Tài liệu Giai nhanh hpt đtn

ĐẶNG THÀNH NAM (Giám đốc trung tâm nghiên cứu, tư vấn và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) .v n NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT LUYỆN THI QUỐC GIA THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI MỚI NHẤT CỦA BỘ GD & ĐT .c om KỸ THUẬT GIẢI NHANH bo ok HỆ PHƯƠNG TRÌNH kh a ng vi et 3 x 2 − 2 x − 5 + 2 x x 2 + 1= 2 ( y + 1) y 2 + 2 y + 2  2 2  x + 2 y = 2 x − 4 y + 3 - Dành cho học sinh lớp 10,11,12 Ôn thi quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi Dành cho giáo viên giảng dạy và luyện thi Quốc gia NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Muïc Luïc kh a ng vi et bo ok .c om .v n Lôøi noùi ñaàu Chöông 1: Kieán thöùc boå sung khi giaûi heä phöông trình .................................... 3 Chuû ñeà 1: Phöông trình, baát phöông trình baäc nhaát vaø baäc hai ....................... 3 Chuû ñeà 2: Phöông trình baäc ba ....................................................................... 4 Chuû ñeà 3: Phöông trình baäc boán ..................................................................... 7 Chuû ñeà 4: Phöông trình phaân thöùc höõu tyû...................................................... 12 Chuû ñeà 5: Heä höông trình hai aån coù chöùa phöông trình baäc nhaát .................. 13 Chuû ñeà 6: Heä höông trình baäc hai hai aån daïng toång quaùt.............................. 14 Chöông 2: Caùc kyõ thuaät vaø phöông phaùp giaûi heä phöông trình ......................25 Chuû ñeà 1. Kyõ thuaät söû duïng heä phöông trình baäc nhaát hai aån........................ 25 Chuû ñeà 2. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I. ................................................... 46 Chuû ñeà 3. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi II. .................................................. 99 Chuû ñeà 4. Heä phöông trình coù yeáu toá ñaúng caáp ........................................... 132 Chuû ñeà 5. Kyõ thuaät söû duïng pheùp theá. ......................................................... 159 Chuû ñeà 6. Kyõ thuaät phaân tích thaønh nhaân töû. ............................................... 188 Chuû ñeà 7. Kyõ thuaät coäng, tröø vaø nhaân theo veá hai phöông trình cuûa heä. ...... 222 Chuû ñeà 8. Kyõ thuaät ñaët aån phuï daïng ñaïi soá. ................................................ 254 Chuû ñeà 9. Kyõ thuaät ñaët aån phuï daïng toång - hieäu.......................................... 336 Chuû ñeà 10. Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá. ............................. 361 Chuû ñeà 11. Kyõ thuaät söû duïng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa heä phöông trình. ..... 427 Chuû ñeà 12. Kyõ thuaät ñaùnh giaù. .................................................................... 438 Chuû ñeà 13. Heä phöông trình coù chöùa caên thöùc. ........................................... 491 Chuû ñeà 14. Kyõ thuaät löôïng giaùc hoùa. ........................................................... 576 Chuû ñeà 15. Kyõ thuaät heä soá baát ñònh. ............................................................ 600 Chuû ñeà 16. Kyõ thuaät phöùc hoùa. .................................................................... 640 Chuû ñeà 17. Kyõ thuaät söû duïng tính chaát hình hoïc giaûi tích. ........................... 665 Chuû ñeà 18. Kyõ thuaät nhaân lieân hôïp ñoái vôùi heä phöông trình coù chöùa caên thöùc .................................................................................................................... 677 Chuû ñeà 19. Moät soá baøi toaùn choïn loïc vaø reøn luyeän naâng cao. ....................... 