Tài liệu Kiến thức thcs phần 1 liên quan đến chứng minh oxy

Kiến thức THCS phần 1 Nhận biết: các góc so le, cộng góc,đồng vị,tam giác đồng dạng(suy ra tỷ số hoặc rút các cạnh ra khi tính độ dài cạnh trong oxy, 2 góc kề bù tổng bằng 180 độ..,chứng minh điểm cố định,, chứng minh bằng véc tơ…) Kiến thức cần nhớ: Nếu chỉ ra được 2 tam giác bằng nhau thì các góc, các cạnh tương ứng sẽ bằng nhau Bài tập 1: Cho ∆ABC vuông tại A . M là trung điểm của AC .Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB .Chứng minh rằng: KC ⊥ AC và AK / / BC Giải - Xét ∆MCK và ∆MAB có:  MK = MB  ⇒ ∆MCK = ∆MAB ( c − g − c )  MA = MC   KMC = AMB (doi dinh) Suy ra: MCK = MAB ⇒ KC ⊥ AC - Chứng minh tương tự, ta có: ∆AMK = ∆CMB ( c − g − c ) Suy ra: MKA = MBC Mà MKA = MBC (so le trong) Nên AK / / BC Bài tập 2: Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = BA , CE = CA .Tính DAE Giải: Nhận thấy rằng: ∆ABD cân tại B nên: ADB = 1800 − B 2 ∆AEC cân tại C nên: AEC = 1800 − C 2 ⇒ ADB + AEC = ( 3600 − B + C 2 ) = 135 0 ⇒ DAE = 1800 − 1350 = 450 Bài tập 3: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK vuông góc với d. Chứng minh rằng: AH = CK và HK = BH + CK Giải  BHA = 900 Ta có: ∆BHA :   HBA + HAB = 90 0  AKC = 900 Ta có: ∆AKC :  0 CAK + KCA = 90 ⇒ CAK = 900 − KCA Suy ra: HAB + BAC + CAK = 1800 HAB + CAK = 1800 − BAC = 1800 − 900 = 900 Suy ra: CAK + HAB = CAK + KCA (t/c bán cầu) ( ) ( ) ⇔ 900 − KCA + HAB = 900 − KCA + KCA ⇒ HAB = KCA Xét ∆HAB và ∆KAC có:  BA = CA ( gt )   BAH = KCA ⇒ ∆HBA = ∆KAC (cạnh huyền – góc nhọn)  0  H = K = 90 ⇒ AH = CK ⇒ BH = AK Ta có: HK = AH + AK ⇔ HK = CK + BH ⇒ dpcm Nhận xét: Bài tập 4: Cho ∆ABC . M là trung điểm của BC thỏa mãn: AM = BC .Chứng minh rằng: A = 900 2 Giải Ta có: AM = BC ⇒ AM = BM 2 ⇒ ∆ABM cân tạ M 1800 − AMB ⇒ MAB = 2 Tương tự, ta có: MAC = 1800 − AMC 2 Mà : AMB + AMC = 1800 Ta có: BAC = MAB + MAC = 1800 − AMB 1800 − AMC + = 900 2 2 Suy ra: BAC = 900 Bài tập 5: Cho ∆ABC , trên cạnh BC lấy hai điểm D,E sao cho BD = CE qua D và E vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F,G . Chứng minh rằng: DF + EG = AB Giải Qua D vẽ DH / / AC ( H ∈ AB ) Xét ∆AHF và ∆DFH có:  AFH = DHF ( soletrong )   HF chung   AHF = DFH ( soletrong ) ⇒ ∆AHF = ∆DFH (g −c − g) ⇒ AH = DF Xét ∆HDB và ∆GCE có:  HDB = GCE ( dongvi )  ⇒ ∆HDB = ∆GCE ( g − c − g ) ⇒ HB = EG  BD = EC ( gt )   HBD = GEC ( dongvi ) Ta có: AB = AH + HB ⇔ AB = DF + EG Bài tập 6: Cho ∆ABC .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC,AB .Trên tia đối tia MB và MC làn lượt lấy hai điểm D và E sao cho MB = MD , NC = NE .Chứng minh rằng: A là trung điểm của DE và ba điểm A,E,D thẳng hàng. Giải * Xét ∆MAD và ∆MCB có:  MB = MD ( gt )   AMD = CMB ( 2 gocdoidinh )   MA = MC ( gt ) Suy ra: ∆MAD = ∆MCB ( c − g − c ) ⇒ AD = AB (1) Xét ∆NAE và ∆NCB có:  NA = NB ( gt )   ENA = CNB ( 2 gocdoidinh )   NE = NC ( gt ) Suy ra: ∆NAE = ∆NCB ( c − g − c ) ⇒ AE = BC ( 2 ) (1) ⇒ AD = AE ( 2 ) Từ  * Vì ∆MAD = ∆MCB nên MAD = MCB (cmt) Hai góc này ở vị trí so le trong nên: AD / / BC Qua điểm A có hai đường thẳng AD và AE cùng song song với BC. Theo tiên