Tài liệu GIẢI BÀI TOÁN TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI CÓ NGHIỆM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC VÀ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU HOẶC HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ THOẢ ĐIỂU KIỆN CHO TRƯỚC TỪ VIỆC SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH y’ = 0 VỚI SỐ α BẰNG CÁCH QUI VỀ SO SÁNH VỚI SỐ 0

SÔÛ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO BEÁN TRE TRƯỜNG THPT LEÂ HOAØNG CHIEÁU SÁNG KIẾN KINH NGHIÊ ÊM ĐỀ TÀI: GIẢI BÀI TOÁN TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BÂÂC HAI CÓ NGHIÊÂM THOẢ ĐIỀU KIÊÂN CHO TRƯỚC VÀ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIÊÂU HOĂÂC HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ THOẢ ĐIỂU KIÊÂN CHO TRƯỚC TỪ VIÊÂC SO SÁNH NGHIÊÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH y’ = 0 VỚI SỐ α BẰNG CÁCH QUI VỀ SO SÁNH VỚI SỐ 0 Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn: Giảng dạy bộ môn Toán Họ và tên người thực hiên: Trần Văn Dũng Chức vụ: Giáo viên Sinh hoạt tổ chuyên môn: Tổ Toán Bến Tre, tháng 03 năm 2013 0 PHẦN MỞ ĐẦU : I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI: Hoạt động dạy học là hoạt động trung tâm của nhà trường, hoạt động này chiếm nhiều thời gian nhất và chi phối các hoạt động khác trong nhà trường. Dạy học là con đường trực tiếp, thuận lợi nhất để giúp học sinh có thể nắm được lượng kiến thức đồ sộ của loài người. Hoạt động dạy học có nhiều người tham gia và kết quả dạy học thể hiện sự hợp tác chặt chẽ trong đội ngũ giáo viên đồng thời cần có sự sáng tạo, hợp tác của học sinh. Những năm học gần đây viê êc thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học, chương trình sách giáo khoa có nhiều thay đổi trong đó Bộ Giáo dục Đào tạo không đưa vào chương trình học “ Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”. Do đó trong chương trình khi gặp các bài toán như: “Tìm tham số m để phương trình bâ êc hai và phương trình qui về bâ êc hai có nghiê êm và so sánh nghiê êm đó với mô êt số cho trước” ; “Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước” hay “Tìm cực trị của một hàm số có tham số m thoả mãn một điều kiện cho trước” gặp không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh khi không có công cụ là “Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai”; bên cạnh đó các kỳ thi tuyển sinh đại học thường lại xuất hiện các bài toán nói trên. Qua thực tế giảng dạy và qua trao đổi với các đồng nghiệp tôi đã tôi đã tổng kết và sử dụng định lí Viète (quen thuộc) từ việc so sánh nghiệm của một tam thức bậc hai với một số qui về việc so sánh với số 0 (qui lạ về quen ) để giải quyết một lớp các bài toán nói trên nhằm tạo nên sự phong phú về thể loại và phương pháp giải toán, nhằm giảm nhẹ việc giải toán của học sinh phù hợp với chương trình và giải được các bài toán trong các kỳ thi. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Từ viê êc không sử dụng“Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” để giải quyết các bài toán: “Tìm tham số m để phương trình bâ êc hai và phương trình qui về bâ êc hai có nghiê êm và so sánh nghiê êm đó với mô êt số cho trước” ; “Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước” hay “Tìm cực trị của một hàm số có tham số m thoả mãn một điều kiện cho trước” . . . . Qua các năm thực tế giảng dạy toán theo 1 sách giáo khoa mới và để tháo gỡ phần nào sự lúng túng của học sinh về các dạng toán này đồng thời thực hiê ên tốt viê êc giảm tải chương trình; bám sát chuẩn kiến thức kĩ năng mà Bô ê Giáo Dục Đào Tạo đề ra và chuẩn bị tốt cho các mùa thi sắp tới, tôi xin giới thiệu mô êt phương pháp dùng định lí Viète để giải bài toán bằng cách từ viê êc so sánh nghiê êm của phương trình bâ êc hai với các số cho trước thành viê êc so sánh nghiê êm với số 0. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Qua nhiều năm giảng dạy và tham gia các lớp bồi dưỡng, tôi suy nghĩ, tìm tòi, thử nghiệm và rút ra được một cách dạy học sinh giải một bài toán liên quan đến tham số m. Với cách này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khả năng và năng lực của mình; làm tốt các bài thi và kiểm tra cũng như có thể sáng tạo ra các bài toán mới. 3.1. Phạm vi nghiêm cứu của đề tài bao gồm: - Giải quyết bài toán “Tìm tham số m để phương trình bâ êc hai và phương trình qui về bâ êc hai có nghiê êm và so sánh nghiê êm đó với mô êt số cho trước” - Giải quyết bài toán “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước”. - Giải quyết bài toán “Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1;x2 thoả điều kiê ên cho trước ” 3.2. Đối tượng nghiên cứu: Với chủ trương giảm tải của Bô ê Giáo Dục Đào Tạo đã cắt bỏ đi định lí đảo về dâu tam thức bâ êc hai do đó khi giải mô tê số bài toán liên quan đến viê êc so sánh nghiê êm của phương trình bâ êc hai (qui về bâ êc hai) với mô êt số thì sẽ gă êp không ít khó khăn. Chính vì thế mà tôi đã viết bài này nhằm tháo gỡ phần nào khó khăn đó cho học sinh khi giải các bài toán liên quan. Qua đó giúp cho học sinh dễ dàng tiếp câ ên và làm tốt các bài tâ pê như đã đề câ êp trên đây, trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, Cao đẳng và Đại học. IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Tôi viết đề tài này nhằm giới thiệu cho đồng nghiệp cũng như các em học sinh một phương pháp để giải quyết các bài toán như đã giới thiệu ở trên. Bên cạnh đó 2 phần nào giải quyết được một số khó khăn trong viếc giải các bài tập dạng : “Tìm tham số m để phương trình bâ êc hai và phương trình qui về bâ êc hai có nghiê êm và so sánh nghiê êm đó với mô tê số cho trước” ; “Tìm tham số m để hàm số đơn điệu một khoảng cho trước” hay “Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1;x2 thoả điều kiê ên cho trước” khi dùng phương pháp giải khác thì phức tạp hơn hay không quen thuô cê đối với học sinh V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUA NGHIÊN CỨU: Đối với các bài toán cần giải quyết không dùng “Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” để giải quyết bài toán. Giải quyết bài toán này bằng cách dùng định lý Viète Với phương pháp mà tôi giới thiê êu thì các bài toán mà tham số m có thể có bâ êc khác nhau. PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUÂÂN: 1.1.Điều 26 và điều 31 của Điều lệ trường phổ thông có nêu: Các hoạt động giáo dục bao gồm hoạt động trong giờ lên lớp và hoạt động ngoài giờ lên lớp nhằm giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động. Rèn luyện đạo đức, học tập văn hoá, bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ để nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy và giáo dục; vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo, rèn luyện phương pháp tự học của học sinh. 1.2. Kế hoạch năm học nêu: Thực hiện tốt nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu “Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục”; “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”; “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh” phục vụ yêu cầu nâng cao nguồn nhân lực đáp ứng cho thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa, hội nhập kinh tế quốc tế . Nâng cao chất lượng 2 cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Mỗi thầy cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” 3 Tích cực tổ chức thi đua dạy tốt - học tốt theo tinh thần xây dựng trường học thân thiện - học sinh tích cực. Đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng chất lượng dạy học theo hướng bám sát tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kỹ năng, nội dung giảm tải, đạt sát đối tượng nhằm tăng tỉ lệ học sinh khá giỏi, giảm tỉ lệ học sinh yếu kém… Xây dựng và triển khai thực hiện tốt kế hoạch đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra và đánh giá học sinh trên tinh thần mỗi giáo viên và cán bộ quản lý phải đăng ký và thực hiện một đổi mới trong phương pháp dạy học và quản lý. Giáo viên bộ môn đổi mới phương pháp dạy học theo hướng giúp học sinh chuyển biến phương pháp học, chủ động lĩnh hội kiến thức, biết tự học, chia sẽ với bạn phương pháp học có hiệu quả. Giáo viên bộ môn phải nắm thật chắc danh sách học sinh yếu kém bộ môn mình và có giải pháp khắc phục. 1.3.Kiến thức cơ bản: Định lí Viète: Nếu phương trình bâ êc hai ax2  bx  c  0 (a  0 ) có hai nghiê êm x1;x2 thì x1  x2   b c ;x1x2  2a a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiê êm của phương trình: x2  Sx2  P  0 * Mô êt số kết quả cơ bản dùng trong bài viết: x  0  x  0 xy  0 y  0   x.y  0 i)  ii)   y0 xy  0 x  0    y  0  x  0 xy  0  iii)   y0 x  y  0  2 iv) Cho phương trình ax  bx  c  0(*) , có hai nghiê êm x1;x2 (x1  x2 ) - Điều kiê ên để số  nằm giữa hai nghiê êm phương trình (*) tức là: x1    x2  x1    0  x2    (x1   )(x2   )  0 - Điều kiê nê để số  nhỏ hơn hai nghiê m ê phương trình (*) tức là: 4 x    0   x1  x2  0  x1    x2     1  x2    0 (x1   )(x2   )  0  (x1   )  (x2   )  0 - Điều kiê ên để số  lớn hơn hai nghiê êm phương trình (*) tức là: x    0 (x   )(x2   )  0 x1  x2    x1    x2    0   1   1 x2    0 (x1   )  (x2   )  0 - Điều kiê ên để phương trình (*) có hai nghiê êm phân biê êt thuô êc khoảng( ; ) là: (x1   )(x2   )  0    x1  x2 (x1   )  (x2   )  0   x1  x2       x1  x2   (x1   )(x2   )  0  (x1   )  (x2   )  0  - Điều kiê ên để phương trình (*) có hai nghiê êm phân biê êt thoả:  x    x2 (x   )(x2   )  0 x1      x2   1   1  x1    x2 (x1   )(x2   )  0 II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Khi dạy cho học sinh về phương trình bâ êc hai có tham số gă êp bài toán “Tìm tham số m để phương trình có hai nghiê êm lớn hơn số  (hoă êc mô tê nghiê êm lớn hơn và nghiê êm kia nhỏ hơn  )...” ; “Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên mô êt khỏang ( ; )” hay “Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị sao cho hai điểm cực trị đều nhỏ hơn  ” thì gă pê phải mô tê trở ngại là không có công cụ để giải quyết các bài toán trên nếu sử dụng định lí đảo về dấu tam thức bâ êc hai cũng không phải là đơn giản. Từ những điều đó tôi nghĩ đến cách giải quyết bài toán trên thay vì dùng định lí đảo để so sánh nghiê êm của tam thức bâ êc hai với các số thực ta quy về so sánh nghiê êm của tam thức bâ êc với các số thực bằng cách dùng định lí Viète. III. CÁC BIÊÂN PHÁP TIẾN HÀNH: Xuất phát từ định lí Viète và viê êc so sánh hai nghiê êm của phương trình bâ êc hai với số 0. Tôi đã hướng dẫn các em học sinh qui các bài toán so sánh với số  trở 5 thành so sánh với số 0. Chẳng hạn, khi so sánh x1    x2 thì ta chuyển thành x1    0  x2   . . . 