Skkn những bài toán về cực trị trong chương trình thcs

  • Số trang: 31 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 14 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

§Æt vÊn ®Ò Sau nhiÒu n¨m d¹y to¸n häc ë bËc trung häc c¬ së, t«i nhËn thÊy kh¸i niÖm cùc trÞ kh«ng ®îc x©y dùng thµnh mét hÖ thèng lý thuyÕt hoµn chØnh mµ chØ h×nh thµnh tõng bíc cho häc sinh qua mét sè bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa. Nhng c¸c bµi to¸n cùc trÞ l¹i lµ mét vÊn ®Ò thêng gÆp trong c¸c kú thi, c¸c ®ît kiÓm tra hµng n¨m. Do ®ã viÖc h×nh thµnh kh¸i niÖm cùc trÞ mét c¸ch hÖ thèng cho häc sinh vµ viÖc gi¶i quyÕt c¸c ba× to¸n nµy cña häc sinh cßn gÆp nhiÒu trë ng¹i. XuÊt ph¸t tõ nh÷ng kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua thùc tÕ gi¶ng d¹y, tõ nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong ch¬ng tr×nh ®¹i häc to¸n vµ sù t×m hiÓu thªm c¸c tµi liÖu tham kh¶o, ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c ThÇy, C« gi¸o. T«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi : “Nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ trong ch¬ng tr×nh Trung häc c¬ së” lµm ®Ò tµi ®iÒu kiÖn tèt nghiÖp cña m×nh. Qua ®Ò tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, tù ph©n lo¹i ®îc mét sè d¹ng to¸n vÒ cùc trÞ, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc n¾m c¸c kiÕn thøc vÒ d¹ng to¸n nµy. T«i hy väng cã thÓ gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp gãp phÇn nhá n©ng cao hiÖu qu¶ giê häc cña häc sinh. Néi dung ®Ò tµi gåm 3 phÇn: PhÇn I : Kh¸i qu¸t chung. PhÇn II : C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè. PhÇn III : C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong h×nh häc. PhÇn I : Kh¸i qu¸t chung A/Môc ®Ých yªu cÇu: 1/ §èi víi gi¸o viªn: - X©y dùng ®îc c¬ së lý thuyÕt ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ. - TuyÓn chän, ph©n lo¹i ®îc c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n vµ nªu lªn c¸c ph¬ng ph¸p chÝnh gi¶i tõng lo¹i vÒ bµi to¸n cùc trÞ. - Dù ®o¸n ®îc c¸c sai sãt cña häc sinh, nªu ®îc nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ. 20 2/ §èi víi häc sinh: - HiÓu ®îc b¶n chÊt cña kh¸i niÖm cùc trÞ vµ n¾m ®îc c¸c bíc gi¶i cña bµi to¸n cùc trÞ. - NhËn d¹ng ®îc tõng lo¹i bµi to¸n cùc trÞ, vËn dông s¸ng t¹o c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ vµo tõng bµi cô thÓ, tõ dÔ ®Õn khã. - Bíc ®Çu øng dông ®îc c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµo ®êi sèng. B. Lý thuyÕt chung: C¸c bµi to¸n cùc trÞ cã nguån gèc tõ rÊt xa xa trong lÞch sö to¸n häc. Nã b¾t nguån tõ ho¹t ®éng thùc tiÔn cña con ngêi, ngµy nay c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®îc nghiªn cøu rÊt nhiÒu vµ cã øng dông réng r·i trong ®êi sèng vµ kü thuËt. Chóng gãp phÇn h×nh thµnh nªn c¸c ngµnh cña to¸n häc nh quy ho¹ch tuyÕn tÝnh, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi u. Trong bµi viÕt nµy, t«i chØ ®Ò cËp ®Õn nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ gi¶i kh«ng dïng ph¬ng ph¸p ®¹o hµm. XÐt hµm sè n biÕn: F (x,y,z...) liªn tôc trªn miÒn ®ãng D  Rn NÕu F(x,y,z...)  A víi mäi (x,y,z)  D = const §ång thêi  (x0,y0,z0...) sao cho F(x0,y0,z0...) = A, th× A gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña F (x0,y0,z0...) trªn D. Ký hiÖu max F (x0,y0,z0...) = A T¬ng tù, nÕu F (x0,y0,z0...)  A (a = const)  (x,y,z...)  D Vµ  (x0,y0,z0...)  D sao cho F (x0,y0,z0...) = a Th× a lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña F (x,y,z...) trªn D Ký hiÖu: min F (x,y,z...) = a Trong ch¬ng tr×nh Trung häc c¬ së, th«ng thêng n = 1;3 . Nh vËy ®Ó gi¶i mét bµi to¸n cùc trÞ, th«ng thêng ta tiÕn hµnh theo 2 bíc: Bíc 1: ChØ râ F (x,y,z...)  a (hoÆc  A) (Víi A; a lµ h»ng sè)  (x,y,z...)  D Bíc 2: ChØ ra ®îc (x0,y0,z0...)  