đề Ơcơlit thì hai đường thẳng này trùng nhau. Hay ba điểm A,E,D thẳng hàng. Bài tập 7: Cho ∆ABC vuông tại B có AC = 2 AB .Phân giác AE (E thuộc BC) .Chứng minh: AE = CE và tính A , C của ∆ABC Giải * Từ E kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC ở O. Xét ∆CEO và ∆AEO có:  EO chung  0  EOC = EOA = 90 ( theo cach ve )  OA = OC ( theo cach ve ) ⇒ ∆CEO = ∆AEO ( c − g − c ) Suy ra: AE = CE (cặp cạnh tương ứng) * Vì: ∆CEO = ∆AEO nên EAO = ECO (cặp góc tương ứng) Xét ∆ABC có:  B = 900   A = A1 + A2 ⇒ A + B + C = 1800 ⇒ 2C + 900 + C = 1800 ⇒ 3C = 900 ⇒ C = 300   A2 = C ; A1 = C   A = 2C Mà A = 2C ⇒ A = 600 Bài tập 8: Cho ∆ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn tâm I. Vẽ CH ⊥ AB ,vẽ hai tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại M. BM ∩ CH = N .Chứng minh rằng N là trung điểm của CH Giải Nhận diện bài toán: Nếu tam giác ABC vuông tại . Ta lấy I là trung điểm của AB. Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi K = AC ∩ IM Khi đó K là trung điểm của AC Suy ra: AK ⊥ MK Gọi E = BM ∩ ( C ) Khi đó: AE ⊥ ME Như vậy: Tứ giác MEKA nội tiếp đường tròn Suy ra: KEN = MAC Mặt khác: MA / / CH (vì cùng ⊥ AB ) Do đó: MAC = KCN Suy ra: Tứ giác CEKN nội tiếp ⇒ CKN = CEN = CEB = CAB ⇒ KN / / AB ⇒ N là trung điểm của CH Bài tập 9: Cho hình thang cân ABCD có AD = 3BC .Hai đường chéo vuông góc cắt nhau tại H. Gọi M thuộc AB sao cho AB = 3 AM . Gọi N là trung điểm của HC. Chứng minh rằng: HM ⊥ DN Giải Do ABCD là hình thang cân nên:  HA = HD ⇒  HB = HC  HB = HC = x > 0 .Khi đó:  HA = HD = y > 0 Đặt  HM = MB 2 1 1 MA .HA + .HB = HA + HB.DN = DH + HC AB AB 3 3 2 Lấy tích vô hướng và khai triển tích, ta có: HM .DN = 2 1 1 1 1 1 HA.DH + HA.HC + HB.DH + HB.HC = 0 − xy + xy + 0 = 0 3 3 4 6 3 3 Do đó: HM ⊥ DN ( dpcm ) Cách khác: Với tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, nên dễ có ∆HAB đồng dạng với ∆HDC Suy ra: Ta có: HA HB = ⇒ HA.HC = HB.HD (1) HD HC HM .DN = 2 1 1 1 1 1 HA.DH + HA.HC + HB.DH + HB.HC = 0 − HA.HC + HB.HD ( 2 ) 3 3 4 6 3 3 Từ (1) và ( 2 ) ,ta có: HM .DN = 0 ⇒ HM ⊥ DN Bài tập 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 BC . Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của DM, E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng: NE ⊥ NB . Giải Đặt AB = 2 BC = 2a .Ta có: ( NE.NB = ND + DE )( NM + MB ) = ND.NM + ND.MB + DE.NM + DE.MB 2 1 a  a  .a.cos1350 + 2a. .cos 450 = −  + 2 2  2 =− a2 a2 − + a2 = 0 2 2 Suy ra: NE ⊥ NB Bài tập 11: Cho ∆ABC phân giác AD. Gọi E,F là hình chiếu vuông góc của B,C trên AD. Chứng minh ∆ABE ∼ ∆ACF và AE.DF = .DE ∆BDE ∼ ∆CDF rằng:  Giải * Xét ∆ABE và ∆ACF có:  AEB = AFC = 900 ⇒ ∆ABE ∼ ∆ACF  = F BAE CA  ⇒ AE BE = AF CF * Xét ∆BDE và ∆CDF có:  BEB = DFC = 900 ⇒ ∆BDE ∼ ∆CDF ( g − g )   BDE = CDF ( doidinh ) ⇒ DE BE = ⇔ AE.DE = AF .DE DF CF Bài tập 12: Cho ∆ABC cân tại A, vẽ đường cao BM , CN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BN = CM ; MN / / BC và Gọi AH ∩ BC = K .Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với ta giác BMC. Giải * Chứng minh BN = CM Xét ∆BCM va ∆CBN co :  BMC = CNB = 900  ⇒ CM = BN  BC chung  CBM = CBN * Chứng minh MN / / BC Nhận thấy rằng: BN CM = ⇒ MN / / BC (Talet đảo) AB AC * Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với ta giác BMC Xét ∆AKC và ∆BMC có: AKC = BMC = 900 (vì BM, CN là đường cao cắt nhau tại H. Suy ra: AK (AH) là đường cao) ACB chung ⇒ ∆AKC ∼ ∆BMC Bài tập 13: Cho ∆ABC vuông tại A có AB > AC .M thuộc BC .Qua M kẻ Mx vuông góc BC .Mx cắt AB tại I và cắt AC tại D. Chứng minh rằng: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC và BI .BA = BM .BC Giải * Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC Xét ∆ABC và ∆MDC có:  BAC = DMC = 900 ⇒ ∆ABC ∼ ∆MDC   ACM chung * Chứng minh: BI .BA = BM .BC Xét ∆ABC và ∆MBI có:  BAC = BMI = 900 BA BC ⇒ ∆ABC ∼ ∆MBI ⇒ =  BM BI  ABC chung Bài tập 14: Cho tam giác đều ABC .O là trung điểm của BC. Gọi M,N là các điểm trên AB,AC sao cho MON = 600 .Chứng minh rằng: ∆OBM ∼ ∆NCO Giải * Chứng minh: ∆OBM ∼ ∆NCO Vì: MON = 600 nên O1 + O3 = 1200 (1) Xét OMB có: B = 600 nên O1 + OMB = 1200 ( 2 ) Từ (1) và ( 2 ) ⇒ OMB = O3 Mà ABC = ACB ( gt ) Suy ra: ∆OBM ∼ ∆NCO (g − g) Cách khác: Trong ∆ONC có: OCN + O3 + ONC = 1800 Mà 600 + O3 + MOB = 1800 (các góc này bù nhau) ⇒ MOB = ONC Xét ∆OBM và NCO có:  ABC = ACB =600 ( gt ) ⇒ ∆OBM ∼ ∆NCO ( g − g )   MOB = ONC ( cmt ) Bài tập 15: Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng ∆OAB ∼ ∆OCD .Từ đó suy ra tỷ số: OA.OD = OB.OC Giải Xét ∆OAB và ∆OCD có: AB / /CD (gt) Nên:  BAC = ACD ( soletrong ) ⇒ ∆OAB ∼ ∆OCD ( g − g )   ABD = BDC ( soletrong ) ⇒ OA OB = ⇒ OA.OD = OB.OC OC OD Bài tập 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE . Chứng minh rằng: ∆ADE cân .Từ đó suy ra: ∆ADB = ∆ACE Giải Vì ∆ABC cân tại A nên: ABC = ACB Mà: ABC + ABD = ACB + ACE = 1800 (2 góc kề bù) ⇒ ABD = ACE Xét ∆ABD và ∆ACE có:  AB = AC ( ∆ABC can tai A )   ABD = ACE ( cmt )   BD = CE ( gt ) ⇒ ∆ABD = ∆ACE ( c − g − c ) ⇒ AD = AE Suy ra tam giác ADE cân tại A suy ra: ∆ADB = ∆ACE  ABC + ABD = 1800 Nhận xét bài toán: Ta có thể tách như sau:  mà ABC = ACB ⇒ ABD = ACE 0  ACB + ACE = 180 Bài tập 17: Cho tam giác ABC .Dọi D là trung điểm của AB, đường thẳng đi qua D và song song với BC cắt AC tại E. Đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC tại F. a, Chứng minh: AD = EF b, ∆ADE = ∆EFC Giải a, Nối D với F, ta có: Xét ∆DBF và ∆FED có:  DE / / BC → EDF = DFB ( so le trong )   DF chung   FE / / AB → EFD = FDB ( so le trong ) ⇒ ∆DBF = ∆FED ( g − c − g ) ⇒ EF = DB Lại có: DA = DB ⇒ DA = EF b, Xét ∆ADE và ∆EFD có:  DA = EF ( cmt )   EF / / AB → FED = EDA ( so le trong )  DE chung  ⇒ ∆ADE = ∆EFD ( c − g − c ) (1) ⇒ FDE = DEA ( so le trong ) Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒ DF / / AC Xét ∆FDE và ∆ECF có:  DE / / BC → DEF = EFC ( so le trong )   DF chung   DF / / AC → DFE = FEC ( so le trong ) ⇒ ∆FDE = ∆ECF ( 2) Từ (1) va ( 2 ) ⇒ ∆ADE = ∆EFC Biên soạn bởi: Gió Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100004114337323 Câu nói ưa thích: “học thầy không tày học bạn” “Thà một phút huy hoàng rồi vụt tắt Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm” _ (Xuân Diệu) Hà Nội ngày 6/12/2015