§Æt vÊn ®Ò
Sau nhiÒu n¨m d¹y to¸n häc ë bËc trung häc c¬ së, t«i nhËn thÊy kh¸i
niÖm cùc trÞ kh«ng ®îc x©y dùng thµnh mét hÖ thèng lý thuyÕt hoµn chØnh mµ
chØ h×nh thµnh tõng bíc cho häc sinh qua mét sè bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa.
Nhng c¸c bµi to¸n cùc trÞ l¹i lµ mét vÊn ®Ò thêng gÆp trong c¸c kú thi, c¸c ®ît
kiÓm tra hµng n¨m. Do ®ã viÖc h×nh thµnh kh¸i niÖm cùc trÞ mét c¸ch hÖ thèng
cho häc sinh vµ viÖc gi¶i quyÕt c¸c ba× to¸n nµy cña häc sinh cßn gÆp nhiÒu trë
ng¹i. XuÊt ph¸t tõ nh÷ng kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua thùc tÕ gi¶ng
d¹y, tõ nh÷ng kiÕn thøc mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong ch¬ng tr×nh ®¹i häc to¸n vµ
sù t×m hiÓu thªm c¸c tµi liÖu tham kh¶o, ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c
ThÇy, C« gi¸o. T«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi : “Nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ trong ch¬ng
tr×nh Trung häc c¬ së” lµm ®Ò tµi ®iÒu kiÖn tèt nghiÖp cña m×nh.
Qua ®Ò tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò
nµy, tù ph©n lo¹i ®îc mét sè d¹ng to¸n vÒ cùc trÞ, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p
gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc
n¾m c¸c kiÕn thøc vÒ d¹ng to¸n nµy. T«i hy väng cã thÓ gióp häc sinh ph¸t triÓn
t duy s¸ng t¹o, kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp gãp
phÇn nhá n©ng cao hiÖu qu¶ giê häc cña häc sinh.
Néi dung ®Ò tµi gåm 3 phÇn:
PhÇn I
: Kh¸i qu¸t chung.
PhÇn II
: C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè.
PhÇn III : C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong h×nh häc.
PhÇn I :
Kh¸i qu¸t chung
A/Môc ®Ých yªu cÇu:
1/ §èi víi gi¸o viªn:
- X©y dùng ®îc c¬ së lý thuyÕt ®Ó gi¶i bµi to¸n cùc trÞ.
- TuyÓn chän, ph©n lo¹i ®îc c¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n vµ nªu lªn c¸c ph¬ng
ph¸p chÝnh gi¶i tõng lo¹i vÒ bµi to¸n cùc trÞ.
- Dù ®o¸n ®îc c¸c sai sãt cña häc sinh, nªu ®îc nh÷ng ®iÓm cÇn chó ý khi
gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ.
20
2/ §èi víi häc sinh:
- HiÓu ®îc b¶n chÊt cña kh¸i niÖm cùc trÞ vµ n¾m ®îc c¸c bíc gi¶i cña bµi
to¸n cùc trÞ.
- NhËn d¹ng ®îc tõng lo¹i bµi to¸n cùc trÞ, vËn dông s¸ng t¹o c¸c ph¬ng
ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ vµo tõng bµi cô thÓ, tõ dÔ ®Õn khã.
- Bíc ®Çu øng dông ®îc c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµo ®êi sèng.
B. Lý thuyÕt chung:
C¸c bµi to¸n cùc trÞ cã nguån gèc tõ rÊt xa xa trong lÞch sö to¸n häc. Nã
b¾t nguån tõ ho¹t ®éng thùc tiÔn cña con ngêi, ngµy nay c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®îc
nghiªn cøu rÊt nhiÒu vµ cã øng dông réng r·i trong ®êi sèng vµ kü thuËt. Chóng
gãp phÇn h×nh thµnh nªn c¸c ngµnh cña to¸n häc nh quy ho¹ch tuyÕn tÝnh, lý
thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi u.
Trong bµi viÕt nµy, t«i chØ ®Ò cËp ®Õn nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ gi¶i kh«ng
dïng ph¬ng ph¸p ®¹o hµm.
XÐt hµm sè n biÕn: F (x,y,z...) liªn tôc trªn miÒn ®ãng D Rn
NÕu F(x,y,z...) A víi mäi (x,y,z) D = const
§ång thêi (x0,y0,z0...) sao cho F(x0,y0,z0...) = A, th× A gäi lµ gi¸ trÞ lín
nhÊt cña F (x0,y0,z0...) trªn D. Ký hiÖu max F (x0,y0,z0...) = A
T¬ng tù, nÕu F (x0,y0,z0...) A (a = const) (x,y,z...) D
Vµ (x0,y0,z0...) D sao cho F (x0,y0,z0...) = a
Th× a lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña F (x,y,z...) trªn D
Ký hiÖu: min F (x,y,z...) = a
Trong ch¬ng tr×nh Trung häc c¬ së, th«ng thêng n = 1;3 . Nh vËy ®Ó gi¶i
mét bµi to¸n cùc trÞ, th«ng thêng ta tiÕn hµnh theo 2 bíc:
Bíc 1: ChØ râ F (x,y,z...) a (hoÆc A)
(Víi A; a lµ h»ng sè) (x,y,z...) D
Bíc 2: ChØ ra ®îc (x0,y0,z0...) D sao cho F (x0,y0,z0...) = a (hoÆc = A)
PhÇn II
mét sè bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
I/ Cùc trÞ cña hµm ®a thøc mét biÕn:
1.1- Ph¬ng ph¸p:
§a vÒ d¹ng: f (x) = k g 2 (x)
(k = const)
2
NÕu f (x) = k + g (x) th× min f (x) = k g (x) = 0
NÕu f (x) = k - g 2 (x) th× max f (x) = k g (x) = 0
VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
A = (x+2)2 + (x-1)2
Gi¶i:
Ta cã: (x+2)2 0 dÊu “ = ” x = - 2
(x-1)2 0 dÊu “ = ” x = 1
Nªn A > 0
Nhng kh«ng thÓ kÕt luËn ®îc min A = 0 v× kh«ng ®ång thêi x¶y ra dÊu
®¼ng thøc.
