BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Viện Công nghệ Sinh học – Thực phẩm
Lớp
:
GVHD :
211301202
TS. Võ Văn Tuấn Dũng
TP. HCM, ngày 25 tháng 4 năm 2009
BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Viện Công nghệ Sinh học – Thực phẩm
Lớp
:
GVHD :
211301202
TS. Võ Văn Tuấn Dũng
1. Nguyễn Trung Nhân
: 0771637
2. Mai Hạnh Nguyên
: 0770613
3. Huỳnh Thành Trung
: 0771757
4. Hồ Thị Thanh Hiếu
: 0771725
5. Dương Thị Hà Như
: 0771496
6. Cao Thị Ngọc Tuyền
: 0770834
7. Mai Nguyễn Thục Hiền : 0770770
8. Vũ Kim Hường
TP. HCM, ngày 25 tháng 4 năm 2009
: 0771102
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số
những quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất
trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh
và nguy hiểm…Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để có
được phương án tối ưu cần thiết.
Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm
1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự
có hiệu quả để giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta
thường gặp, như để vận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tổng chi phí là nhỏ nhất
– đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất
đối với các nguyên liệu và sản phẩm để thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất…
Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến
thức rất quan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp
nào trong thực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ
việc lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng
nhanh chóng và chính xác. Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng,
nó đem lại những hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán
đúng quy cách.
2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.
Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục
tiêu là vấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế
hoạch đặt ra, đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính. Các bước
để nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là:
Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu .
Lập mô hình toán học thật chính xác.
Xây dựng các thuật toán để giải bài toán trên các lập trình máy tính.
Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần .
Áp dụng để giải các bài toán thực tế .
CHƯƠNG 1:
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
A. LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA
Bài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) tổng quát có dạng:
n
Tìm xj, j=1,2,…,n sao cho: f= c j x j min (max) (1)
j 1
aij x j bi , i=1,2,…,m
j 1
(2)
0
x j 0 , j=1,2,…,n
tùyý
(3)
n
Với hệ ràng buộc:
(1) được gọi là hàm mục tiêu, nó có thể là cực tiểu (min) hay cực đại (max).
(2) được gọi là các ràng buộc chung hay ràng buộc hàm, nó có thể có dạng
bất đẳng thức (≤ hay ≥) hoặc có dạng đẳng thức (=).
(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nó có thể không âm (≥0),
không dương (≤0) hay tùy ý.
Như vậy, bài toán QHTT là bài toán có các biểu thức xác định hàm mục tiêu
và các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính.
Véctơ x=(x1, x2,…,xn)T được gọi là phương án (pa) hay lời giải chấp nhận
được của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán.
Phương án x*=( x1* , x2* ,..., xn* )T được gọi là phương án tối ưu (patư) hay lời
giải tối ưu, nghiệm tối ưu của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt
nhất.
n
n
j 1
Tức là: f(x*)= c j x *j f ( x) c j x j là giá trị hàm mục tiêu tại phương án
j 1
x=(x1,x2,…,xn)T bất kỳ. (Dấu ≤ ứng với bài toán cực tiểu. Dấu ≥ ứng với bài toán
cực đại).
Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).
Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung
tập hợp các phương án tối ưu.
Mệnh đề: (Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu)
f (x) max
g(x) f (x) min
(1)
(2)
x X
x X
(Trong đó: X là tập hợp các phương án)
Tức là: nếu đổi dấu hàm mục tiêu và đổi loại hàm mục tiêu thì ta được bài
toán tương đương. Vì lí do này mà khi nghiên cứu cách giải bài toán qhtt, người ta
chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực tiểu (hay chỉ xét bài toán có loại hàm
mục tiêu là cực đại)
2. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH
TUYẾN TÍNH 2 BIẾN
Bài toán có dạng: tìm x=(x1,x2)T sao cho f(x)=c1x1+c2x2 min (max)
Với hệ ràng buộc: ai1x1+ai2x2≥bi, i=1,2,…,m
Chú ý:
-
Ràng buộc chung có dạng: a≤b, ta đưa về dạng tương đương là: -a≥-b.
