Tài liệu Skkn một vài kinh nghiệm vận dụng vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học trong chương trình hình học thcs

Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku PHOØNG GIAÙO DUÏC  ÑAØO TAÏO THAØNH PHOÁ PLEIKU TEÂN ÑEÀ TAØI: MOÄT VAØI KINH NGHIEÄM VAÄN DUÏNG VEÕ THEÂM YEÁU TOÁ PHUÏ ÑEÅ GIAÛI DAÏNG TOAÙN CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC HÌNH HOÏC TRONG CHÖÔNG TRÌNH HÌNH HOÏC THCS MAÕ SKKN: 2TL Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân 1 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku NAÊM HOÏC: 2008 - 2009 PHAÀN I: ÑAËT VAÁN ÑEÀ I. LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI: ÔÛ tröôøng THCS, daïy Toaùn laø daïy hoaït ñoäng Toaùn hoïc cho hoïc sinh, trong ñoù giaûi toaùn laø ñaëc tröng chuû yeáu cuûa hoïc sinh. Ñeå reøn luyeän kó naêng giaûi toaùn cho hoïc sinh, ngöôøi giaùo vieân caàn trang bò toát cho hoïc sinh heä thoáng kieán thöùc cô baûn, hình thaønh kó naêng, tö duy thuaät giaûi vaø phaùt trieån naêng löïc tích cöïc, chuû ñoäng, ñoäc laäp, saùng taïo. Beân caïnh vieäc naâng cao chaát löôïng hoïc sinh ñaïi traø coøn caàn phaûi phaùt huy trí löïc cho hoïc sinh khaù – gioûi. Bôûi vì, hieän nay trong caùc nhaø tröôøng coâng taùc boài döôõng hoïc sinh gioûi raát ñöôïc quan taâm vaø trôû thaønh muõi nhoïn cuûa muïc tieâu phaán ñaáu chaát löôïng, trong ñoù boài döôõng hoïc sinh gioûi Toaùn giöõ moät vai troø thieát yeáu. Ngoaøi nhöõng thuaän lôïi, taïo ñieàu kieän toát cho vieäc boài döôõng naâng cao chaát löôïng hoïc sinh, vaãn coøn nhöõng vaán ñeà caàn löu yù veà maët phöông phaùp. ÔÛ ñaây toâi muoán ñeà caäp ñeán vieäc giaûng daïy phaân moân Hình hoïc vôùi nhöõng yeâu caàu nhaèm phaùt huy khaû naêng nhaän thöùc cuûa hoïc sinh, ñoù laø yeâu caàu veõ yeáu toá phuï trong quaù trình giaûi caùc baøi taäp Hình hoïc. Vieäc veõ theâm yeáu toá phuï laøm cho baøi toaùn trôû neân deã daøng hôn, thuaän lôïi hôn. Thaäm chí coù baøi phaûi veõ theâm yeáu toá phuï môùi tìm ra ñöôïc lôøi giaûi baøi toaùn. Tuy nhieân veõ theâm yeáu toá phuï nhö theá naøo ñeå cho baøi toaùn coù lôøi giaûi ngaén ngoïn vaø hay laø vaán ñeà khieán cho chuùng ta phaûi ñaàu tö suy nghó. Kinh nghieäm cho thaáy raèng khoâng coù phöông phaùp chung cho vieäc veõ theâm yeáu toá phuï maø laø caû moät söï saùng taïo trong khi giaûi toaùn, bôûi vì vieäc veõ theâm caùc yeáu toá phuï caàn ñaït ñöôïc muïc ñích laø taïo ñieàu kieän ñeå giaûi baøi toaùn moät caùch ngaén goïn chöù khoâng phaûi laø moät coâng vieäc tuyø tieän. Hôn nöõa, vieäc veõ theâm yeáu toá phuï phaûi tuaân theo caùc pheùp döïng hình cô baûn vaø caùc baøi toaùn döïng hình cô baûn. Tuy nhieân, trong quaù trình giaûng daïy, toâi nhaän thaáy hoïc sinh coøn raát luùng tuùng khi ñöùng tröôùc baøi toaùn chöùng minh Hình hoïc, nhaát laø nhöõng baøi toaùn caàn phaûi keû theâm ñöôøng phuï. Caùc em chöa ñònh höôùng ñöôïc vaán ñeà, ñoâi khi coøn chöa bieát phaûi baét ñaàu töø ñaâu, veõ hình phuï nhö theá naøo ? coù cô sôû naøo giuùp caùc em tìm ra höôùng ñi cho vieäc keû theâm hình moãi khi chöa tìm ngay ra lôøi giaûi cuûa baøi toaùn. Thieát nghó ñaây laø vaán ñeà raát traên trôû, ñaëc bieät laø trong coâng taùc boài döôõng Hoïc sinh Gioûi Toaùn cuûa ngöôøi giaùo vieân. Khoâng chæ laø ñònh höôùng vaø reøn luyeän cho caùc em, maø thöïc söï ñaây coøn laø caùch ñeå reøn luyeän vaø phaùt trieån tö duy cho 2 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku hoïc