704 Chöông 3: Baøi toaùn coù chöùa tham soá................................................................783 Chuû ñeà 1: Heä ñoái xöùng loaïi I ........................................................................783 Chuû ñeà 2: Heä ñoái xöùng loaïi II ......................................................................827 Chuû ñeà 3: Heä ñaúng caáp ................................................................................836 Chuû ñeà 4: Kyû thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá − Xöû lyù baøi toaùn heä phöông trình coù chöùa tham soá .....................................................................846 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät CHÖÔNG 1: KIEÁN THÖÙC BOÅ SUNG KHI GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH - Noä i dung chöông naø y ñeà caä p ñeá n caù c noäi dung - Phöông trình, baá t phöông trình baä c nhaá t vaø baä c hai. - Caù c phöông trình baä c ba, baä c boán daï ng ñaë c bieä t. - Caù c phöông trình daïng phaâ n thöù c ñaë c bieä t. - Phöông phaù p giaû i phöông trình baä c ba, baä c boán toå ng quaù t. - Heä phöông trình baä c hai hai aå n daïng toå ng quaù t. .v n - Heä phöông trình cô baû n goà m heä baä c nhaá t hai aå n, heä baä c nhaá t ba aå n, heä goà m moä t phöông trình baä c nhaá t hai aå n vaø moä t phöông trình baä c hai hai aå n. ok .c om Ñaâ y laø nhöõ ng kieá n thöù c cô baû n vaø caà n thieá t tröôù c khi tieá p caä n vôùi heä phöông trình neân hy voïng seõ cung caá p ñuû nhöõng kyõ naê ng veà giaû i phöông trình vaø heä phöông trình tröôùc khi chuùng ta ñeán vôùi caùc heä phöông trình daïng naâng cao hôn. Chuû Ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH bo BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI et 1. Phöông trình baäc nhaát ax + b = 0, (a ≠ 0) + Neá u a = 0, b ≠ 0 phöông trình voâ nghieäm. vi + Neá u a = 0, b = 0, phöông trình voâ soá nghieäm. ng b + Neá u a ≠ 0 ⇔ x = – laø nghieä m cuû a phöông trình. a Baá t phöông trình baä c nhaá t ax + b > 0. kh a  b  b + Neáu a > 0 ⇔ x > − ⇒ S=  − ; +∞  a  a   b b + Neáu a < 0 ⇔ x < − ⇒ S=  −∞; −  a a  2. Phöông trình vaø baát phöông trình baäc hai a) Phöông trình baä c hai ax2 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0). Ñònh thöù c ∆ = b2 – 4ac. + Neá u ∆ = b2 – 4ac < 0, phöông trình voâ nghieä m. b . 2a + Neáu ∆ = b2 – 4ac > 0, phöông trình coù hai nghieäm phaâ n bieä t: + Neá u ∆ = b2 – 4ac, phöông trình coù nghieäm duy nhaá t x 0 = − 3 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam x1,2 = −b ± ∆ vaø khi ñoù ax2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ). 2a b) Baá t phöông trình baä c hai f(x)= ax 2 + bx + c > 0,(a ≠ 0) . + Neá u ∆= b2 − 4ac ≤ 0 khi ñoù a.f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R . + Neá u ∆= b2 − 4ac > 0 khi ñoù f(x) = 0 coù hai nghieä m phaân bieä t x 1 < x 2 . .v n   x > x2  f(x) > 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x 2 ) > 0 ⇔  - Neá u a > 0 ⇒   x < x1   f(x) < 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔ x1 < x < x 2 .c om  f(x) > 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔ x1 < x < x 2   x > x2 - Neá u a < 0 ⇒   f(x) < 0 ⇔ a(x − x1 )(x − x2 ) > 0 ⇔  x < x  1  Chuû Ñeà 2: 1. Phöông trình daïng 4x3 + 3x = m. ok PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BA bo Haø m soá f(x) = 12x 2 + 3 > 0, ∀x ∈ R neâ n phöông trình = 4x3 + 3x coù f '(x) 4x3 + 3x = m coù khoâ ng quaù moä t nghieäm. 1 3 1   a − 3  ⇔ a= 2 a  3 m ± m2 + 1 . vi Ñaë t m= et Ta chöù ng minh phöông trình coù nghieä m duy nhaá t. 3 kh a ng 1  1  1  1  1  3 1  Khi ñoù 4   a −   + 3   a −   = a − 3 = m . a  a  2  a  2  2  Do ñoù= x duy nhaá= tx 1 1  a −  laø nghieäm cuû a phöông trình hay phöông trình coù nghieäm 2 a 1 1 a −  . 