-
Ràng buộc chung có dạng: a = b thì tương đương với: a≥b và –a≥-b.
-
Còn các ràng buộc biến có thể xem là các trường hợp riêng của các ràng
buộc chung.
Như vậy, hệ ràng buộc của bài toán QHTT có 2 biến luôn luôn có thể giả
thiết là có dạng: ai1x1+ai2x2≥b i; i=l, 2..., m
2.1. Xác định miền phương án
Đưa các điểm (x1,x2) lên hệ trục tọa độ vuông góc. Ta xác định được các
điểm thỏa mãn phương trình: ai1x1+ai2x2=b, hình thành nên một đường thẳng chia
mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng (mp). Một nửa mp bao gồm các điểm (x1,
x2) thỏa mãn bất phương trình: ai1x1+ai2x2≥b i, và nửa kia bao gồm các điểm (x1, x2)
thỏa mãn bất phương trình: ai1x1+ai2x2≤bi.
Trong thực hành, để xác định nửa mp nào ứng với bất phương trình:
ai1x1+ai2x2≥bi. Ta thường lấy một điểm đặc biệt như (0,0); (0,1); (1,0);… thay vào
bất phương tình, nếu nó thỏa mãn thì nửa mp chứa điểm đặc biệt đó là nửa mp phải
tìm; còn nếu nó không thỏa mãn thì nửa mp phải tìm là nửa mp không chứa điểm
đặc biệt đó.
Các điểm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là các điểm thuộc miền giao
của các nửa mp xác định các bất phương trình tương ứng, nó tạo nên một hình đa
giác lồi có thể bị giới nội hay không bị giới nội; hoặc miền giao là rỗng ứng với
trường hợp hệ ràng buộc không tương thích. Trường hợp miễn phương án X không
rỗng ta thực hiện tiếp bước sau.
2.2. Xác định phương án tối ưu
Một điểm x=(x1,x2)T bất kỳ nằm trong mp tọa độ sẽ cho ta giá trị hàm mục
tiêu là: c1x1+c2x2 =f.
Tập hợp tất cả các điểm có cùng giá trị hàm mục tiêu là f hình thành nên một
đường thẳng vuông góc với véctơ OC với C=(c1,c2)T. Đường thẳng này được gọi là
đường thẳng mục tiêu có mức là f.
Đặc điểm của các đường thẳng mục tiêu là: nếu tịnh tiến đường thẳng mục
tiêu theo cùng hướng vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ tăng lên. Còn nếu tịnh
tiến theo hướng ngược với vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ giảm đi.
3. CÁCH ĐƯA BÀI TOÁN QHTT BẤT KỲ VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bài toán qhtt dạng chính tắc là bài toán qhtt có tất cả các ràng buộc chung
đều ở dạng đẳng thức và tất cả các biến đều không âm.
n
Tức là bài toán có dạng: f= c j x j min (max)
j 1
n
Với hệ ràng buộc:
a
ij
x j bi , i=1,2,…,m
j 1
x≥0, j=1,2,…,n
Trường hợp ràng buộc chung có dấu bất đẳng thức ≤ (hay ≥) thì ta cộng
thêm (hay trừ đi) một biến phụ (biến bù) vào vế trái để cân bằng. Biến phụ phải ≥ 0
và hệ số tương ứng trong hàm mục tiêu phải bằng 0.
Trường hợp biến có điều kiện ≤ 0 (hay tùy ý) thì ta thay biến đó bằng
“đối” của biến không âm (hay bằng hiệu của biến không âm)
Kết luận: Mọi bài toán qhtt đều đưa được về dạng chính tắc và việc giải bài
toán qhtt đã cho tương đương với việc giải bài toán qhtt dạng chính tắc tương ứng
với nó, theo nghĩa là nếu bài toán dạng chính tắc có patư thì từ đó suy ra được patư
của bài toán ban đầu, còn nếu bài toán dạng chính tắc không có phương án tối ưu thì
bài toán ban đầu cũng không có patư. Nói cách khác: Bài toán ban đầu có patư khi
và chỉ khi bài toán dạng chính tắc tương ứng với nó có patư.
Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải bài toán qhtt dạng chính tắc.
4. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN. NGHIỆM CƠ BẢN CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4.1. Phương pháp khử Gauss-Jordan
Xét hệ thống gồm m phương trình tuyến tính, n biến:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
............................................
am1 x1 a m 2 x2 ... amn xn bm
Dạng bảng:
b
x1
x2
…
xv
…
xn
a10
a11
a12
…
a1v
…
a1n
a20
a21
a22
…
a2v
…
a2n
…
…
…
…
…
…
…
ar0
ar1
ar2
…
arv
…
arn
…
…
…
…
…
…
…
am0
am1
am2
…
amv
…
amn
a’10
a’11
a’12
…
0
…
a’1n
a’20
a’21
a’22
…
0
…
a’2n
…
…
…
…
…
…
…
ar0/arv
ar1/arv
ar2/arv
…
1
…
arn/arv
…
…
…
…
…
…
…
a’m0
a’m1
a’m2
…
0
…
a’mn
Trong đó: ai0 =bi, i=1,2,…,m
Phép khử Gauss –Jordan (gọi tắt là phép khử) với phần tử trục (Phần tử
giải; Phần tử chủ yếu) là arv≠0 (Dòng r được gọi là dòng xoay, cột v được gọi là cột
xoay) cho bảng mới tương đương với bảng cũ, theo nghĩa là 2 hệ thống tương ứng
với 2 bảng là tương đương với nhau.
Quy tắc thực hiện:
-
Các phần tử trên dòng xoay đều chia cho phần tử trục.
-
Các phần tử còn lại trên cột xoay đều biến thành 0.
-
Các phần tử khác tính theo qui tắc đường chéo hình chữ nhật rồi chia cho
phần tử trục: aij'
aij
arj
a1v
arv
arv
aij arv arj aiv
arv
(i=1,2,…,m; j=0,1,2,…,n; i≠r; j≠v)
Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính: Lần lượt thực hiện các phép khử
Gauss-Jordan với các phần tử trục nằm trên các dòng khác nhau, bảng cuối cùng sẽ
cho ta lời giải của hệ phương trình (không chọn phần tử trục nằm trên cột b)
Lưu ý:
-
Trong trường hợp có nhiều phần tử có thể được chọn làm phần tử trục, ta
nên chọn phần tử sao cho dễ thực hiện phép chia nhất.
-
Trên dòng xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì cột tương ứng (tức là cột có
phần tử =0 này) được giữ nguyên giá trị.
-
Trên cột xoay, nếu có phần tử bằng 0 thì dòng tương ứng (tức là dòng có
phấn tử =0 này) được giữ nguyên giá trị.
4.2. Nghiệm cơ sở của hệ phương trình tuyến tính
Nghiệm cơ sở (nghiệm cơ bản) của 1 hệ phương trình tuyến tính là nghiệm
nhận được từ dạng nghiệm tổng quát khi có các biến tự do nhận giá trị 0.
Biến cơ sở (biến cơ bản) ứng với một phương trình là biến có hệ số là 1 ở
phương trình đó và có hệ số là 0 ở các phương tình còn lại (nói cách khác: các hệ số
tương ứng với biến cơ sở tạo nên các vectơ đơn vị)
Các biến không có đặc điểm trên được gọi là các biến phi cơ sở.
Trong dạng nghiệm tổng quát, các biến cơ sở đóng vai trò là các biến phụ
thuộc còn các biến phi cơ sở là các biến tự do.
Nhận xét: khi thực hiện phép khử với 1 phần tử trục thì biến ở cột xoay sẽ
trở thành biến cơ sở tương ứng với dòng xoay.
Ta thấy một nghiệm cơ sở tương ứng với một dạng nghiệm tổng quát, mà các
dạng nghiệm tổng quát khác nhau là do hệ các biến tự do (hay hệ các biến cơ sở) là
khác nhau. Do đó để tìm tất cả nghiệm cơ sở ta đưa vào bảng tính cột xB chứa các
biến cơ sở tương ứng với mỗi phương trình và tiến hành thực hiện các phép khử với
các phần tử trục được chọn sao cho thu được các hệ biến cơ sở khác nhau.
