Tài liệu Skkn phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh thpt thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình học tập nói chung, học tập môn toán nói riêng học sinh thường gặp không ít khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến những sai lầm thường gặp của học sinh. Một cách học hiệu quả đối với học sinh là học từ chính những sai lầm của mình để từ đó rút ra những kinh nghiệm để tránh những sai lầm có thể mắc phải. Vì lẽ đó việc nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình học tập từ đó đưa ra biện pháp khắc phục là việc làm quan trọng và cần thiết của người giáo viên. Trong chương trình Toán ở THPT, chủ đề Tổ hợp – xác suất là một chủ đề mới được đưa vào trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó khăn nhất định. Đây là chủ đề quan trọng trong các kì thi có tính thực tiễn, tính liên môn cao. Các bài tập về tổ hợp, xác suất có bao hàm những mối liên hệ phức tạp, độc đáo, đa dạng, phong phú về nội dung và hình thức nên học sinh thường gặp phải những khó khăn, sai lầm. Sai lầm thường gặp của học sinh tùy theo đối tượng học sinh, tùy theo mức độ các bài toán đưa ra nên trong quá trình dạy học giáo viên cần phải biết phát hiện, sửa chữa sai lầm cho học sinh kịp thời. Những sai lầm của học sinh ngày càng ít đi cũng đồng nghĩa với sự tiến bộ trong quá trình học tập, điều đó cũng đồng nghĩa với sự thành công của người thầy. Đã có nhiều tài liệu, nhiều sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên liên quan đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh khi học tập chủ đề tổ hợp, xác suất. Nhưng theo tôi đây là chủ đề mở, vẫn luôn cần sự sáng tạo của giáo viên trong quá trình dạy học. Không có con đường nào bằng phẳng để đi đến thành công, sẽ có rất nhiều sai lầm học sinh mắc phải trong học tập. Để học sinh khắc phục được sai lầm rất cần sự quan tâm, uốn nắn của giáo viên với những biện pháp sư phạm hiệu quả của mình. Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là: “Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất”. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận của đề tài 1.1. Cơ sở triết học Theo quan điểm triết học “cái mới” được hình thành bao giờ cũng phải phủ định một “cái cũ” nào đó thông qua một quá trình thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập, sự tích lũy về lượng đến một mức nào đó sẽ dẫn đến sự tích lũy về chất là cơ sở để hình thành “cái mới”. Kết quả học tập nói chung, học tập từng chủ đề nói riêng của học sinh có thể xem là một “cái mới”, “cái mới” được hình thành có tích cực hay không, có tiến bộ hay không rất phụ thuộc vào phương pháp dạy của giáo viên, phương pháp học của học sinh. “Cái mới” theo 1 quan điểm của triết học được hình thành không hề hiển nhiên, bằng phẳng mà bao giờ cũng trãi qua một quá trình đấu tranh, thậm chí nhiều lúc còn có những bước thụt lùi nhất định. Việc học tập của học sinh cũng vậy, không phải thầy cứ dạy đúng, dạy đủ, dạy nhiệt tình là trò sẽ tiếp thu được hết kiến thức, sẽ biết vận dụng kiến thức từ đó học tập tiến bộ, để có được những kết quả tích cực học sinh phải gặp không ít khó khăn, sai lầm. Phát hiện ra những sai lầm, tìm ra những biện pháp khắc phục sai lầm cũng chính là một cách giải quyết “mâu thuẫn”, là một sự thay đổi về “lượng” để từng bước dẫn đến sự thay đổi về “chất” đó là việc lĩnh hội tri thức mới của học sinh. 1.2. Cơ sở tâm lý học Đối với môn toán nói riêng sau khi nắm vững được những định nghĩa, định lý, quy tắc của một chủ đề nào đó học sinh thường rất hứng thú muốn vận dụng chúng để giải quyết các vấn đề khó khăn mà giáo viên đề ra cho học, chẳng hạn giải các bài tập. Tâm lý muốn thể hiện khả năng của mình là một dấu hiệu rất tích cực của học sinh, tuy nhiên đôi khi tâm lý này cũng dễ làm học sinh mắc sai lầm trong quá trình giải toán. Thực tế cho thấy rằng nếu giáo viên không khéo léo trong việc tìm cách sửa chữa lai lầm cho học sinh thường khiến học sinh ấy cảm thấy chán nãn, tự ti vì sai lầm mắc phải của mình, điều này dẫn đến hệ lụy xấu đó là học sinh sẽ thiếu động lực, thiếu tự tin giải quyết các vấn đề mới. Trong quá trình dạy học giáo viên không nên bỏ qua sai lầm của học sinh, cũng không nên chỉ trích sai lầm ấy mà phải để cho học sinh hiểu được rằng sai lầm là chuyện bình thường, thậm chí tất yếu trong quá trình học tập, từ đó tìm những biện pháp phù hợp nhất để học sinh sửa chữa. Làm được điều này giáo viên sẽ giúp học sinh có tâm lý thoải mái để đối mặt với những khó khăn, sai lầm, giúp các em dần hình thành thói quen làm việc cẩn thận, cân nhắc, nghiêm túc đó chính là cơ sở để học sinh học tập tốt và xa hơn là một người công dân có ích. 1.3. Cơ sở giáo dục học Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng "sai lầm không đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng có hữu ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa. Trong hoạt động của giáo viên cũng như của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnh hội được".