"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
phÇn1
më ®Çu
Tõ nh÷ng n¨m ®Çu thËp kû 90 cña thÕ kû XX, Ngµnh Gi¸o dôc LÖ Thñy ®·
chó träng ho¹t ®éng n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc toµn diÖn trong ®ã chó träng chÊt
lîng gi¸o dôc mòi nhän. §ã lµ nhiÖm vô trung t©m cña toµn ngµnh, cña mäi c¬ së
gi¸o dôc. §Ó thùc hiÖn cã hiÖu qu¶ môc tiªu ®ã, gi¶i ph¸p quan träng ®Æt ra cho
cÊp THCS lµ thùc hiÖn ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. Môc tiªu cña ®æi míi lµ
nh»m n©ng cao chÊt lîng d¹y häc, chÊt lîng ®µo t¹o nguån nh©n lùc ®¸p øng ngµy
cµng cao cña sù nghiÖp c«ng nghiÖp ho¸, hiÖn ®¹i ho¸ ®Êt níc vµ yªu cÇu héi nhËp
khu vùc vµ quèc tÕ.
Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y vÞ thÕ chÊt lîng häc sinh giái cña HuyÖn LÖ Thuû
ngµy cµng ®îc kh¼ng ®Þnh trong gi¸o dôc tØnh nhµ, hai n¨m liªn tiÕp tiÕp tõ n¨m
häc 2009 - 2010 vµ 2010 - 2011 thµnh tÝch häc sinh giái v¨n hãa xÕp ë vÞ trÝ thø 2
chØ sau thµnh phè §ång Híi. Trong ®ã bé m«n To¸n còng cã ®ãng gèp quan träng
trong thµnh tÝch nµy cña gi¸o dôc huyÖn nhµ, tuy nhiªn trong gi¶ng d¹y båi dìng
HSG bé m«n To¸n chóng ta cÇn ph¶i nghiªm tóc rót kinh nghiÖm vµ ®iÒu chØnh
cho phï hîp víi c¸c ®èi tîng häc sinh kh¸c nhau, tr×nh ®é häc tËp kh¸c nhau vµ
trang bÞ ch¾c, nhuyÔn c¸c d¹ng to¸n, c¸c chuyªn ®Ò ®Ó häc sinh khi gÆp t×nh
huèng trong thùc tiÔn th× cã kh¶ n¨ng gi¶i quyÕt ®¬c.
NhËn thÊy ®©y lµ mét vÊn ®Ò quan träng cã vÞ trÝ chiÕn lîc l©u dµi vµ còng ®Ó
kh¼ng ®Þnh "th¬ng hiÖu" gi¸o dôc LÖ Thuû th× mçi mét c¸n bé qu¶n lÝ, mçi mét
gi¸o viªn ph¶i tr¨n trë t×m ®îc c¸c gi¶i ph¸p tèi u ®Ó lµm tèt c«ng viÖc ®Çy gian
khã lµ båi dìng ngµy cµng ®îc nhiÒu nh©n tµi cho quª h¬ng vµ ®Êt níc. Víi suy
nghÜ nh vËy qua mét sè n¨m c«ng t¸c qu¶n lÝ chØ ®¹o ho¹t ®éng båi dìng häc sinh
giái vµ trùc tiÕp ®øng líp t¹i trêng THCS KiÕn Giang t«i tr¨n trë suy nghÜ t×m ra
nh÷ng gi¶i ph¸p ®Ó ngµy cµng båi dìng ®îc nhiÒu häc sinh giái bé m«n To¸n
nh¨m ®¸p øng yªu cÇu ngµy cµng cao cña viÖc båi dìng HSG còng nh phong trµo
gi¸o dôc huyÖn nhµ. Trong ph¹m vi mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm t«i xin ®îc trao
®æi: "C¸c biÖn ph¸p båi dìng häc sinh giái líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng
tr×nh v« tØ".
*
PhÇn 2
*
*
néi dung
1. C¬ së lÝ luËn
Trong quá trình phát triển, x· héi lu«n ®Ò ra nh÷ng yªu cÇu míi cho sù
nghiÖp ®µo t¹o con ngêi. ChÝnh v× vËy mµ d¹y to¸n kh«ng ngõng ®îc bæ sung vµ
®æi míi ®Ó ®¸p øng víi sù ra ®êi cña nã vµ sù ®ßi hái cña x· héi .V× vËy mçi ngêi
gi¸o viªn nãi chung ph¶i lu«n lu«n t×m tßi, s¸ng t¹o, ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc
®Ó ®¸p øng víi chñ tr¬ng ®æi míi cña §¶ng vµ Nhµ níc ®Æt ra. T¹i ®¹i héi §¶ng
toµn quèc lÇn VIII vµ IX §¶ng ta ®Òu x¸c ®Þnh vµ nhÊn m¹nh: “Gi¸o dôc lµ quèc
s¸ch hµng ®Çu lµ mét trong nh÷ng ®éng lùc quan träng t¹o sù chuyÓn biÕn toµn
diÖn trong ph¸t triÓn gi¸o dôc vµ ®µo t¹o”
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 1
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
XuÊt ph¸t tõ quan ®iÓm chØ ®¹o cña §¶ng vÒ gi¸o dôc - ®µo t¹o, thùc hiÖn
chiÕn lîc ph¸t triÓn gi¸o dôc 2001 - 2010, ngµnh gi¸o dôc ®ang tÝch cùc tõng bíc
®æi míi néi dung ch¬ng tr×nh ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc, ®æi míi ph¬ng ph¸p
d¹y häc, ®æi míi c«ng t¸c qu¶n lý gi¸o dôc n©ng cao chÊt lîng qu¶n lý d¹y båi dìng häc sinh giái nh»m n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o, nh»m hoµn thµnh
môc tiªu: “N©ng cao d©n trÝ, ®µo t¹o nh©n lùc, båi dìng nh©n tµi”. Còng trong
nghÞ quyÕt TW II kho¸ VIII ®· nªu nh÷ng gi¶i ph¸p ph¸t triÓn gi¸o dôc cïng víi
viÖc c¶i tiÕn c¸c vÊn ®Ò vÒ c«ng t¸c gi¸o dôc toµn diÖn häc sinh c¶ mÆt tri thøc lÉn
®¹o ®øc häc sinh.