2 a Ví duï 1. Giaû i phöông trình 4x3 + 3x = 2. Lôøi giaûi Haø m soá f(x) = 4x3 + 3x − 2 coù f '(x) = 12x 2 + 3 > 0, ∀x ∈  neâ n phöông trình coù toá i ña moä t nghieäm. 4 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät Ñaë t 2 = 1 3 1  a − 3  ⇔ a= 2 a  3 Choï n a = 2+ 5 ⇒ 3 2± 5 . 1 = −3 2 − 5 a 3 1  1  1  1  1  3 1  Khi ñoù : 4   a −   + 3   a −   = a − 3  . a  a  2  a  2  2  Vaä y: phöông trình coù nghieä m duy nhaá t: 1 1 13 3   2+ 5 + 2− 5 . a − = 2 a 2  .v n x= 2. Phöông trình daïng 4x3 − 3x = m. α α − 3cos neâ n 3 3 α α + 2π α − 2π . phöông trình coù ba nghieä m x1 cos ,x2 cos = ,x3 cos = = 3 3 3 1 3 1   a + 3  ⇔ a= 2 a  3 3 m ± m2 − 1 . ok TH2: Neá u m > 1 ñaë t m= .c om TH1: Neá u m ≤ 1 ñaë t = m cos α khi ñoù do = cos α 4 cos3 bo 1  1  1 1 1  1  Khi ñoù  a3 + =  4   a +  − 3   a +  . 3 2 a  a  a  2  2  et 1 1  a +  laø moä t nghieäm cuû a phöông trình. 2 a vi Vì vaäy = x0 ng Ta chöù ng minh x 0 laø nghieäm duy nhaá t cuû a phöông trình. ( ) 12 (1 − x ) < 0 do x > 1 . Thaä t vaä y ta coù : 4x3 − 3x = 4x30 − 3x 0 ⇔ ( x − x 0 ) 4x2 + 4x 0 x + 4x20 − 3 = 0 . kh a Phöông trình 4x2 + 4x 0 x + 4x20 − 3 = ∆' 0 coù = 2 0 0 Vaä y phöông trình coù nghieäm duy nhaá t: x= 1 1 a +  = 2 a 3 3 m + m2 − 1 + m − m2 − 1 . 2 3. Phöông trình daïng x3 + px = q. TH1: Neá u p = 0 ⇒ x3 = q ⇔ x = 3 q . TH2: Neá u p > 0 ñaë t x = 2 p t ñöa veà phöông trình daï ng: 4t 3 + 3t = m. 3 5 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam p TH3: Neá u p < 0 ñaë t = m. x 2 − t ñöa veà phöông trình daï ng: 4x3 − 3x = 3 4. Phöông trình bậc ba dạng tổng quaùt ax3 + bx2 + cx + d = 0, (a ≠ 0). Phöông phaùp phaân tích nhaân töû. Neá u phöông trình coù nghieäm x 0 thì ta coù theå phaâ n tích: ax3 + bx2 + cx + d = ( x − x0 ) ( ax2 + ( b + ax0 ) x + c + bx0 + ax20 ) . Töø ñoù ñeå giaû i phöông trình baä c ba treâ n ta ñi giaû i phöông trình baä c hai: .v n ax2 + ( b + ax 0 ) x + c + bx 0 + ax20 = 0. Phöông phaùp Cardano. Chia hai vế phương trình cho a đ ưa phương trình về om dạng: x3 + ax2 + bx + c = 0. a luoâ n ñöa phöông trình veà daïng chính taé c: 3 y3 + py + q = 0 (1) trong ñoù p = q – a2 PP , q = c + G  x, x 2 − a2 = 0 → . 3   .c Baè ng caù ch ñaë t y= x − 3  p u  v   q  0  u 3  v 3  3uv  p u  v   q  0 . bo u  v  ok Ta chæ caàn xeùt p, q ≠ 0 vì neáu p = 0 hoaë c q = 0 phöông trình ñôn giaûn, tieá p tuï c ñaë t y = u + v thay vaø o (1), ta ñöôï c: ng vi et Ta choï n u, v sao cho 3uv + p = 0 khi ñoù u3 + v3 + q = 0.  3 3 p3 3uv + p = 0 = − u v  ⇔  Vaä y : ta coù heä phöông trình  3 27 . 3 0  u + v + q =  3 3 −q u + v = kh a Theo ñònh lyù Vi–eù t u, v laø hai nghieäm cuûa phöông trình X3 + qX − Ñaë t ∆ = p3 = 0 (3) 27 q 2 p3 + 4 27 q q + Neá u ∆ > 0 khi ñoù (3) coù hai nghieäm u3 =− + ∆ , v3 =− − ∆ vaø 2 2 q q phöông trình (2) coù nghieäm duy nhaá t y = 3 − + ∆ + 3 − − ∆ neâ n 2 2 phöông trình (1) coù nghieäm thöï c duy nhaá t x = 6 a 3 q q + − + ∆+3− − ∆ . 3 2 2 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät + Neá u ∆ = 0 khi ñoù (3) coù nghieäm keù p u = v = − 3 q vaø phöông trình (2) coù 2 q q 3 hai nghieäm thöï c trong ñoù coù moä t nghieä m keù p y1 = 2 3 − ; y2 = y3 = 2 2 Do ñoù: (1) coù hai nghieä m thöï c, trong ñoù coù moä t nghieä m keù p: a q a q x1 = + 2 3 − ;x 2 =x3 = + 3 3 2 3 2 .v n + Neá u ∆ < 0 khi ñoù (3) coù nghieäm phöù c, giaû söû laø u 0 , v 0 khi ñoù (1) coù ba nghieäm phức:  a x1 = + u0 + v0 3   3 a 1 u0 − v0 ) ⇒ x2 = − ( u + v0 ) + i ( 2 3 2 0   3 a 1 u 0 − v 0 )  x3 = − ( u 0 + v 0 ) − i ( 2 3 2  3 ( u − v0 ) 2 0 3 ( u − v0 ) 2 0 ok .c om  y= 1 u0 + v0  1  − ( u0 + v0 ) + i y2 = 2   1 − ( u0 + v0 ) − i  y3 = 2  bo Ngoaøi hai caù ch treâ n coù theå giaû i phöông trình baä c ba baè ng phöông phaùp löôï ng giaù c hoù a hoaë c bieán ñoåi ñöa veà ñaú ng thöù c a3 = b3. Chuû Ñeà 3: et PHÖÔNG TRÌNH BAÄC BOÁN vi 1. Phöông trình daïng truøng phöông ax 4 + bx2 + = c 0, ( a ≠ 0 ) . ng Ñaë= t t x 2 , ( t ≥ 0 ) phöông trình trôû thaønh: at 2 + bt + c = 0 . Ñaâ y laø phöông trình baä c hai ñaõ bieá t caù ch giaû i. 4 4 kh a 2. Phöông trình daïng ( x − a ) + ( x − b ) = c. Ñaë t t= x − a+b phöông trình trôû thaø nh: 2 4 4  b−a  a−b c ñöa veà t +  +t +  = 2   2   phöông trình daï ng truø ng phöông. 4 4 Ví duï 1. Giaû i phöông trình ( x − 2 ) + ( x − 6 ) = 82 . Lôøi giaûi 4 4 Ñaë t t= x − 4 phöông trình trôû thaønh: ( t + 2 ) + ( t − 2 ) = 82 . 7 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam ( )( )  t =−1  x − 4 =−1  x =3 ⇔ ⇔ ⇔ t 4 + 24t 2 − 25 =0 ⇔ t 2 − 1 t 2 + 25 =0 ⇔  = x−4 1 = t 1 = x 5 Vaä y phöông trình coù hai nghieäm laø= x 3,x = 5. m vôùi a + d = b + c . 3. Phöông trình daïng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = Ñaët t = ( x + a )( x + d ) hoaëc t = ( x + b )( x + c) ñöa veà phöông trình baäc hai vôùi aån t. 24 . Ví duï 2. Giaû i phöông trình x ( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = .v n Lôøi giaûi Ñaët t = x ( x − 3) = x2 − 3x ⇒ ( x − 1)( x − 2 ) = x2 − 3x + 2 = t + 2 phöông trình trôû thaønh: om  x2 − 3x = t = x = −6 −6 −1 . ⇔ ⇔ t ( t + 2 ) =24 ⇔ t 2 + 2t − 24 =0 ⇔  2 = 4  t 4= x 4  x − 3x = .c Vaä y: phöông trình coù hai nghieäm laø x = −1, x = 4. ok 4. Phöông trình daïng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = ex 2 vôùi ad = bc = m. ( )( bo Vieá t laï i phöông trình döôù i daï ng: ( x + a )( x + d )  . ( x + b )( x + c )  = ex 2 . ) ⇔ x2 + ( a + d ) x + ad x2 + ( b + c ) x + bc = ex2 . et Xeù t tröôø ng hôï p x = 0 xem thoûa maõ n phöông trình hay khoâng. vi Vôù i x ≠ 0 chia hai veá cuû a phöông trình cho x2 , ta ñöôï c: ng    ad bc + a + d  x + + b + c = e. x + x x    ad bc ñöa veà phöông trình baä c hai vôù i aå n t . =x + x x kh a Ñaë t t =x + Ví duï 3. Giaû i phöông trình ( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 6 ) = 30x 2 . Lôøi giaûi Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i: ( )( ) 2 2 2 2     ( x + 2 )( x + 6 )  . ( x + 3)( x + 4 ) = 30x ⇔ x + 8x + 12 x + 7x + 12 = 30x Nhaä n thaáy x = 0 khoâ ng thoûa maõn phöông trình. Xeù t x ≠ 0 chia hai veá cuû a phöông trình cho x2 , ta ñöôï c: 8 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät    12 12 30 .  x + + 8  x + + 7  = x x    ( ) 12 Ñaë t t = x + , t ≥ 4 3 phöông trình trôû thaønh: x  t = −2 ( t + 8)( t + 7) =30 ⇔ t 2 + 15t + 26 =0 ⇔ t = −13 .  12 = −13 . x  x = −1 . ⇔ x2 + 13x + 12 =0 ⇔   x = −12 om Vaä y phöông trình coù hai nghieäm laø x = −12,x = −1 . .v n Ñoá i chieá u vôù i ñieàu kieä n chæ nhaän nghieäm t = −13 ⇔ x + 2 e d 5. Phöông trình daïng ax + bx + cx + dx + e = 0 vôùi =   . a b 3 2 TH1: Neá u e = 0 ñöa veà phöông trình: ( .c 4 ) ok ax 4 + bx3 + cx2 + dx = x ax3 + bx2 + cx + d= 0 , phöông trình tích coù chöù a bo phöông trình baä c ba daï ng toå ng quaù t ñaõ bieát caù ch giaûi. TH2: Neá u e ≠ 0 ⇒ x = 0 khoâ ng laø nghieäm cuû a phöông trình. e    d e  d  +  bx +  + c = 0 ⇔ a  x 2 +  + b x + + c= 0. 