Tài liệu định lý điểm bất động leray schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận được sự tạo điều kiện và động viên của nhiều thầy cô, bạn bè. Nhân dịp này, lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô trong Bộ môn Giải tích, các bạn sinh viên Lớp K55 ĐHSP Toán, đặc biệt là TS. Vũ Việt Hùng, người thầy đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tôi cũng như động viên tôi hoàn thành khóa luận này. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận. Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về những sự giúp đỡ quý báu nói trên. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Hoàng Tùng Lâm 1 Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric . . 8 1.1.3 Không gian metric đầy . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . 10 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 1.3 1.4 1.5 Tôpô trên một tập hợp. Tập đóng, tập mở của một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Lân cận và tôpô cho bởi hệ lân cận . . . . . . 12 1.2.3 Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô . . . 12 1.2.4 Không gian tôpô liên thông . . . . . . . . . . . 13 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Định lý Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . 14 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . 14 1.4.1 Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . 14 1.4.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach . 16 Một số định lý quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 2 Ứng dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm 19 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm (2.1) - (2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.4 20 Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm (2.1) - (2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Khảo sát bài toán đầu có đối số chậm (2.1) - (2.4) . . 39 Kết luận và Kiến nghị 47 Tài liệu tham khảo 48 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khóa luận Lý thuyết điểm bất động được hình thành từ những công trình đầu tiên của Brouwer và Banach, cụ thể là Brouwer với công trình điểm bất động cho ánh xạ đơn trị liên tục năm 1912 và Banach nghiên cứu điểm bất động cho ánh xạ co năm 1922. Hai công trình này khởi đầu cho hai hướng khác nhau, vạch ra hướng phát triển cho lý thuyết quan trọng này và trở thành công cụ ứng dụng trong các ngành khoa học khác nhau. Có thể nói, từ khi ra đời, lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động “. Sự phát triển của “ Lý thuyết điểm bất động “ gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani,.... Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nó đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Cùng với sự phát triển và các tác động tích cực của các lý thuyết khác mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, sinh học, cơ học. Các ứng dụng của định lý điểm bất động trong việc nghiên cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng cũng được rất nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Với mong muốn được tìm hiểu về ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân 4 và được tiếp cận với những kết quả mới trong lĩnh vực này cùng với sự định hướng của giảng viên hướng dẫn, tôi chọn khóa luận “Định lý điểm bất động Leray-Schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co" để tìm hiểu và nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu - Khảo sát sự tồn tại nghiệm, tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân cấp hai có chậm. - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân cấp hai có chậm. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu, trình bày và chứng minh sự tồn tại nghiệm, tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có chậm. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như Seminar với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn và các sinh viên khác. Từ đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận nghiên cứu khoa học. 6. Đóng góp của khóa luận - Khóa luận đã chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có đối số chậm. - Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp cho phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm 7. Cấu trúc của khóa luận Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây: 5 Chương 1: Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cần thiết và các kiến thức cơ bản về không gian metric,không gian tôpô, không gian tôpô liên thông, không gian compact, không gian định chuẩn,... và một số định lý quan trọng dùng cho chương hai của khóa luận. Chương 2: Trong chương này chúng tôi áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder và nguyên lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có đối số chậm. Cũng với phương pháp này sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phương trình đang xét cũng được nghiên cứu. Cuối cùng, trong phần Kết luận, chúng tôi điểm lại các kết quả nghiên cứu chính trình bày trong khóa luận. Đồng thời, tôi cũng mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên cứu tiếp theo. Tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều sự quan tâm và chia sẻ của các thầy cô, bạn bè và những người quan tâm tới chủ đề này giúp hoàn thiện các kết quả của khóa luận. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này tôi trình bày một số khái niệm cần thiết và các kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian tôpô, không gian tôpô liên thông, không gian compact, không gian định chuẩn,... và một số định lý quan trọng dùng cho chương sau của khóa luận. 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho tập X 6= ∅. Ta gọi hàm số thực: ρ : X × X → R+ (x, y) 7→ ρ(x, y) là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. ρ(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X, 3. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X. Cặp (X, ρ), với ρ là metric trên X , được gọi là một không gian metric. Định nghĩa 1.2. Cho (X, ρ) là một không gian metric. Ta nói dãy (xn )n∈N∗ ∈ X hội tụ tới phần tử x ∈ X (hay x là giới hạn của dãy (xn )n∈N∗ ) nếu: lim ρ(xn , x) = 0. n→∞ 7 Kí hiệu: xn → x khi n → ∞ hoặc lim xn = x. n→∞ Như vậy lim xn = x khi và chỉ khi n→∞ (∀ε > 0)(∃N = N (ε) > 0) : (∀n ∈ N∗ )(n > N ⇒ ρ(xn , x) < ε). Định lý 1.3. Hàm khoảng cách ρ(x, y) là hàm liên tục theo các biến x, y theo nghĩa: Nếu xn → x, yn → y khi n → ∞ thì ρ(xn , yn ) → ρ(x, y) khi n → ∞. Chứng minh. Cho (x, y) ∈ X × X. Giả sử (xn , yn )n∈N∗ ⊂ X × X thỏa mãn xn → x, yn → y khi n → ∞. Khi đó, với mọi n ∈ N∗ ta có: |ρ(xn , yn ) − ρ(x, y)| 6 ρ(xn , x) + ρ(yn , y) → 0 khi n → ∞. Suy ra: lim ρ(xn , yn ) = ρ(x, y). n→∞ Định nghĩa 1.4. Cho tập A ⊂ X và điểm x0 ∈ X . Ta nói điểm x0 là điểm trong của tập A khi và chỉ khi: (∃r > 0) | B(x0 , r) ⊂ A. Tập hợp tất cả các điểm trong của tập A gọi là phần trong của tập A và kí hiệu là IntA. Định nghĩa 1.5. Ta nói tập A ⊂ X là tập mở nếu mọi điểm của A đều là điểm trong của A, nghĩa là IntA = A. Ta gọi tập B ⊂ X là tập đóng nếu CB = X\B là tập mở trong X . 