ChÝnh v× vËy c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái thùc chÊt lµ mét ho¹t ®éng
d¹y häc ®ßi hái ngêi gi¸o viªn ph¶i tu©n thñ c¸c yªu cÇu s ph¹m, c¸c nguyªn t¾c
còng nh ph¬ng ph¸p d¹y häc theo híng ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña ngêi häc, ngêi
häc thùc sù lµ chñ thÓ cña ho¹t ®éng d¹y häc. Do ®ã ngêi gi¸o viªn ë c¬ së còng
ph¶i n¾m b¾t ®îc c¸c h×nh thøc gi¸o dôc häc sinh giái. Tõ ®ã gi¸o viªn cã c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc s¸ng t¹o ®Æc biÖt ®èi bé m«n To¸n ®Ó båi dìng ®Ó ®¹t hiÖu qu¶
cao nhÊt.
Trong ch¬ng tr×nh m«n To¸n ë c¸c líp THCS kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ
kh«ng nhiÒu song l¹i rÊt quan träng ®ã lµ nh÷ng tiÒn ®Ò c¬ b¶n ®Ó häc sinh tiÕp
tôc häc lªn ë THPT.
Khi gi¶i to¸n vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ ®ßi hái häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc
c¬ b¶n vÒ c¨n thøc, ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh, c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè,... Häc
sinh biÕt vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc, kü n¨ng tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc
t¹p. ViÖc häc sinh gi¶i thµnh th¹o c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ gióp häc sinh ph¸t
triÓn t duy, ph¸t huy tÝnh tÝch cùc chñ ®éng, s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n dìng HSG.
§ång thêi gi¸o dôc t tëng, ý thøc, th¸i ®é, lßng say mª häc to¸n cho häc sinh.
2.C¬ së thùc tiÔn:
2.1. VÒ häc sinh
Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ lo¹i to¸n mµ häc sinh THCS coi lµ lo¹i to¸n khã, nhiÒu
häc sinh kh«ng biÕt gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ nh thÕ nµo? Cã nh÷ng ph¬ng ph¸p
nµo?
C¸c bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ lµ mét d¹ng to¸n hay vµ khã, cã nhiÒu
trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái c¸c cÊp, thi vµo líp 10 THPT. Tuy nhiªn, c¸c tµi liÖu
viÕt vÒ vÊn ®Ò nµy rÊt h¹n chÕ hoÆc cha hÖ thèng thµnh c¸c ph¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh,
g©y nhiÒu khã kh¨n trong viÖc häc tËp cña häc sinh, còng nh trong c«ng t¸c tù båi
dìng cña gi¸o viªn.
V× vËy viÖc nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ lµ rÊt thiÕt
thùc, gióp gi¸o viªn n¾m v÷ng néi dung vµ x¸c ®Þnh ®îc ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y
phÇn nµy ®¹t hiÖu qu¶, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc, dÆc biÖt lµ chÊt lîng häc sinh giái vµ gi¸o viªn giái ë c¸c trêng THCS.
Theo sè liÖu thèng kª thÓ hiÖn trong B¶ng 01 vµ 02 th× tØ lÖ häc sinh gi¶i
thµnh thµnh th¹o c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ cßn h¹n chÕ chiÕm tØ lÖ xÊp xØ 22%
trong tæng sè c¸c bµi tËp mµ gi¸o viªn giao vÒ nhµ thuéc chuyªn ®Ò, trong ®ã cã
nhiÒu bµi tËp häc sinh cha n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, kiÕn thøc gèc nªn trong
qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ kÕt luËn tËp nghiÖm cßn sai, nªn hÖ qu¶ tÊt yÕu ®i
kÌm theo lµ nhiÒu häc sinh trong c¸c k× thi häc sinh giái cÊp tØnh ®iÓm cha cao
¶nh hëng ®Õn thµnh tÝch cña toµn ®éi tuyÓn bé m«n To¸n.
*B¶ng 1:
TT
thèng kª tØ lÖ ®iÓm cña häc sinh tham gia dù thi hsg cÊp m«n to¸n
trong hai n¨m häc liÒn kÒ
§iÓm
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 2
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
N¨m
häc
1
2
08 - 09
09 -10
*B¶ng 2:
N¨m häc
2008-2009
2009-2010
Tæng
0.0 - 2.9
3.0- 4.9
5.0 - 6.4
6.5 - 7.9
8.0 - 10.0
Tæng
sè
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
20
11 55.00 8
40.00 1
5.00 0
0.00 0
0.00
17
2
11.76
8
47.06
6
35.29
1
5.88
0
0.00
KÕt qu¶ häc tËp chuyªn ®Ò " ph¬ng tr×nh v« tØ"
Tèng sè bµi
tËp rabµi ra
20
20
40
Sè Bµi tËp HS hoµn Sè bµi HS cßn sai
thµnh
kiÕn thøc c¬ b¶n
§iÓm
Sè lîng
TØ lÖ %
Sè lîng
TØ lÖ %
15
16
31
75.0
80.0
77.5
5
4
9
25.0
20.0
22.5
2.2. VÒ gi¸o viªn:
Trong ch¬ng tr×nh ®¹i trµ, theo chuÈn kiÕn thøc kØ n¨ng theo QuyÕt ®Þnh 16,
th× d¹ng ph¬ng tr×nh kh«ng ®îc gi¶ng d¹y trùc tiÕp mµ chØ th«ng qua mét sè bµi
tËp rÌn luyÖn mµ tïy theo ®èi tîng häc sinh, gi¸o viªn cã thÓ lùa chän vµ giíi
thiÖu. Nªn trong thùc tÕ gi¶ng d¹y gi¸o viªn cóng Ýt ®Çu t, t×m hiÓu vÒ vÊn ®Ò nµy,
nhng trong c¸c k× thi chän häc sinh giái líp 9 cÊp tØnh, thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng chuyªn líp chän l¹i xuÊt hiÖn nhiÒu bµi to¸n liªn quan ®Õn néi dung nµy.
MÆt kh¸c, viÖc t×m hiÓu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ hiÖn nay cßn
Ýt gi¸o viªn nghiªn cøu, hoÆc nghiªn cøu còng kh«ng hÖ thèng.
Theo thèng kª c¸c ®Ò thi chän HSG cña Së GD-§T Qu¶ng B×nh, trong c¸c
n¨m l¹i ®©y th× c¸c bµi thi liªn quan ®Õn ph¬ng tr×nh v« tØ, chiÕm tØ lÖ kh¸ ®¸ng kÓ,
tÝnh ra trung b×nh ®Õn 20% trong tæng sè ®iÓm cña toµn bé ®Ò ra.