1.MÔ ÊT SỐ BÀI TOÁN CỤ THÊ 1.1 Bài toán tìm điều kiê ên của tham số để phương trình bâ êc hai phương trình qui về bâ êc hai có nghiê êm thoảx1    x2 ; x1  x2   ;   x1  x2   Bài toán 1: Cho phương trình kx2  2(k  1)x  k  1  0 (1). Tìm k để phương trình trên có 1 nghiê m ê lớn hơn 1 và môt nghiê m ê nhỏ hơn 1 ( bài tâ pê 21b. Tr 81 SGK Đại số 10 NC- NXB GD) Lời giải: TH1: Khi k = 0; phương trình (1) trở thành : 2x  1  0  x  1 2 TH2: Khi k  0 ; phương trình (1) có nghiê êm thoả đề bài khi và chỉ khi :   '  0 k  1  0     x1    x2 x1  1  0  x2  1 k  1 k  1    (x1  1)(x2  1)  0 x1x2  (x1  x2 )  1  0 k  1  k  1   k  1 2(k  1)    k0 k  0   1  0    k k Vâ êy k  0 là giá trị cần tìm. Bài toán 2: Cho phương trình. x2  2mx  m2  0 (2). Tìm m để phương trình trên có nghiê êm thoả mãn:x1  x2  1 (với x1;x2 là nghiê êm của phương trình (2)) Lời giải: Phương trình (2) có nghiê m ê thoả đề bài khi và chỉ khi :  2m2  0,m  0 m  0   '  0    (x1  1)(x2  1)  0   x1x2  (x1  x2 )  1  0  x  1  x2  1  0 x  1  x  1  0 x  x  0  1 2 2  1  1 m  0 m  0   2   m  2m  1  0   1  2  m  1  2  0  m  1  2  2m  0 m  0   6 Vâ êy 0  m  1  2 là giá trị cần tìm. Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ẩn x sau có hai nghiê êm trái dấu (m  3).16x  (2m  1).4x  m  1  0 (3). Lời giải: Đă êt t  4x(t  0).Phương trình đã cho trở thành: (m  3).t 2  (2m  1).t  m  1  0 (3’). Với mỗi t  0 , phương trình 4x  t có nghiê m ê duy nhất. Do đó x x1  0  x2  4 1  1  4 x2 nên để phương trình đã cho có 2 nghiê êm trái dấu thì (3’) có hai nghiê êm t1;t2 thoả mãn 0  t1  1  t2 2  Khi m = -3 phương trình (3’) trở thành 7t  2  0  t   ( không 7 thoả)  Khi m  3 phương trình (3’) là phương trình bâ êc hai. - Phương trình (3’) có hai nghiê êm dương phân biê êt khi và chỉ khi:     20m  11  0  2m  1 11 0  1  m   (*)  20  m 3 m1  0 m  3 - t1  1  t2  (t1  1)(t2  1)  0  t1t2  (t1  t2 )  1  0   3  m  3 (**) 4 Kết hợp (*) và (**) ta được 1  m  4m  3 0 m 3 3 4 1.2 Bài toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng cho trước 3 2 Bài toán 4: Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số: y   x  3x  mx  4 nghịch   biến trên khoảng 0 ;  . Lời giải: *Tập xác định hàm số: D = �. 7 2 *Ta có: y '   3x  6x  m  *Hàm số nghịch biến trên khoảng 0 ;    y '   3x2  6x  m  0 ;x  0 (I) Ta có:  '  9  3m TH1: ۣ'  0 9 3m 0 m 3 . Khi đó y '  0,x  �, do đó y '  0,x  0 ' ۳0 TH2:  9 3m 0 m 3 . Khi đó y '  0 có hai nghiê êm x1;x2 phân biê êt ( x1  x2 ). x .x  0 y '  0,x  0  x1  x2  0   1 2 ۣ x1  x2  0 m 0   3   6 0  3 m 0 Kết hợp TH1 và TH2 ta được m  0 . Vâ êy với m  0 thì hàm số trên nghịch biến trên  0 ;   Bài toán 5: Cho hàm số y  x3  2(2m  1)x2  (m2  3m  2)x  4 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) Lời giải: * Tập xác định hàm số: D  �. y '  3x2  4(2m  1)x  m2  3m  2  g(x) * Ta có :  '  15m2  7m  2 -TH 1 : Khi  '  0  2  m  1 thì g(x)  0,x  �, do đó g(x)  0,x  1 13 m  2 -TH2 :  '  0   1 thì phương trình có hai nghiê êm phân biê êtx1;x2 ( x1  x2 ). m  13 Hàm số đồng biến trên (1; )  x1  x2  1 (x  1)(x2  1)  0  x1  1  x2  1  0   1 x1  x2  2 8  11  117  m  2  m2  11m  1  0    m  11  117 ۣ   8 m  2   2  1 m   4 Kết hợp TH1 và TH2 ta được : m  m 11  117 2 11  117 2     3 2 Bài toán 6: Cho hàm số y  x � 3 2m  1 x  12m  5 x  2 . Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; +  ). Lời giải: *Tập xác định hàm số: D = R.     2 2 *Ta có : y '  3x  6 2m  1 x  12m  5 ,đă tê g(x)  3x  6 2m  1 x  12m  5 ' 2 2 *Xét g(x)  9(2m  1)  3(12m  5)  36m  6 TH1 :Khi   0  TH2 : Khi   0   6 6 0, x . Thì g(x)   m 6 6 � g(x) 0, x 2 6  m . Thì g(x)  0 có hai nghiê êm x1;x2 phân biê êt (x1  x2 6 ).  *Hàm số đồng biến trên khoảng 2 ;      g(x)  3x2  6 2m  1 x  12m  5  0;x  2  2(2m  1)  4 (x1  2)(x2  2)  0  x1x2  2(x1  x2 )  4  0     x1  x2  2     5  x1  x2  4 x1  x2  4  4m   0 3   m    m   1 2 5 12 Kết hợp TH1 & TH2 ta được m  5 5 . Vâ êy m  thì hàm số đồng biến trên 12 12 khoảng (2; ) Bài toán 7: (ĐH KTQD 1997)Cho hsố y  x3  ax2  (2a2  7a  7)x  2(a  1)(2a  3) . Tìm a để hàm số trên đồng biến trên [2:+ ) 9 Lời giải: *Tập xác định hàm số D  � y '  3x2  2ax  (2a2  7a  7) , vì hàm số liên tục trên �.Do đó hàm số trên đồng biến trên [2:+ ) ۳y ' 0, x 2 *Ta có  '  7a2  21a  21  0,a , phương trình y '  0 có hai nghiê êm phân biê êt  (x  2)(x2  2)  0 x1;x2 ( x1  x2 ). Vì vâ êy y '  0,x  2  x1  x2  2   1  x1  x2  4   2a 4   3   2   2a  7a  7  2. 2a  4  0  3 3  1  a  a  6    2  2a  3a  5  0 a  6   5  1  a   2 5 5 . Vâ êy giá trị cần tìm là 1  a  thì hàm số đồng biến trên [2:+ ) 2 2 1.3 Bài toán tìm điều kiện m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu và thoả mãn điều kiê Ân cho trước     3 2 Bài toán 8: Cho hàm số y  x  1 - 2m x  2 - m x  m  2 ( m là tham số) (1).Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. (Đề thi dự bị ĐH, CĐ khối B 2006) Lời giải: * Taäp xaùc ñònh D =�. Ta có y '  3x  2(1  2m)x  2  m 2 Yêu cầu của bài toán  y '  0 có hai nghiệm x1;x2 sao cho: x1  x2  1   2 (1  2m)  3(2  m)  0  4m2  m  5  0   '  0      (x1  1)(x2  1)  0   x1x2  (x1  x2 )  1  0 x1  1  x2  1  0 x  x x  x 2 2  1  1 1 1  2  2  5 m  hoaëc m  1 m  1 4    5m  7  0  5  m 7  1  2m  3 4 5   10     3 2 Vâ êy hàm số y  x  1 - 2m x  2 - m x  m  2 ( m là tham số) (1).Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ m  1 của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 khi  5 7 m 4 5 Bài toán 9: hàm số y  x3  3mx2  3(m2  1)x  2 . Tìm m để đạt cực đại ; cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung. (ĐH THỂ DỤC THỂ THAO I năm 2001) Lời giải: *Tâ pê xác định D  �, * Ta có y '  3x2  6mx  3(m2  1) Yêu cầu của bài toán  y '  0 có hai nghiệm x1;x2 sao cho x1  0  x2  x1.x2  0 3(m2  1)  0  1  m  1. Vâ êy 1  m  1 là các giá trị m cần tìm 3 1 Bài toán 10: Tìm m để hàm số y  x3  (m  2)x2  (5m  4)x  m2  1 đạt cực 3  đại, cực tiểu tại các điểm x1,x2 thoả mãn : x1  1  x2 Lời giải: * Taäp xaùc ñònh D =� * Ta có : y '  x2  2(m  2)x  (5m  4) * Hàm số đạt cực đại , cực tiểu  y '  0 coù hai nghieäm phaân bieät   '  0 m  9 (1). Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x ,x .    