Tài liệu Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Ứng dụng hệ thức Vi-ét: Xét phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0 * ,  a  0  ,   b 2  4ac . b   S  x1  x2   a Gọi S , P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm x1 , x2 . Hệ thức Viét:  . c P  x x  1 2  a  Điều kiện PT * có hai nghiệm trái dấu  P  0 .   0  Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt cùng dấu   . P  0   0   Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt dương   S  0 . P  0    0   Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt âm   S  0 . P  0   Các hệ thức thường gặp:  x12  x2 2   x12  2 x1.x2  x2 2   2 x1.x2   x1  x2   2 x1.x2  S 2  2 P .  x1  x2    x1  x2  2  4 x1 x2   S 2  4 P .  x2  x1    x1  x2  2  4 x1 x2   S 2  4 P .  x12  x2 2   x1  x2  x1  x2     x1  x2   2 x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x2 2    x1  x2   x1  x2   3 x1.x2   S .  S 2  3P  .    2 x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 .x2 2   x1  x2   2 x1 x2   2 x12 x22 .   2 2 2  x1  x2  2  4 x1 x2   S . S 2  4 P . 2 2   S 2  2P   2P 2 . 2  1 1 x1  x2 S    . x1 x2 x1 x2 P  1 1 x2  x1    x1 x2 x1 x2  x1  x2  2 x1 x2  4 x1 x2  S 2  4P . P PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 1/38   x1  x2  x1 x2 x12  x2 2  x1  x2  x1  x2      x2 x1 x1 x2 x1 x2  2 x13  x23   x1  x2   x12  x1 .x2  x2 2    x1  x2   x1  x2   x1.x2  .     x1  x2     2  x1  x2  2  4 x1 x2 x1 x2  2  4 x1 x2  x1  x2   x1.x2        S. S 2  4P P  S 2  4 P  S 2  P  .   x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2  x12  x2 2     S 2  2 P  S . S 2  4 P . 2 2 II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1: Cho phương trình  2m  1 x 2  2mx  1  0 . Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng  1; 0  . Lời giải   1 phương trình trở thành  x  1  0  x  1   1; 0  2 1 Xét 2m  1  0  m  khi đó ta có: 2 2 2  '  m   2m  1  m 2  2m  1   m  1  0 mọi m . Xét 2m  1  0  m  Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m . Ta thấy nghiệm x  1 không thuộc khoảng  1; 0  1 m  m 1 1 phương trình còn có nghiệm là x   2 2m  1 2m  1 Phương trình có nghiệm trong khoảng  1; 0  suy ra Với m   1  2m 1  0 0 1   1   0   2m  1   2m  1 m0 2m  1 2m  1  0 2m  1  0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng  1; 0  khi và chỉ khi m  0 . Câu 2: Cho phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0 ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình đã cho thỏa mãn:  x1  x2   x1  3 x2 . 2 a)    2m  1  4.  m  1  5  4m 2 Lời giải 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  5 4 5 4 x  x  1 2  2m  1 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  2  x1 x2  m  1 Theo đề bài: b) Phương trình hai nghiệm  m  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38  x1  x2   x1  3x2 2   x1  x2   4 x1 x2  x1  3x2 2   2m  1  4  m 2  1  x1  3 x2 2  x1  3x2  5  4m m 1   x1  2  x1  x2  2m  1 Ta có hệ phương trình:    x1  3 x2  5  4m  x  3( m  1)  2 2 m  1 3( m  1)    m2  1 2 2  3  m 2  1  4  m 2  1  m2  1  0  m  1 Kết hợp với điều kiện  m  1 là các giá trị cần tìm Câu 3: Tìm m để phương trình x 2  5 x  3m  1  0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  3 x1 x2  75   5  4.1.  