sinh, naâng cao khaû naêng suy luaän logic, khaû naêng vaän duïng tri thöùc vaøo thöïc tieãn. Vôùi muïc ñích nhö vaäy, toâi ñaõ vieát vaø aùp duïng saùng kieán vôùi ñeà taøi: “ Moät vaøi kinh nghieäm vaän duïng veõ theâm yeáu toá phuï ñeå giaûi daïng toaùn chöùng minh ñaúng thöùc hình hoïc trong chöông trình Hình hoïc THCS”. II. MUÏC ÑÍCH CHOÏN ÑEÀ TAØI: Ñeà taøi naøy nhaèm giuùp hoïc sinh lôùp 8, 9, ñaëc bieät laø hoïc sinh khaù - gioûi coù phöông phaùp vaø phöông höôùng ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn veà chöùng minh ñaúng thöùc Hình hoïc. Ñoàng thôøi qua ñeà taøi giuùp hoïc sinh ñöôïc reøn luyeän, cuûng coá moät caùch vöõng chaéc kieán thöùc, kyõ naêng veõ hình, kyõ naêng trình baøy lôøi giaûi hoïc ñaëc bieät laø coù tö duy veõ theâm yeáu toá phuï trong vieäc giaûi caùc baøi toaùn Hình hoïc. Ñeà taøi naøy chính laø nguoàn tö lieäu boå ích phuïc vuï cho caùc thaày coâ giaùo trong vieäc ñònh höôùng vaø boài döôõng hoïc sinh Gioûi ôû tröôøng THCS; nguoàn tö lieäu cho caùc em hoïc sinh khaù – gioûi chuû yeáu laø hoïc sinh lôùp 8, 9 töï boài döôõng kieán thöùc moân Toaùn. 3 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku PHAÀN II: GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ I. PHÖÔNG HÖÔÙNG TÌM TOØI CAÙCH VEÕ THEÂM HÌNH PHUÏ ÑEÅ GIAÛI BAØI TOAÙN CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC HÌNH HOÏC: Khi giaûi caùc baøi toaùn Hình hoïc, vieäc veõ theâm hình phuï taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho ta tìm ra lôøi giaûi cuûa baøi toaùn, nhöng bieát taïo ra hình phuï moät caùch thích hôïp khoâng phaûi laø deã. Trong ñeà taøi naøy toâi muoán ñöa ra moät caùch phaân tích coù chuû yù ñeå tìm ñöôïc caùch veõ theâm hình phuï thích hôïp khi giaûi quyeát moät soá baøi toaùn chöùng minh ñaúng thöùc hình hoïc daïng: x = a + b; xy = ab + cd; x 2 = ab + cd; x2 = ab – cd; x2 = a2 + cd; x2 = a2 + b2. Ta xuaát phaùt töø moät baøi toaùn ñôn giaûn: Ñeå chöùng minh moät ñoaïn thaúng baèng toång hai ñoaïn thaúng khaùc, chaúng haïn: AB = CD + EF, ta tìm caùch phaân chia ñoaïn thaúng AB thaønh hai ñoaïn bôûi ñieåm K sao cho AK = CD, coâng vieäc coøn laïi laø chöùng minh KB = EF. YÙ töôûng treân cuõng ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh ñaúng thöùc: xy = ab + cd vaø caùc daïng: x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + c2 v.v… nhö sau: Böôùc 1: Chia ñoaïn thaúng ñoä daøi x thaønh hai ñoaïn bôûi ñieåm chia K ñeå coù x = x1 + x2 sao cho x1y = ab (1) Böôùc 2: Chöùng minh heä thöùc x2y = cd (2) Böôùc 3: Coäng veá theo veá (1) vaø (2) ñeå ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh: x1y + x2y = ab + cd  xy = ab + cd Sau ñaây, xin ñeà caäp ñeán moät soá caùch veõ theâm hình phuï ñeå xaùc ñònh ñieåm K töø ñoù giaûi quyeát baøi toaùn thoâng qua caùc ví duï cuï theå sau. II. CAÙC VÍ DUÏ MINH HOAÏ: Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, ñieåm M thuoäc caïnh BC. Keû MD  AB( DAB), keû ME  AC ( EAC), keû BH  AC ( HAC). CMR: MD + ME = BH ABC caân taïi A. GT M  BC MDAB(DAB). MEAC(EAC). BHAC(HAC) A H D B KL MD + ME = BH K E M C 4 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku *Phaân tích: Laáy ñieåm KBH sao cho BK = MD. Vì caïnh MD laø caïnh goùc vuoâng trong MDB vuoâng taïi D neân ñoaïn thaúng BK cuõng phaûi laø caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc BKM. Töø ñoù K phaûi laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BH. *Lôøi giaûi: Qua