Tài liệu định lý điểm bất động kiểu krasnosel’skii và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận được sự tạo điều kiện và động viên của nhiều thầy cô, bạn bè. Nhân dịp này, lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Lý Tin, các thầy cô trong tổ Bộ môn Giải tích, các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP Toán, đặc biệt là TS. Vũ Việt Hùng, người thầy đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này. Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận. Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Hoàng Việt Anh 1 Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Định nghĩa không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Lân cận của một điểm. Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . 8 1.3 Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric . . . . . . . . . . . 10 1.4 Không gian metric đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Ánh xạ trù mật và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . . . . 12 1.7.1 Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . 14 Không gian Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 17 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii . . . . . . . . . . . 18 2.3 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Nghiệm ổn định tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm . . . . . . . . . 34 2.6 Trường hợp tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận và Kiến nghị 53 2 Tài liệu tham khảo 54 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khóa luận Hện nay định lý điểm bất động là một vấn đề nghiên cứu rất lớn của toán học hiện đại, rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang nghiên cứu phát triển. Trong đó định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii và ứng dụng vào phương trình tích phân là vấn đề được quan tâm rất nhiều. Vì vậy tôi chọn vấn đề này làm nội dung nghiên cứu của khóa luận. 2. Mục đích nghiên cứu - Khóa luận này nghiên cứu sự ứng dụng của định lý điểm bất động loại Krasnosel’skii vào phương trình tích phân. - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là ứng dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii vào phương trình tích phân. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, nghiên cứu và trình bày các ứng dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii vào phương trình tích phân. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như Seminar với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn. - Từ đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Trình bày kết quả mạnh hơn những kết quả trước đó, điều này được minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng trong trường hợp tổng quát. Mặt khác, tính chất Hukuhara-Kneser của phương trình tích phân nói trên cũng được đề cập và một ví dụ được nêu ra về phương trình có nhiều hơn hai nghiệm. 7. Cấu trúc của khóa luận Với mục đích như vậy khóa luận này được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây: 4 Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức ban đầu về giải tích hiện đại như định nghĩa về không gian metric, khoảng cách, tập mở, đóng, tập compact, ánh xạ liên tục, ánh xạ co trong không gian metric, không gian metric đầy... Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và áp dụng định lý để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình tích phân dạng Volterra. Cuối cùng, trong phần Kết luận, chúng tôi điểm lại các kết quả nghiên cứu chính trình bày trong khóa luận. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức ban đầu về giải tích hiện đại như định nghĩa về không gian metric, khoảng cách, tập mở, tập đóng, tập compact, giới hạn trong không gian metric, ánh xạ liên tục, ánh xạ co trong không gian metric, không gian metric đầy, không gian định chuẩn,... Đây là những vấn đề cơ bản cần thiết dùng cho chương sau của khóa luận. 1.1 Định nghĩa không gian metric Định nghĩa 1.1. Cho tập X 6= ∅. Ta gọi hàm số thực ρ : X × X → R+ (x, y) 7→ ρ(x, y) là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu ρ thỏa mãn các điều kiện sau: 1. ρ(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X, 3. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X. Cặp (X, ρ), với ρ là metric trên X, được gọi là một không gian metric. Nhận xét 1.2. 1. Với mọi hệ n phần tử x1 , x2 , . . . , xn ∈ X ta đều có: ρ(x1 , xn ) 6 ρ(x1 , x2 ) + ρ(x2 , x3 ) + · · · + ρ(xn−1 , xn ) 2. Với mọi x, y, a, b ∈ X ta đều có: |ρ(x, y) − ρ(a, b)| 6 ρ(x, a) + ρ(y, b) 6 3. Nếu A là tập con khác rỗng của không gian metric (X, ρ) thì bản thân tập A cùng với metric ρA cảm sinh bởi metric ρ trên X: ρA (x, y) := ρ(x, y) với mọi x, y ∈ A, cũng là một không gian metric, gọi là không gian con của không gian metric (X, ρ). Định nghĩa 1.3. Cho tập X 6= ∅ và ρ1 , ρ2 là các khoảng cách đã cho trên X. Ta nói khoảng cách ρ1 tương đương với khoảng cách ρ2 , kí hiệu là ρ1 ∼ ρ2 , nếu tồn tại các số dương m, M sao cho: mρ1 (x, y) 6 ρ2 (x, y) 6 M ρ1 (x, y) với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.4. Cho (X, ρ) là một không gian metric. Ta nói dãy (xn )n∈N∗ ⊂ X hội tụ tới phần tử x ∈ X (hay x là giới hạn của dãy (xn )n∈N∗ ) nếu: lim ρ(xn , x) = 0. n→∞ Kí hiệu: xn → x khi n → ∞ hoặc lim xn = x. n→∞ Như vậy lim xn = x khi và chỉ khi n→∞ (∀ε > 0)(∃N = N (ε) > 0) : (∀n ∈ N∗ )(n > N ⇒ ρ(xn , x) < ε). Định lý 1.5. Mọi dãy phần tử trong không gian metric có không quá một giới hạn. Chứng minh. Giả sử (xn )n∈N∗ ⊂ X. Nếu xn → x, xn → y thì với mọi n ∈ N∗ ta có: 0 6 ρ(x, y) 6 ρ(xn , x) + ρ(xn , y) → 0 khi n → ∞. Suy ra ρ(x, y) = 0 và do đó x = y. Định lý 1.6. Hàm khoảng cách ρ(x, y) là hàm liên tục theo các biến x, y theo nghĩa: Nếu xn → x, yn → y khi n → ∞ thì ρ(xn , yn ) → ρ(x, y) khi n → ∞. Chứng minh. Cho (x, y) ∈ X × X. Giả sử (xn , yn )n∈N∗ ⊂ X × X thỏa mãn xn → x, yn → y khi n → ∞. Khi đó, với mọi n ∈ N∗ ta có: |ρ(xn , yn ) − ρ(x, y)| 6 ρ(xn , x) + ρ(yn , y) → 0 khi n → ∞. Suy ra lim ρ(xn , yn ) = ρ(x, y). n→∞ 7 Định lý 1.7. Trong không gian metric, mọi dãy con của một dãy hội tụ cũng hội tụ và có cùng giới hạn với dãy đó. Chứng minh. Giả sử (xkn )n∈N∗ là dãy con bất kì của dãy (xn )n∈N∗ và ρ(xn , x) → 0 nên lim ρ(xkn , x) = lim ρ(xn , x) = 0. n→∞ n→∞ Suy ra xkn → x khi n → ∞. Định lý 1.8. Nếu ρ1 và ρ2 là hai khoảng cách tương đương trong không gian metric X, thì mọi dãy hội tụ theo khoảng cách ρ1 cũng hội tụ theo khoảng cách ρ2 đến cùng một giới hạn. ρ1 Chứng minh. Giả sử (xn )n∈N∗ ⊂ X, xn − → x khi n → ∞. Do ρ1 ∼ ρ2 nên với mọi n ∈ N∗ ta có: mρ1 (xn , x) 6 ρ2 (xn , x) 6 M ρ1 (xn , x). Do ρ1 (xn , x) → 0 khi n → ∞, suy ra ρ2 (xn , x) → 0 khi n → ∞, ρ2 tức là xn − → x khi n → ∞ 