3m  1  29  12m Lời giải 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  m  29 12  x  x  5 Áp dụng hệ thức Vi-ét  1 2  x1 x2  3m  1 Ta có: x13  x23  3x1 x2  75     x1  x2   x1  x2   x1 x2  3x1 x2  75 2   x1  x2  25  x1 x2   3x1 x2  75  25  x1  x2    x1  x2  x1 x2  3 x1 x2  75  x1  x2  3 Kết hợp x1  x2  5 suy ra x1  1; x2  4 Thay vào x1 x2  3m  1 suy ra m  5 3 5 là giá trị cần tìm 3 Cho phương trình x 2  10mx  9m  0 ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m  1 . b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện Vậy m  Câu 4: x1  9 x2  0 Lời giải a) Với m  1 phương trình đã cho trở thành x 2  10 x  9  0 x  1 Ta có a  b  c  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là  1  x2  9 b)  '   5m   1.9m  25m 2  9m 2 Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là  '  0  25m 2  9m  0 (*) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 3/38 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Câu 5:    x2  m  x1  x2  10m 10 x2  10m  x2  m       x1  9m   x1  9m , (*)  m  1  x1  9 x2  0   x1  9 x2  x x  9m  x x  9m  2   1 2  1 2 9m  9m  0  m  0   m  1 Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  m  1  0 ( m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m  0 . b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 1 1  4 x1 x2 Lời giải a) Với m  0 , phương trình đã cho trở thành: x 2  2 x  1  0  '  2 ; x1,2  1  2 Vậy với m  0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x1,2  1  2 . b)  '  m  2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt    0  m  2  0  m  2  x1  x2  2( m  1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:  2  x1 x2  m  m  1 Do đó: 1 1 x x 2( m  1)  4 1 2 4 2 4 x1 x2 x1 x2 m  m 1 Câu 6: m  1 m 2  m  1  0 m 2  m  1  0   2  3 2 m   m  1  2(m  m  1)  2m  m  3  0  2 3   Kết hợp với điều kiện  m  1;   là các giá trị cần tìm. 2   Cho phương trình 2 x 2  (2m  1) x  m  1  0 ( m là tham số). Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3 x1  4 x2  11 Lời giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì   0   2m  1  4.2.  m  1  0 2  4m 2  12m  9  0   2m  3   0 2 m 3 2 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có: 2m  1   x1  x 2   2  m 1  x1 .x 2    2  3x1  4x 2  11   13- 4m   x1  7  7m  7   x2  26 -8m  7m  7  13- 4m 3 7  4 26 -8m  11  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 4/38 Giải phương trình 3 13- 4m 7m  7 4  11 7 26 - 8m  m  2 Ta được   m  4,125 Câu 7:  m  2 Vậy  là các giá trị cần tìm  m  4,125 Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m 2  3  0 ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Lời giải a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  '  0     m  1   1.  m 2  3  0 2  2 m  4  0 m2 Vậy m  2 là các giá trị cần tìm b) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm. Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a  3a  2m  2  2  a.3a  m  3 2 m 1  m 1  2  3   m 3 2  2  2  m  6m  15  0  m  3  2 6 (thỏa mãn điều kiện) a Câu 8: Vậy  m  3  2 6 là các giá trị cần tìm. 1 1 Cho phương trình x 2  mx  m 2  4m  1  0 ( m là tham số). 2 2 a) Giải phương trình đã cho với m  1 . 1 1 b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn   x1  x2 x1 x2 Lời giải a) Với m  1 phương trình trở thành 1 2 9 x  x   0  x2  2 x  9  0 2 2  x1  1  10   x2  1  10 b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì   0 1 1 1 2     m   4. .  m 2  4m  1  0  8m  2  0  m  2 2 4  1 Để phương trình có nghiệm khác 0  m 2  4m  1  0 2 m1  4  3 2  m2  4  3 2 Ta có  x1  x2  0 1 1   x1  x2   x1  x2  x1 x2  1  0   x1 x2  x1 x2  1  0 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 5/38 m  0 2m  0   2  m  4  19 m  8m  3  0  m  4  19 m  0 Kết hợp với điều kiện ta được   m  4  19 Câu 9: m  0 Vậy  là các giá trị cần tìm. m   4  19  Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình x 2  m 2 x  m  1  0 ( m là tham số) có nghiệm nguyên. Lời giải     m 2   4.1.  m  1  m 4  4m  4 2 Phương trình có nghiệm nguyên khi   m 4  4m  4 là số chính phương m  0 Nếu  thì   0 (loại) m  1 Nếu m  2 thì   4  22 (nhận) Nếu m  3 thì 2m  m  2   5  2m 2  4m  5  0     2 m 2  4m  5       4m  4  m 4  2m 2  1    m 4   m 2  1     m 2  2 2  không là số chính phương. Vậy m  2 là giá trị cần tìm Câu 10: Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m  3  0 ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x12  x22 (với x1 , x2 là nghiệm của phương trình đã cho) Lời giải 2 2 3 7   '     m  1   1.  