M, keû MK  BH(KBH). � ( ôû vò trí ñoàng vò) + Vì MK  BH; ACBH => MK // AC => C�  BMK �K �  900 ; B � ); caïnh BM chung �  BMK � ( cuøng baèng C + MDB vaø BKM coù: D => MDB = BKM(g.c.g) => MD = BK ( 2 caïnh töông öùng) (1) 0 � � � + Töù giaùc MKHE coù: K  H  E  90 neân laø hình chöõ nhaät => ME = KH (2) + Coäng (1) vaø (2) veá theo veá ta ñöôïc : MD + ME = BK + KH = BH ( ñpcm) *Nhaän xeùt: 1) Vì MD laø caïnh goùc vuoâng cuûa MDB, ñeå coù BK = MD thì ñieåm phuï K ñöôïc xaùc ñònh chính laø chaân ñöôøng vuoâng goùc cuûa M ñeán BH. 2) Töø ñaúng thöùc: MD + ME = BH, ta thaáy khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán 2 caïnh AB, AC khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M. Ta coù theå phaùt bieåu laïi baøi toaùn döôùi daïng: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, ñieåm M thuoäc caïnh BC. Chöùng minh raèng: Toång khoaûng caùch töø M ñeán hai caïnh AB, AC khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa noù. Ví duï 2: (Chöùng minh ñònh lí Pitago). Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Chöùng minh raèng: BC2 = AB2 + AC2 A GT ABC, vuoâng taïi A KL BC2 = AB2 + AC2 *Phaân tích: Laáy ñieåm KBC sao cho BK.BC = AB2 � B K C BK AB  � KBA ñoàng daïng vôùi AB BC �  900 . Töø ñoù, K laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø A xuoáng caïnh BC. ABC neân BKA *Lôøi giaûi: Keû AK  BC. Vì caùc goùc B, C ñeàu nhoïn neân K BC �  BAC �  900 ; B � chung + KBA vaø ABC coù: BKA => KBA ñoàng daïng vôùi ABC (g.g) BK AB  � AB 2  BK .BC AB BC �  900 ; C � chung + KAC vaø ABC coù: � AKC  BAC � (1) => KAC ñoàng daïng vôùi ABC (g.g) 5 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku � CK AC  � AC 2  CK .BC AC BC (2) + Coäng veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: AB 2  AC 2  BK .BC  CK .BC  BC 2 (ñpcm) *Nhaän xeùt: Vì ABC vuoâng taïi A. Do ñoù, ñeå KBA ñoàng daïng vôùi ABC thì ñieåm K caàn xaùc ñònh chính laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø A xuoáng caïnh BC. Ví duï 3:(Ñeà thi HSG Thaønh phoá Pleiku naêm hoïc 2005 – 2006) � nhoïn. Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc Cho hình bình haønh ABCD coù BAD ñöôøng vuoâng goùc keû töø C xuoáng caùc ñöôøng thaúng AB vaø AD. Chöùng minh raèng: AC2 = AB.AE + AD.AF E � < 900 ) ABCD laø hình haønh( BAD GT CE  AB; CF  AD B C KL AC2 = AB.AE + AD.AF *Phaân tích: Laáy KAC sao cho AK.AC = AB.AE � AK AE  � ABK ñoàng daïng vôùi ACE � BK  AC. AB AC A K F D Vaäy ñieåm K caàn tìm laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B xuoáng AC. *Lôøi giaûi: � nhoïn neân K thuoäc ñoaïn AC. Keû BK  AC. Vì BAD + ABK vaø ACE coù: � AKB  � AEC  900 ; � A chung => ABK ñoàng daïng vôùi ACE (g.g) AK AE  � AK . AC  AB. AE AB AC �  CFD �  900 ; BCK �  CAF � (vò trí so le trong) + CBK vaø ACF coù: CKB � (1) => CBK ñoàng daïng vôùi ACF (g.g) � CK BC  � CK . AC  BC. AF AF AC + Maø: BC = AD do ABCD laø hình bình haønh => CK.AC = AD.AF (2) + Coäng veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: AK . AC  CK . AC  AB. AE  AD. AF Hay: AC2 = AB.AE + AD.AF (ñpcm) *Nhaän xeùt: 1) Do ACE vuoâng taïi E, ñeå ABK ñoàng daïng vôùi ACE thì ñieåm phuï K caàn xaùc ñònh chính laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B xuoáng caïnh AC. 2) Neáu hình bình haønh ABCD laø hình thoi, luùc ñoù AB = AD. Do ñoù keát luaän cuûa baøi toaùn laø: AC2 = AB.(AE + AF). 