Mô tả:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ
MÔN HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN
Môn: TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 27/05/2014
Thời gian làm bài: 90 phút
2
2
x2
2 4 x 3x 1 x
3 :
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức A
x 1
x 1
3x
3x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 2014 2 x 1 2013
c) Tìm giá trị của x để A < 0.
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.
Bài 2 (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - 7 )2 - 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n3(n2 - 7 )2 - 36n 210 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3 (3 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A
lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là
10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe
máy ?
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường
thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
ECB
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD
2
1200 và S
b) Cho BMC
AED 36cm . Tính
S EBC
?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có
giá trị không đổi.
d) Kẻ DH BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh CQ PD .
Bài 5: (3điểm).
a) Chứng minh rằng số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương.
b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.
Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab
--------- Hết --------Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Ý
Nội dung
Điểm
1
ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 .
a)
Rút gọn được A=
x 1
.
3
0.5
1.5
Từ 2014 2 x 1 2013
5đ
Tìm được x=1; x=0 (loại x=0 do không thỏa mãn ĐK)
0.5
Thay x=1 vào biểu thức . tính được A= 0.
0.5
c
A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 .
1.0
d
Lập luận để khẳng định được x-1 là bội của 3 suy ra , x = 3n+1 (n Z)
1.0
Phân tích được x3(x2 - 7 )2 – 36x
1.5
b
2
a)
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
Theo phần a ta có :
0.75
A = n3(n2 - 7)2 - 36n
= n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp có:
3đ
b)
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
0.75
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A (2, 3, 5, 7)
Hay A 210.
3
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0,25
0
=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
3đ
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)
0,75
Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)
0,5
Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp
và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
0,5
50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
<=> x =
0,5
5
(h) = 50 phút (TMĐK)
6
Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy .
0,5
4
Hình vẽ:
E
D
0,5
A
M
Q
B
P
I
H
C
6đ
* Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)
- Từ đó suy ra
a
0,5
EB ED
EA.EB ED.EC
EC EA
ECB
* Chứng minh EAD
- Chứng minh EAD đồng dạng với
b
0,5
0,5
ECB (cgc)
ECB
- Suy ra EAD
0,5
= 120o
AMB = 60o
ABM = 30o
- Từ BMC
0.5
- Xét
= 30o
EDB vuông tại D có B
ED =
1
ED 1
EB
2
EB 2
0.5
2
S EAD ED
- Lý luận cho
từ đó
S ECB EB
c
SECB = 144 cm2
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)
0.25
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
0.25
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi
0.5
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)
d
0,25
BH BD
2 BP BD
BP BD
DH DC
2 DQ DC
DQ DC
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
DCQ
BDP
CQ PD
PDC
90o
ma`BDP
0,25
0,5
5
Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2+2014 =k2 k2 –
n2 = 2014
(k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
a
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
0,25
0,25
0,25
0,25
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) 4
3đ
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b
0,25
0,25
Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 b2 1 ab a2 + b2 – ab 1
0,5
(a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
a3 + b3 a + b
(a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
0,5
a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6
2a3b3 ab5 + a5b
ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0
ab a2 b2
2
0,25
0 đúng a, b > 0 .
Vậy: a2 b2 1 ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
0,25
- Xem thêm -