më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
Ngµy nay, ë ViÖt Nam còng nh trªn thÕ giíi, gi¸o dôc ®îc coi lµ quèc s¸ch hµng
®Çu, lµ ®éng lùc cña sù ph¸t triÓn kinh tÕ-x· héi. Víi sø mÖnh lµm gia t¨ng gi¸ trÞ con
ngêi, môc tiªu c¬ b¶n cña gi¸o dôc ph¶i ®µo t¹o ra nh÷ng con ngêi ph¸t triÓn toµn diÖn
vÒ mäi mÆt, kh«ng nh÷ng cã kiÕn thøc mµ cßn giµu n¨ng lùc trÝ tuÖ. Trong hoµn c¶nh
®ã, viÖc rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o (TDST) cho häc sinh ë c¸c nhµ trêng
phæ th«ng ®èi víi nh÷ng ngêi lµm c«ng t¸c gi¸o dôc cã mét vÞ trÝ hÕt søc quan träng.
Thùc hiÖn NghÞ quyÕt Trung ¬ng II kho¸ VIII cña §¶ng, chóng ta c¬ b¶n ®· xo¸
bá lo¹i h×nh trêng chuyªn, líp chän ë bËc häc THPT nh»m h¹n chÕ nh÷ng mÆt tr¸i cña
viÖc häc thi, häc lÖch. Tuy nhiªn kh«ng v× thÕ mµ c«ng t¸c båi dìng HS giái bÞ xem
nhÑ, ngîc l¹i nã cµng ph¶i ®îc quan t©m vµ thùc hiÖn ®óng møc, bëi HS giái lµ thÕ hÖ
nh©n tµi t¬ng lai cña ®Êt níc. VËy lµm thÕ nµo ®Ó båi dìng, ph¸t triÓn n¨ng lùc s¸ng
t¹o cho nh÷ng HS kh¸ giái, ®¸p øng ®îc môc tiªu cña gi¸o dôc phæ th«ng? C©u hái ®ã
lu«n mang tÝnh cÊp thiÕt vµ kh«ng hÒ ®¬n gi¶n.
VÊn ®Ò d¹y häc to¸n trong trêng phæ th«ng hiÖn nay nãi chung tuy ®· cã ®æi míi
vÒ ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y còng nh néi dung ch¬ng tr×nh nhng vÉn cßn tån t¹i nhiÒu n¬i
ph¬ng ph¸p d¹y häc cò, thiÕu tÝnh tÝch cùc tõ phÝa ngêi häc, thiªn vÒ d¹y, yÕu vÒ häc,
kh«ng kiÓm so¸t ®îc viÖc häc...Vµ nh vËy cha ®¸p øng ®îc yªu cÇu ®èi víi sù nghiÖp
GD & §T trong c«ng cuéc ®æi míi ®Êt níc, nhÊt lµ viÖc quan t©m rÌn luyÖn, ph¸t triÓn
n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o, båi dìng nh©n tµi ë nhµ trêng phæ th«ng.
Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc (b®t) h×nh häc ph¼ng lµ bµi to¸n c¬ b¶n vµ thêng gÆp trong
hÖ thèng bµi tËp to¸n thuéc ch¬ng tr×nh THPT. §©y lµ d¹ng bµi tËp khã, ®ßi hái häc
sinh ph¶i cã n¨ng lùc gi¶i to¸n nhÊt ®Þnh, sö dông c¸c kiÕn thøc to¸n häc réng kh¾p vµ
®Æc biÖt t duy gi¶i to¸n linh ho¹t s¸ng t¹o. Do ®ã d¹y häc chñ ®Ò nµy cã t¸c dông lín
trong viÖc båi dìng ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ cho häc sinh th«ng qua c¸c thao t¸c t
duy, ®ång thêi gióp häc sinh kh¾c s©u, tæng hîp, hÖ thèng hãa ®îc kiÕn thøc c¬ b¶n,
t¨ng cêng n¨ng lùc gi¶i to¸n. MÆc dï vËy trong SGK còng nh SBT h×nh häc, sè lîng
bµi tËp vÒ b®t h×nh häc ph¼ng kh«ng nhiÒu. Thùc tiÔn gi¶ng d¹y cho thÊy nhiÒu GV vµ
HS cßn Ýt quan t©m ®Õn thÓ lo¹i bµi tËp nµy.
Gãp phÇn x©y dùng mét sè biÖn ph¸p båi dìng HS giái bËc THPT vµ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n còng nh kh¾c phôc nh÷ng tån t¹i trªn ®©y, ®Ò tµi ®îc chän lµ:
“Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o to¸n häc cho häc sinh giái ë trêng THPT qua chñ ®Ò bÊt
®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng”.
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
1
Nghiªn cøu qu¸ tr×nh rÌn luyÖn, ph¸t triÓn TDST vÒ to¸n ë ®èi tîng häc sinh kh¸
giái bËc THPT. X©y dùng hÖ thèng bµi tËp vÒ b®t h×nh häc ph¼ng cïng c¸c ph¬ng ph¸p
gi¶i d¹ng to¸n nµy sö dông trong d¹y häc, gãp phÇn ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho häc
sinh.
3. NhiÖm vô nghiªn cøu
- Nghiªn cøu c¬ së lý luËn vÒ TDST, qu¸ tr×nh rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn lo¹i h×nh t duy
nµy ë häc sinh THPT.
- Nghiªn cøu c¸c phÈm chÊt, n¨ng lùc quan träng nhÊt cña häc sinh giái to¸n, vÊn ®Ò
n¨ng khiÕu to¸n häc.
- X©y dùng hÖ thèng bµi tËp vÒ b®t h×nh häc ph¼ng, híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i vµ
khai th¸c bµi to¸n, qua ®ã cñng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc, båi dìng ph¸t triÓn TDST cho
häc sinh trêng THPT.
- §a ra mét sè biÖn ph¸p s ph¹m nh»m thùc hiÖn môc ®Ých nghiªn cøu.
- Thùc nghiÖm s ph¹m qua c¸c biÖn ph¸p s ph¹m trong d¹y häc chñ ®Ò b®t h×nh häc
ph¼ng nh»m kiÓm tra tÝnh kh¶ thi, ®¸nh gi¸ hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi.
4. Gi¶ thuyÕt khoa häc
NÕu vËn dông lý luËn vÒ vÊn ®Ò TDST, cïng víi viÖc x©y dùng hÖ thèng
bµi tËp b®t h×nh häc ph¼ng sö dông trong qu¸ tr×nh d¹y häc chñ ®Ò nµy th× cã thÓ gãp
phÇn ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS giái ë trêng THPT.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn
- Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm s ph¹m
6. Ph¹m vi nghiªn cøu cña ®Ò tµi
Nghiªn cøu nh÷ng biÖn ph¸p ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS kh¸, giái ë trêng
THPT trªn c¬ së d¹y häc néi dung gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng.
2
Ch¬ng I: Ph¸t hiÖn vµ båi dìng häc sinh giái to¸n ë trêng
THPT
1.1. D¹y häc gi¶i bµi tËp ë nhµ trêng phæ th«ng
1.1.1. Vai trß cña viÖc gi¶i bµi tËp to¸n
Bµi tËp to¸n häc cã vai trß quan träng trong qu¸ tr×nh häc tËp m«n to¸n ë nhµ tr êng phæ th«ng. Gi¶i bµi tËp to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc, th«ng
qua viÖc gi¶i bµi tËp, HS ph¶i thùc hiÖn nhiÒu ho¹t ®éng nh: nhËn d¹ng, thÓ hiÖn c¸c
kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, quy t¾c - ph¬ng ph¸p, nh÷ng ho¹t ®éng phøc hîp,
nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ chung, nh÷ng ho¹t ®éng trÝ tuÖ phæ biÕn trong to¸n häc. Vai
trß cña bµi tËp to¸n thÓ hiÖn ë c¶ ba b×nh diÖn: môc ®Ých, néi dung vµ ph¬ng ph¸p cña
qu¸ tr×nh d¹y häc. Cô thÓ:
a/ VÒ mÆt môc ®Ých d¹y häc, bµi tËp to¸n thÓ hiÖn nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau híng
®Õn viÖc thùc hiÖn môc ®Ých d¹y häc m«n to¸n nh:
- H×nh thµnh, cñng cè tri thøc, kü n¨ng, kü x¶o, kü n¨ng øng dông to¸n häc ë nh÷ng
giai ®o¹n kh¸c nhau cña qu¸ tr×nh d¹y häc.
- Ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ tuÖ chung: rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t duy, h×nh thµnh c¸c phÈm
chÊt trÝ tuÖ.
- H×nh thµnh, båi dìng thÕ giíi quan duy vËt biÖn chøng còng nh nh÷ng phÈm chÊt
®¹o ®øc cña ngêi lao ®éng míi.
b/ VÒ mÆt néi dung d¹y häc: bµi tËp to¸n lµ mét ph¬ng tiÖn ®Ó cµi ®Æt néi dung díi
d¹ng tri thøc hoµn chØnh hay nh÷ng yÕu tè bæ sung cho tri thøc ®· häc ë phÇn lý
thuyÕt.
c/ VÒ mÆt ph¬ng ph¸p d¹y häc: bµi tËp to¸n lµ gi¸ mang nh÷ng ho¹t ®éng ®Ó HS kiÕn
t¹o nh÷ng néi dung nhÊt ®Þnh vµ trªn c¬ së ®ã thùc hiÖn c¸c môc ®Ých d¹y häc kh¸c.
Khai th¸c tèt bµi tËp nh vËy sÏ gãp phÇn tæ chøc cho HS häc tËp trong ho¹t ®éng vµ
b»ng ho¹t ®éng tù gi¸c, tÝch cùc, chñ ®éng s¸ng t¹o ®îc thùc hiÖn ®éc lËp hoÆc trong
giao lu.
Trong thùc tiÔn d¹y häc, bµi tËp ®îc sö dông víi nh÷ng dông ý kh¸c nhau
3
vÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc: ®¶m b¶o tr×nh ®é xuÊt xuÊt ph¸t , gîi ®éng c¬, lµm viÖc víi
néi dung míi, cñng cè hoÆc kiÓm tra…§Æc biÖt vÒ mÆt kiÓm tra, bµi tËp lµ ph¬ng tiÖn
kh«ng thÓ thay thÕ ®Ó ®¸nh gi¸ møc ®é tiÕp thu tri thøc, kh¶ n¨ng lµm viÖc ®éc lËp vµ
tr×nh ®é ph¸t triÓn t duy cña HS, còng nh hiÖu qu¶ gi¶ng d¹y cña GV.
Víi nh÷ng lý do ®· tr×nh bµy ë phÇn më ®Çu, t«i cho r»ng: thÓ lo¹i bµi tËp bÊt ®¼ng
thøc h×nh häc ph¼ng mang ®Çy ®ñ vai trß vµ ý nghÜa cña bµi tËp to¸n, viÖc rÌn luyÖn
kü n¨ng gi¶i d¹ng bµi tËp ®ã lµ mét c¬ héi tèt gãp phÇn båi dìng, ph¸t triÓn TDST
to¸n häc cho HS ngay tõ bËc THCS.
1.1.2. Ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp to¸n
Theo G.P«lya, ph¬ng ph¸p chung gi¶i mét bµi to¸n gåm c¸c bíc:
1. T×m hiÓu néi dung ®Ò bµi:
§Ó gi¶i ®îc mét bµi to¸n, tríc hÕt ph¶i hiÓu néi dung ®Ò bµi, ph¸t biÓu ®Ò bµi ë c¸c
d¹ng kh¸c nhau, ph©n tÝch kü c¸i ®· cho, c¸i cÇn t×m vµ mèi liªn hÖ gi÷a chóng. Nãi
chung ph¶i ph©n biÖt ®îc yÕu tè, quan hÖ b¶n chÊt gióp nhËn d¹ng ®îc bµi to¸n, cã thÓ
dïng c«ng thøc, ký hiÖu, h×nh vÏ ®Ó hç trî cho viÖc diÔn t¶ ®Ò bµi.
2. X©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i:
Sau khi ®· t×m hiÓu kü ®Ò bµi, tiÕn hµnh t×m tßi, ph¸t hiÖn c¸ch gi¶i nhê nh÷ng suy
nghÜ t×m ®o¸n: biÕn ®æi c¸i ®· cho vµ c¸i ph¶i t×m, liªn hÖ chóng víi tri thøc ®· häc,
liªn hÖ bµi to¸n cÇn gi¶i víi nh÷ng bµi to¸n ®· biÕt t¬ng tù, mét trêng hîp riªng, mét
bµi to¸n tæng qu¸t h¬n hay bµi to¸n nµo ®ã cã liªn quan. ë bíc nµy còng cÇn chó ý
ph©n tÝch bµi to¸n thµnh c¸c bµi to¸n thµnh phÇn vµ gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n ®ã theo
tr×nh tù mét c¸ch hîp lý.
Tïy vµo ®Æc ®iÓm tõng bµi to¸n mµ sö dông nh÷ng ph¬ng ph¸p ®Æc thï víi d¹ng
to¸n ®ã nh: ph¬ng ph¸p tæng hîp, biÕn ®æi t¬ng ®¬ng, ph¶n chøng, quy n¹p to¸n häc...
3. Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i: Tõ c¸ch gi¶i võa ®îc ph¸t hiÖn, s¾p xÕp c¸c viÖc ph¶i
lµm thµnh mét ch¬ng tr×nh gi¶i vµ thùc hiÖn ch¬ng tr×nh ®ã.
4. KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i:
- KiÓm tra lêi gi¶i: Xem kü l¹i tõng bíc trong bµi gi¶i, c¸ch suy luËn, ®Æc biÖt hãa
kÕt qu¶ t×m ®îc, ®èi chiÕu víi kÕt qu¶ c¸ch gi¶i kh¸c ®Ó kiÓm tra tÝnh chuÈn x¸c cña
lêi gi¶i.
- Nghiªn cøu s©u lêi gi¶i:
+ T×m thªm c¸ch gi¶i kh¸c.
+ XÐt kh¶ n¨ng øng dông cña bµi to¸n.
+ Nghiªn cøu gi¶i nh÷ng bµi to¸n t¬ng tù, bµi to¸n ®¶o, bµi to¸n ®Æc biÖt hãa hay bµi
to¸n tæng qu¸t hãa.
4
+ X©y dùng ph¬ng ph¸p gi¶i chung cho c¸c bµi to¸n cïng d¹ng.
Sau ®©y lµ mét vÝ dô minh häa.
BT: Cho ®iÓm M trong ABC nhän vµ cã diÖn tÝch S.
CMR: MA.BC + MB.AC + MC.AB 4S (*)
a/ T×m hiÓu néi dung BT
Gi¶ thiÕt bµi to¸n lµ cho ®iÓm M trong ABC nhän (vai trß cña M rÊt réng: ®iÓm
tïy ý) vµ ®iÒu cÇn chøng minh lµ b®t (*). C¸c tÝch ë vÕ tr¸i cña (*) MA.BC , MB.AC ,
MC.AB còng nh gi¶ thiÕt tam gi¸c nhän lµ rÊt ®¸ng chó ý.
b/ X©y dùng ch¬ng tr×nh gi¶i
CÇn t×m ra mèi quan hÖ gi÷a hai vÕ cña b®t, gi÷a ®é dµi MA, MB, MC víi c¸c c¹nh
BC, AC, AB. Sù cã mÆt S bªn vÕ ph¶i b®t, cho thÊy nÕu tÝnh MA, MB, MC theo AB,
AC, BC hoÆc c¸c ®êng cao cña tam gi¸c th× sÏ khã kh¨n bëi v× ®iÓm M lµ bÊt kú trong
tam gi¸c. Mét híng kh¸c : tiÕn hµnh ®¸nh gi¸ mèi liªn hÖ gi÷a MA, MB, MC víi ®é
dµi c¸c ®êng cao, ®iÒu ®ã gîi sù liªn tëng ®Õn c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch.
KÎ AH BC , ME BC (H, E thuéc BC ). Khi ®ã: AM + ME AH
MA.BC ME.BC AH .BC
MA.BC 2dt ( BMC ) 2 S
MA.BC 2 S 2dt ( BMC )
Víi hai b®t t¬ng tù, con ®êng gi¶i bµi to¸n ®· râ rµng.
c/ Thùc hiÖn ch¬ng tr×nh gi¶i:
KÎ AH BC , ME BC (H, E thuéc BC ).