[2] Ngoài việc chỉ ra nguồn gốc căn bản của sai lầm, thuyết Kiến tạo cũng xét đến các nguyên nhân khác như hạn chế về tâm lí, về nhận thức của chủ thể,... Theo thuyết này thì sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng cho học tập. Đặc biệt, vì nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ. Vấn đề không phải phòng tránh sai lầm, mà chủ động tổ chức cho học sinh gặp sai lầm và sửa chữa nó. Quan điểm đó phù hợp với R. A. Axanop: Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và tư duy, lí luận về bản chất của các sai lầm. Bên cạnh đó 2 A. A. Soliar cũng đã đặt ra một số bài toán phương pháp giảng dạy mà trong đó liên quan các tình huống học sinh dễ mắc sai lầm khi giải toán và khẳng định cần phải có biện pháp dạy học môn Toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện. 2.Thực trạng của đề tài Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn; tổng hợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin tôi nhận thấy trong việc dạy và học chủ đề tổ hợp, xác suất tồn tại những thực trạng sau: + Đối với giáo viên: - Phương pháp dạy học cũ vẫn được sử dụng nhiều. Nhiều giáo viên trong quá trình dạy học môn toán nói chung, dạy học tổ hợp xác suất nói riêng chưa thực sự quan tâm nhiều đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh. - Giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc đưa ra hệ thống bài tập về tổ hợp, xác suất phong phú sao cho có thể phán đoán tương đối chính xác những sai lầm học sinh dễ mắc phải đồng thời phù hợp với trình độ nhận thức của họ. Hệ thống bài tập nhiều khi còn lặp lại nhiều lần, điều này dễ gây nhàm chán cho học sinh đặc biệt những học sinh khá, giỏi. - Việc sử dụng các phương pháp dạy học kết hợp với những biện pháp cụ thể để khắc phục sai lầm cho học sinh trong học tập chủ đề tổ hợp, xác suất vẫn chưa được quan tâm đúng mức của một số giáo viên. + Đối với học sinh: - Nhiều học sinh cảm thấy trừu tượng, khó dẫn đến ngại, không hứng thú khi học tổ hợp, xác suất. - Trong quá trình học tập chủ đề tổ hợp xác suất học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn, sai lầm. Nhiều học sinh đã không kiên trì để khắc phục khó khăn, sai lầm dẫn đến thiếu động lực, tự tin khi giải quyết các vấn đề khác của chủ đề mà giáo viên giao cho. - Khả năng tự học, tự tìm thấy sai lầm của mình ở nhiều học sinh còn kém. Nhiều học sinh khi làm bài tập xong không kiểm tra lại, hoặc có kiểm tra cũng không phát hiện mình mắc lỗi ở đâu dẫn đến kết quả bài toán bị sai. 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện 3.1. Phát hiện và sửa chữa một số sai lầm thường gặp trong dạy học giải toán tổ hợp, xác suất cho học sinh THPT 3.1.1 Sai lầm do học sinh còn thiếu khả năng trực giác xác suất Nếu các yếu tố của Đại số và hình học có được chỗ dựa là trực giác số và trực giác không gian tương ứng của học sinh thì đối với các yếu tố của lí thuyết xác suất cơ sở tương tự là không có. Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện trong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những tình huống trong các mô hình toán học - xác suất, lẫn 3 những tình huống thực tiễn mang đặc trưng xác suất).Chính điều này dẫn đến những khó khăn ở học sinh khi học các yếu tố của lí thuyết xác suất. Ví dụ 1: Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất. Hãy tìm xác suất của các biến cố ngẫu nhiên sau đây: a) Biến cố A1 : “Không có mặt sấp nào xuất hiện”. b) Biến cố A2 : “Có một mặt sấp xuất hiện”. c) Biến cố A3 : “Có hai mặt sấp xuất hiện”. d) Biến cố A4 : “Có ba mặt sấp xuất hiện”. Một học sinh giải như sau: Ở kết quả của phép thử T : “Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất”, có thể xảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây: A1 , A2 , A3 , A4 và các biến cố này là đồng khả năng. Từ đó vận dụng định nghĩa cổ điển của xác suất sẽ tính được: 1 P  A1   P  A2   P  A3   P  A4   4 Lời giải trên là sai vì ngộ nhận rằng các biến cố A1 , A2 , A3 , A4 là đồng khả năng. Lời giải đúng a) Gọi Bi là biến cố “Đồng xu thứ i sấp”  i  1,2,3 , ta có: 1 A1  B1 B2 B3 , P Bi  2 Các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có 1 P  A1   P B1 P B2 P B3  . 8 b) Ta có A2  B1 B2 B3 �B1B2 B3 �B1 B2 B3 Theo quy tắc cộng xác suất, ta có P  A2   P B1 B2 B3  P B1B2 B3  P B1 B2 B3               Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được       1 Tương tự P  B B B   P  B B B   8 P B1 B2 B3  P  B1  P B2 P B3  1 2 3 1 2 1 8 3 3 Vậy P  A2   . 8 c) Ta có A3  B1B2 B3 �B1 B2 B3 �B1B2 B3 1 Lập luận tương tự câu b) ta được P  A3   . 8 d) Ta có A4  B1B2 B3 , các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có: 4 1 P  A4   P  B1B2 B3   P  B1  P  B2  P  B3   . 8 3.1.2. Sai lầm do chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ tổ hợp - xác suất Nhiều thuật ngữ và kí hiệu Toán học đã được mọi người thừa nhận và sử dụng thống nhất. Nhưng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Toán học hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau. Chẳng hạn: Với cùng khái niệm số tổ n� � k hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Cn hoặc � �. k� � Ví dụ 2: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết thành bao nhiêu chữ số có 9 chữ số, trong đó mỗi số chữ số 1 có mặt 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Thông thường học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp và giải như sau: Gọi số thỏa mãn là a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8a9 Số a1 có 6 cách viết {1, 2, 3, 4, 5, 6} Chữ số a2 a3a4a5 a6 a7 a8 a9 có 8! cách viết. Nếu như coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8a9 có 6.8! cách viết. Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị như nhau. Vậy số a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 có 6.8!  40320 cách viết. 3! Với cách giải trên học sinh đã sai ở chỗ: Nếu coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì a1 phải có 8 cách viết. Nghĩa là phải giả sử 3 chữ số 1 khác nhau ngay từ đầu. Do đó lời giải đúng sẽ là: Nếu như coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6} và số a2 a3a4a5 a6 a7 a8 a9 có 8! cách viết Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị như nhau 5 Vậy số a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 có 8.8!  53760 cách viết 3! 3.1.3. Sai lầm khi nhận thức các suy luận có lý trong sự phân biệt với suy luận diễn dịch Khi giải các bài toán Xác suất đặc biệt là các bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và chứng minh các kết quả đã thu được. Kĩ năng này là hoàn toàn mới đối với học sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhất định. ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận diễn dịch nên có học sinh giải thích sai như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn H bắn trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia. 3.1.4. Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp - xác suất Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới. Trong nhiều trường hợp, học sinh không hiểu rõ bản chất của các khái niệm tổ hợp – xác suất do đó dẫn đến sai lầm khi giải toán. Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác màu vào 5 lọ hoa khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông ) Lời giải sai: Học sinh giải như sau Cắm 3 bông hoa vào 5 lọ hoa (mỗi lọ cắm không quá một bông) như vậy có 3 lọ được cắm hoa và 2 lọ không được cắm hoa. Vậy số cách cắm hoa là: C53  10 ( cách ) Sai lầm: Ở đây học sinh không tính đến thứ tự cắm các bông hoa khác màu vào các lọ hoa khác nhau. Do các bông hoa khác màu và các lọ hoa khác nhau nên cách lựa chọn có liên quan đến thứ tự. Lời giải đúng: Do các bông hoa khác màu được cắm vào các lọ hoa khác 3 nhau nên số cách cắm là : A5  60 ( cách ) Nhầm lẫn giữa quy tắc này cho quy tắc kia, chẳng hạn: nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân trong Đại số tổ hợp. Ví dụ 5: Trong một đội văn nghệ có 35 nam và 24 nữ. Cần chọn hai người, một nam và một nữ đi biểu diễn trong lễ kỉ niệm mừng ngày Quốc khánh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Lời giải sai: áp dụng quy tắc cộng cho rằng 35 + 24 = 59 cách chọn. Sai lầm: Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân và ta có 35. 24= 840 cách chọn. Ta thấy rằng nếu chỉ chọn một người thì mới áp dụng quy tắc cộng. 6 3.1.5. Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc, định lý để vận dụng vào giải toán Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khi vận dụng vào giải Toán học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm. Điển hình nhất là việc nhầm lần giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, học sinh không chú ý đến điều kiện để áp dụng công thức cộng là các biến cố phải xung khắc, còn điều kiện để áp dụng công thức nhân là các biến cố phải độc lập. Ví dụ 6: Có một giỏ đựng 6 quả táo và 4 quả lê. Hai học sinh lấy ngẫu nhiên mỗi người một quả từ giỏ hoa quả. Tính xác suất của biến cố “ Hai người lấy được hai loại quả khác nhau ” ? Lời giải sai: Học sinh giải như sau 1 Gọi A là biến cố học sinh thứ nhất lấy được quả táo, P ( A)  6 1 Thì A là biến cố học sinh thứ nhất lấy được quả lê, P ( A)  4 Gọi B là biến cố học sinh thứ hai lấy được quả táo, P ( B)  1 6 Thì B là biến cố học sinh thứ hai lấy được quả lê, P ( B)  1 4 Gọi C là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau. Khi đó: C  A.B  A.B . Áp dụng công thức cộng và nhân xác suất ta có: 1 1 1 1 P  C   P  A  .P B  P A .P  B   .  . 6 4 4 6     Sai lầm : Học sinh cho rằng các biến cố A và B là độc lập nên đã áp dụng sai công thức nhân xác suất. Thực tế ở đây các biến cố không độc lập với nhau nên không được sử dụng công thức nhân xác suất. Lời giải đúng : n     A102  90 Gọi A là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau. Trường hợp 1: Học sinh thứ nhất chọn được quả táo thì học sinh thứ hai chọn được quả lê Có : 6 x 4 = 24 ( cách chọn ) Trường hợp 2: Học sinh thứ nhất chọn được quả lê thì Học sinh thứ hai chọn được quả táo Có : 4 x 6 = 24 ( cách chọn ) Khi đó n(A) = 24 + 24 = 48 48 8  Vậy P(A) = 90 15 7 Với hai khái niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp, học sinh thường gặp khó khăn khi phân biệt hai khái niệm này nên dẫn đến sai lầm khi vận dụng vào giải các bài tập. Ví dụ 7: Với bài toán: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy. Lời giải sai: Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 