2 x bx  x ax     vi ax2 + et Xeù t x ≠ 0 chia hai veá phöông trình cho x2 ta ñöôï c: 2 ng d d2 d e d ⇒ t 2 = x2 + + 2 = x2 + + 2 ñöa veà phöông trình 2 2 2 bx b b b x ax baä c hai vôùi aån t . kh a Ñaë t t = x + Ví duï 4. Giaû i phöông trình x 4 + 3x3 − 6x2 + 6x + 4 = 0. Lôøi giaûi Nhaä n thaáy x = 0 khoâ ng thoûa maõn phöông trình. Xeù t x ≠ 0 chia hai veá phöông trình cho x2 , ta ñöôï c: 2   6 4 2 2 = 0 ⇔  x +  + 3  x +  − 10 = 0 . x + 3x − 6 + + 2 x x x x   2 t = 2 2 Ñaë t t = x + , t ≥ 2 2 phöông trình trôû thaønh: t 2 + 3t − 10 =0 ⇔  x  t = −5 9 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam Ñoá i chieá u vôù i ñieàu kieä n chæ nhaän nghieäm: t =−5 ⇔ x + 2 −5 ± 17 . =−5 ⇔ x2 + 5x + 2 =0 ⇔ x = x 2 Vaä y phöông trình coù hai nghieäm laø x = −5 ± 17 . 2 6. Phöông trình daïng x 4 = ax 2 + bx + c . TH1: Neá u ∆= b2 − 4ac= 0 bieá n ñoå i ñöa phöông trình veà daïng: ) ( 2 ( ⇔ x2 − m ) 2 ) 2 ( ) + 2m x 2 − m + m 2 = ax 2 + bx + c . ( a − 2m ) x2 + bx + c + m 2 . = ( .c ( x 4 =  x2 − m + m  = x2 − m   om TH2: Neá u ∆= b2 − 4ac ≠ 0 ta choï n soá thöï c m sao cho: .v n 2  b  = x4 a  x +  . 2a   ) ok Ta choï n m sao cho: b2 − 4 ( a − 2m ) c + m 2 = 0. bo Ví duï 5. Giaû i phöông trình x 4 = 7x2 − 3x − 3 . 4 et Lôøi giaûi Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i: vi kh a 2   2 1 3± 3 x + 1 = 3x − x =   1 2 ⇔ 2 . =  3x −  ⇔   2 1  x 2 + 1 =−3x +   −3 ± 7 x =  2 2  2 ng ( x + 1) 2 Vaä y phöông trình coù boá n nghieä m laø x = 3± 3 −3 ± 7 . = ,x 2 2 7. Phöông trình baäc boán toång quaùt ax 4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. b Caùch 1: Ñaë t x = − + t ñöa veà phöông trình daï ng: t 4 = αt 2 + βt + λ . 4a Caùch 2: Vieá t laï i phöông trình döôù i daï ng: 4a2 x 4 + 4bax3 + 4cax 2 + 4dax + 4ae = 0 ( ⇔ 2ax2 + bx 10 ) =( b 2 2 ) − 4ac x2 − 4adx − 4ae . Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät ( ) Theâ m vaø o hai veá cuû a phöông trình ñaï i löôïng 2y 2ax2 + bx + y2 (vôù i y laø haè ng soá tìm sau). ( Khi ñoù : 2ax2 + bx + y ) = (b 2 2 ) − 4ac + 4ay x 2 + 2 ( by − 2ad ) x − 4ae + y2 . ( by − 2ad ) Ta choï n y sao cho: ∆ 'x = ( 2 )( ) − b2 − 4ac + 4ay y2 − 4ae = 0 . Ví duï 6. Giaû i phöông trình x 4 − 16x3 + 57x 2 − 52x − 35 = 0. ( Ta theâm vaø haè ng soá y thoûa maõ n: ( ⇔ ( x − 8x + y ) = 2 = 7x 2 + 52x + 35 . ) ( ) 2 2 .c + 2y x2 − 8x + y2 = 7x2 + 52x + 35 + 2y x2 − 8x + y2 . ( 2y + 7) x2 + x ( 52 − 16y ) + 35 + y2 . ok ) 2 ( 26 − 8y ) − ( 2y + 7) ( 35 + y2 )= 2 Ta choï n y sao cho ∆ 'x = ( ) bo ( x2 − 8x ) om x 4 − 16x3 + 64x2 = 7x2 + 52x + 35 ⇔ x 2 − 8x .v n Lôøi giaûi Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i: 0. et ⇔ ( y − 1) 2y2 − 55y + 431 = 0 ⇔ y = 1 . Vaä y phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i: 2 vi ) − 8x + 1 = 9 ( x + 2) ng 2 kh a (x  11 − 141 x =  x2 − 8x + 1= 3 ( x + 2 ) 2 . ⇔ ⇔   x2 − 8x + 1 =−3 ( x + 2 ) + 11 141  x = 2  2 Vaä y phöông trình coù hai nghieä m laø x = 11 − 141 11 + 141 . = ,x 2 2 11 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam Chuû Ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH PHAÂN THÖÙC HÖÕU TYÛ 1. Phöông trình daïng x2 + a2 x 2 ( x + a) 2 = b. Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i: 2 2  x2   ax  2ax2 x2 − + = ⇔ + = x b 2a. b.     x+a + x+a x+a x a    x2 ñöa veà phöông trình baä c hai vôù i aå n t : t 2 + 2at = b. x+a 2 om  x  Ví duï 1. Giaû i phöông trình x +  1.  =  x +1 2 Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i: ok 2 .c Lôøi giaûi Ñieà u kieän: x ≠ −1 . .v n Ñaë t t =   x2  x =−1 + 2 − 2 2 − 1 =−1 + 2  x 2 . 1⇔ x +1 + 2. = ⇔   x2 x +1  x = −1 + 2 + 2 2 − 1 =−1 − 2   x +1 2 2 et 2 vi  x  ⇔   x +1   2 bo 2  x2   x  2x2 x2 − + = ⇔ + = x 1 2. 1.       