Nghiệm cơ sở tương ứng với mỗi bảng sẽ được xác định bằng các cho các
biến cơ sở nhận giá trị tương ứng ở cột b, các biến không nằm trong hệ biến cơ sở
nhận giá trị 0.
-
Nghiệm cơ sở suy biến là nghiệm cơ sở tương ứng với nó nhiều hơn 1 hệ
biến cơ sở.
-
Nghiệm cơ sở không suy biến là nghiệm cơ sở có tương ứng với nó đúng
1 hệ biến cơ sở.
5. PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN
Pacb (phương án cơ sở; phương án cơ bản) của bài toán qhtt dạng chính tắc
là phương án đồng thời là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung.
Nói cách khác, pacb là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung có thỏa
điều kiện về dấu của các biến.
-
Pacb không suy biến là pacb có tương ứng với nó đúng một hệ biến cơ
-
Pacb suy biến là pacb có tương ứng với nó nhiều hơn một hệ biến cơ sở.
sở.
Do số nghiệm cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính là hữu hạng nên số
pacb là hữu hạng.
Số thành phần dương (>0) trong một pacb không vượt quá hạng của hệ ràng
buộc chung.
Pacb có số thành phần lớn hơn 0 đúng bằng hạng của hệ ràng buộc chung sẽ
là pacb không suy biến. Ngược lại, pacb có số thành phần lớn hơn 0 nhỏ hơn hạng
của hệ ràng buộc chung có thể là phương án cực biên suy biến.
6. CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI
Tập hợp lồi: Là tập hợp phương án thỏa điều kiện: Nếu có 2 điểm bất kỳ
thuộc nó thì cả đoạn thẳng nối 2 điểm cũng thuộc tập hợp đó.
Định nghĩa: Điểm cực biên của một tập lồi X là điểm thuộc X, nhưng không
phải là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong X.
Đỉnh của 1 tập lồi X là điểm thuộc X và tồn tại 1 siêu phẳng sao cho X nằm
hoàn toàn về 1 phía của nó và siêu phẳng cắt X chỉ tại điểm đó.
Lưu ý: phương trình đoạn thẳng có thể viết dưới dạng: x=xo+αz, α 1 , 2
Đây là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng đi qua điểm xo và có vectơ chỉ
phương là z.
7. CÁC ĐỊNH LÝ
Định lý 1 (dấu hiệu của pacb): Một phương án của bài toán qhtt dạng
chính tắt là pacb khi và chỉ khi hệ véctơ cột tương ứng với các thành phần dương
(>0) là độc lập tuyến tính.
Định lý 2 (Điều kiện tồn tại pacb): Bài toán qhtt dạng chính tắc nếu có pa
thì sẽ có pacb.
Định lý 3 (ý nghĩa hình học của pacb): một pacb tương ứng với 1 điểm
cực biên (đỉnh) của tập phương án.
K
L
Định lý 4 (định lý biểu diễn): x X x i x i i z i
i 1
i 1
Trong đó x1,…,xK là các pacb; z1,…,zL là các vectơ chỉ phương các cạnh vô
hạn. i 0 , i=1,…,K; i 0 , i=1,…,L và α1+…+ αK=1
Tức là pa x được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các pacb cộng với tổ
hợp không âm của các vectơ chỉ phương các cạnh vô hạn.
Định lý 5 (điều kiện tồn tại pacb): bài toán qhtt có patư khi và chỉ khi nó
có phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới đối với bài toán cực tiểu (hay bị chặn
trên đối với bài toán cực đại) trên tập phương án.
Nếu bài toán qhtt dạng chính tắc có patư thì sẽ có 1 pacb là patư.
B. BÀI TẬP
1.
Lập mô hình toán học các bài toán sau:
a.
Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu 100 mã lực và 50 mã
lực. Trong xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch. Thợ rèn có
2000 công, thợ sắt có 3000 công, thợ mộc có 1500 công. Định mức lao động của
mỗi loại tàu được cho trong bản:
Định mức
lao động
Loại thợ
Loại tàu
100 mã lực
50 mã lực
Thợ sắt (3000)
150
70
Thợ rèn (2000)
120
50
Thợ mộc (1500)
80
40
(công/sản phẩm)
Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao
nhất?