m  9m  0 1 2 m  0 2 Theo định lí Viète ta có : x1  x2  2(m  2)  x1x2  5m  4 * Yêu cầu của bài toán ta có : x1  1  x2  (x1  1)(x2  1)  0  5m  4  2m  4  1  0  3m  9  0  m  3 (2) 11 * Kết hợp (1) và (2) ta được m  3 . Vâ êy với m  3 thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm x1,x2 thoả mãn : x1  1  x2 Bài toán 11: Cho hàm số y  x3  2(2m  1)x2  (m2  3m  2)x  4 .Tìm tất cả các tham số m để đồ thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung (Đại học Đà Nẵng khối A-2001) (Nhâ ên xét: Ta có y' là tam thức bâ êc hai; đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm hai phía của trục tung khi điểm cực đại và điểm cực tiểu x1;x2 của hàm số trái dấu) Lời giải: *Tâ pê xác định D  �, * Ta có y '  3x2  4(2m  1)x  (m2  3m  2) Yêu cầu của bài toán  y '  0 có hai nghiệm x1;x2 sao cho x1  0  x2  x1.x2  0 (m2  3m  2)  0  1  m  2 . Vâ êy 1  m  2 là các giá trị m cần tìm 3 1 Bài toán12: Tìm m để hàm số y  x3  mx2  mx  1 , Đạt cực đại ; cực tiểu tại 3  các điểm x1;x2 sao cho x1  x2  8 (Nhâ ên xét ta có y' là tam thức bâ êc hai; x1  x2  8  (x1  x2 )2  64  (x1  x2 )2  4x1x2  64 ) Lời giải: *Tâ pê xác định D  �, y '  x2  2mx  m *Yêu cầu bài toán    '  0 x1  x2  8   2 (x1  x2 )  4x2x1  64  m  1    m  0  (2m)2  4m  64  8   1  65 m  2   1  65 m   2 12  1  65 m  2 Vâ êy, với  thì hàm số có cực đại và cực tiểu thoả mãn đề bài.  1  65 m  2 *.NHÂÊN XÉT: Rõ ràng lời giải trên ngắn gọn, tháo gỡ phần nào sự lúng túng của học sinh khi gặp dạng toán này đồng thời gần gũi hơn với học sinh, hơn thế nửa là bỏ qua đi viê êc biến đổi phương trình về ẩn mới như cách giải sau đây     3 2 Bài toán 3: Cho hàm số y  x � 3 2m  1 x  12m  5 x  2 . Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; +  ). Ta giải bài toán 3 bằng phương pháp như sau . y '  3x2  6.( 2m  1)x  12m  5  '  6(6m2  1)  1 Nếu m    biến trên 2 ;   Nếu m  thì  '  0 khi đó y '  0 x  R  Hàm số đồng biến R, nên đồng 6 1 thì y’ có 2 nghiệm x1< x2.Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng 6  2 ;   ta phải có x1  x2  2 2 Xét: g(x)  3x  6.( 2m  1)x  12m  5 2 Đặt x = t +2 ta có : g(t)  3t  6.( 2m  1)t  12m  5 x1  x2   2 t1 t2 0  1 m  6  5  m 12   m 1  2    0  t  Pt 0 S  0  t   1 m 6 5 Tóm lại để y đồng biến trên khoảng 2 ;  ta có m 2.LỜI BÌNH : 13 12 hoặc 1 6  m 5 12 Cách giải ở * NHẬN XÉT đòi hỏi phải tính toán chuyển qua mô êt ẩn số mới đôi khi viê êc biến đổi đó sẽ gây khó khăn cho học sinh, chẳng hạn : biến đổi làm sai phương trình, sai điều kiê ên của phương trình ban đầu và phương trình sau . . . . IV HIÊÂU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIÊÂM : Với viê êc áp dụng cách giải trên đây sẽ giải quyết bài toán “Tìm tham số m để phương trình có hai nghiê êm lớn hơn số  (hoă êc mô tê nghiê êm lớn hơn và nghiê êm kia nhỏ hơn  )...” ; “Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước” hay “Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1;x2 thoả điều kiê ên cho trước ” gặp không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh khi không có công cụ là “Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai” sẽ dễ dàng hơn và hiê êu quả cao hơn. Thông qua các lớp dạy tôi nhâ nê thấy các em học sinh giải quyết bài toán này bằng phương pháp vừa nêu đạt kết quả cao hơn so với viê êc giải bài toán trên với phương pháp tam thức bâ êc hai ở phần *.NHÂÂN XÉT trên đây. Sau đây là kết quả so sánh việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm và không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, qua các bài kiểm tra liên quan các vấn đề nêu trên của các lớp Sĩ Giỏi số 12A2 (2009-2010) 12A2 (2010-2011) 12A2 (2011-2012) 12A1 (2012-2013) 12B9 (2010-2011) 12B3 (2011-2012) 12B2 (2012-2013) Khá SL % SL 9 20 16 44 13 28.9 Tr bình Ghi chú % SL % 35.6 15 33.3 4 8.9 1 2.3 20 44.4 11 24.4 1 2.3 Đã dùng SKKN 44 15 34.1 20 45.5 8 1 2.2 Đã dùng SKKN 44 16 36.4 22 50 5 1 2.2 39 4 10.3 8 39 6 15.3 10 36 6 16.7 11 20. 