x +1 x +1 x +1   x +1 −1 + 2 − 2 2 − 1 −1 + 2 + 2 2 − 1 . = ;x 2 2 kh a x ng Vaä y phöông trình coù hai nghieäm laø : 2. Phöông trình daïng x2 + mx + a x2 + nx + a + x2 + px + a x 2 + qx + a = b. Xeù t xem x = 0 coù laø nghieäm cuûa phöông trình hay khoâ ng. a a +m x+ +p x x Tröôø ng hôïp x ≠ 0 vieá t laï i phöông trình döôù i daï ng: b. + = a a x+ +n x+ +q x x x+ Ñaë t t= x + 12 a ñöa veà phöông trình baä c hai vôù i aå n t . x Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät Ví duï 2. Giaû i phöông trình x2 + 5x + 3 x 2 + 4x + 3 184 . = − 119 x − 7x + 3 x + 5x + 3 Lôøi giaûi 2 + 2 Ñieà u kieän: x2 + 5x + 3 ≠ 0,x2 − 7x + 3 ≠ 0 . Nhaä n thaáy x = 0 khoâ ng thoûa maõn phöông trình. 3 3 +5 x+ +4 184 x x Xeù t x ≠ 0 vieá t laï i phöông trình döôùi daï ng: . + = − 3 3 119 x+ −7 x+ +5 x x 3 Ñaë t t = x + , t ≥ 2 3 phöông trình trôû thaønh: x  x = 2  7  3 7  = t = x +  2  t+5 t+4 184 3 x 2 . + = − ⇔ ⇔ ⇔  x = t−7 t+5 119 2 971 3 971 y =   − −   x + x = 211 211 −971 ± 408589   x = 422 ) Chuû Ñeà 5: bo ok .c om ( .v n x+ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH HAI AÅN COÙ CHÖÙA et PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT a x + b1y = c1 , a12 + b12 > 0,a22 + b22 > 0 . 1. Heä phöông trình baäc nhaát hai aån:  1 + = a x b y c  2 2 2 vi ( ) kh a ng Ñaâ y laø heä phöông trình cô baû n ñeå giaû i chuù ng ta coù theå thöï c hieä n pheù p theá , söû duï ng maùy tính boû tuùi hoaëc söû duï ng ñònh thöù c Crame(hay ñöôï c duø ng trong bieä n luaän). = D a1 b1 c1 b1 a1 c1 . = ,Dx = ,Dy a2 b 2 c2 b2 a2 c2 Caù c tröôø ng hôïp D≠0 Keá t quaû Heä phöông trình coù nghieäm duy nhaá t: Dy  .  D D   D ( x;y ) =  x ; = D D= D= 0 x y Heä phöông trình coù voâ soá nghieäm. D = 0 nhöng Dx ≠ 0 hoaëc Dy ≠ 0 Heä phöông trình voâ nghieäm. 13 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam a1x + b1y + c1z = d1  2 2 2 2. Heä phöông trình baäc nhaát ba aån: a2 x + b2 y + c= 2 z d 2 , a i + b i + ci > 0 . a x + b y + c z = d3 3 3  3 ( ) Heä naø y duø ng pheù p theá ñöa veà heä baä c nhaá t hai aån hoaëc duø ng maù y tính boû tuùi. 3. Heä phöông trình hai aån goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông mx + ny = a trình baäc hai:  2 . 2 d ax + bxy + cy = Chuû Ñeà 6: om trình thöù hai cuû a heä ñöa veà giaû i phöông trình baä c hai. .v n Ruù t x theo y hoaë c ruù t y theo x töø phöông trình ñaà u cuû a heä theá vaø o phöông HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI HAI AÅN .c DAÏNG TOÅNG QUAÙT ok A. NOÄI DUNG PHÖÔNG PHAÙP Heä phöông trình baä c hai hai aå n laø heä coù daï ng: bo a x2 + b y2 + c xy + d x + e y + f = 1 1 1 1 1 1 0  2 2 0 a2 x + b2 y + c2 xy + d 2 x + e2 y + f2 = (1) (2) ng vi et a) Neá u moä t trong hai phöông trình laø baä c nhaá t thì deã daø ng giaû i heä baèng phöông phaù p theá. a b b) Neá u 1 = 1 baè ng caù ch loaï i boû x2 + y2 ñöa veà heä phöông trình baäc hai coù a2 b 2 kh a moä t phöông trình baä c nhaá t vaø giaû i heä baè ng phöông phaù p theá . c) Neá u moä t trong hai phöông trình laø thuaà n nhaá t baä c hai(chaú ng haïn 2 2 0 phöông trình d= 1 e= 1 f1 )khi ñoù phöông trình ñaàu laø a1x + b1y + c1xy = naõ y cho pheù p ta tính ñöôï c t = x . y d) Heä ñaú ng caá p baä c hai neá u d= 0 heä trôû thaø nh heä ñaú ng caá p baä c 1 e= 1 d= 2 e= 2 hai. Baè ng caù ch khöû ñi heä soá töï do ta ñöa veà moä t phöông trình thuaà n nhaát baä c x hai cho pheùp ta tính ñöôï c t = . y 14 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät e) Ñöa veà heä baä c nhaá t baè ng caù ch ñaët y = tx vaø ñaë t z = x2 giaû i heä vôù i hai aå n laø ( x;z ) luùc sau giaûi phöông trình z = x2 . f) Trong nhieà u tröôø ng hôï p ta coù theå aù p duï ng phöông phaù p tònh tieá n nghieäm. x= u + a (vôù i u,v laø caù c aå n vaø a,b laø hai nghieä m cuû a heä Baè ng caù ch ñaë t  y= v + b phöông trình). Ñeå tìm a,b coù hai caù ch thöï c hieä n ta cho caù c haïng töû baä c nhaát .v n sau khi khai trieån trieä t tieâ u töø ñoù ta coù heä ñaú ng caá p baä c hai vôùi hai aån u,v caù ch giaûi töông töï tröôø ng hôï p c) hoaë c ñaïo haøm moä t phöông trình laà n löôï t theo bieán x ,theo bieá n y giaûi heä phöông trình thu ñöôï c ta ñöôï c nghieäm ( x0 ;y0 ) khi ñoù=a x= 0 ,b y 0 . om g) Duø ng heä soá baá t ñònh(xem theâ m chuû ñeà heä soá baát ñònh). Caùch 1: Laá y (1) + k.