www.MATHVN.com
QUÁCH ĐĂNG THĂNG
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG
TRÌNH MŨ
b>0
a = b ⇔ x = log a b
x
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~1
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
I. Trọng tâm kiến thức:
Bài toán sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình
mũ là bài toán cơ bản của phương trình mũ. Dạng chính của phương pháp này là
sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi phương trình mũ về
dạng cơ bản hoặc dạng có cùng cơ số.
Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau
Dạng 1: Phương trình a f ( x ) = a g ( x )
+ Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0 < a ≠ 1 thì
a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .
+ Khi cơ số a là một hàm số của ẩn x thì
a f ( x) = a g( x)
a = 1
ho ặc
⇔ 0 < a ≠ 1
f ( x ) = g ( x )
a > 0
.
( a − 1) f ( x ) − g ( x ) = 0
Dạng 2: Phương trình a f ( x ) = b
0 < a ≠ 1, b > 0
Cách giải: a f ( x ) = b ⇔
f ( x ) = log a b
Đặc biệt:
+ Khi b = 0 ho ặc b < 0 thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
+ Khi b = 1ta viết b = a 0 . Suy ra phương trình
a f ( x) = b ⇔ a f ( x ) = a 0 ⇔ f ( x ) = 0 .
+ Khi b ≠ 1 mà b có thể biểu diễn thành b = a c . Suy ra phương trình
a f ( x) = b ⇔ a f ( x ) = a c ⇔ f ( x ) = c .
Tuy nhiên có nhiều trường hợp với phương trình a f ( x ) = b g ( x ) ta cần chọn
phần tử trung gian c để biến đổi phương trình về dạng
(c )
α
f ( x)
= (cβ )
g(x)
⇔ cα f ( x ) = c β g ( x ) ⇔ α f ( x ) = β g ( x )
Chú ý: Trước khi biến đổi phương trình chúng ta phải tìm điều kiện để f ( x ) và
g ( x ) có nghĩa.
II. Bài tập chọn lọc, điển hình:
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~2
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2 x +1
2
x −1
a) 4.9 = 3.2 .
b) 7.3x +1 − 5x + 2 = 3x + 4 − 5 x +3 .
c) 5 2 x −3 = 125 x .
(
d) [
5
27
)
x
x
−
4 3
x
]4
x
3
+
= 4 37 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có 4.9 x −1 = 3.2
( 2)
( 2)
2 x +1
2
⇔ 4.32 x −2 = 3.
2 x +1
⇔ 32 x −3 =
⇔ 32 x −3 =
4
( 2)
2 x −3
( 2)
⇔(
2 x +1
⇔
2 x−2
3
=
( )
2
3
2 x +1
4
3 2 x −3
3
) = 1 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = .
2
2
3
Vậy phương trình có nghiệm x = .
2
x +1
x+2
x+4
x +3
b) Ta có 7.3 − 5 = 3 − 5 ⇔ 7.3x +1 − 5.5x +1 = 27.3x +1 − 25.5x +1
3
⇔ 20.5 = 20.3 ⇔ 3 = 5 ⇔
5
Vậy phương trình có nghiệp x = −1 .
c) Ta có
x +1
x +1
5 2 x −3 = 125 x ⇔ 5 2 x −3
x +1
x +1
x +1
= 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 .
x ≥ 0
3 x ≥ 0
3
x = −3
= 53 x ⇔ 2 x − 3 = 3 x ⇔ 2 x − 3 = 3 x ⇔
⇔x=
5
2 x − 3 = −3 x
x = 3
5
3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = .
5
d)
Điều kiện: x ≥ 0 .
(
[
5
⇔
27
(
5
)
x
x
−
4
3
27
)
]
x
x
+
4
3
x2 x
−
16 3
= 4 37 ⇔
= 3 ⇔3
4
7
(
5
27
3 3 x 2 −16 x
.
5
48
)
x
x x
x
−
. + 3
4 34
(
5
27
)
2
2
= 4 37
7
3 3x 2 − 16 x 7
= 34 ⇔ .
= ⇔ 3x 2 − 16 x = 140
5
48
4
14
x=−
3
⇔ 3 x − 16 x − 140 = 0 ⇔
x = 10
2
= 4 37 ⇔
x x
−
4 3
( loai )
(t / m)
.
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
Vậy phương trình có nghiệm x=10.
~3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) 7 x −4 x +5 = 49 x .
2
b) 8 x − 2 x + 2 = 4 x + x +3 .