m  3  m 2  3m  4   m     0 , m 2 4  Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.  x1  x2  2( m  1)  x1  x2  2m  2 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:    x1 x2  m  3  2 x1 x2  2m  6  x1  x2  2 x1 x2  4  0 không phụ thuộc vào m . a) c) P  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2  4  m  1  2  m  3 2 2 2 5  15 15    2m     , m 2 4 4  15 5 5 Do đó Pmin  và dấu "  " xảy ra khi 2m   0  m  4 2 4 15 5 Vậy Pmin  với m  . 4 4 2 Câu 11: Cho phương trình x  mx  m  1  0 ( m là tham số). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 6/38 a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức M  x12  x22  1 . Từ x12 x2  x1 x22 đó tìm m để M  0 . b) Tìm giá trị của m để biểu thức P  x12  x22  1 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải x  x  m a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  1 2  x1 x2  m  1 2 x 2  x22  1  x1  x2   2 x1 x2  1 m  2  m  1  1 Ta có M  21   x1 x2  x1 x22 x1 x2  x1  x2   m  1 m 2 m 2  2m  1  m  1   m  m  1 m  m  1 2  m  0  m  1  m  1  0  m  1 Để M  0   0  m  m  1  0     m  0 m  m  1 m  0   m  1  0 2 b) Ta có P  x12  x22  1   x1  x2   2 x1 x2  1  m 2  2  m  1  1 2  m 2  2m  1   m  1  0 , m 2 Do đó Pmin  0 và dấu "  " xảy ra khi m  1  0  m  1 Vậy Pmin  0 với m  1 . Câu 12: Cho phương trình x 2   2m  2  x  2m  0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2 Lời giải Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1 , x2 là m2  1  0  '  0    x1  x2  0  2( m  1)  0  m  0 x x  0 2m  0  1 2   x  x  2  m  1 Theo hệ thức Vi-ét:  1 2  x1 x2  2m Ta có x1  x2  2  x1  x2  2 x1 x2  2  2m  2  2 2m  2  m  0 (thoả mãn) Vậy m  0 là giá trị cần tìm. Câu 13: Cho phương trình x 2   m  1 x  m  0 ( m là tham số). Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để A  x12 x2  x1 x22  2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải Ta có   [-(m+1)]2  4m  m 2  2m  1  ( m  1) 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt   0   m  1  0  m  1 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 7/38  x1  x2  m  1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  m 2 2 Ta có A  x1 x2  x1 x2  2007  x1 x2  x1  x2   2007 1 1 3  m  m  1  2007  m 2  m  2007  m 2  2.m.   2006  2 4 4 2 1  8027 8027  , m  m    2 4 4  1 1 Dấu "  " xảy ra m   0  m  2 2 8027 1 Vậy Amin  với m   . 4 2 2 Câu 14: Cho phương trình x  2mx  2m  1  0 ( m là tham số). Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để A  x12 x2  x1 x22 đạt giá trị lớn nhất. Lời giải Ta có    2m   4.1.  2m  1  4m 2  8m  4  4  m  1 2 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt   0   m  1  0  m  1 2  x1  x2  2m Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2  2m  1 2 2 Ta có A  x1 x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2  1    m  m  1  2007   2m  1 2m   4m 2  2m  4  m 2  m  2   2 1 1 1  1 1 1    4  m 2  2.m.     4  m     , m 4 16 16  4 4 4   1 1 Dấu "  " xảy ra m   0  m  4 4 1 1 Vậy Am ax  với m  . 4 4 2 Câu 15: Cho phương trình x  2  m  1 x  2m  5  0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  1  x2 . Lời giải a) Ta có    2  m  1   4.1.  2m  5   4m 2  12m  22 2   2m   2.2m.3  9  13   2m  3  13  0 , m 2 2 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .  x  x  2m  2 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có  1 2 (I)  x1 x2  2m  5 x 1  0 Theo giả thiết x1  1  x2   1   x1  1 x2  1  0  x1 x2   x1  x2   1  0 (II)  x2  1  0 Thay (I) vào (II) ta có:  2m  5   2m  2   1  0  0.m  2  0 , đúng với mọi m . Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  1  x2 . Câu 16: Cho phương trình x 2  mx  m  2  0 ( m là tham số). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 8/38 a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . x 2  2 x22  2 b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình thỏa mãn 1 .  4. x1  1 x2  1 Lời giải a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .   m 2  4.(m  2)  m 2  4m  8  ( m  2) 2  4  4  0 , m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m . b) Vì a  b  c  1  m  m  2  1  0 , m nên phương trình có 2 nghiệm x1 , x2  1 , m . Phương trình x 2  mx  m  2  0  x 2  2  mx  m x 2  2 x22  2 mx  m mx2  m m 2 ( x1  1)( x2  1) Ta có 1 . 4 1 . 4   4  m 2  4  m  2 x1  1 x2  1 x1  1 x2  1 ( x1  1)( x2  1) Vậy m  2 là các giá trị cần tìm. Câu 17: Cho phương trình x 2  mx  1  0 (1) ( m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. b) Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1): x12  x1  1 x22  x2  1  x1 x2 Lời giải a) Ta có a.c  1.  1  1  0 , với m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với Tính giá trị của biểu thức: P  mọi m . 2  x1  mx1  1 b) Ta có  2 do x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1).  x2  mx2  1 x 2  x1  1 x22  x2  1 mx1  1  x1  1 mx2  1  x2  1 Do đó P  1    x1 x2 x1 x2 x1  m  1 x2  m  1   m  1   m  1  0 vì x1 , x2  0 . x1 x2 Vậy P  0 . Câu 18: Cho phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0 1 ( m là tham số).   a) Tìm điều kiện của m để phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt. b) Định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình 1 thỏa mãn:  x1  x2   x1  3 x2 . 2 Lời giải a)      2m  1   4.1.  m 2  1  4m  5 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0  4m  5  0  m  5 4  x1  x2  2m  1 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có  2  x1 x2  m  1 2 2 Ta có  x1  x2   x1  3 x2   x1  x2   4 x1 x2  x1  x2  4 x2   2m  1  4  m 2  1  2m  1  4 x2  6m  6  4 x2  0  x2  2 m 1 2 m  1 3m  3 Do đó .  m 2  1  m 2  1  0  m  1 2 2 3m  3 2 Suy ra x1  (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 9/38 Vậy m  1 là các giá trị cần tìm. Câu 19: Tìm m để phương trình x 2  2 x  2m  1  0 ( m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x22 ( x12  1)  x12 ( x22  1)  8 . Lời giải    2   4.1.  2m  1  8m 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0  8m  0  m  0  x1  x2  2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có  (I)  x1 x2  2m  1 Ta có x22 ( x12  1)  x12 ( x22  1)  8  2  x1 x2   ( x12  x22 )  8 2  2  x1 x2    ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2   8 (II) Thay (I) vào (II) ta có: 2( 2m  1) 2   4  2  2m  1   8  2 m 2  3m  2  0 2 1  m   2  m  2  So với điều kiện có nghiệm m  0 . Vậy m  2 là giá trị cần tìm. Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình x 2  8 x  m  0 để 4  3 là nghiệm của phương trình. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại. Lời giải Do 4  3 là nghiệm của phương trình nên thỏa: 4  3 2   8 4  3  m  0  m  13  0  m  13 Thay m  13 vào phương trình ta được phương trình: x 2  8 x  13  0 *  '   4   1.13  3 2 x  4  3 Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là:  1  x2  4  3 Vậy x  4  3 là giá trị cần tìm. Câu 21: Cho phương trình x 2   2m  1 x  m 2  m  1  0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m . b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A   2 x1  x2  2 x2  x1  đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải a) Ta có      2m  1   4.1.  m 2  m  1  5  0 , m . 2 Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m .  