Tài liệu Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ……………………………………… NGUYỄN HUY NGHĨA ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG SINH HỌC Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI 2009 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, thầy đã truyền thụ cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn chân thành tới thầy. Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Giang, Trường THPT Lạng Giang số 1 đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Tác giả xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ trong suốt quá trình viết luận văn. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả 4 MỤC LỤC Trang phụ bìa………………………………………………………………..……….. Lời cảm ơn….…………………………………………………………………..……. Lời cam đoan………………………………………………………………………… Mục lục……………………………………………………………………………..... MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………….. NỘI DUNG………………………………………………………………………..…. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị…………………………………………………….…. 1.1. Dãy số…………………………………………………………………….…. 1.2. Sai phân……………………………………………………………………... 1.2.1. Định nghĩa…………………………………………………………….... 1.2.2. Tính chất……………………………………………………………….. 1.2.3. Một số ứng dụng trong toán phổ thông…………….………………….. Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính…………………………………..…….. 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính…………………………………….……... 2.1.1. Định nghĩa…………………………………………………………….. 2.1.2. Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính….…………………….. 2.2. Dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính ……………………... 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số ……………………….. 2.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số …………… 2.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số……………. 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên……………………... 2.4.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến ……………….. 2.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số biến thiên………….. 2.5. Hệ phương trình sai phân- phương trình phân thức…………………….…... 2.5.1. Hệ phương trình sai phân……………………………………………... 2.5.2. Phương trình phân thức……………………………………………….. 2.6. Tuyến tính hoá…………………………………………………………….... 2.6.1. Tuyến tính hoá phương trình sai phân………………………………… 2.6.2. Một số phương trình sai phân tự tuyến tính hoá………………………. 2.6.3. Tuyến tính hoá phương trình sai phân bằng cách đặt ẩn phụ…………. Chương 3. Một số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học…….... 3.1. Sự phân chia tế bào……………………………………………………….… 3.2. Sự sinh trưởng của một quần thể côn trùng……………………………….... 3.3. Sự sinh trưởng của các sinh vật phân đốt……………………………….…... 3.4. Mô hình về sự sinh sản các tế bào hồng cầu……………………….……….. 3.5. Dung tích khí lưu thông và mức độ CO 2 trong máu……………………….. 3.6. Sự phát triển của thực vật một năm…………………………….…………... 3.7. Sự hoạt động của mạng thần kinh……………………………….