3 của 10, nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là A10  8.9.10  720 cách. 3 Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ tự là A6  4.5.6  120 cách 3 3 Vậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là A10 . A6  86400 Sai lầm: Tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạn nam và 3 bạn nữ. Giả sử có 3 bạn nam theo thứ tự là A, B, C ghép nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự là a, b, c tức là ta có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c). Nếu lấy thứ tự khác của 3 bạn nam là A, C, B và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c, b thì ghép 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b) vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước. Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần. Lời giải đúng: Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn là một tổ hợp chập 3 của 10 nên 3 số cách chọn là C10 .=120 3 Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn nữ là C6 =20 Với 3 bạn nam và 3 bạn nữ được chọn ta xem có bao nhiêu cách ghép thành 3 cặp nhảy (tất nhiên mỗi cặp gồm một nam và một nữ) Giả sử 3 bạn nam là A, B, C và 3 bạn nữ là a, b ,c thì cứ mỗi cách ghép 3 cặp nhảy chẳng qua là một hoán vị của 3 nữ mà thôi (Tất nhiên có thể coi là một hoán vị của 3 bạn nam thì kết quả vẫn thế). Vậy số cách ghép 3 cặp nhảy cho 6 bạn này là 3! 3 3 Do đó, số cách bố trí 3 cặp nhảy là C10 .C6 .3!  14400 3.1.6. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng. Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp. Nhìn từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải Toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện Học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp. Ví dụ 8: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn Âm nhạc và 3 cuốn Hội hoạ. Thầy muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. Giả sử thầy giáo 8 muốn sau khi tặng xong, mỗi một thể loại sách đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? Lời giải sai: Để đảm bảo sau khi tặng xong thầy giáo vẫn còn ít nhất mỗi loại 1 cuốn, trước hết ta hãy lấy một loại sách 1 cuốn để ra ngoài (không tặng): 5.4.3 = 60 cách “để dành”. Sau khi đã để ra ngoài mỗi loại một cuốn thầy giáo còn lại 12 – 3 = 9 6 cuốn. Lấy 6 cuốn sách trong số 9 cuốn này để tặng, có C9 cách. 6 Do đó có 60. C9 cách lấy ra 6 cuốn sách mà mỗi loại còn ít nhất một cuốn. Với mỗi cách lấy ra 6 cuốn như vậy ta có 6! Cách tặng cho 6 người. 6 Tổng cộng có 60. C9 .6! = 3628800 cách tặng. Sai lầm: Trong lời giải trên đây có những cách tặng như nhau nhưng bị đếm lặp lại. Chẳng hạn, để dành cuốn hội hoạ 1, chia cuốn hội hoạ 2, còn lại cuốn hội hoạ 3 được xem là khác với để dành cuốn hội hoạ 3, chia cuốn hội hoạ 2, còn lại cuốn hội hoạ 1. Trong khi cả hai cách chia đó chỉ là 1 trường hợp chia cuốn hội hoạ 2, còn lại 2 cuốn hội hoạ 1 và hội hoạ 3. 6 Lời giải đúng: Lấy 6 cuốn trong số 12 cuốn sách có C12 cách. Lấy 5 cuốn sách văn học và 1 trong 7 cuốn sách hội hoạ hoặc âm nhạc có 7 cách. Lấy 4 cuốn sách âm nhạc và 2 trong số 8 cuốn sách văn học hoặc hội hoạ, 2 có C8 cách. Lấy 3 cuốn sách hội hoạ và 3 trong số 9 cuốn sách văn học hoặc âm nhạc, có C cách. 6 2 3 Như vậy có C12 - (7 + C8 + C9 ) cách lấy ra 6 cuốn sách mà mỗi loại đều 3 9 còn lại ít nhất một cuốn. Với mỗi cách lấy ra 6 cuốn sách như vậy ta lại có 6! Cách tặng cho 6 người. 6 2 3 Vì vậy có ( C12 - (7 + C8 + C9 )6! = 579600 cách tặng. 3.1.7. Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương Học sinh thường mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằng các phép biến đổi tương đương. 7 Ví dụ 9: Giải phương trình: C x1  Cx2  Cx3  x 2 Lời giải sai: Ta có phương trình tương đương với x x ( x  1) x ( x  1)( x  1) 7   x 2! 3! 2 9 � 6 x  3x( x  1)  x( x  1)( x  2)  21x � x 3  16 x  0 � x( x 2  16)  0 � x  4; x  4; x  0 Sai lầm: Lời giải trên còn thiếu điều kiện x�N và x �3. Nên phương trình trên chỉ có 1 nghiệm là x = 4. 3.2. Những biện pháp giúp học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán tổ hợp, xác suất 3.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất và ý nghĩa của các khái niệm, quy tắc, ký hiệu trong sách giáo khoa từ đó vận dụng trong giải toán Tổ hợp - Xác suất Ví dụ 10: Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 3 uỷ viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự. Đối với bài toán này, để định hướng cách giải người giáo viên có thể nêu lên câu hỏi: Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện mấy công đoạn? Nhìn vào yêu cầu của bài toán có thể học sinh sẽ trả lời được: Ta cần thực hiện các công đoạn sau: chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 3 uỷ viên. Cuối cùng ta sẽ yêu cầu học sinh tìm số cách chọn trong mỗi công đoạn: Công đoạn 1: Chọn 1 lớp trưởng có 40 cách Công đoạn 2: Chọn 1 lớp phó trong 39 học sinh sau khi đã chọn lớp trưởng có 39 cách Công đoạn 3: Chọn 3 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại (3 uỷ viên không 3 . cần có thứ tự nên dùng tổ hợp) có C38 Để biết được có tất cả bao nhiêu cách chọn ban cán sự ta dùng quy tắc nào? Đến đây học sinh sẽ biết dùng quy tắc nhân để đưa ra kết quả số cách lập 3  13160160 cách ra ban cán sự lớp là: 40.39.C38 Bài toán này có thể giải theo cách khác được không? Bây giờ ta thực hiện cách chọn như sau: Công đoạn 1: Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó 2 cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là A40 Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh trong 38 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách 3 . chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là C38 2 . C 3 = 13160160 cách. Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là: A40 38 10 Khi phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán, giáo viên cần lứu ý học sinh các đối tượng đếm không bị lặp lại. Đây cũng là sai lầm rất dễ mắc phải. Ví dụ 11: Trong dạy học công thức nhị thức Niu - tơn Công thức nhị thức Niu-tơn được vận dụng vào giải rất nhiều các dạng toán. Học sinh được tiếp cận công thức bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn, từ việc khai triển  a  b 1 ,  a  b  2 ,  a  b  3 ,  a  b  4 , sau đó tổng quát n k nk k n a  b  Cn a b (1) với sự quy ước a0  b0  0 mà   � thành công thức k 0 không chứng minh. Tuy nhiên học sinh sẽ rất khó khăn trong việc nhớ công thức nếu việc dạy học chỉ dừng lại ở đây. Dạy học không chỉ dạy cho học sinh ghi nhớ công thức một cách máy móc mà dạy cho học sinh biết vận dụng công thức vào giải Toán. Do đó để học sinh có thể vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn vào giải các bài toán cần cho học sinh hoạt động tìm ra quy luật và những đặc trưng của công thức, đây cũng là điều kiện để truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp cần thiết. Giáo viên cho học sinh hoạt động bằng những câu hỏi: Em hãy nhận xét về quy luật của số mũ của a và số mũ của b trong công thức (1)? Muốn cho có quy luật ngược lại thì làm thế nào? Nhận xét về các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn? Tìm hệ số của a nk bk ? Mong đợi học sinh sẽ tìm ra các quy luật và đặc điểm sau: - Trong công thức (1) số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần. - Muốn có quy luật ngược lại (tức là cho số mũ của a tăng còn số mũ của n k k nk n n a  b  b  a     � Cn a b b giảm) thì ta viết như sau:  . k 0 - Các hệ số trong khai triển đều là số nguyên dương; các hệ số ở đầu cùng bằng đơn vị; hệ số các số hạng cách đều hai đầu cùng là như nhau; các hệ số tăng từ các biên vào đến chính giữa. - Hệ số của a nk b k là Cnk Một số ví dụ đơn giản để củng cố như: n n Hãy viết khai triển của  a  b   ? Đặc biệt viết khai triển của  1  x  theo luỹ thừa tăng của x và theo luỹ thừa giảm của x? 11 n Viết khai triển của  1  x  , từ đó hãy tính tổng của các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn? 3.2.2. Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Tổ hợp - Xác suất Khi ra một bài toán nào đó (không riêng về toán Tổ hợp và Xác suất) thì trong suy nghĩ của người giáo viên tự hỏi ra để làm gì? mục đích của nó? Cần chọn một bài rất cơ bản và thật sự cơ bản giảng cho hiểu sau đó nâng nó lên và dần đến tổng quát hoá và cố gắng chọn bài nào cho có nhiều mối liên hệ với nhiều bài khác để các em cùng xây dựng. Trong chừng mực nào đó phương pháp nói sao cho truyền cảm đúng chỗ; nhấn mạnh đúng lúc; chỉ cho các em chỗ hay, chỗ thiếu tự nhiên trong giải bài toán trên; nó sai ở đâu và vì đâu mà sai? Thường xuyên tìm hiểu rộng cách giải của học sinh và khai thác chúng; nếu thấy nó khá hiệu quả nên khen với tình cảm thân mật. Ví dụ: Các em xem lại cách giải của bạn thấy thế nào? bạn đã khai thác ra sao? Các em có hứng thú với cách giải đó không? Bạn nào có thể có cách giải khác không? . . . Cuối cùng là khích lệ học sinh. Làm như thế chúng ta đã phát huy được tính tích cực hoạt động học tập của học sinh. Ví dụ 12: Sau khi đã được học về khai triển nhị thức Niutơn, yêu cầu học 10 sinh: Tìm hệ số của x12 trong khai triển P = 2x2  x   Có nhiều học sinh sẽ làm theo cách khai triển P và tìm xem số hạng nào chứa x12 để tìm hệ số của nó. Tuy nhiên, việc khai triển như vậy sẽ lâu và cồng kềnh, và với những bài toán tương tự với số mũ cao hơn thì cách giải này là không tốt. Gợi động cơ cho học sinh tích cực suy nghĩ tìm lời giải khác: Hãy tìm cách giải nhanh hơn và có thể giải quyết những bài toán tương tự mà có số mũ lớn? Hãy xét số hạng thứ k + 1 trong khai triển đó? k (2 x 2 )10k xk Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là Tk 1  C10 k 210k x 20k . Tìm k để số hạng này chứa 12 ? Viết lại Tk 1  C10 x Để số hạng này là số hạng chứa x12 thì x20k  x12 suy ra k = 8. 8 .2 2 . Từ đó suy ra được hệ số của x12 là C10 Nhờ phương pháp này yêu cầu học sinh làm một số bài toán tương tự: 15 Tìm hệ số của x25 y10 trong khai triển x3  xy   12 21 �1 � Tìm hệ số của x12 trong khai triển �  x3 � �3 2 � �x � 3.2.3. Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho học sinh thuật giải một số dạng toán Tổ hợp - Xác suất Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt trong dạy học giải bài tập toán. Trong môn toán nói chung và chủ đề Tổ hợp – xác xuất nói riêng, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải. * Xác định quy tắc thuật giải một số dạng toán: Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm dần phù hợp với khả năng của học sinh, nó là định hướng để học sinh giải quyết bài toán đó. Bản chất của dạy học thuật giải, tựa thuật giải cho học sinh chính là dạy tri thức phương pháp. Giáo viên có thể xác định và tập luyện cho học sinh một số quy tắc thuật giải và tựa thuật giải để học sinh giải toán. Chẳng hạn với dạng toán tính xác suất, có thể áp dụng 2 thuật giải sau: a. Thuật giải áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra). Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi). Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra: P  A  A .  b. Thuật giải áp dụng các qui tắc tính xác suất: * Bước 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là: A1; A2 ;... An sao cho: Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố : A1; A2 ;... An . Xác xuất của các biến cố : A1; A2 ;... An là tính được(dễ hơn so với A) Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố A1; A2 ;... An . * Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo các biến cố A1; A2 ;... An . * Bước 3: Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng qui tắc: 13 1) Nếu A1 , A2 xung khắc: P  A1 �A2   P  A1   P  A2  2) Nếu A1 , A2 đối nhau: P  A1   1  P  A2  3) Nếu A1 , A2 độc lập: P  A1 A2   P  A1  P  A2  Chú ý: A và B độc lập thì A & B; A & B; A & B cũng độc lập và A và B độc lập � P  AB   P  A  P  B  . Ví dụ 13: Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen, 7 bi vàng. Lần lượt lấy ra 4 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ 3 màu: Giải: Gọi A là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra không đủ 3 màu” � A là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra có đủ 3 màu” Các trường hợp chọn 4 bi đủ 3 màu: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng 1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng   � P  A  1  P A 1  C52 C61C71  C51C62 C71  C51C61C72 33  C184 68 3.2.4. Biện pháp 4: Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất cho học sinh Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất ở học sinh phổ thông là rất cần thiết và có thể rèn luyện được. Để thực hiện được điều này trong nội dung và phương pháp dạy học cần phải thực hiện trong từng giai đoạn, trong các tình huống điển hình của quá trình dạy học: dạy học khái niệm, dạy học chứng minh định lí, dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn. Ví dụ 14: Hình thành, phát triển và sử dụng trực giác Xác suất của học sinh thông qua dạy học định nghĩa cổ điển của Xác suất. - Giai đoạn trước định nghĩa: Trong giai đoạn này dựa vào các phép thử thực tế (gieo đồng xu, gieo con xúc xắc), có thể cho học sinh “thấy được” khả năng xảy ra của các biến cố ngẫu nhiên khác nhau trong sự so sánh với nhau: Biến cố này có khả năng xảy ra nhiều hơn, biến cố khác có khả năng xảy ra ít hơn. Tiếp theo đó có thể đưa ra khái niệm Xác suất (trước khi có định nghĩa của nó), khi sử dụng những mô tả trực quan như: “Nhờ khái niệm xác suất chúng ta có thể đo được khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên” và “Xác suất của một biến cố là số đo khả năng xảy ra của biến cố đó”. Những điều này sẽ giúp học sinh hiểu được khái niệm xác suất ở mức độ “chung chung”. 14 Để đạt được điều này, hoạt động gợi động cơ mở đầu là cho các nhóm học sinh làm các thí nghiệm (ảo) gieo một đồng xu và gieo một con xúc xắc, được minh hoạ bởi bảng sau: Nhóm n-số lần gieo đồng xu m-số lần lật Tần xuất mặt ngửa f(N) Nhóm 1 100 57 0,57 Nhóm 2 1000 518 0,518 Nhóm 3 10 000 4 978 0,4978 Nhóm 4 100 000 49 945 0,49945 Nhóm n-số lần gieo xúc xắc m-số lần lật Tần suất mặt 5 chấm f(5) Nhóm 1 100 21 0,21 Nhóm 2 1000 155 0,155 Nhóm 3 10 000 1 609 0,1609 Nhóm 4 100 000 16 707 0,16707 Qua thí nghiệm cụ thể này học sinh “thấy trực tiếp” được các khái niệm “phép thử”, “biến cố”, “thấy trực tiếp” khả năng “lật mặt ngửa” dễ xảy ra hơn khả năng “xuất hiện mặt 5 chấm”. - Giai đoạn trong khi định nghĩa khái niệm: giáo viên gợi vấn đề “Cái gì có thể đặc trưng cho khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên?”. Học sinh sẽ suy nghĩ cân nhắc dựa trên các lần thí nghiệm và đưa ra câu trả lời, câu trả lời mong đợi ở học sinh là “Cần có một số đặc trưng cho khả năng xảy ra của một biến cố”. Tiếp đó giáo viên yêu cầu học sinh sử dụng các kết quả “thấy trực tiếp” ở trên để phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố A; và chính xác hoá, phân tích định nghĩa để cho học sinh thấy: Đúng là Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên biểu thị số đo khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên đó. - Giai đoạn sau định nghĩa: Hướng dẫn học sinh cho các ví dụ tính Xác suất có nội dung thực tiễn khác nhau. Nhờ đó hướng học sinh tới vận dụng định nghĩa cổ điển của Xác suất để chứng minh các tính chất cơ bản của Xác suất, để giải các bài toán có nội dung thực tiễn khác nhau; hình thành cho học sinh kĩ năng giải các bài toán Xác suất có nội dung thực tiễn. Từ đó học sinh củng cố được các kết