D sao cho F (x0,y0,z0...) = a (hoÆc = A) PhÇn II mét sè bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè I/ Cùc trÞ cña hµm ®a thøc mét biÕn: 1.1- Ph¬ng ph¸p: §a vÒ d¹ng: f (x) = k  g 2 (x) (k = const) 2 NÕu f (x) = k + g (x) th× min f (x) = k  g (x) = 0 NÕu f (x) = k - g 2 (x) th× max f (x) = k  g (x) = 0 VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 Gi¶i: Ta cã: (x+2)2  0 dÊu “ = ”  x = - 2 (x-1)2  0 dÊu “ = ”  x = 1 Nªn A > 0 Nhng kh«ng thÓ kÕt luËn ®îc min A = 0 v× kh«ng ®ång thêi x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. Do vËy ta ph¶i gi¶i nh sau: A = (x+2)2 + (x-1)2 = x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1 = 2x2 + 2x + 5 = 2 ( x2 +x + 5 ) 2 =2 (x2 + 2x 1 + 1 2 4 9 khi x 2 )+ 9 4 1 2 = 2 (x + Do ®ã min A = =VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: 20 1 2 )2 + 9 2 B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6) Gi¶i: Ta cã: B = - ( x2 + 5x - 6) (x2 + 5x + 6) §Æt: x2 + 5x = t Ta cã: B = - (t- 6) (t+6) = - (t2-36) B = 36 - t2  36 x=0 VËy B = 36 khi x2 + 5x = 0  x = -5 Do ®ã: max B = 36 Khi  x= 0 x = -5 1.2- Mét sè nhËn xÐt: - Dùa vµo tÝnh biÕn thiªn cña hµm sè lµ tam thøc bËc hai, ta cã kÕt qu¶ mçi tam thøc bËc hai ®Òu cã mét cùc trÞ (hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt, hoÆc gi¸ trÞ nhá nhÊt ). - Trong bµi to¸n cùc trÞ, ta cã thÓ ®æi biÕn. Cô thÓ nh vÝ dô 1 ta cã thÓ dÆt y = x + 2 kho ®ã A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2 1.3- Mét sè bµi tËp t¬ng tù: Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9 B = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 C = (x+1)2 + ( x+3)2 D = x( x+1) ( x+2) ( x+3) E = x6 - 2x3 + x2 - 2x + 2 Bµi 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A= 4x - x2 +1 B = 5- 8x- x2 C = -5x2- 4x + 1 D = 1- x- x2 II/ Cùc trÞ cña hµm sè ®a thøc nhiÒu biÕn sè: VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ®a thøc P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz + 36x + 5 Gi¶i: P = (9x2+36xy+36y2)+(18y2- 24yz+8z2)+ (8x2 -16xz+8z2)+2x2 + 5 = 9 (x + 2y)2 + 2 (3y- 2z)2 + 8 (x- y)2 + 2x2 + 5 Ta thÊy P  5 Víi x = y = z = 0 th× P = 5 Do ®ã P = 5 khi x = y = z = 0 VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: Q = 15- 10x- 10x2 + 24 xy- 16y2 Gi¶i: Q = - (x2 + 10x + 25) - (9x2- 24xy + 16y2) + 40 = 40- (x + 5)2 - (3x- 4y)2  40 x = -5 VËy max Q = 40  y = - 15 4 NhËn xÐt: + Ta vËn dông kiÕn thøc cho F = F 1 + F2 th× maxF = maxF 1 + maxF 2 hay (min F = min F 1 + min F 2) Trong ®ã F 1,F2 lµ c¸c biÓu thøc chøa biÕn ®èi lËp víi nhau hoÆc cã chøa cïng mét biÕn th× cïng ®¹t max (min) t¹i mét bé gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña biÕn (Víi ®a thøc nhiÒu biÕn) + Trong qu¸ tr×nh gi¶i ta cã thÓ dïng c¸ch ®æi biÕn VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 Gi¶i: C¸ch 1: 20 M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 = (a2- 4ab + 4b2) + (b2- 2b + 1) + 27 + 10a-20b = (a- 2b)2 + (b- 1)2 + 27 + 10 (a- 2b) §Æt a- 2b = t ta ®îc D = t2 + (b- 1)2 + 27 + 10t = (t + 5)2 + (b- 1)2 + 2  2 t+5=0 a- 2b + 5 = 0 a = -3 DÊu “ = ” x¶y ra khi   b- 1 = 0 b=1 b=1 VËy min M = 2  b = 1; a = -3 C¸ch 2: §èi víi ®a thøc nhiÒu biÕn ta cã thÓ chän mét biÕn lµm biÕn chÝnh råi thªm bít cïng mét h¹ng tö ®Ó trë thµnh h»ng ®¼ng thøc b×nh ph¬ng mét tæng hoÆc b×nh ph¬ng mét hiÖu (a1 + a2 +.....+ an)2 = a12 + a22 +...+ an2 + 2a1a2+ ...+ 2an-1an + 2ana1  M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28 = ( a2 + 4b2 + 25- 4ab + 10a- 20b) + (b2- 2b + 1) + 2 = (a- 2b + 5)2 + (b-1)2 + 2 V× (a- 2b +5 )2  0 ; (b-1)2  0  a,b  R (b-1)2 = 0  M  2  min M = 2   b=1 (a- 2b + 5)2 = 0 a=-3 ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy ta cã thÓ lµm cho vÝ dô 3 vµ vÝ dô 4. VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = ax2 + by2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0) 2 2 2 2 2c x + c 2 ) + b(y2 + 2d y + d 2 )- c - d 2a 2b 4 a 4b 4a 4b 2 2 c 2 d 2 = a(x + ) + b (y + ) +  bc  ad  4abe 2b 2a 4ab V× a,b > 0 ; (x + c )2  0; (y + d )2  0  x,y  R 2a 2b 2 2  A   bc  ad  4abe 4ab 2 2  Amin =  bc  ad  4abe 4ab = a(x2 + x+  c 2a =0 x=  +e  c 2a d 2b y+ =0 y=  d 2b VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: N = (x- 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 (a lµ h»ng sè) Gi¶i: Ta cã N  0 (x- 2y + 1)2 = 0 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  (2x + ay + 5) = 0 2 (Cã nghiÖm) x- 2y + 1 Cã nghiÖm  a  2  a  -4  2 1 2x + ay + 5 = 0 NÕu a = - 4 ta cã M = (x- 2y + 1)2 + (2x- 4y + 5)2  20 2 = (x- 2y + 1)2 + 2(x- 2y + 1) + 3 = (x- 2y + 1)2 + 4 (x- 2y + 1)2 + 12 (x- 2y + 1) + 9 = 5 (x- 2y + 1)2 + 12 5 (x- 2y + 1) + 2 = 5 (x- 2y + 1) + 6 5 2 = 5 x- 2y + 11 + 5 + + 9 5 9 5 9 9  5 5 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  x- 2y +  Mmin = 0  x- 2y + 36 25 11 5 11 5 =0 0 Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: A = 1- 4x- 5x2 B = xy- x2- y2 + 4x+ 5 C = x2 + y2- 6x- 2y + 17 Bµi 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A = 5x2- 12xy + 9y2- 4x + 4 B = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2003 C = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7 D = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2004 E = x2- 2xy + 6y2- 12x + 12y + 45 F = (x+2y)2 + (x- 4)2 + (y- 1)2- 27 G = x4- 8xy- x3y + x2y2- xy3 + y4 + 2001 H = (x-y)2 + (x+1)2 + (y- 5)2 + 2006 I = x2 + 2y2 + 3z2- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000 III/ Cùc trÞ cña ph©n thøc ®¹i sè: 3.1- Mét sè kiÕn thøc cÇn lu ý: Cho P = m víi A > 0 : A - NÕu m = 0  P = 0 - NÕu m > 0 max P = 1 ; min P = 1 min A max A 1 ; max A - NÕu m < 0 ta cã max P = min P = 1 min P B»ng c¸ch ¸p dông c¸c tÝnh chÊt trªn, ta cã thÓ ®a bµi to¸n t×m cùc trÞ cña ph©n thøc vÒ bµi to¸n cùc trÞ cña ®a thøc. 3.2- C¸c vÝ dô: VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 3 4x  4x  5 3 3 Gi¶i: M = 2 = (2 x  1) 2  4 4x  4x  5 M= 2 Ta thÊy: (2x- 1)2  0 nªn (2x- 1)2 + 4  4 3 3 Do ®ã (Theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n thøc cïng tö,  2 (2 x  1)  4 4 20 tö mÉu ®Òu d¬ng) VËy maxM = 3 víi x = 1 4 2 Chó ý: SÏ kh«ng chÝnh x¸c nÕu lËp luËn r»ng M cã tö lµ h»ng sè nªn M lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt. LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi ph©n thøc MÉu thøc x2- 3 cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ (-3) khi x = 0 Nhng víi x= 0 th×: ph©n thøc (Ch¼ng h¹n víi x = 2 th× 1 x 3 2 1 =  1 kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña 3 x 3 2 1 =1>  1) 3 x 3 2 Tõ a < b chØ suy ra 1 > 1 khi a,b cïng dÊu a b VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 2 N = 2 x2  6 x  6 x  4x  5 2 N = 2 x2  6 x  6 x  4x  5 Gi¶i: 2 2 = x  4 x 2 5  x  2 x  1 x  4x  5 (x + 1)2  0  x ( x  1) 2 0  ( x  2) 2  1 =1+ x v× (x+2)2 + 1 > 0  x DÊu “ = ” x¶y ra  x = -1 vËy min N = 1  x = -1 VÝ dô 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 2 P = x2  x  1 Gi¶i: P = x  2x 1 x 2  2x 1  x  1 1 x  x 1 = ( x  1) 2 x 2  2x 1 2 = 1+ §Æt 1 x 1 1 x 1 + 1 ( x  1) 2 = A ta cã P = 1 +A + A2 P = A2 + A + 1 = A2 + 2A P= 3 4 khi A = - 1 2 1 2 + 1 4 + 3 4 = (A + 1 2 )2 + 3 4  3 4 hay x = -1 VËy min P = 3  x = -1 4 3.3- NhËn xÐt: ë vÝ dô 6: Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè, nªn bµi to¸n ®a vÒ t×m cùc trÞ cña ®a thøc ë mÉu. Trong vÝ dô 7, vÝ dô 8: ta ®· chia tö cho mÉu v× bËc cña tö vµ mÉu b»ng nhau. Trong vÝ dô 8 lµ trêng hîp mÉu lµ b×nh ph¬ng cña nhÞ thøc ta cã thÓ ®æi biÕn. 3.4- Mét sè bµi tËp t¬ng tù: Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A= 2 6x  5  9x2 20 B= x 2  x 1 ( x  1) 2 C= x 2 1 x 2  x 1 Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau: D= 3 4  4x  5 E= x ( x  1) 2 G= 2x 1 x2  2 2 IV/ Cùc trÞ cña hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: 4.1- KiÕn thøc cÇn thiÕt: a, f (x) = f (x) nÕu f (x)  0 f (x) = - f (x) nÕu f (x)  0 b, f (x) + g (x)   f (x) + g (x) dÊu “ = ” x¶y ra  f (x). g (x)  0 c, f (x) - g (x)   f (x) - g (x) dÊu “ = ” x¶y ra  f (x). g (x)  0 f (x)  g (x) max f (x) = A d, Gi¶ sö ta cã min f(x) = a víi f (x) xÐt trªn ®o¹n (a1,b1) NÕu f (x)  0 ta cã: max f (x) = max f (x) = A trªn ®o¹n (a1,b1) min f (x) = min f (x) = a trªn ®o¹n (a1,b1) NÕu max f (x)  0 cßn min f (x)  0 trªn ®o¹n (a1,b1) Ta cã: max f (x) = max (A; a ) min f (x) = 0 NÕu f (x) < 0 ta cã: max f (x) = - min f (x) trªn ®o¹n (a1,b1) min f (x) = - max f (x) trªn ®o¹n (a1,b1) Chøng minh: a, Lu«n ®óng theo ®Þnh nghÜa b, Víi mäi f (x), g (x) ta lu«n cã - f (x)  f (x)  f (x) - g (x)  g (x)  g (x) Céng tõng vÕ hai bÊt ®¼ng thøc kÐp ta cã - (f (x) + g (x))  f (x) + g (x)  f (x) + g (x)   f (x) + g (x)  f (x) + g (x) DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  f (x) vµ g (x) cïng dÊu  f (x).g (x)  0  f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x)  f (x) -g (x) + g (x)  f (x) -g (x)  f (x) - g (x) DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  f (x) . g (x)  0 d, ViÖc chøng minh c©u d lµ hiÓn nhiªn NhËn xÐt: ViÖc chøng minh c©u b,c cã thÓ b×nh ph¬ng hai vÕ ( XÐt c¸c trêng hîp cã thÓ x¶y ra) VÝ dô: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8 20 NhËn xÐt: Tõ bÊt ®¼ng thøc f (x) + g (x)  f (x) + g (x) Ta më réng ®îc: f (x) + g (x) + ...+ h(x)   f (x) + g (x) +...+ h(x) DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  f (x), g (x),..., h(x) cïng dÊu. (ViÖc chøng minh ®¬n gi¶n) Gi¶i: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x ¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: A  x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  x +1, 2x + 5, 18-3x cïng dÊu  - 1 x 6 4.2- C¸c vÝ dô: VÝ dô 9: T×m gi¸ trÞ nhá nãt cña biÓu thøc sau: A = x-1996 +  x- 2000 Gi¶i: C¸ch 1: Chia kho¶ng ®Ó xÐt. NÕu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x Do x < 1996  2x < 3993; -2x > -3992 A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4  A> 4 (1) NÕu 1996  x  2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2) NÕu x > 2000 th× A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996 x > 2000  2x > 4000  2x- 3996 > 4000- 3996 (3)  A>4 Tõ (1), (2), (3)  min A = 4  1996  x  2000 C¸ch 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc x + y x +y dÊu “ = ” x¶y ra khi xy  0 Ta cã: A = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + 2000- x  x- 1996- x +2000 = 4 VËy A  4  (x- 19996) (2000- x)  0 LËp b¶ng xÐt dÊu: x x- 1996 2000- x (x-1996) (2000- x) 1996 0  0 + - + + + 2000  0 0 (x- 1996) (2000- x)  0  1996  x  2000 VËy min A = 4  1996  x  2000 VÝ dô 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: B = x- x2 - 3 4 -2 Gi¶i: Ta cã B ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt x- x2 §Æt f(x) = x- x2 - 3 4 f(x) = - (x2- x + 3 4  ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ta cã f(x) < 0  x  / R 1 4 + 1 2 = - (x20 1 2 )2 - 1 1 2 2 + - 1 vËy max f(x) = 1  2 2 1 1 max f(x) =  x= 2 2 1 1 min f(x) = 2 khi x = 2 min B = 1 - 2 = - 3 khi x = 1 2 2 2 x=1 DÊu “ = ” x¶y ra  x = Theo ý (d) v× 2 4.3- Bµi tËp øng dông: Bµi tËp 7: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt (nÕu cã) cña c¸c biÓu thøc sau: A = 2x- 3 B = 5- 3x + 2 C = 5 1- 4x - 1 D = x -1 + x- 4 E = 5- 2x -1 H= 1  x  2 3 I = x- 1 + x- 3 + x- 6 K = x- 1 + x + 2 + x + 3 +  x + 15 + x- 16 L = x- a1 + x- a2 + ... + x- a2m - 1 Trong ®ã a1, a2,..., a2m – 1 cho tríc V/ Cùc trÞ cña hµm c¨n thøc: 5.1- KiÕn thøc cÇn thiÕt: a, b, Min D Max D P ( x, y ) p ( x, y ) = P(x,y)  a  (x,y)  D ( a = const, a  0 )  a  (x0,y0)  D, P(x0,y0) = a P(x,y)  A  (x,y)  D = A (A = const, A  0 )   (x0,y0)  D, P(x0,y0) = A c, NÕu P(x,y) > 0 muèn t×m min, max cña P(x,y) ta t×m min, max cña P(x,y) 5.2- C¸c vÝ dô: VÝ dô 11: (§a vÒ hµm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: P= + x 2  4x  4 x2  x  Gi¶i: TËp x¸c ®Þnh R P= ( x  2) 2 + (1  1 2 ) 2 1 4 = x- 2+ x - 1 = x- 2+  2 - x =  x- 2 + 20 1 2 1 2  - x = - 3 2 = 3 2 2 DÊu “ = ” x¶y ra  (x- 2) ( 1 - x)  0  3  2 2 1 x 2 2 VËy min P = VÝ dô 12: (¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = x 2 + 4 x x - 2 0 Gi¶i: §iÒu kiÖn ®Ó B x¸c ®Þnh 1 x 2 2  2  x  4 (*) 4- x  0 Víi ®iÒu kiÖn (*) B  0 b×nh ph¬ng 2 vÕ ®îc B2 = x- 2 + 4 - x + 2 ( x  2)(4  x) = 2 + 2 ( x  2)(4  x) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy víi 2 sè kh«ng ©m (x-2) vµ (4-x) ta cã 2 = (x-2) + (4-x)  2 ( x  2)(4  x) DÊu “=” x¶y ra  x-2 = 4- x  x = 3 Suy ra: B2  4 v× B  0 nªn ta ®îc MaxB = 2 khi x= 3 VÝ dô 13: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: C= 5  3x 1 x2 Gi¶i: TËp x¸c ®Þnh -1  x  1 khi ®ã C > 0 Ta cã C2 = = (5  3 x ) 2 1 x2 2 = 25  30 x 2 9 x 1 x 9  30 x  25 x  16  16 x 2 1 x2 2 2 = (3  5 x2) + 16  16 1 x C 4  C  16  2 C  -4 ( lo¹i) V× 1 - x2 > 0 víi -1 < x < 1 DÊu “=” x¶y ra khi 3 – 