*B¶ng 3:
thèng kª kiÕn thøc liªn quan ®Õn pt v« tØ trong c¸c k× thi chän hsg líp 9
tØnh qu¶ng b×nh
KiÕn thøc chung
N¨m häc
1998-1999
1999- 2000
2000-2001
2001-2002
2002-2003
2003-2004
2004-2005
2005-2006
2006-2007
2007-2008
2008-2009
KiÕn thøc liªn quan ®Õn
ph¬ng tr×nh v« tØ
TØ lÖ %
Tèng sè bµi
ra
§iÓm
Tèng sè bµi
ra
§iÓm
Tèng sè
bµi ra
§iÓm
4
5
4
4
5
5
4
4
4
5
5
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
10.0
1
2
1
1
2
2
1
1
1
0
1
2.5
3.0
2.0
0.0
3.5
3.5
2.5
2.5
2.0
0.0
2.0
25.0
40.0
25.0
25.0
40.0
40.0
25.0
25.0
25.0
0.0
20.0
25.0
30.0
20.0
0.0
35.0
35.0
25.0
25.0
20.0
0.0
20.0
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 3
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
2009-2010
2010-2011
Tæng
4
5
58
10.0
10.0
130
1
1
15
2.5
2.5
28.5
25.0
20.0
25.9%
25.0
25.0
21.9%
3. C¸c gi¶i ph¸p ®· thùc hiÖn
3.1.Gi¶i ph¸p 1: Cung cÊp kiÕn thøc c¬ b¶n, kiÕn thøc gèc cã hÖ thèng vµ
HS ®îc rÌn luyÖn nhiÒu bµi tËp ®Ó n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc gèc liªn quan ®Õn
gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ tõ néi dung ch¬ng tr×nh theo chuÈn kiÕn thøc kØ n¨ng
cña Q§16.
3.1.1 C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n:
3.1.1.1. C¨n bËc hai.
C¸c ®Þnh nghÜa:
* C¨n bËc hai.
Cho sè a 0, sè x gäi lµ CBH cña a nÕu x2 = a. Ký hiÖu x a .
Ta cã nhËn xÐt:
Khi a > 0 th× cã hai CBH lµ x a vµ x a .
Khi a = 0 th× cã mét CBH lµ x a 0 .
Khi a < 0 th× kh«ng cã CBH.
* C¨n bËc hai sè häc.
x 0
x a 2 , víi a
x2 a a
0.
PhÐp biÕn ®æi CBH, víi gi¶ thiÕt c¸c c¨n thøc ®Òu cã nghÜa.
1.
2.
A khi A 0
A A
A khi A 0
2
A
A
B
n
AB
An ;
A:
4.
A2 B A
6.
7.
A
B
B
n
An B n C n
B
A B
B
C
A B C
A
B
3.
5.
A
B
A
B
C
A B
A B
AB
B
8. m A n A p A m n p A
3.1.1.2. C¨n bËc ba.
§Þnh nghÜa: Cho sè thùc a sè thùc x gäi lµ CBB cña a nÕu x3 = a.
Ký hiÖu x 3 a .
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 4
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
Lu ý: Mäi sè thùc ®Òu cã duy nhÊt mét CBB.
PhÐp biÕn ®æi CBB: dùa trªn phÐp biÕn ®æi CBH ta còng cã t¬ng tù.
(Dµnh cho HS tù ghi vµo vë ®Ó ghi nhí)
3.1.1. 3. C¨n bËc n.
§Þnh nghÜa:
Cho sè thùc a sè thùc x gäi lµ CBn cña a nÕu xn = a. Ký hiÖu x n a .
Lu ý:
+Mäi sè thùc a ®Òu cã duy nhÊt mét c¨n bËc lÎ.
+Mäi sè thùc a kh«ng ©m cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau.
3.1.2. C¸c bµi tËp rÌn luyÖn c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n.
Bµi 1. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña c¸c biÓu thøc:
a) x 1 x 3 ;
c)
e) x 2 1 ;
2x
;
5x
d)
x2
;
x3
b) x 2 4 ;
f) 3 x 2 .
Bµi 2. T×m x, tháa m·n ®iÒu kiÖn sau:
1
2
a) 2 x 6 ;
b) 9x 2 2x 1 ;
c) 2 x 2 4x 8 ;
d) 1 4x 4x 2 5 ;
e) x 4 7 ;
f) x 2 9 3 x 3 0 .
3.2.Gi¶i ph¸p 2: Ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o, t duy linh ho¹t mÒm dÎo cña häc
sinh, b»ng c¸ch tæ chøc cho HS t×m hiÓu vµ x©y dùng nhiÒu lêi gi¶i kh¸c nhau
cho mét bµi to¸n.
Ta xÐt bµi to¸n sau vÝ dô sau:
Bµi 3. G¶i pt x 1 x 2 x 34 x 7 (1)
Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh x 1. Ta cã thÓ tæ chøc cho HS t×m hiÓu c¸c c¸ch
gi¶i kh¸c nhau nh sau:
*C¸ch 1: Ph¬ng ph¸p b×nh ph¬ng
Víi x 1, ta cã x + 34 > x + 7 > 0 nªn hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) ®Òu d¬ng,
suy ra:
(1)
x 1 x 2
x 1 x 2 2
20
4x
2
x 34 x 7
x 1 x 2
x 1 x 2
400 40
2
x 34 x 7 2
x 34 x 7
x 34 x 7
x 1 x 2 x 1 x 2 x 34 x 7
x 1 x 2
16 8x x 2 x 2 x 2x 2
x = 2, thö l¹i thÊy tháa m·n lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).
*C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p biÓu thøc liªn hîp
Ta cã ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi:
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x 34 x 7
x 34 x 7
x 34 x 7
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 5
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
x 2 x 1
x 34 x 7
x 1 x 2
x 34 x 7
1
9
x 1 x 2
x 34 x 7
9 x 2 9 x 1 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7
10 x 2 8 x 1 2 x 34
5 x 2 x 34 4 x 1
5
2
x 34 x 1
x2
x 34 4 x 1
2
x4
x 34 x 1
2
x 4
2
25x = 50 x = 2, thö l¹i thÊy x = 2 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).
*C¸ch 3: Ph¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ gi¸ trÞ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh
Ta cã ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh:
x 1 x 2 x 7 x 34
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki cho hai bé sè ( 1; 2; 3 ) vµ ( x 1 ;
x2
;
2
x7
), ta cã:
3
1 2 3 x 1
x 2 x 7
2
3
x 1 x 2 x 7
2
=
2
x 34 .
Suy ra 6x - 6 + 3x + 6 + 2x + 14 x + 34 10x 20 x 2 (*)
Do x 2
x 34 x 7 3
x 34 3 x 7
x 1 x 2 3
x 34 9 6 x 7 x 7 3 x 7 x 2 (**).