Do vËy ta ph¶i gi¶i nh sau:
A = (x+2)2 + (x-1)2
= x2 + 4x + 4 + x2 - 2x + 1
= 2x2 + 2x + 5 = 2 ( x2 +x + 5 )
2
=2
(x2 + 2x
1
+ 1
2
4
9
khi x
2
)+
9
4
1
2
= 2 (x +
Do ®ã min A =
=VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
20
1
2
)2 +
9
2
B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6)
Gi¶i:
Ta cã: B = - ( x2 + 5x - 6) (x2 + 5x + 6)
§Æt: x2 + 5x = t
Ta cã: B = - (t- 6) (t+6) = - (t2-36)
B = 36 - t2 36
x=0
VËy B = 36 khi x2 + 5x = 0
x = -5
Do ®ã: max B = 36 Khi
x= 0
x = -5
1.2- Mét sè nhËn xÐt:
- Dùa vµo tÝnh biÕn thiªn cña hµm sè lµ tam thøc bËc hai, ta cã kÕt qu¶
mçi tam thøc bËc hai ®Òu cã mét cùc trÞ (hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt, hoÆc gi¸ trÞ nhá
nhÊt ).
- Trong bµi to¸n cùc trÞ, ta cã thÓ ®æi biÕn. Cô thÓ nh vÝ dô 1 ta cã thÓ dÆt
y = x + 2 kho ®ã A = ( y-1) 2 + ( y-1) 2
1.3- Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
A = x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 9
B = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1
C = (x+1)2 + ( x+3)2
D = x( x+1) ( x+2) ( x+3)
E = x6 - 2x3 + x2 - 2x + 2
Bµi 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
A= 4x - x2 +1
B = 5- 8x- x2
C = -5x2- 4x + 1
D = 1- x- x2
II/ Cùc trÞ cña hµm sè ®a thøc nhiÒu biÕn sè:
VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ®a thøc
P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz + 36x + 5
Gi¶i: P = (9x2+36xy+36y2)+(18y2- 24yz+8z2)+ (8x2 -16xz+8z2)+2x2 + 5
= 9 (x + 2y)2 + 2 (3y- 2z)2 + 8 (x- y)2 + 2x2 + 5
Ta thÊy P 5
Víi x = y = z = 0 th× P = 5
Do ®ã P = 5 khi x = y = z = 0
VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
Q = 15- 10x- 10x2 + 24 xy- 16y2
Gi¶i: Q = - (x2 + 10x + 25) - (9x2- 24xy + 16y2) + 40
= 40- (x + 5)2 - (3x- 4y)2 40
x = -5
VËy max Q = 40
y = - 15
4
NhËn xÐt:
+ Ta vËn dông kiÕn thøc cho F = F 1 + F2 th× maxF = maxF 1 + maxF 2 hay
(min F = min F 1 + min F 2)
Trong ®ã F 1,F2 lµ c¸c biÓu thøc chøa biÕn ®èi lËp víi nhau hoÆc cã chøa
cïng mét biÕn th× cïng ®¹t max (min) t¹i mét bé gi¸ trÞ x¸c ®Þnh cña biÕn (Víi
®a thøc nhiÒu biÕn)
+ Trong qu¸ tr×nh gi¶i ta cã thÓ dïng c¸ch ®æi biÕn
VÝ dô 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M
M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28
Gi¶i:
C¸ch 1:
20
M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28
= (a2- 4ab + 4b2) + (b2- 2b + 1) + 27 + 10a-20b
= (a- 2b)2 + (b- 1)2 + 27 + 10 (a- 2b)
§Æt a- 2b = t ta ®îc
D = t2 + (b- 1)2 + 27 + 10t
= (t + 5)2 + (b- 1)2 + 2 2
t+5=0
a- 2b + 5 = 0
a = -3
DÊu “ = ” x¶y ra khi
b- 1 = 0
b=1
b=1
VËy min M = 2 b = 1; a = -3
C¸ch 2: §èi víi ®a thøc nhiÒu biÕn ta cã thÓ chän mét biÕn lµm biÕn chÝnh
råi thªm bít cïng mét h¹ng tö ®Ó trë thµnh h»ng ®¼ng thøc b×nh ph¬ng mét tæng
hoÆc b×nh ph¬ng mét hiÖu
(a1 + a2 +.....+ an)2 = a12 + a22 +...+ an2 + 2a1a2+ ...+ 2an-1an + 2ana1
M = a2- 4ab + 5b2 + 10a- 22b + 28
= ( a2 + 4b2 + 25- 4ab + 10a- 20b) + (b2- 2b + 1) + 2
= (a- 2b + 5)2 + (b-1)2 + 2
V× (a- 2b +5 )2 0 ; (b-1)2 0 a,b R
(b-1)2 = 0
M 2 min M = 2
b=1
(a- 2b + 5)2 = 0
a=-3
¸p dông ph¬ng ph¸p nµy ta cã thÓ lµm cho vÝ dô 3 vµ vÝ dô 4.
VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
A = ax2 + by2 + cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)
2
2
2
2
2c
x + c 2 ) + b(y2 + 2d y + d 2 )- c - d
2a
2b
4 a 4b
4a
4b
2
2
c 2
d 2
= a(x +
) + b (y +
) + bc ad 4abe
2b
2a
4ab
V× a,b > 0 ; (x + c )2 0; (y + d )2 0 x,y R
2a
2b
2
2
A bc ad 4abe
4ab
2
2
Amin = bc ad 4abe
4ab
= a(x2 +
x+
c
2a
=0
x=
+e
c
2a
d
2b
y+
=0
y= d
2b
VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
N = (x- 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 (a lµ h»ng sè)
Gi¶i: Ta cã N 0
(x- 2y + 1)2 = 0
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra
(2x + ay + 5) = 0
2
(Cã nghiÖm)
x- 2y + 1
Cã nghiÖm a 2 a -4
2
1
2x + ay + 5 = 0
NÕu a = - 4 ta cã M = (x- 2y + 1)2 + (2x- 4y + 5)2
20
2
= (x- 2y + 1)2 + 2(x- 2y + 1) + 3
= (x- 2y + 1)2 + 4 (x- 2y + 1)2 + 12 (x- 2y + 1) + 9
= 5 (x- 2y + 1)2 +
12
5
(x- 2y + 1) +
2
= 5 (x- 2y + 1) + 6
5
2
= 5 x- 2y + 11 +
5
+
+
9
5
9
5
9
9
5
5
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra x- 2y +
Mmin = 0 x- 2y +
36
25
11
5
11
5
=0
0
Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
A = 1- 4x- 5x2
B = xy- x2- y2 + 4x+ 5
C = x2 + y2- 6x- 2y + 17
Bµi 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
A = 5x2- 12xy + 9y2- 4x + 4
B = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2003
C = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7
D = 2x2 + 9y2- 6xy- 6x- 12y + 2004
E = x2- 2xy + 6y2- 12x + 12y + 45
F = (x+2y)2 + (x- 4)2 + (y- 1)2- 27
G = x4- 8xy- x3y + x2y2- xy3 + y4 + 2001
H = (x-y)2 + (x+1)2 + (y- 5)2 + 2006
I = x2 + 2y2 + 3z2- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000
III/ Cùc trÞ cña ph©n thøc ®¹i sè:
3.1- Mét sè kiÕn thøc cÇn lu ý:
Cho P = m víi A > 0 :
A
- NÕu m = 0 P = 0
- NÕu m > 0
max P = 1 ; min P = 1
min A
max A
1
;
max A
- NÕu m < 0 ta cã max P =
min P = 1
min P
B»ng c¸ch ¸p dông c¸c tÝnh chÊt trªn, ta cã thÓ ®a bµi to¸n t×m cùc trÞ cña
ph©n thøc vÒ bµi to¸n cùc trÞ cña ®a thøc.
3.2- C¸c vÝ dô:
VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
3
4x 4x 5
3
3
Gi¶i: M = 2
=
(2 x 1) 2 4
4x 4x 5
M=
2
Ta thÊy: (2x- 1)2 0 nªn (2x- 1)2 + 4 4
3
3
Do ®ã
(Theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n thøc cïng tö,
2
(2 x 1) 4
4
20
tö mÉu ®Òu d¬ng)
VËy maxM = 3 víi x = 1
4
2
Chó ý: SÏ kh«ng chÝnh x¸c nÕu lËp luËn r»ng M cã tö lµ h»ng sè nªn M lín nhÊt
khi mÉu nhá nhÊt.
LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi ph©n thøc
MÉu thøc x2- 3 cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ (-3) khi x = 0
Nhng víi x= 0 th×:
ph©n thøc
(Ch¼ng h¹n víi x = 2 th×
1
x 3
2
1
= 1 kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña
3
x 3
2
1
=1> 1)
3
x 3
2
Tõ a < b chØ suy ra 1 > 1 khi a,b cïng dÊu
a
b
VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
2
N = 2 x2 6 x 6
x 4x 5
2
N = 2 x2 6 x 6
x 4x 5
Gi¶i:
2
2
= x 4 x 2 5 x 2 x 1
x 4x 5
(x + 1)2 0 x
( x 1) 2
0
( x 2) 2 1
=1+
x v×
(x+2)2 + 1 > 0 x
DÊu “ = ” x¶y ra x = -1 vËy min N = 1 x = -1
VÝ dô 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
2
P = x2 x 1
Gi¶i: P =
x 2x 1
x 2 2x 1 x 1 1
x x 1
=
( x 1) 2
x 2 2x 1
2
= 1+
§Æt
1
x 1
1
x 1
+
1
( x 1) 2
= A ta cã P = 1 +A + A2
P = A2 + A + 1 = A2 + 2A
P=
3
4
khi A = -
1
2
1
2
+
1
4
+
3
4
= (A +
1
2
)2 +
3
4
3
4
hay x = -1
VËy min P = 3 x = -1
4
3.3- NhËn xÐt:
ë vÝ dô 6: Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè, nªn bµi to¸n ®a vÒ t×m cùc trÞ cña ®a
thøc ë mÉu.
Trong vÝ dô 7, vÝ dô 8: ta ®· chia tö cho mÉu v× bËc cña tö vµ mÉu b»ng
nhau. Trong vÝ dô 8 lµ trêng hîp mÉu lµ b×nh ph¬ng cña nhÞ thøc ta cã thÓ ®æi
biÕn.
3.4- Mét sè bµi tËp t¬ng tù:
Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
A=
2
6x 5 9x2
20
B=
x 2 x 1
( x 1) 2
C=
x 2 1
x 2 x 1
Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
D=
3
4 4x 5
E=
x
( x 1) 2
G=
2x 1
x2 2
2
IV/ Cùc trÞ cña hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
4.1- KiÕn thøc cÇn thiÕt:
a, f (x) = f (x) nÕu f (x) 0
f (x) = - f (x) nÕu f (x) 0
b, f (x) + g (x) f (x) + g (x) dÊu “ = ” x¶y ra f (x). g (x) 0
c, f (x) - g (x) f (x) - g (x) dÊu “ = ” x¶y ra f (x). g (x) 0
f (x) g (x)
max f (x) = A
d, Gi¶ sö ta cã
min f(x) = a víi f (x) xÐt trªn ®o¹n (a1,b1)
NÕu f (x) 0 ta cã: max f (x) = max f (x) = A trªn ®o¹n (a1,b1)
min f (x) = min f (x) = a trªn ®o¹n (a1,b1)
NÕu max f (x) 0 cßn min f (x) 0 trªn ®o¹n (a1,b1)
Ta cã: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
NÕu f (x) < 0 ta cã: max f (x) = - min f (x) trªn ®o¹n (a1,b1)
min f (x) = - max f (x) trªn ®o¹n (a1,b1)
Chøng minh:
a, Lu«n ®óng theo ®Þnh nghÜa
b, Víi mäi f (x), g (x) ta lu«n cã
- f (x) f (x) f (x)
- g (x) g (x) g (x)
Céng tõng vÕ hai bÊt ®¼ng thøc kÐp ta cã
- (f (x) + g (x)) f (x) + g (x) f (x) + g (x)
f (x) + g (x) f (x) + g (x)
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra f (x) vµ g (x) cïng dÊu f (x).g (x) 0
f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x) f (x) -g (x) + g (x)
f (x) -g (x) f (x) - g (x)
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra f (x) . g (x) 0
d, ViÖc chøng minh c©u d lµ hiÓn nhiªn
NhËn xÐt: ViÖc chøng minh c©u b,c cã thÓ b×nh ph¬ng hai vÕ
( XÐt c¸c trêng hîp cã thÓ x¶y ra)
VÝ dô: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8
20
NhËn xÐt: Tõ bÊt ®¼ng thøc f (x) + g (x) f (x) + g (x)
Ta më réng ®îc: f (x) + g (x) + ...+ h(x) f (x) + g (x) +...+ h(x)
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra f (x), g (x),..., h(x) cïng dÊu.
