Skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

  • Số trang: 11 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” phÇn I: më ®Çu I/®Æt vÊn ®Ò. Trong ®Ò thi tèt nghiÖp THPT , §¹i häc , Cao ®¼ng, THCN cña c¸c n¨m bµi to¸n tÝch ph©n hÇu nh kh«ng thÓ thiÕu nhng ®èi víi häc sinh THPT bµi to¸n tÝch ph©n lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n khã v× nã cÇn ®Õn sù ¸p dông linh ho¹t cña ®Þnh nghÜa, c¸c tÝnh chÊt , c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh cña tÝch ph©n. Trong thùc tÕ ®a sè häc sinh tÝnh tÝch ph©n mét c¸ch hÕt søc m¸y mãc ®ã lµ: t×m mét nguyªn hµm cña hµm sè cÇn tÝnh tÝch ph©n råi dïng ®Þnh nghÜa cña tÝch ph©n hoÆc ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn mµ rÊt Ýt häc sinh ®Ó ý ®Õn nguyªn hµm cña hµm sè t×m ®îc cã ph¶i lµ nguyªn hµm cña hµm sè ®ã trªn ®o¹n lÊy tÝch ph©n hay kh«ng? phÐp ®Æt biÕn míi trong ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè cã nghÜa kh«ng? PhÐp biÕn ®æi hµm sè cã t¬ng ®¬ng kh«ng? v× thÕ trong qu¸ tr×nh tÝnh tÝch ph©n häc sinh thêng m¾c ph¶i nh÷ng sai lÇm dÉn ®Õn lêi gi¶i sai qua thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m t«i nhËn thÊy rÊt râ yÕu ®iÓm nµy cña häc sinh v× vËy t«i m¹nh d¹n ®Ò xuÊt s¸ng kiÕn : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” Nh»m gióp häc sinh kh¾c phôc ®îc nh÷ng yÕu ®iÓm nªu trªn tõ ®ã ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n nãi riªng vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp nãi chung. II/LÝ do chän ®Ò tµi : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” trong to¸n §¹i Sè Gi¶i TÝch 12 . Nã cho phÐp chóng ta tiÕp cËn nhanh nh÷ng bµi to¸n phøc t¹p, cô thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña tõng d¹ng tÝch ph©n vµ cã thÓ nh×n thÊy nh÷ng sai lÖch , mµ ta sö dông kh«ng ®óng ph¬ng ph¸p …vv . ChÝnh v× vËy t«i chän ®Ò tµi : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” Nã thËt sù cã Ých trong khi t«i d¹y cho c¸c em 12 ®Ó bíc vµo mét bËc häc cao h¬n .Víi hÖ thèng bµi tËp Ýt nh thÕ nµy,nhng t«i tin tëng r»ng nã lµ phÇn kh«ng thÓ thiÕu cho c¸c em häc sinh vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp tham kh¶o .Mong b¹n ®äc, c¸c ®ång nghiÖp cã nhiÒu ®ãng gãp quý b¸u . Xin c¶m ¬n !. III/lÞch sö vÊn ®Ò : Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n víi c¸c ph¬ng ph¸p t¬ng øng ®· cã tõ l©u , nhng : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n” hÇu nh Ýt ®Ó ý ®Õn. GV : §Æng Ngäc Liªn 1 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Víi quan s¸t nh vËy , t«i m¹nh d¹n ®a ra ®Ò tµi nh thÕ nµy trong kho¶ng thêi gian suy nghÜ tõ 2 ®Õn 3 n¨m . Tuy lµ míi , nhng t«i kh«ng ngõng tham kh¶o ý kiÕn cña c¸c em vµ ®ång nghiÖp ®Ó hoµn chØnh nã . IV/giíi