6 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku 3) Neáu hình bình ABCD laø hình chöõ nhaät , luùc ñoù E  B; F  D vaø AE  AB; AF  AD. Nhö vaäy, hieån nhieân ta coù: AC2 = AB2 + AD2 ( theo ñònh lí Pitago) Ví duï 4: Cho tam giaùc ABC coù AD laø ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A Chöùng minh raèng: AD2 = AB.AC – BD.CD A GT ABC AD laø phaân giaùc KL AD2 = AB.AC – BD.CD B C D *Phaân tích: Laáy KAD sao cho: AK.AD = AB.AC K AK AC  � ABK ñoàng daïng vôùi ADC AB AD Do ñoù: � ABK  � ADC . Nhö vaäy ta xaùc ñònh ñöôïc ñieåm K. ABK  � ADC . Deã thaáy AD = AK – DK *Lôøi giaûi: Treân AD laáy ñieåm K sao cho: � � �  CAK � (AD laø phaân giaùc cuûa goùc A) + ABK vaø ADC coù: � ABK  � ADC ; BAK => ABK ñoàng daïng vôùi ADC (g.g) AK AC  � AK . AD  AB. AC (1) AB AD � � � � + BDK vaø ADC coù: BDK ADC (ñoái ñænh); BKD ACD (ABK ñoàng daïng � ADC) => BDK ñoàng daïng vôùi ADC (g.g) � BD DK  � DK . AD  BD.DC AD DC (2) + Tröø veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: AK . AD  DK . AD  AB. AC  BD.DC Hay: AD2 = AB.AC - BD.DC (ñpcm) *Nhaän xeùt: �  CAD � ( do AD laø phaân giaùc cuûa goùc A), ñeå hai 1) ABK vaø ADC ñaõ coù BAD tam giaùc naøy ñoàng daïng vôùi nhau ta caàn tìm theâm moät caëp goùc baèng nhau ( � ABK  � ADC ). Do ñoù, ñieåm phuï K thuoäc AD sao cho � ABK  � ADC . 2) Neáu AD laø ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A ( D  BC) thì ta coù heä thöùc: AD2 = DB.DC – AB.AC. 3) Baøi toaùn toång quaùt: Cho tam giaùc ABC coù AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A. Chöùng minh raèng: AD2 = AB. AC  DB.DC 7 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku Ví duï 5: Cho hình thang caân ABCD (AD // BC). Chöùng minh raèng: AC2 = AB2 + AD.BC C B GT Hình thang caân ABCD K KL AC2 = AB2 + AD.BC *Phaân tích: Giaû söû ñieåm K  AC sao cho: AK D A AB AK.AC = AB2 � AB  AC � ABK ñoàng daïng vôùi ACB => � ABK  � ACB . Vaäy ta xaùc ñònh ñöôïc ñieåm K. *Lôøi giaûi: Laáy K  AC sao cho � ABK  � ACB + ABK vaø ACB coù: � ABK  � ACB ; � A chung => ABK ñoàng daïng ACB (g.g) � AK AB  � AK . AC  AB 2 AB AC (1) BC AC  � CK . AC  BC. AD CK AD (2) � � + ABCD laø hình thang caân neân: B�  C� maø: � ABK  � ACB => CBK ACD �  CAD � (so le trong); CBK � � + CBK vaø ACD coù: KCB ACD => CBK ñoàng daïng vôùi ACD (g.g) � + Coäng veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: AK . AC  CK . AC  AB 2  BC. AD Hay: AC2 = AB2 + BC.AD (ñpcm) *Nhaän xeùt: ABK vaø ACB ñaõ coù chung goùc A, ñeå hai tam giaùc naøy ñoàng daïng vôùi nhau ta caàn tìm theâm moät caëp goùc baèng nhau ( � ABK  � ACB ). Do ñoù, ñieåm phuï K thuoäc AC sao cho � ABK  � ADC . Ví duï 6: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O. Chöùng minh raèng: AC.BD = AB.CD + AD.BC B GT ABCD noäi tieáp (O) KL AC.BD = AB.CD + AD.BC *Phaân tích: Giaû söû K thuoäc ñoaïn AC sao cho: AK AB AK.BD = AB.CD � CD  BD � ABK ñoàng daïng vôùi DBC � . Nhö vaäy, ñieåm phuï K ñöôïc xaùc ñònh. => � ABK  DBC C O A K D 8 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku *Lôøi giaûi: � � Vì � neân treân ñoaïn AC laáy ñieåm K sao cho � ABC  DBC ABK  DBC � ; BAK �  BDC � (goùc noäi tieáp cuøng chaén cung BC) +ABK vaø DBC coù: � ABK  DBC => ABK ñoàng daïng vôùi DBC (g.g) AK AB  � AK .BD  AB.CD (1) CD BD � �  KBD �  DBC � hay � � + Vì � => � ABK  DBC ABK  KBD ABD  CBK �  BDA � (goùc noäi tieáp cuøng chaén cung AB); CBK � � +BCK vaø BDA coù: BCK ABD � => BCK ñoàng daïng vôùi BDA(g.g) � BC CK  � CK .BD  BC. AD BD AD (2) + Coäng veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: AK .BD  CK .BD  AB.CD  BC. AD Hay: AC.BD = AB.CD + BC.AD (ñpcm) *Nhaän xeùt: �  BDC � (goùc noäi tieáp cuøng chaén cung BC), ñeå hai 1) ABK vaø DBC ñaõ coù BAK tam giaùc naøy ñoàng daïng vôùi nhau ta caàn tìm theâm moät caëp goùc baèng nhau ( � � ). Do ñoù, ñieåm phuï K thuoäc AC sao cho � � . ABK  DBC ABK  DBC 2) Töø lôøi giaûi vaø keát quaû cuûa baøi toaùn, ta giaûi ñöôïc caùc baøi toaùn hay vaø khoù sau: Baøi 1: Trong caùc töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R), haõy tìm töù giaùc coù toång: AB.CD + AD.BC lôùn nhaát. Baøi 2: Cho töù giaùc ABCD. Chöùng minh raèng: AB.CD + AD.BC  AC.BD. Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo ? Baøi 3: Qua ñænh B vaø C cuûa tam giaùc ABC, veõ tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc, chuùng caét nhau taïi M. Goïi N laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. �  CAN � Chöùng minh raèng: BAM Ví duï 7: Cho tam giaùc ABC coù: 3.�A  2.B�  1800 Chöùng minh raèng: AB2 = BC2 + AB.AC C GT ABC coù: 3.�A  2.B�  1800 KL AB2 = BC2 + AB.AC *Phaân tích: Giaû söû ñieåm K thuoäc caïnh AB sao cho: BK.AB = BC2 � A K B BK BC  BC AB �  BAC � => BKC ñoàng daïng vôùi BCA => BCK 9 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku �  1800 => � � Maët khaùc, ta coù: 3.�A  2.B ACB  2. � A B � � � B ��� � B �. hay BCK ACK  2.BCK ACK  BCK � B � (tính chaát goùc ngoaøi) Maø: � AKC laø goùc ngoaøi cuûa BCK. Do ñoù, � AKC  BCK => � ACK  � AKC hay tam giaùc ACK caân taïi A. Vaäy ñieåm phuï K ñöôïc xaùc ñònh. *Lôøi giaûi: �  1800 => AB > AC Vì: 3.�A  2.B Treân caïnh AB laáy ñieåm K sao AK = AC => tam giaùc ACK caân taïi A. � hay BCK � � � Ta coù: 3. �A  2.B�  1800 , �A  B�  C�  1800 => � ACB  2. � A B ACK  2. � A B � B � ( tính chaát goùc ngoaøi ). Maø: ACK caân taïi A => � ACK  � AKC vaø � AKC  BCK �  BAC � Töø ñoù ta ñöôïc: BCK �  BAC � (cmt); goùc B chung + BCK vaø BAC coù: BCK => BCK ñoàng daïng vôùi BAC (g.g) => BC BK  � BK . AB  BC 2 AB BC (1) + Maët khaùc: Do AB = AK + BK; AK = AC => BK = AB – AC (2) 2 2 2 + Töø (1) vaø (2), ta coù: (AB – AC).AB = BC hay AB – AC.AB = BC => AB2 = BC2 + AC.AB (ñpcm) *Nhaän xeùt: BCK vaø BAC ñaõ coù goùc B chung, ñeå hai tam giaùc naøy ñoàng daïng vôùi �  BAC � ). Do ñoù, ñieåm phuï K nhau ta caàn tìm theâm moät caëp goùc baèng nhau ( BCK thuoäc AB sao cho AK = AC hay ACK caân taïi A . Ví duï 8: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O. D laø moät ñieåm treân cung BC khoâng chöùa ñænh A. Goïi I, E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa D treân caùc ñöôøng thaúng BC, AB, AC. Chöùng minh raèng: ABC noäi tieáp (O) D thuoäc cung BC GT DI  BC(IBC); DE  AB(EAB) DF  AC(EAC ) KL BC AB AC   DI DE DF A BC AB AC   DI DE DF O Caùch 1: *Phaân tích: Giaû söû ñieåm K thuoäc caïnh BC CK AB CK DI sao cho: DI  DE � AB  DE B I F K C E D 10 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku � � => CDK ñoàng daïng vôùi ADB => CDK ADB Nhö vaäy, ta xaùc ñònh ñöôïc ñieåm phuï K. � � ADB *Lôøi giaûi: Laáy K treân caïnh BC sao cho: CDK + CDK vaø ADB coù: � � CDK ADB (caùch veõ) �  DAB � (goùc noäi tieáp chaén cung BD) DCK => CDK ñoàng daïng vôùi ADB (g.g) Maø DI, DE thöù töï laø hai ñöôøng cao cuûa CDK vaø ADB neân: CK DI CK AB  �  (1) AB DE DI DE � � � �  BDA � � + Maët khaùc: BDK vaø do: CDK ADC  � ADK  CDK ADB ADK ; � � � => BDK  ADC => � � �  DAC � + DBK vaø DAC coù: BDK (goùc noäi tieáp chaén cung CD ) ADC ; CBK => CDK ñoàng daïng