(2) ñöa veà moä t phöông trình baä c hai vôù i aå n .c t = ax + by + c ta tìm k hôï p lyù sao cho phöông trình baä c hai coù Delta laø soá ok chính phöông. bo Caùch 2: Tìm hai caë p nghieä m cuû a heä phöông trình. Vieá t phöông trình ñöôø ng thaú ng ñi qua hai ñieåm ñoù . Laá y moä t ñieå m khaù c hai ñieå m treâ n thay vaø o hai veá caù c phöông trình cuû a heä töø ñoù suy ra heä soá baá t ñònh caà n tìm. vi et h) Ñaï o haøm laà n löôï t theo bieán x hoaë c theo y ñoá i vôù i moä t trong hai phöông trình  u= x − a ñöa veà heä cuû a heä tìm ra nghieäm = x a,y = b khi ñoù ñaë t aån phuï  v= y − b ng phöông trình ñaú ng caá p. B. BAØI TAÄP MAÃU kh a Baøi 1. Giaû i heä phöông trình . Lôøi giaûi Caùch 1: Söû duïng phöông phaù p theá. Tröø theo veá hai phöông trình cuûa heä ta ñöôï c: 5x − 4y − xy = 15 . Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i:  5x − 15 5x − 4y − xy = 15 y = ⇔ x+4  2 2 −3  2 x + y − 4x + 2y = 2 −3 x + y − 4x + 2y = ( x ≠ −4 ) 15 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam  5x − 15 y = + x 4  ⇔ 2 x 2 +  5x − 15  − 4x + 2. 5x − 15 + 3 = 0    x+4  x+4    5x − 15 y = ⇔ x+4 x 4 + 4x3 + 22x 2 − 180x + 153 = 0  ( .v n  5x − 15 y = +  x = 1,y = −2 x 4 . ⇔ ⇔ = = x 3,y 0 2  ( x − 1)( x − 3) x + 8x + 51 = 0  ) ( 3;0 ); (1; −2 ) . om Vaä y heä phöông trình coù hai nghieä m laø= ( x;y ) Caùch 2: Ñöa veà heä baä c nhaá t .c Nhaä n thaáy x = 0 khoâ ng thoûa maõn heä phöông trình. ( ( ) ok Xeù t x ≠ 0 ñaë t y = tx heä phöông trình trôû thaø nh:  1 + t 2 x2 + 2 ( t − 2 ) x = −3  .  12  t 2 − t + 1 x2 + (1 − 2t ) x =  bo ) ( ( ) et  1 + t2 z + 2 ( t − 2) x = −3  . Ñaë t z = x khi ñoù heä trôû thaø nh:  12  t 2 − t + 1 z + (1 − 2t ) x =  vi 2 ) ng Ta coù caù c ñònh thöù c: kh a 1 + t2 2t − 4 D= = −4t 3 + 7t 2 − 8t + 5 2 t − t + 1 1 − 2t −3 2t − 4 1 + t2 − 3 Dz = = −18t + 45;D x = = 15t 2 − 3t + 15 2 12 1 − 2t t − t + 1 12 ( ) . Neá u D =0 ⇔ −4t 3 + 7t 2 − 8t + 5 =0 ⇔ ( t − 1) 4t 2 − 3t + 5 =0 ⇔ t = 1 ⇒ Dz = 27 ≠ 0 neâ n heä voâ nghieä m. 16 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät  Dx x = D ⇒ z = x2 ⇔ D .D = D2 . Xeù t t ≠ 1 ⇒ D ≠ 0 khi ñoù  z x D z = z  D ( −18t + 45) ( −4t3 + 7t 2 − 8t + 5=) (15t 2 − 3t + 15 ) 2 ( ) t = 0 ⇔  t = −2 Dx D =3 ⇒ y = 0 . om TH1 : Neá u t = 0 ⇒ D = 5,Dx =15 ⇒ x = .v n ⇔ 153t 4 + 216t 3 + 360t = 0 ⇔ 9t ( t + 2 ) 17t 2 − 10t + 20 = 0. D TH2 : Neá u t = 81,Dx = 81 ⇒ x = x =⇒ 1 y= −2 ⇒ D = −2 . D ok Caùch 3 : Ñaë t aå n phuï ñöa veà heä ñaúng caá p ( 3;0 ); (1; −2 ) . .c Vaä y heä phöông trình coù hai nghieä m laø= ( x;y ) bo x= u + 1 heä phöông trình trôû thaø nh: Ñaë t  y= v − 2 vi et  u +1 2 + v − 2 2 − 4 u +1 + 2 v − 2 = ) ( ) ( ) ( ) −3 ( .  2 2 ( u + 1) + ( v − 2 ) − ( u + 1)( v − 2 ) + u + 1 − 2 ( v − 2 ) = 12  ng  u2 + v2 − 2u − 2v = 0 . ⇔ 2 2 0  u − uv + v + 5u − 7v = kh a Caùch 4: Heä soá baát ñònh(2 höôù ng xöû lyù). x2 + y2 − 4x + 2y = −3 (1) Vieá t laï i heä phöông trình döôù i daï ng:  2 2 12 (2) x + y − xy + x − 2y = Laá y (1) + k.(2) theo veá ta ñöôï c: 0. ( k + 1) x2 − ( ky + k + 4 ) x + k ( y2 − 2y − 12 ) + y2 + 2y + 3 = Ta coù : ∆ x = ( ky + k + 4 ) ( 2 (( ) − 4 ( k + 1) k y 2 − 2y − 12 + y 2 + 2y + 3 ) ( ) ) = −3k 2 − 8k − 4 y2 + 10k 2 + 8k − 8 y + 49k 2 + 44k + 4 =0 . 