cos t x 2 dx sin 2 t.cos t dt 1 − cos2t 1 1 Khi đó, I 3 = ∫ =∫ = ∫ sin 2 t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C cos t 2 2 4 1 − x2 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2 Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 t = arcsin x arcsin x 1  → I3 = − x 1 − x2 + C 2 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dt d) Đặt x = 3sin t  → 2 2  9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t 81 81 1 − cos4t Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt = sin 2 2t dt = dt 4 4 2 ∫ ∫ ∫ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ∫ ∫ Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 = Trang 15 81  1 1  81  t 1  dt − cos4t dt  =  − sin 4t  + C  4 2 2 4 2 8    ∫ ∫  x2 2 cos t = 1 − sin t = 1 − x2 2x  9 Từ x = 3sin t ⇒   → sin 2t = 1− 3 9 t = arcsin  x     3 2 2x2 2x x2  2x2   x Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 − 1 − .1 −  → sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2.  9 3 9  9  3    x arcsin   2 2    81  x x 2 x 3 − 1 − .1 − Từ đó ta được I 4 =    + C. 4 2 6 9  9    Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I1 = 2 ; ( a = 1) b) I 2 = x 2 + 2 x + 5 dx x +1 ∫ ∫ c) I 3 = ∫ x 2 dx x2 + 4 ; ( a = 2) Hướng dẫn giải: dt  = (1 + tan 2 t )dt (1 + tan 2 t )dt  dx = d (tan t ) = 2 →  → I1 = ∫ = ∫ dt = t + C cos t a) Đặt x = tan t  1 + tan 2 t 1 + x 2 = 1 + tan 2 t  Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x  → I1 = arctan x + C. b) Ta có I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = ∫ t = x +1 ( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)  →I = ∫ t 2 + 4 dt 2du   dt = d (2 tan u ) = cos 2 u 2du du cos u du →  → I2 = ∫ =∫ =∫ Đặt t = 2 tan u  2 cos u cos 2 u  4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2 .cos 2 u cos u  cos u d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u ) 1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ + = ln + C. 2 1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u ) 2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u t 1 t2 4 t2 2 2  → = 1 +  → sin u = 1 − c os u = 1 − = 2 cos 2 u 4 4 + t2 4 + t2 t x +1 1+ 1+ 2 2 1 1 + sin u 1 4 + t + C = 1 ln x + 2 x + 5 + C. Từ đó ta được I 2 = ln + C = ln t x +1 2 1 − sin u 2 1− 2 1− 2 2 4+t x + 2x + 5 2dt  2  dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt → c) Đặt x = 2 tan t   x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4  2 4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt sin 2 t sin 2 t.cos t dt sin 2 t. d (sin t )  → I3 = ∫ = 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫ dt = 4 = 4 ∫ cos4 t ∫ 1 − sin 2 t 2 cos3 t 2 1 + tan 2 t ( ) Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u = 2  1 (1 + u ) − (1 − u )   u  Đặt u = sin t  → I 3 = 4∫ du = 4 ∫  du = 4 ∫   du 2  2 2 1− u   2 (1 + u )(1 − u )  (1 − u ) u2 2 1  du du 2du d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du  1 = ∫ − +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫  du = ∫ 2 2 2 2 (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) 1− u 1+ u  1 1 1  1 1 du du 1 1  1 − − − ∫ + − −∫ −∫ =− − − ln 1 + u + ln u − 1 + C  du = − 1− u 1+ u 1− u 1+ u 1+ u 1− u 1− u 1+ u 1+ u 1− u  2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 − + ln + C  → I3 = − + ln +C = − + ln + C. u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1 x2 4 x2 2 2 2 Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t =  → = 1 + tan t = 1 + ⇔ c