Skkn phát triển tư duy sáng tạo toán học

  • Số trang: 34 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 23 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Ngµy nay, ë ViÖt Nam còng nh trªn thÕ giíi, gi¸o dôc ®îc coi lµ quèc s¸ch hµng ®Çu, lµ ®éng lùc cña sù ph¸t triÓn kinh tÕ-x· héi. Víi sø mÖnh lµm gia t¨ng gi¸ trÞ con ngêi, môc tiªu c¬ b¶n cña gi¸o dôc ph¶i ®µo t¹o ra nh÷ng con ngêi ph¸t triÓn toµn diÖn vÒ mäi mÆt, kh«ng nh÷ng cã kiÕn thøc mµ cßn giµu n¨ng lùc trÝ tuÖ. Trong hoµn c¶nh ®ã, viÖc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o (TDST) cho häc sinh ë c¸c nhµ trêng phæ th«ng ®èi víi nh÷ng ngêi lµm c«ng t¸c gi¸o dôc cã mét vÞ trÝ hÕt søc quan träng. Thùc hiÖn NghÞ quyÕt Trung ¬ng II kho¸ VIII cña §¶ng, chóng ta c¬ b¶n ®· xo¸ bá lo¹i h×nh trêng chuyªn, líp chän ë bËc häc THPT nh»m h¹n chÕ nh÷ng mÆt tr¸i cña viÖc häc thi, häc lÖch. Tuy nhiªn kh«ng v× thÕ mµ c«ng t¸c båi dìng HS giái bÞ xem nhÑ, ngîc l¹i nã cµng ph¶i ®îc quan t©m vµ thùc hiÖn ®óng møc, bëi HS giái lµ thÕ hÖ nh©n tµi t¬ng lai cña ®Êt níc. VËy lµm thÕ nµo ®Ó båi dìng, ph¸t triÓn n¨ng lùc s¸ng t¹o cho nh÷ng HS kh¸ giái, ®¸p øng ®îc môc tiªu cña gi¸o dôc phæ th«ng? C©u hái ®ã lu«n mang tÝnh cÊp thiÕt vµ kh«ng hÒ ®¬n gi¶n. VÊn ®Ò d¹y häc to¸n trong trêng phæ th«ng hiÖn nay nãi chung tuy ®· cã ®æi míi vÒ ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y còng nh néi dung ch¬ng tr×nh nhng vÉn cßn tån t¹i nhiÒu n¬i ph¬ng ph¸p d¹y häc cò, thiÕu tÝnh tÝch cùc tõ phÝa ngêi häc, thiªn vÒ d¹y, yÕu vÒ häc, kh«ng kiÓm so¸t ®îc viÖc häc...Vµ nh vËy cha ®¸p øng ®îc yªu cÇu ®èi víi sù nghiÖp GD & §T trong c«ng cuéc ®æi míi ®Êt níc, nhÊt lµ viÖc quan t©m rÌn luyÖn, ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o, båi dìng nh©n tµi ë nhµ trêng phæ th«ng. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc (b®t) h×nh häc ph¼ng lµ bµi to¸n c¬ b¶n vµ thêng gÆp trong hÖ thèng bµi tËp to¸n thuéc ch¬ng tr×nh THPT. §©y lµ d¹ng bµi tËp khã, ®ßi hái häc sinh ph¶i cã n¨ng lùc gi¶i to¸n nhÊt ®Þnh, sö dông c¸c kiÕn thøc to¸n häc réng kh¾p vµ ®Æc biÖt t duy gi¶i to¸n linh ho¹t s¸ng t¹o. Do ®ã d¹y häc chñ ®Ò nµy cã t¸c dông lín trong viÖc båi dìng ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ cho häc sinh th«ng qua c¸c thao t¸c t duy, ®ång thêi gióp häc sinh kh¾c s©u, tæng hîp, hÖ thèng hãa ®îc kiÕn thøc c¬ b¶n, t¨ng cêng n¨ng lùc gi¶i to¸n. MÆc dï vËy trong SGK còng nh SBT h×nh häc, sè lîng bµi tËp vÒ b®t h×nh häc ph¼ng kh«ng nhiÒu. Thùc tiÔn gi¶ng d¹y cho thÊy nhiÒu GV vµ HS cßn Ýt quan t©m ®Õn thÓ lo¹i bµi tËp nµy. Gãp phÇn x©y dùng mét sè biÖn ph¸p båi dìng HS giái bËc THPT vµ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n còng nh kh¾c phôc nh÷ng tån t¹i trªn ®©y, ®Ò tµi ®îc chän lµ: “Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o to¸n häc cho häc sinh giái ë trêng THPT qua chñ ®Ò bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng”. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu 1 Nghiªn cøu qu¸ tr×nh rÌn luyÖn, ph¸t triÓn TDST vÒ to¸n ë ®èi tîng häc sinh kh¸ giái bËc THPT. X©y dùng hÖ thèng bµi tËp vÒ b®t h×nh häc ph¼ng cïng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i d¹ng to¸n nµy sö dông trong d¹y häc, gãp phÇn ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho häc sinh. 3. NhiÖm vô nghiªn cøu - Nghiªn cøu c¬ së lý luËn vÒ TDST, qu¸ tr×nh rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn lo¹i h×nh t duy nµy ë häc sinh THPT. - Nghiªn cøu c¸c phÈm chÊt, n¨ng lùc quan träng nhÊt cña häc sinh giái to¸n, vÊn ®Ò n¨ng khiÕu to¸n häc. - X©y dùng hÖ thèng bµi tËp vÒ b®t h×nh häc ph¼ng, híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i vµ khai th¸c bµi to¸n, qua ®ã cñng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc, båi dìng ph¸t triÓn TDST cho häc sinh trêng THPT. - §a ra mét sè biÖn ph¸p s ph¹m nh»m thùc hiÖn môc ®Ých nghiªn cøu. - Thùc nghiÖm s ph¹m qua c¸c biÖn ph¸p s ph¹m trong d¹y häc chñ ®Ò b®t h×nh häc ph¼ng nh»m kiÓm tra tÝnh kh¶ thi, ®¸nh gi¸ hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi. 4. Gi¶ thuyÕt khoa häc NÕu vËn dông lý luËn vÒ vÊn ®Ò TDST, cïng víi viÖc x©y dùng hÖ thèng bµi tËp b®t h×nh häc ph¼ng sö dông trong qu¸ tr×nh d¹y häc chñ ®Ò nµy th× cã thÓ gãp phÇn ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS giái ë trêng THPT. 