� MA + ME AE AH
VËy MA + ME AH
MA.BC ME.BC AH .BC
MA.BC 2dt ( BMC ) 2 S
MA.BC 2 S 2dt ( BMC )
Hoµn toµn t¬ng tù : MB.AC 2 S 2dt ( AMB)
MC.AB 2S 2dt ( AMC )
Chó ý r»ng M n»m trong ABC nhän nªn ta cã:
S = dt(AMB) + dt(AMC ) + dt(BMC )
MA.BC + MB.AC + MC.AB 6S - 2(dt(BMC) + dt(AMB) + dt(AMC ))
= 4S (®pcm)
§¼ng thøc x¶y ra khi M lµ trùc t©m cña ABC.
d/ KiÓm tra vµ nghiªn cøu lêi gi¶i
5
- KiÓm tra: Xem xÐt c¸c bíc suy luËn: vÞ trÝ cña c¸c ®iÓm H, E, M, ®¼ng thøc céng
diÖn tÝch, viÖc sö dông c¸c tÝnh chÊt ®¹i sè cña b®t…trong lêi gi¶i trªn ®Òu hîp lý cho
thÊy tÝnh ®óng ®¾n cña nã. Cã thÓ so s¸nh c¸c kÕt qu¶ khi ®Æc biÖt hãa bµi to¸n, ch¼ng
h¹n khi xÐt tam gi¸c ®Òu, c©n, hay cho M trïng víi trùc t©m tam gi¸c…
- Nghiªn cøu s©u lêi gi¶i
+ T×m c¸ch gi¶i kh¸c, vÝ dô nh lêi gi¶i sau ®©y:
KÎ AE, CF vu«ng gãc víi BM, gäi BM kÐo dµi c¾t AC ë ®iÓm K, ta cã:
2dt(AMB) = MB.AE MB.AK
2dt(BMC) = MB.CF MB.CK
� 2( dt(AMB) + dt(BMC) MB (AK + CK ) = MB.AC.
Víi hai b®t t¬ng tù : 2(dt(BMC) + dt(AMC)) MC.AB
2(dt(AMC) + dt(AMB)) MA.BC
� 4(dt(AMB) + dt(AMC) + dt(BMC) MA.BC + MB.AC + MC.AB
Hay lµ : 4S MA.BC + MB.AC + MC.AB (®pcm).
+ Sö dông c¸c thao t¸c t duy:
1/ XÐt bµi to¸n t¬ng tù trong tø gi¸c, ch¼ng h¹n:
BT1: Cho ®iÓm M trong tø gi¸c ABCD.
CMR: MA.AB + MB.BC + MC.CD + MD.DA 2dt(ABCD)
Cã thÓ më réng sang cho trêng hîp ®a gi¸c.
2/ §Æc biÖt hãa bµi to¸n
Cho M trïng víi t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC, sö dông c«ng thøc diÖn tÝch: S
= pr, ta cã kÕt qu¶ míi :
R( AB + AC + BC ) 4pr
R 2r.
VËy ta suy ra bµi to¸n :
BT2: Cho ABC, gäi R, r thø tù lµ b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp vµ néi tiÕp
tam gi¸c. CMR: R 2r
§©y mét b®t quen thuéc vµ cã nhiÒu øng dông b©y giê ®Æc biÖt hãa theo híng
kh¸c nh sau:
XÐt ®iÓm M trong ABC ®Òu, khi ®ã bµi to¸n ban ®Çu trë thµnh:
BT3: Cho ABC ®Òu c¹nh a, mét ®iÓm M n»m trong tam gi¸c.
CMR: MA + MB + MC a 3
3/ Nghiªn cøu tiÕp øng dông cña bµi to¸n
NhËn xÐt biÓu thøc vÕ ph¶i cña b®t, cã thÓ ®a ra ®¸nh gi¸ nh sau:
6
HiÓn nhiªn: AB, AC, BC max (AB, AC, BC )
� max(AB,AC,BC ).(MA + MB + MC ) MA.BC + MB.AC + MC.AB 4S
4S
MA + MB + MC max( AB, AC , BC ) . Vµ ta cã:
BT4: Cho ®iÓm M trong ABC nhän, gäi h lµ ®é dµi ®êng cao nhá nhÊt cña tam
gi¸c. CMR: MA + MB + MC 2h.
4/ Nghiªn cøu bµi to¸n khi thay ®æi gi¶ thiÕt nh: xÐt tam gi¸c vu«ng, tam gi¸c tï,
hoÆc M thuéc mÆt ph¼ng tam gi¸c, khi ®ã kÕt qu¶ bµi to¸n thÕ nµo?
1.2. Ph¸t hiÖn vµ båi dìng häc sinh giái to¸n ë trêng THPT
1.2.1. Nh÷ng biÓu hiÖn cña häc sinh giái vÒ to¸n
Qua thùc tiÔn mét sè n¨m gi¶ng d¹y to¸n ë nhµ trêng phæ th«ng, t«i nhËn thÊy HS
giái vÒ to¸n thêng cã nh÷ng biÓu hiÖn râ rÖt c¸c mÆt sau:
- Cã kh¶ n¨ng tiÕp thu vµ vËn dông kiÕn thøc nhanh
VÝ dô trong t×nh huèng sö dông ®Þnh lý Pitago ®Ó gi¶i bµi to¸n:
Cho ABC vu«ng t¹i A, kÎ ®êng cao AH. BiÕt :BH = 2, CH = 3, tÝnh c¸c ®é dµi:
AH, AB, AC ?
Nh÷ng HS giái sÏ nhanh chãng biÕt ¸p dông §L Pitago trong c¸c tam gi¸c:
ABH , ACH , ABC ®Ó t×m ®îc AH tríc råi tõ ®ã t×m AB, AC.
- BiÓu hiÖn ë sù linh ho¹t trong qu¸ tr×nh t duy nh:
+ DÔ dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c, kh«ng bÞ gß
Ðp bëi nh÷ng suy nghÜ rËp khu«n cã s½n.
+ Cã kh¶ n¨ng nh×n nhËn vÊn ®Ò theo nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau kÕt hîp sù liªn tëng tèt t×m ra c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch s¸ng t¹o.
+ BiÕt nh×n nhËn nh÷ng c¸i kh¸c biÖt cña vÊn ®Ò, lùa chän ph¬ng tiÖn, c¸ch thøc tèt
nhÊt ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò ®ã.
+ Lý luËn chÆt chÏ, hîp l«gic, cã c¸c thao t¸c t duy nhanh trong gi¶i to¸n.
Trë l¹i vÝ dô sau khi häc vÒ §L Pitago, thay v× coi ®ã lµ c«ng cô ®Ó tÝnh ®é dµi
®o¹n th¼ng, HS giái to¸n l¹i nh×n nhËn vÊn ®Ò theo khÝa c¹nh míi, c¸c em xÐt quan hÖ
b®t gi÷a ba c¹nh tam gi¸c vu«ng vµ suy luËn ®Ó ®i ®Õn nhiÒu kÕt qu¶ kh¸c. Ch¼ng h¹n:
Gi¶ sö ABC vu«ng t¹i A, theo §L Pitago : a 2 b 2 c 2
b < a, c < a (1)
Sö dông b®t Cauchy ta cã:
a 2 (1 / 2).(b c) 2 a 2 b c
7
(2)
Vµ :
a 2 b�c� 2 bc 2 2 S
a 2 S (3)
C¸c b®t (1), (2)&(3) lµ nh÷ng b®t ®Æc trng cña tam gi¸c vu«ng.
- BiÓu hiÖn ë c¸ch ghi nhí kiÕn thøc to¸n häc c« ®äng, nhanh chãng, chÝnh x¸c vµ
bÒn v÷ng. §iÒu nµy gióp HS giái vÒ to¸n nhí ®îc nhiÒu kiÕn thøc mµ kh«ng tèn qu¸
nhiÒu søc lùc trÝ tuÖ khi gi¶i to¸n.
C¸c biÓu hiÖn cña HS trªn ®©y, theo chóng t«i lµ nh÷ng biÓu hiÖn cô thÓ vÒ
nh÷ng mÆt kh¸c nhau cña mét cÊu tróc n¨ng lùc hoµn chØnh, mét t chÊt cña to¸n häc
trÝ tuÖ, ngêi ta gäi ®ã lµ n¨ng khiÕu to¸n häc.