os t =  → sin t = 2 cos 2t 4 4 + x2 4 + x2 x −1 2 1 1 x 4 + x ⇔ sin t =  → I3 = − + ln + C. x x x 4 + x2 −1 +1 +1 4 + x2 4 + x2 4 + x2 = Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx dx a) I1 = b) I 2 = c) I 3 = 2 2 2 2 x −1 x x −4 x − 2x − 2 Hướng dẫn giải:   1  − cos t dt − cos t dt   dx = d  sin t  = sin 2t 1 dx − cos t dt     dx = sin 2 t  → ← →  → I1 = ∫ =∫ 2 a) Đặt x = 2 sin t sin t.cot t 1 x −1  x2 − 1 =  x 2 − 1 = cot t − 1  2  sin t ∫ = −∫ ∫ ∫ sin t dt d (cos t ) d (cos t ) 1 (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 1 + cos t =∫ =∫ = ∫ d (cos t ) = ln + C. 2 2 sin t 1 − cos t (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 1 − cos t Từ phép đặt x = 1 1  → cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = sin t x x2 − 1 1 x −1 x  → I1 = ln + C. 2 x 2 x −1 1− x 1+ 2   2  −2cos t dt −2 cos t dt  dx = dx = d  sin t  = sin 2 t  2     sin 2 t  → ← → b) Đặt x = sin t 4  2  x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t   x − 4 = sin 2 t − 4 sin 2 t dx −2cos t dt 1 1 Khi đó, I 2 = = = − sin t dt = cos t + C. 2 2 8cot t 4 4 x x −4 sin 2 t. 2 sin t ∫ ∫ ∫ 2 4  → cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = sin t x dx d ( x − 1) t = x −1 c) I 3 = =  → I3 = 2 2 x − 2x − 2 ( x − 1) − 3 Từ x = ∫ ∫ ∫ x2 − 4 x2 − 4  → I2 = + C. x 4x dt dt = 2 t2 − 3 t2 − 3 ∫ ( )   3  − 3 cos u du   dt = d  − 3 cos u du  = 2 dt = sin u sin u 3      → ← → sin 2 u Đặt t = sin u  2  2 3 −3  t − 3 = 3 cot u  t −3 = 2 sin u   → I3 = ∫ = 1 2∫ dt =∫ − 3 cos u du = −∫ sin u du d (cos u ) d (cos u ) =∫ =∫ 2 2 sin u 1 − cos u (1 − cos u )(1 + cos u ) sin u. 3 cot u t2 − 3 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 1 + cos u d (cos u ) = ln + C. (1 − cos u )(1 + cos u ) 2 1 − cos u 2 t2 − 3 x2 − 2x − 2 1+ t −3 3 3 1 1 t x −1 ⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =  → I 3 = ln + C = ln + C. Từ t = 2 sin u t t 2 2 t −3 x2 − 2 x − 2 1− 1− t x −1 Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau: 2 1+ Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 17 dx 1 x = arc tan   + C. 2 +a a a dx 1 x+a  ∫ 2 = ln + C. 2 x −a 2a x − a dx 1 x−a  ∫ 2 = ln + C. 2 a −x 2a x + a dx  ∫ = ln x + x 2 ± a + C. 2 x ±a  ∫x 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫ 4) I 4 = ∫ x 2 dx x2 + 4 1 3x − 2 x 2 2) I 2 = ∫ 5) I 5 = dx ∫ 1 − x2 dx x2 9) I 3 = ∫ 2 x 2 + 1 dx 6) I 6 = x 2 dx 4 − x2 dx ∫ 2 x2 − 5 DẠNG 2: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỶ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  → n.t n −1 = g '( x)dx Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx. Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: xdx a) I1 = b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx 4x + 1 Hướng dẫn giải: ∫ ∫ 2tdt = 4dx  2 a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1  → → I1 = t 2 − 1  x =  4  3   1  t3 1  (4 x + 1) =  −t+C =  − 4 x + 1  + C.  8 3 8 3    ∫ c) I 3 = ∫ x 2 dx 1− x t 2 − 1 tdt . xdx 4 2 = 1 (t 2 − 1)dt = t 8 4x + 1 ∫ ∫ b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  → x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  → x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt ( ) ( 5 ) 3 x2 + 2 2 x2 + 2 t5 t3 2 3 2 4 2 Khi đó I 2 = x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C = − +C 5 3 5 3 2 2 2 dx = −2tdt 1 − t .tdt x dx c) Đặt t = 1 − x ⇔ t 2 = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2  → 2 → I3 = = −2 2  2 t 1− x  x = 1 − t  (1 − x)5 2 (1 − x)3  2  t 5 2t 3  = −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C   3 5 3 5    ∫ ( ∫ ) ∫( ) ( ∫( ) Khi đó I 2 = ∫ ∫( ) ∫ ( ) ) ∫ ( ) x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt = ∫ (t 4 − 2t 2 ) t5 t3 dt = − 2. + C = 5 3 Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ln x dx ln 2 x dx a) I 4 = b) I 5 = x 1 + ln x x 3 2 − ln x ∫ ∫ ∫ (x 2 +2 ) 5 − 5 c) I 6 = ∫ 2 (x 2 3 +2 ) 3 + C. ln x 3 + 2ln x dx x Hướng dẫn giải: Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 18 ( ) ln x = t 2 − 1 t 2 − 1 .2tdt ln x dx  →  dx  → I4 = = a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x  t 1 + ln x x  = 2tdt x  (1 + ln x)3   t3  2 (1 + ln x)3 = 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2  − 1 + ln x  + C  → I4 = − 2 1 + ln x + C .   3 3 3    ∫ 2 ∫ ln x = 2 − t 3 dx ln 2 x (2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt  b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x  →  dx  → I = . = 5 2 3 t 2 − ln x x  = 3t dt  x  3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5   t 8 4t 5 7 4 2  = 3∫ ( t − 4t + 4t ) dt = 3  − + 2t  + C = 3 − + 2 3 (2 − ln x)2  + C   5 8 5 8     t2 − 3 x ln =  2 c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x  →  2dx = 2tdt  x ∫ 3 3 Từ đó ta có I 6 = ∫ ∫  t2 − 3  ln x 3 + 2ln x dx dx 1 = ln x 3 + 2ln x . =   .t.tdt = x x 2  2  ∫  t5 t3 1  t5 =  − t3  + C = − + C = 2 5 10 2  ∫ ( 3 + 2 ln x )5 10 − ( 3 + 2ln x )3 2 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx e 2 x dx a) I 7 = b) I8 = 3 ex −1 ex + 1 ∫ ∫ ( + C  → I6 = c) I 9 = ) ∫x ∫ (t 4 ) − 3t 2 dt ( 3 + 2ln x )5 10 dx ( 3 + 2ln x )3 − 2 d) I10 = x +4 2 ∫x + C. dx x4 + 1 Hướng dẫn giải: e x = t 2 − 1 e x = t 2 − 1  x 2 x → x ← → a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1  2tdt e dx = 2tdt dx = 2 t −1  dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt Khi đó I 7 = = = 2 = = dt = − 2 x (t − 1)(t + 1) (t − 1)(t + 1) t −1 t +1 t.(t − 1) t −1 e −1 ∫ ∫ ∫ = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln ∫ t −1 + C = ln t +1 ex −1 −1 ex − 1 + 1 ∫ = ∫ (t 2 ) − 1 .2tdt t3 =2 ∫ ex −1 − 1 + C  → I 7 = ln e x = t 2 − 1 b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1  → x  → I8 = e dx = 2tdt 2 x ∫ x ∫ ex −1 + 1 e 2 x dx (e x ) +1 3 = ∫ ∫ + C. e x .e x dx (e x ) +1 3 = ∫ (t 2 ) − 1 .2tdt t 3  x t2 −1 dt  1    1 dt = 2 dt − = 2 t + + C = 2 e + 1 +   + C .      t2 t2    t ex + 1   ∫ ∫  x2 = t 2 − 4 2 2  x = t − 4   → ← →  dx xdx c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4  tdt 2 xdx = 2tdt  = 2 = 2 x t −4 x dx 1 dx 1 tdt dt 1 (t + 2) − (t − 2) 1  dt dt  Khi đó, I 9 = = = . 2 = 2 = dt =  −  4 t −2 t t −4 t +2 t − 4 4 (t + 2)(t − 2) x x2 + 4 x2 + 4 x ∫ = ∫ ∫ 1 1 t−2 1 ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln + C = ln ( 4 4 t+2 4 ∫ x2 + 4 − 2 x2 + 4 + 2 ∫ + C  → I9 = Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ∫ 1 ln 4 x2 + 4 − 2 x2 + 4 + 2 ∫ + C. Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19  x4 = t 2 − 1 4 2  x t 1 = −   d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1  → 3 ← →  dx x3 dx tdt  = 4 = 4 x dx = 2tdt x x 2(t 2 − 1)  dx 1 dx 1 tdt 1 dt 1 (t + 1) − (t − 1) Khi đó, I10 = = . = . 