1.2 Lân cận của một điểm. Tập mở, tập đóng Định nghĩa 1.9. Cho (X, ρ) là không gian metric, x0 ∈ X, 0 < r ∈ R. Ta gọi: a) Tập hợp B(x0 , r) = {x ∈ X|ρ(x, x0 ) < r} là hình cầu mở tâm x0 bán kính r. b) Tập hợp B[x0 , r] = {x ∈ X|ρ(x, x0 ) 6 r} là hình cầu đóng tâm x0 bán kính r. c) Tập hợp Ω(x0 , r) = {x ∈ X|ρ(x, x0 ) = r} là mặt cầu tâm x0 bán kính r. Định nghĩa 1.10. Cho tập A ⊂ X và điểm x0 ∈ X. Ta nói: 1. Điểm x0 là điểm trong của tập A khi và chỉ khi ∃ r > 0|B(x0 , r) ⊂ A. Tập hợp tất cả các điểm trong của tập A gọi là phần trong của tập A và kí o hiệu là IntA hoặc A. 8 2. Điểm x0 là điểm dính của tập A khi và chỉ khi (∀r > 0)|B(x0 , r) ∩ A 6= ∅. Tập hợp tất cả các điểm dính của tập A gọi là bao đóng của tập A và kí hiệu là Ā. 3. Điểm x0 là điểm tụ của A khi và chỉ khi (∀r > 0)|(B(x0 , r) ∩ A)\{x0 } = 6 ∅. Tập hợp tất cả các điểm tụ của tập A gọi là tập dẫn xuất của A và kí hiệu là A0 . 4. Điểm x0 là điểm biên của tập A khi và chỉ khi (∀r > 0)|B(x0 , r) ∩ A 6= ∅, B(x0 , r) ∩ (X\A) 6= ∅. Tập hợp tất cả các điểm biên của tập A gọi là biên của A và kí hiệu là ∂A. 5. Điểm x0 là điểm cô lập của A khi và chỉ khi (∃r > 0)|B(x0 , r) ∩ A = {x0 }. 6. Điểm x0 là điểm ngoài của A khi và chỉ khi (∃r > 0)|B(x0 , r) ⊂ (X\A). Định nghĩa 1.11. Ta gọi tập A ⊂ X là tập mở nếu mọi điểm của A đều là điểm trong của A, nghĩa là int A = A. Định lý 1.12. Họ τ tất cả các tập mở trong không gian metric (X, ρ) có các tính chất sau: 1) Tập ∅ và tập X là các tập mở: ∅ ∈ τ, X ∈ τ, 2) Hợp của họ tùy ý các tập mở là tập mở: [ (Gi )i∈I ⊂ τ ⇒ Gi ∈ τ, i∈I 3) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở: G1 , . . . , Gn ∈ τ ⇒ n \ Gi ∈ τ. i=1 Họ τ các tập mở ở trên được gọi là tôpô xác định bởi khoảng cách của không gian metric X. 9 Chứng minh. 1) Theo định nghĩa tập mở. S Gi khi đó ∃i0 ∈ I sao cho x ∈ Gi0 mà mọi 2) Giả sử điểm x bất kì x ∈ i∈I tập Gi0 đều là tập mở suy ra x là điểm trong của Gi0 , khi đó x cũng là điểm S trong của Gi . i∈I S suy ra Gi là tập mở. i∈I 3) Được chứng minh tương tự 2). Định nghĩa 1.13. Ta gọi tập A ⊂ X là tập đóng nếu CA = X\A là tập mở trong X. Định lý 1.14. Họ F tất cả các tập đóng trong không gian metric (X, ρ) có các tính chất sau: 1) Tập ∅ và tập X là các tập đóng: ∅ ∈ F, X ∈ F; 2) Giao của họ tùy ý các tập đóng là tập đóng:(Fi )i∈I ⊂ F ⇒ T Fi ∈ F; i∈I 3) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng: F1 , . . . , Fn ∈ F ⇒ n S Fi . i=1 Chứng minh. 1. Do ∅, X là các tập mở nên X = C∅, ∅ = CX là các tập đóng. T S 2. Do (Fi )i∈I ⊂ F nên (CFi )i∈I là họ các tập mở, vì vậy X\ Fi = CFi i∈I i∈I T là tập mở trong X, nên Fi là tập đóng trong X. 3. Ta có X\ n S i∈I 1.3 Fi = n T i∈I CFi là tập mở trong X, do đó i∈I n S Fi là tập đóng. i∈I Ánh xạ liên tục giữa các không gian metric Định nghĩa 1.15. Cho X, Y các không gian metric và f : A → Y là một ánh xạ từ tập con A của X đến Y . Ta nói: 1) f liên tục tại x0 ∈ A nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0)(∃δ = δ(x0 , ε) > 0) sao cho (∀x ∈ A)(ρ(x, x0 ) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x0 )) < ε); 2) f liên tục trên A nếu và chỉ nếu f liên tục tại mọi điểm của A. 3) f liên tục đều trên A nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)|(∀(x0 , x00 ) ∈ A × A) 10 (ρ(x0 , x00 ) < δ ⇒ ρ(f (x0 ), f (x00 )) < ε). Định nghĩa 1.16. Ánh xạ f : X → Y từ không gian metric