Tài liệu Bài tập phương trình và bất phương trình ôn thi ptth quốc gia có đáp án (thầy đoàn trí dũng – hà hữu hải)

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 1: NGHIỆM HỮU TỶ ĐƠN Bài 1: Giải phương trình: x2  x  6  2 x2  6 x  1  3x  2  0 2 Điều kiện xác định: x  . Ta có phương trình: x2  x  6  2 x2  6 x  1  3x  2  0 3 Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính bài toán có 1 nghiệm x  1 và là nghiệm đơn  x2  x  2    2x2  6x  1  3    x  1 x  2   2x2  6x  8 2x2  6x  1  3  3 x  2  1  0   x  1 x  2    3x  3 3x  2  1  0   x  1 x  2   2x2  6x  1  9 2 2x  6x  1  3 3x  2  1   x  1 2 x  8  2x2  6x  1  3 3x  2  1  0 3  x  1 3x  2  1 0 x  1  0   2x  8    3 (*)   x  1   x  2     2x  8   0  3 0 3 x  2  1  2x2  6x  1  3  x  2    3x  2  1 2x2  6x  1  3  Do x   2x  8   2 3 nên  x  2   0 3 3x  2  1 2x2  6x  1  3 Do đó phương trình (*)  x  1  0  x  1 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 Bài 2: Giải bất phương trình: 3  x  2   3x  4  3 2 x  1  x  3 Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính bài toán có 1 nghiệm x  4 và là nghiệm đơn  x3 1  Nếu chúng ta thay giá trị vào các căn:  2 x  1  3   3 x  4  4 Cách 1: Nhân liên hợp căn với số:  3  x  2   3x  4  3 2 x  1  x  3  0   3x  12 3x  4  4  4x 1 x  3        3 x  4  4  1  x  3  3 3  2 x  1  3 x  12  0   3 1 6  3x  12  0   x  4      3  0 3  2x  1  3x  4  4 1  x  3 3  2 x  1  24  6 x      3 1 6   x  4    1  2    0 3  2 x  1    3x  4  4  1  x  3    3 x3 2 2x  1    x  4   0 3 x4  3x  4  4 1  x  3 3  2 x  1    Cách 2: Sử dụng truy ngược dấu: Do trong bài có 2 lượng biểu thức bị âm dấu do đó chúng ta cần xử lý ở 2 căn này theo đúng trình tự ở trên ta     x3 x3  được lượng liên hợp tương ứng như sau:  Do đó bài toán sẽ được trình bày như sau:  2x  1  3 2x  1   Điều kiện xác định: x  3 Bpt         3x  4  4  x  3  x  3  2 x  1  3 2 x  1  0 3 x  4 3x  4  4  x3   x  3  1  2x  1   2x  1  3  0  2 2x  1 3 x3    x  4   0 3x4  2x  1  3 3x  4  4 x  3  1   Vậy tập nghiệm của BPT là: S   3; 4  Bài 3: Giải bất phương trình: 2 x  14  3x  1   x  8  x  3 Dễ dàng kiểm tra bài toán có nghiệm đơn x  1 do đó: Điều kiện xác định: x   1 3   x  8  x  3  2 x  14  3x  1  0   x  8     x3 2   3x  1  2  0   x  8  3  0   x  1   0 x3 2 3x  1  2 3 x  1  2   x  3  2  2 x  10  3 x  3  x  8  3 3x  1  3 3 3    x  1      0    0   x  1  2 2 x  3  2 3 x  1  2 x  3  2 3 x  1  2          x 1   x  8    x  1        x  1     3x  3  3 3x  1  0 3x  1  2  x3    3 3x  1    0 (*) 3 x  1  2  x3  4 x 2  31x  73  x  3  2 2 x  10  3    31  207  2 x  4   16   x  3  2 2 x  10  3  2    2 Do:   31  207  2 x  4   16 3 3x  1 1     0x   nên bất phương trình (*)  x  1  0  x  1 3 3x  1  2 x  3  2 2 x  10  3 x  3    1  Vậy tập nghiệm của BPT là: S    ;1   3  Bài 4: Giải Bất phương trình: x  1  x 2  4 x  1  3 x (Trích đề tuyển sinh đại học khối B năm 2012) Do cần tạo ra liên hợp  x  4  .  