vôùi ADB (g.g) Maø DI, DF thöù töï laø hai ñöôøng cao töông öùng cuûa DBK vaø DAC neân: => BK DI BK AC    AC DF DI DF + Coäng (1) vaø (2) veá theo veá, ta ñöôïc: Caùch 2: *Phaân tích: (2) CK BK AB AC BC AB AC      hay: DI DI DE DF DI DE DF Giaû söû ñieåm K thuoäc caïnh BC sao cho: BK AB  => ABK ñoàng daïng vôùi DI DE �  DEI � ; EDI => BAK Maø: töù giaùc BIDE noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn neân: � � (do goùc noäi tieáp cuøng chaén cung DI ) A DEI  DBI � � �  DBI � => sñ BDN => BAK = sñ CND (vôùi N laø giao ñieåm khaùc A cuûa AK vôùi (O)). Töø ñoù, DN // BC. F Vaäy ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ñieåm phuï N vaø K. O *Lôøi giaûi: I K B Qua D keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC, ñöôøng thaúng naøy caét ñöôøng troøn (O) E taïi ñieåm thöù hai laø N ( N coù theå truøng vôùi D). D N AN caét BC taïi K. � (do DN // BC) => sñ BD � = sñ DN � + sñ CN � � = sñ CN � + sñ DN + Ta coù: sñ BD � � Hay: sñ BDN = sñ CND C 11 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku �  DBI � (goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau). => BAK �  DIB �  900 ) + Maët khaùc, töù giaùc BIDE noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn (do DEB �  DBI � (do goùc noäi tieáp cuøng chaén cung DI ) => DEI �  DEI � + Vaäy: BAK �  DEI � ; EDI � � � ) + ABK vaø EDI coù: BAK ABK ( cuøng buø vôùi EBI BK AB  DI DE �  DIC �  900 ) + Töù giaùc DIFC noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn (do DFC �  FCM � (goùc noäi tieáp chaén cung FI ) => IDF (1) CK AC  DI DF BK CK AB AB    + Coäng veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: DI DI DE DF BC AB AC   Hay: (ñpcm) DI DE DF (2) => ABK ñoàng daïng vôùi EDI (g.g) � �  BKA � . + Do ABK ñoàng daïng vôùi EDI => DIE �  DIF �  1800 (keà buø); BKA � � Maø: DIE AKC  1800 (keà buø) � � => DIF AKC �  FCM � ; DIF � � + CKA vaø DIF coù: IDF AKC => CKA ñoàng daïng vôùi DIF(g.g) � *Nhaän xeùt: Trong caùch giaûi 1, do DI, DE thöù töï laø hai ñöôøng cao cuûa CDK vaø ADB. Vaäy ñeå coù CDK ñoàng daïng vôùi ADB ta chæ caàn xaùc ñònh ñieåm phuï K treân BC � � sao cho CDK ADB . Trong caùch giaûi 2, ta caàn ñi xaùc ñònh vò trí 2 ñieåm phuï: baèng caùch qua D keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC ( vôùi N laø giao ñieåm thöù 2 cuûa ñöôøng thaúng vôùi ñöôøng troøn) vaø K laø giao ñieåm cuûa AN vôùi BC, ñeå töø ñoù môùi coù ABK ñoàng daïng vôùi EDI. Roõ raøng, caùch giaûi thöù 2 phöùc taïp hôn caùch thöù 1. Do ñoù, trong quaù trình phaân tích tìm kieám lôøi giaûi baøi toaùn caàn khai thaùc heát caùc giaû thieát baøi toaùn ñeå ñònh höôùng caùch giaûi ngaén goïn, saùng taïo. Ñaây chính laø moät trong nhöõng kó naêng maø ngöôøi giaùo vieân caàn boài döôõng cho hoïc sinh. Ví duï sau giuùp chuùng ta thaáy roõ hôn yeâu caàu naøy: Ví duï 9: Cho hình vuoâng ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O; R). Goïi P Blaø moät ñieåm treân cung nhoû CD. Chöùng minh raèng: PA + PC = 2 .PB GT ABCD noäi tieáp (O;R) P thuoäc cung nhoû CD. A K C O 12 KL PA + PC = 2 .PB D P Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku *Phaân tích: Ñeå chöùng minh: PA + PC = 2 .PB, ta ñi chöùng minh: PA PC   2 PB PB Maø ABCD laø hình vuoâng, do ñoù ta coù: AC  2 AB Vaäy maáu choát ñeå giaûi quyeát baøi toaùn laø ta caàn chöùng minh: Giaû söû ñieåm K thuoäc caïnh AC sao cho PA PC AC   PB PB AB PC KC  => tam giaùc PCK ñoàng daïng PB AB �  BPA � . Vaäy K