3
2
2
c) 2 x − x +8 = 41−3 x .
d) 3x +1 + 3x − 2 − 3x −3 + 3x −4 = 750 .
2
Hướng dẫn giải
a) Ta có
x = 2
.
7 x −4 x +5 = 49 x ⇔ 7 x −4 x +5 = 7 2 x ⇔ x 2 − 4 x + 5 = 2 x ⇔ x 2 − 6 x + 5 = 0 ⇔
x
=
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 3.
b) Ta có
2
2
8 x − 2 x + 2 = 4 x + x +3 ⇔ 2
3
2
2
(
3 x3 − 2 x 2 + 2
)
=2
(
2 x2 + x +3
)
⇔ 3( x 3 − 2 x 2 + 2 ) = 2 ( x 2 + x + 3)
x = 0
x = 0
4 − 22
3
2
2
⇔ 3x − 8 x − 2 x = 0 ⇔ x ( 3x − 8 x − 2 ) = 0 ⇔ 2
⇔ x=
3
3 x − 8 x − 2 = 0
x = 4 + 22
3
Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 0, x =
4 − 22
4 + 22
,x =
.
3
3
c) Ta có 2 x − x +8 = 41−3 x ⇔ 2 x − x +8 = 2 2(1−3 x ) ⇔ x 2 − x + 8 = 2 − 6 x
x = −3
⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔
.
x = −2
2
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = −3, x = −2 .
3x 3x 3x
d) Ta có 3 + 3 − 3 + 3 = 750 ⇔ 3.3 + −
+ = 750
9 27 81
1 1
1
250 x
⇔ 3+ −
+ .3x = 750 ⇔
.3 = 750 ⇔ 3x = 3.81 ⇔ 3x = 35 ⇔ x = 5 .
9 27 81
81
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
x +1
x −2
x −3
x −4
x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
(
5+2
)
x −1
=
(
5−2
)
x −1
x +1
.
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
b)
c)
(
(
10 + 3
)
x −3
x −1
6 + 35
(
d) 7 + 48
)
=
(
10 − 3
) =(
2 x+5
2 x +1
x 2 − 2 x +9
)
x +1
x +3
.
6 − 35
(
= 7 − 48
)
)
(
5+2
)(
2 x−7
.
.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện x ≠ −1.
Vì
2 x −1
2 x −5
)
5 − 2 = 5 − 4 = 1 nên
Phương trình được viết thành
(
)
(
~4
)
(
5 −2=
)
(
1
=
5+2
)
(
5+2
)
−1
.
x −1
x +1
x =1
x −1
1
= 0 ⇔ ( x − 1) 1 +
x −1+
= 0 ⇔ ( x − 1)( x + 2 ) = 0 ⇔
x +1
x +1
x = −2
mãn).
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 2, x = 1.
x −1 ≠ 0
x ≠ 1
.
b) Điều kiện
⇔
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
Vì
5+2
(
=
10 + 3
Khi đó:
(
x −1
)
5−2
)(
x −1
x +1
⇔
5+2
x −1
=
5+2
)
10 − 3 = 10 − 9 = 1 nên 10 − 3 =
(
)
(
)
(
−
x −1
x +1
⇔ x −1= −
1
=
10 + 3
)
(
10 + 3
)
−1
.
x−3
x +1
=−
x −1
x+3
2
2
2
⇔ ( x − 3)( x + 3) = − ( x + 1)( x − 1) ⇔ x − 9 = − x + 1 ⇔ 2 x = 10
10 + 3
x −3
x −1
=
10 − 3
x +1
x+3
⇔
10 + 3
x −3
x −1
=
10 + 3
−
x +1
x +3
⇔
x = 5
(thỏa mãn).
⇔ x2 = 5 ⇔
x = − 5
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = − 5, x = 5 .
1
x
≠
−
2 x + 1 ≠ 0
2
c) Điều kiện
⇔
.
2
x
−
5
≠
0
5
x ≠
2
Vì
6 + 35. 6 − 35 = 36 − 35 = 1 = 1
www.DeThiThuDaiHoc.com
(thỏa
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
6 − 35 =
nên
Khi đó
(
1
6 + 35
6 + 35
) =(
2 x +5
2 x +1
=
6 − 35
(
)
6 + 35
2 x −1
2 x −5
⇔
(
~5
).
−1
6 + 35
) =(
2 x +5
2 x +1
6 + 35
2x + 5
2x − 1
=−
2x + 1
2x − 5
⇔ ( 2 x + 5 )( 2 x − 5 ) = − ( 2 x − 1)( 2 x + 1) ⇔ 4 x 2 − 25 = −4 x 2 + 1
)
−
2 x −1
2 x −5
⇔
13
x=−
13
2
(thỏa mãn).