5x = 0  x = 3 5 VËy min C = 4  x = 3 5 5.3- Bµi tËp øng dông: Bµi tËp 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = 1996 + x 2  2 x B = x 2  2x 1 + x  2x 1 2 C= x 3 x  1 2 Bµi tËp 9: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: D = x  2 + 3 x E = 8  2x + 2x  3 G= 6 x x 3 x VI/ Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn rÊt ®a d¹ng vµ thuéc lo¹i to¸n khã. §Ó gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n d¹ng nµy, ®ßi hái ph¶i kÕt hîp nhiÒu bíc trung gian mét c¸ch hîp lý vµ khÐo lÐo. Tõ ®iÒu kiÖn ®· cho ta biÕn ®æi ®a thøc vÒ d¹ng cã mét ®èi sè råi gi¶i theo 20 c¸ch gi¶i ë trªn. 6.1- C¸c vÝ dô: VÝ dô 14: Cho hai sè thùc x,y tho¶ m·n diÒu kiÖn x 2 + y2 = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x + y. Gi¶i: Víi x,y R ta ®Òu cã: (x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy +y2 = 2(x2 + y2) = 2 (V× x2 + y2 = 1) 2 Do (x-y)  0 dÊu “=” x¶y ra  x= y Nªn (x+y)2  2 x+y  2 - 2  x +y  2 Khi x = y ta cã x2 + x2 = 1  x2 = 1  x=  2 2 VËy max (x+y) = min (x+y) = - 2 2 x=y= x=y=  2 2 2 2  2 VÝ dô 15: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc N = 2x+ 3y- 4z BiÕt r»ng x,y,z  0 vµ tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh 2x+y+3z = 6 (1) 3x+4y-3z = 4 (2) Gi¶i: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn ta cã: 5x+5y = 10  x +y = 2  y = 2-x (3) Thay (2) vµo (1) ta cã: 2x+2-x+3z = 6  z = 3 4 Thay (3) vµo (2) vµo biÓu thøc N ta cã: N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 ( 4 - x ) = 2x + 6- 3x Nmin(Nmax)  3 3 16 4x x + = + 2 3 3 3 3 x cã gi¸ trÞ nhá nhÊt 3 x ¨ 3 (gi¸ trÞ lín nhÊt) mµ 3 > 0 cè ®Þnh  Nmin (Nmax)  xmin (xmax) Do x  0 nªn min N = 2  x=0; y= 2; z= 4 3 3 L¹i cã: y  0 nªn tõ (3) ta cã x 2 x 2 z  0 nªn tõ (2) ta cã x 4 VËy maxN = 2 + 2 = 4  x = 2, y = 0, z = 2 3 3 3 3 VÝ dô 16: Cho a,b,c  -1;2 tho¶ m·n a+ b+ c = 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = a2 + b2 + c2 Gi¶i: Ta cã a,b,c  -1;2  -1  a  2  a+1  0 vµ a- 2  0  (a+1) (a- 2)  0  a2  a + 2 t¬ng tù ta còng cã: b2  b + 2 c2  c + 2 Céng 3 bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ víi vÕ ta cã: a2 + b2 + c2  a + b + c + 6  a2 + b2 + c2  6 20  max A= 6  a=2; b = c = -1 b=2; a = c = - 1 c=2; a = b = - 1 6.2- Bµi tËp t¬ng tù: Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A = x 3 + y3 BiÕt x+y = 1 B= 16 x 2  4 x  1 2x biÕt x > 0 C = 5x- 6y + 7z BiÕt x,y,z lµ sè kh«ng ©m vµ tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh 4x + y+ 2z = 4 3x + 6y- 2x = 6 VII/ T×m cùc trÞ b»ng c¸ch dïng tam thøc bËc hai: 7.1- Nh¾c l¹i kiÕn thøc: Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2 + bx + c (a 0)  = b2- 4ac a, NÕu  < 0 th× a. f(x)  x  R b, NÕu  = 0 th× a.f(x)  0  x  R dÊu “=” x¶y ra khi x = c, NÕu  > 0 ta cã b¶ng xÐt dÊu: X x1 x2 +  a.f(x) + 0 7.2- C¸c vÝ dô: VÝ dô 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A= x + 2 x Gi¶i: §iÒu kiÖn x  2 §Æt: 2  x = y  0 ta cã y2 = 2- x Do ®ã: A = 2- y2 + y = - (y- 1 2 )2 + 9 4 1 4 0  9 4 7 max A= 9  y = 1  2- x = x= 4 2 4 VÝ dô 17: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz+ 36 xy Gi¶i: Ta chøng minh r»ng P > 0 x,y,z BiÕn ®æi P vÒ tam thøc bËc hai ®èi víi x P= f(x) = 19x2- 2(8z - 18y)x + (54y2 + 16z2- 24yz) Ta cã:  x = (8z- 18y)2- 19 (54y2 + 16z2- 24yz)  x = - 702y2 + 168yz- 240z2 Ta coi  x lµ mét tam thøc bËc hai ®èi víi y Khi ®ã:  y = 842.z2- 702. 240z2  y =- 161. 424y2  0  x   x  0  y,z  P = f(x)  0  x,y,z VËy min P= 0 khi x = y = z = 0 VÝ dô 18: X¸c ®Þnh a,b sao cho hµm sè y = ax  b x 2 1 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 4, nhá nhÊt b»ng –1 20 +  b 2a Gi¶i: ta ph¶i t×m a,b ®Ó 1  (1)  ax  b  4 (1) khi nµo dÊu b»ng x¶y ra. x 2 1 ax  b 4 x 2 1 ax  b  1  x vµ dÊu “=” x¶y ra ®îc x 2 1 4x2- ax + 4-b  0  x vµ dÊu “=” còng x¶y ra ®îc  4x2 + ax + b + 1  0  x vµ dÊu “=” còng x¶y ra ®îc   1 = a2- 16 (4-b) = 0  2 = a2- 4 (b+1) = 0   = a2 - 16 (4-b) = 0 b=3  = a2- 4 (b+1) = 0 a= 4 VËy a = 4, b= 3 hoÆc a = -4, b= 3 th×: f(x) =  ax  b ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 4 vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng –1 x 2 1 VIII/ T×m cùc trÞ dùa vµo miÒn gi¸ trÞ hµm sè: 8.1- Nh¾c l¹i kiÕn thøc: Cho hµm sè y = f(x) miÒn x¸c ®Þnh D. MiÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ tËp hîp nh÷ng y sao cho tån t¹i x thuéc D ®Ó f(x) = y. Nãi c¸ch kh¸c: MiÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ tËp hîp nh÷ng y ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) = y cã nghiÖm x  D 8.2- Mét sè vÝ dô: VÝ dô 19: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña: 2 A = x 2  x 1 x  x 1 nghiÖm Gi¶i: §Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ a  ph¬ng tr×nh Èn x sau ®©y cã 2 a = x 2  x 1 x  x 1 (1)  ax2 + ax + a = x2-x+1  (a-1)x2 +(a+1)x +(a-1)=0 Trêng hîp 1: NÕu a= 1 th× (2) cã nghiÖm x = 0 Trêng hîp 2: NÕu a  1 th× ®Ó (2) cã nghiÖm cÇn vµ ®ñ lµ   0 tøc lµ (a+1)2- 4(a-1)2  0  (a+1+2a-2) (a + 1- 2a+ 2)  0  (3a- 1) (a- 3)  0 1 (a 1)  a 3 3 1 Víi a= hoÆc a = 3 th× nghiÖm 3  (a  1) a 1 x= = 2(1  a ) 2(a  1) Víi a= 1 th× x = 1 víi a = 3 th× 3 cña (2) lµ: x= -1 Gép c¶ hai trêng hîp (1) vµ (2) ta cã: MinA = 1  x = 1 3 MaxA = 3  x = -1 VÝ dô 20: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña 20 2 f(x) = 2 x 2  10 x  3 víi x  R 3x  2 x  1 Gi¶i: Gäi y0 lµ gi¸ trÞ tuý ý cña hµm sè. VËy ph¬ng tr×nh sau ®©y (Èn x) cã nghiÖm: 2 x 2  10 x  3 3x 2  2 x  1 = y0 (1) Do 3x2 + 2x+ 1 > 0 x  / R VËy (1)  2x2 + 10x+3 = 3x2y0 +2xy0 + y0  (3y0- 2)x2 + 2 (y0-5)x + y0- 3 = 0 XÐt hai kh¶ n¨ng: Trêng hîp 1: NÕu 3y0- 2 = 0 (  y0= tøc lµ f(x) nhËn gi¸ trÞ 2 3 2 3 5  y0  7 2 ) th× y0- 5  0 hiÓn nhiªn cã nghiÖm víi x nµo ®ã. Trêng hîp 2: NÕu 3y0- 2 = 0 (  y0  víi x, do ®ã (2) cã nghiÖm NÕu   =- 2y0 + 19y0- 35  0  (2) vµ y0  2 3 ) th× (2) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi 2 3 KÕt hîp c¶ hai trêng hîp ta cã: 5  y0  7 2 min f(x) = 5 2 (3) Tõ (3)  max f(x) = 7 vµ xD xD 8.3- Bµi tËp øng dông: Bµi tËp 11: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña: f(x) = x 1 x  x 1 x  /R 2 b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña: g(x) = 3  4 x 2  3x 4 (1  x 2 ) 2 x  /R c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña: 2 h(x) = 2 x2  x  1 x  /R x  x 1 8.4- §¸p ¸n bµi tËp 11: a,  1  y0  1 3 5  g0  3 2 b, c, -1  y0  3 IX/ Dïng bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki: 9.1- Nh¾c l¹i kiÕn thøc: a, Cho ®¼ng thøc c«si (Cauchy) Cho n sè kh«ng ©m a1, a2,....a12 ta cã bÊt ®¼ng thøc a1  a 2  ...  a12  n n a1 a 2 ...a12 20 DÊu “=” x¶y ra  a1 = a2 = ....a12 b, BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski: Cho d·y sè bÊt kú a1, a2 ,....a12 vµ b1, b2 .....,b12 ta cã: n  (a b i j ) 2 n  i 1  (a ) n  (b 2 1 j )2 j 1 i 1 DÊu “=” x¶y ra   k ai = k bj  i = 1; n Chøng minh: a, Ta chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p: hiÓn nhiªn víi n = 2 bÊt ®¼ng thøc ®óng a1  a 2  2 ®Ò ®óng víi n = k tøc lµ: a1  a 2  ...  a k  k k a1 a 2 gi¶ sö mÖnh a1 a 2 ...a k Ta ph¶i chøng minh mÖnh ®Ò dóng víi n = k + 1 Gi¶ sö a1  a2  ...ak  ak+1 ( NÕu ®iÒu kiÖn kh«ng tho¶ m·n th× ta thay ®æi vÞ trÝ vµ ®Æt l¹i thø tù) a1  a 2  ...  a k k  ak+1  §Æt a1  a 2  ...  a k = x th× x  0 k  ak+1 = x+y víi y  0 vµ xk  a1a2 ...ak ( Do gi¶ thiÕt quy n¹p) ta cã: ( a1  a 2  ...  a k  a k 1 ) k 1 = k 1 ( kx  x  y k 1 ) k 1 = (x  y k 1 y ) .x k  x k 1  x k . y  x k ( x y ) a1 a 2 ....a k a k 1  x k 1  (k  1). k 1 k 1  a1  a 2  ...  a k  a k 1  k 1 k 1 a1 a 2 ...a k a k 1 VËy mÖnh ®Ò lu«n ®óng víi n  2 §¼ng thøc x¶y ra  a1 = a2 = ....= an b,Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«xki: §Æt A= a12  a 22  ....  a n2 B = b12  b22  ....  bn2 C = a1b1  a 2 b2  ....  a n bn Ta cÇn ph¶i chøng minh AB  C2 NÕu A= 0 th× a1 a 2 .... a n 0 bÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh NÕu B = 0 ta còng cã b1 b2 .... bn  bÊt ®¼ng thøc lu«n ®óng Víi A  0 vµ B  0, x bÊt kú  R Ta cã: (a1 x  b1 ) 2 0  a12 x 2  2a1b1 x  b12 0 (a 2 x  b2 ) 2 0  a 22 x 2  2a 2 b2 x  b22 0 .......................... (a n x  bn ) 2 0  a n2  2a n bn x  bn2 0 20 Céng tõng vÕ n bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: (a12  a 22  .....  a n2 ) x 2  2( a1b1  a 2 b2  ......  