x  41  nên: Giả sử liên hợp với    f ( x )  g( x )  x 2  4 x  1  ax  b Khi đó   f ( x )  g( x )  x 2  4 x  1 là Do đó liên hợp của  4a  b  1 a    1   1  4 a  b  4 b   x4 x f ( x)  x 2  4 x  1 là g( x)  ax  b 1 4 1 5 1 5 1  x  1 5 Giả sử liên hợp với h( x)  x là l( x)  ax  b h( x)  l( x)  x  ax  b Khi đó  h( x)  l( x)  x là Do đó liên hợp của x4 x 1 4  4a  b  2 a    1 1  4 a  b  2 b   2 5 2 5 2  x  1 5  2 1  x  4 x  1  5  x  1 Vậy là chúng ta có 2 liên hợp thích hợp trong bài toán đó là:   2  x  1  x  5  x  2  3 x  2  3  x 2  4 x  1  0   Điều kiện xác định:    x  2  3     0  x  2  3  x  0   x  0   2  1 Ta có bất phương trình x  1  x 2  4 x  1  3 x   x 2  4 x  1   x  1   3   x  1  x   0 5   5    25 x 2  4 x  1   x  1   5 x  4 x  1   x  1   3  2  x  1  5 x   0      5 x 2  4 x  1   x  1 2  24 x 2  102 x  24 5 x 2  4 x  1   x  1  12 x 2  51x  12 2  x  1  5 x 0  24 x 2  102 x  24 5 x 2  4 x  1   x  1  2  4 x  1 2  25x    0  3  2  x  1  5 x    24 x 2  102 x  24 4  x  1  10 x 0   1 1   0 (*)  24 x 2  102 x  24    5 x 2  4 x  1   x  1 4  x  1  10 x     Do x  0 nên  1 5 x 2  4 x  1   x  1  x  4  0 do đó (*)  24 x 2  102 x  24  0   x  1 4  x  1  10 x  4 1   x  4 Kết hợp điều kiện   0  x  1  4  1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S   0;    4;    4 Bài 5: Giải bất phương trình: 2 x 2  5x  5  3 x  3   x  2  3 3x  5 Dễ dàng sử dụng máy tính để tìm được bài toán có 2 nghiệm đơn là: x  1; x  2 do đó rất dễ dàng tìm được liên hợp của bài toán( làm tương tự bài 4 tìm liên hợp 2 nghiệm) Điều kiện xác định: x  3      2 x 2  5x  5  3 x  3   x  2  3 3x  5  0  x 2  x  2  x  5  3 x  3   x  2  x  1  3 3x  5  0   x  1 x  2     x  1 x  2    x  2   x  3x  4   x  3  x  1   x  1 3 x  5   3 x  5  3 x2  x  2 x53 2 3  x  1 x  2  x53 2 3  x  2   x  1  x  3  x  1   x  1 3 x  5   3 x  5  2 0 3 2 3 3 2 0 2  x  2  1    x  1 x  2  1   2 2 x  5  3 x  3  x  1   x  1 3 3 x  5  3  3 x  5   Do: 1  1 x53  x  2  x  3  x  1   x  1  3 x  5   3 x  5     0 (*)   2 2 3 3 2  0x  3 x  1 nên BPT (*)   x  1 x  2   0    x  2 Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1;     3; 2  Bài 6: Giải bất phương trình:  4x  2  3x2  4 x  2 9  3 x  3 x  x  Điều kiện xác định: x  3; x  0  1 2 3x2  5x  2  x  2     x  3   3x  5x  2   x  2  x  3   0 x x  x  Với x ở dưới mẫu coi như cuối cùng xét. Đến đây ta bấm phương trình 3x 2  5x  2   x  2  x  3 và nhận thấy phương trình có 2 nghiệm x  1; x  2 do đó việc xử lý không có gì khó khăn Nhưng việc biểu thức  x  2  x  3 đã có sẵn nghiệm x  2 nên chúng ta sẽ xử lý 2 cách như sau: Cách 1 không quan tâm đến dấu trừ đằng trước biểu thức  x  2  x  3 ( chỉ cần liên hợp nghiệm đơn)   Do 1 2 3x  3x  6   x  2  x   x  1 x  2   3    x 3 x3 5 x3 2   1 x 1  x  3  2   0   3  x  1 x  2    x  2  0  x x  3  2  x  1 x  2   3 x  3  5   0    0  x x  3  2  x  3  2  1  0x  3 nên   x  1 x  2   0   x  1   2  x  0 x Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1;     2; 0  Cách 2: xử lý truy ngược dấu: ( làm tương tự bài 4 tìm liên hợp 2 nghiệm)    1  x2  x  2  1  2   8 x  1 x  2  x  2 8 x  8 x  16  x  2 x  5  3 x  3  0         0  3x  3x  x5 x3 2  x  1 x  2   x  1 x  2     x  2    0 (*) 1  0    8  x  1 x  2   8   3x  3x x5 x3  x  5  x  3     Do 8   x  2 x5 x3  0x  3 nên(*)   x  1 x  2   0   x  1   2  x  0 3x Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1;     2; 0  Bài 7: Giải