Tài liệu Dap an toan d 2012

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) 1 (2,0 điểm) 2 2 Khi m = 1, hàm số trở thành y = x3 − x 2 − 4 x + . 3 3 • Tập xác định: D = \. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ′ = 2 x 2 − 2 x − 4; y ′ = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 2. 0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (2; +∞); khoảng nghịch biến ( −1; 2). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, yCĐ = 3, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −6. - Giới hạn: lim y = − ∞, lim y = + ∞, x →− ∞ 0,25 x →+ ∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y' –1 + +∞ 2 0 – 0 + +∞ 3 0,25 y −∞ • Đồ thị: –6 y 3 2 –1 O x 0,25 –6 b) (1,0 điểm) Ta có y ′ = 2 x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1). 0,25 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 13m 2 − 4 > 0 ⇔ m > 2 13 2 13 . hoặc m < − 13 13 0,25 Ta có: x1 + x2 = m và x1 x2 = 1 − 3m 2 , do đó x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m 2 + 2m = 1 0,25 2 2 ⇔ m = 0 hoặc m = . Kiểm tra điều kiện ta được m = . 3 3 0,25 Trang 1/4 Câu Đáp án Điểm Phương trình đã cho tương đương với: (2sin x + 2cos x − 2)cos 2 x = 0. 2 (1,0 điểm) π kπ (k ∈]). • cos 2 x = 0 ⇔ x = + 4 2 π 1 • 2sin x + 2cos x − 2 = 0 ⇔ cos x − = 4 2 7π π ⇔x= + k 2π hoặc x = − + k 2π (k ∈ ]). 12 12 Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: π kπ 7π π + k 2π, x = − + k 2π (k ∈ ]). x= + , x= 4 2 12 12 ⎧⎪ xy + x − 2 = 0 (1) 3 Hệ đã cho tương đương với: ⎨ 2 (1,0 điểm) ⎪⎩(2 x − y + 1)( x − y ) = 0 (2) 0,25 0,25 ( ) 0,25 0,25 0,25 −1 ± 5 . 2 ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎛ −1 − 5 ⎞ Do đó ta được các nghiệm ( x; y ) = ⎜ ; 5 ⎟ và ( x; y ) = ⎜ ; − 5 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0,25 • x 2 − y = 0 ⇔ y = x 2 . Thay vào (1) ta được x3 + x − 2 = 0 ⇔ ( x − 1)( x 2 + x + 2) = 0 0,25 ⇔ x = 1. Do đó ta được nghiệm ( x; y ) = (1; 1). Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là: ⎛ −1 + 5 ⎞ ⎛ −1 − 5 ⎞ ( x; y ) = (1; 1), ( x; y ) = ⎜ ; 5 ⎟ , ( x; y ) = ⎜ ; − 5 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0,25 • 2 x − y + 1 = 0 ⇔ y = 2 x + 1. Thay vào (1) ta được x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = 4 (1,0 điểm) π 4 π 4 ∫ ∫ I = xdx + x sin 2 xdx = 0 0 π x2 4 2 π 4 ∫ + x sin 2 xdx = 0 0 π 4 2 π + x sin 2 xdx. 32 ∫ 0,25 0 1 Đặt u = x;dv = sin 2 xdx, suy ra du = dx; v = − cos 2 x. 2 π 4 Khi đó π 4 1 1 π 4 1 0,25 π 4 ∫ x sin 2 xdx = − 2 x cos 2 x 0 + 2 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos 2 xdx 0 0 0,25 0 π π2 1 4 1 1 + . = sin 2 x = . Do đó I = 32 4 4 4 0 5 (1,0 điểm) D' C' B' A' D H C A B 0,25 Tam giác A′AC vuông cân tại A và a A′A = AC = . Do đó AB = B′C ′ = 2 A′C = a nên a . 2 0,25 1 1 a3 2 V ABB′C ′ = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C '. AB.BB ' = . 3 6 48 0,25 Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của ∆A′AB. Ta có AH ⊥ A ' B và AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( A ' BC ), nghĩa là AH ⊥ ( BCD '). Do đó AH = d ( A,( BCD ')). 