X vào không gian metric Y được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu thỏa mãn điều kiện: (∀x, y ∈ X)ρ(f (x), f (y)) = ρ(x, y) Nếu f là ánh xạ đẳng cự từ X lên Y thì không gian metric X và Y được gọi là đẳng cự với nhau. Định nghĩa 1.17. Ta gọi ánh xạ f : X → Y là phép đồng phôi từ không gian metric X lên không gian metric Y nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f −1 liên tục. Hai không gian metric X và Y được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y . 1.4 Không gian metric đầy Định nghĩa 1.18. Dãy phần tử (xn )n∈N∗ trong không gian metric X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu và chỉ nếu: (∀ε > 0), (∃nε ∈ N∗ )| (∀m, n ∈ N∗ ), (m, n > nε ⇒ ρ(xn , xm ) < ε). Định nghĩa 1.19. Không gian metric X được gọi là không gian metric đầy nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ tới một phần tử thuộc nó. 1.5 Tập compact Định nghĩa 1.20. Giả sử A là tập con trong không gian metric X. Khi đó ta nói: 1) A là tập compact trong X nếu và chỉ nếu: ∀(xn )n∈N∗ ⊂ A đều ∃(xkn ) ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ A; 2) A là tập compact tương đối trong X nếu và chỉ nếu ∀(xn )n∈N∗ ⊂ (xn ) sao cho xkn → x ∈ X; 11 3) A là tập hoàn toàn bị chặn trong X nếu ∀ε > 0, ∃H = {x1 ; . . . ; xn } ⊂ X sao cho A ⊂ n [ B(xi , ε). i=1 Trong trường hợp này tập hữu hạn H ở trên được gọi là một ε- lưới hữu hạn của A. 4) A là tập bị chặn trong X nếu tồn tại hình cầu B(x0 , r) ⊂ X sao cho A ⊂ B(x0 , r). Định lý 1.21. Cho f : A → Y là một ánh xạ liên tục từ tập A trong không gian metric X đến không gian metric Y . Khi đó, nếu A là tập compact trong X thì f (A) là tập compact trong Y . Chứng minh. Lấy dãy phần tử tùy ý (yn )n∈N∗ ⊂ f (A), khi đó tồn tại dãy (xn )n∈N∗ ⊂ A sao cho f (xn ) = yn , (∀n ∈ N∗ ). Vì A là tập compact nên với (xn ) ⊂ A tồn tại dãy con (xkn )n∈N∗ sao cho xkn → x ∈ A. Do f liên tục tại x ∈ A nên ykn = f (xkn ) → f (x) = y ∈ f (A). Như vậy, dãy (yn ) có dãy con {ykn } hội tụ trong f (A), chứng tỏ f (A) là tập compact trong Y . 1.6 Ánh xạ trù mật và ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.22. Trong không gian metric X, ánh xạ liên tục f đi từ nó vào chính nó được gọi là trù mật nếu với mọi tập bị chặn A của X với α(A) > 0, ta có α(f (A)) < α(A) (α(A) là đường kính của A). Định nghĩa 1.23. Ánh xạ Γ : X → Y với mỗi phần tử x của X có một tập con Γ(x) của tập Y , nếu với mỗi x ∈ X tập Γ(x) gồm có một phần tử, khi đó ánh xạ Γ được gọi là đơn trị. Một ánh xạ đa trị Γ có thể được coi như là ánh xạ đơn trị của X vào 2Y , nghĩa là, vào tập tất cả tập con của Y . 1.7 Không gian định chuẩn và không gian Banach Trong mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết nhất về không gian định chuẩn và không gian Banach làm kiến thức chuẩn bị cho chương sau. 12 1.7.1 Chuẩn trên không gian vector Định nghĩa 1.24. Hàm ρ xác định trên không gian vector E được gọi là một chuẩn trên E nếu ρ thoả mãn các điều kiện sau: 1) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E và ρ(x) = 0 ⇒ x = 0; 2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E; 3) ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) với mọi x, y ∈ E. Khi ρ thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện: 1’) ρ(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E, thì ρ được gọi là một nửa chuẩn trên E. Khi ρ là một chuẩn, thì số kxk := ρ(x) được gọi là chuẩn của vector x. Nhận xét 1.25. Giả sử k.k là một chuẩn trên E. Khi đó: 1. Công thức: d(x, y) := kx − yk, ∀x, y ∈ E xác định một khoảng cách trên E, gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn.   2. Ta có kxk − kyk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ E. Thật vậy cho x, y ∈ E từ điều kiện 3) ta có: kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk Suy ra kxk − kyk ≤ kx − yk và kyk − kxk ≤ kx − yk.   