1.2.2. N¨ng khiÕu to¸n häc
N¨ng khiÕu, theo ®Þnh nghÜa cña tõ ®iÓn tiÕng ViÖt lµ n¨ng lùc tréi, n¨ng lùc ®Æc
biÖt cña con ngêi xuÊt hiÖn tõ khi cßn nhá. Nh vËy, n¨ng khiÕu to¸n häc cã thÓ coi nh
mét tæ hîp nh÷ng n¨ng lùc to¸n häc, mµ ë løa tuæi HS thÓ hiÖn râ nhÊt ë n¨ng lùc häc
to¸n. Nhµ t©m lý häc V.A.K¬rutecxki cho r»ng: “N¨ng lùc häc tËp to¸n häc lµ nh÷ng
®Æc ®iÓm t©m lý c¸ nh©n (tríc hÕt lµ c¸c ®Æc ®iÓm ho¹t ®éng trÝ tuÖ), ®¸p øng yªu cÇu
ho¹t ®éng häc to¸n vµ gióp cho viÖc n¾m gi¸o tr×nh to¸n mét c¸ch t¬ng ®èi nhanh, dÔ
dµng vµ s©u s¾c kiÕn thøc, kü n¨ng vµ kü x¶o to¸n häc” 51, tr13 . Khi nghiªn cøu cÊu
tróc n¨ng lùc to¸n häc ë HS phæ th«ng, V.A.K¬rutecxki ®· ph©n tÝch qu¸ tr×nh gi¶i
to¸n cña c¸c em HS ®ã ë nh÷ng tr×nh ®é ph¸t triÓn n¨ng lùc kh¸c nhau, «ng nhËn thÊy
nh÷ng ®Æc ®iÓm ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña HS cã n¨ng lùc to¸n häc nh sau:
- Kh¶ n¨ng tri gi¸c cã tÝnh chÊt h×nh thøc hãa tµi liÖu to¸n häc, g¾n liÒn víi sù th©u
tãm nhanh chãng c¸c cÊu tróc h×nh thøc cña chóng trong mét bµi to¸n cô thÓ vµo trong
mét biÓu thøc to¸n häc.
- Kh¶ n¨ng t duy cã tÝnh kh¸i qu¸t nhanh vµ réng.
- Xu thÕ suy nghÜ b»ng nh÷ng suy lý rót gän.
- Sù t duy l«gic lµnh m¹nh.
- TÝnh linh ho¹t cao cña c¸c qu¸ tr×nh t duy thÓ hiÖn ë sù xem xÐt c¸ch gi¶i c¸c bµi
to¸n theo nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau, sù di chuyÓn rÔ rµng vµ tù do tõ thao t¸c trÝ tuÖ
nµy sang mét thao t¸c trÝ tuÖ kh¸c, tõ tiÕn tr×nh suy nghÜ thuËn sang tiÕn tr×nh suy nghÜ
nghÞch.
- Xu híng t×m tíi c¸ch gi¶i tèi u cho mét vÊn ®Ò to¸n häc, kh¸t väng t×m lêi gi¶i râ
rµng, ®¬n gi¶n, hîp lý, tiÕt kiÖm.
- TrÝ nhí cã tÝnh chÊt kh¸i qu¸t vÒ c¸c kiÓu bµi to¸n, c¸c ph¬ng thøc gi¶i, s¬ ®å lËp
luËn, s¬ ®å l«gic.
- Kh¶ n¨ng t duy l«gic, trõu tîng ph¸t triÓn tèt.
8
Trong cuèn s¸ch “VÒ nghÒ nghiÖp cña nhµ to¸n häc”, ViÖn sü to¸n häc
A.N.K«nm«g«r«p cã ®Ò cËp ®Õn nh÷ng n¨ng lùc to¸n häc, «ng cho r»ng: ®Ó n¾m v÷ng
to¸n häc mét c¸ch cã kÕt qu¶ ë møc ®é cao th× ®ßi hái cÇn cã nh÷ng n¨ng lùc to¸n häc
®îc ph¸t triÓn, n¨ng lùc nµy mang ý nghÜa s¸ng t¹o khoa häc. Còng theo
A.N.K«nm«g«r«p, thµnh phÇn c¬ b¶n cña n¨ng lùc to¸n häc gåm cã:
- N¨ng lùc biÕn ®æi khÐo lÐo nh÷ng biÓu thøc ch÷ phøc t¹p, n¨ng lùc t×m ra con ® êng gi¶i ph¬ng tr×nh kh«ng theo quy t¾c chuÈn, n¨ng lùc tÝnh to¸n.
- TrÝ tëng tîng h×nh häc hay lµ trùc gi¸c h×nh häc.
- NghÖ thuËt suy luËn l«gic theo c¸c bíc ®· ®îc ph©n chia mét c¸ch ®óng ®¾n kÕ
tiÕp nhau, nguyªn t¾c quy n¹p to¸n häc lµ tiªu chuÈn tèt cho sù trëng thµnh l«gic hoµn
toµn cÇn thiÕt ®èi víi nhµ to¸n häc.
Theo quan ®iÓm t©m lý häc, trong mçi con ngêi ®Òu tiÒm tµng mét n¨ng khiÕu,
mét tµi n¨ng, tÊt nhiªn ë møc ®é kh¸c nhau. §ã lµ mét kÕt luËn quan träng. Trong qu¸
tr×nh d¹y häc to¸n, ngêi thÇy cÇn cã nh÷ng biÖn ph¸p ph¸t hiÖn nh÷ng n¨ng khiÕu to¸n
häc ë häc trß, tõ ®ã chóng ta cã thÓ t¹o ra m«i trêng vµ tæ chøc c¸c ho¹t ®éng thÝch
hîp gióp c¸c em ph¸t triÓn n¨ng lùc ®ã.
1. 2. 3. Ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho häc sinh trong nhµ trêng phæ th«ng
Ngµy nay, khi khoa häc vµ c«ng nghÖ cã nh÷ng bíc ph¸t triÓn m¹nh mÏ, trë thµnh
lùc lîng s¶n xuÊt trùc tiÕp trong nÒn kinh tÕ tri thøc th× môc tiªu gi¸o dôc nãi chung vµ
nhiÖm vô ph¸t triÓn TDST cho thÕ hÖ trÎ nãi riªng cã vai trß ®Æc biÖt quan träng. Sø
mÖnh cña nhµ trêng hiÖn ®¹i lµ ph¸t triÓn tèi u nh©n c¸ch cña HS, trong ®ã n¨ng lùc
s¸ng t¹o cÇn ®îc båi dìng ®Ó thóc ®Èy mäi tµi n¨ng.
M«n to¸n víi vÞ trÝ cña nã trong nhµ trêng phæ th«ng, theo t¸c gi¶ Hoµng Chóng,
cã kh¶ n¨ng to lín gióp HS ph¸t triÓn c¸c n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ, rÌn luyÖn t
duy chÝnh x¸c, hîp l«gic, ph¬ng ph¸p khoa häc trong suy nghÜ, trong lËp luËn, trong
häc tËp vµ gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò: biÕt quan s¸t, thÝ nghiÖm, mß mÉm, dù ®o¸n, dïng t¬ng tù, quy n¹p, chøng minh…vµ qua ®ã, cã t¸c dông lín rÌn luyÖn cho häc sinh trÝ
th«ng minh s¸ng t¹o. Ph¸t triÓn TDST to¸n häc n»m trong viÖc ph¸t triÓn n¨ng lùc trÝ
tuÖ chung, mét néi dung quan träng cña môc ®Ých d¹y häc m«n to¸n. Môc ®Ých ®ã cÇn
®îc thùc hiÖn cã ý thøc, cã hÖ thèng, cã kÕ ho¹ch chø kh«ng ph¶i tù ph¸t. VÒ phÝa ng êi GV, trong ho¹t ®éng d¹y häc to¸n cÇn v¹ch ra nh÷ng biÖn ph¸p cô thÓ vµ thùc hiÖn
®Çy ®ñ mét sè mÆt sau ®©y:
- RÌn luyÖn t duy l«gic vµ ng«n ng÷ chÝnh x¸c
- Ph¸t triÓn kh¶ n¨ng suy ®o¸n vµ tëng tîng
9
- RÌn luyÖn c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ c¬ b¶n, c¸c thao t¸c t duy nh: ph©n tÝch, tæng hîp,
®Æc biÖt hãa, kh¸i qu¸t hãa, trõu tîng hãa
- H×nh thµnh, rÌn luyÖn nh÷ng phÈm chÊt trÝ tuÖ nh: tÝnh linh ho¹t, tÝnh ®éc
lËp, tÝnh s¸ng t¹o trong t duy
Bªn c¹nh ®ã ngêi GV ph¶i ¸p dông nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc, khoa häc
vµ hîp lý, mang l¹i cho HS cña m×nh sù say mª m«n to¸n, t×m thÊy trong to¸n niÒm
vui lín khi ®îc häc tËp, qua ®ã gi¸o dôc c¸c em nh÷ng phÈm chÊt ®¹o ®øc tèt ®Ñp
kh¸c.