0,25 1 = 1 + 1 = 6 . a2 a 6 . Do đó d ( A,( BCD ')) = AH = 6 Ta có AH 2 Trang 2/4 AB 2 2 AA' 0,25 Câu Đáp án 6 Ta có ( x − 4)2 + ( y − 4)2 + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) 2 − 8( x + y ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8. (1,0 điểm) 3 A = ( x + y )3 − 3( x + y ) − 6 xy + 6 ≥ ( x + y )3 − ( x + y )2 − 3( x + y ) + 6. 2 3 Xét hàm số: f (t ) = t 3 − t 2 − 3t + 6 trên đoạn [0; 8]. 2 Ta có f ′(t ) = 3t 2 − 3t − 3, f ′(t ) = 0 ⇔ t = 1+ 5 17 − 5 5 . thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 4 7.a (1,0 điểm) A B N K I M D C 0,25 0,25 1+ 5 1− 5 hoặc t = (loại). 2 2 ⎛ 1 + 5 ⎞ 17 − 5 5 17 − 5 5 . Ta có f (0) = 6, f ⎜ = , f (8) = 398. Suy ra A ≥ ⎜ 2 ⎟⎟ 4 4 ⎝ ⎠ Khi x = y = Điểm 0,25 0,25 ⎧x + 3y = 0 Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⎨ ⇒ A( −3;1). ⎩x − y + 4 = 0 0,25 Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN//AD. Suy ra MN có 4 phương trình là x − y + = 0. Vì N thuộc AC, nên tọa 3 4 ⎧ ⎪x − y + = 0 ⎛ 1⎞ ⇒ N ⎜ −1; ⎟ . độ của điểm N thỏa mãn hệ ⎨ 3 3⎠ ⎝ ⎪⎩ x + 3 y = 0 0,25 Đường trung trực ∆ của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD, nên có phương trình là x + y = 0. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của ∆ với AC và AD. ⎧x + y = 0 Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ ⎨ ⎩ x + 3 y = 0, ⎧x + y = 0 và tọa độ của điểm K thỏa mãn hệ ⎨ ⎩ x − y + 4 = 0. Do đó I(0; 0) và K(−2;2). JJJG JJG JJJG JJJG AC = 2 AI ⇒C (3;−1); AD = 2 AK ⇒ D(−1;3); JJJG JJJG BC = AD ⇒ B(1;−3). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Suy ra H là tâm của đường tròn giao tuyến 8.a (1,0 điểm) của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. 0,25 0,25 0,25 Ta có IH = d ( I ;( P )) = 3. 0,25 Bán kính của mặt cầu (S) là: R = 32 + 4 2 = 5. 0,25 Phương trình của mặt cầu (S) là: ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 3)2 = 25. 0,25 2(1 + 2i ) 9.a = 7 + 8i ⇔ (2 + i) z = 4 + 7i Ta có: (2 + i) z + (1,0 điểm) 1+ i 0,25 ⇔ z = 3 + 2i. 0,25 Do đó w = 4 + 3i. 0,25 Môđun của w là 42 + 32 = 5. 0,25 Trang 3/4 Câu Đáp án Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình. 7.b Do I ∈ d nên tọa độ của I có dạng I (t ;2t + 3). (1,0 điểm) AB = CD ⇔ d ( I , Ox) = d ( I , Oy ) ⇔ | t | = | 2t + 3 |⇔ t = −1 hoặc t =−3. Điểm 0,25 0,25 • Với t = −1 ta được I (−1;1), nên d ( I ; Ox) = 1. Suy ra, bán kính của (C) là 12 +12 = 2. Do đó (C ): ( x + 1) 2 + ( y − 1)2 = 2. • Với t = −3 ta được I (−3;−3), nên d ( I ;Ox) = 3. Suy ra, bán kính của (C) là Do đó (C ): ( x + 3)2 + ( y + 3)2 = 10. Do M ∈ d nên tọa độ của điểm M có dạng M (1 + 2t ; −1 − t ; t ). 8.b JJJJG JJJJG (1,0 điểm) Ta có AM = (2t ; −t ; t − 2), BM = (−1 + 2t; −t; t ). JJJJG JJJJG Tam giác AMB vuông tại M ⇔ AM .BM = 0 32 +12 = 10. 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ 2t (−1 + 2t ) + t 2 + t (t − 2) = 0 ⇔ 6t 2 − 4t = 0 0,25 2 ⎛7 5 2⎞ ⇔ t = 0 hoặc t = . Do đó M (1; −1;0 ) hoặc M ⎜ ; − ; ⎟ . 3 ⎝3 3 3⎠ 0,25 Phương trình bậc hai z 2 + 3(1+ i ) z + 5i = 0 có biệt thức ∆ = −2i. 9.b (1,0 điểm) = (1 − i ) 2 . Do đó nghiệm của phương trình là z = hoặc z = −3(1 + i) + (1 − i) = −1 − 2i 2 −3(1 + i ) − (1 − i ) = −2 − i. 2 0,25 0,25 0,25 0,25 ------------- HẾT------------- Trang 4/4