Chứng tỏ kxk − kyk ≤ kx − yk. Cuối cùng, nếu E là không gian vector và a, b ∈ E, tổng quát về đoạn thẳng trong R, ta sẽ gọi tập hợp sau đây là đoạn với các mút a, b: [a; b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1}. Định nghĩa 1.26. Tập con X trong không gian vector E được gọi là: 1. Tập lồi nếu [a; b] ⊂ X với mọi a, b ∈ X; 2. Tập cân nếu λx ∈ X với mọi x ∈ X và với mọi λ ∈ K mà |λ| ≤ 1; 3. Tập hút nếu với mỗi x ∈ E đều tồn tại số ε > 0 sao cho λx ∈ Xvới mọi λ ∈ K mà |λ| ≤ ε. Mệnh đề 1.27. Cho k.k là một chuẩn trên không gian vector E, khi đó các tập hợp: B(0; 1) = {x ∈ E : kxk < 1}, B[0; 1] = {x ∈ E : kxk ≤ 1}, là lồi, cân, hút. 13 Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh B(0; 1) là tập lồi, cân và hút. Cho a, b ∈ B(0; 1)và 0 ≤ t ≤ 1 ta có: k(ta + (1 − t)bk ≤ ktak + k(1 − t)bk = tkak + (1 − t)kbk < t + 1 − t = 1. Mặt khác kλxk = |λ|kxk ≤ kxk < 1. Suy ra B(0; 1) là lồi và cân. Cuối cùng nếu x ∈ E thì do λx ∈ B(0; 1), ∀λ : |λ| < 1 kxk+1 nên B(0; 1) là tập hút. Việc chứng minh B[0; 1] là tập lồi, cân, hút là hoàn toàn tương tự. 1.7.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.28. Không gian vector E cùng với một chuẩn k.k đã cho trên E được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn hay thường gọi là không gian định chuẩn. Chú ý rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn: d(x, y) := kx − yk, ∀x, y ∈ E. Định nghĩa 1.29. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy. Mệnh đề 1.30. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x → kxk là liên tục đều trên E. Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh xạ liên tục đều giữa các không gian metric. Cho ε > 0 bất kỳ, chọn δ = ε. Khi đó theo phần b) nhận xét 1 với mọi x, y ∈ E nếu d(x, y) = kx − yk < δ thì   kxk − kyk ≤ kx − yk = d(x, y) = δ = ε. Điều này chứng tỏ hàm k.k : E → R+ liên tục đều trên E. Mệnh đề 1.31. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vector trong E là liên tục. Nghĩa là nếu x → x0 , y → y0 và λ → λ0 , (λ ∈ K) thì x + y → x0 + y0 , λx → λ0 x0 . 14 Chứng minh. Thật vậy, phép chứng minh được suy ra nhờ các đánh giá dưới đây k(x + y) − (x0 + y0 )k ≤ kx − x0 k + ky − y0 k kλx − λ0 x0 k ≤ |λ|kx − x0 k + |λ − λ0 |kx0 k. Với chú ý rằng E × E hay K × E được xét là không gian tích hữu hạn không gian metric (khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn, khoảng cách trên K là khoảng cách Euclide thông thường). Nhận xét 1.32. Như vậy mọi không gian định chuẩn đều là một không gian metric. Và như vậy, trong không gian định chuẩn chúng ta có các khái niệm về giới hạn của dãy điểm dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, tập compact, tập bị chặn, tập hoàn toàn bị chặn, về giới hạn của các không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác chính là những khái niệm tương ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn của không gian. Tóm lại các khái niệm và những tính chất cơ bản của không gian metric được chuyển một cách cơ học sang cho không gian định chuẩn nói chung. Vì vậy chúng ta sẽ không nhắc lại những đơn vị kiến thức này từ không gian metric và coi đó là hệ quả trực tiếp. 1.8 Không gian Fréchet Định nghĩa 1.33. Cho E là một không gian vector trên trường K. Một tôpô τ trên E được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của E nếu các ánh xạ E×E → E (x, y) 7→ x + y và K×E → E (λ, x) 7→ λx là liên tục. Khi đó ta nói cặp (E, τ ) là không gian vector tôpô trên trường K. Không gian vector tôpô E gọi là không gian vector metric nếu tôpô của nó có thể xác định bởi một metric. Định nghĩa 1.34. Không gian vector Hausdorff E gọi là đầy nếu mọi dãy suy rộng Cauchy trong E đều hội tụ. Chú ý 1.35. Không gian vector tôpô E gọi là lồi địa phương nếu mọi phần tử của E đều có một cơ sở lân cận lập thành từ các tập lồi. Hay tương đương phần tử 0 ∈ E có một cơ sở lân cận thành lập từ các tập như vậy. 15 Định nghĩa 1.36. Cho E là không gian vector tôpô lồi địa phương. Khi đó ta nói E là không gian Fréchet nếu E là một không gian vector metric đầy. 16 Chương 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL’SKII VÀO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét phương trình tích phân Volterra phi tuyến dạng Zt x(t) = q(t) + f (t, x(t)) + V (t, s, x(s))ds 0 Zt + G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+ , (2.1) 0 ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0, ∞), q : R+ −→ E;f : R+ × E −→ E;G, V : 4 × E −→ E được giả sử là các hàm số liên tục và 4 = {(t, s) ∈ R+ × R+ , s ≤ t}. Chương này gồm 6 mục. Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày một số Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và chứng minh của chúng. Áp dụng Định lý này, các mục 2.3, 2.4 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (2.1), Cuối mục 2.4, tôi trình bày một ví dụ minh họa các kết quả thu được khi các điều kiện đặt ra là đúng. Trong mục 2.5, với các giả thiết như ở mục 2.3, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (2.1) được chứng tỏ là tập hợp compact, liên thông. Một ví dụ về phương trình (2.1) có nhiều hơn hai nghiệm cũng được nêu. Cuối cùng, trong mục 2.6, một sự mở rộng của bài toán đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng tôi 17 chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình: Zt x(t) = q(t) + f (t, x(t), x(π(t))) + V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds 0 Zt + G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds, t ∈ R+ (2.2) 0 và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (2.2) cũng được trình bày. Kết quả thu được là tổng quát hơn các kết quả tương ứng. 2.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii Các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii là sự mở rộng của Định lý Krasnosel’skii. Một trong những hướng mở rộng Định lý Krasnosel’skii là thay thế không gian Banach bởi một không gian tổng quát hơn, chẳng hạn là không gian Fréchet. Đó là không gian vectơ tôpô lồi địa phương X với tôpô được sinh ra bởi một metric d bất biến qua một phép tịnh tiến và (X, d) là đầy đủ. Một cách thuận lợi để xây dựng không gian Fréchet là dựa trên khái niệm nửa chuẩn. Mỗi một không gian vectơ X với một họ nửa chuẩn |.