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn - Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm s ph¹m 6. Ph¹m vi nghiªn cøu cña ®Ò tµi Nghiªn cøu nh÷ng biÖn ph¸p ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS kh¸, giái ë trêng THPT trªn c¬ së d¹y häc néi dung gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng. 2 Ch¬ng I: Ph¸t hiÖn vµ båi dìng häc sinh giái to¸n ë trêng THPT 1.1. D¹y häc gi¶i bµi tËp ë nhµ trêng phæ th«ng 1.1.1. Vai trß cña viÖc gi¶i bµi tËp to¸n Bµi tËp to¸n häc cã vai trß quan träng trong qu¸ tr×nh häc tËp m«n to¸n ë nhµ tr êng phæ th«ng. Gi¶i bµi tËp to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc, th«ng qua viÖc gi¶i bµi tËp, HS ph¶i thùc hiÖn nhiÒu ho¹t ®éng nh: nhËn d¹ng, thÓ hiÖn c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, quy t¾c - ph¬ng ph¸p, nh÷ng ho¹t ®éng phøc hîp, nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ chung, nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ phæ biÕn trong to¸n häc. Vai trß cña bµi tËp to¸n thÓ hiÖn ë c¶ ba b×nh diÖn: môc ®Ých, néi dung vµ ph¬ng ph¸p cña qu¸ tr×nh d¹y häc. Cô thÓ: a/ VÒ mÆt môc ®Ých d¹y häc, bµi tËp to¸n thÓ hiÖn nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau híng ®Õn viÖc thùc hiÖn môc ®Ých d¹y häc m«n to¸n nh: - H×nh thµnh, cñng cè tri thøc, kü n¨ng, kü x¶o, kü n¨ng øng dông to¸n häc ë nh÷ng giai ®o¹n kh¸c nhau cña qu¸ tr×nh d¹y häc. - Ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung: rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy, h×nh thµnh c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ. - H×nh thµnh, båi dìng thÕ giíi quan duy vËt biÖn chøng còng nh nh÷ng phÈm chÊt ®¹o ®øc cña ngêi lao ®éng míi. b/ VÒ mÆt néi dung d¹y häc: bµi tËp to¸n lµ mét ph¬ng tiÖn ®Ó cµi ®Æt néi dung díi d¹ng tri thøc hoµn chØnh hay nh÷ng yÕu tè bæ sung cho tri thøc ®· häc ë phÇn lý thuyÕt. c/ VÒ mÆt ph¬ng ph¸p d¹y häc: bµi tËp to¸n lµ gi¸ mang nh÷ng ho¹t ®éng ®Ó HS kiÕn t¹o nh÷ng néi dung nhÊt ®Þnh vµ trªn c¬ së ®ã thùc hiÖn c¸c môc ®Ých d¹y häc kh¸c. Khai th¸c tèt bµi tËp nh vËy sÏ gãp phÇn tæ chøc cho HS häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng tù gi¸c, tÝch cùc, chñ ®éng s¸ng t¹o ®îc thùc hiÖn ®éc lËp hoÆc trong giao lu. Trong thùc tiÔn d¹y häc, bµi tËp ®îc sö dông víi nh÷ng dông ý kh¸c nhau 3 vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc: ®¶m b¶o tr×nh ®é xuÊt xuÊt ph¸t , gîi ®éng c¬, lµm viÖc víi néi dung míi, cñng cè hoÆc kiÓm tra…§Æc biÖt vÒ mÆt kiÓm tra, bµi tËp lµ ph¬ng tiÖn kh«ng thÓ thay thÕ ®Ó ®¸nh gi¸ møc ®é tiÕp thu tri thøc, kh¶ n¨ng lµm viÖc ®éc lËp vµ tr×nh ®é ph¸t triÓn t duy cña HS, còng nh hiÖu qu¶ gi¶ng d¹y cña GV. Víi nh÷ng lý do ®· tr×nh bµy ë phÇn më ®Çu, t«i cho r»ng: thÓ lo¹i bµi tËp bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng mang ®Çy ®ñ vai trß vµ ý nghÜa cña bµi tËp to¸n, viÖc rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i d¹ng bµi tËp ®ã lµ mét c¬ héi tèt gãp phÇn båi dìng, ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS ngay tõ bËc THCS. 1.1.2. Ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp to¸n Theo G.P«lya, ph¬ng ph¸p chung gi¶i mét bµi to¸n gåm c¸c bíc: 1. T×m hiÓu néi dung ®Ò bµi: §Ó gi¶i ®îc mét bµi to¸n, tríc hÕt ph¶i hiÓu néi dung ®Ò bµi, ph¸t biÓu ®Ò bµi ë c¸c d¹ng kh¸c nhau, ph©n tÝch kü c¸i ®· cho, c¸i cÇn t×m vµ mèi liªn hÖ gi÷a chóng. Nãi chung ph¶i ph©n biÖt ®îc yÕu tè, quan hÖ b¶n chÊt gióp nhËn d¹ng ®îc bµi to¸n, cã thÓ dïng c«ng thøc, ký hiÖu, h×nh vÏ ®Ó hç trî cho viÖc diÔn t¶ ®Ò bµi. 2. X©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i: Sau khi ®· t×m hiÓu kü ®Ò bµi, tiÕn hµnh t×m tßi, ph¸t hiÖn c¸ch gi¶i nhê nh÷ng suy nghÜ t×m ®o¸n: biÕn ®æi c¸i ®· cho vµ c¸i ph¶i t×m, liªn hÖ chóng víi tri thøc ®· häc, liªn hÖ bµi to¸n cÇn gi¶i víi nh÷ng bµi to¸n ®· biÕt t¬ng tù, mét trêng hîp riªng, mét bµi to¸n tæng qu¸t h¬n hay bµi to¸n nµo ®ã cã liªn quan. ë bíc nµy còng cÇn chó ý ph©n tÝch bµi to¸n thµnh c¸c bµi to¸n thµnh phÇn vµ gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ®ã theo tr×nh tù mét c¸ch hîp lý. Tïy vµo ®Æc ®iÓm tõng bµi to¸n mµ sö dông nh÷ng ph¬ng ph¸p ®Æc thï víi d¹ng to¸n ®ã nh: ph¬ng ph¸p tæng hîp, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, ph¶n chøng, quy n¹p to¸n häc... 3. Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: Tõ c¸ch gi¶i võa ®îc ph¸t hiÖn, s¾p xÕp c¸c viÖc ph¶i lµm thµnh mét ch¬ng tr×nh gi¶i vµ thùc hiÖn ch¬ng tr×nh ®ã. 4. KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i: - KiÓm tra lêi gi¶i: Xem kü l¹i tõng bíc trong bµi gi¶i, c¸ch suy luËn, ®Æc biÖt hãa kÕt qu¶ t×m ®îc, ®èi chiÕu víi kÕt qu¶ c¸ch gi¶i kh¸c ®Ó kiÓm tra tÝnh chuÈn x¸c cña lêi gi¶i. - Nghiªn cøu s©u lêi gi¶i: + T×m thªm c¸ch gi¶i kh¸c. + XÐt kh¶ n¨ng øng dông cña bµi to¸n. + Nghiªn cøu gi¶i nh÷ng bµi to¸n t¬ng tù, bµi to¸n ®¶o, bµi to¸n ®Æc biÖt hãa hay bµi to¸n tæng qu¸t hãa. 4 + X©y dùng ph¬ng ph¸p gi¶i chung cho c¸c bµi to¸n cïng d¹ng. Sau ®©y lµ mét vÝ dô minh häa. BT: Cho ®iÓm M trong  ABC nhän vµ cã diÖn tÝch S. CMR: MA.BC + MB.AC + MC.AB  4S (*) a/ T×m hiÓu néi dung BT Gi¶ thiÕt bµi to¸n lµ cho ®iÓm M trong  ABC nhän (vai trß cña M rÊt réng: ®iÓm tïy ý) vµ ®iÒu cÇn chøng minh lµ b®t (*). C¸c tÝch ë vÕ tr¸i cña (*) MA.BC , MB.AC , MC.AB còng nh gi¶ thiÕt tam gi¸c nhän lµ rÊt ®¸ng chó ý. b/ X©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i CÇn t×m ra mèi quan hÖ gi÷a hai vÕ cña b®t, gi÷a ®é dµi MA, MB, MC víi c¸c c¹nh