(ViÖc chøng minh ®¬n gi¶n)
Gi¶i: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x
¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
A x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra x +1, 2x + 5, 18-3x cïng dÊu
- 1 x 6
4.2- C¸c vÝ dô:
VÝ dô 9: T×m gi¸ trÞ nhá nãt cña biÓu thøc sau:
A = x-1996 + x- 2000
Gi¶i:
C¸ch 1: Chia kho¶ng ®Ó xÐt.
NÕu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x
Do x < 1996 2x < 3993; -2x > -3992
A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4 A> 4
(1)
NÕu 1996 x 2000:
A = x- 1996 + 2000- x = 4
(2)
NÕu x > 2000
th×
A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996
x > 2000 2x > 4000 2x- 3996 > 4000- 3996
(3)
A>4
Tõ (1), (2), (3) min A = 4 1996 x 2000
C¸ch 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc
x + y x +y dÊu “ = ” x¶y ra khi xy 0
Ta cã: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x x- 1996- x +2000 = 4
VËy A 4 (x- 19996) (2000- x) 0
LËp b¶ng xÐt dÊu:
x
x- 1996
2000- x
(x-1996) (2000- x)
1996
0
0
+
-
+
+
+
2000
0
0
(x- 1996) (2000- x) 0 1996 x 2000
VËy min A = 4 1996 x 2000
VÝ dô 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
B = x- x2 -
3
4
-2
Gi¶i: Ta cã B ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt x- x2 §Æt f(x) = x- x2 -
3
4
f(x) = - (x2- x +
3
4
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
ta cã f(x) < 0 x / R
1
4
+
1
2
= - (x20
1
2
)2 -
1
1
2
2
+
-
1
vËy max f(x) = 1
2
2
1
1
max f(x) = x=
2
2
1
1
min f(x) = 2 khi x = 2
min B = 1 - 2 = - 3 khi x = 1
2
2
2
x=1
DÊu “ = ” x¶y ra x =
Theo ý (d) v×
2
4.3- Bµi tËp øng dông:
Bµi tËp 7: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt (nÕu cã) cña c¸c biÓu thøc sau:
A = 2x- 3
B = 5- 3x + 2
C = 5 1- 4x - 1
D = x -1 + x- 4
E = 5- 2x -1
H=
1
x 2 3
I = x- 1 + x- 3 + x- 6
K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16
L = x- a1 + x- a2 + ... + x- a2m - 1
Trong ®ã a1, a2,..., a2m – 1 cho tríc
V/ Cùc trÞ cña hµm c¨n thøc:
5.1- KiÕn thøc cÇn thiÕt:
a,
b,
Min
D
Max
D
P ( x, y )
p ( x, y )
=
P(x,y) a (x,y) D
( a = const, a 0 )
a
(x0,y0) D, P(x0,y0) = a
P(x,y) A (x,y) D
= A (A = const, A 0 )
(x0,y0)
D, P(x0,y0) = A
c, NÕu P(x,y) > 0 muèn t×m min, max cña P(x,y) ta t×m min, max cña P(x,y)
5.2- C¸c vÝ dô:
VÝ dô 11: (§a vÒ hµm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi)
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
P=
+
x 2 4x 4
x2 x
Gi¶i: TËp x¸c ®Þnh R
P=
( x 2) 2
+
(1
1 2
)
2
1
4
= x- 2+ x -
1
= x- 2+ 2 - x = x- 2 +
20
1
2
1
2
- x = -
3
2
=
3
2
2
DÊu “ = ” x¶y ra (x- 2) ( 1 - x) 0
3
2
2
1
x 2
2
VËy min P =
VÝ dô 12: (¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
B = x 2 + 4 x
x - 2 0
Gi¶i: §iÒu kiÖn ®Ó B x¸c ®Þnh
1
x 2
2
2 x 4 (*)
4- x 0
Víi ®iÒu kiÖn (*) B 0 b×nh ph¬ng 2 vÕ ®îc
B2 = x- 2 + 4 - x + 2 ( x 2)(4 x) = 2 + 2 ( x 2)(4 x)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy víi 2 sè kh«ng ©m (x-2) vµ (4-x) ta cã
2 = (x-2) + (4-x) 2 ( x 2)(4 x)
DÊu “=” x¶y ra x-2 = 4- x x = 3
Suy ra: B2 4 v× B 0 nªn ta ®îc
MaxB = 2 khi x= 3
VÝ dô 13: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
C=
5 3x
1 x2
Gi¶i:
TËp x¸c ®Þnh -1 x 1 khi ®ã C > 0
Ta cã C2 =
=
(5 3 x ) 2
1 x2
2
= 25 30 x 2 9 x
1 x
9 30 x 25 x 16 16 x 2
1 x2
2
2
= (3 5 x2) + 16 16
1 x
C 4
C 16
2
C -4 ( lo¹i) V× 1 - x2 > 0 víi -1 < x < 1
DÊu “=” x¶y ra khi 3 – 5x = 0 x = 3
5
VËy min C = 4 x = 3
5
5.3- Bµi tËp øng dông:
Bµi tËp 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:
A = 1996 + x 2 2 x
B = x 2 2x 1 + x 2x 1
2
C=
x 3
x 1 2
Bµi tËp 9: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña:
D = x 2 + 3 x
E = 8 2x + 2x 3
G=
6 x
x 3
x
VI/ Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn:
C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn rÊt ®a d¹ng vµ thuéc lo¹i to¸n khã. §Ó
gi¶i quyÕt ®îc c¸c bµi to¸n d¹ng nµy, ®ßi hái ph¶i kÕt hîp nhiÒu bíc trung gian
mét c¸ch hîp lý vµ khÐo lÐo.