………….. 3.8. Sự hoạt động của các cơ quan cảm giác……………………………………. KẾT LUẬN……………………….…………………………………………..……... TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………..……….. Trang 1 2 3 4 5 7 7 7 7 7 8 11 15 15 15 16 24 25 25 30 42 42 43 45 45 47 48 48 52 53 56 56 57 59 63 65 67 71 75 76 80 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp sai phân là một phương pháp quan trọng trong việc giải các bài toán thực tiễn. Phương pháp sai phân được sử dụng để giải phương trình các toán tử nói chung, đặc biệt là giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp sai phân được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như: Vật lí, điều khiển học, y học…Nhờ vào việc giải phương trình và hệ phương trình sai phân mà có thể dự báo được sự phát triển dân số, dự báo về việc điều chỉnh trong nền kinh tế quốc dân qua nghiên cứu mô hình ngoại thương giữa các nước, định hướng việc phát triển diện tích gieo trồng loại cây nông sản nào đó…Kiến thức về sai phân còn được áp dụng vào các quá trình sinh học. Kiến thức này giúp ta thiết lập mô hình sinh học, phân tích đặc tính mô hình này và đặc tính nghiệm của chúng để từ đó điều chỉnh mô hình sao cho phù hợp với thực tế. Với lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài: “ Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong Sinh học” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 và bài toán tuyến tính hoá phương trình sai phân. Luận văn nghiên cứu các ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính vào các quá trình sinh học . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Chương 1: Trình bày định nghĩa sai phân, tóm tắt các tính chất cơ bản, một vài ứng dụng trong giải toán phổ thông. Chương 2: Trình bày về phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2, phương trình sai phân với hệ số biến thiên, hệ phương trình sai phân, tuyến tính hoá phương trình sai phân một cách có hệ thống. 6 Chương 3: Nêu các bài toán ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học, trong đó có nêu ra cách thiết lập các phương trình sai phân đã biết cách giải. Từ việc phân tích phương trình và đặc tính nghiệm của phương trình từ đó nêu ra các nhận xét mang tính dự báo hoặc kiến nghị về việc điều chỉnh trong các quá trình sinh học. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Sai phân, phương trình và hệ phương trình sai phân tuyến tính, tuyến tính hoá phương trình sai phân. Một số áp dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học như: sự phân chia tế bào, sự sinh trưởng của một quần thể côn trùng, sự sinh trưởng của các sinh vật phân đốt, sự sinh sản của tế bào hồng cầu, sự sinh trưởng của thực vật một năm, mức độ CO2 và dung tích khí lưu thông trong máu, sự hoạt động của mạng thần kinh, sự hoạt động của các cơ quan cảm giác. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu chuyên khảo. Tổng hợp kiến thức thu nhận được để vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn đã trình bày được một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong sinh học. Hy vọng luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên quan tâm nghiên cứu về toán ứng dụng. 7 NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Dãy số Gọi M là tập hợp n+1 số tự nhiên đầu tiên: M= {0, 1, 2,…, n}. Một hàm số x xác định trên tập M được gọi là một dãy số hữu hạn và tập giá trị của dãy số { hữu hạn này là: x(0) = x , x(1) = x ,...., x(n) = xn 0 1 } Một hàm số x xác định trên tập N được gọi là một dãy số vô hạn ( gọi tắt là dãy số) và tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử là: {x(0) = x0 , x(1) = x1,...., x(n) = xn ,...} Vậy: Ta có thể xem dãy số là một hàm của đối số tự nhiên n, với kí hiệu: x(n) = xn , n ∈
1.2. Sai phân 1.2.1. Định nghĩa Hàm số x :  →  cho trước. Ta gọi hiệu: ∆xn = x − x là sai phân n+1 n cấp 1 của hàm số x(n) = xn , n ∈
Ta gọi sai phân của sai phân cấp 1 của hàm số xn là sai phân cấp 2 của hàm xn , kí hiệu: ∆ 2 xn = ∆(∆xn ) = ∆( x − x ) = ∆x − ∆xn = ( x − x ) − (x −x ) n+1 n n+1 n+2 n+1 n+1 n =x − 2x +x n+ 2 n+1 n Định nghĩa theo quy nạp: Sai phân của sai phân cấp k-1 của hàm số xn là sai phân cấp k của hàm xn : 8 i k k k k − 1 ∆ xn = ∆ x − ∆ xn = ∑ (−1) .C i .x n+1 k n+k −i i=0 ( 1.1) k! trong đó C i = k i !( k − i )! Từ nay về sau, ta gọi tắt sai phân cấp 1 là sai phân. 1.2.2. Tính chất Tính chất 1: Sai phân các cấp đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số theo công thức ( 1.1) . Chứng minh: Ta chứng minh công thức ( 1.1) bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy: Với n= 1 ta có ∆xn = x − x = C0x − C1x n+1 n 1 n+1 1 n Giả sử ( 1.1) đúng với n= k, có nghĩa là: i k k ∆ xn = ∑ ( − 1) .C i . x k n+ k −i i=0 Ta chứng minh ( 1.1) đúng với n= k+1, tức là chứng minh: i k +1 k + 1 ∆ x n = ∑ ( − 1) .C i . x k +1 n + k +1− i i=0 ( 1.2) Vế trái của ( 1.2) là: ∆ k +1xn = ∆k x − ∆ k xn n+1 i i k k i = ∑ (−1) .C .x − ∑ (−1) .C i .x k n + 1 + k − i k n+k −i i=0 i=0 i i−1 k k +1 i = ∑ (−1) .C .x − ∑ (−1) .C i−1.x k n+1+k −i i =1 k n+k −i+1 i=0 i i−1 k k +1 i = ∑ (−1) .C .x − ∑ (−1) .C i−1.x k n + k + 1 − i k n+k +1−i i=0 i =1 i i−1 k k i =x + (−1) .C .x − ∑ (−1) .C i−1.x + (−1)k +1 xn n+k +1 i∑ k n k + + 1 − i k n + k + 1 − i =1 i =1 9 i k =x + (−1) .(C i + C i −1).x + (−1)k +1 xn n+k +1 i∑ k k n + k + 1 − i =1 i k 0 0 = (−1) .C .x + (−1) .C i .x + (−1)k +1.C k +1.x k +1 n+k +1−0 i∑ k + 1 n + k + 1 − i k +1 n+k +1−i+1 =1 i k +1 = ∑ (−1) .C i .x k +1 n+k +1−i i =0 Đây là vế phải của ( 1.2). Suy ra ( 1.2) đúng ∀k ∈
* . Vậy công thức ( 1.1) đúng với ∀k ∈
* (Điều phải chứng minh). Hệ quả: Nếu xn = c thì ∆xn = ∆c = c − c = 0, ∀n ∈