bất phương trình: 3 7 x  8  5 x  1  x 2 x  1  2 Dễ dàng sử dụng máy tính để tìm được bài toán có 2 nghiệm đơn là: x  1; x  5 do đó rất dễ dàng tìm được liên hợp của bài toán( làm tương tự bài 4 tìm liên hợp 2 nghiệm) Điều kiện xác định: x  1  2 x 2 x  1  4  2 3 7 x  8  10 x  1  0          2 x  2  3 7 x  8  x x  1  2 2x  1  5 x  1  2 x  1  x2  6x  5  0  2  x  1 x  5   x  2   x  2 2 3 7x  8  3 7 x  8  2  x  x  1 x  5  x  1  2 2x  1  5 x  1  x  5 x 1  2   x  1 x  5   0   5 2 x 1 x x 1   x  1  0  x  1  x  5    2 2 3 x 1  2 x  1  2 2x  1    x  2    x  2  7 x  8  3  7 x  8    x 2 x 1 5  x  11   x  1  x  5    2 2 3 x 1 2 x 1  2    x  2    x  2  7 x  8  3  7 x  8   x  1 1  2 2x  1 2 x 1 5   x  1  x  5    2 2 3 x  1  2 2x  1 x 1  2   x  2    x  2  7 x  8  3  7 x  8      0 2x  1     0 (*)   Do 2 x 1  x  2   x  2 2 7 x  8  3 7 x  8  3 2 5  x 1  2   x  1 1  2 2x  1 x  1  2 2x  1   0x  1 Nên(*):  x  1  x  5   0  1  x  5 Vậy tập nghiệm của BPT là: S   1; 5  x  2  x  1  x 2  3x  2  1 Bài 8: Giải bất phương trình: 2x  x  1  6 x3  x  2 1  x  2  Điều kiện xác định:  13  x  3; x  4     x 1 1 x  2  x  2 1   2  x  1  x  1  3 1  x  2     2 x  1  3 x2 1 6   x  3   x  1  11  x  2    x  3  x  2  1 6  x  3 6  x  2  1 x  2  1  2 x  1  3 x  1  1 1 2 x 1  3  x2 1   3 9 13 85 1 9  2 x 1 x   0   x 1   6 2 2 4 4 2 x 1  3  13 85  Vậy tập nghiệm của BPT là: S   ;   4 4  Bài 9: Giải bất phương trình:    x  3  x  1 1  x2  2x  3  4 Điều kiện xác định: x  1  x  3  x  1  x3  1  x 1  x3   x  3  x  1   1  x2  2x  3  x  3  x  1  1    x  3 1   x  2  x 1 1  0  x 3 1 1  x 1 4 x2  2x  3  4  .  x  2 x 1 1  x2  2x  3  4 x 3  x1  0  0(*) Do   x  2 x 3 1  x 1 1 Nên (*)  x  2  0  x  2 Vậy tập nghiệm của BPT là: S  1; 2  Bài 10: Giải bất phương trình:  x 6  x  2x 2    26 x  8  4  x 2 x  3 x  33  Điều kiện xác định: x  0  x 2 x 2  26 x  8  6 x 2 x 2  26 x  8  4  2 x 2  3 x x  33 x  0     2 x 2  26 x  8  6 x 2 x 2  26 x  8  9 x  x   2 x 2  26 x  8  3 x   x 2  2 x 2  26 x  8  3 x  4  2 x  0  2 x 2  26 x  8  3 x  4  2 x  0   0x  1 Đặt: a  2 x 2  26 x  8  3 x  2 x 2  17 x  8 2 x 2  26 x  8  3 x  0x  0 a 2  xa  4  2 x  0   a  2  a  2   x  a  2   0   a  2  a  x  2   0  a  x  2  0  2 x 2  26 x  8  3 x  x  2  0  3 x  x  2  2 x 2  26 x  8  0 Đến đây bấm máy tính phát hiện phương trình có 2 nghiệm x  1; x  4 do đó cần tìm liên hợp( giống bài 4) 2 x 2  26 x  8  mx  n x 1; x  4 m  n  6 m  2   4 m  n  12 n  4     Do đó bpt trở thành:  2 x  4  2 x 2  26 x  8  3 x   x  2   0   2 x2  5x  4 2 x 2  26 x  8  2 x  4   2 1  x2  5x  4   0 2  2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x       x  5x  4     2   0 2 2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x   6 x  2 x 2  26 x  8      2 x 2  10 x  8    x  5x  4  0 2 2 2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x   6 x  2 x  26 x  8    2  2  2  x  5x  4    0 (*) 2 2 6 x  2 x  26 x  8 2 x  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x     2  Do     6 x  2 x 2  26 x  8  do đó(*)  x 2  5x  4  2  2      2 x 2  26 x  8  2 x  4 x  2  3 x x  1  0  x2  5x  4  0   x  4 Vậy tập nghiệm của BPT là: S  1; 4    0x  0    x2  5x  4 x23 x 0