1.1.2 Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là các không gian metric và f : A → Y là một ánh xạ từ tập con A của X đến Y . Ta nói: 1) f liên tục tại x0 ∈ A nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0)(∃δ = δ(x0 , ε) > 0) sao cho (∀x ∈ A)(ρ(x, x0 ) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x0 )) < ε); 8 2) f liên tục trên A nếu và chỉ nếu f liên tục tại mọi điểm của A. 3) f liên tục đều trên A nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)|(∀(x0 , x00 ) ∈ A × A) (ρ(x0 , x00 ) < δ ⇒ ρ(f (x0 ), f (x00 )) < ε). Định nghĩa 1.7. Ánh xạ f : X → Y từ không gian metric X vào không gian metric Y được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu thỏa mãn điều kiện: (∀x, y ∈ X)ρ(f (x), f (y)) = ρ(x, y) Nếu f là ánh xạ đẳng cự từ X lên Y thì không gian metric X và Y được gọi là đẳng cự với nhau. Định nghĩa 1.8. Ta gọi ánh xạ f : X → Y là phép đồng phôi từ không gian metric X lên không gian metric Y nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f −1 liên tục. Hai không gian metric X và Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y . 1.1.3 Không gian metric đầy Định nghĩa 1.9. Dãy phần tử (xn )n∈N∗ trong không gian metric X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0), (∃nε ∈ N∗ )| (∀m, n ∈ N∗ ), (m, n > nε ⇒ ρ(xn , xm ) < ε). Định nghĩa 1.10. Không gian metric X được gọi là không gian metric đầy nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ tới một phần tử thuộc nó. 1.1.4 Tập compact Định nghĩa 1.11. Giả sử A là tập con trong không gian metric X . Khi đó ta nói: 9 1) A là tập compact trong X nếu và chỉ nếu: ∀(xn )n∈N∗ ⊂ A đều ∃(xkn ) ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ A; 2) A là tập compact tương đối trong X nếu và chỉ nếu ∀(xn )n∈N∗ ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ X; 3) A là tập hoàn toàn bị chặn trong X nếu ∀ε > 0, ∃H = {x1 ; . . . ; xn } ⊂ X sao cho A ⊂ n [ B(xi , ε). i=1 Trong trường hợp này tập hữu hạn H ở trên được gọi là một ε- lưới hữu hạn của A. 4) A là tập bị chặn trong X nếu tồn tại hình cầu B(x0 , r) ⊂ X sao cho A ⊂ B(x0 , r). Định lý 1.12. Cho f : A → Y là một ánh xạ liên tục từ tập A trong không gian metric X đến không gian metric Y . Khi đó, nếu A là tập compact trong X thì f (A) là tập compact trong Y . Chứng minh. Lấy dãy phần tử tùy ý (yn )n∈N∗ ⊂ f (A), khi đó tồn tại dãy (xn )n∈N∗ ⊂ A sao cho f (xn ) = yn , (∀n ∈ N∗ ). Vì A là tập compact nên tồn tại dãy con (xkn )n∈N∗ sao cho xkn → x ∈ A. Do f liên tục tại x ∈ A nên ykn = f (xkn ) → f (x) = y ∈ f (A). Như vậy, dãy (yn ) có dãy con {ykn } hội tụ trong f (A), chứng tỏ f (A) là tập compact trong Y . 1.1.5 Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.13. Ánh xạ f : X −→ X từ không gian metric (X, ρ) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số θ : 0 ≤ θ < 1 sao cho:
ρ f (x), f (y) ≤ θρ(x, y), ∀x, y ∈ X. Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X −→ X nếu f (x0 ) = x0 . 10 Định lý 1.14. (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy vào chính nó có duy nhất một điểm bất động. Chứng minh. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy và f : X → X là một ánh xạ co. Lấy điểm tùy ý x0 ∈ X và đặt: x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ..., xn+1 = f (xn ), ..., (n = 0, 1, 2, ...), Ta được dãy (xn )n∈N∗ ⊂ X . Ta có: ρ(x1 , x2 ) = ρ(f (x0 ), f (x1 )) 6 θρ(x0 , x1 ) ρ(x2 , x3 ) = ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 θ2 ρ(x0 , x1 )... Bằng quy nạp ta có (∀n ∈ N∗ ), ρ(xn , xn+1 ) 6 θn ρ(x0 , x1 ). Từ đó, với mọi n, p ∈ N∗ ta có 0 6 ρ(xn , xn+p ) 6 ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + ... + ρ(xn+p−1 , xn+p ) 6 (θn + θn+1 + ... + θn+p−1 )ρ(x0 , x1 ) p−1 X θ n+k ρ(x0 , x1 ) 6 k=0 ∞ X θ n+k k=0 (1.1) θn n→∞ ρ(x0 , x1 ) −−−→ 0 ρ(x0 , x1 ) = 1−θ Như vậy, dãy (xn ) là một dãy Cauchy trong X . Do X là không gian đầy nên tồn tại lim xn = x ∈ X . Vì f liên tục tại x nên: n→∞ x = lim xn+1 = lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (x). n→∞ n→∞ n→∞ Vậy x là điểm bất động của f . Cuối cùng, nếu y cũng là điểm bất động của f thì ta có 0 6 ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y)) 6 θρ(x, y). Suy ra (1 − θ)ρ(x, y) 6 0. Do 0 < θ < 1 nên ta có: ρ(x, y) = 0, hay y = x. Vậy f chỉ có duy nhất một điểm bất động. 11 1.2 Không gian tôpô 1.2.1 Tôpô trên một tập hợp. Tập đóng, tập mở của một tập hợp Định nghĩa 1.15. Giả sử X là một tập hợp khác rỗng. Ta gọi một họ τ các tập con của X là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau: 1. ∅ ∈ τ, X ∈ τ 2. Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ . 3. Nếu {Gi }i∈I ⊂ τ thì S ∈ τ. i∈I Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô. Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập mở trong X đối với tôpô τ . Cho τ1 , τ2 là hai tôpô trên X . Nếu τ1 ⊂ τ2 thì ta nói tôpô τ1 yếu hơn τ2 hay tôpô τ2 mạnh hơn τ1 và kí hiệu là τ1 ≤ τ2 hay τ2 ≥ τ1 . Khi đó, mọi tập mở theo tôpô τ1 đều mở theo tôpô τ2 . Định nghĩa 1.16. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Khi đó tập G ⊂ X được gọi là tập mở nếu G ∈ τ . Tập A ∈ X là tập đóng nếu và chỉ nếu X\A là tập mở. Định lý 1.17. Trong không gian tôpô (X, τ ) ta có: 1) Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở. Hợp của một họ tùy ý các tập mở là tập mở. 2) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là một tập đóng. Giao của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng. 1.2.2 Lân cận và tôpô cho bởi hệ lân cận Định nghĩa 1.18. Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈ X . Ta gọi tập hợp V ∈ X là một lân cận của điểm x nếu tồn tại một tập hợp G ∈ τ sao cho x ∈ G ⊂ V . Tập tất cả các lân cận của điểm x được kí hiệu là νx . 12 Ta thấy rằng với mọi x ∈ X , bản thân không gian X là một lân cận của x nên X ∈ νx , vì thế νx 6= ∅. Họ νx có các tính chất sau đây: a) Nếu V ∈ νx thì x ∈ V , b) Nếu V ∈ νx , U ⊃ V thì U ∈ νx , c) Nếu U, V ∈ νx tì U ∩ V ∈ νx , d) Nếu V ∈ νx thì tồn tại W ⊂ V | x ∈ W và W ∈ νy với mọi y ∈ W . Định lý 1.19. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X được đặt tương ứng với một họ υx các tập con của X có các tính chất a), b), c), d) ở trên. Khi đó họ τ tất cả các tập con D ⊂ X sao cho D ∈ υx với mọi x ∈ D lập nên một tôpô trên X . Trong tôpô này họ tất cả các lân cận của mỗi điểm x ∈ X chính là υx . Ta gọi tôpô τ đó là tôpô cho bởi hệ lân cận {υx }x∈X . 1.2.3 Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô Định nghĩa 1.20. Cho f : X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y . Ta nói f liên tục tại x0 ∈ X nếu và chỉ nếu : Với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊂ V . Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi điểm của X . Định lý 1.21. Cho f : X → Y là một ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 1) f liên tục trên X ; 2) Nghịch ảnh qua f của mọi tập mở trong Y là tập mở trong X; 3) Nghịch ảnh qua f của mọi tập đóng trong Y là tập đóng trong X. 13 1.2.4 Không gian tôpô liên thông Định nghĩa 1.22. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô X và ∅ 6= A ⊂ X . Khi đó họ σ tất cả các tập con của A có thể biểu diễn được dưới dạng giao của A và một tập mở trong X , nghĩa là: σ = {A ∩ G|G ∈ τ } là một tôpô trên A - gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên X và được kí hiệu σ = τ |A . Khi đó không gian tôpô (A, τ |A ) được gọi là không gian tôpô (X, τ ). Định nghĩa 1.23. Không gian tôpô X được gọi là không gian tôpô liên thông nếu và chỉ nếu mọi tập con D của X vừa đóng vừa mở trong X thì D = ∅ hoặc D = X . Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông nếu và chỉ nếu bản thân A với tôpô của X cảm sinh trên A là một không gian tôpô liên thông. Tập con A của không gian tôpô X được gọi là một thành phần liên thông của X nếu A là tập liên thông cực đại của X ( theo quan hệ bao hàm). 