6 SL 6 18. 2 11.4 13 33.3 11 28.2 25.6 16 30. % Kém SL 45 % Yếu 41. 0 14 38.9 14 SKKN Đã dùng SKKN HKI 3 7.6 6 15.4 1 2.7 4 11.1 1 2.7 PHẦN KẾT LUẬN Chưa dùng Chưa dùng SKKN Đã dùng SKKN Đã dùng SKKN HKI I. Những bài học kinh nghiệm : Phương pháp trên khá hiệu quả giải quyết một cách nhanh gọn một lớp bài toán nói ở trên đây. Tuy nhiên để thực hiê ên tốt những ý đồ trên đây thì giáo viên cần phải nỗ lực nhiều hơn nữa trong viê êc chuẩn bị tốt phần kiến thức trên để học sinh dễ dàng áp dụng phương pháp này hơn. II. Ý nghĩa của sáng kiến nghiệm: Giúp cho học sinh giải các bài toán nói trên đây dễ dàng hơn và ít phức tạp hơn III. Khả năng ứng dụng, triển khai: Sáng kiến kinh nghiệm này có thể ứng dụng giảng dạy cho học sinh lớp 10,11,12 trong chương trình phổ thông và dành cho ôn thi tốt nghiệp THPT và Đại học IV. Lời kết : Qua mô êt thời gian tìm tòi và áp dụng kết quả của SKKN đã đạt mô êt số kết quả. Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn BGH, các đồng nghiê êp trong tổ chuyên môn đã chân tình góp ý kiến và bổ sung những thiếu sót để SKKN của tôi được hoàn thành. 15 TÀI LIÊêU THAM KHẢO 1. Trần Văn Hạo ( tổng chủ biên),Vũ Tuấn (chủ biên),Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, 2008, Sách giáo khoa Giải Tích 12 Cơ Bản, Nhà xuất bản Giáo Dục 2. Trần Văn Hạo ( tổng chủ biên),Vũ Tuấn (chủ biên),Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, 2008, Sách bài tập Giải Tích 12 Cơ Bản, Nhà xuất bản Giáo Dục 3. Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên) Nguyễn Huy Đoan (chủ biên),Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đă nê g Hùng Thắng, 2008,Sách giáo khoa Giải Tích 12 Nâng Cao,Nhà xuất bản Giáo Dục 4. Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên) Nguyễn Huy Đoan (chủ biên),Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đă êng Hùng Thắng, 2008, Sách bài tập Giải Tích 12 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 5. « Tài Liê êu Bồi dưỡng giáo viên thực hiê ên chương trình môn toán», 2008, Nhà xuất bản Giáo Dục 6. Trần Phương tuyển tâ pê các chuyên đề luyê ên thi đại học môn toán – NXB Hà Nô êi - 2008 7. « Các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng các năm » 8. Tham khảo từ Internet. Các website : www.math.vn; www.toanthpt.net; www.onthi.com; www.mathvn.com ; www.baigiang.bachkim.vn 16 Mục Lục Trang PHẦN MỞ ĐẦU 1 I. Bối cảnh đề tài 1 II. Lý Do Chọn Đề Tài 1 III. Phạm Vi và Đối Tượng Nghiên Cứu 2 IV. Mục Đích Nghiên Cứu 2 V. Điểm Mới Trong Kết Quả Nghiên Cứu PHẦN NỘI DUNG I. Cơ Sở Lý Luận 3 II. Thực Trạng Của Vấn Đề 3 3 5 III. Các Biê nê Pháp Tiến Hành 5 1. Mô tê Số Bài Toán Cụ Thể 6 1.1 Bài toán tìm điều kiê ên của tham số để phương trình bâ êc hai phương trình qui về bâ êc hai có nghiê êm thoảx1    x2 ; x1  x2   ;   x1  x2   6 1.2 Bài toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng cho trước 1.3 Bài toán tìm điều kiện m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu 17 7 và thoả mãn điều kiê ên cho trước cực tiểu và thoả mãn điều kiê ên cho trước 10 2. Lời Bình 13 IV. Hiê êu Quả Của Sáng Kiến Kinh Nghiê êm 13 KẾT LUẬN 14 I. Những bài học kinh nghiệm 14 II.Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 15 III. Khả năng ứng dụng, triển khai 15 IV.Lời kết 15 Tài Liệu Tham Khảo Mục Lục 16 17 18