phaûi thuoäc PB. vôùi tam giaùc PBA => CPK Nhö vaäy ñieåm phuï K caàn xaùc ñònh chính laø giao ñieåm cuûa PB vaø AC. *Lôøi giaûi: Goïi K laø giao ñieåm cuûa PB vaø AC. + PCK vaø PBA coù: �  PBA � (hai goùc noäi tieáp cuøng chaén cung AD); PCK � � CPK APB ( hai goùc noäi tieáp chaén 2 cung baèng nhau). => PCK ñoàng daïng vôùi PBA (g.g) � PC CK  PB AB (1) PA AK  PB BC (2) + PAK vaø PBC coù: �  PBC � (goùc noäi tieáp cuøng chaén cung CP); PAK � � ( hai goùc noäi tieáp chaén 2 cung baèng nhau) APK  CPB => PAK ñoàng daïng vôùi PBC(g.g) � PA PC AK CK + Coäng veá theo veá (1) vaø (2), ta ñöôïc: PB  PB  BC  AB  Hay: PA + PC = 2 .PB (ñpcm) AK  CK AC   2 AB AB Toùm laïi: Côû sôû cuûa phöông phaùp treân laø döïa vaøo söï xaùc ñònh ñieåm phuï K moät caùch hôïp lí ñeå ñöa ñaúng thöùc caàn chöùng minh veà daïng a.b = c.d hoaëc a 2 = b.c, töø ñoù coù theå duøng phöông phaùp chöùng minh tam giaùc ñoàng daïng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn. Caùc hình phuï: Keû ñöôøng vuoâng goùc( ví duï 1, 2, 3); taïo goùc baèng goùc cho tröôùc ( ví duï 4, 5, 6, 7, 8) thöôøng laø caùc hình phuï ñöôïc öu tieân khi xaùc ñònh vò trí 13 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku ñieåm phuï K vì khi keû caùc ñöôøng phuï seõ taïo theâm vaøo giaû thieát yeáu toá goùc baèng nhau, töø ñoù deã daøng cho vieäc chöùng minh hai tam giaùc ñoàng daïng. III. BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: Baøi 1: Cho hình vuoâng ABCD, treân caïnh AB laáy ñieåm E tuyø yù. Tia phaân giaùc � cuûa CDE caét BC taïi K. Chöùng minh raèng: AE + CK = DE. Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù: �A  2.B� ; BC = a; CA = b; AB = c. Chöùng minh raèng: a2 = b2 + bc Baøi 3: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C. Laáy ñieåm E treân ñöôøng cao CH. Keû BD vuoâng goùc vôùi AE taïi D. Chöùng minh raèng: a) AE.AD + BA.BH = AB2 b) AE.AD – HA.HB = AH2 �  900 ; DBC �  900 . Chöùng minh raèng: Baøi 4: Cho töù giaùc ABCD coù: DAB CD2 = DI.DB + CI.CA Baøi 5: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Goïi HD, HE laàn löôït laø caùc ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABH vaø ACH. Chöùng minh raèng: AH3 = AD.AE.BC. Baøi 6: Cho nöûa ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB. Hai daây cung AC vaø BD caét nhau taïi H. Chöùng minh raèng: AH.AC + BH.BD = AB2 Baøi 7: Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Hai ñöôøng thaúng AD vaø BC caét nhau taïi E, hai ñöôøng thaúng AB vaø CD caét nhau taïi F. Chöùng minh raèng: EA.ED + FA.FB = EF2 Baøi 8: Cho tam giaùc ABC coù ñöôøng cao AD, BE, CF caét nhau taïi H. Chöùng minh raèng: AH.AD + BE.BH + CF.CH = AB 2  AC 2  BC 2 2 Baøi 9: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, ñieåm M thuoäc caïnh BC. Chöùng minh raèng: AB2 = AM2 + MB.MC. Baøi 10: Cho tam giaùc ñeàu ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R). Goïi M laø moät ñieåm baát kì thuoäc cung nhoû BC. a) Chöùng minh raèng: MA = MB + MC. b) Goïi D laø giao ñieåm cuûa MA vaø BC. Chöùng minh raèng: 1 1 1   MB MC MD 14 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku PHAÀN III: KEÁT QUAÛ VAØ BAØI HOÏC KINH NGHIEÄM. I. KEÁT QUAÛ ÑAÏT ÑÖÔÏC: Treân ñaây laø moät noäi dung nhoû trong vieäc reøn kó naêng veõ yeáu toá phuï cho hoïc sinh. Toâi ñaõ aùp duïng nhöõng kinh nghieäm treân vaøo thöïc teá giaûng daïy Boài döôõng Hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng ñaõ thu ñöôïc moät soá keát