Tài liệu Bài giảng điều khiển tự động - chương 4 khảo sát tính ổn định của hệ thống

Chương 4 Khảo sát tính ổn định của hệ thống 4.1_ Khái niệm tính ổn định 4.2_ Tiêu chuẩn ổn định đại số (Routh, Hurwitz) 4.3_ Tiêu chuẩn ổn định tần số (Nyquist, Bode) 4.4_ Phương pháp quỹ đạo nghiệm 10/31/2014 1 4.1 Khái niệm tính ổn định   Ổn định là yêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ. Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào chặn ra chặn) Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn thì tín hiệu ra cũng hữu hạn. Tức là nếu |r(t)|< thì |y(t)|< . Ví dụ: hệ ổn định BIBO  với r(t) = 1(t) thì y() = const. r(t) Hệ ổn định 10/31/2014 Hệ thống không ổn định y(t) giới hạn ổn định 2 4.1 Khái niệm tính ổn định  Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệ ổn định tiệm cận nếu như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạng thái cân bằng ban đầu. Hệ ổn định  không ổn định giới hạn ổn định Với hệ tuyến tính thì hai khái niệm ổn định nêu trên là tương đương. Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thì cũng sẽ ổn định tiệm cận và ngược lại. 10/31/2014 3 4.1 Khái niệm tính ổn định  Xét hệ thống tuyến tính có PTVP: dn y dn1y dmr dm1r an n  an1 n1  ...  a0 y(t)  bm m  bm1 m1  ...  b0r(t) dt dt dt dt Đáp ứng của hệ cũng là nghiệm PTVP: y(t) = y0(t) + yqđ (t) y0(t)_ là nghiệm riêng của PTVP. yqđ(t)_ Là nghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0. VD1, xét hệ có ptvp: 5y(t)  y(t)  2r (t) Với r=1(t) thì y(t)= 2-2e-t/5 trong đó y0(t)=2 ; yqđ(t)=-2e-t/5 VD2, xét hệ có ptvp: y(t )  2y(t)  5y(t)  5r (t)  5r (t) y(t)= 1-e-tcos2t+2e-tsin2t = 1-(1/2+j)e(-1+2j)t - (1/2-j)e(-1-2j)t Ta thấy nếu r(t) hữu hạn thì y0(t) cũng hữu hạn, nên: Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t). 10/31/2014 4 4.1 Khái niệm tính ổn định n Tổng quát: y qñ (t )   Ciesit i1 Ci _là hằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu. si _là nghiệm của phương trình đặc tính: ansn  an1sn1  ...  a0  0 si cũng gọi là cực của hệ thống. si có thể là số thực (=i) hay số phức (=i ji) Từ nhận xét nêu trên ta có thể định nghĩa cách khác về ổn định: Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao động với biên độ không đổi . Hệ ổn định  lim y qñ (t)  lim t  10/31/2014 t  n sit C e  i 0 i1 5 4.1 Khái niệm tính ổn định Xét các trường hợp cụ thể, ta có: Hệ ổn định Không ổn định Giới hạn ổn định Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm si của PTĐT. - Hệ ổn định  Mọi si có phần thực<0  Mọi si là nghiệm trái. - Hệ không ổn định   si có ph.thực>0   si là nghiệm phải. - Hệ ở giới hạn ổn định   si có i = 0, các si còn lại có i <0.   si nằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại là nghiệm trái. 10/31/2014 6 4.1 Khái niệm tính ổn định Ví dụ, xét hệ có hàm truyền: 2s  5 G(s)  (s  8)(s 2  6s  13) Phương trình đặc tính: (s  8)(s 2  6s  13)  0 PTĐT có 3 nghiệm: s1= -8 và s2,3= -3 2j Cả 3 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định. Để tránh phải giải PTĐT, ta có các phương pháp xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn. Đó là: - Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz. - Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode. - Phương pháp quỹ đạo nghiệm. -… 10/31/2014 7 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số - Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định. - Áp dụng được cho cả hệ hở và hệ kín. 4.2.1 Điều kiện cần ĐK cần để hệ ổn định là Tất cả các hệ số của PTĐT đều >0. PTĐT: ansn + an-1sn-1 +…+a0=0  ĐK cần: a0,a1,…,an >0 Ví dụ, xét hệ có PTĐT: s3  4s 2  5s  7  0  Không ổn định vì hệ số a2<0 s 4  5s 2  6s  2  0  Không ổn định vì hệ số a3=0 s 4  4s3  5s 2  6s  2  0  Chưa kết luận được, mới thoả ĐK cần 10/31/2014 8 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4.2.2 Tiêu chuẩn Routh n n 1 a s  a s  ...  