1.3 Không gian compact 1.3.1 Định nghĩa và đặc trưng Định nghĩa 1.24. Cho X là một không gian tôpô. Tập con A ⊂ X được gọi là tập compact trong X nếu mọi phủ mở của A đều chứa một phủ con hữu hạn của A. Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu bản thân X là một tập compact của X . Định lý 1.25. Cho X là một không gian tôpô. Khi đó các tính chất sau là tương đương: 1) X là không gian compact. 2) Mọi họ các tập đóng trong X có giao rỗng đều chứa một họ con hữu hạn có giao rỗng. 14 3) Mọi họ các tập đóng trong X có tính chất giao hữu hạn đều có giao khác rỗng. 1.3.2 Định lý Arzela-Ascoli Định lý 1.26. (Arzela-Ascoli) Một tập con A ⊂ C(X, Y ) là hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Với mỗi x ∈ X , tập {f (x) : f ∈ A} là tập hoàn toàn bị chặn trong A. (ii) A là đồng liên tục địa phương, tức là với mọi x0 ∈ X và với mọi  > 0 đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho ρ(f (x), f (y)) <  với mọi f ∈ A và với mọi x, y ∈ U . Hệ quả 1.27. Giả sử X là không gian compact và Y là không gian metric đầy. Khi đó tập con đóng A ⊂ C(X, Y ) là tập compact khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Với mọi x ∈ X , tập {f (x) : f ∈ A} là tập hoàn toàn bị chặn trong Y . (ii) A là đồng liên tục địa phương. Hệ quả 1.28. Một tập con đóng A ⊂ C(X, R) là tập compact khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Với mọi x ∈ X , tập {f (x) : f ∈ A} là tập hoàn toàn bị chặn trong R. (ii) A là đồng liên tục địa phương. 1.4 Không gian định chuẩn và không gian Banach Trong mục này, tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết nhất về không gian định chuẩn và không gian Banach làm kiến thức chuẩn bị cho chương sau. 1.4.1 Chuẩn trên không gian vector Định nghĩa 1.29. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau: 15 1) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0; 2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E ; 3) ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E . Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E , thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E . Khi ρ là một chuẩn, thì số kxk := ρ(x) được gọi là chuẩn của vector x. Nhận xét 1.30. Giả sử k.k là một chuẩn trên E . Khi đó: 1. Công thức: d(x, y) := kx − yk, ∀x, y ∈ E xác định một khoảng cách trên E , gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn.   2. Ta có kxk − kyk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ E , thật vậy cho x, y ∈ E từ điều kiện 3) ta có: kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk Suy ra kxk − kyk ≤ kx − yk và kyk − kxk ≤ kx − yk.   Chứng tỏ kxk − kyk ≤ kx − yk. Cuối cùng, nếu E là không gian vector và a, b ∈ E , tổng quát về đoạn thẳng trong R, ta sẽ gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b: [a; b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1}. Định nghĩa 1.31. Tập con X trong không gian vector E được gọi là: 1. Tập lồi nếu [a; b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X ; 2. Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ| ≤ 1; 3. Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ X với mọi λ ∈ K mà |λ| ≤ ε. 16 Mệnh đề 1.32. Cho k.k là một chuẩn trên không gian vector E , khi đó các tập hợp: B(0; 1) = {x ∈ E : kxk < 1}, B[0; 1] = {x ∈ E : kxk ≤ 1}, là lồi, cân, hút. Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh B(0; 1) là tập lồi, cân và hút. Cho a, b ∈ B(0; 1)và 0 ≤ t ≤ 1 ta có: k(ta+(1−t)bk ≤ ktak+k(1−t)bk = tkak+(1−t)kbk < t+1−t = 1. Mặt khác kλxk = |λ|kxk ≤ kxk < 1. Suy ra B(0; 1) là lồi và cân. Cuối cùng nếu x ∈ E thì do λx ∈ B(0; 1), ∀λ : |λ| < 1 kxk+1 nên B(0; 1) là tập hút. Việc chứng minh B[0; 1] là tập lồi, cân, hút là hoàn toàn tương tự. 1.4.