⇔ 8 x 2 = 26 ⇔ x 2 = ⇔
4
13
x =
2
13
x = −
2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
13
x =
2
d) Vì x 2 − 2 x + 9 = ( x − 1) + 8 > 0, ∀x ∈ » nên điều kiện của phương trình là
2
∀x ∈ » .
(
)(
)
Mà 7 + 48 7 − 48 = 49 − 48 = 1 . Suy ra
(7 −
)
48 =
Khi đó
(7 +
48
)
(
1
7 + 48
x2 −2 x+9
)
(
= 7 + 48
(
= 7 − 48
)
2 x −7
)
−1
(
.
⇔ 7 + 48
)
x2 −2 x +9
(
= 7 + 48
⇔ x 2 − 2 x + 9 = −2 x + 7
)
−2 x + 7
7
x
≤
7
2
−2 x + 7 ≥ 0
x ≤
⇔ 2
⇔ x = 2 ⇔ x = 2 (thỏa
2
2 ⇔
x
−
2
x
+
9
=
−
2
x
+
7
(
)
2
3 x − 26 x + 40 = 0
20
x =
3
mãn).
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
Chú ý: Ta có:
(
M + M 2 −1
)(
x
) (
~6
)(
)
M − M 2 −1 = M + M 2 −1 M − M 2 −1
x
x
= M 2 − ( M 2 − 1) = 1x = 1.
x
(
) (
x
Suy ra M − M 2 − 1 = M + M 2 − 1
)
−x
.
Bài 4: Giải phương trình: ( 2 + x − x 2 ) = ( 2 + x − x 2 )
sin
2 − 3 cos x
Hướng dẫn giải
Phương trình được biến đổi về dạng:
−1 < x < 2(*)
2 + x − x 2 > 0
2
⇔ x − x − 1 = 0(1)
2
2 + x − x − 1) sin x − 2 + 3 cos x = 0
(
sin x + 3 cos x = 2(2)
(
Giải (1) ta được x1,2 =
Giải (2):
)
1± 5
thoả mãn điều kiện (*)
2
1
3
π
π π
π
sin x +
cos x = 1 ⇔ sin x x + = 1 ⇔ x + = + 2kπ ⇔ x = + 2kπ , k ∈ Z
2
2
3
3 2
6
Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:
π
1
π
1
+ 2kπ < 2 ⇔
−1 − < k <
6
2π
6
2π
π
được x3 =
6
−1 <
π
2 − ⇔ k = 0, k ∈ Z khi đó ta nhận
6
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1,2 =
Bài 5: Giải phương trình: ( x − 3)
3 x 2 −5 x + 2
1± 5
π
;x 3= .
2
6
= ( x2 − 6 x + 9)
x2 + x −4
Hướng dẫn giải
Phương trình được biến đổi về dạng:
( x − 3)
3 x2 −5 x + 2
2
= ( x − 3)
x2 + x−4
= ( x − 3)
2( x2 + x − 4)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
x − 3 =1
x = 4
x = 4
⇔ 0 < x − 3 ≠ 1
⇔ 3 < x ≠ 4
⇔
2
2
x = 5
2
3 x − 5 x + 2 = 2 x + 2 x − 8 x − 7 x + 10 = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5.
Bài 6: Cho phương trình
~7
1
(1) .
4m+1
2
a) Giải phương trình với m = 0.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
1
x2 − 4 x +5
=
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thuộc khoảng (1, 4 ) .
Biến đổi phương trình về dạng:
1
1
= m+1 ⇔
x −4 x +5
4
2
2
2
⇔ x − 4 x + 5 = 2m + 2
1
x2 − 4 x +5
2
⇔ x 2 − 4 x + 3 − 2m = 0
Hướng dẫn giải
1
=
2
2 m+ 2
( 2)
x =1
.
a) Với m = 0, ta được phương trình x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔
x = 3
Vậy với m = 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 1, x = 3 .
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm trái
dấu.
3 − 2m
3
< 0 ⇔ 3 − 2m < 0 ⇔ m > .
1
2
3
Vậy, với m > thì phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
2
c) Phương trình (1) biến đổi về d ạng x 2 − 4 x + 3 = 2m ( 3 ) .
⇔ P<0⇔
Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc khoảng (1,4 ) ⇔ Phương trình (3) có 2
nghiệm thuộc khoảng (1,4 ) .