x1  x2  2m  1 b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  2  x1 x2  m  m  1 2 Ta có A   2 x1  x2  2 x2  x1   5 x1 x2  2  x12  x22   9 x1 x2  2  x1  x2   9  m 2  m  1  2  2m  1  m 2  m  11 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 10/38 2 1 1 1 1  45 45   m  2.m.    11   m      , m 2 4 4 2 4 4  1 1 Dấu "  " xảy ra m   0  m   2 2 45 1 Vậy Amin   với m   . 4 2 1 Câu 22: Cho phương trình x 2  2mx  m 2   0 ( m là tham số). 2 a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau. c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Lời giải 2 1 1 2  a)  '    m   1.  m 2     0 , m . 2 2  Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .  2  x1  m  2 b) Hai nghiệm của phương trình là   2  x2  m   2 Theo đề bài ta có m  2 2 1 1  m  m 2  2m   m 2  2m  2 2 2 2  2 2m  0  m  0 c) Theo định lý Pitago ta có: 2 2  m  2 2  2 2 2  m     m    9  2m  8  0  m  4  0   2   2   m  2  m  2 Vậy  là các giá trị cần tìm.  m  2 Câu 23: Cho phương trình x 2  2 x  m  3  0 ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  1 . Tính nghiệm còn lại. b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x13  x23  8 Lời giải 2 a) Vì phương trình x  2 x  m  3  0 có nghiệm x  1 nên ta có: (1) 2  2.(1)  m  3  0  m  6  0  m  6 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x2  2  1  x2  2  x2  3 Vậy m  6 và nghiệm còn lại là x  3 . b)  '  12  1.  m  3   m  2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '  0  m  2 x  x  2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  1 2  x1 x2  m  3 Ta có PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 11/38 x13  x23  8  ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 )  8  23  3.( m  3).2  8  6(m  3)  0  m3 0  m  3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m  3 là giá trị cần tìm. Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2   2m  1 x  m 2  1  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P  x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải    2m  1  4.1.  m 2  1  4m  5 2 5 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  m  . 4  x1  x2    2m  1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  2  x1 x2  m  1 Ta có P  x12  x22   x1  x2   2 x1 x2 2     2m  1   2  m 2  1  2m 2  4 m  3 2  2  m 2  2.m.1  1  1  3  2  m  1  1  1 , m 2 Dấu "  " xảy ra m  1  0  m  1 (nhận) Vậy Pmin  1 khi m  1 . Câu 25: Cho phương trình x 2   m  5  x  2m  6  0 ( x là ẩn số) a) b) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12  x22  35 . Lời giải: a) Δ     m  5   4.1.  2m  6  2   m  5   4.  2m  6  2  m 2  10m  25  8m  24  m 2  2m  1   m  1  0; m 2 Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm. b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a  m  5;   P  x x  c  2m  6 1 2  a Ta có: x12  x22  35   x1  x2   2 x1 x2  35 2   m  5   2  2m  6   35 2  m 2  10m  25  4m  12  35  0  m 2  6m  22  0 1 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 12/38  '  32  1.  22   9  22  31  0 Vì  '  0 nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt: m1  3  31; m2  3  31   Vậy m  3  31;  3  31 Câu 26: Cho phương trình x 2  2 x  m  2  0 1 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình 1 có nghiệm b) Tìm m để phương trình 1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại Lời giải a) Phương trình 1 có nghiệm :  ' 0  1   m  2  0  3 m  0  m3 Vậy phương trình 1 có nghiệm khi m  3 b) Do phương trình 1 có 2 là một nghiệm nên thỏa: 2  2.2  m  2  0  m60  m  6 Thay m  6 vào phương trình 1 ta được phương trình: x 2  2 x  8  0 * 2  '  12  1.  8   1  8  9  0,  '  9  3 Do  '  0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: x1  Vậy m  6 và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm. Câu 27: Cho phương trình x 2  mx  m  1  0 1 với x là ẩn số a) b) c) 1  3 1  3  2; x2   4 1 1 Giải phương trình khi m  2 Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức A   x1  1  x2  1  2016 . 