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.33. Không gian vector E cùng với một chuẩn k.k đã cho trên E được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn hay thường gọi là không gian định chuẩn. Chú ý rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn: d(x, y) := kx − yk, ∀x, y ∈ E. Định nghĩa 1.34. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy. Mệnh đề 1.35. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x → kxk là liên tục đều trên E . Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho ε > 0 17 bất kỳ, chọn δ = ε . Khi đó theo phần b) nhận xét 1 với mọi x, y ∈ E nếu d(x, y) = kx − yk < δ thì   kxk − kyk ≤ kx − yk = d(x, y) = δ = ε. Điều này chứng tỏ hàm k.k : E → R liên tục đều trên E . Mệnh đề 1.36. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vector trong E là liên tục. Nghĩa là nếu x → x0 , y → y0 và λ → λ0 , (λ ∈ K) thì x + y → x 0 + y0 , λx → λ0 x0 . Chứng minh. Thật vậy, phép chứng minh được suy ra nhờ các đánh giá dưới đây k(x + y) − (x0 + y0 )k ≤ kx − x0 k + ky − y0 k kλx − λ0 x0 k ≤ |λ|kx − x0 k + |λ − λ0 |kx0 k. Với chú ý rằng E × E hay K × E được xét là không gian tích hữu hạn không gian mêtric (khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn, khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông thường). 1.5 Một số định lý quan trọng Định lý 1.37. ("Leray-Schauder nonliner alternative") Cho E là không gian Banach,Ω là một tập con mở và bị chặn của E với 0 ∈ Ω. Giả sử T : Ω → E là toán tử hoàn toàn liên tục. Khi đó hoặc tồn tại x ∈ ∂Ω sao cho T x = λx, với một số λ nào đó mà λ > 1, hoặc T có một điểm bất động x ∈ Ω. Định lý 1.38. ("Định lý Schauder") Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Bamach E và T : K → K là ánh xạ liên tục sao cho bao đóng T (K) của T (K) là tập compact. Khi đó T có ít nhất một điểm bất động. 18 Định lý 1.39. ("Định lý Krasnosel’skii") Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X . Giả sử U : M → X là ánh xạ co và C : M → X , nghĩa là C liên tục và C(M ) chứa trong tập compact, sao cho U (x) + C(y) ∈ M, ∀x, y ∈ M . Khi đó U + C có điểm bất động. Bổ đề 1.40. Cho trước η ∈ (0; 1) và giả sử y ∈ C[0; 1]. Khi đó bài toán: u00 + y(t) = 0, t ∈ (0; 1). u(0) = 0, u(1) = u(η). có một nghiêm duy nhất được cho bởi: Zt u(t) = − (t−s)y(s)ds− t 1−η Zη (η−s)y(s)ds+ t 1−η 0 0 Z1 (1−s)y(s)ds, t ∈ [0; 0 Bổ đề 1.41. Cho trước η ∈ (0; 1) và α, β ∈ R. Giả sử y ∈ C[0; 1]. Khi đó bài toán giá trị biên hỗn hợp: u00 + y(t) = 0, t ∈ (0; 1) u(0) = 0, u(1) = α(u0 (η) − u0 (0)) + β. có một nghiệm duy nhất được cho bởi : Zη Zt u(t) = − (t−s)y(s)ds−αt 0 Z1 (1−s)y(s)ds, t ∈ [0; 1] y(s)ds+βt+t 0 0 Bổ đề 1.42. Giả sử y ∈ C[0; 1]. Khi đó bài toán giá trị đầu: u00 (t) + y(t) = 0, 0 < t < 1 u(0) = 0, u0 (0) = 0 có một nghiệm duy nhất cho bởi: Zt u(t) = − (t − s)y(s)ds, t ∈ [0; 1]. 0 19 Chương 2 Ứng dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm cấp hai có chậm Trong chương này tôi áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder các định lý, bổ đề trình bày ở chương 1 để chỉ ra sự tồn tại, sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phương trình vi phân cấp hai có đối số chậm. 2.1 Giới thiệu Ta ký hiệu C[0, 1] và C 1 [0, 1] lần lượt là các không gian Banach của các hàm số thực liên tục và các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [0;1], với các chuẩn   kuk0 = sup |u(t)| : 0 ≤ t ≤ 1 , kuk1 = max kuk0 , ku0 k0 . Ta cũng ký hiệu L1 [0; 1] là không gian gồm tất cả hàm số thực x(t) sao cho |x(t)| khả tích Lebesgue trên đoạn [0;1].
Giả sử C = C [−r, 0] ; R với r > 0 cho trước, là không gian Banach gồm tất cả các hàm liên tục φ : [−r; 0] → R, với chuẩn kφk =  sup |φ(θ)| : −r ≤ θ ≤ 0 . Với mỗi hàm liên tục u : [−r; 1] → R và với mỗi t ∈ [0; 1], ta ký hiệu ut để chỉ một phầm tử thuộc C được 20