BC, AC, AB. Sù cã mÆt S bªn vÕ ph¶i b®t, cho thÊy nÕu tÝnh MA, MB, MC theo AB, AC, BC hoÆc c¸c ®êng cao cña tam gi¸c th× sÏ khã kh¨n bëi v× ®iÓm M lµ bÊt kú trong tam gi¸c. Mét híng kh¸c : tiÕn hµnh ®¸nh gi¸ mèi liªn hÖ gi÷a MA, MB, MC víi ®é dµi c¸c ®êng cao, ®iÒu ®ã gîi sù liªn tëng ®Õn c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch. KÎ AH  BC , ME  BC (H, E thuéc BC ). Khi ®ã: AM + ME  AH  MA.BC  ME.BC  AH .BC  MA.BC  2dt ( BMC ) 2 S  MA.BC 2 S  2dt ( BMC ) Víi hai b®t t¬ng tù, con ®êng gi¶i bµi to¸n ®· râ rµng. c/ Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: KÎ AH  BC , ME  BC (H, E thuéc BC ). � MA + ME  AE  AH VËy MA + ME  AH  MA.BC  ME.BC  AH .BC  MA.BC  2dt ( BMC ) 2 S  MA.BC 2 S  2dt ( BMC ) Hoµn toµn t¬ng tù : MB.AC 2 S  2dt ( AMB) MC.AB 2S  2dt ( AMC ) Chó ý r»ng M n»m trong  ABC nhän nªn ta cã: S = dt(AMB) + dt(AMC ) + dt(BMC )  MA.BC + MB.AC + MC.AB  6S - 2(dt(BMC) + dt(AMB) + dt(AMC )) = 4S (®pcm) §¼ng thøc x¶y ra khi M lµ trùc t©m cña  ABC. d/ KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i 5 - KiÓm tra: Xem xÐt c¸c bíc suy luËn: vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm H, E, M, ®¼ng thøc céng diÖn tÝch, viÖc sö dông c¸c tÝnh chÊt ®¹i sè cña b®t…trong lêi gi¶i trªn ®Òu hîp lý cho thÊy tÝnh ®óng ®¾n cña nã. Cã thÓ so s¸nh c¸c kÕt qu¶ khi ®Æc biÖt hãa bµi to¸n, ch¼ng h¹n khi xÐt tam gi¸c ®Òu, c©n, hay cho M trïng víi trùc t©m tam gi¸c… - Nghiªn cøu s©u lêi gi¶i + T×m c¸ch gi¶i kh¸c, vÝ dô nh lêi gi¶i sau ®©y: KÎ AE, CF vu«ng gãc víi BM, gäi BM kÐo dµi c¾t AC ë ®iÓm K, ta cã: 2dt(AMB) = MB.AE  MB.AK 2dt(BMC) = MB.CF  MB.CK � 2( dt(AMB) + dt(BMC)  MB (AK + CK ) = MB.AC. Víi hai b®t t¬ng tù : 2(dt(BMC) + dt(AMC))  MC.AB 2(dt(AMC) + dt(AMB))  MA.BC � 4(dt(AMB) + dt(AMC) + dt(BMC)  MA.BC + MB.AC + MC.AB Hay lµ : 4S  MA.BC + MB.AC + MC.AB (®pcm). + Sö dông c¸c thao t¸c t duy: 1/ XÐt bµi to¸n t¬ng tù trong tø gi¸c, ch¼ng h¹n: BT1: Cho ®iÓm M trong tø gi¸c ABCD. CMR: MA.AB + MB.BC + MC.CD + MD.DA  2dt(ABCD) Cã thÓ më réng sang cho trêng hîp ®a gi¸c. 2/ §Æc biÖt hãa bµi to¸n Cho M trïng víi t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp  ABC, sö dông c«ng thøc diÖn tÝch: S = pr, ta cã kÕt qu¶ míi : R( AB + AC + BC )  4pr  R  2r. VËy ta suy ra bµi to¸n : BT2: Cho  ABC, gäi R, r thø tù lµ b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp vµ néi tiÕp tam gi¸c. CMR: R  2r §©y mét b®t quen thuéc vµ cã nhiÒu øng dông b©y giê ®Æc biÖt hãa theo híng kh¸c nh sau: XÐt ®iÓm M trong  ABC ®Òu, khi ®ã bµi to¸n ban ®Çu trë thµnh: BT3: Cho  ABC ®Òu c¹nh a, mét ®iÓm M n»m trong tam gi¸c. CMR: MA + MB + MC  a 3 3/ Nghiªn cøu tiÕp øng dông cña bµi to¸n NhËn xÐt biÓu thøc vÕ ph¶i cña b®t, cã thÓ ®a ra ®¸nh gi¸ nh sau: 6 HiÓn nhiªn: AB, AC, BC  max (AB, AC, BC ) � max(AB,AC,BC ).(MA + MB + MC )  MA.BC + MB.AC + MC.AB  4S 4S  MA + MB + MC  max( AB, AC , BC ) . Vµ ta cã: BT4: Cho ®iÓm M trong  ABC nhän, gäi h lµ ®é dµi ®êng cao nhá nhÊt cña tam gi¸c. CMR: MA + MB + MC  2h. 4/ Nghiªn cøu bµi to¸n khi thay ®æi gi¶ thiÕt nh: xÐt tam gi¸c vu«ng, tam gi¸c tï, hoÆc M thuéc mÆt ph¼ng tam gi¸c, khi ®ã kÕt qu¶ bµi to¸n thÕ nµo? 1.2. Ph¸t hiÖn vµ båi dìng häc sinh giái to¸n ë trêng THPT 1.2.1. Nh÷ng biÓu hiÖn cña häc sinh giái vÒ to¸n Qua thùc tiÔn mét sè n¨m gi¶ng d¹y to¸n ë nhµ trêng phæ th«ng, t«i nhËn thÊy HS giái vÒ to¸n thêng cã nh÷ng biÓu hiÖn râ rÖt c¸c mÆt sau: - Cã kh¶ n¨ng tiÕp thu vµ vËn dông kiÕn thøc nhanh VÝ dô trong t×nh huèng sö dông ®Þnh lý Pitago ®Ó gi¶i bµi to¸n: Cho  ABC vu«ng t¹i A, kÎ ®êng cao AH. BiÕt :BH = 2, CH = 3, tÝnh c¸c ®é dµi: AH, AB, AC ? Nh÷ng HS giái sÏ nhanh chãng biÕt ¸p dông §L Pitago trong c¸c tam gi¸c: ABH , ACH , ABC ®Ó t×m ®îc AH tríc råi tõ ®ã t×m AB, AC. - BiÓu hiÖn ë sù linh ho¹t trong qu¸ tr×nh t duy nh: + DÔ dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c, kh«ng bÞ gß Ðp bëi nh÷ng suy nghÜ rËp khu«n cã s½n. + Cã kh¶ n¨ng nh×n nhËn vÊn ®Ò theo nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau kÕt hîp sù liªn tëng tèt t×m ra c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch s¸ng t¹o. + BiÕt nh×n nhËn nh÷ng c¸i kh¸c biÖt cña vÊn ®Ò, lùa chän ph¬ng tiÖn, c¸ch thøc tèt nhÊt ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò ®ã. + Lý luËn chÆt chÏ, hîp l«gic, cã c¸c thao t¸c t duy nhanh trong gi¶i to¸n. Trë l¹i vÝ dô sau khi häc vÒ §L Pitago, thay v× coi ®ã lµ c«ng cô ®Ó tÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng, HS giái to¸n l¹i nh×n nhËn vÊn ®Ò theo khÝa c¹nh míi, c¸c em xÐt quan hÖ b®t gi÷a ba c¹nh tam gi¸c vu«ng vµ suy luËn ®Ó ®i ®Õn nhiÒu kÕt qu¶ kh¸c. Ch¼ng h¹n: Gi¶ sö  ABC vu«ng t¹i A, theo §L Pitago : a 2 b 2  c 2  b < a, c < a (1) Sö dông b®t Cauchy ta cã: a 2 (1 / 2).