Xét hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 trên khoảng (1, 4 ) ta có bảng biến thiên
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
x
2
1
4
−∞
+∞
+∞
~8
+∞
y
3
t
0
-1
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (3) có 2 nghiệm thuộc kho ảng
1
(1,4 ) ⇔ −1 < 2m < 0 ⇔ − < m < 0 .
2
1
Vậy, với − < m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc khoảng (1, 4 ) .
2
Lưu ý: Ở câu c) chúng ta có thể sử dụng định lý đảo về tam thức bậc hai để làm
tuy nhiên phận kiến thức này đã được giảm tải không đưa vào nữa nên việc dùng
phương pháp hàm số là hữu hiệu và nhanh nhất.
Bài 7: Cho phương trình 27 mx − 2 x +3 x −2 =
3
1
2
9
− mx 2 − x + 2
(1) .
a) Giải phương trình với m = -3.
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt dương.
Biến đổi phương trình về dạng:
( 33 )
mx3 − 2 x 2 + 3 x − 2
= ( 3−2 )
Hướng dẫn giải
− mx 2 − x + 2
⇔ 3( mx 3 − 2 x 2 + 3x − 2 ) = −2 ( − mx 2 − x + 2 )
⇔ 3mx 3 − ( m + 3) x 2 + 7 x − 2 = 0
⇔ ( 3x − 2 ) ( mx 2 − 2 x + 1) = 0
3 x − 2 = 0
⇔ 2
mx − 2 x + 1 = 0 ( 2 )
a) Với m = -3, ta được phương trình
2
x
=
3
3 x − 2 = 0
⇔ x = −1
2
−
3
x
−
2
x
+
1
=
0
1
x =
3
1
2
Vậy, với m = -3 phương trình có 3 nghiệm x = −1, x = , x = .
3
3
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~9
b) Đặt f ( x ) = mx 2 − 2 x + 1 .
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt dương
⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương khác
2
.
3
m ≠ 0
m≠0
m≠0
1
−
m
>
0
'
∆ ( 2) > 0
0 < m < 1
m < 1
2
⇔ S( 2) > 0 ⇔ > 0
⇔ m > 0 ⇔
3 .
m
m
≠
P > 0
m > 0
4
( 2)
1
3
2
m > 0
f ≠0
m ≠ 4
4m − 4 + 1 ≠ 0
3
9 3
3
Vậy, với m ∈ ( 0,1) \ thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt dương.
4
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp Lôgarit hóa và đưa về cùng cơ số
I. Trọng tâm kiến thức:
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng 1
cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng:
Dạng 1: Phương trình:
0 < a ≠ 1, b > 0
a f ( x) = b ⇔
f ( x ) = log a b
Đặc biệt: f ( x )
g( x)
f ( x) > 0
= 1 ⇔ g ( x ) xaùc ñònh
f ( x) = 1
f ( x ) ≠ 1
g ( x ) = 0
Dạng 2: Phương trình (cơ số khác nhau và số mũ khác nhau):
a f ( x ) = b g ( x ) ⇔ log a a f ( x ) = log a b f ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x).log a b
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
hoặc log b a f ( x ) = log b b g ( x ) ⇔ f ( x ).log b a = g ( x ).
Đặc biệt: Nếu cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau thì
a
a
a = b ⇔ = 1 = ⇔ f ( x ) = 0 (vì b f ( x ) > 0 )
b
b
II. Bài tập chọn lọc, điển hình:
Bài 1: Giải các phương trình:
3
a) 2 x −2 x = .
2
f ( x)
f ( x)
0
f ( x)
2
b) 5x.8
x −1
x
= 500.
2
c) 2 x −4.5x − 2 = 1.
2
d) 3 x − 2.4
2 x −3
x
= 18 .
Hướng dẫn giải
a) Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được:
3
log 2 2 x − 2 x = log 2 ⇔ x 2 − 2 x = log 2 3 − 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 − log 2 3 = 0
2
,
Ta có ∆ = 1 − 1 + log 2 3 = log 2 3 > 0 .
2
Suy ra phương trình có nghiệm x = 1 ± log 2 3.
b) Điều kiện x ≠ 0 .
