Tài liệu Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm - tích phân phi tuyến

  • Số trang: 51 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 30 |
  • Lượt tải: 0
bangnguyen-hoai

Đã đăng 3509 tài liệu

Mô tả:

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ----------------o0o------------------ HUYØNH THÒ HOAØNG DUNG KHAÛO SAÙT MOÄT LÔÙP CAÙC HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM – TÍCH PHAÂN PHI TUYEÁN LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Ngaønh: Toaùn Giaûi tích Maõ soá : 1. 01. 01 Thaønh Phoá Hoà Chí Minh – 2004 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ----------------o0o------------------ KHAÛO SAÙT MOÄT LÔÙP CAÙC HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAØM – TÍCH PHAÂN PHI TUYEÁN LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Ngaønh Toaùn Giaûi tích Maõ soá : 1. 01. 01 Ngöôøi höôùng daãn: TS. Nguyeãn Thaønh Long Khoa Toaùn – tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân TP. HCM Hoïc vieân: Huyønh Thi Hoaøng Dung Thaønh Phoá Hoà Chí Minh – 2004 Luaän vaên ñöôïc hoaøn thaønh taïi: Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm TP. Hoà Chí Minh. Ngöôøi höôùng daãn: TS. NGUYEÃN THAØNH LONG Khoa Toaùn-Tin hoïc, Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân TP. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 1: PGS. TS. Nguyeãn Bích Huy, Khoa Toaùn –Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm TP. Hoà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeùt 2: TS. Traàn Minh Thuyeát, Khoa Toaùn –Tin hoïc, Ñaïi hoïc Kinh teá TP. Hoà Chí Minh. Hoïc vieân cao hoïc: Huyønh Thò Hoaøng Dung Luaän vaên seõ ñöôïc baûo veä taïi Hoäi Ñoàng chaám luaän aùn caáp Tröôøng taïi Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh. Vaøo luùc …….giôø ……ngaøy…..thaùng …..naêm 2004. Coù theå tìm hieåu luaän vaên taïi Phoøng Sau Ñaïi hoïc, thö vieän Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP. Hoà Chí Minh. LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu tieân trong baûn luaän vaên naøy, toâi traân troïng kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaønh Long ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn, giuùp ñôõ toâi vöôït qua moïi khoù khaên ñeå hoaøn thaønh luaän vaên, loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc. Xin baøy toû loøng bieát ôn ñoái vôùi Quyù Thaày, Coâ trong vaø ngoaøi Khoa Toaùn – tin hoïc, tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giaûng daïy truyeàn ñaït kieán thöùc cuõng nhö caùc hoã trôï khaùc veà tinh thaàn vaø tö lieäu cho toâi trong suoát thôøi gian hoïc taäp vaø laøm vieäc. Chaân thaønh caûm ôn caùc Thaày, Coâ trong ban chuû nhieäm Khoa Toaùn –tin hoïc, caùc Thaày, Coâ thuoäc Phoøng Quaûn lyù Khoa hoïc Coâng ngheä Sau Ñaïi hoïc, tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh ñaõ nhieät tình giuùp ñôõ, ñoäng vieân, taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi veà thuû tuïc haønh chính cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp. Chaân thaønh caûm ôn caùc Thaày PGS.TS. Leâ Hoaøn Hoaù, PGS. TS. Nguyeãn Bích Huy, TS. Ñaäu Theá Caáp, TS. Traàn Minh Thuyeát ñaõ ñoïc vaø ñoùng goùp nhieàu yù kieán quyù baùu cho luaän vaên cuûa toâi. Chuùng toâi caùm ôn chaân thaønh ñeán Ban Laõnh Ñaïo tröôøng, Boä moân Khoa hoïc Cô baûn tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc, ñaõ taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi moïi maët ñeå toâi yeân taâm hoïc taäp vaø laøm vieäc, ñaëc bieät laø hai Thaày Ninh Quang Thaêng vaø Thaày Buøi Tieán Duõng vôùi lôøi bieát ôn chaân thaønh nhaát. Xin caûm ôn caùc baïn beø ñoàng nghieäp vaø caùc Baïn cuøng lôùp cao hoïc giaûi tích khoùa 12 ñaõ luoân ñoäng vieân vaø quan taâm giuùp ñôõ toâi trong thôøi gian hoïc taâp vaø laøm luaän vaên, toâi cuõng khoâng queân caùm ôn ngöôøi em Nguyeãn Vaên Haûn ñaõ giuùp toâi raát nhieàu trong coâng vieäc in aán luaän vaên. Vì kieán thöùc baûn thaân coøn nhieàu haïn cheá, neân luaän vaên khoù traùnh khoûi thieáu soùt, raát mong ñöôïc söï chæ baûo cuûa quyù Thaày, Coâ vaø söï goùp yù chaân thaønh cuûa caùc baïn beø ñoàng nghieäp. Thaønh Phoá Hoà Chí Minh thaùng 10 naêm 2004 Huyønh Thò Hoaøng Dung. Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 1 CHÖÔNG 1 TOÅNG QUAN ---------o0o-------Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm – tích phaân sau: f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ (x, f j ( Rijk ( x) ))+ ∑∑ bijk f j (Sijk ( x) ) m n m k =1 j =1 m n k =1 j =1 n + ∑∑ cijk k =1 j =1 (1.1) X ijk ( x ) ∫ f j (t )dt + g i ( x), 0 ∀x ∈ Ω ; i = 1,..., n, trong ñoù Ω = [a, b] hoaëc Ω laø moät khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR, a ijk , bijk , cijk laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc; g i : Ω → IR, Rijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω, vaø Φ : Ω × IR → IR laø caùc haøm soá lieân tuïc cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù maø ta seõ ñaët sau. Caùc haøm f i : Ω → IR laø caùc aån haøm, ε laø moät tham soá beù. Trong [9], caùc taùc giaû C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu (1991) nghieân cöùu heä (1.1) sau ñaây öùng vôùi Ω = [−b, b], m = n = 2, aijk = 0 vaø S ijk laø caùc nhò thöùc baäc nhaát. ⎧ f 1 (x ) = a11 f 1 ( b11 x + c11 ) + a12 f 2 ( b12 x + c12 ) + a13 f 1 ( b13 x + c13 ) + g 1 (x ), ⎪ ⎨ ⎪ f (x ) = a f ( b x + c ) + a f ( b x + c ) + a f ( b x + c ) + g (x ), 21 1 21 21 22 2 22 22 23 2 23 23 2 ⎩ 2 (1.2) vôùi moïi x ∈ Ω = [−b, b], trong ñoù, caùc haèng soá aij , bij , cij , b cho tröôùc thoûa caùc ñieàu kieän: ⎡ cij ⎤ ⎛ 3 ⎞ ⎥ , max ⎜⎜ ∑ aij ⎟⎟ < 1 . bij <1, b ≥ max ⎢ (1.3) i, j i ⎢⎣1 − bij ⎥⎦ ⎝ j =1 ⎠ Caùc haøm soá g1 , g 2 lieân tuïc cho tröôùc vaø f1 , f 2 laø caùc aån haøm. Nghieäm cuûa heä (1.2) luùc naøy cuõng ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy qui naïp hoäi tuï ñeàu vaø oån ñònh ñoái vôùi caùc g i . Trong [4], Long, Danh, Khoâi (2002) ñaõ nghieân cöùu heä phöông trình tích phaân tuyeán tính Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán 2 2 X ij ( x ) j =1 j =1 0 f i ( x) = ∑ aij f j ( S ij ( x)) + ∑ α ij ∫f j Trang 2 (t )dt + g i ( x), (1.4) i = 1,2, x ∈ Ω ⊂ IR, trong ñoù Ω laø moät khoaûng ñoùng bò chaän hoaëc khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR. Caùc haøm g i : Ω → IR , S ij , X ij : Ω → Ω laø caùc haøm soá lieân tuïc cho tröôùc, aij ,α ij ∈ IR laø caùc haèng soá vaø f1 , f 2 laø caùc aån haøm. Trong [2], Danh, Dung, Long (2003) ñaõ khaûo saùt heä (1.1) töông öùng vôùi Φ ≡ 0, S ijk ( x), X ijk ( x) laø caùc nhò thöùc baäc nhaát, maø cuï theå coù daïng nhö sau β ijk x +γ ijk ⎞ ⎛ ⎜ (1.5) f i ( x ) = ∑∑ a ijk f j (bijk x + cijk ) + α ijk ∫ f j (t ) dt ⎟ + g i ( x), ⎟ ⎜ k =1 j =1 0 ⎠ ⎝ i = 1,2,..., n, x ∈ Ω = [−b, b]. Vôùi