Tõ (*) vµ (**) suy ra x = 2.
Thö l¹i thÊy x = 2 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).
*C¸ch 4: Gi¶i theo ph¬ng ph¸p ®Æc trng riªng cña d¹ng ph¬ng tr×nh.
Theo C¸ch 1, ta cã:
(1) x 34 x 7 x 1 x 2 20
x 2 x 2 x 2 41x 238 20 .
L¹i theo c¸ch 3, ta cóng cã x 2, suy ra: x 2 x 2 2 vµ x 2 41x 238 18
x2 x 2 2
x = 2.
x x 2 x 41x 238 20
2
x 41x 238 18
2
2
Thö l¹i thÊy x = 2 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).
nhµ.
3.3.Gi¶i ph¸p 3: KiÓm so¸t ®îc qu¸ tr×nh viÖc lµm bµi tËp cña häc sinh ë
GV ra c¸c d¹ng bµi tËp t¬ng tù, c¸c bµi tËp n©ng cao cho HS. In thµnh phiÕu
vµ ph¸t cho HS, c¸c bµi khã nªn cã ®Þnh híng lêi gi¶i hoÆc kÕt qu¶. Sau c¸c buæi
häc gi¸o viªn thu vµ chÊm bµi lµm ®Ó n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vËn dông cña häc
sinh tõ ®ã ®¸ng gi¸ n¨ng lùc cña hoc sinh trong gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ.
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 6
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
Th«ng tin ph¶n håi kÞp thêi cho tõng ®èi tîng häc sinh: cô thÓ vÒ sè bµi tËp lµm ®îc, sè bµi tËp cã nhiÒu lêi gi¶i, bµi tËp cã lêi gi¶i s¸ng t¹o. C¸c bµi tËp tïy theo
buæi häc cho häc sinh kiÓm tra chÐo vë bµi tËp lÉn nhau, ®Ó th«ng qua ®ã häc sinh
tù häc lÉn nhau. Còng th«ng qua viÖc gi¶i bµi tËp mµ b¶n th©n cïng víi gi¸o viªn
tuyÕn 2 kÌm cÆp häc sinh ë c¸c trêng ®Ó còng cè c¸c kiÕn thøc cßn yÕu cho häc
sinh.
VÝ dô: Sau khi d¹y båi dìng vÒ chuyªn ®Ò "Ph¬ng tr×nh v« tØ", ta cã thÓ
giao phiÕu bµi tËp vÒ nhµ ®îc thiÕt kÕ nh sau:
Bµi tËp Buæi
Ph¬ng tr×nh v« tØ
Bµi 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3 5 x 2 (1)
HD: NhËn d¹ng ph¬ng tr×nh c¬ b¶n.
Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
a) x 3 2 x 4 x 4 x 4 1 (2)
b) x 2 2 x 5 x 2 3 2 x 5 7 2 (3)
1
2
Bµi 4. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 y 2 z 8 32 xyz (5), víi x, y, z > 0.
Bµi 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x y 1 z 2 x y z (4)
HD: ¸p dông b®t C«-si cho hai sè kh«ng ©m.
Bµi 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
4
(5)
3x 2 6 x 19 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2
NhËn xÐt cña GV kÌm cÆp tuyÕn hai sau khi híng dÉn häc sinh «n tËp lÝ thuyÕt,
gi¶i bµi tËp:
-KiÕn thøc c¬ b¶n:..................................................................................................................................................................................
. ...............................................................................................................................................................................................................................
. ...............................................................................................................................................................................................................................
-KÜ n¨ng lµm bµi:....................................................................................................................................................................................
. ...............................................................................................................................................................................................................................
-TriÓn väng: .................................................................................................................................................................................................
......, ngµy......th¸ng......n¨m 2011
GV kÌm
(KÝ, ghi râ hä tªn)
3.4.Gi¶i ph¸p 4: Trang bÞ kÜ cho häc sinh vÒ mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng
ph¬ng tr×nh v« tØ thêng gÆp.
* Kh¸i niÖm: Ph¬ng tr×nh v« tØ lµ ph¬ng tr×nh ®¹i sè chøa Èn trong dÊu c¨n thøc (ë
®©y t«i chØ ®Ò cËp ®Õn nh÷ng ph¬ng tr×nh mµ Èn n»m díi dÊu c¨n bËc hai vµ c¨n
bËc ba phï hîp víi ®èi tîng häc sinh líp 9 bËc THCS).
* Ph¬ng tr×nh v« tØ rÊt phong phó vµ ®a d¹ng, híng chung ®Ó gi¶i quyÕt ph¬ng
tr×nh v« tØ lµ lµm cho ph¬ng tr×nh ®îc chuyÓn vÒ d¹ng h÷u tØ.
3.4.1-Ph¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa:
a) KiÕn thøc vËn dông:
+ (A B)2 = A2 2AB + B2
+ (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 7
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
f ( x) 0
+ f ( x ) g ( x ) g ( x) 0
2
f ( x ) g ( x )
+ 3 A m A m3
b) Bµi to¸n rÌn luyÖn
Bµi 4. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2 2 x 1 x
Gi¶i
§iÒu kiÖn c¨n cã nghÜa: 2 x 1 0
(2)
x
(1)
1
2
2x 1 x 2
Víi ®iÒu kiÖn x 2 0
(3) 2x - 1 = (x-2)2
(5)
(1)
(3)
(4)
2x 1 x 4x 4
2
x 2 6x 5 0
Gi¶i ra ta ®îc x1=1 kh«ng tho¶ m·n (4)
x2 = 5 tho¶ m·n (2) vµ (4) nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh: x = 5
Bµi 5. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 5 x 1 3 x 2 (1)
Gi¶i
x 1 0
Ph¬ng tr×nh (1) cã nghÜa: 5x 1 0 x 0
3x 2 0
(2)
(1) x 1 3x 2 5 x 1
Hai vÕ ®Òu d¬ng, b×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc
x 1 3 x 2 5 x 1 2 (3 x 2)(5 x 1)
2 7 x 2 15 x 2 13 x 2
2 7 x 0
2
2
4(15 x 13 x 2) (2 7 x) (3)
Gi¶i (3) ta ®îc:
x
2
7
kh«ng tho¶ m·n (1).
VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
Bµi 6. Gi¶i ph¬ng tr×nh x 1 x 2 1 (1)
Gi¶i
§iÒu kiÖn: x 2 (2)
ViÕt PT (1) díi d¹ng
x 1 x 2 1 (3)
Hai vÕ cña (3) kh«ng ©m, b×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc
x 1 x 2 1 2
x2
2 2 x 2 x 2 1 x 2 1 x 3
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2)
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 8
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x= 3
Lu ý:
+ NÕu ®Ó (1) b×nh ph¬ng ta ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn:
x + 1 x 2 (§iÒu kiÖn nµy lu«n ®óng)
+ NÕu biÕn ®æi (1) thµnh x 2 x 1 1 råi b×nh ph¬ng hai vÕ ta ph¶i ®Æt
®iÒu kiÖn x 1 1 x 0
Bµi 7. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x 1 2 3 7 x (1)
Gi¶i:
(1)
3
x 1 3 7 2x 2
(3 x 1 3 7 x ) 3 2 3
Gi¶i (1)
3
( x 1)(7 x ) 0
( x 1)(7 x ) 0
x1 1; x 2 7
Lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
Chó ý:
- Khi b×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cÇn chó ý ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng d¬ng.
- Tríc khi lªn luü thõa cÇn biÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng thuËn lîi nhÊt ®Ó h¹n chÕ
c¸c trêng hîp hoÆc cã lêi gi¶i ng¾n gän.
Bµi 8. Gi¶i pt: x 2 4 x 4 x 8 (1)
Gi¶i: ( x 2) x 8
x2 +x 8
NÕu x 2 th× x 2 x 8 x 5
NÕu x < 2 th× 2 x x 8 v« nghiÖm
KÕt luËn : x = 5 lµ nghiÖm cña pt
c) Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sö dông phÐp b×nh ph¬ng.
1/ x2- 4x = 8 x 1 (x = 4 + 2 2 )
2/
2 x 2 8 x 6 + x 2 1 = 2x + 2
2
3/
x2
7
x2
+ x 72 = x (x = 2)
x
4/
(x=-1)
x 1 - x 2 = x 5 - x 10
Bµi 10. Gi¶i c¸c pt sö dông phÐp lËp ph¬ng:
1/ 3 x 1 + 3 x 2 = 3 2 x 3
(x = 4; 2);
2/
3
x 1 + 3 x 1 = 3 5x
(x=0;
3/
3
x 1 + 3 3x 1 = 3 x 1
(x=- 1);
4/
3
5
2
1
x
+
3
1
x
=1
(x =
28
27
);
);
3.4.2. Ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
a) KiÕn thøc vËn dông :
f ( x ) nếu f ( x ) 0
Ta cã: f ( x) f ( x)
f ( x ) nếu f ( x ) 0
Ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi (tù t×m hiÓu ).
b) Bµi tËp rÌn luyÖn:
Bµi 11. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 4 x x 2 + x 7 6 x 2 1 (1)
Gi¶i:
2
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 9
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
§iÒu kiÖn : x - 2 0 hay x 2
(
x 2 2)
x2 2
2
(2)
x 2 3) 2 1
(
x 2 3 1
C¸ch 1: Chia c¸c trêng hîp ®Ó bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
C¸ch 2: Sö dông bÊt ®¼ng thøc a b a b , dÊu “=” x¶y ra khi a,b > 0.
Khi ®ã x 2 2 3 x 2 x 2 2 3 x 2 1 (3)
DÊu “=”x¶y ra khi: x 2 23 x 2 0 (4)
Gi¶i (4) ta ®îc: 6 x 11 Tho¶ m·n (2)
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)lµ : 6 x 11
c) Chó ý :
+ Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc ¸p dông khi c¸c biÓu thøc trong dÊu c¨n bËc hai viÕt
®îc thµnh b×nh ph¬ng cña mét biÓu thøc.
+ Cã nh÷ng ph¬ng tr×nh cÇn ph¶i biÕn ®æi míi cã d¹ng trªn.
d) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 12. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
x 1
1/ x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2
2/
x
3/
x23
x2 1
x
x2 1
2x 5
x2
2
x 2
2x 5 2
3.4.3. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
a) §Æt Èn phô ®a vÒ ph¬ng tr×nh Èn míi
Bµi 13. Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 5 x 13 4 x 2 5 x 9
Gi¶i:
Ta cã :
5 11
x 2 5x 9 x
2 4
§Æt:
x 5x 9 y 0 x
2 + 4 = 4y
Khi ®ã (1) y
2
2
5
x 3
2
2
(1)
>0
5x 9 y 2
y2
x 2 5x 5 4
x 2 5x 5 0
5 5
x
2
5 5
x
2
Bµi 14. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x
x
1
2
x
1
2
4
(1)
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: x 4
Khi ®ã (1) trë thµnh
(2). §Æt:
y2
1
4
x
1
1
2
y0 x y
4
4
(y
1 2
) 2
2
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 10
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
4y2
Trêng hîp
2 2 1
2
y
2 2 1
0
y
2
4y 7 0
2 2 1
y
2
< 0 (lo¹i) x 2
2 , tho¶
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x 2 2 .
Bµi 15. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x 1 3 x 3 3
Gi¶i:
§Æt:
x2 y
(1) y 1 y 1 y
3
3
m·n ®iÒu kiÖn (2).
(1)
x3 0
3
3
LËp ph¬ng hai vÕ ta cã :
y 3 y3 y 6 1
y 0
2
6
y 3 y 1
NÕu: y 0 3 x 2 0 x 2
NÕu y y 1 y y 1 , v« nghiÖm.
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = -2
b) §Æt Èn phô ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh:
* D¹ng: ax b r (ux v) dx e
(1)
Víi a, u, r 0 . §Æt u. y v ax b .
Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1) ®a ®îc vÒ d¹ng : u ( x y )(ruy rux 2ur 1) 0
Bµi 16. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x 15 32 x 2 32 x 20
(1)
Gi¶i:
2
3
§iÒu kiÖn:
Khi ®ã:
§Æt:
§iÒu kiÖn:
6
6
6
2 x 15 0 x
(1)
4y 2
15
2
2 x 15 2( 4 x 2) 2 28
2 x 15
4y 2 0 y
(2)
(3)
1
2
Khi ®ã (2) trë thµnh (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)
Tõ (3) ta cã :
(4y + 2)2 = 2x + 15 (5)
Tõ (4) vµ (5) cã hÖ:
(4 x 2) 2 2 y 15(4)
(4 y 2) 2 2 x 15(5)
Trõ vÕ víi vÕ cña (4) cho (5) ta ®îc (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
1
x 2
+) NÕu: x - y = 0 x y thay vµo (5) ta ®îc: 16x2 + 14x-11 = 0
x 11
8
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 11
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
víi
x
11
8
, lo¹i
+) NÕu 8x + 8y + 9 = 0 8 y 8 x 9 . Thay vµo 9 (4) ta ®îc:
64x2 + 72x - 35 = 0 x 9 221 ( lo¹i ); x 9 221 (nhËn).