(b  c) 2  a 2 b  c 7 (2) Vµ : a 2 b�c� 2 bc 2 2 S a 2 S (3) C¸c b®t (1), (2)&(3) lµ nh÷ng b®t ®Æc trng cña tam gi¸c vu«ng. - BiÓu hiÖn ë c¸ch ghi nhí kiÕn thøc to¸n häc c« ®äng, nhanh chãng, chÝnh x¸c vµ bÒn v÷ng. §iÒu nµy gióp HS giái vÒ to¸n nhí ®îc nhiÒu kiÕn thøc mµ kh«ng tèn qu¸ nhiÒu søc lùc trÝ tuÖ khi gi¶i to¸n. C¸c biÓu hiÖn cña HS trªn ®©y, theo chóng t«i lµ nh÷ng biÓu hiÖn cô thÓ vÒ nh÷ng mÆt kh¸c nhau cña mét cÊu tróc n¨ng lùc hoµn chØnh, mét t chÊt cña to¸n häc trÝ tuÖ, ngêi ta gäi ®ã lµ n¨ng khiÕu to¸n häc. 1.2.2. N¨ng khiÕu to¸n häc N¨ng khiÕu, theo ®Þnh nghÜa cña tõ ®iÓn tiÕng ViÖt lµ n¨ng lùc tréi, n¨ng lùc ®Æc biÖt cña con ngêi xuÊt hiÖn tõ khi cßn nhá. Nh vËy, n¨ng khiÕu to¸n häc cã thÓ coi nh mét tæ hîp nh÷ng n¨ng lùc to¸n häc, mµ ë løa tuæi HS thÓ hiÖn râ nhÊt ë n¨ng lùc häc to¸n. Nhµ t©m lý häc V.A.K¬rutecxki cho r»ng: “N¨ng lùc häc tËp to¸n häc lµ nh÷ng ®Æc ®iÓm t©m lý c¸ nh©n (tríc hÕt lµ c¸c ®Æc ®iÓm ho¹t ®éng trÝ tuÖ), ®¸p øng yªu cÇu ho¹t ®éng häc to¸n vµ gióp cho viÖc n¾m gi¸o tr×nh to¸n mét c¸ch t¬ng ®èi nhanh, dÔ dµng vµ s©u s¾c kiÕn thøc, kü n¨ng vµ kü x¶o to¸n häc”  51, tr13 . Khi nghiªn cøu cÊu tróc n¨ng lùc to¸n häc ë HS phæ th«ng, V.A.K¬rutecxki ®· ph©n tÝch qu¸ tr×nh gi¶i to¸n cña c¸c em HS ®ã ë nh÷ng tr×nh ®é ph¸t triÓn n¨ng lùc kh¸c nhau, «ng nhËn thÊy nh÷ng ®Æc ®iÓm ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña HS cã n¨ng lùc to¸n häc nh sau: - Kh¶ n¨ng tri gi¸c cã tÝnh chÊt h×nh thøc hãa tµi liÖu to¸n häc, g¾n liÒn víi sù th©u tãm nhanh chãng c¸c cÊu tróc h×nh thøc cña chóng trong mét bµi to¸n cô thÓ vµo trong mét biÓu thøc to¸n häc. - Kh¶ n¨ng t duy cã tÝnh kh¸i qu¸t nhanh vµ réng. - Xu thÕ suy nghÜ b»ng nh÷ng suy lý rót gän. - Sù t duy l«gic lµnh m¹nh. - TÝnh linh ho¹t cao cña c¸c qu¸ tr×nh t duy thÓ hiÖn ë sù xem xÐt c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n theo nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau, sù di chuyÓn rÔ rµng vµ tù do tõ thao t¸c trÝ tuÖ nµy sang mét thao t¸c trÝ tuÖ kh¸c, tõ tiÕn tr×nh suy nghÜ thuËn sang tiÕn tr×nh suy nghÜ nghÞch. - Xu híng t×m tíi c¸ch gi¶i tèi u cho mét vÊn ®Ò to¸n häc, kh¸t väng t×m lêi gi¶i râ rµng, ®¬n gi¶n, hîp lý, tiÕt kiÖm. - TrÝ nhí cã tÝnh chÊt kh¸i qu¸t vÒ c¸c kiÓu bµi to¸n, c¸c ph¬ng thøc gi¶i, s¬ ®å lËp luËn, s¬ ®å l«gic. - Kh¶ n¨ng t duy l«gic, trõu tîng ph¸t triÓn tèt. 8 Trong cuèn s¸ch “VÒ nghÒ nghiÖp cña nhµ to¸n häc”, ViÖn sü to¸n häc A.N.K«nm«g«r«p cã ®Ò cËp ®Õn nh÷ng n¨ng lùc to¸n häc, «ng cho r»ng: ®Ó n¾m v÷ng to¸n häc mét c¸ch cã kÕt qu¶ ë møc ®é cao th× ®ßi hái cÇn cã nh÷ng n¨ng lùc to¸n häc ®îc ph¸t triÓn, n¨ng lùc nµy mang ý nghÜa s¸ng t¹o khoa häc. Còng theo A.N.K«nm«g«r«p, thµnh phÇn c¬ b¶n cña n¨ng lùc to¸n häc gåm cã: - N¨ng lùc biÕn ®æi khÐo lÐo nh÷ng biÓu thøc ch÷ phøc t¹p, n¨ng lùc t×m ra con ® êng gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng theo quy t¾c chuÈn, n¨ng lùc tÝnh to¸n. - TrÝ tëng tîng h×nh häc hay lµ trùc gi¸c h×nh häc. - NghÖ thuËt suy luËn l«gic theo c¸c bíc ®· ®îc ph©n chia mét c¸ch ®óng ®¾n kÕ tiÕp nhau, nguyªn t¾c quy n¹p to¸n häc lµ tiªu chuÈn tèt cho sù trëng thµnh l«gic hoµn toµn cÇn thiÕt ®èi víi nhµ to¸n häc. Theo quan ®iÓm t©m lý häc, trong mçi con ngêi ®Òu tiÒm tµng mét n¨ng khiÕu, mét tµi n¨ng, tÊt nhiªn ë møc ®é kh¸c nhau. §ã lµ mét kÕt luËn quan träng. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n, ngêi thÇy cÇn cã nh÷ng biÖn ph¸p ph¸t hiÖn nh÷ng n¨ng khiÕu to¸n häc ë häc trß, tõ ®ã chóng ta cã thÓ t¹o ra m«i trêng vµ tæ chøc c¸c ho¹t ®éng thÝch hîp gióp c¸c em ph¸t triÓn n¨ng lùc ®ã. 1. 2. 3. Ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho häc sinh trong nhµ trêng phæ th«ng Ngµy nay, khi khoa häc vµ c«ng nghÖ cã nh÷ng bíc ph¸t triÓn m¹nh mÏ, trë thµnh lùc lîng s¶n xuÊt trùc tiÕp trong nÒn kinh tÕ tri thøc th× môc tiªu gi¸o dôc nãi chung vµ nhiÖm vô ph¸t triÓn TDST cho thÕ hÖ trÎ nãi riªng cã vai trß ®Æc biÖt quan träng. Sø mÖnh cña nhµ trêng hiÖn ®¹i lµ ph¸t triÓn tèi u nh©n c¸ch cña HS, trong ®ã n¨ng lùc s¸ng t¹o cÇn ®îc båi dìng ®Ó thóc ®Èy mäi tµi n¨ng. M«n to¸n víi vÞ trÝ cña nã trong nhµ trêng phæ th«ng, theo t¸c gi¶ Hoµng Chóng, cã kh¶ n¨ng to lín gióp HS ph¸t triÓn c¸c n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ, rÌn luyÖn t duy chÝnh x¸c, hîp l«gic, ph¬ng ph¸p khoa häc trong suy nghÜ, trong lËp luËn, trong häc tËp vµ gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò: biÕt quan s¸t, thÝ nghiÖm, mß mÉm, dù ®o¸n, dïng t¬ng tù, quy n¹p, chøng minh…vµ qua ®ã, cã t¸c dông lín rÌn luyÖn cho häc sinh trÝ th«ng minh s¸ng t¹o. Ph¸t triÓn TDST to¸n häc n»m trong viÖc ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung, mét néi dung quan träng cña môc ®Ých d¹y häc m«n to¸n. Môc ®Ých ®ã cÇn ®îc thùc hiÖn cã ý thøc, cã hÖ thèng, cã kÕ ho¹ch chø kh«ng ph¶i tù ph¸t. VÒ phÝa ng êi GV, trong ho¹t ®éng d¹y häc to¸n cÇn v¹ch ra nh÷ng biÖn ph¸p cô thÓ vµ thùc hiÖn ®Çy ®ñ mét sè mÆt sau ®©y: - RÌn luyÖn t duy l«gic vµ ng«n ng÷ chÝnh x¸c - Ph¸t triÓn kh¶ n¨ng suy ®o¸n vµ tëng tîng 9 - RÌn luyÖn