2 2 Lời giải a) Khi m = 2, phương trình 1 trở thành: x 2  2 x  1  0  2  Ta có a  b  c  1  2  1  0 nên phương trình  2  có hai nghiệm: x1  1; x2   Vậy khi m  2 , tập nghiệm của phương trình  2  là S  1;  2 c 2    2 a 1 b)   m 2  4.1.  m  1  m 2  4m  4   m  2   0; với mọi m . 2 Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a  m  P  x x  c  m 1 1 2  a Ta có: A   x1  1  x2  1  2016 2 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 13/38 A   x1  1 x2  1   2016 2 A   x1 x2  x1  x2  1  2016 2 A   m  1  m  1  2016 2 A  02  2016 A  2016 Câu 28: Cho phương trình x 2   2m  1 x  2m  0 với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệm x  2 . Tìm nghiệm còn lại. Lời giải Do phương trình có nghiệm x  2 nên thỏa: 22   2m  1 .2  2m  0  4  4m  2  2m  0  2m  2  0  2 m  2  m  1 Thay m  1 vào phương trình ta được phương trình: x 2  3 x  2  0 * Ta có a  b  c  1   3  2  0 nên phương trình * có hai nghiệm: x1  1; x2  c 2  2 a 1 Vì x2  2 nên nghiệm còn lại là x1  1 Vậy m  1 và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm. Câu 29: Cho phương trình x 2   m  1 x  m  2  0 ( x là ẩn số, m là tham số) a) b) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tính tổng và tích của hai nghiệm x1 , x2 của phương trình theo m c) Tính biểu thức A  x12  x22  6 x1 x2 theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải a)      m  1   4.1.  m  2    m  1  4  m  2   m 2  2m  1  4m  8 2 2  m 2  2m  9   m 2  2m  1  8   m  1  8  0 ; với mọi m 2 Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m . b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a  m  1  P  x x  c  m  2 1 2  a c) Ta có A  x12  x22  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2   m  1  8  m  2   m 2  2m  1  8m  16 2 2  m 2  6m  17  m 2  6m  9  8   m  3  8  8 ; với mọi m 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA  8 khi và chỉ khi m  3 . Câu 30: Cho phương trình: x 2  2  m  1 x  4m  0 ( x là ẩn số, m là tham số). a) b) a) Giải phương trình với m  1 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lời giải 2 Với m  1 phương trình trở thành: x  4 x  4  0 *  '  22  1.4  0 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 14/38 b' 2    2 a 1 Vậy với m  1 , tập nghiệm của phương trình * là S  2 Vì  '  0 nên phương trình * có nghiệp kép: x1  x2   b) Ta có  '     m  1   1.  4m    m  1  4m  m 2  2m  1  4m  m 2  2m  1   m  1 2 2 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt   '  0   m  1  0  m  1  0  m  1 2 Vậy m  1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 31: Cho phương trình x 2  2 x  m 2  1  0 ( m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m . c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1  3x2 Lời giải a) Ta có  '  12  1.  m 2  1  1  m 2  1  m 2  2  0 , với mọi m Vì  '  0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2   S  x1  x2  a  1  2  2  P  x x  c  m  1  m 2  1 1 2  a 1 c) Ta có x1  x2  2 (do trên) và x1  3x2 nên ta có hệ phương trình sau:  x1  x2  2  x  x  2  x  x  2  1 2  1 2   x1  3 x2  x1  3x2  0  x1  3 x2  0  x  3  x  x  2  x  1  2  1 2  1  1  *  x2  1  x2  1 2 x2  2 Thay * vào biểu thức x1 x2   m 2  1 ta được:  3 .1  m2  1  m2  2  m   2 Vậy m   2 là các giá trị cần tìm. Câu 32: Cho phương trình: x 2   m  2  x  m  1  0 ( m là tham số) a) b) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có x12  x22  13  x1 x2 Lời giải a) Ta có    m  2   4.1.  m  1  m 2  4m  4  4m  4  m 2  8  0 , với mọi m . 2 Vì   0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét:  b   m  2      m  2  S  x1  x2  a 1   P  x x  c  m 1  m 1 1 2  a 1 Theo đề bài, ta có: 2 2 x12  x22  13  x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  13  x1 x2  0   x1  x2   3 x1 x2  13  0     m  2    3  m  1  13  0   m  2   3  m  1  13  0 2 2  m 2  4m  4  3m  3  13  0 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 15/38  m 2  m  6  0  *   12  4.1.  6   1  24  25  0;   25  5 Do   0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 1  5 1  5  2; m2   3 2.1 2.1 Vậy m1  2; m2  3 là các giá trị cần tìm . m1  Câu 33: Cho phương trình x 2  x  m  2  0 với m là tham số và x là ẩn số a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x1 x23  x13 x2  10 Lời giải 2 a) Ta có   1  4.1.  m  2   1  4m  8  9  4m Để phương trình có nghiệm    0  9  4m  0  4m  9  m  9 4 9 thì phương trình có nghiệm . 4 9 b) Với m  4 thì phương trình trên có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 1   S  x1  x2  a  1  1  P  x x  c  m  2  m  2 1 2  a 1 3 3 Ta có x1 x2  x1 x2  10  x1 x2  x22  x12   10 Vậy m  2  x1 x2  x1  x2   2 x1 x2   10  0   2   1 .  1  2.  m  2    10  0     1  2m  4   10  0  1  2m  4  10  0  2m  5  0  2 m  5 5 m 2 5 Vậy m   thì phương trình trên có nghiệm. 2 Câu 34: Cho phương trình x 2  4 x  m  3  0 ( x là ẩn) a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 b) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12  x22  x12 x22  51 Lời giải 2 Ta có  '  2  1.  m  3  4  m  3  1  m Để phương trình có nghiệm x1 , x2   '  0  1  m  0  m  1 b) Theo câu a, ta có m  1 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 16/38 b 4   S  x1  x2   a   1  4  P  x x  c  m  3  m  3 1 2  a 1 Ta có x12  x22  x12 x22  51   x1  x2   2 x1 x2   x1 x2   51  0 2 2   4   2.  m  3   m  3  51  0  16  2m  6  m 2  6m  9  51  0 2 2  m 2  4m  32  0 *  '  22  1.  32   4  32  36  0;  '  36  6 Do ∆’ > 0 nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: 2  6 2  6  4 (loại); ; m2   8 (nhận) 1 1 Vậy m  8 là giá trị cần tìm . Câu 35: Cho phương trình: x 2  2  m  3 x  m 2  3m  1  0 ( x là ẩn số, m là tham số) m1  a) b) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Tìm m để A  x1  x2  1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất. a) Ta có  '   m  3  1.  m  3m  1  m 2  6m  9  m 2  3m  1  9m  8 Lời giải 2 2 Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m   '  0  9m  8  0  9m  8  m  Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m  b) Theo câu a, với mọi m  8 9 8 . 9 8 thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét: 9  b 2  m  3   2  m  3  S  x1  x2  a 1  2  P  x x  c  m  3m  1  m 2  3m  1 1 2  a 1 Ta có A  x1  x2  1  x2  x1 x2  x1  x2  x1 x2   x1  x2  1  27   m 2  3m  1  2  m  3  m 2  3m  1  2 m  6  m 2  m  7   m 2  m    4 4  2 2 1  27 27 1   , với mọi m (vì  m    0 , với mọi m )  m    2 4 4 2   1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  . 2 27 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA  khi và chỉ khi m  4 2 2 Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : x  2mx  2m  1  0 1 a) Chứng tỏ phương trình 1 luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m b) Đặt A  2  x12  x22   5 x1 x2 , tìm m sao cho A  27 a) Ta có  '    m   1.  2m  1  m  2m  1   m  1  0 ; với mọi m Lời giải 2 2 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 17/38 Do  '  0 (với mọi m) nên phương trình 1 luôn có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m . b) Theo câu a, với mọi m thì phương trình 1 luôn có nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b 2m   S  x1  x2  a  1  2m   P  x x  c  2m  1  2 m  1 1 2  a 1 2 Ta có A  2  x12  x22   5 x1 x2  2  x1  x2   2 x1 x2   5 x1 x2    2  x1  x2   4 x1 x2  5 x1 x2  2  x1  x2   9 x1 x2  2  2m   9  2m  1  8m 2  18m  9 2 2 2 Do A = 27 nên thỏa: 8m 2  18m  9  27  8m 2  18m  18  0  4 m 2  9 m  9  0  * Ta có    9   4.4.  