Tính chất 2: Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính, nghĩa là: ∆ k (axn + byn ) = a∆ k xn + b∆ k yn ; a, b ∈ , k = 1, 2,... Chứng minh: Với ∀a, b ∈ , k = 1, 2,... ta có: i k k ∆ (axn + byn ) = ∑ (−1) .C i .(a.x + b. y ) k n+k −i n+k −i i=0 i i k k i = ∑ (−1) .C .a.x − ∑ (−1) .C i .b. y k n + k − i k n+k −i i=0 i=0 i i k k i = a. ∑ (−1) .C .x − b. ∑ (−1) .C i . y = a∆k xn + b∆ k yn k n + k − i k n + k − i i=0 i=0 Đây là điều phải chứng minh. Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: i) Đa thức bậc m- k khi k< m ii) Hằng số khi k= m iii) Bằng 0 khi k> m Chứng minh: Theo tính chất 2 thì sai phân cấp k cũng là toán tử tuyến tính, nên ta chỉ cần chứng minh cho đơn thức Pm (n) = nm là đủ. 10 i) Ta có: 0 + C1 .n + C 2 .n2 + ... + C m.nm − nm ∆nm = (n +1)m − nm = Cm m m m 0 + C1 .n + C 2 .n2 + ... + C m−1.nm−1 = P (n) = Cm m m m m−1 Giả sử k= s< m thì ∆ s nm = Pm−s (n) ( 1.3) Ta chứng minh k= s+1< m thì ∆ s+1nm = P ( n) m−s−1 Thật vậy: ∆ s+1nm = ∆ s (n + 1)m − ∆ s nm = Pm−s (n + 1) − Pm−s (n), (theo(1.3)) ( n) =P m−s−1 Suy ra ∆ k nm = P (n) , k< m. m −k ii) Theo chứng minh trên khi k= m ta có: ∆ m nm = Pm−m (n) = P (n) = c ( hằng số). 0 iii) Khi k> m ta có: ∆ k nm = ∆ k −m (∆m nm ) = ∆ k −m .c = ∆ k −m−1(∆c) = 0 ( Theo hệ quả tính chất 1) Kết thúc chứng minh. N Tính chất 4: Ta có: ∑ ∆ k xn = ∆ k −1x − ∆ k −1xa , k ∈
* 1 N + n =a Chứng minh: Ta có N N ∑ ∆ k xn = ∑ ∆(∆ k −1xn ) = ∆(∆ k −1xa ) + ∆(∆ k −1xa+1) + ... + ∆(∆k −1xN ) n =a n =a k − 1 =∆ x − ∆ k −1xa + ∆ k −1x − ∆ k −1x + ... + ∆ k −1x − ∆k −1x N a+1 a +2 a+1 N +1 = ∆ k −1x − ∆ k −1xa , k ∈
* N +1 Suy ra điều phải chứng minh. 11 1.2.3. Một số ứng dụng trong toán phổ thông 1.2.3.1. Tính tổng n k −1 , n ∈
* Ví dụ 1: Tính tổng sau: S = ∑ k ! k =1 Giải: Ta có: 1  k −1 1 1 1  1  = − = −  −  = ∆  −  k ! ( k − 1)! k !  k ! ( k −1)!   ( k − 1)!  n k −1 n  1  1 1 Vậy: S = ∑ = ∑ ∆  −  = − + 0 = − n! n! k =1 k ! k =1  ( k − 1)!  Ví dụ 2: Tính các tổng sau: n n 1. A = ∑ sin kx ; 2. B = ∑ cos kx k =1 k =1 Giải: 1 1 1 x    1. Ta có: ∆cos  k −  x = cos  k +  x − cos  k −  x = −2sin kx.sin 2 2 2 2    Suy ra: 1  ∆cos  k −  x 2  sin kx = − x 2sin 2 n 1 1 x  ∆cos  k −  x ∑ cos  n +  x − cos n 2 2 2     Vậy: ∑ sin kx = − k =1 =− x x k =1 2sin 2sin 2 2 -2sin =− n +1 nx n +1 nx x.sin sin x.sin 2 2 = 2 2 x x 2sin sin 2 2 n +1 nx sin x.sin n 2 2 Kết quả: A = ∑ sin kx = x k =1 sin 2 12 1 1 1 x    ∆sin  k −  x = sin  k +  x − sin  k −  x = −2co s kx.sin 2 2 2 2    2. Ta có: Suy ra: n 1 1 x ∆sin  k −  x ∑ sin  n +  x − sin n 2 2 2  =−  ∑ co s kx = − k =1 x x k =1 2sin 2sin 2 2 n +1 nx n +1 nx x.sin x.sin 2cos sin 2 2 = 2 2 = x x 2sin sin 2 2 n +1 nx cos x.sin n 2 2 Kết quả: B = ∑ co s kx = x k =1 sin 2 Ví dụ 3: Tính tổng: S = 1 + A2 2 1 + ... + A2 3 1 ,( n ≥ 2, n ∈
) An2 n! Giải: Ta có: An2 = = n ( n −1) ( n − 2 )! 1 1 1 1 1 = = − = −∆ n −1 An2 n ( n − 1) n − 1 n n 1 n 1 1 n −1 ⇒ ∑ =− ∑ ∆ = 1− = n n k =2 A2 k =2 n −1 k ⇒ Vậy: S = 1 1 1 n −1 + + ... + = ,( n ≥ 2, n ∈