17 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam Ta choï n k sao cho ∆ x laø soá chính phöông muoán vaäy cho ∆ 'y = 0. ( ⇔ 5k 2 + 4k − 4 4 ) − ( −3k 2 3 2 )( ) − 8k − 4 49k 2 + 44k + 4 =0 . 2 ⇔ 43k + 141k + 134k + 44k + 8 =0 ⇒ k =−1 Töù c laø tröø theo veá hai phöông trình cuû a heä nhö lôøi giaû i 1 ôû treâ n. Lôøi giaûi om x= u + a Caùch 1: Ñaë t  khi ñoù heä phöông trình trôû thaø nh: y= v + b .v n x2 + 3y2 + 4xy − 18x − 22y + 31 = 0 . Baøi 2. Giaû i heä phöông trình  2 2 0 2x + 4y + 2xy + 6x − 46y + 175 = .c  u + a 2 + 3 v + b 2 + 4 u + a v + b − 18 u + a − 22 v + b + 31 = 0 ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( .  2 2 2 ( u + a ) + 4 ( v + b ) + 2 ( u + a )( v + b ) + 6 ( u + a ) − 46 ( v + b ) + 175 = 0  et bo ok  u2 + 3v2 + 4uv + ( 2a + 4b − 18) u + ( 6b + 4a − 22 ) v   + a2 + 3b2 + 4ab − 18a − 22b + 31 = 0 ⇔ 2 2 2u + 4v + 2uv + ( 4a + 2b + 6 ) u + ( 8b + 2a − 46 ) v  + 2a2 + 4b2 + 2ab + 6a − 46b + 175 = 0  vi Ta seõ choïn caù c heä soá ( a; b ) sao cho heä treâ n trôû thaønh heä ñaúng caá p baä c hai. kh a ng 2a + 4b − 18 = 0  a = 0 −5 6b + 4a − 22 = . ⇔ ⇔ = +6 0 = b 7 4a + 2b 8b + 2a − 46 = 0 Thay vaøo heä treâ n ta ñöôï c:  u2 + 3v2 +=  u2 + v2 −=  u = v 4uv 1 2uv 0 . ⇔ ⇔ 2  2 2 2uv 1 2u2 + 4v2 + = 2uv 1 8u = 1 2u + 4v + = 18 Cty TNHH MTV DVVH Khang Vieät  1 − −5  x = 2 2   1  1 − +7  y = u = v = −  2 2  2 2  . ⇔ ⇔  1  1  x = −5  u= v=  2 2  2 2  1  y = +7   2 2 Caùch 2: Laá y (2) + k.(1) ta ñöôï c: ok .c om .v n Vaä y heä phöông trình coù hai nghieä m laø :   1  1 1 1 − 5; − + 7 ; − 5; + 7 . ( x;y ) = − 2 2 2 2  2 2  2 2  Nhaän xeùt: Vieä c ñaë t aå n phuï thöï c hieä n baè ng thuû thuaä t nhanh nhö sau : Ñaï o haøm theo bieán x vaø ñaï o haøm theo bieá n y moä t trong hai phöông trình cuû a heä (ta löï a choï n phöông trình ñaà u cuû a heä)ta ñöôï c: 2x + 4y − 18 = x = 0 −5  u =+ x 5 . ⇔ ⇒  6y + 4x − 22 =0 y =7 v =y − 7 bo ( k + 2 ) x2 + 2 ( y + 3 + 2ky − 9k ) x + 4y2 + 3ky2 − 46y + 175 − 22ky + 31k =0 . et Coi ñaây laø phöông trình baäc hai vôù i aån laø x. Ta coù : 2 ( (k 2 ) ( ) ) − 6k − 7 y 2 − 14 k 2 − 6k − 7 y + 50k 2 − 291k − 341 ng = vi 'x ( 2k + 1) y + 3 − 9k  − ( k + 2 ) 4y 2 + 3ky 2 − 46y + 175 − 22ky + 31k ∆= kh a ( 2k + 1) y + 3 − 9k = Choï n k = −1 thì ∆ 'x = 0 suy ra x = − y − 12 . k+2 Lôøi giaûi Laá y (2) − (1) theo veá ta ñöôï c: x2 + 2 (12 − y ) x + y2 − 24y + 144 = 0. 2 ⇔ ( x + 12 − y ) = 0 ⇔ x = y − 12 . Thay vaøo phöông trình ñaàu cuû a heä ta ñöôï c: ( y − 12 ) 2 + 3y 2 + 4y ( y − 12 ) − 18 ( y − 12 ) − 22y + 31 = 0. 19 Nhöõng ñieàu caàn bieát LTÑH − Kyû thuaät giaûi nhanh heä phöông trình − Ñaëng Thaønh Nam ⇔   1 1 1 − − 5,y = − +7 7− y = x = 2 2 2 2 2 2 2  . ⇒ 8y − 112y + 391 =⇔ 0   1 1 1 − 5,y = +7 y = 7 + x = 2 2 2 2 2 2   om 2 2 0 2x + xy − y − 5x + y + 2 = . Baøi 1. Giaû i heä phöông trình  2 2 0 x + y + x + y − 4 = Lôøi giaûi Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôù i:   y= 2 − x ( x + y − 2 )( 2x − y − 1) = 0  y 2x − 1 . ⇔ =  2 0 x + y 2 + x + y − 4 =  2 2 0 x + y + x + y − 4 = .v n C. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN bo ok .c  y= 2 − x  2 = x 1,y = 1 2 0 x + y + x + y − 4 =  ⇔ ⇔ 4 13 . x = − ,y = − y 2x − 1  =  5 5  x2 + y2 + x + y − 4 = 0   (1;1) ;  − 45 ; − 135  . et Vaä y heä phöông trình coù hai nghieä m laø ( x;y = )     kh a ng vi x2 − y2 − 2x + 2y + 3 = 0 Baøi 2. Giaû i heä phöông trình  . 2 0 y − 2xy + 2x + 4 = Lôøi giaûi Nhaä n thaáy y = 1 khoâ ng thoûa maõn heä phöông trình. Xeù t y ≠ 1 ruù t x = y2 + 4 töø phöông trình thöù hai thay vaø o phöông trình thöù 2y − 2 nhaá t cuû a heä ta ñöôï c: 2  y2 + 4  y2 + 4 + 2y + 3 = 0.   − y 2 − 2.  2y − 2  2y − 2   ( )( ) ⇔ 3y 4 − 12y3 − 4y2 + 32y − 44 =0 ⇔ y2 − 2y + 2 3y 2 − 6y − 22 =0 . 20