Viết lại phương trình dưới dạng:
5x.8
x −1
x
= 500 ⇔ 5x.2
3
x −1
x
= 53.22 ⇔ 5x −3.2
x −3
x
=1
Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được:
x −3
x −3
log 2 5x −3.2 x = 0 ⇔ log 2 ( 5x −3 ) + log 2 2 x = 0
x−3
⇔ ( x − 3) .log 2 5 +
log 2 2 = 0
x
x = 3
1
⇔ ( x − 3 ) log 2 5 + = 0 ⇔
1 .
x = −
x
log 2 5
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 3; x = −
c) Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được
1
.
log 2 5
www.DeThiThuDaiHoc.com
~10
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
(
)
~11
log 2 2 x −4.5x −2 = log 2 1 ⇔ log 2 2 x − 4 + log 2 5x − 2 = 0
2
2
⇔ ( x 2 − 4 ) log 2 2 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0
⇔ ( x − 2 )( x + 2 ) + ( x − 2 ) log 2 5 = 0
⇔ ( x − 2 )( x + 2 + log 2 5) = 0
x − 2 = 0
⇔
x + 2 + log 2 5 = 0
x = 2
⇔
x = −2 − log 2 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = −2 − log 2 5 .
d) Điều kiện: x ≠ 0 .
Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế phương trình ta được
2 x −3
x −2 2 xx−3
x −2
log 3 3 .4 = log 3 18 ⇔ log 3 3 + log 3 4 x = log 3 ( 32.2 )
2x − 3
⇔ ( x 2 − 2 ) log 3 3 +
log 3 4 = 2 + log 3 2
x
4x − 6
⇔ ( x2 − 2) +
log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0
x
3x − 6
3
⇔ ( x2 − 4) +
log3 2 = 0 ⇔ ( x − 2 ) x + 2 + log 3 2 = 0
x
x
2
2
x − 2 = 0
⇔ ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 3log 3 2 ) = 0 ⇔ 2
⇔ x = 2.
x
+
x
+
=
VN
2
3log
2
0
(
)
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
Chú ý: Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) ( x 2 − x + 1)
b)
(
x − x2
)
x2 −1
x−2
c) ( x 2 − 2 x + 2 )
=1
=1
4 − x2
= 1.
Hướng dẫn giải
1 3
a) Vì x 2 − x + 1 = x − + > 0, ∀x ∈ » nên điều kiện của phương trình là
2 4
∀x ∈ » .
2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
Ta viết phương trình về dạng
~12
x = 0
2
x = 1
x − x +1 =1
x =1
x ≠ 0
x −1
2
2
( x − x + 1) = 1 ⇔ x − x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 1 ⇔ x = 0 .
x 2 − 1 = 0
x = −1
x
=
1
x = −1
Vậy phương trình có 3 nghiệm x = −1, x = 0, x = 1 .
2
b) Điều kiện x − x 2 > 0 ⇔ 0 < x < 1 .
Ta viết phương trình về dạng
x − x2 = 1
x 2 − x + 1 = 0 (VN )
x − x2 = 1
x−2
x − x2
= 1 ⇔ x − x 2 ≠ 1 ⇔ x − x 2 ≠ 1 ⇔ x 2 − x + 1 ≠ 0
⇔ x=2
x = 2
x = 2
x − 2 = 0
(loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.
(
)
x2 − 2 x + 2 > 0
c) Điều kiện
⇔ −2 ≤ x ≤ 2 .
2
4
−
x
≥
0
(x
2
− 2 x + 2)
4 − x2
x =1
x2 − 2x + 2 = 1
x =1
x = 2
2
x ≠ 1
= 1 ⇔ x − 2 x + 2 ≠ 1 ⇔ x ≠ 1
⇔
⇔ x =1
x = 2
2
2
x = −2
4 − x = 0
4 − x = 0
x
=
−
2
(thỏa mãn).
Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 2, x = 1, x = −2 .
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) xlog x = 1000 x 2 .
b) xlog x + 4 = 32 .
2
c) 7 log
2
25
(5 x )−1
= x log 7 .
5
x
d) 3x.8 x +1 = 36 .
Hướng dẫn giải
x > 0
a) Điều kiện
.
x
≠
1
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế phương trình ta được
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~13
log ( x log x ) = log (1000 x 2 ) ⇔ log x.log x = log1000 + log x 2
1
−1
log x = −1 x = 10 =
⇔ ( log x ) − 2log x − 3 = 0 ⇔
⇔
10 (thỏa mãn).
3
log x = 3
x = 10 = 1000
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = , x = 1000 .
10
x > 0
b) Điều kiện
.
x ≠ 1
2
Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được
log 2 ( x log
2
x+ 4
) = log
32 ⇔ ( log 2 x + 4 ) .log 2 x = 5 ⇔ ( log 2 x ) + 4log 2 x − 5 = 0
2
2
x = 2
log 2 x = 1
⇔
⇔
1 (thỏa mãn).