Mét ®iÒu quan träng n÷a, cã thÓ nãi trong d¹y häc s¸ng t¹o (thùc ra c¶ ho¹t ®éng
d¹y häc nãi chung) vai trß cña ngêi thÇy lµ hÕt søc quan träng. §Ó trë thµnh mét GV
d¹y giái, ngoµi lßng t©m huyÕt, ngoµi sù nç lùc häc tËp kh«ng ngõng th× ngêi thÇy
gi¸o cÇn cã vµ cÇn biÕt d¹y cho häc trß c¸ch t duy s¸ng t¹o. Bëi v×, nãi nh GS NguyÔn
C¶nh Toµn trong mét cuèn s¸ch vÒ d¹y c¸ch häc: Kh«ng ai cã thÓ ®i d¹y cho ngêi
kh¸c c¸i mµ b¶n th©n m×nh cha cã, ngêi thÇy kh«ng nh÷ng lu«n tù nghiªn cøu khoa
häc mµ cßn ph¶i lµ ngêi thiÕt kÕ vµ thi c«ng ®îc ãc th«ng minh s¸ng t¹o ë häc trß, do
®ã mçi ngêi thÇy gi¸o ph¶i lµ mét nhµ khoa häc ch©n chÝnh.
Ch¬ng II : Ph¸t triÓn T duy s¸ng t¹o to¸n häc
cho häc sinh giái ë trêng THPT Qua chñ ®Ò
bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng
2.1. Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o to¸n häc cho häc sinh giái bËc THPT qua néi dung
gi¶i bµi tËp bÊt ®¼ng thøc h×nh häc ph¼ng
Trong ch¬ng tríc chóng ta ®· nghiªn cøu c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn cña vÊn ®Ò
TDST, cã thÓ nãi båi dìng TDST cho HS lµ mét qu¸ tr×nh liªn tôc, mÊt nhiÒu c«ng søc,
tr¶i qua nhiÒu giai ®o¹n víi nh÷ng møc ®é kh¸c nhau. §iÒu quan träng nhÊt trong d¹y
häc s¸ng t¹o lµ ph¶i gi¶i phãng ho¹t ®éng t duy cña HS b»ng c¸ch cho c¸c em tù ho¹t
®éng, tù kh¸m ph¸ t×m tßi, ph¶i kÕt hîp tèt ho¹t ®éng häc tËp vµ ho¹t ®éng nhËn thøc.
Bªn c¹nh viÖc n©ng dÇn tÝnh tÝch cùc theo møc ®é tõ thÊp ®Õn cao: tÝnh cùc ®éng n·o,
®éc lËp suy nghÜ ®Õn tÝnh cùc s¸ng t¹o, ngêi thÇy cÇn rÌn luyÖn häc trß n©ng dÇn c¸c
ho¹t ®éng tõ dÔ ®Õn khã: theo dâi c¸ch chøng minh, ®Õn ho¹t ®éng mß mÉm dù ®o¸n
10
kÕt qu¶ vµ cuèi cïng tù lùc chøng minh. ViÖc dù ®o¸n, mß mÉm kÕt qu¶ kh«ng chØ tËp
cho HS phong c¸ch nghiªn cøu khoa häc, tËp c¸c thao t¸c t duy tiÒn l«gic cÇn thiÕt,
mµ cßn lµ biÖn ph¸p quan träng nh»m n©ng cao tÝnh tÝch cùc cña HS. Khi tù ®a ra dù
®o¸n, HS sÏ hµo høng vµ cã tr¸ch nhiÖm h¬n trong qu¸ tr×nh t×m tßi lêi gi¶i cho chÝnh
kÕt qu¶ dù ®o¸n cña m×nh.
§Ó båi dìng, ph¸t triÓn TDST to¸n häc cho HS, cã thÓ tiÕn hµnh theo c¸c ph¬ng híng sau:
2.1.1. RÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i to¸n theo c¸c thµnh phÇn c¬ b¶n cña TDST
a/ TÝnh mÒm dÎo:
Mét sè nhµ nghiªn cøu (NguyÔn B¸ Kim, V¬ng D¬ng Minh, T«n Th©n) cho r»ng
tÝnh mÒm dÎo cña t duy cã c¸c ®Æc trng næi bËt nh sau:
- DÔ dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c, vËn dông
linh ho¹t c¸c ho¹t ®éng ph©n tÝch, tæng hîp, so s¸nh, trõu tîng ho¸, kh¸i qu¸t ho¸, cô
thÓ ho¸ vµ c¸c ph¬ng ph¸p suy luËn nh quy n¹p, suy diÔn t¬ng tù; dÔ dµng chuyÓn tõ
gi¶i ph¸p nµy sang gi¶i ph¸p kh¸c; ®iÒu chØnh kÞp thêi híng suy nghÜ nÕu gÆp trë ng¹i.
- Suy nghÜ kh«ng dËp khu«n, kh«ng ¸p dông mét c¸ch m¸y mãc nh÷ng kinh
nghiÖm, kiÕn thøc, kü n¨ng ®· cã vµo trong hoµn c¶nh míi, ®iÒu kiÖn míi trong ®ã cã
nh÷ng yÕu tè ®· thay ®æi; cã kh¶ n¨ng tho¸t khái ¶nh hëng k×m h·m cña nh÷ng kinh
nghiÖm, nh÷ng ph¬ng ph¸p, nh÷ng suy nghÜ ®· cã tõ tríc.
- NhËn ra vÊn ®Ò míi trong ®iÒu kiÖn quen thuéc, nh×n thÊy chøc n¨ng míi cña ®èi
tîng quen biÕt.
XÐt mét vÝ dô:
Cho ABC cã AB < AC. §iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC, trªn tia ®èi cña tia MA
lÊy ®iÓm D tuú ý. CMR: DC < BD.
Kh«ng theo sù suy nghÜ th«ng thêng lµ xÐt tam gi¸c BCD råi ®¸nh gi¸ c¸c gãc
�CBD, �BCD häc sinh cã thÓ nh×n nhËn vÊn ®Ò mét c¸ch mÒm dÎo theo híng kh¸c
nh sau:
Do AB < AC � �AMB �AMC .
� �BMD �CMD
Sö dông ®iÒu nµy trong c¸c BMD, CMD
( Hai tam gi¸c cã hai cÆp c¹nh b»ng nhau)
� BD CD (®pcm).
b/ TÝnh nhuÇn nhuyÔn:
§îc thÓ hiÖn ®îc thÓ hiÖn râ nÐt ë hai ®Æc trng nh sau:
11
- TÝnh ®a d¹ng cña c¸c c¸ch xö lý khi gi¶i to¸n: kh¶ n¨ng t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn
nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau. §øng tríc mét vÊn ®Ò khi
gi¶i quyÕt, ngêi
cã t duy nhuÇn nhuyÔn nhanh chãng t×m vµ ®Ò xuÊt nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau vµ tõ
®ã ®a ra ®îc ph¬ng ¸n tèi u.
- Kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau; cã mét c¸i nh×n sinh
®éng tõ nhiÒu phÝa ®èi víi sù vËt vµ hiÖn tîng chø kh«ng ph¶i c¸i nh×n bÊt biÕn, phiÕn
diÖn cøng nh¾c.
VÝ dô: Cho ABC , kÎ c¸c ®êng cao BE , CF. So s¸nh BE vµ CF
Lêi gi¶i: Sö dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ABC
BE.AC = CF.AB = 2dt(ABC )
BE
AB
CF
AC
.
XÐt ba trêng hîp cã thÓ x¶y ra:
+ NÕu AB = AC hiÓn nhiªn khi ®ã BE = CF
+ AB < AC
AB
1
AC
BE AB
1 �
CF AC
BE < CF.
+ AB > AC chøng minh t¬ng tù còng cã ®îc BE > CF.