c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ c¬ b¶n, c¸c thao t¸c t duy nh: ph©n tÝch, tæng hîp, ®Æc biÖt hãa, kh¸i qu¸t hãa, trõu tîng hãa - H×nh thµnh, rÌn luyÖn nh÷ng phÈm chÊt trÝ tuÖ nh: tÝnh linh ho¹t, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o trong t duy Bªn c¹nh ®ã ngêi GV ph¶i ¸p dông nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc, khoa häc vµ hîp lý, mang l¹i cho HS cña m×nh sù say mª m«n to¸n, t×m thÊy trong to¸n niÒm vui lín khi ®îc häc tËp, qua ®ã gi¸o dôc c¸c em nh÷ng phÈm chÊt ®¹o ®øc tèt ®Ñp kh¸c. Mét ®iÒu quan träng n÷a, cã thÓ nãi trong d¹y häc s¸ng t¹o (thùc ra c¶ ho¹t ®éng d¹y häc nãi chung) vai trß cña ngêi thÇy lµ hÕt søc quan träng. §Ó trë thµnh mét GV d¹y giái, ngoµi lßng t©m huyÕt, ngoµi sù nç lùc häc tËp kh«ng ngõng th× ngêi thÇy gi¸o cÇn cã vµ cÇn biÕt d¹y cho häc trß c¸ch t duy s¸ng t¹o. Bëi v×, nãi nh GS NguyÔn C¶nh Toµn trong mét cuèn s¸ch vÒ d¹y c¸ch häc: Kh«ng ai cã thÓ ®i d¹y cho ngêi kh¸c c¸i mµ b¶n th©n m×nh cha cã, ngêi thÇy kh«ng nh÷ng lu«n tù nghiªn cøu khoa häc mµ cßn ph¶i lµ ngêi thiÕt kÕ vµ thi c«ng ®îc ãc th«ng minh s¸ng t¹o ë häc trß, do ®ã mçi ngêi thÇy gi¸o ph¶i lµ mét nhµ khoa häc ch©n chÝnh. Ch¬ng II : Ph¸t triÓn T duy s¸ng t¹o to¸n häc cho häc sinh giái ë trêng THPT Qua chñ ®Ò bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng 2.1. Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o to¸n häc cho häc sinh giái bËc THPT qua néi dung gi¶i bµi tËp bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng Trong ch¬ng tríc chóng ta ®· nghiªn cøu c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn cña vÊn ®Ò TDST, cã thÓ nãi båi dìng TDST cho HS lµ mét qu¸ tr×nh liªn tôc, mÊt nhiÒu c«ng søc, tr¶i qua nhiÒu giai ®o¹n víi nh÷ng møc ®é kh¸c nhau. §iÒu quan träng nhÊt trong d¹y häc s¸ng t¹o lµ ph¶i gi¶i phãng ho¹t ®éng t duy cña HS b»ng c¸ch cho c¸c em tù ho¹t ®éng, tù kh¸m ph¸ t×m tßi, ph¶i kÕt hîp tèt ho¹t ®éng häc tËp vµ ho¹t ®éng nhËn thøc. Bªn c¹nh viÖc n©ng dÇn tÝnh tÝch cùc theo møc ®é tõ thÊp ®Õn cao: tÝnh cùc ®éng n·o, ®éc lËp suy nghÜ ®Õn tÝnh cùc s¸ng t¹o, ngêi thÇy cÇn rÌn luyÖn häc trß n©ng dÇn c¸c ho¹t ®éng tõ dÔ ®Õn khã: theo dâi c¸ch chøng minh, ®Õn ho¹t ®éng mß mÉm dù ®o¸n 10 kÕt qu¶ vµ cuèi cïng tù lùc chøng minh. ViÖc dù ®o¸n, mß mÉm kÕt qu¶ kh«ng chØ tËp cho HS phong c¸ch nghiªn cøu khoa häc, tËp c¸c thao t¸c t duy tiÒn l«gic cÇn thiÕt, mµ cßn lµ biÖn ph¸p quan träng nh»m n©ng cao tÝnh tÝch cùc cña HS. Khi tù ®a ra dù ®o¸n, HS sÏ hµo høng vµ cã tr¸ch nhiÖm h¬n trong qu¸ tr×nh t×m tßi lêi gi¶i cho chÝnh kÕt qu¶ dù ®o¸n cña m×nh. §Ó båi dìng, ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS, cã thÓ tiÕn hµnh theo c¸c ph¬ng híng sau: 2.1.1. RÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i to¸n theo c¸c thµnh phÇn c¬ b¶n cña TDST a/ TÝnh mÒm dÎo: Mét sè nhµ nghiªn cøu (NguyÔn B¸ Kim, V¬ng D¬ng Minh, T«n Th©n) cho r»ng tÝnh mÒm dÎo cña t duy cã c¸c ®Æc trng næi bËt nh sau: - DÔ dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c, vËn dông linh ho¹t c¸c ho¹t ®éng ph©n tÝch, tæng hîp, so s¸nh, trõu tîng ho¸, kh¸i qu¸t ho¸, cô thÓ ho¸ vµ c¸c ph¬ng ph¸p suy luËn nh quy n¹p, suy diÔn t¬ng tù; dÔ dµng chuyÓn tõ gi¶i ph¸p nµy sang gi¶i ph¸p kh¸c; ®iÒu chØnh kÞp thêi híng suy nghÜ nÕu gÆp trë ng¹i. - Suy nghÜ kh«ng dËp khu«n, kh«ng ¸p dông mét c¸ch m¸y mãc nh÷ng kinh nghiÖm, kiÕn thøc, kü n¨ng ®· cã vµo trong hoµn c¶nh míi, ®iÒu kiÖn míi trong ®ã cã nh÷ng yÕu tè ®· thay ®æi; cã kh¶ n¨ng tho¸t khái ¶nh hëng k×m h·m cña nh÷ng kinh nghiÖm, nh÷ng ph¬ng ph¸p, nh÷ng suy nghÜ ®· cã tõ tríc. - NhËn ra vÊn ®Ò míi trong ®iÒu kiÖn quen thuéc, nh×n thÊy chøc n¨ng míi cña ®èi tîng quen biÕt. XÐt mét vÝ dô: Cho  ABC cã AB < AC. §iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC, trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D tuú ý. CMR: DC < BD. Kh«ng theo sù suy nghÜ th«ng thêng lµ xÐt tam gi¸c BCD råi ®¸nh gi¸ c¸c gãc �CBD, �BCD häc sinh cã thÓ nh×n nhËn vÊn ®Ò mét c¸ch mÒm dÎo theo híng kh¸c nh sau: Do AB < AC � �AMB  �AMC . � �BMD  �CMD Sö dông ®iÒu nµy trong c¸c BMD, CMD ( Hai tam gi¸c cã hai cÆp c¹nh b»ng nhau) � BD  CD (®pcm). b/ TÝnh nhuÇn nhuyÔn: §îc thÓ hiÖn ®îc thÓ hiÖn râ nÐt ë hai ®Æc trng nh sau: 11 - TÝnh ®a d¹ng cña c¸c c¸ch xö lý khi gi¶i to¸n: kh¶ n¨ng t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau. §øng tríc mét vÊn ®Ò khi gi¶i quyÕt, ngêi cã t duy nhuÇn nhuyÔn nhanh chãng t×m vµ ®Ò xuÊt nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau vµ tõ ®ã ®a ra ®îc ph¬ng ¸n tèi u. - Kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau; cã mét c¸i nh×n sinh ®éng tõ nhiÒu phÝa ®èi víi sù vËt vµ hiÖn tîng chø kh«ng ph¶i c¸i nh×n bÊt biÕn, phiÕn diÖn cøng nh¾c. VÝ dô: Cho  ABC , kÎ c¸c ®êng cao BE , CF. So s¸nh BE vµ CF Lêi gi¶i: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch  ABC BE.AC = CF.AB = 2dt(ABC )  BE AB  CF AC . XÐt ba trêng hîp cã thÓ x¶y ra: + NÕu AB = AC hiÓn nhiªn khi ®ã BE = CF + AB < AC  AB 1 AC  BE AB  1 � CF AC BE < CF. + AB > AC chøng minh t¬ng tù còng cã ®îc BE > CF. Cã thÓ gi¶i BT cho HS líp 7 nh sau: NÕu AB = AC ta cã ngay ®pcm. Gi¶ sö AB < AC , trªn AC lÊy ®iÓm D sao cho : AB = AD �  ABD c©n ë A. KÎ DK  AB ( K AB )  AKD AEB (c  g  c )  KD BE Do ®iÓm D n»m gi÷a A , C vµ DK//CF � KD < CF hay lµ BE < CF. Trêng hîp AB > AC , chøng minh t¬ng tù sÏ cã: BE > CF. c/ TÝnh ®éc ®¸o: TÝnh ®éc ®¸o cña t duy ®îc ®Æc trng bëi c¸c kh¶ n¨ng : - Kh¶ n¨ng t×m ra nh÷ng liªn tëng vµ nh÷ng kÕt hîp míi. - Kh¶ n¨ng nh×n ra nh÷ng mèi liªn hÖ trong nh÷ng sù kiÖn bªn ngoµi tëng nh kh«ng cã liªn hÖ víi nhau. - Kh¶ n¨ng t×m ra gi¶i ph¸p l¹ tuy ®· biÕt nh÷ng ph¬ng ph¸p kh¸c. VÝ dô: Cho  ABC cã AB < AC, gäi BM vµ CN lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c. CMR: BM < CN . §©y lµ bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i, cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy b»ng c¸ch tÝnh 12 c¸c ®é dµi BM, CN theo ®é dµi ba c¹nh tam gi¸c råi sö dông gi¶ thiÕt ®· cho ®Ó chøng minh. Tuy nhiªn lêi gi¶i nµy t¬ng ®èi dµi, biÕn ®æi phøc t¹p. C¸ch gi¶i sau cho thÊy nÐt næi bËt cña nã: tÝnh ®éc ®¸o. Dùng b×nh hµnh BMIN, theo tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c: BN BC BN BC .T¬ng tù:  �  AN AC AB AC  BC CM BC  AC AC  BC , do AB < AC BC BC CM BN    AB  BC AC  BC AC AB CM AC    1  CM  BN MI BN AB  VËy trong  IMC ta cã  I 2  C 3 ( 1) . Còng v× : AB < AC � �C  �B � I1  �B2  �B �C   �C2 (2) 2 2 Tõ (1) & (2) Suy ra :  I 1   I 2   C 2  C 3 �  NIC  ICN Khi ®ã trong  NIC  CN > IN = BM (®pcm) C¸c yÕu tè c¬ b¶n nãi trªn kh«ng t¸ch rêi nhau mµ tr¸i l¹i, chóng quan hÖ mËt thiÕt víi nhau, hç trî bæ sung cho nhau. Kh¶ n¨ng dÔ dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c (tÝnh mÒm dÎo) t¹o ®iÒu kiÖn cho viÖc t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau (tÝnh nhuÇn nhuyÔn) vµ nhê ®Ò xuÊt nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau mµ cã thÓ t×m ®îc nh÷ng ph¬ng ¸n l¹, ®Æc s¾c (tÝnh ®éc ®¸o). C¸c yÕu tè c¬ b¶n nµy l¹i cã quan hÖ kh¨ng khÝt víi c¸c yÕu tè kh¸c nh: tÝnh chÝnh x¸c, tÝnh hoµn thiÖn, tÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò…TÊt c¶ c¸c yÕu tè ®Æc trng nãi trªn cïng gãp phÇn t¹o nªn t duy s¸ng t¹o, ®Ønh cao nhÊt trong c¸c ho¹ Ho¹t ®éng gi¶i to¸n lµ mét d¹ng ho¹t ®éng chñ yÕu gióp rÌn luyÖn TDST to¸n häc cho HS, mçi d¹ng bµi tËp ®Òu cã t¸c dông nhÊt ®Þnh ®èi víi tõng thµnh phÇn c¬ b¶n cña TDST. Cã thÓ biÓu diÔn s¬ ®å t¸c ®éng ®ã nh sau: BT cã nhiÒu c¸ch gi¶i 13 TÝnh mÒm dÎo BT cã néi dung biÕn ®æi TÝnh nhuÇn nhuyÔn BT cã nhiÒu kÕt qu¶ TÝnh ®éc ®¸o BT vui TÝnh nh¹y c¶m BT cã tÝnh ®Æc thï TÝnh hoµn thiÖn BT më TÝnh chÝnh x¸c BT thuËn nghÞch TDST BT kh«ng theo mÉu 2.1.2. RÌn luyÖn c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ C¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ trong m«n to¸n cã thÓ kÓ ®Õn nh: dù ®o¸n, b¸c bá, lËt ngîc vÊn ®Ò, c¸c thao t¸c t duy to¸n häc…RÌn luyÖn cho HS nh÷ng ho¹t ®éng ®ã lµ kh©u quan träng nhÊt trong d¹y häc s¸ng t¹o. Ta xÐt mét bµi to¸n b®t trong h×nh häc líp 7 lµm vÝ dô : BT: Cho ®iÓm M bÊt kú n»m trong  ABC. CMR: MB + MC < AB + AC §Ó gi¶i bµi to¸n nµy, tríc hÕt cÇn t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®o¹n th¼ng MB, MC víi AB, AC . KÐo dµi BM c¾t AC ë ®iÓm I nh h×nh vÏ. Sö dông b®t tam gi¸c trong c¸c MIC , ABI Ta cã: MC < MI + IC  MB + MC < MB + MI + IC  MB + MC < IB + IC Trong  ABI : BI < AB + AI � MB + MC < AB + AI + IC � MB + MC < AB + AC (®pcm) §©y lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n trong SGK To¸n7, chØ cÇn sö dông hîp lý b®t tam gi¸c, sÏ cã lêi gi¶i ng¾n gän. Trong  MBC th× cã : BC < MB + MC C©u hái ®Æt ra mang tÝnh chÊt dù ®o¸n t×m tßi lµ: quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè MA, MB, MC nh thÕ nµo? Thö thay ®æi gi¶ thiÕt bµi to¸n ban ®Çu mét chót, gi¶ sö  ABC víi AB  AC  BC . Khi ®ã  C B A . Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi tam gi¸c : 14  ABM   AMI ,  CBM   CMI   ABC   AMC   MCA   BCA   CBA  AMC  MA  AC BC  MA  MB  MC Vµ bµi to¸n sau ®©y ®· ®îc gi¶i: BT1: Cho  ABC cã BC lµ c¹nh lín nhÊt, ®iÓm M n»m trong tam gi¸c. CMR: MA < MB + MC Víi híng gi¶i t¬ng tù ta còng cã: BT2: Cho ®iÓm M trong  ABC ®Òu. CMR: MA, MB, MC lËp thµnh ®é dµi ba c¹nh mét tam gi¸c. Trë l¹i vÝ dô ban ®Çu : MB + MC < AB + AC Còng nh vËy: MA + MB < CA + CB vµ MA + MC < BA + BC  MA + MB + MC < AB + AC + BC Tõ ®ã suy ra bµi to¸n tiÕp theo: BT3: Cho ®iÓm M trong  ABC. CMR: MA + MB + MC < AB + AC + BC §©y lµ b®t kh¸ quen thuéc. VÊn ®Ò ®Æt ra: nÕu xÐt ®iÓm M trong vai trß mét ®iÓm ®Æc biÖt nµo ®ã, trùc t©m tam gi¸c ch¼ng h¹n (gi¶ thiÕt tam gi¸c nhän) th× sao? Khi ®ã kÎ HE//AC , HF//AB. (víi E, F thø tù thuéc AB, AC )  AHF HAE ( g  c  g )  AE HF  HA  AF  HF  AF  AE Do : HF // AB, CN  AB  CN  HF  CHF 90 0  HC  CF T¬ng tù: HB < BE � HA + HB + HC < AB + AC . Nh thÕ chóng ta ®· chøng minh ®îc: BT4: Cho  ABC nhän víi BC lµ c¹nh lµ lín nhÊt, gäi ®iÓm H lµ trùc t©m tam gi¸c. CMR: HA + HB + HC < AB + AC Bµi to¸n nµy cho thÊy dêng nh sù ®¸nh gi¸ trong bµi 3 cha tèt, vËy tæng qu¸t cña nã nh thÕ nµo ? KÕt qu¶ sau ®©y lµ c©u tr¶ lêi. BT5: Cho ®iÓm M trong  ABC, gi¶ sö AB  AC BC CMR: MA + MB + MC < AC + BC Lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n: AB  AC BC suy ra:  C  B A Qua M kÎ c¸c ®êng th¼ng QE//AB, RF//AC , SP//BC NhËn thÊy trong  MEF, ta cã:  F  C ,  M  A   F M  ME EF (1) T¬ng tù trong  MPQ: MQ  PQ (2) . MÆt kh¸c MP//CF, MF//PC 15  MFC CPM ( g  c  g )  MP CF (3) Tõ (1), (2)&(3) sö dông b®t tam gi¸c: MA + MB + MC < (AQ + QM ) + ( BE + ME ) + (PC + PM ) �( AQ + PQ ) + ( BE + EF ) + (CP + CF ) = AC + BC  MA + MB + MC < AC + BC (®pcm). KÕt qu¶ kh«ng thay ®æi khi M n»m trªn c¹nh cña  ABC. Bµi to¸n 5 lµ tæng qu¸t thùc sù cña bµi to¸n 3, cã thÓ nhËn thÊy lêi gi¶i trªn t¬ng ®èi khã nhng kh«ng kÐm phÇn thó vÞ vµ khi gi¶i chØ cÇn kiÕn thøc c¬ së trong SGK. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n ë trêng phæ th«ng, c¸c thao t¸c t duy nh trªn trë thµnh mét ph¬ng ph¸p t duy c¬ b¶n trong s¸ng t¹o to¸n häc, lµ yÕu tè quan träng gióp HS h×nh thµnh, n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c tri thøc lý thuyÕt, vËn dông ®Ó gi¶i bµi to¸n, mß mÉm dù ®o¸n kÕt qu¶, t×m ra ph¬ng híng cho lêi gi¶i bµi to¸n. MÆt kh¸c c¸c thao t¸c t duy cßn gióp HS ®µo s©u, më réng vµ hÖ thèng ho¸ kiÕn thøc, gióp c¸c em lµm quen dÇn víi nghiªn cøu, s¸ng t¹o to¸n häc. Vµ nh vËy c¸c thao t¸c t duy to¸n häc ®ãng vai trß quan träng trong viÖc h×nh thµnh, båi dìng nh÷ng phÈm chÊt trÝ tuÖ cho HS. 2.1.3. T×m nhiÒu lêi gi¶i cho mét bµi to¸n Sau khi gi¶i ®îc bµi to¸n, mét bíc quan träng tiÕp theo lµ t×m thªm nh÷ng lêi gi¶i kh¸c, ®iÒu ®ã gióp HS båi dìng n¨ng lùc t×m nhiÒu gi¶i ph¸p cho mét vÊn ®Ò, nh×n nhËn vÊn ®Ò díi nhiÒu gãc c¹nh kh¸c nhau. VÒ ph¬ng diÖn gi¶i to¸n, chóng t«i nghÜ r»ng: n¨ng lùc trªn gióp Ých rÊt nhiÒu cho viÖc rÌn luyÖn HS kü n¨ng thùc hµnh gi¶i to¸n. Cô thÓ: - RÌn luyÖn kh¶ n¨ng ph©n tÝch bµi to¸n - RÌn luyÖn kh¶ n¨ng ®Þnh híng vµ x¸c ®Þnh ®êng lèi gi¶i - RÌn luyÖn kh¶ n¨ng chän lùa ph¬ng ph¸p vµ c«ng cô gi¶i - RÌn luyÖn kh¶ n¨ng kiÓm tra bµi gi¶i - RÌn luyÖn kh¶ n¨ng t×m c¸c bµi to¸n, c¸c kiÕn thøc liªn quan XÐt mét vÝ dô: Trong  ABC, gäi r, R thø tù lµ b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn néi tiÕp vµ ngo¹i tiÕp tam gi¸c. CMR: R  2r Cã thÓ ®i theo nh÷ng híng gi¶i quyÕt nh sau: C¸ch 1: XÐt hai trêng hîp +  ABC kh«ng cã gãc tï. KÎ AH  BC , OK  BC (H, K  BC ) Víi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp. Khi ®ã : OA + OK  AH 16  BC.OA  BC.OK BC. AH 2dt ( ABC )  BC.R  2dt ( BOC ) 2dt ( ABC )  BC.R 2dt ( ABC )  2dt ( BOC ) Víi hai b®t t¬ng tù n÷a ta ®îc: R( BC + AB + AC )  6dt(ABC )-2(dt(BOC) + dt(BOA) + dt(AOC )) = 4dt(ABC ) = 2r(AB + AC + BC ) Suy ra: R  2r (®pcm). §¼ng thøc x¶y ra khi O trïng víi trùc t©m  ABC   ABC ®Òu. + NÕu  ABC tï, chøng minh t¬ng tù víi chó ý ®iÓm O n»m ngoµi  ABC sÏ cã : R > 2r. §¼ng thøc kh«ng x¶y ra trong trêng hîp nµy. C¸ch 2: Sö dông c¸c c«ng thøc vÒ diÖn tÝch (ký hiÖu a, b, c thø tù lµ ®é dµi ba c¹nh BC, AC, AB cña tam gi¸c ) S = pr = abc/4R = p( p  a)( p  b)( p  c) Ta ®· biÕt : 8(p-a)(p-b)(p-c)  abc ۣۣۣ 8S 2 p 2 pr 4 RS 2S pR ۣۣۣ pR 2r R §¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c . Tøc lµ  ABC ®Òu. C¸ch 3: Tríc hÕt ta chøng minh hÖ thøc Euler trong tam gi¸c nh sau: OI 2 R 2  2rR (I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp  ABC ) Chøng minh: C¸c tia AI, CI c¾t (O,R) t¹i Dvµ E , ®êng th¼ng DO c¾t BC t¹i K vµ c¾t (O,R) ë F. DÔ dµng nhËn thÊy  DIC DCI Suy ra  IDC c©n t¹i D  ID = CD. KÎ IH  OD (H thuéc OD ). Sö dông §L Pitago trong  IDO ta cã OI 2 DI 2  DO 2  2 DO.DH = R 2  DC 2  2 R.DH MÆt kh¸c OD  BC nªn trong  DCF : DC 2 DK .DF 2 R.DK . VËy OI 2 R 2  2 R ( DH  DK ) R 2  2rR Tõ ®ã suy ra : R 2  2rR 0  R 2r §¼ng thøc x¶y ra khi O trïng I, tøc lµ  ABC ®Òu. C¸ch 4: Cã thÓ chøng minh bµi to¸n b»ng viÖc ¸p dông hai bµi to¸n thµnh phÇn (xÐt trong phÇn sau) sau ®©y: 17 BT1: Cho  ABC víi c¸c ®êng cao AN, BE, CF . CMR: AN + BE + CF 9r BT2: ( BÊt ®¼ng thøc ECDOS trong tam gi¸c) Cho ®iÓm M trong  ABC , gäi P, Q, R thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M xuèng c¹nh BC , AB, AC cña tam gi¸c. CMR: MA + MB + MC  2(MP + MQ + MR) ThËy vËy, ta cã: MA + MP  AN , MB + MR  BE vµ MC + MQ  CF Suy ra : 9r  AN + BE + CF  (MA + MB + MC ) + ( MP + MQ + MR )  3/2( MA + MB + MC )  6r  MA + MB + MC Chän M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp  ABC nhän, ta cã ®pcm. Bèn lêi gi¶i cña bµi to¸n nµy (ch¾c ch¾n cha ph¶i ®· hÕt) cho thÊy mét ®iÒu: kh«ng nªn dõng l¹i sau lêi gi¶i ®Çu tiªn cho dï ®ã lµ lêi gi¶i hay nhÊt. NÕu biÕt c¸ch nh×n nhËn, c¸ch ph©n tÝch bµi to¸n díi mäi gãc ®é, mäi khÝa c¹nh th× cã