) 2 2 2 n A A An 2 3 1.2.3.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, -2, -2, 1, 7, 16, 28,…. Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó. 13 Giải: Để tìm số hạng tổng quát ( hay qui luật) của dãy số ta lập bảng sai phân sau: un = f ( n ) 1 ∆u n -2 -3 ∆ 2u n -2 0 3 1 3 3 7 6 16 9 3 3 28 12 3 Do ∆ 2un =3 là hằng số nên un = f ( n ) là đa thức bậc 2. Giả sử: f ( n ) = an2 + bn + c ( a ≠ 0 ) , n là số thứ tự của các phần tử trong dãy. Cho n= 0, 1, 2 ta được hệ phương trình sau: 3  a = 2 c = 1  9   a b c + + = − 2 ⇔  b = 2 4a + 2b + c = −2   c = 1   3 9 Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: un = n2 − n + 1; n = 0, 1, 2,... 2 2 2 9 3 hay un = ( n − 1) − ( n −1) + 1; n = 1, 2, 3,... 2 2 Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1, 3, 11, 31, 69, 131, … Giải: Để tìm số hạng tổng quát ( hay qui luật) của dãy số ta lập bảng sai phân sau: un = f ( n ) 1 ∆u n ∆ 2u n ∆3u n 3 2 11 8 6 31 20 12 6 69 38 18 6 131 62 24 6 Do ∆3un =6 là hằng số nên un = f ( n ) là đa thức bậc 3. 14 Giả sử: f ( n ) = an3 + bn2 + cn + d ( a ≠ 0 ) , n là số thứ tự của các phần tử trong dãy. Cho n= 0, 1, 2, 3 ta được hệ phương trình sau: c = 1 a = 1   a + b + c + d = 3 b = 0 ⇔  8a + 4b + 2c + d = 11 c = 1 27a + 9b + 3c + d = 31 d = 1   Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: un = n3 + n + 1; n = 0, 1, 2,... hay un = n3 − 3n2 + 4n −1; n = 1, 2, 3,... 15 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính 2.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp: F ( xn , ∆xn , ∆ 2 xn ,..., ∆k xn ) = 0 Hiểu: xn là sai phân cấp 0 của hàm xn , cấp lớn nhất của sai phân là cấp của phương trình sai phân tuyến tính ( cấp k). Định nghĩa 2: Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau: L xn = a x +a x + ... + a xn = f n 0 n+k 1 n+k −1 h k ( 2.1) Trong đó: L là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn , xác định trên h lưới có bước h; ai ( i = 0, 1, 2..., k ) là các hằng số hoặc các hàm số của n gọi là các hệ số của phương trình sai phân ( với a ≠ 0, a ≠ 0 ); f n là hàm số của n 0 k được gọi là vế phải; xn là các giá trị cần tìm được gọi là ẩn. Phương trình ( 2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k vì tính các giá trị xn ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn và tính theo công thức truy hồi ( 2.1). Định nghĩa 3: Nếu f n ≡ 0 thì ( 2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất. 16 Nếu f n ≠ 0 thì ( 2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Nếu f n ≡ 0 và a , a ,..., a là các hằng số với a , a ≠ 0 thì ( 2.1) gọi là 0 1 0 k k phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số: L xn = a x +a x + ... + a xn = 0 0 n+k 1 n+k −1 h k 2.1.2. ( 2.2) Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính. Hàm số xn biến n thoả mãn ( 2.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính ( 2.1). Hàm số xn thoả mãn ( 2.2) gọi là nghiệm tổng quát của ( 2.2), nếu với mọi tập giá trị ban đầu x , x ,..., x ta đều xác định được duy nhất các tham 0 1 k−1 số C , C ,..., C để nghiệm xn trở thành nghiệm riêng của ( 2.2), tức là vừa 1 2 k thoả mãn (2.2) vừa thoả mãn: x = x , x = x ,..., x =x . 