Cã thÓ gi¶i BT cho HS líp 7 nh sau: NÕu AB = AC ta cã ngay ®pcm.
Gi¶ sö AB < AC , trªn AC lÊy ®iÓm D sao cho : AB = AD
� ABD c©n ë A.
KÎ DK AB ( K AB )
AKD AEB (c g c )
KD BE
Do ®iÓm D n»m gi÷a A , C vµ DK//CF
� KD < CF hay lµ BE < CF.
Trêng hîp AB > AC , chøng minh t¬ng tù sÏ cã: BE > CF.
c/ TÝnh ®éc ®¸o:
TÝnh ®éc ®¸o cña t duy ®îc ®Æc trng bëi c¸c kh¶ n¨ng :
- Kh¶ n¨ng t×m ra nh÷ng liªn tëng vµ nh÷ng kÕt hîp míi.
- Kh¶ n¨ng nh×n ra nh÷ng mèi liªn hÖ trong nh÷ng sù kiÖn bªn ngoµi tëng nh kh«ng
cã liªn hÖ víi nhau.
- Kh¶ n¨ng t×m ra gi¶i ph¸p l¹ tuy ®· biÕt nh÷ng ph¬ng ph¸p kh¸c.
VÝ dô: Cho ABC cã AB < AC, gäi BM vµ CN lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña
tam gi¸c. CMR: BM < CN
.
§©y lµ bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i, cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy b»ng c¸ch tÝnh
12
c¸c ®é dµi BM, CN theo ®é dµi ba c¹nh tam gi¸c råi sö dông gi¶ thiÕt ®· cho ®Ó chøng
minh. Tuy nhiªn lêi gi¶i nµy t¬ng ®èi dµi, biÕn ®æi phøc t¹p. C¸ch gi¶i sau cho thÊy
nÐt næi bËt cña nã: tÝnh ®éc ®¸o.
Dùng b×nh hµnh BMIN, theo tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c:
BN BC
BN
BC
.T¬ng tù:
�
AN AC
AB AC BC
CM
BC
AC AC BC
, do AB < AC
BC
BC
CM BN
AB BC AC BC
AC AB
CM AC
1 CM BN MI
BN AB
VËy trong IMC ta cã
I 2 C 3 ( 1) .
Còng v× : AB < AC � �C �B � I1 �B2
�B �C
�C2 (2)
2
2
Tõ (1) & (2) Suy ra : I 1 I 2 C 2 C 3 � NIC ICN
Khi ®ã trong NIC CN > IN = BM (®pcm)
C¸c yÕu tè c¬ b¶n nãi trªn kh«ng t¸ch rêi nhau mµ tr¸i l¹i, chóng quan hÖ mËt
thiÕt víi nhau, hç trî bæ sung cho nhau. Kh¶ n¨ng dÔ dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ
nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c (tÝnh mÒm dÎo) t¹o ®iÒu kiÖn cho viÖc t×m ®îc nhiÒu
gi¶i ph¸p trªn nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau (tÝnh nhuÇn nhuyÔn) vµ nhê ®Ò
xuÊt nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau mµ cã thÓ t×m ®îc nh÷ng ph¬ng ¸n l¹, ®Æc s¾c (tÝnh
®éc ®¸o). C¸c yÕu tè c¬ b¶n nµy l¹i cã quan hÖ kh¨ng khÝt víi c¸c yÕu tè kh¸c nh: tÝnh
chÝnh x¸c, tÝnh hoµn thiÖn, tÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò…TÊt c¶ c¸c yÕu tè ®Æc trng nãi trªn
cïng gãp phÇn t¹o nªn t duy s¸ng t¹o, ®Ønh cao nhÊt trong c¸c ho¹
Ho¹t ®éng gi¶i to¸n lµ mét d¹ng ho¹t ®éng chñ yÕu gióp rÌn luyÖn TDST to¸n häc
cho HS, mçi d¹ng bµi tËp ®Òu cã t¸c dông nhÊt ®Þnh ®èi víi tõng thµnh phÇn c¬ b¶n
cña TDST. Cã thÓ biÓu diÔn s¬ ®å t¸c ®éng ®ã nh sau:
BT cã nhiÒu c¸ch gi¶i
13
TÝnh mÒm dÎo
BT cã néi dung biÕn ®æi
TÝnh nhuÇn nhuyÔn
BT cã nhiÒu kÕt qu¶
TÝnh ®éc ®¸o
BT vui
TÝnh nh¹y c¶m
BT cã tÝnh ®Æc thï
TÝnh hoµn thiÖn
BT më
TÝnh chÝnh x¸c
BT thuËn nghÞch
TDST
BT kh«ng theo mÉu
2.1.2. RÌn luyÖn c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ
C¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ trong m«n to¸n cã thÓ kÓ ®Õn nh: dù ®o¸n, b¸c bá, lËt ngîc
vÊn ®Ò, c¸c thao t¸c t duy to¸n häc…RÌn luyÖn cho HS nh÷ng ho¹t ®éng ®ã lµ kh©u
quan träng nhÊt trong d¹y häc s¸ng t¹o.
Ta xÐt mét bµi to¸n b®t trong h×nh häc líp 7 lµm vÝ dô :
BT: Cho ®iÓm M bÊt kú n»m trong ABC. CMR: MB + MC < AB + AC
§Ó gi¶i bµi to¸n nµy, tríc hÕt cÇn t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®o¹n th¼ng MB, MC
víi AB, AC . KÐo dµi BM c¾t AC ë ®iÓm I nh h×nh vÏ.
Sö dông b®t tam gi¸c trong c¸c MIC , ABI
Ta cã: MC < MI + IC
MB + MC < MB + MI + IC
MB + MC < IB + IC
Trong ABI : BI < AB + AI
� MB + MC < AB + AI + IC � MB + MC < AB + AC (®pcm)
§©y lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n trong SGK To¸n7, chØ cÇn sö dông hîp lý b®t tam gi¸c,
sÏ cã lêi gi¶i ng¾n gän. Trong MBC th× cã : BC < MB + MC
C©u hái ®Æt ra mang tÝnh chÊt dù ®o¸n t×m tßi lµ: quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè MA, MB,
MC nh thÕ nµo? Thö thay ®æi gi¶ thiÕt bµi to¸n ban ®Çu mét chót, gi¶ sö ABC víi
AB AC BC . Khi ®ã C B A .
Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi tam gi¸c :
14
ABM AMI , CBM CMI ABC AMC
MCA BCA CBA AMC
MA AC BC MA MB MC
Vµ bµi to¸n sau ®©y ®· ®îc gi¶i:
BT1: Cho ABC cã BC lµ c¹nh lín nhÊt, ®iÓm M n»m trong tam gi¸c. CMR: MA
< MB + MC
Víi híng gi¶i t¬ng tù ta còng cã:
BT2: Cho ®iÓm M trong ABC ®Òu.
CMR: MA, MB, MC lËp thµnh ®é dµi ba c¹nh mét tam gi¸c.
Trë l¹i vÝ dô ban ®Çu : MB + MC < AB + AC
Còng nh vËy: MA + MB < CA + CB vµ MA + MC < BA + BC
MA + MB + MC < AB + AC + BC
Tõ ®ã suy ra bµi to¸n tiÕp theo:
BT3: Cho ®iÓm M trong ABC. CMR: MA + MB + MC < AB + AC + BC
§©y lµ b®t kh¸ quen thuéc. VÊn ®Ò ®Æt ra: nÕu xÐt ®iÓm M trong vai trß mét ®iÓm
®Æc biÖt nµo ®ã, trùc t©m tam gi¸c ch¼ng h¹n (gi¶ thiÕt tam gi¸c nhän) th× sao? Khi ®ã
kÎ HE//AC , HF//AB.
(víi E, F thø tù thuéc AB, AC )
AHF HAE ( g c g ) AE HF
HA AF HF AF AE
Do : HF // AB, CN AB CN HF CHF 90 0 HC CF
T¬ng tù: HB < BE � HA + HB + HC < AB + AC .
Nh thÕ chóng ta ®· chøng minh ®îc:
BT4: Cho ABC nhän víi BC lµ c¹nh lµ lín nhÊt, gäi ®iÓm H lµ trùc t©m tam gi¸c.
CMR: HA + HB + HC < AB + AC
Bµi to¸n nµy cho thÊy dêng nh sù ®¸nh gi¸ trong bµi 3 cha tèt, vËy tæng qu¸t cña
nã nh thÕ nµo ? KÕt qu¶ sau ®©y lµ c©u tr¶ lêi.
