Tài liệu Đề thi học sinh giỏi lớp 8 thcs quận ngũ hành sơn năm 2012 - 2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGŨ HÀNH SƠN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao ñề) Bài 1: (1,50 ñiểm) 2a + 1 thành hiệu hai bình phương. a (a + 1) 2 2.1 + 1 2.2 + 1 2.3 + 1 2.2012 + 1 b./ Cho M = 2 2 + 2 + 2 + ..... + 2 2 (1 + 1) (2 + 2) (3 + 3) (20122 + 2012) 2 a./ Hãy viết biểu thức sau : 2 Chứng minh rằng M < 1 Bài 2: (2,00 ñiểm) a./ Chứng minh rằng n3 – 28n chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên chẳn x 2 + 3x + 7 3x + 2 = x 2 + 5 x − 6 x + 15 x 1   1 2  Bài 3: (2,50 ñiểm) Cho biểu thức P =  + 2 + 2  :  x −1 x − x   x + 1 x −1  b./ Giải phương trình sau: a./ Rút gọn biểu thức P. b./ Tìm các giá trị của x ñể P > -1 c./ Giải phương trình P = 2 Bài 4: (1,00 ñiểm). Cho a > 0 ; b > 0 và a2 + b2 = 10; Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = 1 1 + a 2 b2 Bài 5: (3,00 ñiểm) Cho tam giác ABC có AB = 2a; AC = 3a; BC = 4a. Đường phân giác AD và BE cắt nhau tại I. Gọi M là trung ñiểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC. a./ Tính ñộ dài ñoạn thẳng BD theo a. b./ Chứng minh IG // AC c./ Tính tỉ số diện tích của tứ giác EIGM và ∆ ABC HẾT Trần Văn Hồng Phòng GD&ĐT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGŨ HÀNH SƠN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Điểm Nội dung a + 2a + 1 − a 2a + 1 = 2 a 2 (a + 1) 2 a (a + 1) 2 2 0,25ñ 2 Câu a 0,75ñ = (a + 1) 2 − a 2 a 2 ( a + 1) 2 0,25ñ (a + 1)2 − a 2  1   1  =   −  a 2 (a + 1) 2  a   a +1 2a + 1 1 1 = 2− 2 2 (a + a) a (a + 1) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 M = 1 − 2 + 2 − 2 + 2 − 2 +.....+ = 1− − 2 2 2 2 3 3 4 2012 2013 20132 20132 − 1 = <1; M<1 20132 3 3 3 n = 2k , với k là số nguyên; n – 28n = (2k) – 28(2k) = 8k – 56k 2 2 = 8k ( k – 7) = 8k( k – 1 –6 ) = 8k(k2-1) – 48k = 8k(k-1)(k+1) – 48k k(k-1)(k+1) là tích ba số nguyên liên tiếp trong ñó có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 3, nên k(k-1)(k+1) chia hết 6; 8k(k-1)(k+1) – 48k chia hết cho 48 và Kết luận Điều kiện xác ñịnh : x ≠ -15; x ≠ 1; x ≠ -6 2 Bài 1 1,50ñ Câu b 0,75ñ Câu a 1,00ñ 2 x + 3 x + 7 3 x + 2 x + 3 x + 7 + 3 x + 2 x + 6 x + 9 ( x + 3) = 2 = = = x 2 + 5 x − 6 x + 15 x + 5 x − 6 + x + 15 x 2 + 6 x + 9 ( x + 3) 2 2 Bài 2 2,00ñ Câu b 1,00ñ 2 2 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 2 Thay x = -3 vào phương trình và kết luận nghiệm của phương trình Với x ≠ -3 ta có: x 2 + 3x + 7 3x + 2 ( x + 3) = = 1 ⇔ 3x + 2 = x +15 ⇔ x = 13/2(t/h) = x 2 + 5 x − 6 x + 15 ( x + 3)2 0,25ñ 0,25ñ 2 Bài 3 2,50ñ Câu a 0,75ñ Vậy nghiệm là x = 13/2 ; x = -3 Điều kiện xác ñịnh x ≠ 0 ; x ≠ 1; x ≠ -1 x2 + 1 x −1+ 2 x 2 + 1 ( x + 1)( x − 1) P= : = . x( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x( x − 1) x +1 = Câu b 0,75ñ x2 + 1 x x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 + x P> -1 ⇔ > -1 ⇔ +1>0 ⇔ >0 x x x Trần Văn Hồng Phòng GD&ĐT 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25 0,25ñ Vì x2 + x + 1 = (x + 1 2 3 ) + > 0 với mọi x 2 4 x2 + 1 + x >0 ⇔ x>0 x Kết luận P > -1 ⇔ x > 0 ; x ≠ 1 Để 0,25ñ 0,25ñ P = 2 ⇔ P = 2 ; P = -2 0,25ñ Câu c 1,00ñ x +1 x +1− 2x = 2⇔ = 0 ⇔ x = 1 (loại) x x x2 + 1 x2 + 1 + 2 x P = -2 ⇔ = - 2⇔ = 0 ⇔ x = −1 (loại) x x P=2 ⇔ 2 2 Phương trình vô nghiệm 1 1 1 a2 + b2 ≥ 2ab ; 2 + 2 ≥ 2 a b ab 1 1 2 (a2 + b2 )( 2 + 2 ) ≥ 2ab. ≥4 a b ab 1 1 4 2 + 2 ≥ = 2 a b 10 5 Bài 4 1,00ñ Kết luận Câu a 1,00ñ Bài 5 3,00ñ Câu b 1,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ BD DC = AB AC BD DC BD + DC = = AB AC AB + AC BD DC BD + DC BC 4a 4 = = = = = AB AC AB + AC AB + AC 5a 5 8a BD = 5 EA EC EA + EC AC 3a 1 = = = = = ; AB BC AB + BC AB + BC 6a 2 EA = a; EC = 2a IE EA a 1 = = = IB AB 2a 2 GM 1 G là trọng tâm ∆ ABC suy ra = ; GB 2 GM IE 1 = = ⇒ IG // EM ( Ta let ñảo); IG // AC GB IB 2 Cách 1: 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 2 Câu c 0,75ñ S BIG  2  4 =  = ; S BEM  3  9 S S 0,5a 1 S BIG S 4 1 2 Tính EM = 0,5a; BEM = = ; = BIG . BEM = . = S ABC 3a 6 S ABC S BEM S ABC 9 6 27 S EIGM S BEM − S AIG 1 2 5 = = − = 6 27 54 S ABC S ABC Trần Văn Hồng Phòng GD&ĐT 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ Cách 2: 1 a 3 Kẻ BH ⊥ AC tại H, cắt IG tại K. 2 1 BK = BH; HK = BH 3 3 Tính EM = 0,5a; IG = S EIGM S ABC 0,25ñ 0,25ñ 1 1 1 ( IG + EM .) HK ( IG + EM ) .HK  3 a + 0,5a  3 BH 5 =2 = = = 1 AC . BH 3 a . BH 54 AC.BH 2 0,25ñ A H Hình vẽ E K M I G B D C Chú ý: -Trên ñây là sơ lược hướng dẫn chấm trong quá trình chấm các nhóm thống nhất chi tiết ñáp án. - Học sinh có cách giải khác ñáp án nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña phần ấy. Trần Văn Hồng Phòng GD&ĐT