16
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:
* D¹ng:
16
1
x1 ; x 2 9 221 .
2
16
(1)
ax b r (ux v ) 3 dx e
3
§Æt uy v 3 ax b , pt (1) ®a ®îc vÒ d¹ng: u ( y v)(rP 2
Trong ®ã: P uy v Q ux v
Bµi 17. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 3 x 5 8 x 3 36 x 2 53 x 25
Gi¶i:
(1) 3 3x 5 =(2x - 3)3- x + 2
(2)
3
§Æt :2y - 3 = 3 x 5 3x 5 (2 y 3) 3
(3)
3
Khi ®ã (2) 2 y x 5 (2 x 3) (4)
Tõ (3),(4) cã hÖ
rPQ rQ 2 1) 0
(1)
3x 5 (2 y 3) 3
:
2 y x 5 (2 x 3) 3
Trõ vÕ víi vÕ ta ®îc :
(5)
( x y )( P 2 Q 2 PQ 1) 0
Trong ®ã : P 2 y 3 ; Q 2 x 3 .
x, y
V×: P 2 Q 2 P.Q 1 0
Do ®ã :(5) x y Thay vµo (3) ta ®îc:
(x-2)(8x 2 -20+11)=0
x =2 ; x 2 = 5
1
3
2
;
x3 =5
* Mét sè d¹ng kh¸c:
Bµi 18. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x 2
Gi¶i
§iÒu kiÖn: x 1
(2)
3
§Æt:
x 2 y x 2 y3
3
2
x 1 3
(1)
x 1 z 0 x 1 z2
z2 y2 3
Víi ®iÒu kiÖn (2) th× (1) ®a vÒ hÖ:
y z 3
2 2
z y 3
z 0
Gi¶i hÖ nµy ta ®îc:
y 1
z 2
Tõ ®ã suy ra: x = 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 12
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
Bµi 19. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1
x
Gi¶i:
§iÒu kiÖn:
1
2 x2
2
(1)
x 0
2 x 2
§Æt:
2 x2 y 0 x2 y2 2
x 2 y 2 2
Ta cã hÖ: (1) 1 1
x y 2
§Æt:
x +y = S ; xy = P
P 1, S 2
S 2 P 2
1
S 2P P , S 1
2
2
(1)
+Trêng hîp 1: Ta ®îc x = y =1.
1 3
x
2
+Trêng hîp 2:
y 1 3
2
Tõ ®ã ta ®îc x = 1; x =
1
2
1 3
x
2 .
hoÆc
y 1 3
2
3
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
c) Chó ý
* Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô gióp ta gi¶i ®îc nhiÒu bµi
to¸n khã, tuy nhiªn ®Ó ®Æt c¸i g× lµm Èn phô vµ cã mÊy Èn phô th× ph¶i biÕt nhËn
xÐt vµ t×m mèi liªn quan gi÷a c¸c biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh, liªn quan gi÷a c¸c
Èn
* CÇn ph¶i cã kü n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
d) Bµi tËp ¸p dông
Bµi 20. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1/ x 2 2 x 9 6 4 x 2 x 2 ;
2/ x 2 x 1 x 2 x 1 4 ; (HD: ®Æt x 1 y 0; x 5 )
3/ x 1 2 x x 4 4 x 1 ; (HD: ®Æt x y;1 x 4 )
Bµi 21. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh:
1/ 3 x 3 8 2 x 2 6 x 4 ; (HD: ®Æt: x 2 a, x 2 x 4 b )
2
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 13
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
2/
x
5
5 37
2
3/
4/
5/
6/
x 3
x
3
(HD: ®Æt
x 3 1 2( x 2 2)
13; x 3
1
1
1 x
x
x
2 x
13 ).
(HD: ®Æt: x 1 a; 1 1 b; kÕt qu¶ x 1 5 ).
x
x 1 1
(HD: ®Æt
3 x 1 4 x 2 13 x 5
x 2 4x 3
x5
x 1 a; x 2 x 1 b ; kÕt qu¶
3
2 x a;
(HD: ®Æt
(HD: ®Æt
x
2
x 1;2;10
2y 3
)
3 x 1, x 1;
x 5 y 2, x 1;
5
29
2
11 11 37
;
)
4
8
)
7/ x 3 2 33 3 2 (HD: ®Æt 3x 2 y, x 1;2)
3.4.4. Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc.
a) Chøng tá tËp gi¸ trÞ ë hai vÕ rêi nhau khi ®ã ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
*Néi dung ph¬ng ph¸p:
XÐt ph¬ng tr×nh: f(x) = g(x)
NÕu tËp gi¸ trÞ cña f(x), g(x) lÇn lît lµ: S1, S2 mµ S1 giao víi S2 b»ng rçng th× ph¬ng
tr×nh v« nghiÖm.
*Bµi tËp rÌn luyÖn:
Bµi 22. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 3 7 x 3 5 x 2 (1)
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: x 3
Víi ®iÒu kiÖn nµy th×: x 3 7 x 3
Khi ®ã vÕ tr¸i cña (1) ©m, cßn vÕ ph¶i d¬ng do ®ã ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
b) Sö dông tÝnh ®èi nghÞch ë hai vÕ
*Néi dung ph¬ng ph¸p:
XÐt ph¬ng tr×nh F(x) = G(x) (1)
NÕu: F(x) K, dÊu ®¼ng thøc s¶y ra khi x = a, G(x) K, dÊu ®¼ng thøc s¶y ra
khi x = b (k, a, b lµ c¸c h»ng sè).
Khi a = b (1) cã nghiÖm lµ: x = a
Khi a b (1) v« nghiÖm
*Bµi tËp rÌn luyÖn:
Bµi 23. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 (1)
Gi¶i:
VÕ tr¸i: 3( x 1) 4 5( x 1) 9 4 9 5
VÕ ph¶i: 4 - 2x - x2 = 5- (x + 1)2 5
Do ®ã c¶ hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1, víi gi¸ trÞ nµy c¶ hai bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu
lµ ®¼ng thøc.
VËy x = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Bµi 24. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 6 x x 2 x 2 6 x 13 (1)
Gi¶i:
Sö dông bÊt ®¼ng thøc: a1b1 a 2 b2 a1 2 a 2 2 . b1 2 b2 2
2
(Víi dÊu “=” x¶y ra khi
2
a1 a 2
)
b1
b2
VÕ tr¸i: 6 x x 2 12
DÊu “=” x¶y ra khi x = 3.
VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
12 . 6 x x 2 4
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 14
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
c) Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè:
*Néi dung ph¬ng ph¸p:
Ta chØ ra nghiÖm cô thÓ vµ chøng minh ®îc c¸c trêng hîp kh¸c cña Èn kh«ng lµ
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .
*Bµi tËp rÌn luyÖn:
Bµi 25. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x 2 x 1 3 (1)
Gi¶i:
Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh.
+ Víi x > 3 th× 3 x 2 1, x 1 2 vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3
+ Víi -1 x 3 th× 3 x 2 1, x 1 2 vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n 3
VËy x = 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh.
d) Sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu "=" ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt.
*Néi dung ph¬ng ph¸p:
TA xÐt dÊu b»ng x¶y ra ë mét trong hai vÕ c¶u ph¬ng tr×nh vµ dù ®o¸n gi¸ trÞ ®ã
lµ mét trong c¸c nghiÖm.
*Bµi tËp rÌn luyÖn:
x
Bµi 26. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
4x 1
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: x > 1
4x 1
2
x
(2). Sö dông bÊt ®¼ng thøc:
4
(1)
a b
2
b a
Víi a,b > 0 th× dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b
Do ®ã:
x
4x 1
4x 1
2
x
DÊu “=” x¶y ra x 4 x 1 x 2 4x 1 0 x 2 3 , tho¶ m·n (2)
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = 2 3
e) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 27. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng ph¬ng ph¸p ¸p dung bÊt ®¼ng thøc:
1/ x 4 6 x x 2 10 x 27
(x = 5)
2/ 3x
(x = y = 2)
y 4 y 13 5
2
2
3/ x 6 x 2 x 1
(V« nghiÖm)
4/ x 1 x 3 2. ( x 1)( x 3x 5) 4 2 x
2 12 x 6
2
2
5)/
16
x3
4
y 1
1225
z 665
= 82 -
x3
y 1
z 665
(x = 19;
y = 5; z = 1890).
3.4.5. Nh÷ng chó ý trong viÖc gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ thêng gÆp
a) Khi gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ cÇn tr¸nh nh÷ng sai lÇm sau
+ Kh«ng chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc.
+ Kh«ng ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña c¨n thøc.
b) §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ thµnh th¹o th× c¸c kiÕn thøc sau cÇn n¾m v÷ng
+ C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc.
+ C¸c phÐp biÕn ®æi biÓu thøc ®¹i sè.
+ C¸c kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh.
+ C¸c kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng thøc...
4. KÕt qu¶ ®¹t ®îc bíc ®Çu vµ bµi häc kinh nhiÖm.
Sau khi ¸p dung c¸c gi¶i ph¸p chØ ®¹o trªn thùc hiÖn c«ng t¸c båi dìng häc
sinh giái THCS KiÕn Giang trong n¨m häc 2010 - 2011 cho ®éi tuyÓn To¸n líp 9
thgi chän häc sinh giái tØnh, th× ®¹t kÕt qu¶ nh sau (xem B¶ng 4, 5).
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 15
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
*B¶ng 4:
KÕt qu¶ häc tËp chuyªn ®Ò " ph¬ng tr×nh v« tØ"
Tèng sè bµi
tËp ra bµi ra
N¨m häc
Sè Bµi tËp HS hoµn Sè bµi HS cßn sai
thµnh
kiÕn thøc c¬ b¶n
Sè lîng
TØ lÖ %
§iÓm
Sè lîng
TØ lÖ %
2010-2011
20
18
90.0
2
10.0
Tæng
20
18
90.0
2
10.0
So víi B¶ng 2, th× sau khi ¸p dung c¸c biÖn ph¸p båi dìng kØ n¨ng gi¶i c¸c
d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ, th× häc sinh ®· cã kØ n¶ng gi¶i thµnh thao c¸c d¹ng ph¬ng
tr×nh c¬ b¶n, tØ lª c¸c em kh«ng gi¶i ®îc chØ cßn 10% (tríc khi ¸p dông lµ 22,5%).
Th«ng qua kÕt qu¶ chÊm vë bµi tËp cña häc sinh th× sè häc sinh nhËn d¹ng vµ lµm
®óng d¹ng chiÕm 100%, cßn sè häc sinh khi gÆp c¸c d¹ng bµi tËp l¹ ®ßi hái nhiÒu
th¸o t¸c t duy, kØ thuËt gi¶i phøc t¹p ®· gi¶m xuèng râ rÖt. Kh«ng cã hiÖn tîng häc
sinh cha n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n khi vËn dông gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh
v« tØ.
Do ®ã, kÕt qu¶ häc sinh giái bé m«n To¸n 9 trong k× thi chän HSG líp 9
diÔn ra ngµy 31 th¸ng 03 n¨m 2011 kh¶ quan: ®iÓm ®ång ®éi trung b×nh 5,0 xÕp
thøc nh× sau huyÖn Bè Tr¹ch cã ®iÓm trung b×nh lµ 5,5 ®iÓm. B¶ng thèng kª tØ lÖ
®iÓm:
*B¶ng 5:
thèng kª tØ lÖ ®iÓm trong k× thi chän hsg líp 9 tØnh qu¶ng b×nh 2010 - 2011
N¨m häc
2010 - 2011
Tæng
sè
12
0.0 - 2.9
3.0- 4.9
§iÓm
5.0 - 6.4
SL
TL%
SL
TL%
SL
1
8.33
4
33.33
6
6.5 - 7.9
TL% SL TL%
50.00
1
8.33
8.0 - 10.0
SL TL%
0
0.00
Qua b¶ng sè liÖu nµy ta cã thÓ thÊy r»ng HS gi¶i tèt ph¬ng tr×nh v« tØ vµ c¸c
kiÕn thøc liªn quan ®Õn c¨n thøc gióp c¸c em cã t duy gi¶i to¸n, tØ lÖ häc sinh
®iÓm díi 5 chØ cßn 5/12 em chiÓm 41,67%, so víi hai n¨m häc tríc lµ 29/37 em
chiÕm tØ lÖ 78,38% (xem B¶ng 01).