BT5: Cho ®iÓm M trong ABC, gi¶ sö AB AC BC
CMR: MA + MB + MC < AC + BC
Lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n: AB AC BC suy ra: C B A
Qua M kÎ c¸c ®êng th¼ng QE//AB, RF//AC , SP//BC
NhËn thÊy trong MEF, ta cã:
F C , M A
F M ME EF (1)
T¬ng tù trong MPQ:
MQ PQ (2) . MÆt kh¸c MP//CF, MF//PC
15
MFC CPM ( g c g ) MP CF (3)
Tõ (1), (2)&(3) sö dông b®t tam gi¸c:
MA + MB + MC < (AQ + QM ) + ( BE + ME ) + (PC + PM )
�( AQ + PQ ) + ( BE + EF ) + (CP + CF ) = AC + BC
MA + MB + MC < AC + BC (®pcm).
KÕt qu¶ kh«ng thay ®æi khi M n»m trªn c¹nh cña ABC. Bµi to¸n 5 lµ tæng qu¸t
thùc sù cña bµi to¸n 3, cã thÓ nhËn thÊy lêi gi¶i trªn t¬ng ®èi khã nhng kh«ng kÐm
phÇn thó vÞ vµ khi gi¶i chØ cÇn kiÕn thøc c¬ së trong SGK.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n ë trêng phæ th«ng, c¸c thao t¸c t duy nh trªn trë
thµnh mét ph¬ng ph¸p t duy c¬ b¶n trong s¸ng t¹o to¸n häc, lµ yÕu tè quan träng gióp
HS h×nh thµnh, n¾m v÷ng c¸c kh¸i niÖm vµ c¸c tri thøc lý thuyÕt, vËn dông ®Ó gi¶i bµi
to¸n, mß mÉm dù ®o¸n kÕt qu¶, t×m ra ph¬ng híng cho lêi gi¶i bµi to¸n. MÆt kh¸c c¸c
thao t¸c t duy cßn gióp HS ®µo s©u, më réng vµ hÖ thèng ho¸ kiÕn thøc, gióp c¸c em
lµm quen dÇn víi nghiªn cøu, s¸ng t¹o to¸n häc. Vµ nh vËy c¸c thao t¸c t duy to¸n häc
®ãng vai trß quan träng trong viÖc h×nh thµnh, båi dìng nh÷ng phÈm chÊt trÝ tuÖ cho
HS.
2.1.3. T×m nhiÒu lêi gi¶i cho mét bµi to¸n
Sau khi gi¶i ®îc bµi to¸n, mét bíc quan träng tiÕp theo lµ t×m thªm nh÷ng lêi gi¶i
kh¸c, ®iÒu ®ã gióp HS båi dìng n¨ng lùc t×m nhiÒu gi¶i ph¸p cho mét vÊn ®Ò, nh×n
nhËn vÊn ®Ò díi nhiÒu gãc c¹nh kh¸c nhau. VÒ ph¬ng diÖn gi¶i to¸n, chóng t«i nghÜ
r»ng: n¨ng lùc trªn gióp Ých rÊt nhiÒu cho viÖc rÌn luyÖn HS kü n¨ng thùc hµnh gi¶i
to¸n. Cô thÓ:
- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng ph©n tÝch bµi to¸n
- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng ®Þnh híng vµ x¸c ®Þnh ®êng lèi gi¶i
- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng chän lùa ph¬ng ph¸p vµ c«ng cô gi¶i
- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng kiÓm tra bµi gi¶i
- RÌn luyÖn kh¶ n¨ng t×m c¸c bµi to¸n, c¸c kiÕn thøc liªn quan
XÐt mét vÝ dô: Trong ABC, gäi r, R thø tù lµ b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn néi tiÕp
vµ ngo¹i tiÕp tam gi¸c. CMR: R 2r
Cã thÓ ®i theo nh÷ng híng gi¶i quyÕt nh sau:
C¸ch 1: XÐt hai trêng hîp
+ ABC kh«ng cã gãc tï.
KÎ AH BC , OK BC (H, K BC )
Víi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp.
Khi ®ã : OA + OK AH
16
BC.OA BC.OK BC. AH 2dt ( ABC )
BC.R 2dt ( BOC ) 2dt ( ABC )
BC.R 2dt ( ABC ) 2dt ( BOC )
Víi hai b®t t¬ng tù n÷a ta ®îc:
R( BC + AB + AC ) 6dt(ABC )-2(dt(BOC) + dt(BOA) + dt(AOC ))
= 4dt(ABC ) = 2r(AB + AC + BC )
Suy ra: R 2r (®pcm).
§¼ng thøc x¶y ra khi O trïng víi trùc t©m ABC ABC ®Òu.
+ NÕu ABC tï, chøng minh t¬ng tù víi chó ý ®iÓm O n»m ngoµi ABC sÏ cã : R
> 2r. §¼ng thøc kh«ng x¶y ra trong trêng hîp nµy.
C¸ch 2: Sö dông c¸c c«ng thøc vÒ diÖn tÝch (ký hiÖu a, b, c thø tù lµ ®é dµi ba c¹nh
BC, AC, AB cña tam gi¸c )
S = pr = abc/4R = p( p a)( p b)( p c)
Ta ®· biÕt : 8(p-a)(p-b)(p-c) abc
ۣۣۣ
8S 2
p
2 pr
4 RS
2S
pR
ۣۣۣ
pR
2r R
§¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c . Tøc lµ ABC ®Òu.
C¸ch 3: Tríc hÕt ta chøng minh hÖ thøc Euler trong tam gi¸c nh sau:
OI 2 R 2 2rR (I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ABC )
Chøng minh: C¸c tia AI, CI c¾t (O,R) t¹i Dvµ E , ®êng th¼ng DO c¾t BC t¹i
K vµ c¾t (O,R) ë F. DÔ dµng nhËn thÊy DIC DCI
Suy ra IDC c©n t¹i D ID = CD.
KÎ IH OD (H thuéc OD ).
Sö dông §L Pitago trong IDO
ta cã OI 2 DI 2 DO 2 2 DO.DH
= R 2 DC 2 2 R.DH
MÆt kh¸c OD BC nªn trong DCF :
DC 2 DK .DF 2 R.DK .
VËy
OI 2 R 2 2 R ( DH DK ) R 2 2rR
Tõ ®ã suy ra : R 2 2rR 0 R 2r
§¼ng thøc x¶y ra khi O trïng I, tøc lµ ABC ®Òu.
C¸ch 4: Cã thÓ chøng minh bµi to¸n b»ng viÖc ¸p dông hai bµi to¸n thµnh phÇn (xÐt
trong phÇn sau) sau ®©y:
17
BT1: Cho ABC víi c¸c ®êng cao AN, BE, CF .
CMR: AN + BE + CF 9r
BT2: ( BÊt ®¼ng thøc ECDOS trong tam gi¸c)
Cho ®iÓm M trong ABC , gäi P, Q, R thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M xuèng
c¹nh BC , AB, AC cña tam gi¸c.
CMR: MA + MB + MC 2(MP + MQ + MR)
ThËy vËy, ta cã: MA + MP AN , MB + MR BE vµ MC + MQ CF
Suy ra : 9r AN + BE + CF (MA + MB + MC ) + ( MP + MQ + MR )
3/2( MA + MB + MC )
6r MA + MB + MC
Chän M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC nhän, ta cã ®pcm.
Bèn lêi gi¶i cña bµi to¸n nµy (ch¾c ch¾n cha ph¶i ®· hÕt) cho thÊy mét ®iÒu: kh«ng
nªn dõng l¹i sau lêi gi¶i ®Çu tiªn cho dï ®ã lµ lêi gi¶i hay nhÊt. NÕu biÕt c¸ch nh×n
nhËn, c¸ch ph©n tÝch bµi to¸n díi mäi gãc ®é, mäi khÝa c¹nh th× cã thÓ thu ®îc nhiÒu
lêi gi¶i kh¸c nhau. C¸ch gi¶i thø nhÊt mang d¸ng dÊp cña ph¬ng ph¸p diÖn tÝch , c¸ch
gi¶i thø hai sö dông biÕn ®æi t¬ng ®¬ng víi sù hç trî cña c¸c c«ng thøc diÖn tÝch, c¸ch
gi¶i thø ba vµ thø t sö dông nh÷ng kiÕn thøc kh¸ s©u s¾c cña to¸n häc phæ th«ng (hÖ
thøc Euler, b®t Ecdos). §Ó cã ®îc c¸c lêi gi¶i ®ã lµ do chóng ta ®· khai th¸c ®îc c¸i
riªng nhiÒu vÎ cña bµi to¸n céng víi sù t×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n.