quaû khaû quan: Ña phaàn caùc em ñaõ coù theå phaân tích ñaàu baøi, tìm ñöôïc moái lieân heä giöõa caùc döõ kieän cuûa giaû thieát töø ñoù ñònh höôùng ñöôïc caùch giaûi baøi toaùn Hình hoïc. Hoïc sinh, ñaëc bieät laø caùc em trong ñoäi tuyeån Toaùn ñaõ bôùt ñi nhöõng luùng tuùng khi phaûi keû theâm ñöôøng phuï. Nhieàu em ñaõ taïo cho mình khaû naêng phaân tích, ñònh höôùng tìm lôøi giaûi baøi toaùn chöùng minh Hình hoïc. Hôn nöõa, caùc em ñaõ töï tin vaøo khaû naêng giaûi toaùn cuûa mình. Ñieàu quan troïng hôn laø khi giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh caùch phaân tích coù chuû yù caùch veõ theâm yeáu toá phuï ñeå tìm caùch giaûi moät baøi toaùn theo nhieàu caùch khaùc nhau, caùc em ñaõ bieát quan saùt nhaïy beùn, linh hoaït vaø töø ñoù laøm cho tö duy Hình hoïc cuûa caùc em ñöôïc phaùt trieån. Thaønh tích caùc em hoïc sinh ñaït hoïc sinh Gioûi caáp thaønh phoá vaø caáp Tænh cuûa tröôøng khoâng ngöøng tieán boä qua töøng naêm, cuï theå: Caáp TP Naêm hoïc Lôùp 8 Lôùp 9 SL SL 2003- 2004 3/4 2004 – 2005 6/6 1/4 2005 – 2006 3/6 2006 – 2007 2/4 2007 - 2008 2/4 II. BAØI HOÏC KINH NGHIEÄM: Caáp Tænh 1/1 2/2 1/2 15 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku Qua vieäc vaän duïng nhöõng kinh nghieäm treân vaøo coâng taùc giaûng daïy vaø keát quaû ñaït ñöôïc, toâi ruùt ra moät soá baøi hoïc kinh nghieäm nhö sau: - Ñieàu ñaàu tieân, baûn thaân giaùo vieân phaûi taâm huyeát, traên trôû vôùi baøi daïy, tìm hieåu kieán thöùc, tìm ra phöông phaùp vaø hình thöùc phuø hôïp trong giaûng daïy taïo ra moâi tröôøng giuùp hoïc sinh höùng thuù, tích cöïc, chuû ñoäng tìm toøi kieán thöùc. - Trong quaù trình giaûng daïy, ngöôøi giaùo vieân ngoaøi naêng löïc, khaû naêng sö phaïm coøn caàn phaûi tích luyõ, ruùt kinh nghieäm duø raát nhoû. Phaûi tìm toøi hoïc taäp kinh nghieäm ôû saùch baùo, taøi lieäu tham khaûo vaø chính trong quaù trình giaûng daïy treân lôùp cuûa baûn thaân sau moãi tieát daïy. - Töø caùch aùp duïng caùc kinh nghieäm treân vaøo giaûng daïy höôùng daãn hoïc sinh giaûi baøi taäp Hình, ñaõ phaùt huy ñöôïc ôû caùc em oùc tö duy linh hoaït vaø saùng taïo, tìm toøi. Vaø ñieàu quan troïng laø ñaõ gaây ñöôïc cho caùc em söï höùng thuù yeâu thích ham hoïc hôn. - Boài döôõng cho hoïc sinh bieát caùch tö duy hình hoïc, ñöùng tröôùc moät baøi toaùn phaûi bieát phaân tích ñaàu baøi, keát hôïp vôùi veõ yeáu toá phuï thích hôïp ñeå tìm ñöôïc moái lieân heä giöõa caùc döõ kieän cuûa giaû thieát, töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc höôùng giaûi quyeát vaø töø moät daïng toaùn ñaõ laøm coù theå môû roäng ñöôïc ra caùc daïng toaùn khaùc. - Ngheà daïy hoïc laø ngheà cao quyù trong nhöõng ngheà cao quyù, vôùi löông taâm vaø loøng yeâu ngheà, vôùi söï ñaàu tö thôøi gian vaø trí tueä thì khoâng coù gì vui baèng keát quaû gaët haùi ñöôïc nhöõng muøa boäi thu. Do khuoân khoå vaø trình ñoä coù haïn, ñeà taøi naøy chæ ñeà caäp chuû yeáu ñeán thao taùc veõ theâm yeáu toá phuï baèng nhöõng phaân tích coù chuû yù khi giaûi caùc baøi toaùn veà chöùng minh ñaúng thöùc Hình hoïc trong chöông trình Hình hoïc THCS. Mong raèng nhöõng kinh nghieäm giaûng daïy ñuùc keát ñöôïc qua ñeà taøi naøy phaàn naøo thaùo gôõ nhöõng khoù khaên trong coâng taùc boài döôõng hoïc sinh Gioûi ôû tröôøng THCS. Kính mong ñoàng nghieäp: boå sung, goùp yù ñeå ñeà taøi tieáp tuïc hoaøn thieän hôn. Xin chaân thaønh caûm ôn. 16 Nguyễn Quang Bình - THCS Bùi Thị Xuân, Pleiku 17