0 0 1 1 k −1 k −1 Định lí 1: Nghiệm xn của ( 2.1) bằng tổng xn và x*n , với x*n là nghiệm riêng bất kì của ( 2.1). Chứng minh: Giả sử xn và x*n là 2 nghiệm của ( 2.1), ta có: L xn = f n ; L x*n = f n . h h Do L tuyến tính nên: L xn − L x*n = L ( xn − x*n ) = 0 hay xn - x*n thoả mãn h h h h ( 2.2). Do đó: xn = xn − x*n ⇒ xn = xn + x*n ( điều phải chứng minh). 2.1.2.1. Nghiệm tổng quát xn . Định lí 2: Nếu x , x ,..., x là k nghiệm độc lập tuyến tính của n1 n2 nk ( 2.2) thì nghiệm tổng quát của ( 2.2) có dạng: xn = C x + C x + ... + C x 1 n1 2 n2 k nk với C , C ,..., C là các hằng số tuỳ ý. 1 2 k 17 k k Chứng minh: Do L tuyến tính nên: L xn = L ∑ Ci .xni = ∑ Ci L .xni = 0 , h h h i=1 i=1 h vì xni là nghiệm của ( 2.2) nên L xni = 0 , Suy ra xn là nghiệm của ( 2.2) . h Giả sử x , x ,..., x là k giá trị ban đầu tuỳ ý, ta chứng minh có thể xác 0 1 k−1 định duy nhất các tham số C , C ,..., C để x = x , x = x ,..., x , =x 1 2 0 0 1 1 k k −1 k −1 tức là hệ: C x + C x + ... + C x = x 2 02 0 k 0k  1 01 C x + C x + ... + C x = x 1 11 2 12 k 1k 1  ............................................. C x +C x + ... + C x =x 2 k -1,2  1 k -1,1 k k -1,k k có nghiệm duy nhất C , C ,..., C với mọi x , x ,..., x . 1 2 0 1 k k−1 Muốn vậy định thức: x x .............x 01 02 0k x x .............x 1k ∆ = 11 12 ≠ 0 , điều này luôn đúng do tính độc lập tuyến .......................... x x .....x k −1,1 k −1,2 k −1,k tính của các vectơ nghiệm x , x ,..., x đã cho ở giả thiết. n1 n2 nk Ta đi tìm nghiệm xn của ( 2.2) và x*n của ( 2.1), từ đó ta tìm nghiệm xn của ( 2.1). Do phương trình ( 2.2) luôn có nghiệm xn = 0 nên để tìm nghiệm tổng quát ta tìm nghiệm xn của ( 2.2) dưới dạng: xn = C λ n , C ≠ 0, λ ≠ 0 . Thay xn = C λ n , C ≠ 0, λ ≠ 0 vào ( 2.2) và giản ước cho Cλ n ≠ 0 ta thu được: L λ = a λ k + a λ k −1 + ... + a = 0 0 1 h k ( 2.3) Ta gọi ( 2.3) là phương trình đặc trưng của ( 2.2) ( cũng là phương trình đặc 18 trưng của ( 2.1)). Nghiệm xn của ( 2.2) và x*n của ( 2.1) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của ( 2.3). Định lí 3: ( Từ các trường hợp về cấu trúc nghiệm của ( 2.3) cho ta nghiệm xn của ( 2.2)). Trường hợp 1: Nếu ( 2.3) có k nghiệm thực phân biệt λ , λ ,..., λ thì nghiệm 1 1 k tổng quát xn của ( 2.2) có dạng: k x = C λ n + C λ n + ... + C λ n = ∑ Ci λin ,( i = 1, 2,..., k ) và với Ci là các 11 2 2 k k i=1 hằng số. Thật vậy: Ta có k L xn = ∑ Ci L λin = 0 h i=1 h ( vì L λin = λin (a λ k + a λ k −1 + ... + a ) = 0 ). 0 1 h k 1 1...............1 λ1 λ2.............λ k Ta lại có: ∆ = ....................... = ∏ (λi − λ j ) ≠ 0 ( λi , λ j ≠ 0, ∀i ≠ j ). 1≤ j≤i≤k k − 1 k − 1 k − 1 λ1 λ2 ....