g i : Ω → IR laø caùc haøm lieân tuïc, nghieäm cuûa heä m n (1.5) ñöôïc xaáp xæ baèng moät daõy caùc ña thöùc hoäi tuï ñeàu [2, 7], trong ñoù aijk , bijk , cijk , α ijk , β ijk , γ ijk ∈ IR laø caùc haèng soá thöïc cho tröôùc thoûa caùc ñieàu kieän: bijk < 1, β ijk < 1, 1 − bijk 1≤i , j ≤ n , 1≤ k ≤ m n k =1 i =1 cijk max m ∑∑ ≤ b; ( max aijk + b α ijk 1≤ j ≤ n max γ ijk 1≤i , j ≤ n , 1≤ k ≤ m 1 − β ijk ) < 1, ≤ b. Trong [8], Long (2004) ñaõ nghieân cöùu heä phöông trình haøm phi tuyeán f i ( x) = ε m n ∑∑ a k =1 j =1 Φ ( f j ( Rijk ( x)) )+ ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x ), m ijk n (1.6) k =1 j =1 i = 1,2,..., n, x ∈ Ω, trong ñoù Ω laø moät khoaûng ñoùng bò chaän hoaëc khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR. Caùc haøm g i : Ω → IR, Rijk , S ijk : Ω → Ω vaø Φ: IR → IR laø caùc haøm soá lieân tuïc cho tröôùc; aijk , bijk ∈ IR laø caùc haèng soá. Moät soá keát quaû lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm cho heä (1.6) theo moät tham soá beù ε cuõng ñöôïc xem xeùt trong baøi baùo [8]. Trong [3], caùc taùc giaû Nghóa, Khoâi (2000) ñaõ xeùt heä phöông trình haøm cuï theå ñeå kieåm tra moät thuaät toaùn soá. Trong [5], caùc taùc giaû Long, Nghóa, Khoâi, Ruy (1998) ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp rieâng cuûa (1.1) vôùi p = 1 vaø Ω = [−b, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaän cuûa IR. Baèng caùch söû duïng ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach, caùc taùc giaû trong [5] ñaõ thu ñöôïc keát quaû veà söï toàn taïi, duy nhaát vaø tính oån ñònh nghieäm cuûa heä (1.1) ñoái vôùi caùc haøm g i . Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trong tröôøng hôïp aijk = 0 vaø S ijk Trang 3 laø caùc nhò thöùc baäc nhaát, g ∈ C r (Ω; IR n ) vaø Ω = [−b, b] caùc taùc giaû trong [5] ñaõ thu ñöôïc moät khai trieån Maclaurin cuûa nghieäm cuûa heä (1.1) cho ñeán caáp r. Hôn nöõa, neáu g i laø caùc ña thöùc baäc r , thì nghieäm cuûa heä (1.1) cuõng laø ña thöùc baäc r. Keá ñoù, neáu g i laø caùc haøm lieân tuïc, nghieäm f cuûa (1.1) ñöôïc xaáp xæ bôûi moät daõy caùc ña thöùc hoäi tuï ñeàu. Sau ñoù, caùc keát quaû treân ñaây ñaõ ñöôïc nôùi roäng trong [6] bôûi caùc taùc giaû Long, Nghóa (2000) cho mieàn nhieàu chieàu Ω ⊂ IR p vaø S ijk laø caùc haøm affine. Hôn nöõa, ñieàu kieän ñuû veà hoäi tuï caáp hai cuûa heä phöông trình haøm cuõng ñöôïc ñeà caäp [6]. Moät phaàn keát quaû trong luaän vaên chuùng toâi ñaõ coâng boá trong [1, 2]. Luaän vaên naøy ñöôïc trình baøy trong 6 chöông, phaàn keát luaän vaø cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. Trong chöông 1, laø phaàn toång quan veà heä phöông trình haøm, moät soá keát quaû ñaõ coù tröôùc ñoù vaø moät soá noäi dung trình baøy trong caùc chöông cuûa luaän vaên. Trong chöông 2, laø phaàn giôùi thieäu veà caùc kí hieäu, caùc khoâng gian haøm vaø moät soá coâng cuï cô baûn ñöôïc söû duïng trong luaän vaên. Trong chöông 3, döïa vaøo ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (1.1). Trong chöông 4, chuùng toâi nghieân cöùu moät ñieàu kieän ñuû ñeå thu ñöôïc thuaät giaûi hoäi tuï caáp hai cho heä (1.1). Trong chöông 5, chuùng toâi nghieân cöùu heä phöông trình haøm– tích phaân (1.1) bò nhieãu bôûi moät tham soá beù ε . ÔÛ ñaây chuùng toâi seõ chöùng toû raèng nghieäm cuûa heä (1.1) coù moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp N + 1 theo ε , vôùi ε ñuû nhoû. Trong chöông 6, nghieân cöùu tính khaû vi cuûa nghieäm phuï thuoäc vaøo tính khaû vi cuûa caùc haøm Φ, g i , Rijk , S ijk , X ijk . Chöông keát luaän neâu leân moät soá keát quaû thu ñöôïc trong luaän vaên vaø moät soá chuù yù keøm theo. Cuoái cuøng laø phaàn taøi lieäu tham khaûo. Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 4 CHÖÔNG 2 CAÙC KÍ HIEÄU VAØ KHOÂNG GIAN HAØM ---------o0o--------- Trong chöông 2, laø phaàn giôùi thieäu veà caùc kí hieäu, caùc khoâng gian haøm vaø moät soá coâng cuï cô baûn ñöôïc söû duïng trong luaän vaên. 2.1. Caùc kí hieäu Ta kí hieäu Ω = [a, b] hay Ω laø khoaûng khoâng bò chaën trong IR. Vôùi Ω = [a, b], ta kí hieäu X = C ( Ω; IR n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá f = ( f1 , f 2 , ..., f n ) : Ω → IR n lieân tuïc treân Ω ñoái vôùi chuaån n f = sup ∑ f i ( x) . X (2.1) x∈Ω i =1 Khi Ω laø khoaûng khoâng bò chaën, ta kí hieäu X = Cb ( Ω ; IR n ) laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm soá f : Ω → IR n lieân tuïc, bò chaën treân Ω ñoái vôùi chuaån (2.1). Töông töï, vôùi soá nguyeân khoâng aâm r , ta ñaët C r ( Ω ; IR n ) = { f ∈ C (Ω ; IR n ) : f i ( k ) ∈ C (Ω ; IR ), 0 ≤ k ≤ r , 1 ≤ i ≤ n }. Vôùi Ω laø khoaûng khoâng bò chaën, ta kí hieäu Cbr ( Ω ; IR n ) = { f ∈ C b (Ω ; IR n ) : f i ( k ) ∈ C b (Ω ; IR ), 0 ≤ k ≤ r , 1 ≤ i ≤ n }. C r (Ω; IR n ) vaø Cbr (Ω; IR n ) cuõng laø caùc khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån n f r = max sup ∑ f i ( k ) ( x) . 1≤ k ≤ r x∈Ω i =1 (2.2) Ta vieát heä (1.1) theo daïng cuûa moät phöông trình toaùn töû trong X = C ( Ω; IR n ) f = ε Af + Bf + g , (2.3) trong ñoù f = ( f1 , ..., f n ) , A f = ( ( A f )1 ,..., ( A f ) n ), B f = ( ( B f )1 ,..., ( B f ) n ), Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 5 vôùi ( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ (x, f j ( Rijk ( x) ) ) , m n k =1 j =1 m n m n ( Bf ) i ( x) = ∑ ∑ bijk f j ( S ijk ( x) ) + ∑ ∑ cijk k =1 j =1 X ijk ( x ) k =1 j =1 ∫ f j (t ) dt, (1 ≤ i ≤ n ) , ∀x ∈ Ω. 0 2.2. Ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach Ñònh lí sau ñaây laø moät coâng cuï ñöôïc söû duïng trong toaøn boä luaän vaên mang teân ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach vaø ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng: Ñònh lí 2.1: Cho X laø khoâng gian Banach vôùi chuaån . , K ⊂ X laø taäp ñoùng vaø T : K → K . Giaû söû toàn taïi soá thöïc σ ∈ [0,1) sao cho Tf − Tg ≤ σ f − g , vôùi moïi f , g ∈ K . Khi ñoù ta coù (i) Toàn taïi duy nhaát f ∈ K sao cho f = Tf . (ii) Vôùi f (v ) moãi =T f ( v −1 ) xeùt f (0 ) ∈ K , daõy { f (ν ) } cho bôûi , ν = 1,2,... ta coù (j) lim f (v ) − f = 0, v →∞ (jj) f (v ) − f ≤ f (0 ) − Tf (jjj) f (v ) − f ≤ σ 1−σ (0 ) σv , ν = 1,2,... 1−σ f (v ) − f (v −1) , ν = 1,2,... Chöùng minh ñònh lí 2.1 coù theå tìm thaáy trong caùc quyeån saùch veà nhaäp moân giaûi tích. Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 6 CHÖÔNG 3 ÑÒNH LÍ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM -------------o0o------------- Trong chöông naøy, döïa vaøo ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach, chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi, duy nhaát nghieäm cuûa heä (2.3). Ñaët n m ∑ ∑ max [ bijk ] = i =1 k =1 1 ≤ j ≤ n bijk . Ñaàu tieân, ta caàn boå ñeà sau: Boå ñeà 3.1. Giaû söû [ bijk ] + b [cijk ] < 1 vaø S ijk , X ijk : Ω → Ω lieân tuïc. Khi ñoù i) Bf ( ≤ X ) [bijk ] + b [ cijk ] f (3.1) ∀f ∈ X . X ii) Toaùn töû tuyeán tính I − B : X → X laø khaû ñaûo vaø ( I − B ) −1 ≤ 1 . 