h¹n cña ®Ò tµi : VÒ kiÕn thøc : Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n chØ giíi h¹n mét phÇn kiÕn thøc trong häc kú II cña s¸ch ®¹i sè gi¶i tÝch 12 . VÒ thêi gian : kh«ng nhiÒu trong nghiªn cøu vµ nh×n nhËn viÖc d¹y , theo dâi viÖc häc cña c¸c em . Nhng víi tinh thÇn gi¸o dôc , nªn mäi khã kh¨n chóng t«i còng ®Òu vîc qua . V/ ph¬ng ph¸p : + Lùa chän c¸c vÝ dô c¸c bµi tËp cô thÓ ph©n tÝch tØ mØ nh÷ng sai lÇm cña häc sinh vËn dông ho¹t ®éng n¨ng lùc t duy vµ kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc cña häc sinh ®Ó tõ ®ã ®a ra lêi gi¶i ®óng cña bµi to¸n. +Thùc nghiÖm s ph¹m . PhÇn II: néi dung I/ c¬ së khoa häc : Dùa trªn nguyªn t¾c qu¸ tr×nh nhËn thøc cña con ngêi ®i tõ: “ c¸i sai ®Õn c¸i gÇn ®óng råi míi ®Õn kh¸i niÖm ®óng”, c¸c nguyªn t¾c d¹y häc vµ ®Æc ®iÓm qu¸ tr×nh nhËn thøc cña häc sinh II/ néi dung cô thÓ. Mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n Bµi tËp minh ho¹: Bµi 1: TÝnh tÝch ph©n: I = 2 dx (x  1) 2 2 GV : §Æng Ngäc Liªn 2 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” * Sai lÇm thêng gÆp: I = 2 dx  2  2 (x  1) = 2 d ( x  1) 1 ( x  1) =- x  1 2  2 2 2 =- 1 -1 = - 4 3 3 * Nguyªn nh©n sai lÇm : 1 ( x  1) 2 Hµm sè y = kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1    2;2 suy ra hµm sè kh«ng liªn tôc trªn   2;2 nªn kh«ng sö dông ®îc c«ng thøc Newt¬n – leibnitz nh c¸ch gi¶i trªn. * Lêi gi¶i ®óng 1 ( x  1) 2 Hµm sè y = kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1    2;2 suy ra hµm sè kh«ng liªn tôc trªn   2;2 do ®ã tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i. * Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh b  f ( x)dx cÇn chó ý xem hµm sè y=f(x) cã liªn tôc trªn  a; b kh«ng? a nÕu cã th× ¸p dông ph¬ng ph¸p ®· häc ®Ó tÝnh tÝch ph©n ®· cho cßn nÕu kh«ng th× kÕt luËn ngay tÝch ph©n nµy kh«ng tån t¹i. * Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1/ 5 dx 4) 4 (x  . 3 1 0 2/ x( x 2  1) 2 dx . 2 3/  2 1 cos 0 4 x dx 1  x 3 .e x  x 2 dx x3 1 4/  Bµi 2 :TÝnh tÝch ph©n: I =  dx 1  sin x 0 * Sai lÇm thêng gÆp: §Æt t = tg  x 2 th× dx = 2dt ; 1 2 1  t 1  sin x 2dt dx 1  sin x = (1  t ) = 2(t  1) d(t+1) = GV : §Æng Ngäc Liªn 2 2 2 t 1 = 1 t2 (1  t ) 2 +c 3 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”  dx  1  sin x 0  I= =  2 x tg  1 2  0 =  2 2 - tg 0  1  tg  1 2 do tg  kh«ng x¸c ®Þnh nªn tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i 2 *Nguyªn nh©n sai lÇm: §Æt t = tg x 2 x   0;   t¹i x =  th× tg x 2 kh«ng cã nghÜa. * Lêi gi¶i ®óng:   dx   0 1  cos x   2  dx 1  sin x =  I= 0 x  d   x  2 4  tg    x  2 4 0 cos 2    2 4  = tg  0      tg   2 . 