Giải
Gọi x1, x2 lần lượt là số tàu 100 mã lực và 50 mã lực cần đóng
f(x)=100x1+50x2 max
150x 1 70x 2 3000
120x 50 x 2000
1
2
Điều kiện:
80 x 1 40 x 2 1500
x 1 0, x 2 0
b. Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện,
150 giờ máy mài để chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, C. Để chế tạo một đơn vị sản
phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sản phẩm B cần
3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; 1 đơn vị sản phẩm C cần 5 giờ máy cán. 3 giờ máy
tiện, 2 giờ máy mài. Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá
16 ngàn đồng, mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng.
Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cấn chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để
tổng giá trị sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không dùng quá
số giờ hiện có của mỗi loại máy.
Giải
Ta có bảng tóm tắt như sau:
Loại sp
Thiết bị
A (48)
B (16)
C (27)
Máy cán (510)
9
3
5
Máy tiện (360)
5
4
3
Máy mài (150)
3
0
2
Gọi x1, x2, x3 là số đơn vị sản phẩm loại A, B, C
f(x)= 48x1+16x2+27x3 max
9 x 1 3x 2 5 x 3 510
5x 4 x 3x 360
1
2
3
Điều kiện:
3x 1 2 x 3 150
x j 0, j 1,2,3
c.
Một xí nghiệp điện cơ sản xuất quạt điện các loại. Cần cắt từ một tấm
tôn các cánh quạt điện theo 3 kiểu A, B, C. Có 6 mẫu cắt khác nhau theo bảng sau:
Mẫu cắt
Kiểu cánh
quạt
1
2
3
4
5
6
A
2
1
1
0
0
0
B
0
1
0
2
1
0
C
0
0
1
0
2
3
Chỉ tiêu sản lượng sản phẩm của xí nghiệp phải hoàn thành ít nhất 4000 cánh
quạt kiểu A, 5000 cánh quạt kiểu B, 3000 cánh quạt kiểu C. Hỏi xí nghiệp có
phương án cắt như thế nào để có phế liệu ít nhất?
Giải
Gọi xj là số tấm tôn cắt theo mẫu j
f(x)= 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 + 3x6 min
2 x 1 x 2 x 3 4000
x 2 x x 5000
2
4
5
Điều kiện:
x 3 2 x 5 3x 6 3000
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5, 6
d. Cần vận chuyển 1 loại hàng hóa từ 3 xí nghiệp A1, A2, A3 đến các cửa
hàng B1, B2, B3, B4. lượng hàng có ở mỗi xí nghiệp và chi phí vận chuyển 1 đơn vị
hàng được cho ở bảng sau:
Cửa
Chi phí
vận chuyển
B1
B2
B3
B4
Khả năng
hàng hóa
A1
3
4
0
1
40
A2
1
2
5
6
30
A3
1
5
8
2
30
Nhu cầu hàng hóa
20
25
30
15
hàng
Xí nghiệp
Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho tổng chi phí vận chuyển là bé nhất?
Giải
Gọi xij là lượng hàng hóa cần vận chuyển từ xí nghiệp Ai (i = 1, 2, 3) đến cửa
hàng Bj (j=1, 2, 3, 4).
f(x) = 3x11 + 4x12 + x14 + x21 + 2x22 + 5x23
+ 6x24 + x31 + 5x32 + 8x33 + 2x34 min
x11 x12 x14 40
x x x x 30
21 22 23 24
x31 x32 x33 x34 30
x11 x21 x31 20
Điều kiện:
x12 x22 x32 20
x23 x33 30
x14 x24 x34 15
x 0, j 1,2,3,4, i 1,2,3
ij
e.