2.1.4. VÊn ®Ò s¸ng t¹o bµi to¸n míi
Trong t¸c phÈm “Gi¶i bµi to¸n nh thÕ nµo”, nhµ s ph¹m lín G.Polya ®· viÕt:
“C¸ch gi¶i nµy ®óng thËt, nhng lµm nh thÕ nµo ®Ó nghÜ ra mét c¸ch gi¶i kh¸c? Sù kiÖn
nµy ®· ®îc kiÓm nghiÖm, nhng lµm thÕ nµo ®Ó ph¸t hiÖn ra nh÷ng sù kiÖn nh vËy? Vµ
lµm thÕ nµo ®Ó tù m×nh ph¸t hiÖn ra ®îc?”
Quan ®iÓm nµy cña G.P«lya muèn nhÊn m¹nh ý nghÜa cña viÖc d¹y cho HS biÕt tù
t×m tßi lêi gi¶i, tù ph¸t hiÖn nh÷ng kÕt qu¶ míi.
S¸ng t¹o bµi to¸n míi lµ mét bíc quan träng cña qu¸ tr×nh gi¶i to¸n, mét ph¬ng
thøc rÌn luyÖn TDST to¸n häc, mét trong c¸c môc tiªu chÝnh cña häc tËp s¸ng t¹o. §Ó
x©y dùng c¸c bµi to¸n míi, cã thÓ híng dÉn HS ®i theo nh÷ng con ®êng sau ®©y:
a/ XuÊt ph¸t tõ c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tiªn ®Ò vÒ nh÷ng ®èi tîng to¸n häc ®îc ®Æt
trong mèi quan hÖ to¸n häc nµo ®ã.
VÝ dô: Trong tam gi¸c, nÕu b¾t ®Çu tõ kh¸i niÖm gãc, gi¶ sö mèi quan hÖ gi÷a hai gãc
lµ “kh¸c nhau”, th× kÐo theo mèi quan hÖ gi÷a hai c¹nh ®èi diÖn còng “kh¸c nhau” Cô
thÓ, ch¼ng h¹n ta cã bµi to¸n:
BT : Cho ABC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn A B khi ®ã CMR : BC < AC .
18
b/ XuÊt ph¸t tõ nh÷ng ®Þnh lý, tÝnh chÊt, bµi to¸n ®· biÕt, theo híng nµy ®Ó x©y dùng
nªn c¸c bµi to¸n míi, cã thÓ b»ng nh÷ng c¸ch sau:
- Sö dông c¸c thao t¸c t duy nh: t¬ng tù, ®Æc biÖt ho¸, kh¸i qu¸t ho¸… ®Ó ®i ®Õn bµi
to¸n ®¶o, bµi to¸n t¬ng tù, ®Æc biÖt ho¸ hay tæng qu¸t ho¸.
- Tõ bµi to¸n ®· gi¶i, b»ng nh÷ng “ suy luËn cã lý” suy ra c¸c bµi to¸n kh¸c
( Sù liªn quan cã thÓ ë nhiÒu møc ®é ).
- Nghiªn cøu s©u b¶n chÊt cña bµi to¸n: ph©n tÝch nguån gèc c¸i ®· cho, c¸i cÇn t×m
vµ nh÷ng mèi liªn hÖ gi÷a chóng, ®o¸n nhËn ®îc c¬ së sù h×nh thµnh nªn ®Ò to¸n…®Ó
x©y dùng líp c¸c bµi to¸n cïng d¹ng.
VÝ dô: XÐt bµi to¸n:
Cho ®iÓm M trong ABC . Gäi R a , Rb , Rc thø tù lµ ®é dµi c¸c ®o¹n MA, MB,
MC vµ d a , d b , d c thø tù lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn c¹nh BC, AC, AB.
CMR: aRa bRb cRc 2(ad a bd b cd c )
Lêi gi¶i : Gäi AH lµ ®êng cao ABC , khi ®ã:
2dt ( ABC ) 2dt ( BMC )
a
2dt ( AMC ) 2dt ( AMB)
a
bdb cd c
(*) aRa bdb cdc
a
T¬ng tù víi hai b®t n÷a, suy ra:
aRa bRb cRc 2(ad a bd b cd c ) (®pcm)
§¼ng thøc x¶y ra khi M trïng víi trùc t©m tam gi¸c.
VÊn ®Ò ®Æt ra: tõ bµi to¸n nµy ta thu ®îc ®iÒu g× ? Nghiªn cøu kü lêi gi¶i, nhËn thÊy
nÕu lÊy ®èi xøng ®iÓm M qua ph©n gi¸c gãc A th× ®îc b®t míi rÊt gièng víi b®t (*)
trªn ®©y nhng b¶n chÊt th× kh¸c h¼n.
Ra �AH d a
Ra
bd c cd b
a
(1). Víi hai b®t t¬ng tù n÷a vµ ¸p dông b®t Cauchy cã:
b c
a c
a b
Ra Rb Rc �d a ( ) db ( ) d c ( ) �2( d a db d c )
c b
c a
b a
VËy : Ra Rb Rc 2(d a d b d c ) (E). Còng theo trªn :
aR a bd b cd c , bRb cd c ad b , cRc ad a bd b Suy ra:
19
abcR a Rb Rc (bd b cd c )(cd c ad a )(ad a bd b )
8 bcd b d c acd a d c abd a d b 8abcd a d b d c
(2)
Ra Rb Rc 8d a d b d c
TiÕp tôc ¸p dông b®t (E) : Ra Rb Rc 2(d a d b d c ) ta cã:
( R a Rb Rc )(1 / d a 1 / d b 1 / d c ) 2(d a d b d c )(1 / d a 1 / d b 1 / d c )
18 d a d b d c 1 /( d a d b d c ) 18
VËy: ( Ra Rb Rc )(1 / d a 1 / d b 1 / d c ) 18
(3)
MÆt kh¸c tõ ®¼ng thøc diÖn tÝch: 2S = ad a bd b cd c
2 S 33 abcd a d b d c
8S 3 27abcd a d b d c 27.(4 RS )d a d b d c
2S 2
Hay lµ: d a db d c �
(4)
27 R
Cã thÓ khai th¸c ®¼ng thøc : 2S = ad a bd b cd c theo híng kh¸c nh sau:
NÕu gäi ha , hb , hc lµ ®é dµi c¸c ®êng cao øng víi c¹nh a, b, c cña ABC thÕ th×:
min(a, b, c).( d
a
db d )
2S
max( a, b, c ) .( d a d b d c )
(5)
� min( ha , hb , hc ) d a d b d c max( ha , hb , hc )
Trë l¹i b®t (1), tõ ®©y ta cã: aRa / d a bd c / d a cd b / d a
Víi hai b®t t¬ng tù n÷a, råi sö dông b®t Cauchy ®i ®Õn:
aRa bRb cRc
2(a b c)
da
db
dc
(6)
Tõ lêi gi¶i bµi to¸n ban ®Çu suy ra : a
bd b cd c
Ra
Víi hai b®t t¬ng tù n÷a, qua vµi biÕn ®æi l¹i cã:
a + b + c 4(
ad a
bd b
cd c
)
Rb R c R a R c R a R b
(7)
Qu¸ tr×nh suy luËn cø tiÕp tôc nh vËy, chóng ta sÏ thu ®îc rÊt nhiÒu bµi to¸n míi,
b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n xuÊt ph¸t.
Trë l¹i víi b®t (E), b»ng c«ng cô diÖn tÝch ta ®îc mét c¸ch chøng minh ng¾n gän
vµ ®éc ®¸o. Cã thÓ nãi ®©y lµ mét b®t hay trong tam gi¸c, tõ b®t nµy suy ra ®îc nhiÒu
kÕt qu¶ thó vÞ, vÝ dô nh nh÷ng bµi to¸n sau ®©y.
Bµi 1:Cho ®iÓm M trong ABC , gäi r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c.
CMR: MA + MB + MC 6r
20
- Xem thêm -
.DOC 
34 
106 
80 