Tõ ®iÒu kiÖn ®· cho ta biÕn ®æi ®a thøc vÒ d¹ng cã mét ®èi sè råi gi¶i theo
20
c¸ch gi¶i ë trªn.
6.1- C¸c vÝ dô:
VÝ dô 14: Cho hai sè thùc x,y tho¶ m·n diÒu kiÖn x 2 + y2 = 1. T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x + y.
Gi¶i: Víi x,y R ta ®Òu cã:
(x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy +y2
= 2(x2 + y2) = 2
(V× x2 + y2 = 1)
2
Do (x-y) 0 dÊu “=” x¶y ra x= y
Nªn (x+y)2 2
x+y 2
- 2 x +y 2
Khi x = y ta cã x2 + x2 = 1 x2 = 1 x= 2
2
VËy max (x+y) =
min (x+y) = -
2
2
x=y=
x=y=
2
2
2
2
2
VÝ dô 15: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
N = 2x+ 3y- 4z
BiÕt r»ng x,y,z 0 vµ tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh
2x+y+3z = 6
(1)
3x+4y-3z = 4
(2)
Gi¶i: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn ta cã:
5x+5y = 10 x +y = 2 y = 2-x
(3)
Thay (2) vµo (1) ta cã: 2x+2-x+3z = 6 z = 3 4
Thay (3) vµo (2) vµo biÓu thøc N ta cã:
N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 ( 4 - x )
= 2x + 6- 3x Nmin(Nmax)
3 3
16
4x
x
+
=
+ 2
3
3
3
3
x
cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
3
x
¨
3
(gi¸ trÞ lín nhÊt) mµ 3 > 0 cè
®Þnh Nmin (Nmax) xmin (xmax)
Do x 0 nªn min N = 2 x=0; y= 2; z= 4
3
3
L¹i cã: y 0 nªn tõ (3) ta cã x 2 x 2
z 0 nªn tõ (2) ta cã x 4
VËy maxN = 2 + 2 = 4 x = 2, y = 0, z = 2
3
3
3
3
VÝ dô 16: Cho a,b,c -1;2 tho¶ m·n a+ b+ c = 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
A = a2 + b2 + c2
Gi¶i: Ta cã a,b,c -1;2
-1 a 2 a+1 0 vµ a- 2 0
(a+1) (a- 2) 0 a2 a + 2
t¬ng tù ta còng cã:
b2 b + 2
c2 c + 2
Céng 3 bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ víi vÕ ta cã:
a2 + b2 + c2 a + b + c + 6
a2 + b2 + c2 6
20
max A= 6
a=2; b = c = -1
b=2; a = c = - 1
c=2; a = b = - 1
6.2- Bµi tËp t¬ng tù:
Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
A = x 3 + y3
BiÕt x+y = 1
B=
16 x 2 4 x 1
2x
biÕt x > 0
C = 5x- 6y + 7z
BiÕt x,y,z lµ sè kh«ng ©m vµ tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh
4x + y+ 2z = 4
3x + 6y- 2x = 6
VII/ T×m cùc trÞ b»ng c¸ch dïng tam thøc bËc hai:
7.1- Nh¾c l¹i kiÕn thøc:
Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2 + bx + c (a 0) = b2- 4ac
a, NÕu < 0 th× a. f(x) x R
b, NÕu = 0 th× a.f(x) 0 x R dÊu “=” x¶y ra khi x =
c, NÕu > 0 ta cã b¶ng xÐt dÊu:
X
x1
x2
+
a.f(x)
+
0
7.2- C¸c vÝ dô:
VÝ dô 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
A= x + 2 x
Gi¶i: §iÒu kiÖn x 2
§Æt: 2 x = y 0 ta cã y2 = 2- x
Do ®ã: A = 2- y2 + y = - (y-
1
2
)2 +
9
4
1
4
0
9
4
7
max A= 9 y = 1 2- x =
x=
4
2
4
VÝ dô 17: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
P = 19x2 + 54y2 + 16z2- 16xz- 24yz+ 36 xy
Gi¶i: Ta chøng minh r»ng P > 0 x,y,z
BiÕn ®æi P vÒ tam thøc bËc hai ®èi víi x
P= f(x) = 19x2- 2(8z - 18y)x + (54y2 + 16z2- 24yz)
Ta cã: x = (8z- 18y)2- 19 (54y2 + 16z2- 24yz)
x = - 702y2 + 168yz- 240z2
Ta coi x lµ mét tam thøc bËc hai ®èi víi y
Khi ®ã: y = 842.z2- 702. 240z2
y =- 161. 424y2 0 x
x 0 y,z
P = f(x) 0 x,y,z
VËy min P= 0 khi x = y = z = 0
VÝ dô 18: X¸c ®Þnh a,b sao cho hµm sè y =
ax b
x 2 1
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 4, nhá nhÊt b»ng –1
20
+
b
2a
Gi¶i: ta ph¶i t×m a,b ®Ó 1
(1)
ax b
4 (1) khi nµo dÊu b»ng x¶y ra.
x 2 1
ax b
4
x 2 1
ax b
1 x vµ dÊu “=” x¶y ra ®îc
x 2 1
4x2- ax + 4-b 0 x vµ dÊu “=” còng x¶y ra ®îc
4x2 + ax + b + 1 0 x vµ dÊu “=” còng x¶y ra ®îc
1 = a2- 16 (4-b) = 0
2 = a2- 4 (b+1) = 0
= a2 - 16 (4-b) = 0
b=3
= a2- 4 (b+1) = 0
a= 4
VËy a = 4, b= 3 hoÆc a = -4, b= 3 th×:
f(x) =
ax b
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng 4 vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng –1
x 2 1
VIII/ T×m cùc trÞ dùa vµo miÒn gi¸ trÞ hµm sè:
8.1- Nh¾c l¹i kiÕn thøc:
Cho hµm sè y = f(x) miÒn x¸c ®Þnh D. MiÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ tËp hîp
nh÷ng y sao cho tån t¹i x thuéc D ®Ó f(x) = y.