4  4  * Chó ý ®èi víi häc sinh: §èi víi ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè khi ®Æt t = u(x) th× u(x) ph¶i lµ mét hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn  a; b . *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:  1/ dx sin x 0  dx 0 1  cos x 2/  Bµi 3: TÝnh I = 4  x 2  6x  9 dx 0 * Sai lÇm thêng gÆp: I= 4  x 2  6x  9 dx 0 4 4 =   x  3 2 dx  x  3 d  x  3  0 0  x  3 2 2 4 0 1 9    4 2 2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: PhÐp biÕn ®æi  x  3 * Lêi gi¶i ®óng: I= 4  x 2  6x  9 2 x  3 víi x   0;4 lµ kh«ng t¬ng ®¬ng. dx 0 GV : §Æng Ngäc Liªn 4 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 4 4 3 4 0 0 0 3 =   x  3 2 dx x  3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3 2 = -  x  3 3 0 2   x  3 2 2 4 3 9 1   5 2 2 * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n  f  x   2n  n 1, n  N   f  x b b I =   f  x   2n   f  x  dx ta 2n a ph¶i xÐt dÊu hµm sè f(x) trªn  a; b råi dïng tÝnh a chÊt tÝch ph©n t¸ch I thµnh tæng c¸c ph©n kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 1/ I =   1 sin 2 x dx ; 0 2/ I = 3  x 3  2x 2  x dx 1   2 2 x  dx 0 2 3/ I = 4/ I =    x 2  2 x  cot g 2 x  2 dx 1 2  3  tg  6 Bµi 4: TÝnh I = 0 x 1 2 dx  2x  2 * Sai lÇm thêng gÆp: I= 0 d  x  1  x  1 1 2 1 arctg  x  1 0 1  arctg1  arctg 0  4 * Nguyªn nh©n sai lÇm : Häc sinh kh«ng häc kh¸i niÖm arctgx trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi * Lêi gi¶i ®óng: §Æt x+1 = tgt  dx 1  tg 2 t dt víi x=-1 th× t = 0 víi x = 0 th× t =  4 GV : §Æng Ngäc Liªn 5 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”  4 Khi ®ã I =  4 1  tg t dt  2  tg t  1 0 dt t 0  4 0   4 * Chó ý ®èi víi häc sinh: C¸c kh¸i niÖm arcsinx , arctgx kh«ng tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi; Häc sinh cã thÓ ®äc thÊy mét sè bµi tËp ¸p dông kh¸i niÖm nµy trong mét s¸ch tham kh¶o, v× c¸c s¸ch nµy viÕt theo s¸ch gi¸o khoa cò (tríc n¨m 2000). Tõ n¨m 2000 ®Õn nay do c¸c kh¸i niÖm nµy kh«ng cã trong s¸ch gi¸o khoa nªn häc sinh kh«ng ®îc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy n÷a. V× vËy khi gÆp tÝch ph©n d¹ng b 1 1  x ta dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ®Æt t = tgx hoÆc t = cotgx ; dx 2 a b 1  1 x2 a dx th× ®Æt x = sint hoÆc x = cost *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 8 1/ I =  4 x 2  16 dx x 1 2x 3  2x  3 dx  x2 1 0 2/ I = 1 3/ I = 3 x 3 dx  1 0 x8 Bµi 5: TÝnh :I = 1 4 x3  1 0 x2 dx *Suy luËn sai lÇm: §Æt x= sint , dx = costdt x3  1 x2 sin 3 t dx  dt cos t §æi cËn: víi x = 0 th× t = 0 víi x= 1 4 th× t = ? * Nguyªn nh©n sai lÇm: GV : §Æng Ngäc Liªn 6 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1  x 2 th× thêng ®Æt x = sint nhng ®èi víi tÝch ph©n nµy sÏ gÆp khã kh¨n khi ®æi cËn cô thÓ víi x = 1 4 kh«ng t×m ®îc chÝnh x¸c t = ? * Lêi gi¶i ®óng: §Æt t =  dt = 1 x2 x dx  tdt  xdx 1 