thÓ thu ®îc nhiÒu lêi gi¶i kh¸c nhau. C¸ch gi¶i thø nhÊt mang d¸ng dÊp cña ph¬ng ph¸p diÖn tÝch , c¸ch gi¶i thø hai sö dông biÕn ®æi t¬ng ®¬ng víi sù hç trî cña c¸c c«ng thøc diÖn tÝch, c¸ch gi¶i thø ba vµ thø t sö dông nh÷ng kiÕn thøc kh¸ s©u s¾c cña to¸n häc phæ th«ng (hÖ thøc Euler, b®t Ecdos). §Ó cã ®îc c¸c lêi gi¶i ®ã lµ do chóng ta ®· khai th¸c ®îc c¸i riªng nhiÒu vÎ cña bµi to¸n céng víi sù t×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n. 2.1.4. VÊn ®Ò s¸ng t¹o bµi to¸n míi Trong t¸c phÈm “Gi¶i bµi to¸n nh thÕ nµo”, nhµ s ph¹m lín G.Polya ®· viÕt: “C¸ch gi¶i nµy ®óng thËt, nhng lµm nh thÕ nµo ®Ó nghÜ ra mét c¸ch gi¶i kh¸c? Sù kiÖn nµy ®· ®îc kiÓm nghiÖm, nhng lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t hiÖn ra nh÷ng sù kiÖn nh vËy? Vµ lµm thÕ nµo ®Ó tù m×nh ph¸t hiÖn ra ®îc?” Quan ®iÓm nµy cña G.P«lya muèn nhÊn m¹nh ý nghÜa cña viÖc d¹y cho HS biÕt tù t×m tßi lêi gi¶i, tù ph¸t hiÖn nh÷ng kÕt qu¶ míi. S¸ng t¹o bµi to¸n míi lµ mét bíc quan träng cña qu¸ tr×nh gi¶i to¸n, mét ph¬ng thøc rÌn luyÖn TDST to¸n häc, mét trong c¸c môc tiªu chÝnh cña häc tËp s¸ng t¹o. §Ó x©y dùng c¸c bµi to¸n míi, cã thÓ híng dÉn HS ®i theo nh÷ng con ®êng sau ®©y: a/ XuÊt ph¸t tõ c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tiªn ®Ò vÒ nh÷ng ®èi tîng to¸n häc ®îc ®Æt trong mèi quan hÖ to¸n häc nµo ®ã. VÝ dô: Trong tam gi¸c, nÕu b¾t ®Çu tõ kh¸i niÖm gãc, gi¶ sö mèi quan hÖ gi÷a hai gãc lµ “kh¸c nhau”, th× kÐo theo mèi quan hÖ gi÷a hai c¹nh ®èi diÖn còng “kh¸c nhau” Cô thÓ, ch¼ng h¹n ta cã bµi to¸n: BT : Cho  ABC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  A  B khi ®ã CMR : BC < AC . 18  b/ XuÊt ph¸t tõ nh÷ng ®Þnh lý, tÝnh chÊt, bµi to¸n ®· biÕt, theo híng nµy ®Ó x©y dùng nªn c¸c bµi to¸n míi, cã thÓ b»ng nh÷ng c¸ch sau: - Sö dông c¸c thao t¸c t duy nh: t¬ng tù, ®Æc biÖt ho¸, kh¸i qu¸t ho¸… ®Ó ®i ®Õn bµi to¸n ®¶o, bµi to¸n t¬ng tù, ®Æc biÖt ho¸ hay tæng qu¸t ho¸. - Tõ bµi to¸n ®· gi¶i, b»ng nh÷ng “ suy luËn cã lý” suy ra c¸c bµi to¸n kh¸c ( Sù liªn quan cã thÓ ë nhiÒu møc ®é ). - Nghiªn cøu s©u b¶n chÊt cña bµi to¸n: ph©n tÝch nguån gèc c¸i ®· cho, c¸i cÇn t×m vµ nh÷ng mèi liªn hÖ gi÷a chóng, ®o¸n nhËn ®îc c¬ së sù h×nh thµnh nªn ®Ò to¸n…®Ó x©y dùng líp c¸c bµi to¸n cïng d¹ng. VÝ dô: XÐt bµi to¸n: Cho ®iÓm M trong  ABC . Gäi R a , Rb , Rc thø tù lµ ®é dµi c¸c ®o¹n MA, MB, MC vµ d a , d b , d c thø tù lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn c¹nh BC, AC, AB. CMR: aRa  bRb  cRc 2(ad a  bd b  cd c ) Lêi gi¶i : Gäi AH lµ ®êng cao  ABC , khi ®ã: 2dt ( ABC )  2dt ( BMC ) a 2dt ( AMC )  2dt ( AMB)  a bdb  cd c (*) aRa bdb cdc a T¬ng tù víi hai b®t n÷a, suy ra: aRa  bRb  cRc 2(ad a  bd b  cd c ) (®pcm) §¼ng thøc x¶y ra khi M trïng víi trùc t©m tam gi¸c. VÊn ®Ò ®Æt ra: tõ bµi to¸n nµy ta thu ®îc ®iÒu g× ? Nghiªn cøu kü lêi gi¶i, nhËn thÊy nÕu lÊy ®èi xøng ®iÓm M qua ph©n gi¸c gãc A th× ®îc b®t míi rÊt gièng víi b®t (*) trªn ®©y nhng b¶n chÊt th× kh¸c h¼n. Ra �AH  d a  Ra  bd c  cd b a (1). Víi hai b®t t¬ng tù n÷a vµ ¸p dông b®t Cauchy cã: b c a c a b Ra  Rb  Rc �d a (  )  db (  )  d c (  ) �2( d a  db  d c ) c b c a b a VËy : Ra  Rb  Rc 2(d a  d b  d c ) (E). Còng theo trªn : aR a bd b  cd c , bRb cd c  ad b , cRc ad a  bd b Suy ra: 19 abcR a Rb Rc (bd b  cd c )(cd c  ad a )(ad a  bd b ) 8 bcd b d c acd a d c abd a d b 8abcd a d b d c (2)  Ra Rb Rc 8d a d b d c TiÕp tôc ¸p dông b®t (E) : Ra  Rb  Rc 2(d a  d b  d c ) ta cã: ( R a  Rb  Rc )(1 / d a  1 / d b  1 / d c ) 2(d a  d b  d c )(1 / d a  1 / d b  1 / d c ) 18 d a d b d c 1 /( d a d b d c ) 18 VËy: ( Ra  Rb  Rc )(1 / d a  1 / d b  1 / d c ) 18 (3) MÆt kh¸c tõ ®¼ng thøc diÖn tÝch: 2S = ad a  bd b  cd c  2 S 33 abcd a d b d c  8S 3 27abcd a d b d c 27.(4 RS )d a d b d c 2S 2 Hay lµ: d a db d c � (4) 27 R Cã thÓ khai th¸c ®¼ng thøc : 2S = ad a  bd b  cd c theo híng kh¸c nh sau: NÕu gäi ha , hb , hc lµ ®é dµi c¸c ®êng cao øng víi c¹nh a, b, c cña  ABC thÕ th×: min(a, b, c).( d a  db  d )  2S max( a, b, c ) .( d a  d b  d c ) (5) � min( ha , hb , hc )  d a  d b  d c  max( ha , hb , hc ) Trë l¹i b®t (1), tõ ®©y ta cã: aRa / d a bd c / d a  cd b / d a Víi hai b®t t¬ng tù n÷a, råi sö dông b®t Cauchy ®i ®Õn: aRa bRb cRc   2(a  b  c) da db dc (6) Tõ lêi gi¶i bµi to¸n ban ®Çu suy ra : a  bd b  cd c Ra Víi hai b®t t¬ng tù n÷a, qua vµi biÕn ®æi l¹i cã: a + b + c 4( ad a bd b cd c   ) Rb  R c R a  R c R a  R b (7) Qu¸ tr×nh suy luËn cø tiÕp tôc nh vËy, chóng ta sÏ thu ®îc rÊt nhiÒu bµi to¸n míi, b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n xuÊt ph¸t. Trë l¹i víi b®t (E), b»ng c«ng cô diÖn tÝch ta ®îc mét c¸ch chøng minh ng¾n gän vµ ®éc ®¸o. Cã thÓ nãi ®©y lµ mét b®t hay trong tam gi¸c, tõ b®t nµy suy ra ®îc nhiÒu kÕt qu¶ thó vÞ, vÝ dô nh nh÷ng bµi to¸n sau ®©y. Bµi 1:Cho ®iÓm M trong  ABC , gäi r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c. CMR: MA + MB + MC  6r 20
- Xem thêm -