Công ty may mặc Long Vũ hiện đang lập kế hoạch sản xuất 3 mặt hàng
áo Jaket, áo Chemis, áo Bludong. Được biết chi phí giở công sản xuất của từng mặt
hàng qua 3 công đoạn cắt, may, hoàn chỉnh như sau:
Chemis
Bludong
Jaket
Giờ công bộ phận cắt
0.2
0.4
0.3
Giờ công bộ phận may
0.3
0.5
0.4
Giờ công bộ phận hoàn
0.1
0.2
0.1
chỉnh
Đơn giá (USD/sp)
2.3
3.6
2.8
Năng lực tối đa của các bộ phận như sau:
-
Bộ phận cắt: 1250 giờ công
-
Bộ phận may: 1650 giờ công
-
Bộ phận hoàn chỉnh: 540 giờ công
Tối thiểu mỗi loại phải sản xuất 200 sản phẩm. Hãy tính kế hoạch sản xuất
mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để đạt tổng giá trị sản phẩm lớn nhất và vẫn đảm bảo
các điều kiện về năng lực sản phẩm và qui định số lượng sản phẩn tối thiểu.
Giải
Gọi x1, x2, x3 là số đơn vị sản phẩm Chemis, Bludong, Jaket.
f(x)= 2,3x1 + 3,6x2 + 2,8x3 max
0.2 x1 0.4 x2 0.3 x3 1250
0.3 x 0.5 x 0.4 x 1650
1
2
3
Điều kiện:
0.1x1 0.2 x2 0.1x3 540
x j 200, j 1,2,3
f.
Nhà máy sản xuất thiết bị nghe nhìn điện tử Hanel lắp ráp thành phẩm
máy thu hình TV, Stereo, loa thùng từ các bộ phận khác nhau. Tên các bộ phận và
số lượng còn trong kho của chúng được bộ phận KHO cung cấp trong bản sau:
Số lượng bộ phận sử dụng khi lắp
Tên bộ phận
ráp
Kho
TV
Stereo
Loa
thùng
Khung
450
1
1
0
Đèn hình
250
1
0
0
Loa
800
2
2
1
Nguồn
450
1
1
0
Hệ thống điện 600
2
1
1
Lợi nhuận đơn vị (S)
75
50
35
Tìm giải pháp lắp ráp số lượng máy thu hình TV, Stereo, loa thùng từ số bộ
phận còn trong kho để đem lại tổng lợi nhuận cao nhất?
Giải
Gọi x1, x2, x3 là số lượng máy thu hình TV, Stereo, loa thùng
f(x) = 75x1 + 50x2 + 35x3 max
Điều kiện:
x1 x 2 450
x 250
1
2x1 2x 2 x 3 800
x1 x 2 450
2x1 x 2 x 3 600
x j 0
2.
Đưa về dạng chuẩn tắc và chính tắc các bài toán qui hoạch tuyến tính
sau:
a. f(x) = 2x1 - x2 max
x 1 2 x 2 x 3 2
2 x 2 x x 3
2
3
Điều kiện: 1
x 1 x 2 x 3 4
x 1 0, x 3 0, x 2 tùy ý
Giải
Dạng chính tắc: thay x2 = x4 - x5 (x4, x5 ≥ 0) và thêm 2 biến phụ x6, x7 ≥ 0.
Ta được bài toán:
f(x) = 2x1- x4 + x5 max
x1 x3 2 x4 2 x5 x6 2
2 x x 2 x 2 x x 3
1 3
4
5
7
Điều kiện:
x1 x3 x4 x5 4
x j 0 ( j 1,3, 4,5, 6, 7)
Dạng chuẩn tắc: thay x2 = x4 - x5 (x4, x5 ≥ 0).
Ta được bài toán: f(x)= 2x1 - x4 + x5 max
x1 x3 2 x4 2 x5 2
x1 x3 2 x4 2 x5 2
2 x x 2 x 2 x 3 2 x1 x3 2 x4 2 x5 3
1 3
4
5
x1 x3 x4 x5 4
Điều kiện:
x1 x3 x4 x5 4
x x x x 4
1
3
4
5
x j 0 ( j 1,3, 4,5)
x j 0 ( j 1,3, 4,5)
b. f(x)= 3x1 + x2 min
x1 3
x x 4
Điều kiện: 1 2
2 x1 x2 5
x1 0, x2 0
Giải
Dạng chính tắc: thêm 2 biến phụ x3, x4 ≥ 0. Ta có: f(x) = 3x1 + x2 min
x1 x3 3
x x x 4
1 2 4
Điều kiện:
2 x1 x2 5
x j 0, j 1,2,3,4
Dạng chuẩn tắc: f(x) = 3x1 + x2 min
x 1 3
x 1 x 2 4
Điều kiện: 2x 1 x 2 5
2 x x 5
1
2
x j 0, j 1,2,3,4
3. Viết các bài toán qui hoạch tuyến tính sau ở dạng chính tắc:
a. f(x) = 4x1 + 3x2 - 2x3 min
x1 x 2 4x 3 6
2x x 3x 3 8
Điều kiện: 1 2
3x1 4x 2 2x 3 3
x1 0, x 2 0, x 3 tùyý
Giải
Đặt x3=x4-x5 (x4, x5≥0), thêm 2 biến phụ x6, x7 ≥0.