λ k k Theo định lí 2 ta có x = ∑ Ci λin ,(i = 1, 2,..., k ) là nghiệm tổng quát của ( 2.2). i =1 Điều phải chứng minh. Trường hợp 2: Nếu ( 2.3) có nghiệm thực λ j bội s thì ngoài nghiệm λ nj ta lấy thêm các vectơ bổ sung nλ nj , n2λ nj ,..., n s−1λ nj cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của ( 2.2) và do đó: s −1 k x = ∑ C ij ni λ j + ∑ Ci λin , với C ij , Ci là các hằng số tuỳ ý. i =0 i =1,i≠ j 19 Trường hợp 3: Nếu ( 2.3) có nghiệm phức λ j = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , trong a đó r = λ j = a 2 + b2 ; ϕ = acgument λ j ( tan ϕ = ) , thì ( 2.3) cũng có nghiệm b liên hợp phức λ j = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ ) . Khi đó: λ nj = r n (cos nϕ + i sin nϕ ); λ nj = r n (cos nϕ − i sin nϕ ) là các nghiệm của ( 2.2). 1 2 = 1 (λ n − λ n ) = r n sin nϕ làm các Ta lấy: x1nj = (λ nj + λ nj ) = r n cos nϕ ; xnj j 2 2 j nghiệm độc lập tuyến tính của ( 2.2). Khi đó: x = k ∑ Ci λin + r n ( C1j cos nϕ + C 2j sin nϕ ) , trong đó C j , C1j , C 2j là các hằng i =1,i≠ j số tuỳ ý. Trường hợp 4: Nếu ( 2.3) có nghiệm phức λ j bội s thì nó cũng có nghiệm liên hợp phức λ j bội s, ngoài nghiệm λ = r ncosnϕ ; λ = r n sin nϕ ta cần lấy j1 j2 thêm 2n- 2 vectơ nghiệm bổ sung: λ j 2 = r n n cos nϕ ; λ j3 = r n n2 cos nϕ ;...; λ js = r n ns−1 cos nϕ λ j 2 = r n n sin nϕ ; λ j3 = r n n2 sin nϕ ;...; λ js = r n n s−1 sin nϕ Khi đó ta có: k x = ∑ Ci λin + r n ( A + A n + ... + As n s−1)cos nϕ + ( B + B n + ... + Bs n s−1)sin nϕ  2 1 2  1  i =1 trong đó Ci , A , A ,... As , B , B ,...Bs là các hằng số tuỳ ý. 1 2 1 2 Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau: x −x − 3x + 5x − 2 xn = 0 n+4 n+3 n+ 2 n+1 Giải: Phương trình đặc trưng: λ 4 − λ 3 − 3λ 2 + 5λ − 2 = 0 ⇔ (λ −1)3 (λ + 2) = 0 có các nghiệm λ1 = 1 ( bội 3), 20 λ2 = −2 . Với nghiệm λ1 = 1 ( bội 3) ngoài nghiệm λ1n ta bổ sung thêm nghiệm nλ n = n, n2λ n = n2 . 1 1 Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: x = C + C n + C n2 + C (−2)n , với 1 2 3 4 C , C , C , C là các hằng số tuỳ ý. 1 2 3 4 Ví dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau: x − 5x + 8x − 6 xn = 0 n+3 n+ 2 n+1 Giải: Phương trình đặc trưng: π λ 3 − 5λ 2 + 8λ − 6 = 0 ⇔ λ = 3, λ = 1 + i, λ = 1 − i;(r = 2;ϕ = ) 1 2 2 4 Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: nπ nπ x = C .3n + ( 2)n ( C1cos + C 2 sin ) , với C , C1, C 2 là các hằng số tuỳ ý. 1 1 1 1 1 1 4 4 Ví dụ 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sau: x − 2x + 3x − 6x + 3x − 6x +x − 2 xn = 0 n +7 n+5 n+ 6 n+ 4 n+3 n+2 n+1 Giải: Phương trình đặc trưng: λ 7 − 2λ 6 + 3λ 5 − 6λ 4 + 3λ 3 − 6λ 2 + λ − 2 = 0 ⇔ (λ − 2)(λ 2 + 1)3 = 0 có nghiệm: π λ = 2 , λ = i ( bội 3), λ2 = −i ( bội 3), với ( i 2 = −1; ϕ = ; r = 1) . 1 2 2 Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là: nπ nπ x = C .2 n + ( A + A n + A n 2 ) c os + ( B + B n + B n 2 ) sin 1 1 2 3 1 2 3 2 4 với C , A , A , A , B , B , B là các hằng số tuỳ ý. 1 1 2 3 1 2 3 2.1.2.2. Nghiệm riêng x*n Để tìm nghiệm riêng x*n của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất: L λ = a λ k + a λ k −1 + ... + a = f n ta xét các trường hợp 0 1 h k