quả đã “thấy trực tiếp” và sẵn sàng chuyển sang các hoạt động nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề mới. 15 3.2.5. Biện pháp 5: Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh khi giải toán Tổ hợp - Xác suất Dạy học Toán học nói chung và dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất nói riêng cần chú ý đến nhiệm vụ góp phần phát triển tư duy Toán học cho học sinh. Trong quá trình dạy học cho học sinh chủ đề tổ hợp, xác suất giáo viên cần không ngừng rèn luyện để học sinh sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học từ đó tránh được sai lầm, khắc phục được sai lầm mắc phải. Ví dụ 15: Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo thành bao nhiêu số có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau đồng thời và a) Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau b) Hai chữ số 2 và 3 không đứng cạnh nhau c) Giữa hai chữ số 2 và 3 có hai chữ số Để giải bài toán này học sinh phải biết phân tích kĩ yêu cầu của đề: Với câu a) hai số 2 và 3 đứng cạnh nhau thì có hai khả năng xảy ra: Hoặc số 3 đứng bên phải số 2 thì có 4 vị trí xếp cặp 32; hoặc số 3 đứng bên trái số 2 thì có 4 vị trí xếp cặp 23. Vậy có 2.4 cách chọn cặp (2; 3) đứng cạnh nhau.ứng với mỗi đoạn chọn đó có 3! cách xếp 3 phần tử còn lại vào 3 vị trí còn lại. Do đó có 2.4.3! = 48 số có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau. Với câu b) ta chỉ cần lấy phần bù của kết quả tính được ở câu a) Với câu c) ta lập một bộ 4 gồm hai phần tử gồm 2 và 3 và 2 phần tử trong các phần tử còn lại. Ứng với mỗi cặp (2; 3) có 4 bộ trong đó có hai phần tử trong các phần tử còn lại nằm ở giữa 2 và 3. Như vậy có 4.C32 = 12 bộ. Mỗi bộ 4 đó cộng với phần tử còn lại tạo thành một tập hợp gồm hai phần tử mà số hoán vị là 2!. Vậy số chữ số có thể lập được là 12.2! = 24 số. Từ bài toán này có thể gợi ý cho học sinh nêu bài toán tổng quát: ở trên là ta tính số hoán vị của 5 phần tử với những điều kiện nhất định, vậy hãy tổng quát với n phần tử? Hai số 2 và 3 là hai số bất kì trong n phần tử đó? Và bài toán tổng quát hi vọng học sinh có thể nêu được là: Cho tập hợp A có n phần tử trong đó có hai phần tử a1 và a2 . Hãy tính số hoán vị của n phần tử đó trong các trường hợp sau: + a1 và a2 đứng cạnh nhau + a1 và a2 không đứng cạnh nhau + Giữa a1 và a2 có hai phần tử. Ví dụ 16: Cho 10 điểm trong mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các đường thẳng đi qua 2 điểm của 10 điểm đã cho. Số giao điểm khác 10 điểm đã cho, do các đường thẳng này tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu? Học sinh có thể giải như sau: Mỗi đường thẳng đi qua đúng 2 điểm trong số 10 điểm đã cho (do không có 3 điểm nào thẳng hàng). 16 Do đó số các đường thẳng có được là C102 = 45. Để số giao điểm tạo thành từ các đường thẳng trên khác 10 điểm đã cho là nhiều nhất thì các đường thẳng này không có cặp đường thẳng nào song song và không có 3 đường nào đồng quy. Khi đó cứ 2 đường thẳng thì có 1 giao điểm, do đó số giao điểm tạo thành là C , trong đó có 10 điểm đã cho nên số giao điểm nhiều nhất khác 10 điểm đã cho là C452 - 10 = 980 điểm. 2 45 Sai lầm: Với mỗi điểm đã cho, khi nối 9 điểm còn lại sẽ có 9 đường thẳng và 9 đường này đồng quy. Do đó giả thiết các đường thẳng không có 3 đường nào đồng quy là không thể xảy ra và đây chính là nguyên nhân dẫn đến sai lầm của lời giải. Giáo viên cần thiết phải làm rõ cho học sinh thấy rằng giả thiết các đường thẳng không có 3 đường nào đồng quy ngoài 10 điểm đã cho mới là chính xác, qua đó lời giải đúng như sau: Mỗi đường thẳng có được tạo thành từ 2 điểm bất kỳ trong số 10 điểm đã cho nên số đường thẳng có là C102 = 45. Nếu cứ 2 đường thẳng cho 1 giao điểm thì sẽ có C452 giao điểm. Nhưng mỗi điểm đã cho có 9 đường thẳng đi qua nên điểm này là giao của C92 cặp đường thẳng. Như vậy với 10 điểm đã cho được tính thành 10. C92 giao điểm trong C452 giao điểm ở trên. Do đó số giao điểm nhiều nhất được tạo thêm ngoài 10 điểm đã cho là C452 - 10. C92 = 630. Muốn để xảy ra điều này thì 45 đường thẳng phải không có 2 đường thẳng nào song song và không có 3 đường thẳng nào đồng quy ở ngoài 10 điểm đã cho. 3.2.6. Biện pháp 6: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với những khó khăn và sai lầm, từ đó có các phản ví dụ cần thiết để học sinh điều ứng sơ đồ nhận thức đã có Một trong những phương thức cho học sinh thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải đó là cài đặt các bài toán có chứa các “bẫy”. Mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống được các tác giả cài đặt mà nếu học sinh không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm. Trước khi đưa ra bài toán để thử thách sai lầm của học sinh, dĩ nhiên giáo viên cần có một sự hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ kia học sinh có thể mắc sai lầm. Nhờ sự hình dung trực giác ấy giáo viên thiết kế bài toán tương thích. Qua thực tiễn trình bày lời giải bài toán ấy sẽ cung cấp cho giáo viên một sự nhận định sát thực tế hơn so với cảm nhận trực giác ban đầu, và khi khẳng định chắc chắn sự sai lầm của học sinh thì một khâu đặc biệt quan