−5
log
5
x
=
−
x
2
=
=
2
32
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = , x = 2 .
32
x > 0
c) Điều kiện
x ≠ 1
Lấy logarit cơ số 7 hai vế phương trình ta được
(
log 7 7log
2
25
(5 x ) −1
) = log ( x )
log5 7
7
⇔ log 225 ( 5 x ) − 1 = log 5 7.log 7 x
1
⇔ log 5 5 x − 1 = log5 x
2
2
1 1
⇔ + log 5 x − log 5 x − 1 = 0
2 2
1
2
1
3
⇔ ( log 5 x ) − log 5 x − = 0
4
2
4
2
1
log 5 x = −1 x = 5−1 =
⇔ ( log 5 x ) − 2log 5 x − 3 = 0 ⇔
⇔
5 (thỏa mãn)
3
log 5 x = 3
x = 5 = 125
1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = , x = 125 .
5
2
x
d) 3 x.8 x +1 = 36 .
Điều kiện x ≠ −1.
(1)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~14
Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta được
x xx+1
log 2 3 .8 = log 2 36
⇔ log 2 3x + log 2 8 x +1 = log 2 ( 22.32 )
x
⇔ x log 2 3 +
x
log 2 23 = log 2 22 + log 2 32
x +1
3x
⇔ x log 2 3 +
= 2 + 2log 2 3
x +1
⇔ x ( x + 1) log 2 3 + 3x = 2 ( x + 1) + 2 ( x + 1) log 2 3
⇔ x 2 .log 2 3 + (1 − log 2 3) .x − 2 − 2log 2 3 = 0
(2)
Phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn x có ∆ = ( 3log 2 3 + 1) > 0 .
2
x = 2
Suy ra phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt
(thỏa mãn)
x = −1 − log 3 2
x = 2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm
.
x = −1 − log 3 2
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x + 3x + 2 + 3x +3 .
b) 5x + 5x +1 + 5x + 2 = 3x + 3x +3 + 3x +1 .
d) 4
log 0 ,5
x−
1
2
x+
1
2
− 2 2 x −1 .
(sin x +5sin x cos x + 2) 1
= .
9
c) 4 x − 3
=3
2
Hướng dẫn giải
a) Phương trình được viết lại
2 x + 2.2 x + 4.2 x = 3x + 9.3x + 27.3x ⇔ 2 x (1 + 2 + 4 ) = 3x (1 + 9 + 27 )
2 x 37
37
2 37
⇔ 7.2 = 37.3 ⇔ x =
⇔ =
⇔ x = log 2 .
3
7
7
3
3 7
37
Vậy phương trình có nghiệm x = log 2
.
7
3
x
x
x
b) Phương trình được viết dưới dạng
5x + 5.5x + 25.5x = 3x + 27.3x + 3.3x ⇔ 5x (1 + 5 + 25) = 3x (1 + 27 + 3)
5 x 31 5
5 5
⇔ 31.5 = 31.3 ⇔ x = ⇔ = 1 ⇔ = ⇔ x = 0 .
3 31 3
3 3
x
x
x
0
x
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~15
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .
c) Phương trình được viết lại
1
1
1
x+
x + −1
x+ 4
22 x
3
1 x+ 1 1
= 3 2 + 3 2 ⇔ 4 x 1 + = 3 2 1 + ⇔ 4 x. = 3 2.
2
2
3
2
3
4x +
x+
1
1
3
3
x+ −2
x−
x−
4x 3 2
4x
3
3
⇔ 4 x.32 = 3 .23 ⇔ 3 = 2 ⇔ 3 = 3 2 ⇔ 4 2 = 3 2 ⇔ x − = 0 ⇔ x = .
2
3
2
2
42
3
Vậy phương trình có nghiệm x = .