9   81  144  225  0;   225  15 2 Do   0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: m1  3 là các giá trị cần tìm. 4 Câu 37: Cho phương trình x 2   m  3 x  m  5  0 ( x là ẩn) 9  15 9  15 3  3; m2   2.4 2.4 4 Vậy m1  3; m2  a) b) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x12  4 x1  x22  4 x2  11 Lời giải Ta có      m  3   4.1.  m  5    m  3  4.  m  5  m 2  6m  9  4m  20 2 a) 2  m 2  10m  29   m 2  10m  25   4   m  5   4  0 ; với mọi m . 2 Vì   0 (với mọi m ) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Theo câu a, ta có với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa hệ thức Viet:   m  3  b  m3  S  x1  x2     a 1  P  x x  c  m  5  m  5 1 2  a 1 Ta có 2 x12  4 x1  x22  4 x2  11  x12  x22  4  x1  x2   11  0   x1  x2   2 x1 x2  4  x1  x2   11  0   m  3  2  m  5   4  m  3  11  0  m 2  6m  9  2m  10  4m  12  11  0 2  m 2  12m  20  0  * Ta có  '   6   1.20  36  20  16  0;  '  16  4 2 Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt: m1  64 64  10; m2  2 1 1 Vậy m1  10; m2  2 là các giá trị cần tìm. Câu 38: Cho phương trình: x 2  mx  2m  4  0 ( x là ẩn số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m c) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Định m để x12  x22  5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 18/38 Lời giải a) Ta có:   m 2  4.1.  2m  4   m 2  8m  16   m  4   0 ; với mọi m . 2 Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   S  x1  x2  a  m   P  x x  c  2m  4 1 2  a Ta có x12  x22  5   x1  x2   2 x1 x2  5  0   m   2.  2m  4   5  0 2 2  *  m 2  4m  8  5  0  m 2  4m  3  0 Vì a  b  c  1   4   3  0 nên phương trình * có hai nghiệm: m1  1; m2  c 3  3 a 1 Vậy m1  1; m2  3 là các giá trị cần tìm. Câu 39: Cho phương trình x 2  2 x  4m  1  0 ( x là ẩn số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12  x22  2 x1  2 x2  12 Lời giải Ta có  '   1  1.  4m  1  1  4m  1  2  4m 2 a) Để phương trình có nghiệm   '  0  2  4m  0  4m  2  m  1 . 2 1 thì phương trình có nghiệm. 2 1 b) Theo câu a, với   0  m  thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: 2 b 2   S  x1  x2   a   1  2   P  x x  c  4m  1  4 m  1 1 2  a 1 Vậy m  Ta có x12  x22  2 x1  2 x2  12   x1  x2   2 x1 x2  2  x1  x2   12  0 2  22  2  4m  1  2.2  12  0  4  8m  2  4  12  0  8m  2  0  m  1 là giá trị cần tìm. 4 Câu 40: Cho phương trình bậc hai: x 2 – 2mx  4m – 4  0 ( x là ẩn) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x12  2mx2  8m  5  0 Lời giải 1 (thỏa) 4 Vậy m  2 a) Ta có  '    m   1.  4m  4   m  4m  4   m  2   0, m Do  '  0, m nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 2 2 b) Theo câu a)  '  0  m  2 nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Viét: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 19/38 b 2m   S  x1  x2  a  1  2m   P  x x  c  4m  4  4m  4 1 2  a 1 Do x1 là nghiệm của phương trình nên thỏa: x12  2mx1  4m  4  0  x12  2mx1  4m  4 * Ta có x12  2mx2  8m  5  0  2mx1  4m  4  2mx2  8m  5  0 (do * )  2m  x1  x 2   12m  9  0  2m.2m  12m  9  0 (do hệ thức Vi-ét)  4m 2  12m  9  0   2m  3  0 2  2m  3  0  2m  3 3 2 m 3 là giá trị cần tìm. 2 Câu 41: Cho phương trình: x 2  2  m  4  x  m  6  0 Vậy m  a) b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 1 1 Tính theo m biểu thức A   rồi tìm m   để A  . x1 x2 Lời giải a) Ta có:  '     m  4     m  6  2  '   m  4  m  6 2  '  m 2  8m  16  m  6  '  m 2  9m  22 2 9 7   '   m     0, m 2 2  Do  '  0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a,  '  0, m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 thỏa hệ thức Vi-ét: b   x1  x2  a    2  m  4    2  m  4   2m  8   x .x  c  m  6  1 2 a Có: A   1 1 x1  x2 2m  8 2  m  6   12  8     x1 x2 x1.x2 m6 m6 2  m  6  4 m6 Để A  thì  2  m  6 m6  4 4  2 m6 m6 4   suy ra 4  m  6  hay m  6  Ư(4)= 4; 2; 1;1; 2; 4 m6 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 20/38