2 = = dt 2 4 4 t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1) x x +1 x +1 x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1  dt dt  1 1 t −1 1 =  − + C = ln  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 4  t −1 t +1 4 4 t +1 4 ∫ x4 + 1 − 1 ∫ Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I11 = 1 + 2 − 5x ∫ c) I13 = ∫ b) I12 = x 3 dx 3 d) I14 = 4 + x2 x dx ∫1− ∫ + C. x4 + 1 + 1 2 + x2 1 + 4ln 2 x ln x dx x Hướng dẫn giải: 2tdt 5 dx 2 t dt 2 1+ t −1 2  1  2 Khi đó, I11 = =− =− dt = − 1 −  dt = − ( t − ln t + 1 ) + C 5 1+ t 5 1+ t 5  1+ t  5 1 + 2 − 5x 2  → I11 = − 2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C . 5 a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  → dx = − ∫ ∫ ∫ ( ∫ ) b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  → xdx = tdt x dx t dt 1 − (1 − t ) d (1 − t )  1  Khi đó, I12 = = = dt =  − 1 dt = − − dt = − ln 1 − t − t + C 2 1− t 1− t 1− t 1− t  1− 2 + x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  → I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C . x2 = t3 − 4 2 3  x = t − 4 3   c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2  → 2 ← → → x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt 3t 2 dt  2  xdx = 3t dt = 2 xdx 2  (  → I13 = ∫ 3 2 3 ( t − 4 ) t dt 3 4 = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt = t 2 4 + x2 2 x 3 dx 3 3 3  t5 2  − 2t  + C = 2 5  d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← → 2tdt = 4.2ln x.  → I14 = ∫ (4 + x ) 2 5 10 − 33 ( 4 + x2 ) 2 4 + C. dx ln x dx tdt  → = x x 4 ln x dx tdt 1 2 t3 1 + 4ln 2 x = t. = t dt = + C = x 4 4 12 ∫ 3 ) ∫ (1 + 4 ln x ) 2 3 12 + C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) I1 = ∫ dx 1 + 1 + 3x 4) I 4 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 2) I 2 = ∫ x3 dx 3 5) I 5 = ∫ 1 + x2 dx 7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx x x3 + 1 x +1 8) I 8 = ∫ dx x 10) I10 = ∫ x 2 3 − 2 x dx 11) I11 = ∫ 4 − 3x dx x +1 3) I 3 = 1 + 3ln x ln x dx x xdx 2x + 1 ∫ 6) I 6 = ∫ 9) I 9 = ∫ xdx 1 + x −1 e 2 x dx 12) I12 = ∫ 1 + ex −1 DẠNG 3: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 20 Phương pháp giải: dt = adx  → Nếu hàm f(x) có chứa (ax + b) thì đặt t = ax + b  t −b  x = a n Ví dụ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I1 = x ( 3 x + 1) dx ∫ ∫ 19 b) I 2 = x 2 (2 − x)99 dx c) I 3 = ∫ x2 + 2 dx ( x + 1) 2010 Hướng dẫn giải: dt = 3dx t − 1 19 19  .t .3dt = → → I1 = x ( 3x + 1) dx = a) Đặt t = 3x + 1  t − 1  3  x = 3 ∫  → I1 ∫ ∫( ) t 20 − t19 dt = t 21 t 20 − +C 21 20 21 20 3 x + 1) 3 x + 1) ( ( = − + C. 21 20 dt = −dx 99 2 b) Đặt t = 2 − x  →  → I 2 = x 2 ( 2 − x ) dx = − ( 2 − t ) .t 99 dt = − 4t 99 − 4t100 + t101 dt x = 2 − t ∫ ∫( ∫  t100 (2 − x) t101 t102  t100 4t101 t102 = −  4. − 4. + + − +C = +C = 101 102  25 101 102 25  100 100 V ậy I 2 = 4(2 − x) 101 + 101 − ) ( 2 − x )102 102 + C. ( 2 − x )100 + 4 ( 2 − x )101 − ( 2 − x )102 + C. 25 101 102 dt = dx ( t − 1)2 + 2 dt = t 2 − 2t + 3 dt =  1 − 2 + 3  dt c) Đặt t = x + 1  →  → I3 =  2008  t 2010 t 2010 t 2009 t 2010  t x = t −1 1 1 3 1 1 3 =− + − +C = − + − + C. 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2007t 1004t 2009t 2007 ( x + 1) 1004 ( x + 1) 2009 ( x + 1) ∫  → I3 = − 1 2007 ( x + 1) 2007 + 1 1004 ( x + 1) 2008 ∫ − ∫ 3 2009 ( x + 1) 2009 + C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ∫ 1) I1 = x(1 − x) 20 dx 4) I 4 = x + 2x + 2 2 ∫ ( 2 x − 1) 6 dx ∫ ∫ 2) I 2 = x(3 x + 1)9 dx ( ) 3) I 3 = (2 x + 1)( x + 3) 4 dx 5) I 5 = ∫ x 2 + 3 x − 5 ( 2 x − 3) dx 10 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 6) I 6 = ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx 2 21 Học online: www.moon.vn
- Xem thêm -