Tõ sù ph©n tÝch trªn, cho chóng ta thÊy c¸c gi¶i ph¸p trªn lµ s¸t ®óng víi
thùc tÕ c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái bé m«n To¸n t¹i THCS KiÕn Giang nªn ®·
gÆt h¸i bíc ®Çu nh÷ng kÕt qu¶ quan träng, t¹o sù ®éng viªn khÝch lÖ b¶n th©n yªn
t©m c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái bé m«n To¸n. §Ó lµm ®îc vÊn ®Ò nµy th× theo
t«i chóng ta ph¶i lu ý mét sè bµi häc kinh nghiÖm trong viÖc d¹y c¸c d¹ng ph¬ng
tr×nh v« tØ. §ã lµ:
Thø nhÊt, ph¬ng tr×nh v« tØ lµ mét d¹ng to¸n kh«ng thÓ thiÕu ®îc trong ch¬ng tr×nh båi dìng häc sinh giái bËc THCS. NÕu chØ dõng l¹i yªu cÇu trong s¸ch
gi¸o khoa th× cha ®ñ, v× vËy ®ßi hái gi¸o viªn ph¶i tÝch cùc tù häc, tù nghiªn cøu,
t×m tßi s¸ng t¹o thêng xuyªn bæ sung kiÕn thøc vµ tÝch luü kinh nghiÖm vÒ vÊn ®Ò
nµy th«ng qua c¸c kªnh th«ng tin.
Thø hai, ®Ó d¹y häc cho häc sinh hiÓu vµ vËn dông tèt ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ th× b¶n th©n mçi gi¸o viªn ph¶i hiÓu vµ n¾m v÷ng vÒ ph¬ng tr×nh v«
tØ: c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ, ph©n biÖt sù kh¸c nhau gi÷a ph¬ng tr×nh v« tØ víi
c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh kh¸c, ®ång thêi ph¶i n¾m v÷ng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng
tr×nh v« tØ.
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 16
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
Thø ba, qua viÖc nghiªn cøu bªn c¹nh viÖc gióp cho b¶n th©n n©ng cao kiÕn
thøc n©ng cao nghiÖp vô, båi dìng häc sinh giái cã hiÖu qu¶, ngoµi ra cßn gióp
b¶n th©n n©ng cao ph¬ng ph¸p tù häc, tù nghiªn cøu ®Ó cã thÓ tiÕp tôc nghiªn cøu
c¸c vÊn ®Ò kh¸c tèt h¬n trong suèt qu¸ tr×nh d¹y häc cña m×nh.
Thø t, gi¸o viªn ph¶i biÕt vËn dông linh ho¹t c¸c kiÕn thøc, ph¬ng ph¸p s
ph¹m vµo trong c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái, vµ cã nh÷ng s¸ng kiÕn phï hîp
víi ®iÒu kiÖn thùc tÕ còng nh c¸c vÊn ®Ò n¶y sinh trong båi dìng häc sinh giái bé
m«n To¸n.
*
PhÇn 3
*
*
kÕt luËn
Båi dìng häc sinh giái lµ mét vÊn ®Ò nh¹y c¶m, ®ßi hái nghÖ thuËt d¹y häc
cao cña nhµ s ph¹m v× häc sinh thùc sù lµ c¸c tinh hoa cña c¸c em cïng trang løa.
Lµm tèt vÊn ®Ò nµy th× ë c¬ së ph¶i cã c¸c gi¶i ph¸p s¸ng t¹o ®Ó thùc hiÖn tèt c¸c
biÖn ph¸p chØ ®¹o cña cÊp trªn, vËn dung linh ho¹t ph¬ng ph¸p s ph¹m vµo thùc
tiÔn båi dìng häc sinh giái. §Ó thùc hiÖn tèt c«ng viÖc gi¶ng d¹y häc sinh giái,
®Æc biÖt lµ c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái bé m«n To¸n ngêi thÇy ph¶i thêng
xuyªn häc, häc tËp, nghiªn cøu. Trong thùc tiÔn qu¸ tr×nh bèi dìng, ®äc tµi liÖu
tham kh¶o, ph©n tÝch c¸c t×nh huèng s ph¹m, ph©n tÝch c¸c kÕt qu¶ häc tËp cña
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 17
"C¸c biÖn ph¸p båi dìng HSG líp 9 kÜ n¨ng gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ"
häc sinh vÒ tiÕp thu kiÕn thøc, kØ n¨ng vËn dông vµo lµm bµi, kØ n¨ng tù gi¶i quyÕt
bµi tËp... t«i ®· rót ra mét sè kinh nghiÖm ®Ó båi dìng häc sinh häc gái bé m«n
To¸n trong vÊn ®Ò g¶i quyÕt c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ, mét trong nh÷ng m¶ng
kiÕn thøc quan träng bé m«n To¸n. Hy väng ®Ò tµi "C¸c biÖn ph¸p båi dìng häc
sinh giái líp 9 ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ" lµm mét kinh nghiÖm
cña m×nh ®Ó gióp b¶n th©n vµ ®ång nghiÖp, häc sinh tiÕp thu vÊn ®Ò nµy, phÇn nµo
n©ng cao n¨ng lùc t duy, sù s¸ng t¹o vµ rÌn kü n¨ng gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ cho
häc sinh, ®Ó häc sinh häc tèt, cã t duy, kØ n¨ng x©y dùng chiÕn lîc gi¶i to¸n vµ
ngµy cµng yªu thÝch bé m«n to¸n. B¶n th©n t«i tuæi ®êi cßn trÎ, võa tham gia
c«ng t¸c qu¶n lÝ, võa båi dìng häc sinh giái to¸n còng cha ®îc nhiÒu nªn b¶n
s¸ng kiÕn nµy ch¾c ch¾n cßn cã nhiÒu chç cßn h¹n chÕ, nhng víi tinh thÇn muèn
®ãng gãp cho phong trµo båi dìng häc sinh giái huyÖn nhµ ngµy cµng cã nh÷ng
dÊu hiÖu khëi s¾c, xøng tÇm víi thµnh tÝch cña gi¸o dôc LÖ Thuû. CÇn ®îc sù
®ãng gãp bæ sung cña c¸c ®ång nghiÖp. T«i ch©n thµnh c¸m ¬n chuyªn viªn
Phßng gi¸o dôc, Héi ®ång khoa häc nhµ trêng ®· gióp t«i thµnh b¶n s¸ng kiÕn
kinh nghiÖm nµy.
KiÕn Giang, ngµy 15 th¸ng 05 n¨m 2011
Ngêi viÕt
Lª D¬ng QuyÒn
nhËn xÐt cña héi ®ång khoa häc nhµ trêng.
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
nhËn xÐt cña héi ®ång khoa ngµnh gi¸o dôc
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................................
Lª D¬ng QuyÒn - PHT trêng THCS KiÕn Giang
Trang: 18
- Xem thêm -
.DOC 
18 
160 
149 