a0  0 Xét hệ có phương trình đặc tính: n n 1 Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng: 10/31/2014 9 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số Phát biểu tiêu chuẩn Routh: - Cần và đủ để hệ thống ổn định là các hệ số ở cột một bảng Routh đều dương. - Số lần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương (=số nghiệm phải). Ví dụ 1. Xét ổn định hệ thống có PTĐT: s 4  2s3  7s 2  4s  3  0 s5  4s 4  5s3  4s 2  7s  8  0 Ví dụ 2. Xét ổn định hệ có PTĐT: Ví dụ 3. Xét hệ thống có sơ đồ khối: r y K G(s) G(s)  1 s(3s  2)(s 2  4s  1) Hãy tìm khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định. 10/31/2014 10 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số Giải. Phương trình đặc tính của hệ: 1  K.G(s)  0  1  K 0 2 s(3s  2)(s  4s  1)  s(3s3  14s 2  11s  2)  K  0  3s 4  14s3  11s 2  2s  K  0 Bảng Routh: 3 14 74 / 7 11 2 K 74  49K 37 0 K 0 0 Điều kiện để hệ ổn định: 74  49K  0  K  0 74  0K 49 K 10/31/2014 11 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số Ví dụ 4. Xét hệ thống có sơ đồ khối: r KI K P + +K Ds s 16 s 2  12s  20 y a) Cho KD=2; KP= 38. Tìm khoảng giá trị của KI để hệ thống luôn ổn định. b) Cho KD=2. Tìm biểu thức quan hệ giữa KP và KI để hệ thống luôn ổn định. Đáp số: (44)(628)  16K  0 I  0  K I  1727  a) b) 10/31/2014 K I  0 44(20  16K P )  16K I  0  K I  0  0  K I  44K P  55 12 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.3.1 Nguyên lý góc quay Xét PTĐT bậc n có các nghiệm si ( i=1,2,…,n) : A(s)  a n s n  a n 1s n 1  ...  a 0  0 Đa thức đặc tính: A(s)  a n (s  s1 )(s  s 2 )...(s  s n ) Thay s=j ta được đa thức đặc tính tần số: A( j)  a n ( j  s1 )( j  s 2 )...( j  s n ) Biểu diễn trên mặt phẳng phức: 10/31/2014 13 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.3.1 Nguyên lý góc quay (tt) Dùng ký hiệu arg để chỉ góc quay, ta có:  Nếu si là nghiệm trái   arg ( j-si )=   Nếu si là nghiệm phải -  0 Nếu s ở trên trục ảo i  Góc quay của A(j) = tổng góc quay của các véctơ (j-si). Nếu PTĐT có m nghiệm phải và (n-m) nghiệm trái thì: m  n m  arg ( j-si )  -m i 1    arg ( j-si )  (n-m)  i 1  n  arg A( j)    arg ( j -si )  (n-2m)   10/31/2014 i 1  14 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số Trong thực tế ta chỉ cần xét  thay đổi từ 0 đến +. Khi đó: m  i 1 n m  i 1   arg ( j-si )  -m 2 0   arg ( j-si )  (n-m) 2 0 Suy ra:  arg A( j)  (n-2m) 0 10/31/2014  2 15 4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114) 4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist    Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín hồi tiếp âm (hình a) dựa vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b). Tiện dụng vì đáp ứng tần số có thể thu được từ thực nghiệm. Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ e-s . R G(s) Y H(s) a) Hệ kín G G Gk   1  GH 1  G h 10/31/2014 R Yht G(s) Y H(s) b) Hệ hở (vòng hở) G h  GH 16 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Phát biểu tiêu chuẩn:  Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn định hay ở giới hạn ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0).  Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1,j0) một góc bằng m theo chiều ngược kim đồng hồ khi  thay đổi từ 0 đến ; trong đó m là số nghiệm của PTĐT có phần thực dương (nghiệm phải).  Hệ kín ở giới hạn ổn định nếu đường Nyquist hệ hở đi qua điểm (-1,j0) . Chứng minh: Ứng dụng nguyên lý góc quay. (xem GT. ĐKTĐ trang 116-117) 10/31/2014 17 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Chú ý: 1) Góc bao điểm (-1,j0) của đường Nyquist cũng chính là tổng góc quay của vectơ 1+G(j). 2) Đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)  Tổng góc quay của véctơ 1+G(j) bằng 0. - A->B : 1+G(j) quay -1 - B->C: quay +1 - C->D: quay +2 - D->O: quay -2  Tổng góc quay bằng 0  Không bao (-1,j0) 10/31/2014 18 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Ví dụ: Góc bao = ? 10/31/2014 19 4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Ví dụ 4.9. (trang 118) Cho hệ hở có hàm truyền: 10 G(s)  (s  3)(s  1, 24)5 và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên cạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín tương ứng. Giải. PTĐT của hệ hở: (s  3)(s  1, 24)5  0 - PTĐT có một nghiệm s=-3 và năm nghiệm s= -1,24 - Các nghiệm này đều là nghiệm thực, âm nên hệ hở ổn định. - Hệ hở ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0) nên hệ kín tương ứng cũng ổn định. 10/31/2014 20