2
2
d) Điều kiện sin x + 5sin x cos x + 2 > 0
( *)
x+
1
2
Phương trình:
4
(
log 0 ,5 sin 2 x + 5sin x cos x + 2
)
=
1
9
⇔ log 1 ( sin 2 x + 5sin x cos x + 2 ) = log 4
1
9
⇔ log 2 ( sin 2 x + 5sin x cos x + 2 ) = log 2 3−2
2
⇔ − log 2 ( sin x + 5sin x cos x + 2 ) = − log 2 3
−1
2
2
⇔ log 2 ( sin 2 x + 5sin x cos x + 2 ) = log 2 3
⇔ sin 2 x + 5sin x cos x + 2 = 3
⇔ 1 − sin 2 x − 5sin x cos x = 0
⇔ cos2 x − 5sin x cos x = 0
⇔ cos x ( cos x − 5sin x ) = 0
cos x = 0
⇔
cos x − 5sin x = 0
π
x = + kπ ( k ∈ » )
⇔
2
(1)
cos x = 5sin x
( thoûa maõn (*) )
Giải phương trình (1): cos x = 5sin x
Nhận xét: cosx = 0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình
cho cos x ≠ 0 ta được phương trình
1
1
5 tan x = 1 ⇔ tan x = ⇔ x = arc tan + kπ , ( k ∈ » ) (thỏa mãn (*)).
5
5
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
Vậ y
phương
trình
đã
cho
có
hai
họ
~16
nghiệm
x=
1
x = arc tan + kπ , ( k ∈ » )
5
π
+ kπ và
2
Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Loại 1: Đặt ẩn phụ dạng 1
I. Trong tâm kiến thức:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương
trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
Dạng 1: Phương trình α a 2 x + β a x + γ = 0
Khi đó ta đặt t = a x ⇒ t > 0 , ta được phương trình bậc 2 ẩn t: α t 2 + β t + γ = 0 .
Mở rộng: Phương trình α k + α k −1a ( k −1) x .....α1a x + α 0 = 0
Khi đó đặt t = a x điều kiện t > 0, ta được: α k t k + α k −1t k −1......α1t + α 0 = 0
Chú ý: Nếu đặt t = a f ( x ) , điều kiện hẹp t > 0.
Khi đó: a 2 f ( x ) = t 2 , a 3 f ( x ) = t 3 ,....., a kf ( x ) = t k và a − f ( x ) =
1
t
Dạng 2: Phương trình α1a x + α 2b x + α 3 = 0 với a.b=1
Khi đó đặt t = a x , điều kiện t<0 suy ra b x =
α1t +
1
ta được:
t
α2
+ α 3 = 0 ⇔ α1t 2 + α 3t + α 2 = 0
t
Mở rộng: Với a.b=1 thì khi đặt t = a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0, suy ra b f ( x ) =
1
t
Dạng 3: Phương trình α1a 2 x + α 2 ( ab ) + α 3b 2 x = 0 khi đó chia 2 vế của phương
x
a
a
trình cho b >0 ( ho ặc a , ( a.b ) ), ta được: α1 + α 2 + α 3 = 0
b
b
2x
2x
2x
x
x
a
Đặt t = , điều kiện t<0, ta được: α1t 2 + α 2t + α 3 = 0
b
x
Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a 2 f , b 2 f , ( a.b ) , ta thực
f
hiện theo các bước sau:
-
Chia 2 vế phương trình cho b 2 f > 0 (ho ặc a 2 f , ( a.b ) )
f
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~17
a
Đặt t = điều kiện hẹp t>0
b
Dạng 4: Lượng giác hoá.
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t = a f ( x ) vì:
Nếu đặt t = a x thì t>0 là điều kiện đúng.
f
Nếu đặt t = 2 x +1 thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t
phải là t ≥ 2 . Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa
tham số.
II. Bài tập điển hình, chọn lọc:
2
Bài 1: Giải phương trình: 4cot x + 2 sin x − 3 = 0 (1)
1
2
2
Hướng dẫn giải
(*)
Điều kiện sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ »
Vì
1
= 1 + cot 2 x nên phương trình (1) được biết dưới dạng:
2
sin x
4cot x + 2.2
2
cot 2 x
−3=0
(2)
Đặt t = 2cot g x điều kiện t ≥ 1 vì cot 2 x ≥ 0 ⇔ 2cot x ≥ 20 = 1
Khi đó phương trình (2) có dạng:
2
2
t = 1
t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔
⇔ 2cot x = 1 ⇔ cot 2 x = 0
t = −3 ( L )
π
thoả mãn (*)
⇔ cot x = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z
2
2
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x =
(
Bài 2: Giải phương trình: 7 + 4 3
)
x
π
+ kπ , k ∈ Z .
2
(
)
x
−3 2− 3 + 2=0
Hướng dẫn giải
(
) (
)(
)
3 ) điều kiện t>0, thì: ( 2 − 3 )
Nhận xét rằng: 7 + 4 3 = 2 + 3 ; 2 + 3 2 − 3 = 1
2
(
Do đó nếu đặt t = 2 +
x
Khi đó phương trình trở thành:
x
(
1
= và 7 + 4 3
t
)
x
= t2
t = 1
3
t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 3) = 0 ⇔ 2
t
t + t + 3 = 0(vn)
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ
www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
(
⇔ 2+ 3
)
x
~18
=1⇔ x = 0
Vậy phương trình có nghiệm x=0.