|n đếm được có tính chất: ∀x ∈ X, x 6= 0, ∃n ∈ N∗ , |x|n 6= 0 sẽ là một không gian metric đầy đủ với metric d(x, y) = ∞ X 2−n n=1 |x − y|n 1 + |x − y|n và ta có (X, |.|n ) là không gian Fréchet. Trong không gian này, định lý Banach được phát biểu như sau: Định lý Banach trong không gian Fréchet: Cho (x, |.|n ) là không gian Fréchet, M ⊂ X đóng và U : M −→ M là ánh xạ co, nghĩa là: ∀n ∈ N∗ , ∃kn ∈ [0, 1), ∀x, y ∈ M, |U x − U y|n ≤ kn |x − y|n . Khi đó U có duy nhất một điểm bất động. Ta có định lý sau: 18 Định lý 2.1. Giả sử (X, |.|n ) là không gian Fréchet và U, C : X −→ X là hai toán tử thỏa mãn các điều kiện sau: (i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn k.kn tương đương với họ nửa chuẩn |.|n (ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập compact tương đối. |Cx|n (iii) lim = 0, ∀n ∈ N∗ |x|n −→∞ |x|n Khi đó U + C có điểm bất động. Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng, từ điều kiện (i), toán tử (I − U )−1 được xác định và liên tục. Hai họ nửa chuẩn k.kn , |.|n tương đương nên tồn tại các số thực K1n , K2n > 0 sao cho K1n kxkn ≤ |x|n ≤ K2n kxkn , ∀n ∈ N∗ . Suy ra (a) Tập hợp {|x|n , x ∈ A} bị chặn khi và chỉ khi {kxkn , x ∈ A bị chặn, với A ⊂ X, ∀n ∈ N∗ ; (b) Với mọi dãy (xm ) trong X, với mọi n ∈ N∗ , vì lim |xm − x|n = 0 ⇔ lim kxm − xkn = 0 m→∞ m→∞ nên (xm ) hội tụ về x ứng với |.|n khi và chỉ khi (xm ) hội tụ về x ứng với k.kn Từ đó (ii) cũng được thỏa mãn ứng với (X, k.kn ). Mặt khác, ta cũng có: K1n kCxkn kCxkn |Cx|n kCxkn K2n kCxkn ≤ K1n ≤ ≤ K2n ≤ , K2n kxkn |x|n |x|n |x|n K1n kxkn ∀x ∈ X, ∀n ∈ N∗ . |Cx|n kCxkn = 0 tương đương với lim =0 |x|n →∞ |x|n kxkn →∞ kxkn Bây giờ ta chứng minh U + C có điểm bất động. Suy ra lim Với mỗi a ∈ X, ta định nghĩa toán tử Ua : X → X bởi Ua (x) = U (x) + a. Dễ thấy rằng Ua là toán tử co và do đó, với mỗi a ∈ X, Ua có duy nhất một điểm bất động, ký hiệu là φ(a), thế thì Ua (φ(a)) = φ(a) ⇔ U (φ(a)) + a = φ(a) ⇔ φ(a) = (I − U )−1 (a). m Gọi u0 là điểm bất động của U . Với mỗi x ∈ X, xét UC(x) (u0 ), m ∈ N∗ ở đây m m−1 m−1 UC(x) (y) = UC(x) (UC(x) (y)) = U (UG(x) (y)) + C(x), ∀y ∈ X. 19 Với mỗi n ∈ N∗ cố định, với mọi m ∈ N∗ , ta có m kUC(x) (u0 ) − u0 kn m−1 = kUC(x) (UC(x) (u0 )) − U (u0 )kn m−1 m−1 m−1 ≤ kUC(x) (UC(x) (u0 )) − U (UC(x) (u0 ))kn + kU (UC(x) (u0 )) − U (u0 )kn m−1 ≤ kC(x)kn + kn kUC(x) (u0 ) − u0 kn , từ đó bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi m ∈ N∗ , m kUC(x) (u0 ) − u0 kn ≤ (1 + kn + · + knm−1 )kC(x)kn (2.3) ≤ αkC(x)kn 1 > 1. Như đã nói ở trên, (iii) được thỏa mãn ứng với 1 − kn 1 f > 0, (ta chọn M f > ku0 kn ) sao cho (X, k.kn ), nên với số > 0, tồn tại M 4α f ⇒ kCxkn < 1 kxkn kxkn > M 4α trong đó α = f + ku0 kn . Thế thì, với mọi x ∈ X, có hai Chọn một hằng số dương r1n > M trường hợp sau xảy ra. Trường hợp 1: kx − u0 kn > r1n . f + ku0 kn ⇒ kxkn > M f, nên Vì kxkn + ku0 kn ≥ kx − u0 kn > r1n > M  1 1  kxkn ≤ kx − u0 kn + ku0 kn 4α 4α  1  1 < kx − u0 kn + kx − u0 kn = kx − u0 kn . 4α 2α kCxkn < (2.4) Trường hợp 2: kx − u0 k ≤ r1n . Do điều kiện (ii) cũng đúng với k.kn , ta suy ra rằng có một hằng số dương β sao cho kCxkn ≤ β (2.5) Ta tiếp tục chọn r2n > αβ. Đặt Dn = {x ∈ X : kx − u0 kn ≤ r2n }, D= \ Dn n∈N∗ Khi đó u0 ∈ D và D là tập con lồi đóng và bị chặn của X. Với mỗi x ∈ D và với mỗi n ∈ N∗ , ứng với hai trường hợp trên, ta thấy: 20