trọng là phải 17 dành thời gian thích đáng để nhấn mạnh kiến thức cần lưu ý có thể liên quan trực tiếp đến những sai lầm vừa mắc, thực chất là sự thể chế hóa một lần nữa. Giáo viên cần lưu ý rằng không nên lặp lại quá trình nhiều lần đối với một vấn đề vì như vậy sẽ tạo ra tính ỳ, mất hứng thú cho học sinh. Trong ví dụ được nêu ra sau đây chỉ là 1 trong những hình thức thử thách học sinh, trong đó trong cùng 1 bài toán, giáo viên có thể đưa ra nhiều lời giải khác nhau sau đó cho học sinh phân tích và lựa chọn lời giải đúng. Ví dụ 17: Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn ra 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) để ghép thành 3 đôi biểu diễn văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép? Lời giải 1: - Số cách chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là A123 (cách) - Số cách chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là A103 (cách) - Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: A123 . A103 (cách) Lời giải 2: - Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C123 (cách) - Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C103 (cách) - Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: C123 . C103 (cách) Lời giải 3: - Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C123 (cách) - Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C103 (cách) - Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) là: C123 . C103 (cách) - Vì một đôi có hai bạn (1 nam, 1 nữ) nên chọn ra 1 bạn nam (trong 3 bạn nam) và một bạn nữ (trong 3 bạn nữ) thì có: 3.3 = 9(cách) - Vậy số cách chọn thoả mãn là: 9 C123 . C103 (cách) Lời giải 4: - Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C123 (cách) - Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C103 (cách) - Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) là: C123 . C103 (cách) - Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách) ghép giữa các đôi này với nhau (là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc của 3 học sinh nữ) - Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3! C123 . C103 (cách) Đâu là lời giải đúng? Phân tích: - Lời giải 1: Rõ ràng là sai vì bài toán ko yêu cầu thứ tự - Lời giải 2: Thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi - Lời giải 3: Có vẻ như đúng, tuy nhiên ở bước cuối đã nhầm lẫn việc chọn ra 3 đôi với việc chỉ đơn thuần chọn ra 1 nam và 1 nữ - Lời giải 4: Là lời giải đúng. 18 4. Kết quả thực nghiệm của đề tài: Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau: 4.1. Kết quả định tính. + Các giáo viên được phỏng vấn, giáo viên dạy thực nghiệm đều có ý kiến rằng: Các sai lầm trong học tập tổ hợp, xác suất được nêu trên đề tài là thường gặp trong quá trình học tập của học sinh; các ví dụ đưa ra phù hợp, phản ánh đúng thực tế dạy học; các biện pháp khả thi và hoàn toàn có thể áp dụng được. + Nhiều học sinh không còn có tâm lí ngại hoặc sợ học chủ đề tổ hợp, xác suất. + Học sinh chủ động, tích cực hơn khi xây dựng bài, chữa bài tập và làm bài tập về nhà. + Nhiều học sinh có thói quen phát hiện và sửa chữa sai lầm của mình, của các bạn để từ đó giải đúng các bài toán tổ hợp, xác suất một cách đa dạng. 4.2. Kết quả định lượng. Trong năm học 2013 - 2014 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài tại lớp 11A7 và lớp 11A9 - Trường THPT Yên Định 2. Kết quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học sinh hai lớp 11A7 và 11A9. Tôi chọn lớp 11A9 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử dụng đề tài), lớp 11A7 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho học sinh hai lớp làm bài kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau: Lớp 11 A7 11 A9 Sĩ số 45 Giỏi SL % 8 17,8 Khá SL 10 47 14 15 29,8 % 22, 2 31, 9 Trung bình SL % 24 53,3 Yếu SL 3 % 6,7 Kém SL % 0 0 16 2 4,3 0 34 0 Quá trình thực nghiệm với những kết quả trên đây bước đầu có thể thấy hiệu quả thiết thực của việc vận dụng đề tài vào thực tiễn dạy học. Những lí luận và giải pháp mà đề tài nêu ra mang tính khả thi và có thể áp dụng trong dạy học môn Toán lớp 11 chủ đề tổ hợp, xác suất. 19 III. KẾT LUẬN Đề tài đã thu được một số kết luận như sau: - Đề tài đã làm sáng tỏ được vai trò, ý nghĩa của việc học tổ hợp, xác suất trong trường phổ thông hiện nay. - Bước đầu nghiên cứu một số cơ sở lí luận về tổ hợp, xác suất. - Đề tài đã nêu ra được nhiều những sai lầm thường gặp của học sinh trong học tập chủ để Tổ hợp, xác suất góp phần làm sáng tỏ nhận định: Các sai lầm của học sinh khi giải Toán Tổ hợp – Xác suất còn tương đối phổ biến. Những sai lầm này được nhìn nhận từ góc độ các hoạt động Toán học, đồng thời phân tích những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các khó khăn và sai lầm đó. - Đã đề xuất được sáu biện pháp nhằm khắc phục, sửa chữa những khó khăn, sai lầm của học sinh THPT khi giải Toán Tổ hợp – Xác suất. - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp được đề xuất. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15/5/2014 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi không sao chép nội dung của người khác. Tác giả Trịnh Trọng Trung 20