a n bn ) x  (b12  b22  bn2 ) 0  Ax 2  2Cx  B 0(*) V× (*) ®óng víi mäi x nªn thay c = 2 A. C 2 - 2 A C2 A +B 0  B  DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi  C A vµo (*) ta cã: C2 0  AB  C 2 0  AB C 2 A a1 x b1 ; a 2 x b2 ;........a n x bn a1 a 2 a  ......  n b1 b2 bn 9.2- C¸c vÝ dô: VÝ dô 21: (¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy) Cho a,b,c lµ ba sè d¬ng cã tÝch abc = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) Gi¶i: V× a,b,c d¬ng ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 1+a  2 a x 1  b 2 b 1  c 2 c y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)  8 abc mµ abc = 1  y 8 vËy min y = 8 khi a = b = c = - 1 VÝ dô 22: Cho a > 1; b > 1 t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P a2 b2  b 1 a 1 Gi¶i: V× a > 1; b > 1  a2 b2  0; 0 b 1 a 1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: a2 b2 a 2b 2  2 b 1 a 1 (b  1)(a  1)  a2 b2  2 b 1 a 1 Ta chøng minh: a a 1 a 2 a 1 ab b  1. a  1 (*) thËt vËy: V× a > 1 a 10  2 0  a  2 a  1 B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã: Do ®ã:  a 2 a 1 VËy tõ (*) ta cã: tõ a 2 4(a  1)  (a  2) 2 0 b 2 ®ã ta còng cã: b 1 a2 b2  2 b 1 a 1 ab b  1. a  1 ®óng  2.2.2 8(*) VËy P  8 do ®ã min P = 8 khi a = b= 2 VÝ dô 23: (¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiakopsky) Cho hai sè d¬ng x,y lu«n nghiÖm ®óng víi hÖ thøc: 20 2 3  x y Gi¶i: Ta thÊy t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x + y 2 x 2 3 3 y x y ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiakopsky cho hai cÆp sè ( 2 , x 3 ) y vµ ( x, y) 2 2 x Ta cã: x 3 y y 2 3  x y  (x+y)  ( 2 x  3 ) 2 6( x  y ) (x+y) 1 52 6  ( 2  3) 2  6 6 2 3  6 x y DÊu “=” x¶y ra khi x2 y2  2 3 2 6 3 6 ,y 6 6 2 6 3 6 ,y 6 6 Tøc lµ x,y lµ nghiÖm hÖ trªn tõ ®ã ta cã: x = VËy min(x+y) = 5  2 6 khi x = 6 VÝ dô 24: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) B= 16 x 2  4 x  1 2x víi x > 0 Gi¶i: a, XÐt (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 kh«ng ®æi x1 = 5 khi ®ã A= 11.11 = 121  x 2  3x  10 0  VËy max A = 121 b, ViÕt: 16 x 2  4 x  1 = 8x  2  1 2x 2x 8. 1 4 (do x > 0) kh«ng ®æi 2x 1 1  16 x 2 1  x  (v× x 0) 2x 4 1 1 1 1 B= 6  x  1/ 2 4 B= XÐt chØ khi x 2 = -2 x = 5 hoÆc x = -2 8x = nªn tæng cña nã nhá nhÊt khi vµ VËy min 9.3- NhËn xÐt: a, Bµi to¸n cùc trÞ: ChØ ra tÊt c¶ cacd gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt chØ cÇn chøng tá tån t¹i gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó x¶y ra dÊu cña ®¼ng thøc. b, Trong tÊt c¶ c¸c h»ng ®¼ng thøc ta cÇn chó ý ®Õn hai mÖnh ®Ò sau: + NÕu hai sè cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña chóng lín nhÊt  hai sè ®ã b»ng nhau. + x ,y  R , xy = const  (x+y)min  x = y ( Nh ë vÝ dô 24) 9.4- Bµi to¸n t¬ng tù: 20 Bµi tËp 12: a, Cho x, y sao cho 0  x  4; 0  y  4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Q = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y) b, Gi¶ sö x,y,z,t tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1; 1  t  2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz c, Cho 2 sè x,y tho¶ m·n x2 + y2 = 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña H = 3x + 4y d, BiÕt x + y + z = 1 1 x 1 y 1 z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: M = x . y . z X/ S¸ng t¹o bµi to¸n cùc trÞ: VÝ dô: Tõ mét sè ph¬ng ph¸p ®i t×m ùc trÞ ta cã thÓ vËn dông vµ kh¸i qu¸t thµnh mét sè bµi tËp míi. Trong viÖc gi¶i to¸n cùc trÞ ph¶i biÕt vËn dông linh ho¹t vµ s¸ng t¹o tuú theo yªu cÇu cña mét sè bµi to¸n. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô: VÝ dô 25: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x3 ( 16- x3) víi (0 < x3 < 16) 2 b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = ( x  1998) víi > 0 Gi¶i: x a, Ta cã: x3 + (16- x3) = 16 (kh«ng ®æi) 3 3 Nªn x (16- x ) lín nhÊt khi vµ chØ khi x3 = 16- x3 hay x3 = 8  x = 2 VËy maxA = 23 (16- 23) = 16 khi x = 2 x 2  2.1998 x  1998 2 1998 2 x   2.1998 x x 2 2 x vµ 1998 lµ hai sè d¬ng cã tÝch x. 1998 = 19982 (kh«ng ®æi) x x 2 2 Nªn tæng x + 1998 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x = 1998 hay x = 1998 x x b, B= VËy min B = 3 . 