Ta có: F(x) = 4x1 + 3x2 - 2(x4 - x5) min
x 1 x 2 4 x 4 4 x 5 6
2 x x 3x 3x x 8
1
2
4
5
6
Điều kiện:
3
x
4
x
2
x
2
x
x
2
4
5
7 3
1
x j 0, j 1,2,4,5,6,7
b. f(x) = 3x1 + x2 min
4 x 1 2 x 2 x 3 15
5x 2x x 10
2
3
Điều kiện: 1
3
x
6
x
2 x 3 25
1
2
x 1 0, x 3 0, x 2 tùy ý
Giải
Đặt x2 = x4 - x5 (x4, x5 ≥ 0), thêm 2 biến phụ x6, x7 ≥ 0.
Ta có: f(x) = 3x1 + x4 – x5 min
4 x1 x3 2 x4 2 x5 x6 15
5 x x 2 x 2 x 10
1
3
4
5
Điều kiện:
3 x1 2 x3 6 x4 6 x5 x7 25
x j 0, j (1,3, 4,5, 6, 7)
4. Cho bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc:
f(x) = 2x1 + x2 - x3 + x4 max
x1 x2 2 x3 x4 6
x1 x2 x4 2
Điều kiện:
x1 2 x2 x3 4
x j 0, j 1,2,3
a. Hãy chỉ rõ 1 phương án của bài toán
b. Xác định tập phương án của bài toán
Giải
a. Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, ta lập bảng:
b
x1
x2
x3
x4
6
1
1
2
1
2
1
1
0
1
4
1
-2
1
0
6
1
1
2
1
-4
0
0
-2
0
-2
0
-3
-1
-1
2
1
1
0
1
2
0
0
1
0
0
0
-3
0
-1
2
1
-2
0
0
2
0
3
1
0
0
0
0
0
1
x 1 2 x 2 2
x 1 2 2 x 2
hệ phương trình: x 3 2
x 3 2
3x x 0
x 3x
4
2
2
4
Cho x2 = x4 = -3, x1 = 2 + 2
Chọn = 0: ta có một phương án (2, 0, 2, 0)
b. Tập phương án của bài toán:
D= x (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) x 1 2 2, x 2 , x 3 2, x 4 3, R
5. Vẽ miền thỏa mãn các bất phương trình tuyến tính (bậc nhất) sau:
- 2x1 + 5x2 ≤ 10, - x1 + 3x2 ≤ 3, 2x1 + x2 ≤ 6, x1 + 2x2 ≥ 2
Chỉ rõ các điểm cực biên (đỉnh) của miền này.
Giải
Điểm cực biên của miền này là A(15/7,12/7); B(10/3,-2/3); C(0,1)
6. Dùng phương pháp hình học giải các qui hoạch tuyến tính 2 biến sau:
a. F(x) = - x1 + x2 max
x1 x2 1
3 x 2 x 6
2
Điều kiện: 1
3 x1 x2 9
x1 0, x2 0
Giải
Miền ràng buộc: OAB
Phương án tối ưu: A(0,1)
Trị tối ưu: fmax=1
b. f(x) = 5x1 + 4x2 max
x1 2 x2 8
x 2x 4
2
Điều kiện: 1
3
x
2
x2 12
1
x1 0, x2 0
Giải
Miền ràng buộc: OABC
Phương án tối ưu: B (2,3)
Trị tối ưu: fmax = 22
- Xem thêm -