Nãi c¸ch kh¸c: MiÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ tËp hîp nh÷ng y ®Ó ph¬ng tr×nh
f(x) = y cã nghiÖm x D
8.2- Mét sè vÝ dô:
VÝ dô 19: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña:
2
A = x 2 x 1
x x 1
nghiÖm
Gi¶i: §Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ a ph¬ng tr×nh Èn x sau ®©y cã
2
a = x 2 x 1
x x 1
(1)
ax2 + ax + a = x2-x+1
(a-1)x2 +(a+1)x +(a-1)=0
Trêng hîp 1: NÕu a= 1 th× (2) cã nghiÖm x = 0
Trêng hîp 2: NÕu a 1 th× ®Ó (2) cã nghiÖm cÇn vµ ®ñ lµ 0 tøc lµ
(a+1)2- 4(a-1)2 0
(a+1+2a-2) (a + 1- 2a+ 2) 0
(3a- 1) (a- 3) 0
1
(a 1)
a 3
3
1
Víi a=
hoÆc a = 3 th× nghiÖm
3
(a 1)
a 1
x=
=
2(1 a )
2(a 1)
Víi a= 1 th× x = 1 víi a = 3 th×
3
cña (2) lµ:
x= -1
Gép c¶ hai trêng hîp (1) vµ (2) ta cã:
MinA = 1 x = 1
3
MaxA = 3 x = -1
VÝ dô 20: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña
20
2
f(x) = 2 x 2 10 x 3 víi x R
3x 2 x 1
Gi¶i: Gäi y0 lµ gi¸ trÞ tuý ý cña hµm sè. VËy ph¬ng tr×nh sau ®©y (Èn x) cã
nghiÖm:
2 x 2 10 x 3
3x 2 2 x 1
= y0
(1)
Do 3x2 + 2x+ 1 > 0 x / R
VËy (1) 2x2 + 10x+3 = 3x2y0 +2xy0 + y0
(3y0- 2)x2 + 2 (y0-5)x + y0- 3 = 0
XÐt hai kh¶ n¨ng:
Trêng hîp 1: NÕu 3y0- 2 = 0 ( y0=
tøc lµ f(x) nhËn gi¸ trÞ
2
3
2
3
5
y0 7
2
) th× y0- 5 0 hiÓn nhiªn cã nghiÖm
víi x nµo ®ã.
Trêng hîp 2: NÕu 3y0- 2 = 0 ( y0
víi x, do ®ã (2) cã nghiÖm
NÕu =- 2y0 + 19y0- 35 0
(2)
vµ y0
2
3
) th× (2) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi
2
3
KÕt hîp c¶ hai trêng hîp ta cã:
5
y0 7
2
min f(x) = 5
2
(3)
Tõ (3) max f(x) = 7
vµ
xD
xD
8.3- Bµi tËp øng dông:
Bµi tËp 11:
a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña:
f(x) =
x 1
x x 1
x /R
2
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña:
g(x) =
3 4 x 2 3x 4
(1 x 2 ) 2
x /R
c, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña:
2
h(x) = 2 x2 x 1
x /R
x x 1
8.4- §¸p ¸n bµi tËp 11:
a, 1 y0 1
3
5
g0 3
2
b,
c, -1 y0 3
IX/ Dïng bÊt ®¼ng thøc Cauchy vµ bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki:
9.1- Nh¾c l¹i kiÕn thøc:
a, Cho ®¼ng thøc c«si (Cauchy)
Cho n sè kh«ng ©m a1, a2,....a12 ta cã bÊt ®¼ng thøc
a1 a 2 ... a12
n
n
a1 a 2 ...a12
20
DÊu “=” x¶y ra a1 = a2 = ....a12
b, BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski:
Cho d·y sè bÊt kú a1, a2 ,....a12 vµ b1, b2 .....,b12 ta cã:
n
(a b
i
j
)
2
n
i 1
(a )
n
(b
2
1
j
)2
j 1
i 1
DÊu “=” x¶y ra k ai = k bj i = 1; n
Chøng minh:
a, Ta chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p:
hiÓn nhiªn víi n = 2 bÊt ®¼ng thøc ®óng a1 a 2
2
®Ò ®óng víi n = k tøc lµ:
a1 a 2 ... a k
k
k
a1 a 2
gi¶ sö mÖnh
a1 a 2 ...a k
Ta ph¶i chøng minh mÖnh ®Ò dóng víi n = k + 1
Gi¶ sö a1 a2 ...ak ak+1 ( NÕu ®iÒu kiÖn kh«ng tho¶ m·n th× ta
thay ®æi vÞ trÝ vµ ®Æt l¹i thø tù)
a1 a 2 ... a k
k
ak+1
§Æt a1 a 2 ... a k = x th× x 0
k
ak+1 = x+y víi y 0 vµ xk a1a2 ...ak ( Do gi¶ thiÕt quy n¹p) ta
cã: ( a1 a 2 ... a k a k 1 ) k 1 =
k 1
(
kx x y k 1
)
k 1
= (x
y k 1
y
)
.x k x k 1 x k . y x k ( x y ) a1 a 2 ....a k a k 1
x k 1 (k 1).
k 1
k 1
a1 a 2 ... a k a k 1
k 1
k 1
a1 a 2 ...a k a k 1
VËy mÖnh ®Ò lu«n ®óng víi n 2
§¼ng thøc x¶y ra a1 = a2 = ....= an
b,Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«xki:
§Æt A= a12 a 22 .... a n2
B = b12 b22 .... bn2
C = a1b1 a 2 b2 .... a n bn
Ta cÇn ph¶i chøng minh AB C2
NÕu A= 0 th× a1 a 2 .... a n 0 bÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh
NÕu B = 0 ta còng cã b1 b2 .... bn bÊt ®¼ng thøc lu«n ®óng
Víi A 0 vµ B 0, x bÊt kú R
Ta cã: (a1 x b1 ) 2 0 a12 x 2 2a1b1 x b12 0
(a 2 x b2 ) 2 0 a 22 x 2 2a 2 b2 x b22 0
..........................