1998 khi x = 1998 VÝ dô 26: Cho biÓu thøc M = x2+ y2 + 2z2 + t2 Víi x,y,z,t  N T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña x,y,z,t biÕt r»ng x2- y2 + t2 = 21 (1) x2+ 3y2 + 4z2 = 101 (2) ( Thi häc sinh giái toµn quèc 1985) Gi¶i: LÊy (1) céng (2) theo tõng vÕ ta ®îc: 2(x2+ y2 + 2z2 + t2 )- t2 = 122  M 61  t2 61 2  min M = 61 khi t = 0 Víi t = 0 tõ (1) ta cã: x2- y2 = 21  ( x  y )( x  y ) 21 x-y = 1 x= 12 ( lo¹i kh«ng tho¶ m·n (2) ) VËy  x+y = 21 y = 10 x=5 thay x = 5, y = 2 vµo (2) ta cã z = 4 y=2 vËy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t= 0 VÝ dô 27: Cho x,y  R tho¶ m·n x2+ y2 = 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña x+y 20 Gi¶i: Tõ (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 2 (do x2+ y2 = 1) Do ®ã: max(x+y) = 2  x  y  2 2 Do ®ã: max(x+y) = - 2  x  y  2 2 tõ bµi to¸n trªn ta cã thÓ ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n kh¸c nh sau: 1, x2 + ay2 = 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña S = x + 2y 2, 4x2 + 9y2 = 2 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña S = 2x + 3y nÕu x 0, y 0 VÝ dô 28: (¸p dông gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt vµo gi¶i ph¬ng tr×nh) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  2 x  x 2 Gi¶i: Ta cã: 3 x 2  6 x  7  3( x  1) 2  4  4 2 2 VT 3  2 5 2 5 x  10 x  14  5( x  1)  9  9 3 Mµ 4- 2x- x2 = 5- (x+1)2 5 vËy VP 5 VËy ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× VP = VT = 5 Hay 5- (x+1)2 = 5  (x+1)2 = 0  x= 1 VÝ dô 29: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2  10  x  x 2  12 x  40 (§iÒu kiÖn 2 x 10 Ta cã: x  2  10  x  x 2  12 x  40  8 +2 (V× hai vÕ cïng kh«ng ©m) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho hai sè kh«ng ©m: x- 2 vµ 10- x Ta cã: 2 ( x  2)(10  x)  x  2  10  x 8  8 +2 ( x  2)(10  x) 8  8 16 MÆt kh¸c: ( x 2  12 x  40) 2  ( x  6) 2  4 2 16 x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh  VT = VP = 16 x-2 = 10 –x x=6    x = 6 (Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) x-6 = 0 x=6 vËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: S = 6 ( x  2)(10  x) ( x 2  12 x  40) 2 VÝ dô 30: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm x4 - 2x3 + 4x2- 3x + 2 = 0 Gi¶i: Ta cã: x4 - 2x3 + 4x2- 3x + 2 = 0 1 5  (x4 - 2x3 + x2) + 3 (x2- x + )  0 4 4 1 5 (1)  (x2-x)2 + 3(x- ) 2  0 2 4 V× (x2-x)2 0 ; 3(x- 1 ) 2 0x  R 2 (x2-x)2 + 3(x- 1 ) 2  5  0  2 4 Kh«ng tån t¹i x  R tho¶ m·n (1)   Ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. Bµi tËp: 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh: 20 a, 2 x 2  8 x  12 3  4 3x 2  12 x  13 b, x  3  4 x  1  x  8  6 x  1 1 2. Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm: a, x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0 b, 2x4 + 3x3 + 8x2 + 6x + 5 = 0 Chó ý: Ta vËn dông linh ho¹t viÖc t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc vaµo viÖc xÐt ph¬ng tr×nh vµ t×m nghiÖm. XI/ Mét sè sai sãt thêng gÆp trong viÖc gi¶i to¸n t×m cùc trÞ: 11.1- Sai lÇm trong ®iÒu kiÖn 1: VÝ dô 31: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= 2x +3y biÕt 2x2 + 3y2 5 a, lêi gi¶i sai: Gäi B = 2x2 + 3y2 ta cã B 5 XÐt A + B = 2x + 3y+ 2x2 + 3y2 = 2(x2 + x) + 3(y2 + 3) = 2(x + 1 ) 2  3( y  1 ) 2  5  5 (1) 2 2 4 4 Ta l¹i cã: B 5 nªn -B  5 (2) 25 Céng (1) víi (2): A  VËy min A=  25  x = y =  1 4 4 2 b, Ph©n tÝch sai lÇm: Sai lÇm ë chç víi x = y =  1 th× chØ x¶y ra dÊu “=” ë (1) cßn dÊu “=” 2 ë (2) kh«ng x¶y ra. ThËt vËy víi x = y = B = 2(  1 2 1 2 )2 + 3 (  )2 = 1 3  2 4  1 2 th×: 5 Do ®ã - B  -5 c, Lêi gi¶i ®óng: Ta xÐt biÓu thøc phô A2 = (2x+3y)2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski (am + bn)2  (a2 + b2) (m2 + n2) (3) NÕu ¸p dông (3) víi a = 2, b =3 m = x, n=y ta cã: A2 = (2x+3y)2  (22 + 32) (x2 + y2) = 13 (x2 + y2) Víi c¸ch trªn ta kh«ng chØ ra ®îc h»ng sè  mµ A2   B©y giê ta viÕt A díi d¹ng: A2 = ( 2 . 2 x  3. 3 y ) 2 råi Êp dông (3) ta cã A2  ( 2 ) 2  ( 3 ) 2 ( x. 2 ) 2  ( y. = (2 + 3) (2x2 + 3y2)  5.5 = 25 A2 = 25  x 2 2  y 3 3 3) 2  x y Do A2  25 nªn - 5  A  5 MinA= -5  MaxA= 5  x=y 2x+ 3y = -5 x=y 2x+ 3y = 5 20  x = y= -1  x = y= 1
- Xem thêm -