x2 §æi cËn: víi x = 0 th× t = 1; víi x = I= 1 4 x3  1 0 15 4 x 2 15 4 1 th× t = 15 4 = dx  1  t tdt  t  1  t dt  t  2 1 4 2  1 t3 3  415  15 15 15  2 33 15 2   1   4  192   3  192  3    * Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1  x 2 th× thêng ®Æt x = sint hoÆc gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1+x 2 th× ®Æt x = tgt nhng cÇn chó ý ®Õn cËn cña tÝch ph©n ®ã nÕu cËn lµ gi¸ trÞ lîng gi¸c cña gãc ®Æc biÖt th× míi lµm ®îc theo ph¬ng ph¸p nµy cßn nÕu kh«ng th× ph¶i nghÜ ®Õnph¬ng ph¸p kh¸c. *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 7 1/ tÝnh I = x3  1 x 0 2/tÝnh I = 2 x 1 Bµi 6: tÝnh I = 2 dx dx x2 1 1 x2  1  4 dx  11  x 1   1 1  2  1 2 x   x  dx   2 1 2 1   1  1 x x    2 x2 x  1 * Sai lÇm thêng m¾c: I = GV : §Æng Ngäc Liªn 1 7 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 1 x 1   dx x2  §Æt t = x+  dt 1   §æi cËn víi x = -1 th× t = -2 ; víi x=1 th× t=2; 2 dt  2  2t I=2 = ln 2 = ( 2 2 2 2 2 1 t 2  ln 1  t  2 2  2 2 2 2 ln 2 )dt =(ln t 2 2 2 2 1  2 -ln t  2 ) 2 2 ln t 2 t 2 2 2 1 x2 x 1  lµ sai v× trong   1;1 chøa x = 0 nªn 1 1 x4 2 x x2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: kh«ng thÓ chia c¶ tö c¶ mÉu cho x = 0 ®îc * Lêi gi¶i ®óng: xÐt hµm sè F(x) = F’(x) = Do ®ã I = 1 2 2 ln 1 2 2 x2  x 2 1 x2  x 2 1 (ln x2  x 2 1 x2  x 2 1 )  x2  1 x4 1 1 x2  1 1 x2  x 2 1 = dx ln  4 2 2 x2  x 2 1  11  x 1 1  1 2 ln 2  2 2 2 *Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh tÝch ph©n cÇn chia c¶ tö c¶ mÉu cña hµm sè cho x cÇn ®Ó ý r»ng trong ®o¹n lÊy tÝch ph©n ph¶i kh«ng chøa ®iÓm x = 0 . III/HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm: GV : §Æng Ngäc Liªn 8 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 1/KÕt qu¶ tõ thùc tiÔn: Ban ®Çu häc sinh gÆp khã kh¨n nhÊt ®Þnh trong viÖc gi¶i nh÷ng d¹ng tÝch ph©n nh ®· nªu.Tuy nhiªn gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh tØ mØ c¸ch ph©n tÝch mét bµi to¸n tÝch ph©n tõ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n,cËn cña tÝch ph©n ®Ó lùa chän ph¬ng ph¸p phï hîp trªn c¬ së gi¸o viªn ®a ra nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh thêng m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh suy luËn,trong c¸c bíc tÝnh tÝch ph©n nµy råi tõ ®ã híng c¸c em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng. Sau khi híng dÉn häc sinh nh trªn vµ yªu cÇu häc sinh gi¶i mét sè bµi tËp tÝch ph©n trong s¸ch gi¸o khoa Gi¶i TÝch Líp 12 vµ mét sè bµi trong c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc,cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp cña c¸c n¨m tríc th× c¸c em ®· thËn träng trong khi t×m vµ tr×nh bµy lêi gi¶i vµ ®· gi¶i ®îc mét lîng lín bµi tËp ®ã. 2/KÕt qu¶ thùc nghiÖm: S¸ng kiÕn ®îc ¸p dông