Nhận xét: Như vậy trong ví d ụ trên bằng việc đánh giá:
(
7+4 3 = 2+ 3
)
2
( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
Ta đã lựa chọn được ẩn phụ t = ( 2 + 3 )
x
cho phương trình
Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng
của a.b=1, đó là:
a b
a.b = c ⇔ . = 1 tức là với các phương trình có d ạng: A.a x + B.b x + C = 0
c c
Khi đó ta thực hiện phép chia cả 2 vế của phương trình cho c x ≠ 0 , để nhận
được:
a
b
a
A. + B + C = 0 từ đó thiết lập ẩn phụ t = , t > 0 và suy ra
c
c
c
x
x
x
b 1
=
c t
x
Bài 3: Giải phương trình: 2 2 x +1 − 9.2 x + x + 2 2 x + 2 = 0
2
2
Hướng dẫn giải
Chia cả 2 vế phương trình cho 22 x + 2 ≠ 0 ta được:
1
9
2 2 x − 2 x −1 − 9.2 x −2 x − 2 + 1 = 0 ⇔ .2 2 x −2 x − .2 x − x + 1 = 0
2
4
2
2
2
2
⇔ 2.22 x − 2 x − 9.2 x − x + 4 = 0
2
2
Đặt t = 2 x − x điều kiện t>0. Khi đó phương trình trở thành:
2
t = 4
2 x − x = 22
x2 − x = 2
x = −1
2t − 9t + 4 = 0 ⇔
⇔
⇔
1 ⇔ x −x
2
−1
t =
2 = 2
x − x = −1 x = 2
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1, x=2.
Chú ý: Trong ví dụ trên, vì bài toán không có tham số nên ta sử dụng điều kiện
1
cho ẩn phụ chỉ là t>0 và chúng ta đã thấy với t = vô nghiệm. Do vậy nếu bài
2
toán có chứa tham số chúng ta cần xác định điều kiện đúng cho ẩn phụ như sau:
2
2
2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Chuyên đề - Phương trình Mũ www.MATHVN.com
Quách Đăng Thăng - Trường THPT Phù Cừ
~19
1
1 1
1
1
x − x = x − − ≥ − ⇔ 2x −x ≥ 2 4 ⇔ t ≥ 4
2 4
4
2
2
2
2
Bài 4: Giải phương trình: 23 x − 6.2 x −
Viết lại phương trình có dạng:
1
12
=1
2
2x
Hướng dẫn giải
3( x −1)
+
3 x 23 x 2
2 − 23 x − 6 2 − 2 x = 1 (1)
2
23 x 2
2
3x
Đặt t = 2 − x ⇒ 2 − 3 x = 2 − x + 3.2 x 2 x − x = t 3 + 6t
2
2
2
2
3
x
Khi đó phương trình (1) có dạng: t 3 + 6t − 6t = 1 ⇔ t = 1 ⇔ 2 x −
Đặt u = 2 x , u > 0 khi đó phương trình (2) có dạng:
u−
u = −1
u
=1 ⇔ u2 − u − 2 = 0 ⇔
2
u = 2
( L)
2
=1
2x
⇔ u = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x=1.
Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng
giác hoá.
(
)
Bài 5: Giải phương trình: 1 + 1 − 2 2 x = 1 + 2 1 − 2 2 x .2 x
Hướng dẫn giải
Điều kiện 1 − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ 1 ⇔ x ≤ 0
2x
2x
π
Như vậy 0 < 2 x ≤ 1 , đặt 2 x = sin t , t ∈ 0;
2
Khi đó phương trình có dạng:
(
)
1 + 1 − sin 2 t = sin t 1 + 2 1 − sin 2 t ⇔ 1 + cos t = (1 + 2cos t ) sin t
t
t
3t
t
⇔ 2 cos = sin t + sin 2t ⇔ 2 cos = 2sin cos
2
2
2
2
t
3t
⇔ 2 cos 1 − 2 sin = 0
2
2
t
π
( L)
x 1
cos 2 = 0
t = 6
2 =
x = −1
⇔
⇔
⇔
2⇔
x
2
3t
x = 0
t = π
2 =1
sin
=
2
2
2
www.DeThiThuDaiHoc.com
- Xem thêm -
.PDF 
75 
830 
64 