1 − [bijk ] − b [ cijk ] Chöùng minh boå ñeà 3.1. i) Vôùi moïi f ∈ X , ta coù Bf X = sup n ∑ x ∈ Ω i =1 n ( Bf ) i ( x) m ∑ ∑ = sup x ∈ Ω i =1 ∑ bijk f j ( S ijk ( x) ) + ∑ n m k =1 j =1 ≤ n m ∑ ∑ max b i =1 k =1 n 1≤ j ≤ n ijk n x∈ Ω ∑ f (S + ∑∑ max cijk sup ∑ ≤ ( [b ijk j j=1 n 1≤ j ≤ n j ) f ijk (t )dt m n ⎫⎪ f j (t ) dt ⎬ ⎪⎭ X ijk ( x ) ∫ 0 ( x) ) X ijk ( x ) ∫ x ∈ Ω j =1 ] + b [cijk ] ∫f 0 i =1 k =1 j =1 n sup cijk f j (S ijk ( x) ) + ∑∑∑ cijk m i =1 k =1 ∑ k =1 j =1 ⎧⎪ n m n ≤ sup ⎨ ∑∑∑ bijk x ∈ Ω ⎪ i =1 k =1 j =1 ⎩ X ijk ( x ) n f j (t ) dt 0 X . ii) Tröôùc heát, ta chöùng minh toaùn töû Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 7 B: X → X f a Bf = (( Bf )1 ,..., ( Bf ) n ), vôùi ( Bf ) i ( x) = ∑∑ bijk f j (S ijk ( x) ) + ∑∑ cijk m n m k =1 j =1 n k =1 j =1 X ijk ( x ) ∫f j (t )dt 0 thoûa B < 1. Thaät vaäy, theo (i) ta coù Bf ( [b ≤ X ijk ) ] + b [cijk ] f ∀f ∈ X . X Do ñoù Bf B = sup f 0≠ f ∈X ≤ X [ b ijk ] + b [ c ijk ] < 1 . X Tieáp theo, ta chöùng minh raèng neáu B < 1 thì ( I − B) khaû nghòch, hay vôùi moãi g ∈ X , phöông trình f = Bf + g coù nghieäm duy nhaát f ∈ X . Ñaët ~ T :X →X ~ f a T f = Bf + g ~ ~ thì T laø moät aùnh xaï co. Thaät vaäy, vôùi moïi f , f ∈ X , ta coù ~ ~~ Tf − T f X ~ = B( f − f ) ~ ≤ B f −f . X X Vaäy phöông trình f = Bf + g coù nghieäm duy nhaát moät nghieäm f = ( I − B ) −1 g ∈ X töông öùng vôùi g ∈ X . Töø ñaây ta coù f hay f X ≤ X = Bf + g g X 1− B X ≤ B f X + g , X . Vì f = ( I − B) −1 g neân ( I − B) −1 g X ≤ g X 1− B . Do ñoù ( I − B) −1 = sup 0 ≠ g∈ X ( I − B ) −1 g g X X ≤ 1 1 . ≤ 1− B 1 − [bijk ] − b [cijk ] Boå ñeà (3.1) ñaõ ñöôïc chöùng minh. Do boå ñeà 1, ta vieát laïi heä (2.3) nhö sau: Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 8 f = ( I − B ) −1 ( ε Af + g ) ≡ Tf . (3.2) Ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau: ( H 1 ) Rijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω lieân tuïc; ( H 2 ) g = ( g1 ,..., g n ) ∈ X ; [bijk ] + b [cijk ] < 1 ; (H 3 ) ( H 4 ) Φ : Ω × IR → IR thoûa ñieàu kieän Lipschitz ñòa phöông theo bieán thöù hai, töùc laø, vôùi moïi M > 0, toàn taïi haèng soá C1 ( M ) > 0 sao cho Φ ( x, y1 ) − Φ ( x, y 2 ) ≤ C1 ( M ) y1 − y 2 ∀y1 , y 2 ∈ [− M , M ], ∀x ∈ Ω. ⎧ 2 g X , ⎪ M > 1 − [bijk ] − b [cijk ] ⎪ ⎪ ⎨ M 1 − [bijk ] − b [cijk ] ⎪ 0 < ε0 < . ⎪ ⎛ ⎞ 2⎜ MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0) ⎟ [aijk ] ⎪⎩ x∈Ω ⎝ ⎠ ( (H 5 ) ) Vôùi moãi M > 0, ta ñaët K M = { f ∈ X : f X ≤ M} . Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau ñaây. Boå ñeà 3.2. Giaû söû ( H1 ) - ( H 4 ) ñuùng. Khi ñoù, ta coù i) Af X ≤ [aijk ] ⎡⎢C1 ( M ) f ⎣ ~ ii) Af − Af X X + n sup Φ ( x,0) ⎤⎥ x∈Ω ⎦ ~ ≤ C1 ( M ) [aijk ] f − f X ∀f ∈ K M , ~ ∀f , f ∈ K M . Chöùng minh. i) ∀f ∈ K M , ta coù Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) = Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) − Φ ( x,0) + Φ ( x,0) . Töø giaû thieát ( H 4 ) ta coù Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 9 Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) ≤ Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) − Φ ( x,0) + Φ ( x,0) ≤ C1 ( M ) f j ( Rijk ( x)) + sup Φ ( x,0) . x∈Ω Suy ra n n m aijk Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) n ∑ ( Af ) ( x) ≤ ∑∑∑ i i =1 i =1 k =1 j =1 n m n ≤ ∑∑∑ aijk C1 ( M ) f j ( Rijk ( x)) i =1 k =1 j =1 n m n + ∑∑∑ aijk sup Φ ( x,0) x∈Ω i =1 k =1 j =1 n m n ≤ C1 ( M )∑∑ max aijk sup ∑ f j ( Rijk ( x )) i =1 k =1 n m 1≤ j ≤ n x∈Ω j =1 n + ∑∑∑ aijk sup Φ ( x,0) x∈Ω i =1 k =1 j =1 n m ≤ C1 ( M )∑∑ max aijk f n i =1 k =1 n m 1≤ j ≤ n X + ∑∑∑ aijk sup Φ ( x,0) x∈Ω i =1 k =1 j =1 ≤ C1 ( M ) [aijk ] f X ≡ [aijk ] ⎡⎢C1 ( M ) f ⎣ + n [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω X + n sup Φ ( x,0) ⎤⎥ . x∈Ω ⎦ Vaäy Af ~ X ≤ [aijk ] ⎡⎢C1 ( M ) f ⎣ X + n sup Φ ( x,0) ⎤⎥ ∀f ∈ K M . x∈Ω ⎦ (ii) ∀f , f ∈ K M , söû duïng giaû thieát ( H 4 ) moät laàn nöõa, ta ñöôïc n ~ ∑ ( Af ) ( x) − ( Af ) ( x) i =1 i i ( n m n ~ ≤ ∑∑∑ aijk Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) − Φ x, f j ( Rijk ( x)) i =1 k =1 j =1 ) n m n ~ ≤ C1 ( M )∑∑ max aijk sup ∑ f j ( y ) − f j ( y ) i =1 k =1 1≤ j ≤ n y∈Ω j =1 ~ = C1 ( M ) [aijk ] f − f . X Vaäy ~ Af − Af X = sup n ∑ x ∈ Ω i =1 ~ ( Af ) i ( x) − ( Af ) i ( x) ≤ C1 ( M ) [aijk ] Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc ~ f −f X . Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 10 Boå ñeà 3.2 ñöôïc chöùng minh.„ Khi ñoù, ta coù ñònh lí sau ñaây. Ñònh lí 3.1. Giaû söû ( H 1 ) - ( H 5 ) ñuùng. Khi ñoù, vôùi moãi ε , vôùi ε ≤ ε 0 , heä (3.2) coù moät nghieäm duy nhaát f ∈ K M . ~ Chöùng minh. Hieån nhieân raèng Tf ∈ X , vôùi moïi f ∈ X . Xeùt f , f ∈ K M , ta deã daøng suy ra töø do boå ñeà 3.1 vaø 3.2 raèng Tf X = ( I − B) −1 (ε Af + g ) 1 1 − [bijk ] − b [cijk ] ≤ ~ Tf − T f X X ≤ ( I − B ) −1 ( ε ε 0 C1 ( M ) [aijk ] + g X ) X ~ ≤ ε 0 ( I − B ) −1 Af − A f ~ f −f 1 − [bijk ] − b [cijk ] X Chuù yù raèng, töø ( H 5 ) ta coù ε 0 [aijk ] ⎛⎜ MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0) ⎞⎟ + g ⎝ X ⎡ ⎛ Φ ( x,0) ⎞⎟ + g ⎢⎣ε 0 [aijk ] ⎜⎝ MC1 ( M ) + n sup x∈Ω ⎠ ~ = ( I − B) −1 ε ( Af − A f ) ≤ Af ⎠ x∈Ω X X ⎤ ⎥⎦, (3.3) X (3.4) . ( ≤ M 1 − [bijk ] − b [cijk ] ) hay ε 0 [aijk ] ⎛⎜ MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0) ⎞⎟ + g ⎝ ⎠ x∈Ω 1 − [bijk ] − b [cijk ] X ≤ M. (3.5) Töø ñaây ta suy ra ε 0 C1 ( M ) [aijk ] 1 − [bijk ] − b [cijk ] < 1. (3.6) Ta suy töø (3.3), (3.5), raèng T : K M → K M vaø töø (3.4), (3.6) ta coù T laø aùnh xaï co. Khi ñoù, söû duïng ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach, ta coù duy nhaát moät haøm f ∈ K M sao cho f = Tf . Vaäy ñònh lí 3.1 ñöôïc chöùng minh.„ Chuù thích 3.1. Nhôø ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach, nghieäm f cuûa heä (3.2) ñöôïc xaáp xæ bôûi thuaät giaûi sau: f (ν ) = Tf (ν −1) ≡ ( I − B) −1 (ε Af (ν −1) + g ), (3.7) f (0) ∈ K M cho tröôùc. Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 11 Khi ñoù f (ν ) → f trong X khi ν → +∞, (3.8) vaø f vôùi (ν ) σ= −f X ≤ f ( 0 ) − Tf ε 0 C1 ( M ) [aijk ] 1 − [bijk ] − b [cijk ] Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc (0) X σν , ∀ν = 1,2,... , 1−σ (3.9) < 1. Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Trang 12 CHÖÔNG 4 THUAÄT GIAÛI LAËP CAÁP HAI --------o0o-------- Trong ñònh lí 3.1 cho ta moät thuaät giaûi xaáp xæ lieân tieáp (3.7), theo nguyeân taéc aùnh xaï co (chuù thích 3.1), söï hoäi tuï cuûa daõy laëp { f (ν ) } veà nghieäm f cuûa heä (3.2) cuõng laø hoäi tuï caáp 1. Söï hoäi tuï naày theå hieän qua ñaùnh giaù sai soá (4.1) f (ν ) − f ≤ Cσ ν , ∀v = 1,2,... X trong ñoù 0 ≤ σ < 1, C > 0 laø caùc haèng soá ñoäc laäp vôùi ν . Trong phaàn naøy chuùng ta nghieân cöùu moät thuaät giaûi caáp hai cho heä (1.1), töùc laø thieát laäp moät daõy laëp daõy laëp { f (ν ) } thoûa baát ñaúng thöùc f (v ) − f ≤ β f (v −1) − f X 2 X (4.2) , ∀v = 1,2,... trong ñoù β > 0 laø haèng soá ñoäc laäp vôùi ν . Moät daõy laëp { f (ν ) } nhö vaäy coøn goïi laø daõy laëp caáp hai. Neáu böôùc laëp ban ñaàu f (0 ) ñöôïc choïn ñuû gaàn f sao cho f (0 ) − f σ ≡β X (4.3) < 1, thì daõy {f (v ) } hoäi tuï veà f vaø thoaû moät ñaùnh giaù sai soá caáp 2 f (ν ) − f ≤ 1 β σ 2ν (4.4) , ∀v = 1,2,.... Roõ raøng baát ñaúng thöùc (4.4) cho söï hoäi tuï cuûa daõy {f (v ) } veà f nhanh hôn so vôùi daõy {f (v ) } thoûa baát ñaúng thöùc (4.1). Xeùt heä phöông trình haøm f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ (x, f j ( Rijk ( x)) ) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) m n m k =1 j =1 m n + ∑∑ cijk k =1 j =1 n k =1 j =1 (1.1) X ijk ( x ) ∫f j (t )dt + g i ( x), 0 ∀x ∈ Ω; i = 1,..., n. Ta giaû söû raèng Φ ∈ C 1 (Ω × IR; IR). Söû duïng xaáp xæ sau ñaây: Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Φ( x, f j(ν ) ) ≅ Φ ( x, f j(ν −1) ) + Trang 13 ∂Φ ( x, f j(ν −1) )( f j(ν ) − f j(ν −1) ), ∂y (4.5) trong ñoù f j(ν ) = f j(ν ) ( Rijk ( x)), ta thu ñöôïc giaûi thuaät sau ñaây cho heä (1.1) Ta thu ñöôïc giaûi thuaät sau ñaây cho heä (1.1) i) Cho tröôùc f ( 0) = ( f1( 0) ,..., f n(0) ) ∈ X . ii) Giaû söû bieát f (ν −1) = ( f1(ν −1) ,..., f n(ν −1) ) ∈ X , ta xaùc ñònh f (ν ) = ( f1(ν ) ,..., f n(ν ) ) ∈ X bôûi m n ∑∑ a f i (ν ) ( x) = ε k =1 j =1 m n + ε ∑ ∑ a ijk k =1 j =1 m ijk Φ (Wijk(ν ) ( x)) [ ∂Φ (W (ν ) ( x)) f j(ν ) ( Rijk ( x)) − f j(ν −1) ( Rijk ( x)) ∂y ijk ] n + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) k =1 j =1 m X ijk ( x ) n + ∑∑ cijk ∫f k =1 j =1 (ν ) j (t ) dt + g i ( x), x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... , (4.6) 0 trong ñoù Wijk(ν ) ( x) = ( x, f j(ν −1) ( Rijk ( x))). Ta vieát laïi (4.6) döôùi daïng f i (ν ) ( x) = ε m n ∑∑ a k =1 j =1 ijk m n ∂Φ (Wijk(ν ) ( x)) f j(ν ) ( Rijk ( x)) ∂y + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + ∑∑ c ijk k =1 j =1 m n − ε ∑ ∑ aijk k =1 j =1 m n k =1 j =1 X ijk ( x ) ∫f (ν ) j (t )dt 0 ∂Φ (W (ν ) ( x)) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) ∂y ijk m n (ν ) + ε ∑∑ aijk Φ (Wijk ( x)) + g i ( x), x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... , k =1 j =1 hay Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán n m m n (ν ) f i (ν ) ( x) = ∑∑ α ijk (ε , x) f j(ν ) ( Rijk ( x)) + ∑∑ cijk j =1 k =1 n X ijk ( x ) ∫f k =1 j =1 Trang 14 (ν ) j (t )dt 0 m + ∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x), j =1 k =1 (4.7) (ν ) x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... trong ñoù α ijk (ε , x), g i(ν ) ( x) phuï thuoäc vaøo f (ν −1) nhö sau: ∂Φ (Wijk(ν ) ( x)), ∂y α ijk(ν ) (ε , x) = ε aijk n (4.8) m n m (ν ) g i(ν ) ( x) = g i ( x) + ε ∑∑ aijk Φ (Wijk(ν ) (( x)) − ∑∑ α ijk (ε , x) f j(ν −1) ( Rijk ( x)) , j =1 k =1 (4.9) j =1 k =1 x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... Khi ñoù ta coù ñònh lí sau: Ñònh lí 4.1. Giaû söû ( H 1 ) − ( H 3 ) laø ñuùng. Neáu f (ν −1) ∈ X thoûa n m γ ν ≡ ∑∑ max sup α ijk(ν ) (ε , x) + [bijk ] + b [cijk ] < 1. j =1 k =1 1≤ j ≤ n x∈Ω (4.10) Khi ñoù toàn taïi duy nhaát f (ν ) ∈ X laø nghieäm cuûa (4.7)−(4.9). Chöùng