trong n¨m häc 2007-2008. Bµi kiÓm tra trªn hai ®èi tîng líp 12A1(28 häc sinh) kh«ng ¸p dông s¸ng kiÕn vµ 12C4(37 häc sinh) ¸p dông s¸ng kiÕn nh sau: xÕp lo¹i giái kh¸ tb yÕu ®èi tîng 12C1 50% 40% 10% 0% 12C4 0% 0% 40% 60% Sau khi thùc hiÖn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thó ®Æc biÖt lµ khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n c¸c em tÝnh tÝch ph©n rÊt thËn träng vµ hiÓu b¶n chÊt cña vÊn ®Ò chø kh«ng tÝnh rËp khu«n mét c¸ch m¸y mãc nh tríc, ®ã lµ viÖc thÓ hiÖn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh. phÇn III:kÕt luËn – kiÕn nghÞ I/ kÕt luËn: Nghiªn cøu, ph©n tÝch mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n cã ý nghÜa rÊt lín trong qu¸ tr×nh d¹y häc v× khi ¸p dông s¸ng kiÕn nµy sÏ gióp häc sinh nh×n thÊy ®îc nh÷ng ®iÓm yÕu vµ nh÷ng hiÓu biÕt cha thËt thÊu ®¸o cña m×nh vÒ vÊn ®Ò nµy tõ ®ã ph¸t huy ë häc sinh t duy ®éc lËp, n¨ng lùc suy nghÜ tÝch cùc chñ ®éng cñng cè trau råi thªm kiÕn thøc vÒ tÝnh tÝch ph©n tõ ®ã lµm chñ GV : §Æng Ngäc Liªn 9 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” ®îc kiÕn thøc, ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng ®¹i häc, cao ®¼ng , THCN II/ KiÕn nghÞ: HiÖn nay nhµ trêng ®· cã mét sè s¸ch tham kh¶o tuy nhiªn cha cã mét s¸ch tham kh¶o nµo viÕt vÒ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n. V× vËy nhµ trêng cÇn quan t©m h¬n n÷a vÒ viÖc trang bÞ thªm s¸ch tham kh¶o lo¹i nµy ®Ó häc sinh ®îc t×m tßi vÒ nh÷ng sai lÇm thêng m¾c khi gi¶i to¸n ®Ó c¸c em cã thÓ tr¸nh ®îc nh÷ng sai lÇm ®ã trong khi lµm bµi tËp . tµi liÖu tham kh¶o 1. KiÕn thøc c¬ b¶n gi¶i tÝch 12 ( Phan V¨n §øc- §ç Quang Minh – NguyÔn Thanh S¬n – Lª V¨n Trêng – NXB §H Quèc gia thµnh phè HCM - 2002). 2. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n vµ Gi¶i tÝch tæ hîp ( NguyÔn Cam – NXB TrÎ ). 3. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n (TrÇn §øc Huyªn – TrÇn ChÝ Trung – NXB Gi¸o Dôc). 4. S¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12 (Ng« Thóc Lanh Chñ biªn – NXB GD – 2000) 5. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n ( Lª Hång §øc – Lª BÝch Ngäc – NXB Hµ Néi – 2005). 6. Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n ( TrÇn Ph¬ng vµ NguyÔn §øc TÊn – NXB Hµ Néi – 2004). GV : §Æng Ngäc Liªn 10 Trêng THPT Ngäc Håi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” môc lôc trang 1 1 2 2 2 2 3 3 3 10 11 phÇn I : më ®Çu I. §Æt vÊn ®Ò II.LÝ do chän ®Ò tµi III.LÞch sö vÊn ®Ò : IV.Giíi h¹n cña ®Ò tµi : V. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu phÇn II : Néi dung I. C¬ së khoa häc II. Néi dung cô thÓ III. HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn phÇn III: KÕt luËn - kiÕn nghÞ HÕt .! GV : §Æng Ngäc Liªn 11
- Xem thêm -