(a n x bn ) 2 0 a n2 2a n bn x bn2 0
20
Céng tõng vÕ n bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
(a12 a 22 ..... a n2 ) x 2 2( a1b1 a 2 b2 ...... a n bn ) x (b12 b22 bn2 ) 0
Ax 2 2Cx B 0(*)
V× (*) ®óng víi mäi x nªn thay c =
2
A. C 2 - 2
A
C2
A
+B
0 B
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi
C
A
vµo (*) ta cã:
C2
0 AB C 2 0 AB C 2
A
a1 x b1 ; a 2 x b2 ;........a n x bn
a1 a 2
a
...... n
b1 b2
bn
9.2- C¸c vÝ dô:
VÝ dô 21: (¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy)
Cho a,b,c lµ ba sè d¬ng cã tÝch abc = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
thøc:
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)
Gi¶i: V× a,b,c d¬ng ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:
1+a 2 a
x
1 b 2 b
1 c 2 c
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c) 8 abc
mµ abc = 1
y 8 vËy min y = 8 khi a = b = c = - 1
VÝ dô 22: Cho a > 1; b > 1 t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:
P
a2
b2
b 1 a 1
Gi¶i: V× a > 1; b > 1
a2
b2
0;
0
b 1
a 1
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã:
a2
b2
a 2b 2
2
b 1 a 1
(b 1)(a 1)
a2
b2
2
b 1 a 1
Ta chøng minh:
a
a 1
a
2
a 1
ab
b 1. a 1
(*)
thËt vËy: V× a > 1
a 10
2 0 a 2 a 1
B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã:
Do ®ã:
a
2
a 1
VËy tõ (*) ta cã:
tõ
a 2 4(a 1) (a 2) 2 0
b
2
®ã ta còng cã:
b 1
a2
b2
2
b 1 a 1
ab
b 1. a 1
®óng
2.2.2 8(*)
VËy P 8 do ®ã min P = 8 khi a = b= 2
VÝ dô 23: (¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiakopsky)
Cho hai sè d¬ng x,y lu«n nghiÖm ®óng víi hÖ thøc:
20
2 3
x
y
Gi¶i: Ta thÊy
t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x + y
2
x
2 3
3
y
x
y
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiakopsky cho hai cÆp sè
(
2
,
x
3
)
y
vµ
(
x,
y)
2
2
x
Ta cã:
x
3
y
y
2 3
x
y
(x+y)
( 2 x 3 ) 2 6( x y )
(x+y)
1
52 6
( 2 3) 2
6
6
2 3
6
x y
DÊu “=” x¶y ra khi
x2
y2
2
3
2 6
3 6
,y
6
6
2 6
3 6
,y
6
6
Tøc lµ x,y lµ nghiÖm hÖ trªn tõ ®ã ta cã: x =
VËy min(x+y) = 5 2 6 khi x =
6
VÝ dô 24:
a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña:
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:
A = (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2)
B=
16 x 2 4 x 1
2x
víi x > 0
Gi¶i: a, XÐt (x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x- x2) = 22 kh«ng ®æi
x1 = 5 khi ®ã A= 11.11 = 121
x 2 3x 10 0
VËy max A = 121
b, ViÕt:
16 x 2 4 x 1
= 8x 2 1
2x
2x
8. 1 4 (do x > 0) kh«ng ®æi
2x
1
1
16 x 2 1 x (v× x 0)
2x
4
1 1 1
1
B=
6 x
1/ 2
4
B=
XÐt
chØ khi
x 2 = -2
x = 5 hoÆc x = -2
8x =
nªn tæng cña nã nhá nhÊt khi vµ
VËy min
9.3- NhËn xÐt:
a, Bµi to¸n cùc trÞ: ChØ ra tÊt c¶ cacd gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó x¶y ra dÊu ®¼ng
thøc. bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt chØ cÇn chøng tá tån t¹i gi¸ trÞ cña
biÕn ®Ó x¶y ra dÊu cña ®¼ng thøc.
b, Trong tÊt c¶ c¸c h»ng ®¼ng thøc ta cÇn chó ý ®Õn hai mÖnh ®Ò sau:
+ NÕu hai sè cã tæng kh«ng ®æi th× tÝch cña chóng lín nhÊt hai sè
®ã b»ng nhau.
+ x ,y R , xy = const (x+y)min x = y ( Nh ë vÝ dô 24)
9.4- Bµi to¸n t¬ng tù:
20
Bµi tËp 12:
a, Cho x, y sao cho 0 x 4; 0 y 4
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña Q = (3-x) ( 4-y) ( 2x+3y)
b, Gi¶ sö x,y,z,t tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1; 1 t 2
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña R = xyz + txy+ txz+ tyz+ tx+ ty + tz
c, Cho 2 sè x,y tho¶ m·n x2 + y2 = 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña H = 3x + 4y
d, BiÕt x + y + z = 1
1 x 1 y 1 z
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: M = x . y . z
X/ S¸ng t¹o bµi to¸n cùc trÞ:
VÝ dô: Tõ mét sè ph¬ng ph¸p ®i t×m ùc trÞ ta cã thÓ vËn dông vµ kh¸i qu¸t thµnh
mét sè bµi tËp míi.
Trong viÖc gi¶i to¸n cùc trÞ ph¶i biÕt vËn dông linh ho¹t vµ s¸ng t¹o tuú
theo yªu cÇu cña mét sè bµi to¸n.
Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô:
VÝ dô 25:
a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x3 ( 16- x3)
víi (0 < x3 < 16)
2
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = ( x 1998) víi > 0
Gi¶i:
x
a, Ta cã:
x3 + (16- x3) = 16
(kh«ng ®æi)
3
3
Nªn x (16- x ) lín nhÊt khi vµ chØ khi
x3 = 16- x3 hay x3 = 8 x = 2
VËy maxA = 23 (16- 23) = 16 khi x = 2
x 2 2.1998 x 1998 2
1998 2
x
2.1998
x
x
2
2
x vµ 1998 lµ hai sè d¬ng cã tÝch x. 1998 = 19982 (kh«ng ®æi)
x
x
2
2
Nªn tæng x + 1998 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x = 1998 hay x = 1998
x
x
b,
B=
VËy min B = 3 . 1998 khi x = 1998
VÝ dô 26: Cho biÓu thøc M = x2+ y2 + 2z2 + t2
Víi x,y,z,t N
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lµ c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña x,y,z,t biÕt
r»ng
x2- y2 + t2 = 21
(1)
x2+ 3y2 + 4z2 = 101 (2)
( Thi häc sinh giái toµn quèc 1985)
Gi¶i: LÊy (1) céng (2) theo tõng vÕ ta ®îc:
2(x2+ y2 + 2z2 + t2 )- t2 = 122
M 61
t2
61
2
min M = 61 khi t = 0
Víi t = 0 tõ (1) ta cã: x2- y2 = 21 ( x y )( x y ) 21
x-y = 1
x= 12 ( lo¹i kh«ng tho¶ m·n (2) )
VËy
x+y = 21
y = 10
x=5
thay x = 5, y = 2 vµo (2) ta cã z = 4
y=2
vËy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t= 0
VÝ dô 27: Cho x,y R tho¶ m·n x2+ y2 = 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña x+y
20
Gi¶i: Tõ (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 2 (do x2+ y2 = 1)
Do ®ã: max(x+y) = 2 x y 2
2
Do ®ã: max(x+y) = - 2 x y 2
2
tõ bµi to¸n trªn ta cã thÓ ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n kh¸c nh sau:
1, x2 + ay2 = 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña S = x + 2y
2, 4x2 + 9y2 = 2 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña S = 2x + 3y
nÕu x 0, y 0
VÝ dô 28: (¸p dông gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt vµo gi¶i ph¬ng tr×nh)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(1)
3 x 2 6 x 7 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2
Gi¶i: Ta cã:
3 x 2 6 x 7 3( x 1) 2 4 4 2
2
VT 3 2 5
2
5 x 10 x 14 5( x 1) 9 9 3
Mµ 4- 2x- x2 = 5- (x+1)2 5 vËy VP 5
VËy ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× VP = VT = 5
Hay 5- (x+1)2 = 5 (x+1)2 = 0 x= 1
VÝ dô 29: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 10 x x 2 12 x 40
(§iÒu kiÖn 2 x 10
Ta cã: x 2 10 x x 2 12 x 40
8 +2
(V× hai vÕ cïng kh«ng ©m)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho hai sè kh«ng ©m: x- 2 vµ 10- x
Ta cã: 2 ( x 2)(10 x) x 2 10 x 8
8 +2 ( x 2)(10 x) 8 8 16
MÆt kh¸c: ( x 2 12 x 40) 2 ( x 6) 2 4 2 16
x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh VT = VP = 16
x-2 = 10 –x
x=6
x = 6 (Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
x-6 = 0
x=6
vËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: S = 6
( x 2)(10 x) ( x 2 12 x 40) 2
VÝ dô 30: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm
x4 - 2x3 + 4x2- 3x + 2 = 0
Gi¶i: Ta cã: x4 - 2x3 + 4x2- 3x + 2 = 0
1
5
(x4 - 2x3 + x2) + 3 (x2- x + ) 0
4
4
1
5
(1)
(x2-x)2 + 3(x- ) 2 0
2
4
V× (x2-x)2 0 ; 3(x- 1 ) 2 0x R
2
(x2-x)2 + 3(x- 1 ) 2 5 0
2
4
Kh«ng tån t¹i x R tho¶ m·n (1)
Ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
Bµi tËp: 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh:
20
a, 2 x 2 8 x 12 3 4 3x 2 12 x 13
b, x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
2. Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
a, x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0
b, 2x4 + 3x3 + 8x2 + 6x + 5 = 0
Chó ý: Ta vËn dông linh ho¹t viÖc t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña
biÓu thøc vaµo viÖc xÐt ph¬ng tr×nh vµ t×m nghiÖm.
XI/ Mét sè sai sãt thêng gÆp trong viÖc gi¶i to¸n t×m cùc trÞ:
11.1- Sai lÇm trong ®iÒu kiÖn 1:
VÝ dô 31: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= 2x +3y
biÕt 2x2 + 3y2 5
a, lêi gi¶i sai:
Gäi B = 2x2 + 3y2 ta cã B 5
XÐt A + B = 2x + 3y+ 2x2 + 3y2
= 2(x2 + x) + 3(y2 + 3)
= 2(x + 1 ) 2 3( y 1 ) 2 5 5
(1)
2
2
4
4
Ta l¹i cã: B 5 nªn -B 5
(2)
25
Céng (1) víi (2): A
VËy min A= 25 x = y = 1
4
4
2
b, Ph©n tÝch sai lÇm:
Sai lÇm ë chç víi x = y = 1 th× chØ x¶y ra dÊu “=” ë (1) cßn dÊu “=”
2
ë (2) kh«ng x¶y ra. ThËt vËy víi x = y =
B = 2(
1
2
1
2
)2 + 3 (
)2 =
1 3
2 4
1
2
th×:
5
Do ®ã - B -5
c, Lêi gi¶i ®óng: Ta xÐt biÓu thøc phô A2 = (2x+3y)2
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pski
(am + bn)2 (a2 + b2) (m2 + n2)
(3)
NÕu ¸p dông (3) víi a = 2, b =3 m = x, n=y ta cã:
A2 = (2x+3y)2 (22 + 32) (x2 + y2) = 13 (x2 + y2)
Víi c¸ch trªn ta kh«ng chØ ra ®îc h»ng sè mµ A2
B©y giê ta viÕt A díi d¹ng:
A2 = ( 2 . 2 x 3. 3 y ) 2 råi Êp dông (3) ta cã
A2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 2
( x. 2 ) 2 ( y.
= (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25
A2 = 25
x 2
2
y 3
3
3) 2
x y
Do A2 25 nªn - 5 A 5
MinA= -5
MaxA= 5
x=y
2x+ 3y = -5
x=y
2x+ 3y = 5
20
x = y= -1
x = y= 1
- Xem thêm -
.DOC 
31 
90 
63 