minh. Heä (4.7) ñöôïc vieát laïi nhö sau (4.11) f (ν ) = Tν f (ν ) , vôùi n m m n (ν ) (Tν f ) i ( x) = ∑∑ α ijk (ε , x) f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ cijk j =1 k =1 n X ijk ( x ) k =1 j =1 ∫f j (t )dt 0 m + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i(ν ) ( x), j =1 k =1 x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, ν = 1,2,... , f = ( f1 ,..., f n ) ∈ X . (4.12) Khi ñoù ta kieåm tra raèng Tν : X → X thoûa Tν f − Tν h X ≤ γ ν f − h X , ∀f , h ∈ X . (4.13) Thaät vaäy Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán Tv f − Tv h X = sup x ∈Ω n n j =1 k =1 n n + sup ∑ X ijk ( x ) m ∑∑ x ∈ Ω i =1 m × sup ∑ f + (R ∑ ∑ max c n 1≤ j ≤ n m ∑ ∑ max i =1 k =1 1 ≤ j ≤ n ijk ) (t ) − h (jv ) (t ) dt f j(v ) (S ijk ( x) ) − h (jv ) ( S ijk ( x ) ) α ijk(v ) (ε , x) ( x ) ) − h (jv ) (Rijk ( x) ) X ijk ( x ) ∫(f n m i =1 k =1 + ijk ∑ ∑ max i =1 k =1 1 ≤ j ≤ n n (v ) j ijk x ∈ Ω j =1 (v ) j 0 m j =1 k =1 n ∫(f cijk ∑∑ b x ∈ Ω i =1 n f j(v ) (Rijk ( x) ) − h (jv ) (Rijk ( x) ) v ijk j =1 k =1 + sup ∑ x ∈Ω (Tν f ) i ( x) − (Tν h) i ( x) i =1 m ∑ ∑ α ( ) (ε , x) x ∈ Ω i =1 ≤ sup ∑ n n ≤ sup ∑ n Trang 15 sup ∑ x ∈ Ω j =1 (v ) j ) (t ) − h (jv ) (t ) dt 0 bijk sup ∑ f j(v ) (S ijk ( x) ) − h (jv ) (S ijk ( x) ) n x ∈ Ω j =1 ⎞ ⎛ (v ) (ε , x) + b [cijk ] + [bijk ] ⎟ f − h ≤ ⎜ ∑ ∑ max sup α ijk ⎠ ⎝ i =1 k =1 1 ≤ j ≤ n x ∈ Ω ≡ γv f −h X. n m X Söû duïng ñònh lí ñieåm baát ñoäng Banach, ñònh lí 4.1 ñöôïc chöùng minh.„ Ñònh lí 4.2. Giaû söû Φ ∈ C 2 (Ω × IR; IR), vaø ( H 1 ) − ( H 3 ) ñuùng. Cho aijk ∈ IR. Khi ñoù, toàn taïi hai haèng soá M , ε sao cho, neáu f (0) ∈ K M cho tröôùc, heä (4.7)− (4.9) toàn taïi duy nhaát nghieäm f (ν ) thoûa ñieàu kieän (4.14) f (ν ) ∈ K M , ∀ν = 0,1,2,... Chöùng minh. Giaû söû f (0) ∈ K M , vôùi hai haèng soá M , ε maø ta seõ choïn sau. Ta cuõng giaû söû baèng qui naïp raèng: f (ν −1) ∈ K M . (4.15) Ta seõ chöùng minh raèng f (ν ) ∈ K M . Vôùi moïi x ∈ Ω, ta coù töø (4.7) raèng: Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc Huyønh Thò Hoaøng Dung Khaûo saùt moät lôùp caùc heä phöông trình haøm –tích phaân phi tuyeán n ∑ i =1 n n Trang 16 m (ν ) f i (ν ) ( x) ≤ ∑∑∑ α ijk (ε , x) f j(ν ) ( Rijk ( x)) i =1 j =1 k =1 n n m + ∑∑∑ cijk i =1 j =1 k =1 n n X ijk ( x ) ∫f (ν ) j (t )dt 0 m n + ∑∑∑ bijk f j(ν ) ( S ijk ( x)) + ∑ g i(ν ) ( x) i =1 j =1 k =1 n i =1 m (ν ) ≤ ∑∑ max α ijk (ε , x) i =1 k =1 n 1≤ j ≤ n n n ∑ j =1 f j(ν ) ( Rijk ( x)) m + ∑∑∑ cijk X ijk ( x) f j(ν ) (t j X ijk ( x)) i =1 j =1 k =1 n m + ∑∑ max bijk 1≤ j ≤ n i =1 k =1 n n ∑ j =1 f j(ν ) ( S ijk ( x)) + g (ν ) m (ν ) ≤ ∑∑ max α ijk (ε , x) i =1 k =1 f (ν ) 1≤ j ≤ n n i =1 j =1 1≤ j ≤ n m + ∑∑ max bijk i =1 k =1 n X n + b∑∑ max cijk f (ν ) n X f (ν ) 1≤ j ≤ n X X + g (ν ) m (ν ) ≤ ∑∑ max sup α ijk (ε , x) f 1≤ j ≤ n i =1 k =1 ( x∈Ω + b [cijk ] + [bijk ] ) f (ν ) X X (ν ) + g (4.16) X (ν ) X . Do ñoù f (ν ) X ⎛ n m ⎞ (ν ) ≤ ⎜ ∑∑ max sup α ijk (ε , x) + b [cijk ] + [bijk ] ⎟ f (ν ) 1≤ j ≤ n x∈Ω ⎝ i =1 k =1 ⎠ + g (ν ) X X (4.17) . Maët khaùc, vôùi moïi x ∈ Ω, ta coù töø (4.7), (4.15), raèng: α ijk(ν ) (ε , x) ≤ ε aijk trong ñoù M 1 = sup{ ∂Φ (ν ) (Wijk ( x)) ≤ ε M 1 aijk , ∂y (4.18) ∂Φ ( x, y ) : x ∈ Ω, y ≤ M }. ∂y Ta suy töø (4.18) raèng n m ∑∑ max sup α ν 1≤ j ≤ n x∈Ω j =1 k =1 Luaän vaên thaïc syõ Toaùn hoïc ( ) ijk (ε , x) ≤ ε M 1 [aijk ] . (4.19) Huyønh Thò Hoaøng Dung
- Xem thêm -